7  Fonksiyon Serileri

Bir sayı serisi, kısmi toplamlarının dizisinden ibarettir; serinin yakınsaklığı o dizinin yakınsaklığıdır. Terimleri fonksiyon olan seriler için de aynı şey geçerlidir: \(\sum f_n\) serisini anlamak, \(S_n = f_1 + \dots + f_n\) kısmi toplamlarından oluşan fonksiyon dizisini anlamaktır. Bu yüzden önceki bölümlerde fonksiyon dizileri için kurduğumuz her kavram ve her teorem, serilere hemen çevrilebilir.

Yine de serilerin kendine özgü bir yanı vardır. Kısmi toplamın kapalı bir formülü çoğu zaman bulunamaz; dolayısıyla \(\sup |S_n - S|\) sayısını hesaplamak mümkün olmaz. Bunun yerine yalnız terimlere bakarak karar veren ölçütlere ihtiyaç duyulur. Bu bölümün ana aracı olan Weierstrass M-testi tam da bunu yapar. M-testi mutlak yakınsamayan serilerde işe yaramadığında Dirichlet ve Abel testleri devreye girer.

7.1 Noktasal, Mutlak ve Düzgün Yakınsaklık

Tanımlarla başlayalım; hepsi kısmi toplamlar dizisi üzerinden verilir.

Tanım 7.1 (Fonksiyon Serisi ve Kısmi Toplamlar) \(E \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme ve \((f_n)\), \(E\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi olsun.

\[S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} f_k(x) = f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x) \qquad (x \in E)\]

ile tanımlı \((S_n)\) fonksiyon dizisine \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n\) fonksiyon serisinin kısmi toplamlar dizisi, \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n\) biçimsel toplamına da \(E\) üzerinde bir fonksiyon serisi denir.

Yani bir fonksiyon serisi, her \(x \in E\) için bir \(\sum f_n(x)\) sayı serisi verir. Toplamın \(n = 0\)’dan ya da başka bir indisten başlaması hiçbir şeyi değiştirmez; kısmi toplamlar buna göre yazılır.

Tanım 7.2 (Noktasal Yakınsaklık ve Yakınsaklık Kümesi) \(\sum f_n\), \(E\) üzerinde bir fonksiyon serisi olsun. \((S_n)\) kısmi toplamlar dizisi \(E\) üzerinde bir \(S\) fonksiyonuna noktasal yakınsıyorsa seri \(E\) üzerinde noktasal yakınsaktır denir; \(S\) fonksiyonuna serinin toplamı denir ve

\[S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \qquad (x \in E)\]

yazılır. \(\sum f_n(x)\) sayı serisinin yakınsak olduğu bütün \(x\) noktalarının kümesine serinin yakınsaklık kümesi denir.

Yani noktasal yakınsaklıkta \(x\) sabitlenir ve \(\sum f_n(x)\) sıradan bir sayı serisi olarak incelenir; Analiz 2’nin bütün yakınsaklık testleri bu iş için kullanılabilir.

Tanım 7.3 (Mutlak Yakınsaklık) \(\sum |f_n|\) serisi \(E\) üzerinde noktasal yakınsaksa, yani her \(x \in E\) için \(\sum |f_n(x)|\) sayı serisi yakınsaksa \(\sum f_n\) serisi \(E\) üzerinde mutlak yakınsaktır denir.

Yani mutlak yakınsaklık da nokta nokta denetlenen bir özelliktir. Mutlak yakınsak her sayı serisi yakınsak olduğundan (bkz. Analiz 2) \(E\) üzerinde mutlak yakınsak bir fonksiyon serisi \(E\) üzerinde noktasal yakınsaktır.

Tanım 7.4 (Fonksiyon Serisinin Düzgün Yakınsaklığı) \((S_n)\) kısmi toplamlar dizisi \(E\) üzerinde \(S\) fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, yani \(S_n \rightrightarrows S\) (\(E\)) ise \(\sum f_n\) serisi \(E\) üzerinde \(S\)’ye düzgün yakınsar denir.

Yani serinin düzgün yakınsaklığı yeni bir kavram değildir; kısmi toplamlar dizisinin düzgün yakınsaklığıdır. Seri noktasal yakınsakken

\[R_n(x) = S(x) - S_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} f_k(x)\]

fonksiyonuna serinin \(n\)’inci kalanı denir. Düzgün yakınsaklık, Teorem 3.3 gereği

\[\sup_{x \in E} |R_n(x)| \to 0 \qquad (n \to \infty)\]

olmasına denktir: kalan, \(E\)’nin bütün noktalarında aynı anda küçülür.

Örnek 7.1 (Geometrik Fonksiyon Serisi) \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) serisinin yakınsaklık kümesini ve toplamını bulunuz. Seri \(0 < r < 1\) olmak üzere \([-r, r]\) üzerinde düzgün yakınsak mıdır? \((-1, 1)\) üzerinde düzgün yakınsak mıdır?

Çözüm

Yakınsaklık kümesi ve toplam. \(x\) sabitken \(\sum x^n\) bir geometrik seridir; \(|x| < 1\) için yakınsar, \(|x| \ge 1\) için ıraksar (bkz. Analiz 2). Yakınsaklık kümesi \((-1, 1)\) aralığıdır. Kısmi toplam ve toplam

\[S_n(x) = \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}, \qquad S(x) = \frac{1}{1 - x} \qquad (|x| < 1)\]

olur. \(|x| < 1\) için \(\sum |x|^n\) de yakınsak olduğundan seri \((-1, 1)\) üzerinde mutlak yakınsaktır.

\([-r, r]\) üzerinde. Kalan \(R_n(x) = \dfrac{x^{n+1}}{1 - x}\)’tir. \(|x| \le r\) için \(|x|^{n+1} \le r^{n+1}\) ve \(1 - x \ge 1 - r > 0\) olduğundan

\[|R_n(x)| \le \frac{r^{n+1}}{1 - r} \to 0\]

olur. Sınır \(x\)’ten bağımsızdır; Teorem 3.1 gereği seri \([-r, r]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

\((-1, 1)\) üzerinde. Her \(S_n\) bir polinomdur ve \((-1, 1)\) üzerinde sınırlıdır: \(|S_n(x)| \le n + 1\). Toplam \(S(x) = \dfrac{1}{1 - x}\) ise \(x \to 1^-\) iken sınırsız büyür. Sonuç 4.1 gereği yakınsama \((-1, 1)\) üzerinde düzgün değildir. \(\blacksquare\)

Bu örnek tipiktir: bir fonksiyon serisi yakınsaklık kümesinin tamamında düzgün yakınsamayabilir, ama kümenin uçlarından uzak duran alt kümelerde düzgün yakınsar.

7.2 Cauchy Kriteri ve Gerek Koşul

Kısmi toplamlar dizisine Teorem 3.4 uygulanınca serilerin Cauchy kriteri elde edilir.

Teorem 7.1 (Fonksiyon Serileri için Cauchy Kriteri) \(\sum f_n\) serisinin \(E\) üzerinde düzgün yakınsak olması için gerek ve yeter koşul şudur: her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}\) vardır ki \(n > m \ge N\) olan her \(n, m\) ve her \(x \in E\) için

\[\left| \sum_{k=m+1}^{n} f_k(x) \right| = |f_{m+1}(x) + f_{m+2}(x) + \dots + f_n(x)| < \varepsilon\]

olur.

İspat

\(n > m\) için \(S_n(x) - S_m(x) = \sum_{k=m+1}^{n} f_k(x)\)’tir. Dolayısıyla ifadedeki koşul, \((S_n)\) dizisinin \(E\) üzerinde düzgün Cauchy dizisi olması demektir (\(n = m\) durumunda fark \(0\)’dır, \(n < m\) durumu ise rollerin değişimiyle aynıdır). Teorem 3.4 gereği bu, \((S_n)\) dizisinin, yani serinin \(E\) üzerinde düzgün yakınsamasına denktir. \(\blacksquare\)

Sonuç 7.1 (Düzgün Yakınsaklığın Gerek Koşulu) \(\sum f_n\) serisi \(E\) üzerinde düzgün yakınsaksa \(f_n \rightrightarrows 0\) (\(E\)) olur.

İspat

\(\varepsilon > 0\) verilsin. Teorem 7.1 koşulundaki \(N\) için \(m \ge N\) ve \(n = m + 1\) alınırsa her \(x \in E\) için \(|f_{m+1}(x)| < \varepsilon\) bulunur. Yani \(n \ge N + 1\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - 0| < \varepsilon\)’dur; bu, \(f_n \rightrightarrows 0\) (\(E\)) demektir. \(\blacksquare\)

Sonucun karşıt tersi bir ıraksaklık testi gibi çalışır: genel terim \(E\) üzerinde \(0\)’a düzgün yakınsamıyorsa seri \(E\) üzerinde düzgün yakınsak olamaz. Örneğin \(\sum x^n\) serisinde \(\sup_{x \in (-1, 1)} |x^n| = 1\) olduğundan \(x^n\) dizisi \((-1, 1)\) üzerinde \(0\)’a düzgün yakınsamaz; bu, geometrik seri örneğindeki sonucun (Örnek 7.1) ikinci bir gerekçesidir. Sayı serilerindeki gibi, koşul yeterli değildir (Alıştırma 7.5).

7.3 Weierstrass M-Testi

Düzgün yakınsaklığı göstermenin en pratik yolu, her terimi \(x\)’ten bağımsız bir sayıyla sınırlamak ve bu sayıların serisinin yakınsadığını görmektir. Bu ölçütle Analiz 2’de kuvvet serilerini incelerken karşılaşmıştık (bkz. Analiz 2); burada Cauchy kriterine dayanan kısa bir ispatını veriyoruz.

Teorem 7.2 (Weierstrass M-Testi) \(\sum f_n\), \(E\) üzerinde bir fonksiyon serisi olsun. Öyle \(M_n \ge 0\) sayıları bulunsun ki

\[|f_n(x)| \le M_n \quad (\text{her } x \in E,\ \text{her } n \in \mathbb{N}) \qquad \text{ve} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} M_n \ \text{yakınsak}\]

olsun. O zaman \(\sum f_n\) serisi \(E\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır.

İspat

Mutlak yakınsaklık. \(x \in E\) sabit olsun. \(0 \le |f_n(x)| \le M_n\) ve \(\sum M_n\) yakınsak olduğundan karşılaştırma testi (bkz. Analiz 2) gereği \(\sum |f_n(x)|\) yakınsaktır.

Düzgün yakınsaklık. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\sum M_n\) yakınsak bir sayı serisi olduğundan seriler için Cauchy ölçütü (bkz. Analiz 2) gereği öyle bir \(N\) vardır ki \(n > m \ge N\) için

\[\sum_{k=m+1}^{n} M_k < \varepsilon\]

olur. Bu \(N\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. \(n > m \ge N\) ve \(x \in E\) için üçgen eşitsizliğiyle

\[\left| \sum_{k=m+1}^{n} f_k(x) \right| \le \sum_{k=m+1}^{n} |f_k(x)| \le \sum_{k=m+1}^{n} M_k < \varepsilon\]

bulunur. Teorem 7.1 gereği \(\sum f_n\), \(E\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Koşulun bir \(n_0\) indisinden sonra sağlanması da yeter; sonlu sayıda terim düzgün yakınsaklığı etkilemez. Aynı ispat \(\sum |f_n|\) serisinin de \(E\) üzerinde düzgün yakınsadığını gösterir.

İpucuÜç adımda Weierstrass M-testi

1. Terimi sınırla. \(|f_n(x)|\) için \(E\) üzerinde geçerli, \(x\) içermeyen bir \(M_n\) üst sınırı bulunur. Açık bir sınır görülmüyorsa \(M_n = \sup_{x \in E} |f_n(x)|\) türevle hesaplanır.
2. Sayı serisini incele. \(\sum M_n\) serisinin yakınsaklığı bilinen bir testle (p-serisi, geometrik seri, oran testi) gösterilir.
3. Sonuç. Seri \(E\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır.

Örnek 7.2 (Trigonometrik Bir Seri) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) serisinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Her \(x \in \mathbb{R}\) ve her \(n\) için

\[\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \le \frac{1}{n^2} = M_n\]

olur. \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) bir p-serisidir ve \(p = 2 > 1\) olduğundan yakınsaktır (bkz. Analiz 2). Teorem 7.2 gereği seri \(\mathbb{R}\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Örnek 7.3 (Üstel Terimli Bir Seri) \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{e^{nx}}\) serisinin \([1, +\infty)\) aralığında düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz ve toplamını bulunuz.

Çözüm

\(x \ge 1\) için \(e^x \ge e\), yani \(\dfrac{1}{e^x} \le \dfrac{1}{e}\) olur. Dolayısıyla her \(n\) için

\[\left| \frac{2^n}{e^{nx}} \right| = \left( \frac{2}{e^x} \right)^{n} \le \left( \frac{2}{e} \right)^{n} = M_n\]

bulunur. \(0 < \dfrac{2}{e} < 1\) olduğundan \(\sum \left(\dfrac{2}{e}\right)^{n}\) geometrik serisi yakınsaktır. Teorem 7.2 gereği seri \([1, +\infty)\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır.

Toplam. \(x \ge 1\) sabitken seri, ortak çarpanı \(q = \dfrac{2}{e^x} \in (0, 1)\) olan bir geometrik seridir:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{2}{e^x} \right)^{n} = \frac{1}{1 - \dfrac{2}{e^x}} = \frac{e^x}{e^x - 2}.\]

\(\blacksquare\)

Örnek 7.4 (Supremumu Türevle Bulunan Bir Seri) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} x^2 e^{-nx}\) serisinin \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(f_n(x) = x^2 e^{-nx} \ge 0\) için açık bir üst sınır görünmüyor; supremumu türevle bulalım.

\[f_n'(x) = 2x e^{-nx} - n x^2 e^{-nx} = x\,(2 - nx)\,e^{-nx}\]

olur. \((0, +\infty)\) üzerindeki tek kritik nokta \(x = \dfrac{2}{n}\)’dir; solunda \(f_n' > 0\), sağında \(f_n' < 0\)’dır. Ayrıca \(f_n(0) = 0\)’dır. Dolayısıyla

\[M_n = \sup_{x \ge 0} f_n(x) = f_n\left( \frac{2}{n} \right) = \frac{4}{n^2}\,e^{-2} = \frac{4}{e^2 n^2}\]

bulunur. \(\sum M_n = \dfrac{4}{e^2} \sum \dfrac{1}{n^2}\) yakınsaktır. Teorem 7.2 gereği seri \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

M-testi bir yeter koşuldur. Test mutlak yakınsaklık da verdiğinden, mutlak yakınsamayan bir seride hiçbir zaman işe yaramaz; oysa böyle bir seri düzgün yakınsak olabilir.

Örnek 7.5 (M-Testinin Uygulanamadığı Düzgün Yakınsak Seri) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n + x^2}\) serisinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu, ama hiçbir noktada mutlak yakınsak olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Mutlak yakınsak değildir. \(x\) sabit olsun. \(\dfrac{1}{n + x^2}\) ile \(\dfrac{1}{n}\) dizilerinin oranı \(\dfrac{n}{n + x^2} \to 1\) olduğundan limit karşılaştırma testi gereği \(\sum \dfrac{1}{n + x^2}\) serisi harmonik seriyle birlikte ıraksar. Seri hiçbir \(x\) için mutlak yakınsak değildir; dolayısıyla M-testinin koşulunu sağlayan \(M_n\) sayıları bulunamaz.

Düzgün yakınsaktır. \(x\) sabitken \(b_n = \dfrac{1}{n + x^2}\) dizisi pozitiftir, azalandır ve \(0\)’a yakınsar. Leibniz testi gereği seri yakınsaktır ve alterne seriler için hata kestirimi (bkz. Analiz 2) kalanın mutlak değerinin ilk atılan terimi aşmadığını söyler:

\[|R_n(x)| \le b_{n+1} = \frac{1}{n + 1 + x^2} \le \frac{1}{n + 1}.\]

Sağdaki sayı \(x\)’ten bağımsızdır ve \(0\)’a gider. Teorem 3.1 gereği \(S_n \rightrightarrows S\) (\(\mathbb{R}\)); seri \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

7.4 Dirichlet ve Abel Testleri

Mutlak yakınsamayan serilerde düzgün yakınsaklığı göstermek için terimi iki çarpana ayıran testler kullanılır. İkisi de Abel’in kısmi toplamlarla toplama formülüne dayanır (bkz. Analiz 2): \((a_k)\), \((b_k)\) sayı dizileri ve \(B_k = b_1 + \dots + b_k\) (\(B_0 = 0\)) olmak üzere \(1 \le m \le n\) için

\[\sum_{k=m}^{n} a_k b_k = a_n B_n - a_m B_{m-1} - \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)\,B_k. \tag{1}\]

Teorem 7.3 (Düzgün Yakınsaklık için Dirichlet Testi) \((f_n)\) ve \((g_n)\), \(E\) üzerinde tanımlı fonksiyon dizileri olsun. Aşağıdaki koşullar sağlansın:

1. \(\sum f_n\) serisinin kısmi toplamları \(E\) üzerinde düzgün sınırlıdır: öyle bir \(M > 0\) vardır ki her \(n\) ve her \(x \in E\) için \(\left| \sum_{k=1}^{n} f_k(x) \right| \le M\) olur;

2. her \(x \in E\) için \(\big(g_n(x)\big)\) sayı dizisi monotondur;

3. \(g_n \rightrightarrows 0\) (\(E\)).

O zaman \(\sum f_n g_n\) serisi \(E\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat

\(F_k(x) = \sum_{j=1}^{k} f_j(x)\) yazalım; (i) gereği \(|F_k(x)| \le M\)’dir (\(F_0 = 0\) için de). \(x \in E\) sabitken \((1)\) formülünü \(a_k = g_k(x)\) ve \(b_k = f_k(x)\) ile uygulayalım: \(1 \le m \le n\) için

\[ \begin{aligned} \sum_{k=m}^{n} f_k(x)\,g_k(x) &= g_n(x)F_n(x) - g_m(x)F_{m-1}(x) \\[1mm] &\quad - \sum_{k=m}^{n-1} \big(g_{k+1}(x) - g_k(x)\big)F_k(x). \end{aligned} \]

Mutlak değer alıp \(|F_k(x)| \le M\) sınırını kullanalım:

\[ \begin{aligned} \left| \sum_{k=m}^{n} f_k(x)\,g_k(x) \right| &\le M\,|g_n(x)| + M\,|g_m(x)| \\[1mm] &\quad + M \sum_{k=m}^{n-1} |g_{k+1}(x) - g_k(x)|. \end{aligned} \]

2. gereği \(g_{k+1}(x) - g_k(x)\) farklarının hepsi aynı işaretlidir; dolayısıyla mutlak değerlerinin toplamı, toplamlarının mutlak değerine eşittir ve toplam teleskopiktir:

\[\sum_{k=m}^{n-1} |g_{k+1}(x) - g_k(x)| = |g_n(x) - g_m(x)| \le |g_n(x)| + |g_m(x)|.\]

Öyleyse

\[\left| \sum_{k=m}^{n} f_k(x)\,g_k(x) \right| \le 2M\big( |g_n(x)| + |g_m(x)| \big) \tag{2}\]

olur. \(\varepsilon > 0\) verilsin. (iii) gereği öyle bir \(N\) vardır ki \(k \ge N\) ve her \(x \in E\) için \(|g_k(x)| < \dfrac{\varepsilon}{4M}\) olur. \(n \ge m \ge N\) ve \(x \in E\) için \((2)\) eşitsizliği

\[\left| \sum_{k=m}^{n} f_k(x)\,g_k(x) \right| < 2M \left( \frac{\varepsilon}{4M} + \frac{\varepsilon}{4M} \right) = \varepsilon\]

verir. Teorem 7.1 gereği \(\sum f_n g_n\), \(E\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Teorem 7.4 (Düzgün Yakınsaklık için Abel Testi) \((f_n)\) ve \((g_n)\), \(E\) üzerinde tanımlı fonksiyon dizileri olsun. Aşağıdaki koşullar sağlansın:

1. \(\sum f_n\) serisi \(E\) üzerinde düzgün yakınsaktır;

2. her \(x \in E\) için \(\big(g_n(x)\big)\) sayı dizisi monotondur;

3. \((g_n)\) dizisi \(E\) üzerinde düzgün sınırlıdır: öyle bir \(K > 0\) vardır ki her \(n\) ve her \(x \in E\) için \(|g_n(x)| \le K\) olur.

O zaman \(\sum f_n g_n\) serisi \(E\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat

\(\varepsilon > 0\) verilsin. (i) ve Teorem 7.1 gereği öyle bir \(N'\) vardır ki \(k > m' \ge N'\) ve her \(x \in E\) için \(\left| \sum_{j=m'+1}^{k} f_j(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{3K}\) olur. \(N = N' + 1\) alalım ve \(m' = m - 1\) yazalım: \(k \ge m \ge N\) ve her \(x \in E\) için

\[|T_k(x)| < \frac{\varepsilon}{3K}, \qquad T_k(x) = \sum_{j=m}^{k} f_j(x) \tag{3}\]

olur. \(m \ge N\) ve \(x \in E\) sabitlensin; \(F_k(x) = \sum_{j=1}^{k} f_j(x)\) olmak üzere \(T_k = F_k - F_{m-1}\)’dir. \((1)\) formülünü \(a_k = g_k(x)\), \(b_k = f_k(x)\) ile yazıp \(F_k = T_k + F_{m-1}\) koyalım:

\[ \begin{aligned} \sum_{k=m}^{n} f_k g_k &= g_n\,(T_n + F_{m-1}) - g_m F_{m-1} \\[1mm] &\quad - \sum_{k=m}^{n-1} (g_{k+1} - g_k)(T_k + F_{m-1}) \\[1mm] &= g_n T_n - \sum_{k=m}^{n-1} (g_{k+1} - g_k)\,T_k \\[1mm] &\quad + F_{m-1}\Big[ g_n - g_m - \sum_{k=m}^{n-1} (g_{k+1} - g_k) \Big]. \end{aligned} \]

Köşeli parantezin içi sıfırdır, çünkü son toplam teleskopiktir ve \(g_n - g_m\)’ye eşittir. Öyleyse

\[\sum_{k=m}^{n} f_k(x)\,g_k(x) = g_n(x)\,T_n(x) - \sum_{k=m}^{n-1} \big(g_{k+1}(x) - g_k(x)\big)\,T_k(x)\]

olur. \((3)\), (iii) ve Dirichlet testinin ispatındaki teleskopik toplam gözlemi ile

\[ \begin{aligned} \left| \sum_{k=m}^{n} f_k(x)\,g_k(x) \right| &< K \cdot \frac{\varepsilon}{3K} + \frac{\varepsilon}{3K} \sum_{k=m}^{n-1} |g_{k+1}(x) - g_k(x)| \\[1mm] &= \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3K}\,|g_n(x) - g_m(x)| \le \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3K} \cdot 2K = \varepsilon \end{aligned} \]

bulunur. Bu, \(n \ge m \ge N\) ve her \(x \in E\) için geçerlidir; Teorem 7.1 gereği \(\sum f_n g_n\) düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

İki testin koşullarını karşılaştıralım:

Tablo 7.1: Dirichlet ve Abel testlerinin koşulları

	\(\sum f_n\)	\((g_n)\)
Dirichlet	kısmi toplamları düzgün sınırlı	her noktada monoton, \(g_n \rightrightarrows 0\)
Abel	düzgün yakınsak	her noktada monoton, düzgün sınırlı

Dirichlet testi \(\sum f_n\)’den daha azını, \((g_n)\)’den daha fazlasını ister; Abel testinde durum tersinedir.

Örnek 7.6 (Dirichlet Testiyle Sinüs Serisi) \(0 < \delta < \pi\) olsun. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}\) serisinin \([\delta,\ 2\pi - \delta]\) aralığında düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(f_n(x) = \sin(nx)\) ve \(g_n(x) = \dfrac{1}{n}\) alalım. M-testi burada kullanılamaz: \(\sin(nx)\) fonksiyonunun periyodu \(\dfrac{2\pi}{n}\)’dir ve \(n\) yeterince büyükken aralığın uzunluğu \(2\pi - 2\delta\) bir tam periyodu aşar; o zaman aralıkta \(|\sin(nx)| = 1\) olan bir nokta bulunur ve \(\sup \left| \dfrac{\sin(nx)}{n} \right| = \dfrac{1}{n}\) olur. \(\sum \dfrac{1}{n}\) ise ıraksaktır.

(ii) ve (iii). \(g_n = \dfrac{1}{n}\) sabit fonksiyonları \(n\)’ye göre azalandır ve \(\sup_x |g_n(x)| = \dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan \(g_n \rightrightarrows 0\).

(i) Kısmi toplamların sınırı. Çarpımı farka çeviren

\[2 \sin \frac{x}{2}\,\sin(kx) = \cos\left( \left(k - \tfrac{1}{2}\right)x \right) - \cos\left( \left(k + \tfrac{1}{2}\right)x \right)\]

özdeşliğini \(k = 1, \dots, n\) için toplayalım. Sağ yan teleskopiktir:

\[2 \sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \cos \frac{x}{2} - \cos\left( \left(n + \tfrac{1}{2}\right)x \right).\]

\(x \in [\delta, 2\pi - \delta]\) için \(\dfrac{x}{2} \in \left[ \dfrac{\delta}{2},\ \pi - \dfrac{\delta}{2} \right]\) olur ve bu aralıkta \(\sin \dfrac{x}{2} \ge \sin \dfrac{\delta}{2} > 0\)’dır. Sağ yanın mutlak değeri en çok \(2\) olduğundan

\[\left| \sum_{k=1}^{n} \sin(kx) \right| \le \frac{2}{2 \sin \frac{x}{2}} \le \frac{1}{\sin \frac{\delta}{2}} = M\]

bulunur; sınır \(n\)’ye ve \(x\)’e bağlı değildir.

Teorem 7.3 gereği seri \([\delta, 2\pi - \delta]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Örnek 7.7 (Abel Testiyle Uç Noktaya Kadar Düzgün Yakınsaklık) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,x^n\) serisinin \([0, 1]\) aralığında düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(f_n(x) = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\) (sabit fonksiyon) ve \(g_n(x) = x^n\) alalım.

(i) \(\sum \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\) alterne harmonik serisi Leibniz testi gereği yakınsaktır. Terimleri \(x\)’e bağlı olmayan yakınsak bir seri her kümede düzgün yakınsaktır; çünkü kalanı \(x\)’ten bağımsız bir sıfır dizisidir.

(ii) \(x \in [0, 1]\) için \(x^{n+1} = x \cdot x^n \le x^n\) olduğundan \((x^n)\) dizisi \(n\)’ye göre azalandır.

(iii) \(x \in [0, 1]\) ve her \(n\) için \(|x^n| \le 1\) olduğundan \(K = 1\) alınır.

Teorem 7.4 gereği seri \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

M-testi burada işe yaramaz: \(\sup_{x \in [0, 1]} \left| \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \right| = \dfrac{1}{n}\) ve \(\sum \dfrac{1}{n}\) ıraksaktır. \(\blacksquare\)

7.5 Alıştırmalar

Alıştırma 7.1 (Rasyonel Terimli Seri) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + x^2}\) serisinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(n^2 + x^2 \ge n^2\) olduğundan

\[0 < \frac{1}{n^2 + x^2} \le \frac{1}{n^2} = M_n\]

olur. \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) yakınsak olduğundan Teorem 7.2 gereği seri \(\mathbb{R}\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.2 (Kapalı Aralıkta Kuvvet Serisi) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}\) serisinin \([-1, 1]\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(|x| \le 1\) için \(\left| \dfrac{x^n}{n^2} \right| = \dfrac{|x|^n}{n^2} \le \dfrac{1}{n^2} = M_n\) olur ve \(\sum M_n\) yakınsaktır. Teorem 7.2 gereği seri \([-1, 1]\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.3 (Yakınsaklık Kümesini Bulma) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-nx}\) serisinin yakınsaklık kümesini bulunuz.

Çözüm

\(x\) sabit olsun; \(q = e^{-x} > 0\) yazılırsa seri \(\sum n q^n\) olur.

• \(x > 0\) ise \(0 < q < 1\)’dir. Oran testi: \(\dfrac{(n+1)q^{n+1}}{n q^n} = \dfrac{n+1}{n}\,q \to q < 1\); seri yakınsaktır.
• \(x \le 0\) ise \(q \ge 1\) ve genel terim \(n q^n \ge n\) olur; genel terim \(0\)’a gitmediğinden seri ıraksaktır.

Yakınsaklık kümesi \((0, +\infty)\) aralığıdır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.4 (Sıfırdan Uzakta Düzgün Yakınsaklık) \(a > 0\) olsun. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-nx}\) serisinin \([a, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu, \((0, +\infty)\) üzerinde ise düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.

Çözüm

\([a, +\infty)\) üzerinde. \(x \ge a\) için \(e^{-nx} \le e^{-na}\) olduğundan \(|n e^{-nx}| \le n e^{-na} = M_n\) olur. \(q = e^{-a} \in (0, 1)\) için \(\sum n q^n\) oran testi gereği yakınsaktır (Alıştırma 7.3). Teorem 7.2 gereği seri \([a, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

\((0, +\infty)\) üzerinde. Genel terim için \(x_n = \dfrac{1}{n} \in (0, +\infty)\) noktalarında

\[f_n(x_n) = n e^{-1} = \frac{n}{e} \to +\infty\]

olur; \(f_n(x_n) \not\to 0\). Teorem 3.2 gereği \(f_n\) dizisi \((0, +\infty)\) üzerinde \(0\)’a düzgün yakınsamaz. Düzgün yakınsaklığın gerek koşulu (Sonuç 7.1) sağlanmadığından seri \((0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.5 (Gerek Koşul Yeterli Değildir) \([0, 1)\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x^n}{n}\) için \(f_n \rightrightarrows 0\) olduğunu, ama \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\) serisinin \([0, 1)\) üzerinde düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Genel terim. \(x \in [0, 1)\) için \(0 \le \dfrac{x^n}{n} \le \dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan Teorem 3.1 gereği \(f_n \rightrightarrows 0\) (\([0, 1)\)).

Seri düzgün yakınsamaz. Cauchy kriterinin olumsuzunu kullanalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin; \(m = N\) ve \(n = 2N\) alalım. \(x \in [0, 1)\) için \(k \le 2N\) iken \(x^k \ge x^{2N}\) olduğundan

\[\sum_{k=N+1}^{2N} \frac{x^k}{k} \ge x^{2N} \sum_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k} \ge x^{2N} \cdot N \cdot \frac{1}{2N} = \frac{x^{2N}}{2}\]

olur. \(x \to 1^-\) iken \(x^{2N} \to 1\) olduğundan \(x_N^{2N} \ge \dfrac{1}{2}\) olacak biçimde bir \(x_N \in [0, 1)\) vardır (örneğin \(x_N = 2^{-1/(2N)}\)). Bu nokta için

\[\left| \sum_{k=N+1}^{2N} \frac{x_N^k}{k} \right| \ge \frac{1}{4} = \varepsilon_0\]

bulunur. Her \(N\) için böyle \(n, m \ge N\) ve \(x_N\) bulunduğundan Teorem 7.1 koşulu sağlanmaz; seri \([0, 1)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.6 (Toplamı Süreksiz Çıkan Seri) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} x^n(1 - x)\) serisinin \([0, 1]\) üzerindeki toplamını bulunuz. Seri \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsak mıdır?

Çözüm

\(x^n(1 - x) = x^n - x^{n+1}\) olduğundan kısmi toplam teleskopiktir:

\[S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \big(x^k - x^{k+1}\big) = x - x^{n+1}.\]

\(0 \le x < 1\) için \(x^{n+1} \to 0\) ve \(S_n(x) \to x\); \(x = 1\) için \(S_n(1) = 0 \to 0\). Toplam

\[S(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases}\]

fonksiyonudur. Her \(S_n\) sürekli, \(S\) ise \(x = 1\)’de süreksizdir; Sonuç 4.2 gereği seri \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsak değildir.

Genel terim \(x^n(1 - x)\) ise \([0, 1]\) üzerinde \(0\)’a düzgün yakınsar (Alıştırma 3.3); bu da gerek koşulun yeterli olmadığına ikinci bir örnektir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.7 (Üs Değişkenli Seri: Düzgün Yakınsaklık) \(a > 1\) olsun. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}\) serisinin \([a, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(x \ge a\) ve \(n \ge 1\) için \(n^x \ge n^a\) olduğundan

\[0 < \frac{1}{n^x} \le \frac{1}{n^a} = M_n\]

olur. \(a > 1\) olduğundan \(\sum \dfrac{1}{n^a}\) p-serisi yakınsaktır. Teorem 7.2 gereği seri \([a, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.8 (Üs Değişkenli Seri: Düzgün Yakınsamama) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}\) serisinin \((1, +\infty)\) üzerinde noktasal yakınsak olduğunu, ama düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Noktasal yakınsaklık. \(x > 1\) sabitken \(\sum \dfrac{1}{n^x}\) bir p-serisidir ve \(p = x > 1\) için yakınsaktır.

Düzgün yakınsamama. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin; \(m = N\), \(n = 2N\) alalım. \(x > 1\) ve \(N < k \le 2N\) için \(k^x \le (2N)^x\) olduğundan

\[\sum_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k^x} \ge N \cdot \frac{1}{(2N)^x} = \frac{N}{(2N)^x}\]

olur. \(x \to 1^+\) iken sağ yan \(\dfrac{N}{2N} = \dfrac{1}{2}\) sayısına yakınsar; dolayısıyla \(\dfrac{N}{(2N)^{x_N}} \ge \dfrac{1}{4}\) olacak biçimde bir \(x_N \in (1, +\infty)\) vardır. Bu nokta için

\[\left| \sum_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k^{x_N}} \right| \ge \frac{1}{4} = \varepsilon_0\]

bulunur. Teorem 7.1 koşulu sağlanmaz; seri \((1, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.9 (Dirichlet Testiyle Kosinüs Serisi) \(0 < \delta < \pi\) olsun. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{\sqrt{n}}\) serisinin \([\delta,\ 2\pi - \delta]\) aralığında düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(f_n(x) = \cos(nx)\) ve \(g_n(x) = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) alalım. \(g_n\) sabit fonksiyonları \(n\)’ye göre azalandır ve \(\dfrac{1}{\sqrt{n}} \to 0\) olduğundan \(g_n \rightrightarrows 0\).

Kısmi toplamlar için

\[2 \sin \frac{x}{2}\,\cos(kx) = \sin\left( \left(k + \tfrac{1}{2}\right)x \right) - \sin\left( \left(k - \tfrac{1}{2}\right)x \right)\]

özdeşliğini \(k = 1, \dots, n\) için toplayalım:

\[2 \sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) = \sin\left( \left(n + \tfrac{1}{2}\right)x \right) - \sin \frac{x}{2}.\]

Sağ yanın mutlak değeri en çok \(2\)’dir ve \(x \in [\delta, 2\pi - \delta]\) için \(\sin \dfrac{x}{2} \ge \sin \dfrac{\delta}{2} > 0\) olduğundan

\[\left| \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) \right| \le \frac{1}{\sin \frac{\delta}{2}}\]

olur. Teorem 7.3 gereği seri \([\delta, 2\pi - \delta]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 7.10 (Abel Testiyle Ağırlıklı Seri) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}\,e^{-nx}\) serisinin \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(f_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\) (sabit fonksiyon) ve \(g_n(x) = e^{-nx}\) alalım.

• \(\sum \dfrac{(-1)^n}{n}\) Leibniz testi gereği yakınsaktır; terimleri \(x\)’e bağlı olmadığından \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
• \(x \ge 0\) için \(e^{-(n+1)x} = e^{-x}\,e^{-nx} \le e^{-nx}\) olduğundan \(\big(g_n(x)\big)\) azalandır.
• \(x \ge 0\) için \(0 < e^{-nx} \le 1\) olduğundan \((g_n)\) düzgün sınırlıdır (\(K = 1\)).

Teorem 7.4 gereği seri \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır. M-testi uygulanamaz: \(\sup_{x \ge 0} \left| \dfrac{(-1)^n}{n} e^{-nx} \right| = \dfrac{1}{n}\) ve \(\sum \dfrac{1}{n}\) ıraksaktır. \(\blacksquare\)

Düzgün yakınsaklığı sınamanın yollarını gördük. Fonksiyon Serilerinin Özellikleri bölümünde düzgün yakınsak bir serinin toplamının sürekli olduğunu ve serinin terim terime integrallenip türevlenebildiğini gösteriyoruz.