3 Düzgün Yakınsaklık Ölçütleri
Düzgün Yakınsaklık bölümünde her örnekte tanıma geri dönüp uygun bir \(N(\varepsilon)\) ya da uygun \(x_N\) noktaları aradık. Bu bölümde aynı işi daha az emekle yapan dört ölçüt kuruyoruz. İlk ikisi tek yönlüdür: biri düzgün yakınsaklığı, öbürü düzgün yakınsamamayı göstermeye yarar. Üçüncüsü olan supremum ölçütü bir gerek ve yeter koşuldur ve uygulamada en çok kullanılan araçtır. Dördüncüsü olan Cauchy kriteri ise limit fonksiyonu bilinmeden de çalışır.
3.1 Sıfır Dizisiyle Sınırlama
En sık kullanılan fikir, \(|f_n(x) - f(x)|\) farkını \(x\) içermeyen bir sayıyla sınırlamaktır.
Teorem 3.1 (Sıfır Dizisiyle Sınırlama Ölçütü) \((f_n)\) dizisi ve \(f\) fonksiyonu \(E\) üzerinde tanımlı olsun. Öyle bir \((\alpha_n)\) reel sayı dizisi bulunsun ki her \(n \in \mathbb{N}\) ve her \(x \in E\) için
\[|f_n(x) - f(x)| \le \alpha_n \qquad \text{ve} \qquad \lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0\]
olsun. O zaman \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)).
İspat
\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\alpha_n \to 0\) olduğundan öyle bir \(N = N(\varepsilon)\) vardır ki \(n \ge N\) için \(|\alpha_n| < \varepsilon\) olur. Koşul gereği \(\alpha_n \ge |f_n(x) - f(x)| \ge 0\) olduğundan \(|\alpha_n| = \alpha_n\)’dir. Öyleyse \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için
\[|f_n(x) - f(x)| \le \alpha_n < \varepsilon\]
olur. \((\alpha_n)\) dizisi \(x\)’e bağlı olmadığından \(N\) de \(x\)’e bağlı değildir. Bu, düzgün yakınsaklığın tanımıdır. \(\blacksquare\)
Koşulun her \(n\) yerine bir \(n_0\)’dan sonraki \(n\)’ler için sağlanması da yeter; ispatta \(N\) yerine \(\max\{N, n_0\}\) alınır.
Örnek 3.1 (Sınırlama Ölçütüyle Kuvvet Dizisi) \(f_n(x) = x^n\) dizisinin \(\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\) aralığında düzgün yakınsadığını Teorem 3.1 ile gösteriniz.
Çözüm
Noktasal limit bu aralıkta \(f(x) = 0\)’dır. \(x \mapsto x^n\) artan olduğundan her \(x \in \left[0, \dfrac{1}{2}\right]\) ve her \(n\) için
\[|x^n - 0| = x^n \le \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \alpha_n\]
olur. \(\alpha_n = \dfrac{1}{2^n} \to 0\) olduğundan Teorem 3.1 gereği \(x^n \rightrightarrows 0\) \(\left(\left[0, \tfrac{1}{2}\right]\right)\). \(\blacksquare\)
3.2 Nokta Dizisiyle Düzgün Yakınsamama
Düzgün yakınsamamayı göstermek için \(E\)’den uygun noktalar seçmek yeterlidir.
Teorem 3.2 (Nokta Dizisi Testi) \((f_n)\) dizisi ve \(f\) fonksiyonu \(E\) üzerinde tanımlı olsun. Terimleri \(E\)’de olan öyle bir \((x_n)\) dizisi bulunsun ki
\[\big(f_n(x_n) - f(x_n)\big)_{n \in \mathbb{N}}\]
sayı dizisi \(0\)’a yakınsamasın. O zaman \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\)’ye düzgün yakınsamaz.
İspat
Karşıt tersini ispatlayalım: \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)) ise terimleri \(E\)’de olan her \((x_n)\) dizisi için \(f_n(x_n) - f(x_n) \to 0\) olur.
\(\varepsilon > 0\) verilsin. Düzgün yakınsaklık gereği öyle bir \(N\) vardır ki \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\) olur. \(x_n \in E\) olduğundan bu eşitsizlik özel olarak \(x = x_n\) için de sağlanır: \(n \ge N\) için
\[|f_n(x_n) - f(x_n)| < \varepsilon.\]
Bu, \(f_n(x_n) - f(x_n) \to 0\) demektir. \(\blacksquare\)
Uygulamada \((x_n)\) dizisi, \(f_n\)’nin \(f\)’den en çok ayrıldığı yere yerleştirilir: bir tepe noktasına ya da sorunlu bir uç noktanın yakınına.
Örnek 3.2 (Nokta Dizisi Testiyle Kuvvet Dizisi) \(f_n(x) = x^n\) dizisinin \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamadığını Teorem 3.2 ile gösteriniz.
Çözüm
Noktasal limit, \([0, 1)\) üzerinde \(f = 0\) ve \(f(1) = 1\)’dir. Sorunlu nokta \(x = 1\) olduğundan ona yaklaşan \(x_n = 1 - \dfrac{1}{n}\) dizisini seçelim; \(x_n \in [0, 1)\) olduğundan \(f(x_n) = 0\)’dır.
\[f_n(x_n) - f(x_n) = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n} \to \frac{1}{e} \ne 0\]
olur (bkz. Analiz 1). Dizi \(0\)’a yakınsamadığından Teorem 3.2 gereği \((f_n)\), \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)
3.3 Supremum Ölçütü
Düzgün yakınsaklık tanımı, “\(|f_n(x) - f(x)|\) farkı bütün \(x\)’ler için aynı anda küçük” der. Bütün \(x\)’ler üzerinden en büyük farkı tek bir sayıda toplarsak düzgün yakınsaklık bir sayı dizisinin limitine indirgenir.
\((f_n)\) ve \(f\), \(E\) üzerinde tanımlı olsun. Her \(n\) için
\[d_n = \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)|\]
yazalım. \(|f_n - f|\) fonksiyonu \(E\) üzerinde sınırlı değilse \(d_n = +\infty\) kabul edilir; böylece \(d_n \in [0, +\infty]\) olur.
Teorem 3.3 (Supremum Ölçütü) \((f_n)\) dizisi ve \(f\) fonksiyonu \(E \subseteq \mathbb{R}\) üzerinde tanımlı olsun. \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)) olması için gerek ve yeter koşul
\[\lim_{n \to \infty}\ \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| = 0\]
olmasıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Tanımı \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) için uygulayalım: öyle bir \(N\) vardır ki \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. Öyleyse \(n \ge N\) için \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) sayısı \(\{|f_n(x) - f(x)| : x \in E\}\) kümesinin bir üst sınırıdır. Supremum en küçük üst sınır olduğundan
\[d_n = \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \qquad (n \ge N)\]
olur. Bu, \(d_n \to 0\) demektir.
(\(\Leftarrow\)) \(d_n \to 0\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Öyle bir \(N\) vardır ki \(n \ge N\) için \(d_n < \varepsilon\) olur. Supremum bir üst sınır olduğundan her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| \le d_n\)’dir. Dolayısıyla \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için
\[|f_n(x) - f(x)| \le d_n < \varepsilon\]
olur. \(N\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır; \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)). \(\blacksquare\)
Ölçütün olumsuzu da aynı sıklıkta kullanılır: \((d_n)\) dizisi \(0\)’a yakınsamıyorsa \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\)’ye düzgün yakınsamaz. Supremumun \(E\) kümesi üzerinden alındığına ve sonucun yalnız \(n\)’ye bağlı bir sayı dizisi olduğuna dikkat edelim; küme değişirse \(d_n\) de değişir.
- Noktasal limit. \(f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)\) bulunur.
- Fark fonksiyonu. \(g_n(x) = |f_n(x) - f(x)|\) yazılır.
- Supremum. \(d_n = \sup_{x \in E} g_n(x)\) hesaplanır. \(g_n\) türevlenebilirse \(g_n'(x) = 0\) denkleminin kökleri ve \(E\)’nin uç noktaları incelenir; \(g_n\) monotonsa supremum bir uçtadır (uç kümeye ait olmayabilir, o zaman supremum o uçtaki limittir).
- Limit. \(d_n \to 0\) ise yakınsama düzgündür; değilse düzgün değildir.
Örnek 3.3 (Türevle Supremum Hesabı) \(E = [0, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = x e^{-nx}\) ile tanımlı \((f_n)\) dizisi düzgün yakınsak mıdır?
Çözüm
Adım 1: Noktasal limit. \(x = 0\) için her \(n\)’de \(f_n(0) = 0\)’dır. \(x > 0\) için \(e^x > 1\), yani \(0 < \dfrac{1}{e^x} < 1\) olduğundan
\[\lim_{n \to \infty} x e^{-nx} = x \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{e^x} \right)^{n} = x \cdot 0 = 0\]
olur. Noktasal limit \(f(x) = 0\)’dır.
Adım 2: Fark fonksiyonu. \(x \ge 0\) için \(g_n(x) = |x e^{-nx} - 0| = x e^{-nx}\).
Adım 3: Supremum. \(g_n\) türevlenebilirdir ve
\[g_n'(x) = e^{-nx} - n x e^{-nx} = (1 - nx)\,e^{-nx}\]
olur. \(e^{-nx} > 0\) olduğundan \(g_n'(x) = 0\) yalnız \(x = \dfrac{1}{n}\) için sağlanır. \(0 \le x < \dfrac{1}{n}\) için \(g_n' > 0\), \(x > \dfrac{1}{n}\) için \(g_n' < 0\)’dır:
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{n}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g_n'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(g_n(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\dfrac{1}{en}\) | \(\searrow\) |
\(g_n\) önce artıp sonra azaldığından en büyük değerini \(x = \dfrac{1}{n}\) noktasında alır:
\[d_n = \sup_{x \ge 0} x e^{-nx} = \frac{1}{n}\,e^{-n \cdot \frac{1}{n}} = \frac{1}{en}.\]
Adım 4: Limit. \(d_n = \dfrac{1}{en} \to 0\) olduğundan Teorem 3.3 gereği \(x e^{-nx} \rightrightarrows 0\) (\([0, +\infty)\)).
Örnek 1.2 ile karşılaştıralım: orada tepeler sola kayıyor ama alçalmıyordu; burada hem sola kayıyor hem de \(\dfrac{1}{en}\) yüksekliğiyle alçalıyor. \(\blacksquare\)
Örnek 3.4 (Supremum Ölçütüyle Kuvvet Dizisi) \(f_n(x) = x^n\) dizisinin \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamadığını supremum ölçütüyle gösteriniz.
Çözüm
Noktasal limit, \([0, 1)\) üzerinde \(f = 0\) ve \(f(1) = 1\)’dir. Fark fonksiyonu
\[|f_n(x) - f(x)| = \begin{cases} x^n, & 0 \le x < 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases}\]
olur. \(x \mapsto x^n\) fonksiyonu \([0, 1)\) üzerinde artandır ve \(x \to 1^-\) iken \(x^n \to 1\) olur. Öyleyse farkın aldığı değerler \([0, 1)\) aralığını doldurur ve
\[d_n = \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{0 \le x < 1} x^n = 1\]
bulunur. Bu supremum hiçbir noktada alınmaz; yine de supremumdur. \(d_n = 1\) sabit dizisi \(0\)’a yakınsamadığından Teorem 3.3 gereği \((f_n)\) dizisi \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)
3.4 Düzgün Yakınsaklık için Cauchy Kriteri
Şimdiye kadarki bütün ölçütler limit fonksiyonu \(f\)’yi bilmeyi gerektiriyordu. Sayı dizilerinde Cauchy ölçütü, limiti bilmeden yakınsaklığı göstermeye yarar (bkz. Analiz 1). Aynı fikrin düzgün sürümünü kuralım.
Tanım 3.1 (Düzgün Cauchy Dizisi) \((f_n)\) dizisi \(E \subseteq \mathbb{R}\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}\) varsa ki \(n, m \ge N\) olan her \(n, m\) ve her \(x \in E\) için
\[|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon\]
olsun, o zaman \((f_n)\) dizisine \(E\) üzerinde düzgün Cauchy dizisi denir.
Yani yeterince ileri gidildiğinde dizinin terimleri, \(E\)’nin bütün noktalarında aynı anda birbirine yakındır. Tanımda limit fonksiyonu hiç geçmez.
Teorem 3.4 (Düzgün Yakınsaklık için Cauchy Kriteri) \(E \subseteq \mathbb{R}\) üzerinde tanımlı bir \((f_n)\) fonksiyon dizisinin \(E\) üzerinde düzgün yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, \(E\) üzerinde düzgün Cauchy dizisi olmasıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Öyle bir \(N\) vardır ki \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. Aynı eşitsizlik \(m \ge N\) için de geçerlidir. Öyleyse \(n, m \ge N\) ve \(x \in E\) için araya \(f(x)\) ekleyip çıkararak
\[ \begin{aligned} |f_n(x) - f_m(x)| &= \big|\big(f_n(x) - f(x)\big) + \big(f(x) - f_m(x)\big)\big| \\[1mm] &\le |f_n(x) - f(x)| + |f_m(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned} \]
bulunur. \((f_n)\) düzgün Cauchy dizisidir.
(\(\Leftarrow\)) \((f_n)\), \(E\) üzerinde düzgün Cauchy dizisi olsun.
Adım 1: Limit adayı. \(x \in E\) sabit olsun. Düzgün Cauchy koşulu özel olarak bu \(x\) için \(\big(f_n(x)\big)\) sayı dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu söyler. \(\mathbb{R}\)’de her Cauchy dizisi yakınsak olduğundan bu dizinin bir limiti vardır; ona \(f(x)\) diyelim. Böylece bir \(f : E \to \mathbb{R}\) fonksiyonu tanımlanır ve \(f_n \to f\) (noktasal, \(E\)) olur.
Adım 2: Yakınsama düzgündür. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Düzgün Cauchy koşulu gereği öyle bir \(N = N(\varepsilon)\) vardır ki \(n, m \ge N\) ve her \(x \in E\) için
\[|f_n(x) - f_m(x)| < \frac{\varepsilon}{2} \tag{1}\]
olur. \(n \ge N\) ve \(x \in E\) sabitlensin. \((1)\) eşitsizliği \(m \ge N\) olan her \(m\) için geçerlidir. \(m \to \infty\) iken \(f_m(x) \to f(x)\) olduğundan, mutlak değerin sürekliliği ile \(|f_n(x) - f_m(x)| \to |f_n(x) - f(x)|\) olur. Limitte kesin olmayan eşitsizlik korunduğundan
\[|f_n(x) - f(x)| \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\]
bulunur. Bu, \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için geçerlidir ve \(N\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. Öyleyse \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)). \(\blacksquare\)
Kriterin olumsuzu, düzgün yakınsamamayı limit fonksiyonuna başvurmadan gösterir.
Sonuç 3.1 (Cauchy Kriterinin Olumsuzu) \((f_n)\) dizisinin \(E\) üzerinde düzgün yakınsak olmaması için gerek ve yeter koşul şudur: öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(N \in \mathbb{N}\) için
\[n_N, m_N \ge N \qquad \text{ve} \qquad |f_{n_N}(x_N) - f_{m_N}(x_N)| \ge \varepsilon_0\]
olacak biçimde \(n_N, m_N \in \mathbb{N}\) ve \(x_N \in E\) bulunur.
İspat
Teorem 3.4 gereği düzgün yakınsak olmamak, düzgün Cauchy dizisi olmamaya denktir. Tanım 3.1 tanımının olumsuzu, “her” ile “vardır” yer değiştirilip son eşitsizlik olumsuzlanarak yazılır ve tam olarak ifadedeki koşulu verir. \(\blacksquare\)
Örnek 3.5 (Cauchy Kriteriyle Düzgün Yakınsaklık) \(f_n(x) = \dfrac{x}{n}\) dizisinin \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu Cauchy kriteriyle gösteriniz.
Çözüm
\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(n, m \ge N\) ve \(x \in [0, 1]\) olsun; genelliği bozmadan \(n \le m\) alalım. O zaman
\[ \begin{aligned} |f_n(x) - f_m(x)| &= \left| \frac{x}{n} - \frac{x}{m} \right| = x \cdot \frac{m - n}{nm} \\[1mm] &\le 1 \cdot \frac{m}{nm} = \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} \end{aligned} \]
olur. \(N(\varepsilon) = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\) seçilirse \(\dfrac{1}{N} < \varepsilon\) olur ve \(n, m \ge N\), \(x \in [0, 1]\) için \(|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon\) sağlanır. \((f_n)\) dizisi \([0, 1]\) üzerinde düzgün Cauchy dizisidir; Teorem 3.4 gereği düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)
Örnek 3.6 (Cauchy Kriteriyle Düzgün Yakınsamama) \(f_n(x) = \dfrac{x}{n}\) dizisinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olmadığını Cauchy kriteriyle gösteriniz.
Çözüm
\(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{4}\) alalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin; \(n_N = 2N\), \(m_N = 4N\) ve \(x_N = 2N \in \mathbb{R}\) seçelim. \(n_N, m_N \ge N\)’dir ve
\[|f_{n_N}(x_N) - f_{m_N}(x_N)| = \left| \frac{2N}{2N} - \frac{2N}{4N} \right| = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ge \frac{1}{4} = \varepsilon_0\]
olur. Sonuç 3.1 gereği dizi \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. \(\blacksquare\)
Örnek 3.7 (Logaritmalı Bir Dizi) \(I = (0, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x}{n} \ln \dfrac{x}{n}\) ile tanımlı dizinin \(I\) üzerinde düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(\varepsilon_0 = \ln \sqrt{2} > 0\) alalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin; \(n_N = N\), \(m_N = 2N\) ve \(x_N = N \in I\) seçelim.
\[f_{n_N}(x_N) = \frac{N}{N} \ln \frac{N}{N} = 1 \cdot \ln 1 = 0, \qquad f_{m_N}(x_N) = \frac{N}{2N} \ln \frac{N}{2N} = \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \ln 2\]
olduğundan
\[|f_{n_N}(x_N) - f_{m_N}(x_N)| = \frac{1}{2} \ln 2 = \ln \sqrt{2} = \varepsilon_0\]
olur. Sonuç 3.1 gereği dizi \(I\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. Bu sonuca ulaşırken dizinin noktasal limitini hesaplamaya gerek kalmadı. \(\blacksquare\)
3.5 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Rasyonel Bir Dizide Supremum) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x}{1 + nx^2}\) dizisinin düzgün yakınsaklığını supremum ölçütüyle inceleyiniz.
Çözüm
Noktasal limit. \(x = 0\) için \(f_n(0) = 0\). \(x \ne 0\) için \(1 + nx^2 > nx^2\) olduğundan \(|f_n(x)| \le \dfrac{|x|}{nx^2} = \dfrac{1}{n|x|} \to 0\). Noktasal limit \(f = 0\)’dır.
Supremum. \(f_n\) tek fonksiyondur; \(|f_n(x)| = f_n(|x|)\) olduğundan supremumu \(x \ge 0\) üzerinde aramak yeter. \(x \ge 0\) için
\[f_n'(x) = \frac{(1 + nx^2) - x \cdot 2nx}{(1 + nx^2)^2} = \frac{1 - nx^2}{(1 + nx^2)^2}\]
olur. \(f_n'(x) = 0\) yalnız \(x = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) için sağlanır; bu noktanın solunda \(f_n' > 0\), sağında \(f_n' < 0\)’dır. En büyük değer
\[d_n = f_n\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right) = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{1 + n \cdot \dfrac{1}{n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}\]
olur.
Limit. \(d_n = \dfrac{1}{2\sqrt{n}} \to 0\) olduğundan Teorem 3.3 gereği \(f_n \rightrightarrows 0\) (\(\mathbb{R}\)). \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.2 (Yükselen Tepeli Üstel Dizi) \([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = nx\,e^{-nx^2}\) dizisinin düzgün yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Noktasal limit. \(x = 0\) için \(f_n(0) = 0\). \(0 < x \le 1\) için \(q = e^{-x^2} \in (0, 1)\) yazılırsa \(f_n(x) = x \cdot n q^n\) olur. \(0 < q < 1\) için \(n q^n \to 0\)’dır: \(a_n = n q^n\) dizisinde \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n+1}{n}\,q \to q < 1\) olduğundan oran testi gereği \(\sum a_n\) yakınsaktır ve yakınsak serinin genel terimi \(0\)’a gider. Dolayısıyla \(f_n(x) \to 0\); noktasal limit \(f = 0\)’dır.
Supremum. \(g_n(x) = nx\,e^{-nx^2}\) için
\[g_n'(x) = n e^{-nx^2} + nx \cdot (-2nx)\,e^{-nx^2} = n\,(1 - 2nx^2)\,e^{-nx^2}\]
olur. \(g_n'(x) = 0\) denkleminin \([0, 1]\)’deki kökü \(x = \dfrac{1}{\sqrt{2n}}\)’dir; solunda türev pozitif, sağında negatiftir. Dolayısıyla
\[d_n = g_n\left( \frac{1}{\sqrt{2n}} \right) = n \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}} \cdot e^{-n \cdot \frac{1}{2n}} = \sqrt{\frac{n}{2}}\; e^{-1/2} = \sqrt{\frac{n}{2e}}.\]
Limit. \(d_n = \sqrt{\dfrac{n}{2e}} \to +\infty\) olur; \(d_n \to 0\) değildir. Teorem 3.3 gereği dizi \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.3 (Uçta Sönen Kuvvet Dizisi) \([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = x^n(1 - x)\) dizisinin düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Noktasal limit. \(0 \le x < 1\) için \(x^n \to 0\) olduğundan \(f_n(x) \to 0\). \(x = 1\) için \(f_n(1) = 1 \cdot 0 = 0\). Noktasal limit \(f = 0\)’dır.
Supremum. \(g_n(x) = x^n - x^{n+1}\) için
\[g_n'(x) = n x^{n-1} - (n+1)x^n = x^{n-1}\big(n - (n+1)x\big)\]
olur. \((0, 1)\) içindeki tek kök \(x = \dfrac{n}{n+1}\)’dir; solunda türev pozitif, sağında negatiftir. Uçlarda \(g_n(0) = g_n(1) = 0\) olduğundan
\[d_n = g_n\left( \frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n+1}\]
olur; çünkü \(\left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{n} \le 1\)’dir.
Limit. \(0 \le d_n \le \dfrac{1}{n+1} \to 0\) olduğundan sıkıştırma teoremiyle \(d_n \to 0\) ve Teorem 3.3 gereği \(f_n \rightrightarrows 0\) (\([0, 1]\)).
\(x^n\) dizisinin düzgün yakınsaklığını \(x = 1\) yakınındaki davranış bozuyordu; \((1 - x)\) çarpanı tam o bölgede farkı söndürür. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.4 (Sınırlı Aralıkta Sınırlama) \(f_n(x) = x + \dfrac{x^2}{n}\) dizisinin \([0, 3]\) üzerinde \(f(x) = x\) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösteriniz.
Çözüm
Her \(x \in [0, 3]\) için
\[|f_n(x) - x| = \frac{x^2}{n} \le \frac{9}{n} = \alpha_n\]
olur. \(\alpha_n = \dfrac{9}{n} \to 0\) olduğundan Teorem 3.1 gereği \(f_n \rightrightarrows f\) (\([0, 3]\)). \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.5 (Sınırsız Aralıkta Aynı Dizi) \(f_n(x) = x + \dfrac{x^2}{n}\) dizisinin \([0, +\infty)\) üzerinde \(f(x) = x\) fonksiyonuna düzgün yakınsamadığını gösteriniz.
Çözüm
\(x_n = \sqrt{n} \in [0, +\infty)\) dizisini seçelim:
\[f_n(x_n) - f(x_n) = \frac{(\sqrt{n})^2}{n} = 1.\]
\(\big(f_n(x_n) - f(x_n)\big)\) dizisi sabit \(1\)’dir ve \(0\)’a yakınsamaz. Teorem 3.2 gereği dizi \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.6 (Sağa Kayan Tepe) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{1}{1 + (x - n)^2}\) dizisinin noktasal limitini bulunuz ve yakınsamanın düzgün olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Noktasal limit. \(x \in \mathbb{R}\) sabit olsun. \(n \to \infty\) iken \((x - n)^2 \to +\infty\) olduğundan \(f_n(x) \to 0\). Noktasal limit \(f = 0\)’dır.
Düzgün yakınsamama. \(x_n = n\) dizisini seçelim:
\[f_n(x_n) - f(x_n) = \frac{1}{1 + 0} = 1.\]
Bu dizi \(0\)’a yakınsamadığından Teorem 3.2 gereği yakınsama \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün değildir. Her \(f_n\)’nin grafiği, tepesi \((n, 1)\) noktasında olan aynı çan eğrisidir; \(n\) büyüdükçe eğri biçimini bozmadan sağa kayar. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.7 (Limiti Bilinmeyen Bir Dizi) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(kx)}{k^2}\) dizisinin düzgün yakınsak olduğunu Cauchy kriteriyle gösteriniz.
Çözüm
\(n > m\) ve \(x \in \mathbb{R}\) olsun. \(|\sin(kx)| \le 1\) olduğundan
\[|f_n(x) - f_m(x)| = \left| \sum_{k=m+1}^{n} \frac{\sin(kx)}{k^2} \right| \le \sum_{k=m+1}^{n} \frac{1}{k^2}\]
olur. \(k \ge 2\) için \(\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}\) eşitsizliğini kullanalım. Toplam teleskopiktir:
\[\sum_{k=m+1}^{n} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=m+1}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = \frac{1}{m} - \frac{1}{n} < \frac{1}{m}.\]
\(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(N = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\) alalım. \(n > m \ge N\) ve her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[|f_n(x) - f_m(x)| < \frac{1}{m} \le \frac{1}{N} < \varepsilon\]
olur; \(n = m\) için fark \(0\)’dır. \((f_n)\) dizisi \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün Cauchy dizisidir ve Teorem 3.4 gereği düzgün yakınsaktır. Limit fonksiyonunun kapalı bir formülünü bilmeden düzgün yakınsaklığı elde ettik. \(\blacksquare\)
Elimizde artık düzgün yakınsaklığı sınamak için yeterli araç var. Düzgün Yakınsaklık, Sınırlılık ve Süreklilik bölümünde düzgün yakınsaklığın neden değerli olduğunu görüyoruz: düzgün limit, dizinin terimlerinin sınırlılığını ve sürekliliğini korur.