4  Düzgün Yakınsaklık, Sınırlılık ve Süreklilik

Noktasal yakınsaklık bölümünün sonunda üç kötü haber vermiştik: sınırlı fonksiyonların noktasal limiti sınırsız, sürekli fonksiyonların noktasal limiti süreksiz, integrallenebilir fonksiyonların noktasal limiti integrallenemez olabiliyordu. Düzgün yakınsaklık bu üç kusuru da giderir. Bu bölümde ilk ikisini ele alıyoruz: düzgün limit, terimlerin sınırlılığını ve sürekliliğini korur.

Bu sonuçların bir yan ürünü de vardır: terimleri sürekli olan bir dizinin noktasal limiti süreksizse yakınsama düzgün olamaz. Böylece süreklilik teoremi, düzgün yakınsamamayı göstermenin en kısa yolunu da verir. Bölümün sonunda ters yönde bir soruya yanıt arıyoruz: noktasal yakınsaklık hangi ek koşullar altında kendiliğinden düzgün olur? Dini teoremi bu soruya monoton diziler için yanıt verir.

4.1 Noktasal ve Düzgün Sınırlılık

Bir fonksiyon dizisi için “sınırlı” sözcüğü iki farklı anlamda kullanılır; farkı yine sınırın \(x\)’e bağlı olup olmaması belirler.

Tanım 4.1 (Düzgün Sınırlılık) \((f_n)\) dizisi \(E \subseteq \mathbb{R}\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi olsun. Her \(x \in E\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için

\[|f_n(x)| \le M\]

olacak biçimde bir \(M > 0\) sayısı varsa \((f_n)\) dizisine \(E\) üzerinde düzgün sınırlıdır denir.

Yani tek bir \(M\) sayısı, dizinin bütün terimlerini \(E\)’nin bütün noktalarında birden sınırlar; bütün grafikler \(y = -M\) ile \(y = M\) doğruları arasındaki yatay şeritte kalır. Örneğin \([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x}{n}\) dizisi düzgün sınırlıdır: her \(x \in [0, 1]\) ve her \(n \ge 1\) için

\[|f_n(x)| = \frac{|x|}{n} \le \frac{1}{n} \le 1\]

olduğundan \(M = 1\) alınabilir.

Tanım 4.2 (Noktasal Sınırlılık) \((f_n)\) dizisi \(E \subseteq \mathbb{R}\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi olsun. Her \(x \in E\) için \(\big(f_n(x)\big)_{n \in \mathbb{N}}\) sayı dizisi sınırlıysa, yani her \(x \in E\) için

\[|f_n(x)| \le K_x \qquad (\text{her } n \in \mathbb{N})\]

olacak biçimde bir \(K_x > 0\) sayısı varsa \((f_n)\) dizisine \(E\) üzerinde noktasal sınırlıdır denir.

Yani her noktanın kendi sınırı vardır, ama bu sınırlar noktadan noktaya büyüyebilir. Düzgün sınırlı her dizi noktasal sınırlıdır: her \(x\) için \(K_x = M\) alınır. Tersi doğru değildir.

Örnek 4.1 (Noktasal Sınırlı Ama Düzgün Sınırlı Olmayan Dizi) \((0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{1}{nx}\) dizisinin noktasal sınırlı olduğunu, ama düzgün sınırlı olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Noktasal sınırlılık. \(x \in (0, 1]\) sabit olsun. Her \(n \ge 1\) için

\[|f_n(x)| = \frac{1}{nx} \le \frac{1}{x} = K_x\]

olur. Sınır \(K_x = \dfrac{1}{x}\), \(x\)’e bağlıdır.

Düzgün sınırlı değildir. Herhangi bir \(M > 0\) verilsin. \(n = 1\) ve \(x_M = \dfrac{1}{M + 1} \in (0, 1]\) için

\[|f_1(x_M)| = \frac{1}{x_M} = M + 1 > M\]

olur. Hiçbir \(M\) sayısı bütün terimleri bütün noktalarda sınırlayamaz; dizi düzgün sınırlı değildir. \(\blacksquare\)

Üçüncü bir durum da vardır ve öbür ikisiyle karıştırılmamalıdır: dizinin her terimi sınırlı bir fonksiyon olabilir. Bu, her \(n\) için

\[|f_n(x)| \le M_n \qquad (\text{her } x \in E)\]

olacak biçimde bir \(M_n > 0\) bulunması demektir; burada sınır \(n\)’ye bağlıdır. Üç kavramı yan yana koyalım:

Tablo 4.1: Fonksiyon dizilerinde üç sınırlılık kavramı

Kavram	Sınır neye bağlı olabilir?
Her terim sınırlı	\(n\)’ye (\(M_n\))
Noktasal sınırlı	\(x\)’e (\(K_x\))
Düzgün sınırlı	hiçbirine (\(M\))

Düzgün yakınsaklık, terimlerin sınırlılığını hem limite hem de dizinin bütününe taşır.

Teorem 4.1 (Düzgün Limit Sınırlılığı Korur) \(E \subseteq \mathbb{R}\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(f_n : E \to \mathbb{R}\) sınırlı bir fonksiyon olsun. \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)) ise:

1. \(f\), \(E\) üzerinde sınırlıdır;

2. \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde düzgün sınırlıdır.

İspat

Her \(n\) için \(f_n\) sınırlı olduğundan öyle \(M_n > 0\) sayıları vardır ki her \(x \in E\) için \(|f_n(x)| \le M_n\) olur.

(i) Düzgün yakınsaklık tanımını \(\varepsilon = 1\) için uygulayalım: öyle bir \(N_1 \in \mathbb{N}\) vardır ki \(n \ge N_1\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için

\[|f_n(x) - f(x)| < 1 \tag{1}\]

olur. Özel olarak \(n = N_1\) için de geçerlidir. Her \(x \in E\) için araya \(f_{N_1}(x)\) ekleyip çıkararak

\[|f(x)| \le |f(x) - f_{N_1}(x)| + |f_{N_1}(x)| < 1 + M_{N_1}\]

bulunur. \(M = 1 + M_{N_1}\) sayısı \(x\)’e bağlı değildir; \(f\) sınırlıdır.

(ii) \(n \ge N_1\) ve \(x \in E\) için \((1)\) eşitsizliği ve (i) ile

\[|f_n(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x)| < 1 + M\]

olur. Geriye sonlu sayıda terim kalır: \(n < N_1\) için \(|f_n(x)| \le M_n\). Öyleyse

\[M^* = \max\{M_1,\ M_2,\ \dots,\ M_{N_1 - 1},\ 1 + M\}\]

sayısı için her \(n \in \mathbb{N}\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x)| \le M^*\) olur. \((f_n)\) düzgün sınırlıdır. \(\blacksquare\)

Sonuç 4.1 (Sınırsız Limit Düzgün Yakınsaklığı Engeller) Sınırlı fonksiyonlardan oluşan bir dizinin \(E\) üzerindeki noktasal limiti sınırlı değilse yakınsama \(E\) üzerinde düzgün olamaz.

İspat

Yakınsama düzgün olsaydı düzgün limit noktasal limite eşit olurdu (Önerme 2.1) ve Teorem 4.1 (i) gereği sınırlı olurdu. Bu, limitin sınırsız olmasıyla çelişir. \(\blacksquare\)

Örnek 4.2 (Sınırsız Limitle Düzgün Yakınsamama) \((0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{n}{1 + nx}\) dizisinin noktasal yakınsadığını \(\varepsilon\)–\(N\) tanımıyla doğrulayınız ve yakınsamanın düzgün olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Örnek 1.7 çözümünde her \(f_n\)’nin sınırlı olduğunu (\(0 < f_n(x) < n\)) ve noktasal limitin \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) olduğunu gördük.

Tanımla doğrulama. \(\varepsilon > 0\) ve \(x \in (0, 1]\) verilsin.

\[ \begin{aligned} |f_n(x) - f(x)| &= \left| \frac{n}{1 + nx} - \frac{1}{x} \right| = \left| \frac{nx - (1 + nx)}{x\,(1 + nx)} \right| \\[1mm] &= \frac{1}{x\,(1 + nx)} < \frac{1}{x \cdot nx} = \frac{1}{nx^2} \end{aligned} \]

olur. \(\dfrac{1}{nx^2} < \varepsilon\) için \(n > \dfrac{1}{\varepsilon x^2}\) yeter; \(N(\varepsilon, x) = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon x^2} \right\rfloor + 1\) seçilir.

Düzgün yakınsamama. Her \(f_n\) sınırlıdır, ama noktasal limit \(f(x) = \dfrac{1}{x}\), \((0, 1]\) üzerinde sınırlı değildir. Sonuç 4.1 gereği yakınsama \((0, 1]\) üzerinde düzgün değildir. \(\blacksquare\)

4.2 Düzgün Limit Sürekliliği Korur

Bölümün ana teoremine geliyoruz. İspatı, analizde sık sık karşılaşılan “\(\varepsilon/3\) yöntemi”nin ilk örneğidir.

Teorem 4.2 (Düzgün Limit Sürekliliği Korur) \(E \subseteq \mathbb{R}\), \(a \in E\) ve \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)) olsun. Her \(f_n\) fonksiyonu \(a\) noktasında sürekliyse \(f\) de \(a\) noktasında süreklidir. Özel olarak her \(f_n\), \(E\) üzerinde sürekliyse \(f\) de \(E\) üzerinde süreklidir.

İspat

\(\varepsilon > 0\) verilsin. Amacımız, \(x \in E\) ve \(|x - a| < \delta\) olduğunda \(|f(x) - f(a)| < \varepsilon\) olacak biçimde bir \(\delta > 0\) bulmaktır.

Adım 1: Dizinin bir terimini sabitle. \(f_n \rightrightarrows f\) olduğundan öyle bir \(N = N(\varepsilon)\) vardır ki \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{3}\) olur. Özel olarak \(n = N\) için

\[|f_N(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3} \qquad (\text{her } x \in E) \tag{2}\]

sağlanır. Bu eşitsizlik \(x = a\) için de geçerlidir.

Adım 2: O terimin sürekliliğini kullan. \(f_N\), \(a\) noktasında sürekli olduğundan öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in E\) ve \(|x - a| < \delta\) olduğunda

\[|f_N(x) - f_N(a)| < \frac{\varepsilon}{3} \tag{3}\]

olur.

Adım 3: Üç parçayı birleştir. \(x \in E\) ve \(|x - a| < \delta\) olsun. Araya \(f_N(x)\) ve \(f_N(a)\) ekleyip çıkaralım:

\[ \begin{aligned} |f(x) - f(a)| &\le |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(a)| + |f_N(a) - f(a)| \\[1mm] &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \end{aligned} \]

Birinci ve üçüncü terim \((2)\) ile, ortadaki terim \((3)\) ile sınırlandı. Öyleyse \(f\), \(a\) noktasında süreklidir. Her \(f_n\), \(E\)’nin her noktasında sürekliyse aynı ispat her \(a \in E\) için geçerlidir ve \(f\), \(E\) üzerinde süreklidir. \(\blacksquare\)

İspatta düzgün yakınsaklığın nerede kullanıldığına dikkat edelim: \((2)\) eşitsizliğinin aynı \(N\) ile hem \(a\) noktasında hem de \(a\)’ya yakın bütün \(x\) noktalarında geçerli olması gerekiyordu. Noktasal yakınsaklıkta her \(x\) için ayrı bir \(N\) gerekir ve ortadaki terim için sabitlenecek tek bir \(f_N\) bulunamaz.

Teoremin bir başka okunuşu, iki limitin sırasının değiştirilebilmesidir. \(a \in E\), \(E\)’nin bir yığılma noktası ve her \(f_n\), \(a\)’da sürekli olsun. \(f_n\)’nin sürekliliği \(\lim_{x \to a} f_n(x) = f_n(a)\), \(f\)’nin sürekliliği \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) demektir. Dolayısıyla teoremin koşulları altında

\[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty}\Big( \lim_{x \to a} f_n(x) \Big) &= \lim_{n \to \infty} f_n(a) = f(a) \\[1mm] &= \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a}\Big( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \Big) \end{aligned} \]

olur: \(n \to \infty\) limiti ile \(x \to a\) limiti yer değiştirir.

Sonuç 4.2 (Süreksiz Limit Düzgün Yakınsaklığı Engeller) \(E\) üzerinde sürekli fonksiyonlardan oluşan bir dizi, \(E\) üzerinde sürekli olmayan bir fonksiyona noktasal yakınsıyorsa bu yakınsama düzgün olamaz.

İspat

Yakınsama düzgün olsaydı limit fonksiyonu Teorem 4.2 gereği \(E\) üzerinde sürekli olurdu. \(\blacksquare\)

Bu sonuç, düzgün yakınsamamayı hiç hesap yapmadan göstermeye yarar.

Örnek 4.3 (Süreksiz Limitle Kuvvet Dizisi) \(f_n(x) = x^n\) dizisinin \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamadığını Sonuç 4.2 ile gösteriniz.

Çözüm

Her \(f_n\), \([0, 1]\) üzerinde süreklidir. Noktasal limit, \([0, 1)\) üzerinde \(0\) ve \(x = 1\)’de \(1\) değerini alan \(f\) fonksiyonudur ve \(x = 1\) noktasında sürekli değildir (Örnek 1.5). Sonuç 4.2 gereği yakınsama \([0, 1]\) üzerinde düzgün değildir.

Aynı sonucu daha önce tanımın olumsuzuyla (Örnek 2.2), nokta dizisi testiyle (Örnek 3.2) ve supremum ölçütüyle (Örnek 3.4) elde etmiştik; bu yol hepsinden kısadır. \(\blacksquare\)

Örnek 4.4 (Uçta Kopan Bir Dizi) \([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = x - x^n\) dizisinin düzgün yakınsak olup olmadığını inceleyiniz.

Çözüm

Her \(f_n\) bir polinomdur ve \([0, 1]\) üzerinde süreklidir. \(0 \le x < 1\) için \(x^n \to 0\) olduğundan \(f_n(x) \to x\); \(x = 1\) için \(f_n(1) = 1 - 1 = 0\). Noktasal limit

\[f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases}\]

fonksiyonudur. \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \ne 0 = f(1)\) olduğundan \(f\), \(x = 1\) noktasında sürekli değildir. Sonuç 4.2 gereği dizi \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)

Sonuç 4.2 tek yönlüdür. Limit fonksiyonunun sürekli çıkması yakınsamanın düzgün olduğunu göstermez: Örnek 1.2 dizisinin terimleri ve noktasal limiti (\(f = 0\)) süreklidir, ama yakınsama düzgün değildir (Alıştırma 2.2).

Süreklilik yerine düzgün süreklilik alındığında da aynı koruma geçerlidir.

Sonuç 4.3 (Düzgün Limit Düzgün Sürekliliği Korur) \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)) olsun. Her \(f_n\), \(E\) üzerinde düzgün sürekliyse \(f\) de \(E\) üzerinde düzgün süreklidir.

İspat

\(\varepsilon > 0\) verilsin. Teorem 4.2 ispatındaki gibi öyle bir \(N\) seçelim ki her \(x \in E\) için \(|f_N(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{3}\) olsun. \(f_N\) düzgün sürekli olduğundan (bkz. Analiz 1) öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x, y \in E\) ve \(|x - y| < \delta\) olduğunda \(|f_N(x) - f_N(y)| < \dfrac{\varepsilon}{3}\) olur. Bu \(\delta\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. \(x, y \in E\) ve \(|x - y| < \delta\) için

\[ \begin{aligned} |f(x) - f(y)| &\le |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(y)| + |f_N(y) - f(y)| \\[1mm] &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \end{aligned} \]

olur. Öyleyse \(f\), \(E\) üzerinde düzgün süreklidir. \(\blacksquare\)

4.3 Monoton Yakınsama ve Dini Teoremi

Şimdiye kadar hep düzgün yakınsaklıktan sonuç çıkardık. Şimdi ters yönde soralım: noktasal yakınsaklıktan düzgün yakınsaklığa geçmenin bir yolu var mı? Genel olarak yoktur; ama kapalı ve sınırlı bir aralıkta, sürekli fonksiyonların sürekli bir limite monoton yakınsaması durumunda vardır.

Tanım 4.3 (Artarak ve Azalarak Yakınsama) \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\) fonksiyonuna noktasal yakınsasın.

• Her \(x \in E\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(f_n(x) \le f_{n+1}(x)\) ise \((f_n)\) dizisi \(f\)’ye artarak yakınsar denir ve \(f_n \uparrow f\) yazılır.
• Her \(x \in E\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(f_n(x) \ge f_{n+1}(x)\) ise \((f_n)\) dizisi \(f\)’ye azalarak yakınsar denir ve \(f_n \downarrow f\) yazılır.

İki durumdan biri gerçekleşiyorsa \((f_n)\) dizisi \(f\)’ye monoton yakınsar denir.

Yani monotonluk burada \(x\) değişkenine göre değil, \(n\) indisine göredir: her sabit \(x\) noktasında \(\big(f_n(x)\big)\) sayı dizisi monotondur. Grafiklerle söylersek, \(f_n \uparrow f\) durumunda her grafik bir öncekinin üstünde (ya da üzerinde) durur.

Teorem 4.3 (Dini Teoremi) \([a, b]\) kapalı ve sınırlı bir aralık, \((f_n)\) dizisi \([a, b]\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi ve \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) olsun. Aşağıdaki koşullar sağlansın:

1. her \(f_n\), \([a, b]\) üzerinde süreklidir;

2. her \(x \in [a, b]\) için \(\big(f_n(x)\big)_{n \in \mathbb{N}}\) sayı dizisi monotondur;

3. \(f\), \([a, b]\) üzerinde süreklidir;

4. \(f_n \to f\) (noktasal, \([a, b]\)).

O zaman \(f_n \rightrightarrows f\) (\([a, b]\)).

İspat

Her \(n\) için \(g_n(x) = |f(x) - f_n(x)|\) tanımlayalım.

Adım 1: \(g_n\) dizisinin özellikleri. (i) ve (iii) gereği \(f - f_n\) süreklidir; mutlak değer sürekli olduğundan \(g_n\) de \([a, b]\) üzerinde süreklidir. (iv) gereği her \(x\) için \(g_n(x) \to 0\) olur. Ayrıca her \(x\) için

\[g_{n+1}(x) \le g_n(x) \qquad (n \in \mathbb{N}) \tag{4}\]

sağlanır. Gerçekten, \(\big(f_n(x)\big)\) artan ise limiti hiçbir teriminden küçük değildir (bkz. Analiz 1); yani \(f_n(x) \le f_{n+1}(x) \le f(x)\) olur. Bu durumda \(g_n(x) = f(x) - f_n(x)\) ve \(g_{n+1}(x) = f(x) - f_{n+1}(x)\)’tir; \(f_n(x) \le f_{n+1}(x)\) olduğundan \(g_n(x) \ge g_{n+1}(x)\) çıkar. Azalan durumda \(f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \ge f(x)\) olur ve aynı eşitsizlik \(g_n(x) = f_n(x) - f(x)\) için elde edilir.

Adım 2: Her noktanın çevresinde bir indis yeter. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(x \in [a, b]\) sabit olsun. \(g_n(x) \to 0\) olduğundan \(g_{N_x}(x) < \varepsilon\) olacak biçimde bir \(N_x \in \mathbb{N}\) vardır. \(g_{N_x}\) fonksiyonu \(x\) noktasında sürekli olduğundan öyle bir \(\delta_x > 0\) vardır ki

\[y \in [a, b],\ \ |y - x| < \delta_x \quad \Longrightarrow \quad g_{N_x}(y) < \varepsilon \tag{5}\]

olur. (Süreklilik tanımı \(\varepsilon - g_{N_x}(x) > 0\) sayısı için uygulanır.) \(I_x = (x - \delta_x,\ x + \delta_x)\) yazalım.

Adım 3: Kompaktlık. \(\{I_x : x \in [a, b]\}\) ailesi \([a, b]\)’nin bir açık örtüsüdür, çünkü her \(x\) kendi \(I_x\) aralığına aittir. \([a, b]\) kapalı ve sınırlı olduğundan Heine–Borel teoremi (bkz. Analiz 1) gereği kompakttır; bu örtünün sonlu bir alt örtüsü vardır. Yani öyle \(x_1, x_2, \dots, x_k \in [a, b]\) noktaları vardır ki

\[[a, b] \subseteq I_{x_1} \cup I_{x_2} \cup \dots \cup I_{x_k}\]

olur.

Adım 4: Ortak indis. \(N = \max\{N_{x_1}, N_{x_2}, \dots, N_{x_k}\}\) alalım; bu sayı yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. \(n \ge N\) ve \(y \in [a, b]\) olsun. \(y\), örtünün aralıklarından en az birine aittir: \(y \in I_{x_i}\). \(n \ge N \ge N_{x_i}\) olduğundan \((4)\) eşitsizliğinin art arda uygulanması ve \((5)\) ile

\[|f_n(y) - f(y)| = g_n(y) \le g_{N_{x_i}}(y) < \varepsilon\]

bulunur. Bu, \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(y \in [a, b]\) için geçerlidir; \(f_n \rightrightarrows f\) (\([a, b]\)). \(\blacksquare\)

İspatın iki kilit adımı, koşulların nerede kullanıldığını da gösterir. Monotonluk, bir noktada \(N_x\) indisiyle yakalanan küçüklüğün sonraki bütün indislere taşınmasını sağlar (\((4)\) eşitsizliği). Kompaktlık ise sonsuz çoklukta \(N_x\) sayısını sonlu sayıya indirip maksimum almayı olanaklı kılar.

Örnek 4.5 (Dini Teoremiyle Üstel Fonksiyona Yaklaşım) \([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n}\) dizisinin \(f(x) = e^x\) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösteriniz.

Çözüm

\([0, 1]\) kapalı ve sınırlı bir aralıktır. Dini teoreminin dört koşulunu sırayla denetleyelim.

(i) Süreklilik. Her \(f_n\) bir polinomdur; \([0, 1]\) üzerinde süreklidir.

(iv) Noktasal limit. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(\lim_{n \to \infty}\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n} = e^x\)’tir (bkz. Analiz 1). Özel olarak \(f_n(0) = 1 \to 1 = e^0\) ve \(f_n(1) = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} \to e\).

(iii) Limitin sürekliliği. \(f(x) = e^x\) her yerde, dolayısıyla \([0, 1]\) üzerinde süreklidir.

(ii) Monotonluk. \(x \in [0, 1]\) sabit olsun; \(f_n(x) \le f_{n+1}(x)\) olduğunu gösterelim. \(x = 0\) için iki yan da \(1\)’dir. \(x > 0\) için oranı yazalım:

\[\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} = \left(1 + \frac{x}{n+1}\right) \cdot \left( \frac{1 + \frac{x}{n+1}}{1 + \frac{x}{n}} \right)^{n}.\]

Parantez içindeki kesir

\[\frac{1 + \frac{x}{n+1}}{1 + \frac{x}{n}} = \frac{n\,(n + 1 + x)}{(n+1)(n + x)} = 1 - \frac{x}{(n+1)(n+x)}\]

olur. \(t = \dfrac{x}{(n+1)(n+x)} \in (0, 1)\) için Bernoulli eşitsizliği (bkz. Analiz 1) \((1 - t)^n \ge 1 - nt\) verir. Dolayısıyla

\[ \begin{aligned} \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} &\ge \frac{n + 1 + x}{n + 1} \cdot \left( 1 - \frac{nx}{(n+1)(n+x)} \right) \\[1mm] &= \frac{(n + 1 + x)(n^2 + n + x)}{(n+1)^2 (n + x)}. \end{aligned} \]

Pay ile paydanın farkını hesaplayalım:

\[(n + 1 + x)(n^2 + n + x) - (n+1)^2(n + x) = x^2 \ge 0.\]

Öyleyse oran en az \(1\)’dir: \(f_n(x) \le f_{n+1}(x)\). Dizi her noktada artandır; \(f_n \uparrow e^x\).

Dört koşul da sağlandığından Teorem 4.3 gereği \(\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n} \rightrightarrows e^x\) (\([0, 1]\)). \(\blacksquare\)

Dini teoreminin koşullarından hiçbiri atılamaz. Aralığın sınırlılığı için \([0, +\infty)\) üzerindeki \(f_n(x) = \dfrac{x}{n}\) dizisi yeterlidir: terimler süreklidir, \(f_n \downarrow 0\) olur ve limit süreklidir, ama yakınsama düzgün değildir (Örnek 2.4). Terimlerin sürekliliği için \([0, 1]\) üzerinde, \(0 < x < \dfrac{1}{n}\) iken \(1\), öbür noktalarda \(0\) değerini alan \(f_n\) fonksiyonlarına bakalım: \(f_n \downarrow 0\) olur ve limit süreklidir, ama \(\sup |f_n| = 1\) olduğundan yakınsama düzgün değildir. Kalan üç koşul için birer örnek çözelim; her birinde tam olarak bir koşul bozulur ve sonuç çöker.

Örnek 4.6 (Aralık Kapalı Değilse Dini Teoremi Geçersizdir) \((0, 1)\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{1}{nx + 1}\) dizisinin sürekli fonksiyonlardan oluştuğunu, sürekli bir limite azalarak yakınsadığını, ama yakınsamanın düzgün olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Süreklilik ve noktasal limit. \(x \in (0, 1)\) için \(nx + 1 > 0\) olduğundan her \(f_n\) süreklidir. \(x > 0\) sabitken \(nx + 1 \to +\infty\) olduğundan \(f_n(x) \to 0\); limit \(f = 0\) süreklidir.

Monotonluk. \(x \in (0, 1)\) için \(nx + 1 < (n+1)x + 1\) olduğundan

\[f_n(x) = \frac{1}{nx + 1} > \frac{1}{(n+1)x + 1} = f_{n+1}(x)\]

olur; \(f_n \downarrow 0\).

Düzgün yakınsamama. \(x \mapsto \dfrac{1}{nx + 1}\) fonksiyonu \((0, 1)\) üzerinde azalandır; çünkü türevi \(\dfrac{-n}{(nx + 1)^2} < 0\)’dır. Dolayısıyla değerleri sol uca yaklaştıkça büyür ve

\[d_n = \sup_{x \in (0, 1)} \left| \frac{1}{nx + 1} - 0 \right| = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{nx + 1} = 1\]

olur. (\(x = 0\) noktası kümede olmadığından bu supremum alınmaz.) \(d_n = 1 \not\to 0\) olduğundan Teorem 3.3 gereği yakınsama \((0, 1)\) üzerinde düzgün değildir.

Dini teoreminin (i)–(iv) koşulları sağlanmaktadır; bozulan tek şey aralığın kapalı olmamasıdır. \(\blacksquare\)

Örnek 4.7 (Limit Sürekli Değilse Dini Teoremi Geçersizdir) \([-1, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = x^{1/(2n-1)} = \sqrt[2n-1]{x}\) dizisinin düzgün yakınsak olup olmadığını inceleyiniz.

Çözüm

\(2n - 1\) tek sayı olduğundan kök negatif \(x\)’ler için de tanımlıdır ve her \(f_n\), \([-1, 1]\) üzerinde süreklidir.

Noktasal limit. Dört durumu ayıralım.

• \(x = 0\) için \(f_n(0) = 0 \to 0\).
• \(x = 1\) için \(f_n(1) = 1 \to 1\); \(x = -1\) için \(f_n(-1) = -1 \to -1\).
• \(0 < x < 1\) için \(\big(\sqrt[2n-1]{x}\big)\) dizisi, \(\sqrt[k]{x} \to 1\) limitinin (\(k \to \infty\)) tek indisli alt dizisidir; dolayısıyla \(f_n(x) \to 1\). Bu dizi \(n\)’ye göre artandır ve üstten \(1\) ile sınırlıdır.
• \(-1 < x < 0\) için \(f_n(x) = -\sqrt[2n-1]{|x|} \to -1\). Bu dizi \(n\)’ye göre azalandır ve alttan \(-1\) ile sınırlıdır.

Noktasal limit

\[f(x) = \begin{cases} -1, & -1 \le x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & 0 < x \le 1 \end{cases}\]

fonksiyonudur.

Düzgün yakınsamama. Her \(f_n\) sürekli olduğu hâlde \(f\), \(x = 0\) noktasında sürekli değildir. Sonuç 4.2 gereği yakınsama \([-1, 1]\) üzerinde düzgün değildir.

Dini teoremi açısından: aralık kapalı ve sınırlıdır, terimler süreklidir, her noktada dizi monotondur; bozulan tek koşul limitin sürekliliğidir. \(\blacksquare\)

Örnek 4.8 (Monotonluk Yoksa Dini Teoremi Geçersizdir) Kapalı ve sınırlı bir aralıkta, sürekli fonksiyonlardan oluşan ve sürekli bir limite noktasal yakınsayan, ama düzgün yakınsamayan bir dizi veriniz.

Çözüm

\([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{2nx}{1 + n^2x^2}\) alalım. Her \(f_n\) süreklidir, noktasal limit \(f = 0\) süreklidir (Örnek 1.2) ve yakınsama düzgün değildir (Alıştırma 2.2).

Bozulan koşul monotonluktur. Örneğin \(x = \dfrac{1}{2}\) noktasında

\[f_1\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5}, \qquad f_2\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{2}{1 + 1} = 1, \qquad f_3\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{3}{1 + \frac{9}{4}} = \frac{12}{13}\]

olur: dizi önce artar, sonra azalır. \(\blacksquare\)

4.4 Alıştırmalar

Alıştırma 4.1 (Düzgün Sınırlı Dizinin Noktasal Limiti) \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde düzgün sınırlı olsun ve \(f_n \to f\) (noktasal, \(E\)) olsun. \(f\)’nin \(E\) üzerinde sınırlı olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Düzgün sınırlılık gereği öyle bir \(M > 0\) vardır ki her \(x \in E\) ve her \(n\) için \(|f_n(x)| \le M\), yani \(-M \le f_n(x) \le M\) olur. \(x \in E\) sabitlensin. \(\big(f_n(x)\big)\) dizisinin bütün terimleri \([-M, M]\) aralığındadır ve dizi \(f(x)\)’e yakınsar. Limitlerde sıralama korunduğundan (bkz. Analiz 1) \(-M \le f(x) \le M\) olur. \(x\) keyfi olduğundan her \(x \in E\) için \(|f(x)| \le M\)’dir; \(f\) sınırlıdır.

Burada yakınsamanın düzgün olması gerekmedi; düzgünlük koşulu dizinin sınırlılığına yüklendi. \(\blacksquare\)

Alıştırma 4.2 (Kesilmiş Fonksiyonlar) \((0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \min\left\{ n,\ \dfrac{1}{x} \right\}\) dizisinin noktasal sınırlı olduğunu, düzgün sınırlı olmadığını ve düzgün yakınsamadığını gösteriniz.

Çözüm

Noktasal sınırlılık. Her \(x \in (0, 1]\) ve her \(n\) için \(0 < f_n(x) \le \dfrac{1}{x}\) olur; \(K_x = \dfrac{1}{x}\) alınır.

Düzgün sınırlı değildir. \(x_n = \dfrac{1}{n}\) için \(f_n(x_n) = \min\{n, n\} = n\) olur. Herhangi bir \(M > 0\) için \(n > M\) seçilirse \(f_n(x_n) > M\) olur; ortak bir sınır yoktur.

Düzgün yakınsamama. \(x \in (0, 1]\) sabitken \(n \ge \dfrac{1}{x}\) olan her \(n\) için \(f_n(x) = \dfrac{1}{x}\)’tir; dolayısıyla noktasal limit \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) olur ve sınırlı değildir. Her \(f_n\) ise \(n\) ile sınırlıdır. Sonuç 4.1 gereği yakınsama \((0, 1]\) üzerinde düzgün değildir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 4.3 (Üç Bölgeli Süreksiz Limit) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{1}{1 + x^{2n}}\) dizisinin noktasal limitini bulunuz ve yakınsamanın \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün olmadığını gösteriniz.

Çözüm

\(x^{2n} = (x^2)^n\) bir geometrik dizidir; davranışı \(x^2\)’nin \(1\)’e göre konumuna bağlıdır.

• \(|x| < 1\) ise \(x^{2n} \to 0\) ve \(f_n(x) \to 1\).
• \(|x| = 1\) ise \(x^{2n} = 1\) ve \(f_n(x) = \dfrac{1}{2}\).
• \(|x| > 1\) ise \(x^{2n} \to +\infty\) ve \(f_n(x) \to 0\).

Noktasal limit

\[f(x) = \begin{cases} 1, & |x| < 1 \\[1mm] \dfrac{1}{2}, & |x| = 1 \\[1mm] 0, & |x| > 1 \end{cases}\]

fonksiyonudur. Her \(f_n\) bütün \(\mathbb{R}\)’de süreklidir (payda hiç sıfır olmaz), ama \(f\), \(x = 1\) ve \(x = -1\) noktalarında sürekli değildir. Sonuç 4.2 gereği yakınsama \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün değildir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 4.4 (Kosinüsün Kuvvetleri: Bütün Aralık) \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) üzerinde \(f_n(x) = \cos^n x\) dizisinin düzgün yakınsamadığını gösteriniz.

Çözüm

\(x = 0\) için \(f_n(0) = 1 \to 1\). \(0 < x \le \dfrac{\pi}{2}\) için \(0 \le \cos x < 1\) olduğundan \(\cos^n x \to 0\). Noktasal limit

\[f(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\ 0, & 0 < x \le \dfrac{\pi}{2} \end{cases}\]

fonksiyonudur ve \(x = 0\)’da sürekli değildir: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \ne 1 = f(0)\). Her \(f_n\) sürekli olduğundan Sonuç 4.2 gereği yakınsama düzgün değildir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 4.5 (Kosinüsün Kuvvetleri: Sıfırdan Uzakta) \(0 < \delta < \dfrac{\pi}{2}\) olsun. \(f_n(x) = \cos^n x\) dizisinin \(\left[\delta, \dfrac{\pi}{2}\right]\) üzerinde düzgün yakınsadığını Dini teoremiyle gösteriniz ve sonucu supremum ölçütüyle doğrulayınız.

Çözüm

Dini teoremi. Aralık kapalı ve sınırlıdır. Her \(f_n\) süreklidir. Bu aralıkta \(0 \le \cos x < 1\) olduğundan noktasal limit \(f = 0\)’dır ve süreklidir. Ayrıca \(0 \le \cos x \le 1\) için

\[f_{n+1}(x) = \cos x \cdot \cos^n x \le \cos^n x = f_n(x)\]

olur; \(f_n \downarrow 0\). Teorem 4.3 gereği \(\cos^n x \rightrightarrows 0\) \(\left(\left[\delta, \tfrac{\pi}{2}\right]\right)\).

Supremum ölçütü. Kosinüs \(\left[\delta, \dfrac{\pi}{2}\right]\) üzerinde azalan ve negatif olmayan bir fonksiyondur; dolayısıyla \(\cos^n x\) de azalandır ve en büyük değerini sol uçta alır:

\[d_n = \sup_{x \in [\delta, \pi/2]} \cos^n x = \cos^n \delta.\]

\(0 < \cos \delta < 1\) olduğundan \(d_n \to 0\) ve Teorem 3.3 aynı sonucu verir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 4.6 (Yer Değiştirmeyen İki Limit) \([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{nx}{1 + nx}\) için \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\Big(\lim_{x \to 0^+} f_n(x)\Big)\) ve \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\Big(\lim_{n \to \infty} f_n(x)\Big)\) limitlerini hesaplayınız.

Çözüm

Önce \(x\), sonra \(n\). Her \(f_n\), \(x = 0\)’da süreklidir: \(\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = f_n(0) = 0\). Dolayısıyla

\[\lim_{n \to \infty}\Big(\lim_{x \to 0^+} f_n(x)\Big) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0.\]

Önce \(n\), sonra \(x\). Alıştırma 1.2 gereği \(x > 0\) için \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 1\)’dir. Dolayısıyla

\[\lim_{x \to 0^+}\Big(\lim_{n \to \infty} f_n(x)\Big) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1.\]

İki limit farklıdır: \(0 \ne 1\). Limitler yer değiştirmez; bunun nedeni yakınsamanın \([0, 1]\) üzerinde düzgün olmamasıdır (Alıştırma 2.5). Düzgün yakınsaklık olsaydı Teorem 4.2 iki limitin eşit olmasını zorunlu kılardı. \(\blacksquare\)

Alıştırma 4.7 (Dini Teoremiyle Mutlak Değere Yaklaşım) \([-1, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{n}}\) dizisinin \(f(x) = |x|\) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını Dini teoremiyle gösteriniz.

Çözüm

Dört koşulu denetleyelim; aralık kapalı ve sınırlıdır.

• Süreklilik. \(x^2 + \dfrac{1}{n} > 0\) olduğundan her \(f_n\) süreklidir.
• Noktasal limit. \(x\) sabitken \(x^2 + \dfrac{1}{n} \to x^2\) ve karekök sürekli olduğundan \(f_n(x) \to \sqrt{x^2} = |x|\).
• Limitin sürekliliği. \(f(x) = |x|\) süreklidir.
• Monotonluk. \(\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n}\) ve karekök artan olduğundan \(f_{n+1}(x) < f_n(x)\) olur; \(f_n \downarrow |x|\).

Teorem 4.3 gereği \(f_n \rightrightarrows |x|\) (\([-1, 1]\)). \(\blacksquare\)

Düzgün yakınsaklığın sınırlılığı ve sürekliliği koruduğunu gördük. Üç kötü haberden geriye integrallenebilirlik kaldı; Düzgün Yakınsaklık ve İntegral bölümünde düzgün limitin integrallenebilirliği de koruduğunu ve limit ile integralin yer değiştirdiğini gösteriyoruz.