10  Vektör Alanları

Şimdiye kadar integrallediğimiz fonksiyonlar her noktaya bir sayı atıyordu: bir levhanın yoğunluğu, bir cismin sıcaklığı, bir yüzeyin yüksekliği. Oysa doğadaki pek çok büyüklüğün yalnız bir değeri değil, bir yönü de vardır. Bir körfezin üzerinde esen rüzgârın hızı her noktada başka bir doğrultu ve şiddettedir; okyanus akıntıları ve bir uçak kanadının çevresinden akan hava da öyle. Böyle bir akışı tarif etmek için her noktaya, o noktadaki hız vektörünü atarız. Her noktaya bir vektör atayan bu tür fonksiyonlara vektör alanı denir.

Vektör alanlarının bir başka önemli türü kuvvet alanlarıdır: her noktaya, orada bulunan bir cisme etkiyen kuvveti atarlar. Dünya’nın çekim kuvveti ve bir elektrik yükünün başka bir yüke uyguladığı kuvvet bu türdendir.

Bu bölümle kitabın ikinci kısmına, vektör analizine geçiyoruz. Vektör alanlarını tanımlayıp çizmeyi öğrenecek, hız ve kuvvet alanlarını tanıyacak, son olarak bir fonksiyonun gradyanı olan alanlara, yani konservatif alanlara bakacağız. Sonraki bölümlerde vektör alanlarını eğriler ve yüzeyler boyunca integralleyecek (iş ve akı), bu integralleri Green, Stokes ve diverjans teoremleriyle birbirine bağlayacağız.

import { PLOTLY, watchTheme, withAlpha, fmtTrim, planeLayout, sceneLayout, field2d, field3d, arrow2d, point2d, arrowHeads2d, point, arrowHeads3d, render } from "./ojs/scene3d.js"

Plotly = require(PLOTLY)

theme = Generators.observe(watchTheme)

10.1 Düzlemde ve Uzayda Vektör Alanları

Vektör alanı, tanım kümesindeki her noktaya bir vektör atayan bir fonksiyondur. Önce bu fikri kesin biçimde yazalım.

Tanım 10.1 (Vektör Alanı) \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) bir düzlem bölgesi olsun. \(D\)’nin her \((x, y)\) noktasına iki boyutlu bir \(\mathbf{F}(x, y)\) vektörü atayan \(\mathbf{F}\) fonksiyonuna \(D\) üzerinde bir vektör alanı (vector field) denir.

Benzer biçimde \(E \subseteq \mathbb{R}^3\) olsun. \(E\)’nin her \((x, y, z)\) noktasına üç boyutlu bir \(\mathbf{F}(x, y, z)\) vektörü atayan \(\mathbf{F}\) fonksiyonuna \(E\) üzerinde bir vektör alanı denir.

Yani vektör alanı, tanım kümesi düzlemin ya da uzayın bir parçası, değerleri de aynı boyutta vektörler olan bir fonksiyondur. Yeni olan, bu değerleri birer ok olarak düşünmemizdir: \(\mathbf{F}(x, y)\) vektörünü başlangıç noktası \((x, y)\) olan bir okla çizeriz. Bütün noktalarda ok çizemeyiz, ama birkaç temsilci noktadaki oklar alanın genel görünüşü hakkında iyi bir fikir verir.

Bir vektör alanı her noktaya bir vektör atar. F(x, y) vektörünü başlangıcı (x, y) noktası olan bir okla, uzayda F(x, y, z) vektörünü başlangıcı (x, y, z) olan bir okla çizeriz. Birkaç temsilci noktadaki oklar alanın genel görünüşünü verir.

\(\mathbf{F}(x, y)\) iki boyutlu bir vektör olduğundan onu bileşenleriyle yazabiliriz:

\[\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\,\mathbf{i} + Q(x, y)\,\mathbf{j} = \langle P(x, y),\ Q(x, y) \rangle,\]

kısaca \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j}\). Buradaki \(P\) ve \(Q\), iki değişkenli reel değerli fonksiyonlardır ve \(\mathbf{F}\)’nin bileşen fonksiyonları adını alır (bkz. Analiz 4). Reel değerli fonksiyonları vektör alanlarından ayırmak için onlara skaler alan da denir. Uzaydaki bir vektör alanının üç bileşen fonksiyonu vardır:

\[\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\,\mathbf{i} + Q(x, y, z)\,\mathbf{j} + R(x, y, z)\,\mathbf{k}.\]

Bir \((x, y, z)\) noktasını çoğu zaman konum vektörü \(\mathbf{x} = \langle x, y, z \rangle\) ile özdeşleştirir ve \(\mathbf{F}(x, y, z)\) yerine \(\mathbf{F}(\mathbf{x})\) yazarız. Böylece \(\mathbf{F}\), her \(\mathbf{x}\) vektörüne bir \(\mathbf{F}(\mathbf{x})\) vektörü atayan bir fonksiyon olarak görülür. Düzlemde de aynı biçimde \(\mathbf{x} = \langle x, y \rangle\) yazarız.

Vektör alanının sürekliliği, vektör değerli fonksiyonların sürekliliğidir: \(\mathbf{F}\), \(\mathbf{a}\) noktasında süreklidir ancak ve ancak \(\mathbf{x} \to \mathbf{a}\) iken \(|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{F}(\mathbf{a})| \to 0\) ise (bkz. Analiz 4). Vektör değerli bir fonksiyon, ancak ve ancak bütün bileşenleri sürekli olduğunda süreklidir (bkz. Analiz 4). Dolayısıyla \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\) vektör alanı, ancak ve ancak \(P\), \(Q\) ve \(R\) sürekli ise süreklidir. Kısmi türevler gibi başka kavramlar da vektör alanına bileşenleri üzerinden taşınır; “\(\mathbf{F}\)’nin bileşenlerinin birinci mertebeden kısmi türevleri sürekli” koşuluyla sonraki bölümlerde sık sık karşılaşacağız.

10.2 Vektör Alanlarını Çizmek

Bir vektör alanını tanımanın ilk yolu, birkaç noktadaki oklarını çizip bu oklarda bir düzen aramaktır.

İpucuBir vektör alanını üç adımda çizmek

1. Noktaları seç. Hesabı kolay ve simetrik noktalar al: eksenler ve köşegenler üzerindeki noktalar, orijin merkezli çemberler üzerindeki noktalar.
2. Vektörleri hesapla. Her noktada \(\mathbf{F}\)’yi hesapla ve sonuçları bir tabloya yaz.
3. Okları çiz, düzeni ara. Her \(\mathbf{F}(x, y)\) okunu \((x, y)\) noktasından başlat. Alanın nerede sıfır olduğuna, okların nerede yatay ya da düşey olduğuna, uzunluklarının nasıl değiştiğine ve konum vektörüyle ilişkisine (paralel mi, dik mi) bak.

Örnek 10.1 (Dönme Alanı) \(\mathbf{F}(x, y) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}\) vektör alanını birkaç noktadaki vektörlerini çizerek tarif ediniz.

Çözüm

Noktalar ve vektörler. \((1, 0)\) noktasında \(\mathbf{F}(1, 0) = -0\,\mathbf{i} + 1\,\mathbf{j} = \mathbf{j}\) olur; yani \((1, 0)\) noktasından başlayan \(\langle 0, 1 \rangle\) okunu çizeriz. \((0, 1)\) noktasında \(\mathbf{F}(0, 1) = -1\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} = -\mathbf{i}\) olur ve \((0, 1)\)’den başlayan \(\langle -1, 0 \rangle\) okunu çizeriz. Aynı hesabı orijin merkezli üç çember üzerindeki noktalarda yapalım:

\((x, y)\)	\(\mathbf{F}(x, y)\)	\((x, y)\)	\(\mathbf{F}(x, y)\)
\((1, 0)\)	\(\langle 0, 1 \rangle\)	\((-1, 0)\)	\(\langle 0, -1 \rangle\)
\((2, 2)\)	\(\langle -2, 2 \rangle\)	\((-2, -2)\)	\(\langle 2, -2 \rangle\)
\((3, 0)\)	\(\langle 0, 3 \rangle\)	\((-3, 0)\)	\(\langle 0, -3 \rangle\)
\((0, 1)\)	\(\langle -1, 0 \rangle\)	\((0, -1)\)	\(\langle 1, 0 \rangle\)
\((-2, 2)\)	\(\langle -2, -2 \rangle\)	\((2, -2)\)	\(\langle 2, 2 \rangle\)
\((0, 3)\)	\(\langle -3, 0 \rangle\)	\((0, -3)\)	\(\langle 3, 0 \rangle\)

Tablodaki on iki vektör, başlangıçları kendi noktalarında olacak biçimde çizildi. Her ok, orijin merkezli bir çembere (kesikli) teğettir ve uzunluğu o çemberin yarıçapına eşittir; oklar saat yönünün tersine döner.

Düzen. Şekilde her ok, orijin merkezli bir çembere teğet görünüyor. Bunu doğrulamak için \(\mathbf{F}\)’yi \(\mathbf{x} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j}\) konum vektörüyle iç çarpalım:

\[\mathbf{x} \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}) = (x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j}) \cdot (-y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}) = -xy + yx = 0.\]

Demek ki \(\mathbf{F}(x, y)\), \(\langle x, y \rangle\) konum vektörüne diktir. Bir çemberin teğeti, değme noktasındaki yarıçapa dik olduğundan \(\mathbf{F}(x, y)\), merkezi orijin ve yarıçapı \(|\mathbf{x}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) olan çembere teğettir. Ayrıca

\[|\mathbf{F}(x, y)| = \sqrt{(-y)^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = |\mathbf{x}|\]

olduğundan okun uzunluğu çemberin yarıçapına eşittir: orijinden uzaklaştıkça oklar uzar. Son olarak \(x\) ekseninin pozitif kısmında oklar yukarı, \(y\) ekseninin pozitif kısmında sola baktığından oklar orijinin çevresinde saat yönünün tersine döner.

\(\blacksquare\)

Elle ancak birkaç ok çizebiliriz. Bilgisayar programları çok sayıda noktada ok çizerek alanın görünüşünü çok daha iyi verir. Ancak oklar gerçek uzunluklarıyla çizilirse birbirinin üstüne biner; bu yüzden programlar bütün okları aynı oranda kısaltır. Böylece oklar birbirine çarpmaz, ama uzunlukları gerçek uzunluklarıyla orantılı kalır. Aşağıdaki ilk çizim, elle çizdiğimiz dönme alanının bilgisayarla çizilmiş hâlidir (bkz. Örnek 10.1).

Bilgisayarla çizilmiş üç vektör alanı. Oklar aynı oranda kısaltıldı: birbirine çarpmazlar ama uzunlukları gerçek uzunluklarıyla orantılıdır. Soldaki alan dönme alanıdır.

İkinci alanda \(\mathbf{i}\) bileşeni \(y\) olduğundan oklar \(x\) ekseninin üstünde sağa, altında sola doğrudur; \(x\) ekseninin üzerinde ise \(\mathbf{F}(x, 0) = \sin x\,\mathbf{j}\) düşeydir ve yönü \(\sin x\)’in işaretiyle değişir. Üçüncü alanda iki bileşen de hiçbir yerde negatif olmadığından oklar hep sağa ve yukarı doğrudur. \(x\) ekseni üzerinde \(\mathbf{F}(x, 0) = \ln(1 + x^2)\,\mathbf{j}\) düşey, \(y\) ekseni üzerinde \(\mathbf{F}(0, y) = \ln(1 + y^2)\,\mathbf{i}\) yataydır; alan yalnız orijinde sıfırdır.

Etkileşimli sahne: bölümün düzlem alanları ve akış çizgileri. Listeden bir alan seçin: ilk üçü yukarıdaki şekildeki alanlardır, ötekiler bölümün örnek ve alıştırmalarından gelir. “Orantılı” seçeneğinde oklar şekildeki gibi aynı oranda kısaltılır; “eşit” seçeneğinde hepsi aynı uzunlukta çizilir ve yalnız yönü gösterir. Sıklık kaydırıcısı ızgaradaki ok sayısını değiştirir. \(x_0\) ve \(y_0\) kaydırıcıları turuncu noktayı taşır; değer satırı oradaki \(\mathbf{F}(x_0, y_0)\) vektörünü verir. Örneğin dönme alanında \((2, 2)\) noktasında tablodaki \(\langle -2, 2 \rangle\) vektörü çıkar (bkz. Örnek 10.1). Turuncu eğri, noktadan geçen akış çizgisidir (Tanım 10.2): alanı bir hız alanı sayarsak oradan bırakılan parçacığın yolu. Dönme alanında bu yol bir çemberdir. \(y\,\mathbf{i} + \sin x\,\mathbf{j}\) alanında \(y^2 + 2\cos x\) ifadesi akış boyunca sabittir (Örnek 10.4); bu sabit \(2\)’den küçükse eğri \((\pi, 0)\) ya da \((-\pi, 0)\) çevresinde kapanır, büyükse dalgalanarak pencereden çıkar. Gradyan alanlarında ince çizgiler \(f\)’nin seviye eğrileridir ve oklar onlara diktir (Örnek 10.8).

// Flow line of F through `start` (a point in the plane or in space), traced in both directions by RK4
// on the unit field F/|F|: the same curve, parametrized by arc length. The trace stops near a zero of F
// (the direction turns back or the steps stall), where keep(p) fails (outside the window or the domain)
// or when the curve closes. `along(s)` is the point at arc length s from the first point, for direction marks.
valFlowLine = (F, start, keep, ds, steps = 3000) => {
  const unit = (p) => {
    const v = F(...p);
    const length = Math.hypot(...v);
    return Number.isFinite(length) && length > 1e-9 ? v.map((c) => c / length) : null;
  };
  const shift = (p, v, h) => p.map((c, i) => c + h * v[i]);
  const distance = (p, q) => Math.hypot(...p.map((c, i) => c - q[i]));
  let closed = false;
  const trace = (sign) => {
    const list = [start];
    let p = start;
    let previous = unit(p);
    if (!previous) return list;
    for (let k = 0; k < steps; k++) {
      const h = sign * ds;
      const k1 = unit(p);
      if (!k1 || k1.reduce((sum, c, i) => sum + c * previous[i], 0) < 0) break;
      const k2 = unit(shift(p, k1, h / 2));
      const k3 = k2 && unit(shift(p, k2, h / 2));
      const k4 = k3 && unit(shift(p, k3, h));
      if (!k4) break;
      const next = p.map((c, i) => c + (h / 6) * (k1[i] + 2 * k2[i] + 2 * k3[i] + k4[i]));
      if (distance(next, p) < 0.5 * ds) break;
      previous = k1;
      p = next;
      list.push(p);
      if (!keep(p)) break;
      if (k > 40 && distance(p, start) < 1.5 * ds) {
        closed = true;
        list.push(start);
        break;
      }
    }
    return list;
  };
  const forward = trace(1);
  const backward = closed ? [start] : trace(-1);
  const points = [...backward.reverse(), ...forward.slice(1)];
  const lengths = [0];
  for (let k = 1; k < points.length; k++) lengths.push(lengths[k - 1] + distance(points[k], points[k - 1]));
  const along = (s) => {
    let lo = 0;
    let hi = points.length - 1;
    while (hi - lo > 1) {
      const mid = (lo + hi) >> 1;
      if (lengths[mid] <= s) lo = mid;
      else hi = mid;
    }
    const w = (s - lengths[lo]) / (lengths[hi] - lengths[lo] || 1);
    return points[lo].map((c, i) => c + w * (points[hi][i] - c));
  };
  return { points, closed, length: lengths[lengths.length - 1], along };
}

valPlaneFields = {
  // the fields of the figure above (first three) and of the examples and exercises; f is a potential
  return {
    rotation: { title: "−y i + x j (dönme alanı)", F: (x, y) => [-y, x], x: [-5, 5], y: [-5, 5], start: [2, 2], note: (x, y) => `Akış çizgisi orijin merkezli bir çemberdir: x² + y² = ${fmtTrim(x * x + y * y, 4)} sabit kalır.` },
    pendulum: {
      title: "y i + sin x j", F: (x, y) => [y, Math.sin(x)], x: [-6.4, 6.4], y: [-3.2, 3.2], start: [2, 1],
      note: (x, y) => {
        const c = y * y + 2 * Math.cos(x);
        const shape = c > 2 + 1e-9 ? "c, 2'den büyük olduğundan eğri dalgalıdır" : c < 2 - 1e-9 ? "c, 2'den küçük olduğundan eğri kapalıdır" : "c = 2 olduğundan eğri, alanın sıfır olduğu noktalara uzanır";
        return `Akış çizgisi boyunca y² + 2 cos x = c = ${fmtTrim(c, 4)} sabit kalır; ${shape}.`;
      }
    },
    log: { title: "ln(1 + y²) i + ln(1 + x²) j", F: (x, y) => [Math.log(1 + y * y), Math.log(1 + x * x)], x: [-5, 5], y: [-5, 5], start: [-2, 0], note: () => "İki bileşen de negatif olmadığından oklar hep sağa ve yukarı doğrudur; alan yalnız orijinde sıfırdır." },
    tilt: { title: "−½ i + (y − x) j", F: (x, y) => [-0.5, y - x], x: [-2.5, 2.5], y: [-2.5, 2.5], start: [0, 0], note: () => "y = x doğrusu üzerinde oklar yatay ve sola doğrudur; doğrudan uzaklaştıkça dikleşir ve uzar." },
    level: { title: "y i + (y + 2) j", F: (x, y) => [y, y + 2], x: [-4, 4], y: [-4, 4], start: [0, 0], note: () => "Oklar x ekseni üzerinde düşey, y = −2 doğrusu üzerinde yataydır." },
    ring: {
      title: "(r² − 2r)⟨x, y⟩, r = √(x² + y²)", F: (x, y) => { const r = Math.hypot(x, y); return [(r * r - 2 * r) * x, (r * r - 2 * r) * y]; }, x: [-3, 3], y: [-3, 3], start: [1, 1],
      note: (x, y) => { const r = Math.hypot(x, y); return r < 2 ? `Noktanın orijine uzaklığı r = ${fmtTrim(r, 4)}, yani 2'den küçük: parçacık orijine doğru sürüklenir.` : `Noktanın orijine uzaklığı r = ${fmtTrim(r, 4)}, yani 2'den büyük: parçacık orijinden uzaklaşır.`; }
    },
    saddle: { title: "x i − y j", F: (x, y) => [x, -y], x: [-3, 3], y: [-3, 3], start: [1, 1], note: (x, y) => `Akış çizgisi boyunca xy = ${fmtTrim(x * y, 4)} sabit kalır.` },
    shift: { title: "i + x j", F: (x, y) => [1, x], x: [-3, 3], y: [-3, 3], start: [0, 0], note: (x, y) => `Akış çizgisi y = x²/2 + C parabolüdür; burada C = y − x²/2 = ${fmtTrim(y - (x * x) / 2, 4)}.` },
    gradient: { title: "∇f, f = x²y − y³", F: (x, y) => [2 * x * y, x * x - 3 * y * y], f: (x, y) => x * x * y - y ** 3, levels: [-90, 90, 10], x: [-4.5, 4.5], y: [-4.5, 4.5], start: [2, 1], note: () => "Oklar seviye eğrilerine diktir; akış çizgisi f'nin en hızlı arttığı yönde ilerler." },
    ellipse: { title: "∇f, f = ln(1 + x² + 2y²)", F: (x, y) => { const q = 1 + x * x + 2 * y * y; return [(2 * x) / q, (4 * y) / q]; }, f: (x, y) => Math.log(1 + x * x + 2 * y * y), levels: [0.3, 3.3, 0.3], x: [-3, 3], y: [-3, 3], start: [1, 1], note: () => "Seviye eğrileri elipslerdir; oklar onlara dik ve dışarı doğrudur." }
  };
}

viewof valPlaneChoice = Inputs.select(Object.keys(valPlaneFields), { value: "rotation", label: "alan", format: (key) => valPlaneFields[key].title })

viewof valPlaneControls = {
  const field = valPlaneFields[valPlaneChoice];
  return Inputs.form({
    x0: Inputs.range(field.x, { value: field.start[0], step: 0.1, label: "x₀" }),
    y0: Inputs.range(field.y, { value: field.start[1], step: 0.1, label: "y₀" }),
    n: Inputs.range([5, 19], { value: 11, step: 2, label: "sıklık" }),
    mode: Inputs.radio(["scaled", "unit"], { value: "scaled", label: "uzunluk", format: (key) => (key === "scaled" ? "orantılı" : "eşit") }),
    flow: Inputs.toggle({ label: "akış çizgisi", value: true })
  });
}

valPlanePlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: secilen duzlem vektor alaninin bir izgaradaki oklari, secilen noktadaki F vektoru ve o noktadan gecen akis cizgisi; gradyan alanlarinda f fonksiyonunun seviye egrileri"></div>`

{
  const field = valPlaneFields[valPlaneChoice];
  const { x0, y0, n, mode, flow } = valPlaneControls;
  const F = field.F;
  const [xa, xb] = field.x;
  const [ya, yb] = field.y;
  const width = xb - xa;
  const height = yb - ya;
  const span = Math.max(width, height);
  // arrow grid, inset so that the arrows along the edges stay inside the window
  const nx = n;
  const ny = Math.max(3, Math.round(((n - 1) * height) / width) + 1);
  const gx = [xa + 0.05 * width, xb - 0.05 * width];
  const gy = [ya + 0.05 * height, yb - 0.05 * height];
  const spacing = Math.min((gx[1] - gx[0]) / (nx - 1), (gy[1] - gy[0]) / (ny - 1));
  // one common scale for every arrow: the longest grid arrow fills 80% of the spacing
  let longest = 1e-12;
  for (let i = 0; i < nx; i++) {
    for (let j = 0; j < ny; j++) {
      const v = F(gx[0] + ((gx[1] - gx[0]) * i) / (nx - 1), gy[0] + ((gy[1] - gy[0]) * j) / (ny - 1));
      longest = Math.max(longest, Math.hypot(v[0], v[1]));
    }
  }
  const scale = (0.8 * spacing) / longest;
  const equal = mode === "unit";
  const traces = [];
  if (field.f) {
    const xs = Array.from({ length: 81 }, (_, i) => xa + (width * i) / 80);
    const ys = Array.from({ length: 81 }, (_, j) => ya + (height * j) / 80);
    const line = withAlpha(theme.remark, 0.75);
    traces.push(
      { type: "contour", x: xs, y: ys, z: ys.map((y) => xs.map((x) => field.f(x, y))), autocontour: false, contours: { coloring: "lines", start: field.levels[0], end: field.levels[1], size: field.levels[2] }, colorscale: [[0, line], [1, line]], line: { width: 1.1, smoothing: 0.6 }, showscale: false, showlegend: false, hoverinfo: "skip" },
      { type: "scatter", mode: "lines", x: [null], y: [null], line: { color: line, width: 1.5 }, name: "seviye eğrileri", hoverinfo: "skip" }
    );
  }
  traces.push(field2d(F, gx, gy, [nx, ny], theme.theory, { scale, normalize: equal, fill: 0.8, name: "alanın okları" }));
  if (flow) {
    const keep = (p) => p[0] >= xa && p[0] <= xb && p[1] >= ya && p[1] <= yb;
    const line = valFlowLine(F, [x0, y0], keep, span / 400);
    const curve = line.points;
    if (curve.length > 2) {
      traces.push(
        { type: "scatter", mode: "lines", x: curve.map((p) => p[0]), y: curve.map((p) => p[1]), line: { color: theme.practice, width: 3 }, name: "akış çizgisi", hoverinfo: "skip" },
        arrowHeads2d(line.along, 0, line.length, 6, theme.practice, { size: 0.03 * span })
      );
    }
  }
  const v0 = F(x0, y0);
  const size0 = Math.hypot(v0[0], v0[1]);
  if (size0 > 1e-9) {
    // drawn with the same scale as the grid arrows
    const factor = equal ? (0.8 * spacing) / size0 : scale;
    traces.push(arrow2d([x0, y0], [v0[0] * factor, v0[1] * factor], theme.practice, "F(x₀, y₀)", { width: 3.5, head: 0.24 * spacing }));
  }
  traces.push(point2d([x0, y0], theme.practice, undefined, { size: 8 }));
  render(Plotly, valPlanePlot, traces, planeLayout(theme, { x: field.x, y: field.y, revision: valPlaneChoice }));
  const where = `(${fmtTrim(x0, 4)}; ${fmtTrim(y0, 4)})`;
  const first = [`F${where} = ⟨${fmtTrim(v0[0], 4)}; ${fmtTrim(v0[1], 4)}⟩`, `|F| = ${fmtTrim(size0, 4)}`];
  if (field.f) first.push(`f${where} = ${fmtTrim(field.f(x0, y0), 4)}`);
  const second = size0 < 1e-9 ? "Bu noktada F = 0: buradan bırakılan parçacık yerinde kalır." : field.note(x0, y0);
  return html`<div class="scene3d-readout">${first.join(" · ")}<br>${second}</div>`;
}

Uzaydaki bir alanı da aynı yolla, noktalardan başlayan oklarla çizeriz.

Örnek 10.2 (Düşey Bir Vektör Alanı) \(\mathbb{R}^3\)’te \(\mathbf{F}(x, y, z) = z\,\mathbf{k}\) ile verilen vektör alanını çiziniz.

Çözüm

\(\mathbf{F}\)’nin yalnız \(\mathbf{k}\) bileşeni olduğundan her vektör \(z\) eksenine paraleldir, yani düşeydir. \((x, y, z)\) noktasındaki vektör \(z\,\mathbf{k}\)’dır ve yalnız \(z\)’ye bağlıdır:

• \(z > 0\) ise, yani nokta \(xy\)-düzleminin üstündeyse ok yukarı bakar;
• \(z < 0\) ise, yani nokta düzlemin altındaysa ok aşağı bakar;
• \(z = 0\) ise, yani nokta düzlemin üzerindeyse \(\mathbf{F} = \mathbf{0}\)’dır.

Okun uzunluğu \(|\mathbf{F}(x, y, z)| = |z|\), noktanın \(xy\)-düzlemine uzaklığıdır; düzlemden uzaklaştıkça oklar uzar. Aynı yükseklikteki bütün noktalarda vektör aynıdır.

F(x, y, z) = z k. Bütün oklar düşeydir: xy-düzleminin üstünde yukarı, altında aşağı bakar ve düzlemden uzaklaştıkça uzar. Düzlemin üzerindeki noktalarda vektör sıfırdır.

\(\blacksquare\)

Bu alanı formülü çok basit olduğu için elle çizebildik. Uzaydaki alanların çoğunu elle çizmek ise neredeyse imkânsızdır ve bilgisayar kullanılır. Yine de bileşenlere bakarak alan hakkında çok şey söyleyebiliriz. Örneğin

\[\mathbf{F}_1 = y\,\mathbf{i} + z\,\mathbf{j} + x\,\mathbf{k}, \qquad \mathbf{F}_2 = y\,\mathbf{i} - 2\,\mathbf{j} + x\,\mathbf{k}\]

alanlarının formülleri birbirine benzer, ama görünüşleri çok farklıdır. \(\mathbf{F}_2\)’nin \(\mathbf{j}\) bileşeni her noktada \(-2\) olduğundan bütün oklar kabaca \(y\) ekseninin negatif yönüne doğru eğilir. \(\mathbf{F}_1\)’in \(\mathbf{j}\) bileşeni ise \(z\)’dir ve \(xy\)-düzleminin iki yanında işaret değiştirir.

10.3 Hız Alanları ve Akış Çizgileri

Vektör alanlarının en sezgisel yorumu, bir akışkanın her noktadaki hızını vermeleridir.

Bir boruda kararlı biçimde akan bir sıvı düşünelim; kararlı akış, her noktadaki hızın zamanla değişmemesi demektir. Sıvının \((x, y, z)\) noktasındaki hız vektörüne \(\mathbf{V}(x, y, z)\) diyelim. \(\mathbf{V}\), borunun içi olan \(E\) bölgesinin her noktasına bir vektör atadığından \(E\) üzerinde bir vektör alanıdır. Böyle alanlara hız alanı (velocity field) denir; okun uzunluğu o noktadaki sürati verir. Rüzgâr ve okyanus akıntıları da birer hız alanıdır. Dönme alanı da (bkz. Örnek 10.1) bir hız alanı olarak düşünülebilir: orijin çevresinde saat yönünün tersine, birim açısal hızla dönen bir tekerleğin \((x, y)\) noktasının hızı tam olarak \(-y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}\)’dir.

Hız alanında bırakılan bir parçacık, her an bulunduğu noktadaki hızla hareket eder. Parçacığın izlediği yola bir ad verelim.

Tanım 10.2 (Akış Çizgisi) \(\mathbf{F}\), bir \(D\) bölgesi üzerinde sürekli bir vektör alanı olsun. Bir \(I\) aralığında tanımlı, türevlenebilir bir \(\mathbf{r}(t)\) eğrisi her \(t \in I\) için \(\mathbf{r}(t) \in D\) ve

\[\mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\]

koşulunu sağlıyorsa \(\mathbf{r}\)’ye \(\mathbf{F}\)’nin bir akış çizgisi (flow line, streamline) denir.

Yani akış çizgisi, hız alanı \(\mathbf{F}\) olan bir akışkanda sürüklenen bir parçacığın yoludur: parçacık her an, bulunduğu noktadaki \(\mathbf{F}\) vektörüyle hareket eder. Bu yüzden alanın vektörleri akış çizgilerine teğettir. Düzlemde \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle\) ve \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j}\) yazarsak tanımdaki koşul

\[x'(t) = P\big(x(t), y(t)\big), \qquad y'(t) = Q\big(x(t), y(t)\big)\]

diferansiyel denklem sistemine dönüşür.

F(x, y) = y i + sin x j alanı (ince oklar, kısaltılmış) ve birkaç akış çizgisi (mavi). Akış çizgisi üzerindeki bir P noktasında alanın vektörü F(P) eğriye teğettir ve parçacığın o andaki hızını verir. Yeşil noktalarda F = 0'dır; kesikli eğriler, kapalı akış çizgilerini dalgalı olanlardan ayıran akış çizgileridir.

Akış çizgisini tam olarak bulamasak bile, parçacığın kısa bir süre sonra nerede olacağını tahmin edebiliriz. Türevin tanımına göre küçük \(h\) değerleri için \(\mathbf{r}(t + h) - \mathbf{r}(t) \approx h\,\mathbf{r}'(t)\) olduğundan

\[\mathbf{r}(t + h) \approx \mathbf{r}(t) + h\,\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big) \tag{1}\]

olur. Yani parçacık kısa bir süre boyunca, bulunduğu noktadaki hız vektörünün doğrultusunda düz bir çizgide ilerliyormuş gibi davranır; \(h\) küçüldükçe tahmin iyileşir.

Bir eğrinin akış çizgisi olduğunu doğrulamak için tanımdaki eşitliği denetlemek yeter.

Örnek 10.3 (Dönme Alanının Akış Çizgileri) \(a > 0\) olmak üzere \(\mathbf{r}(t) = a\cos t\,\mathbf{i} + a\sin t\,\mathbf{j}\) çemberinin \(\mathbf{F}(x, y) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}\) dönme alanının bir akış çizgisi olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(\mathbf{r}(t)\) noktasının koordinatları \(x = a\cos t\) ve \(y = a\sin t\)’dir. Bu noktada alanın değeri

\[\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big) = -a\sin t\,\mathbf{i} + a\cos t\,\mathbf{j}\]

olur. Öte yandan eğrinin türevi de

\[\mathbf{r}'(t) = -a\sin t\,\mathbf{i} + a\cos t\,\mathbf{j}\]

olur. İki vektör her \(t\) için aynı olduğundan \(\mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\) sağlanır; çember bir akış çizgisidir. Parçacık çemberi saat yönünün tersine, \(|\mathbf{r}'(t)| = a\) süratiyle dolaşır ve bir tam turu \(2\pi\) sürede tamamlar. Bu, okların çemberlere teğet olduğu gözlemimizin (bkz. Örnek 10.1) hareket diliyle söylenişidir. \(\blacksquare\)

Akış çizgilerini bulmanın yararlı bir yolu, akış boyunca değişmeyen bir büyüklük bulmaktır.

Örnek 10.4 (Akış Boyunca Korunan Bir Büyüklük) \(\mathbf{F}(x, y) = y\,\mathbf{i} + \sin x\,\mathbf{j}\) alanının her akış çizgisi boyunca \(y^2 + 2\cos x\) ifadesinin sabit kaldığını gösteriniz.

Çözüm

\(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle\), bir \(I\) aralığında tanımlı bir akış çizgisi olsun. Tanım gereği

\[x'(t) = y(t), \qquad y'(t) = \sin x(t)\]

olur. \(g(t) = y(t)^2 + 2\cos x(t)\) fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla alalım ve bu iki eşitliği yerine koyalım:

\[ \begin{aligned} g'(t) &= 2y(t)\,y'(t) - 2\sin x(t)\,x'(t) \\[1mm] &= 2y(t)\sin x(t) - 2\sin x(t)\,y(t) = 0. \end{aligned} \]

Türevi her yerde sıfır olan \(g\), \(I\) aralığında sabittir. Demek ki her akış çizgisi, \(y^2 + 2\cos x = c\) eğrilerinden birinin üzerinde kalır. Örneğin \(c = 3{,}4\) için bu eğri, \(y = \pm\sqrt{3{,}4 - 2\cos x}\) ile verilen iki dalgalı eğridir. \(-2 < c < 2\) için ise \(y^2 = c - 2\cos x \ge 0\) koşulu, yani \(\cos x \le c/2\), yalnız \(\pi\)’nin tek katları çevresindeki ayrık aralıklarda sağlanır; bu yüzden her \(\big((2k+1)\pi, 0\big)\), \(k \in \mathbb{Z}\) noktasının çevresinde birer kapalı eğri elde edilir. Akış çizgisi tanımının altındaki şekilde çizilen eğriler bunlardır; şeklin penceresinde kapalı eğrilerden \((\pm\pi, 0)\) çevresindekiler görünür. \(\blacksquare\)

Aynı yöntem uzaydaki bir akışı anlamaya da yarar.

Örnek 10.5 (Uzayda Sarmal Bir Akış) \(z > 0\) yarı uzayında tanımlı

\[\mathbf{F}(x, y, z) = \frac{y}{z}\,\mathbf{i} - \frac{x}{z}\,\mathbf{j} + \frac{z}{4}\,\mathbf{k}\]

alanının bir akış çizgisi boyunca ilerleyen parçacığın hareketini tarif ediniz.

Çözüm

\(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle\) bir akış çizgisi olsun. Tanım gereği

\[x' = \frac{y}{z}, \qquad y' = -\frac{x}{z}, \qquad z' = \frac{z}{4}\]

olur.

Düşey hareket. \(z > 0\) olduğundan \(z' = z/4 > 0\)’dır: parçacık sürekli yükselir. Yükseldikçe \(z'\) de büyür, yani parçacık giderek daha hızlı yükselir.

\(z\) eksenine uzaklık. \(x^2 + y^2\) ifadesinin türevi

\[\frac{d}{dt}\big(x^2 + y^2\big) = 2x \cdot \frac{y}{z} + 2y \cdot \left(-\frac{x}{z}\right) = 0\]

olduğundan \(x^2 + y^2\) sabittir. Parçacık \(z\) eksenine uzaklığını korur, yani ekseni \(z\) ekseni olan bir dik dairesel silindirin üzerinde kalır. Parçacık \(z\) ekseninin üzerindeyse \(x = y = 0\) olarak kalır ve dümdüz yükselir.

Dönme yönü. Hızın yatay kısmı

\[\left\langle \frac{y}{z},\ -\frac{x}{z} \right\rangle = -\frac{1}{z}\,\langle -y,\ x \rangle\]

olur; bu, dönme alanının (bkz. Örnek 10.1) \(-1/z\) katıdır. Dönme alanı yukarıdan bakıldığında saat yönünün tersine döndüğünden parçacık yukarıdan bakıldığında \(z\) ekseni çevresinde saat yönünde döner.

Sonuç olarak parçacık bir silindirin üzerinde, saat yönünde dönerek yükselir. Yatay sürati \(\sqrt{x^2 + y^2}\,/\,z\) yükseldikçe azalır, düşey sürati \(z/4\) ise artar; bu yüzden sarmalın kıvrımları yukarı doğru gittikçe açılır. \(\blacksquare\)

Etkileşimli sahne: uzayda vektör alanları ve akış çizgileri. Sahneyi sürükleyerek döndürebilirsiniz. Listede bu bölümün uzay alanları var: yukarıdaki sarmal akış, düşey alan \(z\,\mathbf{k}\) (Örnek 10.2), kütle çekim alanı (\(mMG = 1\) alınarak; Örnek 10.6), fıskiyeye benzeyen \(x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + 3\,\mathbf{k}\) alanı (Alıştırma 10.3) ve formülleri birbirine benzeyen \(\mathbf{F}_1\) ile \(\mathbf{F}_2\). Oklar seyrek bir ızgarada, aynı oranda kısaltılarak çizilir; “eşit” seçeneği yalnız yönü gösterir. Kaydırıcılar turuncu başlangıç noktasını taşır, turuncu eğri de o noktadan geçen akış çizgisidir. Sarmal akışta değer satırı \(x^2 + y^2\) ifadesinin akış boyunca sabit kaldığını yazar: parçacık bir silindirin üzerinde, yukarıdan bakınca saat yönünde dönerek yükselir. Yükseldikçe yatay sürati azalıp düşey sürati arttığından kıvrımlar yukarı doğru açılır, aşağıda ise \(z\) küçüldükçe sıklaşır.

valSpaceFields = {
  // box: the axis ranges of the scene; counts: arrows per axis; keep: the part of the box where the field is used
  return {
    helix: {
      title: "(y/z) i − (x/z) j + (z/4) k (sarmal akış)", F: (x, y, z) => [y / z, -x / z, z / 4],
      box: [[-2, 2], [-2, 2], [0, 4]], zRange: [0.3, 4], counts: [5, 5, 4], start: [1, 0, 1], keep: (p) => p[2] > 0.25,
      note: (x, y) => (Math.hypot(x, y) < 1e-9 ? "Parçacık z ekseni üzerinde dümdüz yükselir." : `x² + y² = ${fmtTrim(x * x + y * y, 4)} sabit kalır: parçacık bu silindirin üzerinde, yukarıdan bakınca saat yönünde dönerek yükselir.`)
    },
    vertical: {
      title: "z k", F: (x, y, z) => [0, 0, z], box: [[-2, 2], [-2, 2], [-2, 2]], counts: [4, 4, 5], start: [1, 1, 0.5],
      note: (x, y, z) => `Akış çizgisi düşeydir: x ile y sabit kalır, parçacık ${z > 0 ? "yukarı" : "aşağı"} doğru giderek hızlanır.`
    },
    gravity: {
      title: "−x/|x|³ (kütle çekimi, mMG = 1)", F: (x, y, z) => { const r3 = Math.hypot(x, y, z) ** 3; return [-x / r3, -y / r3, -z / r3]; },
      box: [[-2, 2], [-2, 2], [-2, 2]], counts: [4, 4, 4], start: [1.5, 1, 1], keep: (p) => Math.hypot(...p) > 0.1,
      note: (x, y, z) => `Oklar orijine yönelir; |F| = 1/(x² + y² + z²) = ${fmtTrim(1 / (x * x + y * y + z * z), 4)}. Akış çizgisi orijine giden ışındır.`
    },
    fountain: { title: "x i + y j + 3 k", F: (x, y) => [x, y, 3], box: [[-2, 2], [-2, 2], [0, 4]], counts: [5, 5, 3], start: [1, 0, 0.5], note: () => "Düşey bileşen her yerde 3'tür; z ekseninden uzaklaştıkça oklar uzar ve yataylaşır." },
    first: { title: "F₁ = y i + z j + x k", F: (x, y, z) => [y, z, x], box: [[-2, 2], [-2, 2], [-2, 2]], counts: [5, 5, 5], start: [1, 0, 0], note: () => "j bileşeni z'dir ve xy-düzleminin iki yanında işaret değiştirir." },
    second: { title: "F₂ = y i − 2 j + x k", F: (x, y, z) => [y, -2, x], box: [[-2, 2], [-2, 2], [-2, 2]], counts: [5, 5, 5], start: [1, 1, 0], note: () => "j bileşeni her yerde −2'dir: bütün oklar y ekseninin negatif yönüne eğilir." }
  };
}

viewof valSpaceChoice = Inputs.select(Object.keys(valSpaceFields), { value: "helix", label: "alan", format: (key) => valSpaceFields[key].title })

viewof valSpaceControls = {
  const field = valSpaceFields[valSpaceChoice];
  const [bx, by, bz] = field.box;
  return Inputs.form({
    x0: Inputs.range(bx, { value: field.start[0], step: 0.1, label: "x₀" }),
    y0: Inputs.range(by, { value: field.start[1], step: 0.1, label: "y₀" }),
    z0: Inputs.range(field.zRange ? field.zRange : bz, { value: field.start[2], step: 0.1, label: "z₀" }),
    mode: Inputs.radio(["scaled", "unit"], { value: "scaled", label: "uzunluk", format: (key) => (key === "scaled" ? "orantılı" : "eşit") })
  });
}

valSpacePlot = html`<div class="scene3d" role="img" aria-label="Dondurulebilir sahne: secilen uzay vektor alaninin seyrek bir izgaradaki oklari ve secilen baslangic noktasindan gecen akis cizgisi; sarmal alanda akis cizgisi bir silindirin uzerinde donerek yukselir"></div>`

{
  const field = valSpaceFields[valSpaceChoice];
  const { x0, y0, z0, mode } = valSpaceControls;
  const F = field.F;
  const box = field.box;
  // arrow grid, inset from the faces of the box
  const grid = box.map(([a, b]) => [a + 0.1 * (b - a), b - 0.1 * (b - a)]);
  const counts = field.counts;
  const spacing = Math.min(...grid.map(([a, b], axis) => (b - a) / (counts[axis] - 1)));
  // one common scale for every arrow: the longest grid arrow fills 80% of the spacing
  let longest = 1e-12;
  for (let i = 0; i < counts[0]; i++) {
    for (let j = 0; j < counts[1]; j++) {
      for (let k = 0; k < counts[2]; k++) {
        const p = [i, j, k].map((m, axis) => grid[axis][0] + ((grid[axis][1] - grid[axis][0]) * m) / (counts[axis] - 1));
        const length = Math.hypot(...F(...p));
        if (Number.isFinite(length)) longest = Math.max(longest, length);
      }
    }
  }
  const scale = (0.8 * spacing) / longest;
  const traces = [...field3d(F, grid[0], grid[1], grid[2], counts, theme.theory, { scale, normalize: mode === "unit", fill: 0.8, name: "alanın okları" })];
  const start = [x0, y0, z0];
  const keep = (p) => p.every((c, axis) => c >= box[axis][0] && c <= box[axis][1]) && (field.keep ? field.keep(p) : true);
  const line = valFlowLine(F, start, keep, (box[0][1] - box[0][0]) / 300);
  const curve = line.points;
  if (curve.length > 2) {
    traces.push(
      { type: "scatter3d", mode: "lines", x: curve.map((p) => p[0]), y: curve.map((p) => p[1]), z: curve.map((p) => p[2]), line: { color: theme.practice, width: 5 }, name: "akış çizgisi", hoverinfo: "skip" },
      arrowHeads3d(line.along, 0, line.length, 6, theme.practice, { size: 0.2 })
    );
  }
  traces.push(point(start, theme.practice, "başlangıç noktası", { size: 5 }));
  render(Plotly, valSpacePlot, traces, sceneLayout(theme, { x: box[0], y: box[1], z: box[2], revision: valSpaceChoice }));
  const v = F(x0, y0, z0);
  const size = Math.hypot(...v);
  const where = `(${fmtTrim(x0, 4)}; ${fmtTrim(y0, 4)}; ${fmtTrim(z0, 4)})`;
  if (!Number.isFinite(size)) {
    return html`<div class="scene3d-readout">F${where} tanımlı değildir.<br>Kütle çekim alanı orijinde tanımlı değildir; akış çizgisi orijinde biter.</div>`;
  }
  const first = `F${where} = ⟨${v.map((c) => fmtTrim(c, 4)).join("; ")}⟩ · |F| = ${fmtTrim(size, 4)}`;
  const second = size < 1e-9 ? "Bu noktada F = 0: buradan bırakılan parçacık yerinde kalır." : field.note(x0, y0, z0);
  return html`<div class="scene3d-readout">${first}<br>${second}</div>`;
}

10.4 Kuvvet Alanları

Fizikte en sık karşılaşılan ikinci tür vektör alanı, her noktaya o noktadaki bir cisme etkiyen kuvveti atayan kuvvet alanıdır (force field). İki temel örnek, kütle çekimi ve elektrik kuvvetidir.

Örnek 10.6 (Kütle Çekim Alanı) Newton’un kütle çekim yasasına göre kütleleri \(m\) ve \(M\) olan iki cisim arasındaki çekim kuvvetinin büyüklüğü

\[|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}\]

olur; burada \(r\) cisimler arasındaki uzaklık, \(G\) ise evrensel çekim sabitidir. \(M\) kütleli cisim orijinde, \(m\) kütleli cisim \(\mathbf{x} = \langle x, y, z \rangle\) konumunda olsun. \(M\)’nin \(m\)’ye uyguladığı çekim kuvvetini \(\mathbf{x}\)’in bir fonksiyonu, yani bir vektör alanı olarak yazınız.

Çözüm

Büyüklük. İki cisim arasındaki uzaklık \(r = |\mathbf{x}|\) olduğundan \(r^2 = |\mathbf{x}|^2\) ve kuvvetin büyüklüğü \(mMG/|\mathbf{x}|^2\) olur.

Yön. Çekim kuvveti \(m\) kütleli cismi orijine doğru çeker. \(\mathbf{x}\) noktasından orijine doğru olan birim vektör

\[-\frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|}\]

vektörüdür.

Kuvvet. Bir vektör, büyüklüğü ile yönündeki birim vektörün çarpımıdır:

\[\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \frac{mMG}{|\mathbf{x}|^2} \cdot \left(-\frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|}\right) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\,\mathbf{x}.\]

Bileşenler. \(\mathbf{x} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}\) ve \(|\mathbf{x}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) yazarsak

\[ \begin{aligned} \mathbf{F}(x, y, z) &= \frac{-mMGx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\,\mathbf{i} + \frac{-mMGy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\,\mathbf{j} \\[1mm] &\quad + \frac{-mMGz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\,\mathbf{k} \end{aligned} \]

elde edilir. Bu alan orijin dışındaki her noktada tanımlıdır. \(\blacksquare\)

Bulduğumuz

\[\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\,\mathbf{x} \tag{2}\]

alanına kütle çekim alanı (gravitational field) denir: uzaydaki her \(\mathbf{x}\) noktasına, orada bulunan \(m\) kütleli cisme etkiyen \(\mathbf{F}(\mathbf{x})\) kuvvetini atar. Fizikte konum vektörü çoğu zaman \(\mathbf{r}\) ile gösterilir ve aynı formül \(\mathbf{F} = -(mMG/r^3)\,\mathbf{r}\) biçiminde yazılır. Kuvvetin büyüklüğü uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğundan bu yasa bir ters kare yasasıdır. Newton bu yasayı 1687’de Principia adlı eserinde yayımladı.

Orijindeki M kütlesinin kütle çekim alanı. Oklar orijine yönelir; büyüklükleri uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğundan orijine yaklaştıkça hızla uzar. Oklar orijin merkezli üç küre üzerindeki noktalardan çizildi.

Elektrik yükleri arasındaki kuvvet de aynı biçimde bir vektör alanıdır.

Örnek 10.7 (Elektrik Kuvveti) Orijinde bir \(Q\) elektrik yükü bulunsun (yükler işaretlidir: pozitif ya da negatif olabilir). Coulomb yasasına göre bu yükün, konum vektörü \(\mathbf{x} = \langle x, y, z \rangle\) olan noktadaki bir \(q\) yüküne uyguladığı elektrik kuvveti

\[\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon\,qQ}{|\mathbf{x}|^3}\,\mathbf{x} \tag{3}\]

olur; burada \(\varepsilon\), kullanılan birimlere bağlı pozitif bir sabittir. Bu kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü inceleyiniz.

Çözüm

Büyüklük. \(|\mathbf{x}|\) uzunluğu sadeleşir:

\[|\mathbf{F}(\mathbf{x})| = \frac{\varepsilon\,|qQ|}{|\mathbf{x}|^3}\,|\mathbf{x}| = \frac{\varepsilon\,|qQ|}{|\mathbf{x}|^2}.\]

Elektrik kuvveti de uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.

Yön. \(\mathbf{F}(\mathbf{x})\), \(\mathbf{x}\)’in bir katıdır ve katsayının işareti \(qQ\)’nun işaretidir.

• Yükler aynı işaretliyse \(qQ > 0\)’dır ve \(\mathbf{F}(\mathbf{x})\), \(\mathbf{x}\) ile aynı yöndedir: kuvvet \(q\) yükünü orijinden uzaklaştırır, yani iticidir.
• Yükler zıt işaretliyse \(qQ < 0\)’dır ve \(\mathbf{F}(\mathbf{x})\) orijine doğrudur: kuvvet çekicidir.

Karşılaştırma. (3) formülü, kütle çekim alanının (2) formülüyle aynı biçimdedir; yalnız \(-mMG\) katsayısının yerini \(\varepsilon\,qQ\) almıştır. Kütle çekimi her zaman çekicidir, elektrik kuvveti ise yüklerin işaretine göre çekici ya da itici olabilir. \(\blacksquare\)

Kütle çekim ve elektrik kuvvetinin alanları birer kuvvet alanıdır. Fizikçiler çoğu zaman elektrik kuvvetinin kendisi yerine birim yük başına düşen kuvvete bakar:

\[\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{1}{q}\,\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\,\mathbf{x}.\]

\(\mathbf{E}\), orijin dışında tanımlı bir vektör alanıdır ve \(Q\) yükünün elektrik alanı (electric field) adını alır. \(\mathbf{E}\), \(q\)’ya bağlı değildir; yalnız alanı oluşturan \(Q\) yükünü tarif eder. Coulomb bu yasayı 1785’te burulma terazisiyle yaptığı deneylerle ortaya koydu.

10.5 Gradyan Alanları

Bir skaler alandan bir vektör alanı elde etmenin en doğal yolu gradyan almaktır.

İki değişkenli bir \(f\) fonksiyonunun gradyanını biliyoruz (bkz. Analiz 4): \(\nabla f(x, y) = f_x(x, y)\,\mathbf{i} + f_y(x, y)\,\mathbf{j}\). Gradyan her noktaya bir vektör atadığından bir vektör alanıdır.

Tanım 10.3 (Gradyan Vektör Alanı) \(f\), birinci mertebeden kısmi türevleri açık bir \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) kümesinin her noktasında var olan iki değişkenli bir fonksiyon olsun. \(D\) üzerinde

\[\nabla f(x, y) = f_x(x, y)\,\mathbf{i} + f_y(x, y)\,\mathbf{j}\]

ile tanımlanan vektör alanına \(f\)’nin gradyan vektör alanı (kısaca gradyan alanı) denir. \(f\) üç değişkenli ise gradyan vektör alanı, \(\mathbb{R}^3\)’te

\[\nabla f(x, y, z) = f_x\,\mathbf{i} + f_y\,\mathbf{j} + f_z\,\mathbf{k}\]

ile tanımlanan alandır.

Yani gradyan, bir skaler alanı bir vektör alanına çevirir. Gradyan alanının görünüşünü, gradyanın bildiğimiz özellikleri belirler (bkz. Analiz 4). \(f\)’nin türevlenebilir olduğu ve \(\nabla f \ne \mathbf{0}\) olduğu bir noktada:

• \(\nabla f\), \(f\)’nin en hızlı arttığı yönü gösterir;
• \(|\nabla f|\), bu en büyük artış hızına, yani en büyük yönlü türeve eşittir;
• \(\nabla f\), o noktadan geçen seviye eğrisine diktir.

Örnek 10.8 (Gradyan Alanı ve Seviye Eğrileri) \(f(x, y) = x^2 y - y^3\) fonksiyonunun gradyan vektör alanını bulunuz ve bu alanın \(f\)’nin seviye eğrileriyle ilişkisini açıklayınız.

f(x, y) = x²y − y³ fonksiyonunun seviye eğrileri (mavi; ardışık seviyeler arasındaki fark 6'dır, f = 0 seviyesi üç doğrudur) ve gradyan vektör alanı (turuncu, oklar aynı oranda kısaltılmış). Oklar seviye eğrilerine diktir; eğrilerin sık olduğu yerde uzun, seyrek olduğu yerde kısadır.

Çözüm

Gradyan alanı. Kısmi türevler \(f_x = 2xy\) ve \(f_y = x^2 - 3y^2\) olduğundan

\[\nabla f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{j} = 2xy\,\mathbf{i} + (x^2 - 3y^2)\,\mathbf{j}\]

bulunur.

Sıfır seviyesi. \(f\)’yi çarpanlarına ayıralım:

\[f(x, y) = y(x^2 - y^2) = y(x - y)(x + y).\]

Buna göre \(f = 0\) seviyesi \(y = 0\), \(y = x\) ve \(y = -x\) doğrularından oluşur. Bu doğrular düzlemi altı bölgeye ayırır ve \(f\)’nin işareti komşu bölgelerde farklıdır. Orijinde \(\nabla f(0, 0) = \mathbf{0}\)’dır.

Diklik. Şekildeki gradyan vektörleri seviye eğrilerine diktir. Bunu bir noktada doğrulayalım. \((2, 1)\) noktasında \(f(2, 1) = 4 - 1 = 3\) ve \(\nabla f(2, 1) = \langle 4, 1 \rangle\) olur. \(x^2 y - y^3 = 3\) seviye eğrisinin \((2, 1)\) noktasındaki eğimi kapalı türevle

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{f_x(2, 1)}{f_y(2, 1)} = -\frac{4}{1} = -4\]

bulunur; yani \(\langle 1, -4 \rangle\) vektörü eğriye teğettir. \(\langle 4, 1 \rangle \cdot \langle 1, -4 \rangle = 4 - 4 = 0\) olduğundan gradyan, teğete diktir.

Uzunluk. Gradyan vektörleri seviye eğrilerinin sık olduğu yerlerde uzun, seyrek olduğu yerlerde kısadır. Nedeni şudur: \(|\nabla f|\), \(f\)’nin en büyük yönlü türevi, yani en hızlı değişim hızıdır. Eşit aralıklı seviyelere ait eğrilerin birbirine yakın olması, \(f\)’nin kısa bir mesafede çok değiştiğini, yani grafiğin orada dik olduğunu gösterir. Orijin çevresinde ise \(f\) yavaş değişir; eğriler seyrek, oklar kısadır. \(\blacksquare\)

10.6 Konservatif Vektör Alanları

Her vektör alanı bir fonksiyonun gradyanı değildir; gradyan olan alanlar özel bir ad alır.

Tanım 10.4 (Konservatif Vektör Alanı ve Potansiyel Fonksiyon) Bir \(\mathbf{F}\) vektör alanı bir \(f\) skaler fonksiyonunun gradyanı ise, yani tanım kümesinin her noktasında \(\mathbf{F} = \nabla f\) olacak biçimde bir \(f\) fonksiyonu varsa, \(\mathbf{F}\)’ye konservatif vektör alanı (conservative vector field) denir. Bu durumda \(f\)’ye \(\mathbf{F}\)’nin bir potansiyel fonksiyonu denir.

Yani konservatif alan, gradyan alanının başka bir adıdır; ama soru bu kez tersten sorulur: \(\mathbf{F}\) verildiğinde onu gradyan olarak yazan bir \(f\) var mıdır? Bileşenlerle söylersek \(\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}\) alanının konservatif olması,

\[P = f_x, \qquad Q = f_y, \qquad R = f_z\]

olacak biçimde bir \(f\) bulunması demektir. Potansiyel fonksiyon tek değildir: \(f\) bir potansiyel fonksiyonsa her \(C\) sabiti için \(\nabla(f + C) = \nabla f\) olduğundan \(f + C\) de bir potansiyel fonksiyondur. Konservatif (korunumlu) adı fizikten gelir: bu tür kuvvet alanlarında enerjinin korunduğunu ileride göreceğiz.

Konservatif alanlar fizikte sık sık karşımıza çıkar. İlk örneğimiz kütle çekim alanıdır.

Örnek 10.9 (Kütle Çekim Alanı Konservatiftir) Kütle çekim alanının (bkz. Örnek 10.6) konservatif olduğunu,

\[f(x, y, z) = \frac{mMG}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\]

fonksiyonunun bir potansiyel fonksiyonu olduğunu göstererek kanıtlayınız.

Çözüm

\(f = mMG\,(x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2}\) yazıp zincir kuralıyla \(x\)’e göre türev alalım:

\[ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= mMG \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} \cdot 2x \\[1mm] &= \frac{-mMGx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}. \end{aligned} \]

\(f\)’nin formülünde \(x\), \(y\) ve \(z\) aynı rolü oynadığından aynı hesap

\[\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-mMGy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{-mMGz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\]

verir. Bunlar kütle çekim alanının bileşen fonksiyonlarıdır (bkz. Örnek 10.6):

\[\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{k} = \mathbf{F}(x, y, z).\]

Demek ki kütle çekim alanı, orijin dışındaki her noktada \(f\)’nin gradyanıdır ve konservatiftir. \(\blacksquare\)

Aynı hesap elektrik alanına da uygulanır. \(mMG = 1\) alınırsa yukarıdaki hesap \(\nabla\big(1/|\mathbf{x}|\big) = -\mathbf{x}/|\mathbf{x}|^3\) olduğunu gösterir; buradan

\[\nabla\left(-\frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|}\right) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\,\mathbf{x} = \mathbf{E}(\mathbf{x})\]

çıkar, yani elektrik alanı da konservatiftir. Fizikte işaret çoğu zaman ters seçilir: kuvvet \(\mathbf{F} = -\nabla V\) biçiminde yazılır ve \(V = -f\) fonksiyonuna potansiyel enerji denir. Biz matematikteki \(\mathbf{F} = \nabla f\) uzlaşımını kullanıyoruz.

Her alanın konservatif olmadığını görmek için dönme alanına bakalım.

Örnek 10.10 (Konservatif Olmayan Bir Alan) Dönme alanı \(\mathbf{F}(x, y) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}\)’nin \(\mathbb{R}^2\)’de konservatif olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Tersini varsayalım: \(\mathbb{R}^2\)’de \(\nabla f = \mathbf{F}\) olacak biçimde bir \(f\) fonksiyonu olsun. Bileşenleri eşitlersek her \((x, y)\) için

\[f_x(x, y) = -y, \qquad f_y(x, y) = x\]

olur. Bu iki fonksiyonun kısmi türevleri her yerde vardır:

\[f_{xx} = 0, \qquad f_{xy} = (f_x)_y = -1, \qquad f_{yx} = (f_y)_x = 1, \qquad f_{yy} = 0.\]

Demek ki \(f\)’nin bütün ikinci mertebeden kısmi türevleri var ve süreklidir. Clairaut Teoremi’ne göre (bkz. Analiz 4) bu durumda \(f_{xy} = f_{yx}\) olmalıdır. Oysa \(-1 \ne 1\)’dir. Bu çelişki, böyle bir \(f\)’nin bulunamayacağını gösterir; dönme alanı konservatif değildir. \(\blacksquare\)

Bu örnekteki fikir, bir alanın konservatif olup olmadığını anlamak için genel bir ölçüte dönüşecek. Bu ölçütleri Eğrisel İntegraller için Temel Teorem ve Rotasyonel ve Diverjans bölümlerinde göreceğiz.

10.7 Alıştırmalar

Aşağıdaki alıştırmalar alanları çizmeyi ve tarif etmeyi, gradyan alanlarını ve akış çizgilerini kapsar.

Alıştırma 10.1 (Bir Düzlem Alanını Çizmek) \(\mathbf{F}(x, y) = -\tfrac{1}{2}\,\mathbf{i} + (y - x)\,\mathbf{j}\) vektör alanını çiziniz.

Çözüm

Yatay bileşen. \(P = -\tfrac{1}{2}\) sabittir: her okun yatay bileşeni aynıdır ve sola doğrudur.

Düşey bileşen. \(Q = y - x\) yalnız \(y - x\) farkına bağlıdır. Dolayısıyla her \(y = x + c\) doğrusu üzerinde alan sabittir.

• \(y = x\) doğrusu üzerinde \(Q = 0\) ve \(\mathbf{F} = -\tfrac{1}{2}\,\mathbf{i}\)’dir: oklar kısa ve yataydır, sola bakar.
• Doğrunun üstünde (\(y > x\)) \(Q > 0\)’dır: oklar sola ve yukarı doğrudur.
• Doğrunun altında (\(y < x\)) \(Q < 0\)’dır: oklar sola ve aşağı doğrudur.

Doğrudan uzaklaştıkça \(|Q| = |y - x|\) büyüdüğünden oklar dikleşir ve uzar. Birkaç değer:

\((x, y)\)	\(\mathbf{F}(x, y)\)	\((x, y)\)	\(\mathbf{F}(x, y)\)
\((0, 0)\)	\(\langle -\tfrac{1}{2}, 0 \rangle\)	\((1, 1)\)	\(\langle -\tfrac{1}{2}, 0 \rangle\)
\((0, 1)\)	\(\langle -\tfrac{1}{2}, 1 \rangle\)	\((1, 0)\)	\(\langle -\tfrac{1}{2}, -1 \rangle\)
\((0, 2)\)	\(\langle -\tfrac{1}{2}, 2 \rangle\)	\((2, 0)\)	\(\langle -\tfrac{1}{2}, -2 \rangle\)
\((-2, 2)\)	\(\langle -\tfrac{1}{2}, 4 \rangle\)	\((2, -2)\)	\(\langle -\tfrac{1}{2}, -4 \rangle\)

F(x, y) = −½ i + (y − x) j alanının tam sayı koordinatlı noktalardaki vektörleri (hepsi aynı oranda kısaltılmış). Oklar y = x doğrusu üzerinde yatay ve sola doğrudur; doğrunun üstünde yukarı, altında aşağı eğilir ve doğrudan uzaklaştıkça uzar.

\(\blacksquare\)

Alıştırma 10.2 (Okların Yatay ve Düşey Olduğu Doğrular) \(\mathbf{F}(x, y) = \langle y,\ y + 2 \rangle\) alanının görünüşünü, okların düşey ve yatay olduğu yerleri bularak tarif ediniz.

Çözüm

\(x\)’ten bağımsızlık. İki bileşen de yalnız \(y\)’ye bağlıdır; her yatay doğru üzerinde bütün oklar aynıdır.

Düşey oklar. Ok, \(P = y = 0\) olduğunda düşeydir. \(x\) ekseni üzerinde \(\mathbf{F} = \langle 0, 2 \rangle\) olur: oklar yukarı bakar ve uzunlukları \(2\)’dir.

Yatay oklar. Ok, \(Q = y + 2 = 0\) olduğunda yataydır. \(y = -2\) doğrusu üzerinde \(\mathbf{F} = \langle -2, 0 \rangle\) olur: oklar sola bakar ve uzunlukları \(2\)’dir.

Bölgeler. Bileşenlerin işaretine bakalım:

• \(y > 0\) ise \(P > 0\) ve \(Q > 0\)’dır: oklar sağa ve yukarı doğrudur.
• \(-2 < y < 0\) ise \(P < 0\) ve \(Q > 0\)’dır: oklar sola ve yukarı doğrudur.
• \(y < -2\) ise \(P < 0\) ve \(Q < 0\)’dır: oklar sola ve aşağı doğrudur.

Uzunluk. Okun uzunluğunun karesi

\[|\mathbf{F}|^2 = y^2 + (y + 2)^2 = 2(y + 1)^2 + 2\]

olduğundan en kısa oklar \(y = -1\) doğrusundadır ve uzunlukları \(\sqrt{2}\)’dir. \(|y|\) büyüdükçe oklar uzar ve \((y + 2)/y \to 1\) olduğundan \(y = x\) doğrultusuna paralelleşir: üstte sağa ve yukarı, altta sola ve aşağı. \(\blacksquare\)

Alıştırma 10.3 (Yukarı Eğilen Bir Uzay Alanı) \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + 3\,\mathbf{k}\) alanının görünüşünü tarif ediniz.

Çözüm

\(z\)’den bağımsızlık. Bileşenler \(z\)’ye bağlı değildir; aynı düşey doğru üzerindeki bütün noktalarda vektör aynıdır.

Yatay kısım. \(x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j}\), noktanın \(xy\)-düzlemindeki izdüşümünün konum vektörüdür. Bu yüzden okların yatay kısmı \(z\) ekseninden dışarı doğrudur ve uzunluğu, noktanın \(z\) eksenine uzaklığı olan \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)’dir.

Düşey kısım. \(\mathbf{k}\) bileşeni her yerde \(3\)’tür; bütün oklar yukarı eğilir. \(z\) ekseni üzerinde (\(x = y = 0\)) \(\mathbf{F} = 3\,\mathbf{k}\) olur ve oklar düşeydir.

Eğim. Okun yatayla yaptığı \(\alpha\) açısı için \(\tan\alpha = 3/r\) ve okun uzunluğu \(\sqrt{r^2 + 9}\) olur. \(z\) ekseninden uzaklaştıkça oklar hem uzar hem yataylaşır. Alan, \(z\) ekseninden her yöne, yukarı doğru açılan bir fıskiyeye benzer. \(\blacksquare\)

Alıştırma 10.4 (Alanın Sıfır Olduğu Bir Çember) \(\mathbf{x} = \langle x, y \rangle\) ve \(r = |\mathbf{x}|\) olmak üzere \(\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (r^2 - 2r)\,\mathbf{x}\) alanının sıfır olduğu noktaları bularak alanın görünüşünü açıklayınız.

Çözüm

Sıfırlar. \(\mathbf{F}(\mathbf{x}) = r(r - 2)\,\mathbf{x}\) yazalım. Bu vektörün sıfır olması için \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) ya da \(r(r - 2) = 0\) olmalıdır; yani \(r = 0\) ya da \(r = 2\). Alan orijinde ve \(x^2 + y^2 = 4\) çemberinin her noktasında sıfırdır.

Yön. \(\mathbf{F}(\mathbf{x})\), konum vektörünün \(r(r - 2)\) katıdır; oklar yarıçap doğrultusundadır.

• \(0 < r < 2\) ise \(r(r - 2) < 0\)’dır: oklar orijine doğru, içeri bakar.
• \(r > 2\) ise \(r(r - 2) > 0\)’dır: oklar orijinden dışarı bakar.

Uzunluk. \(|\mathbf{F}(\mathbf{x})| = r\,|r - 2| \cdot r = r^2\,|r - 2|\) olur. Çemberin içinde bu sayı \(r^2(2 - r)\)’dir; türevi \(4r - 3r^2\), \(r = 4/3\)’te sıfır olur ve en büyük değer \(\tfrac{16}{9} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{32}{27}\)’dir. Yani içerideki oklar kısadır; örneğin \(r = 1\)’de uzunluk \(1\)’dir. Çemberin dışında ise uzunluk hızla büyür; örneğin \(r = 3\)’te \(9\)’dur.

Görünüş. Oklar \(r = 2\) çemberinin içinde orijine, dışında orijinden uzağa doğrudur ve çemberin üzerinde sıfırdır. Bu alanı bir hız alanı olarak düşünürsek çemberin içindeki parçacıklar orijine doğru, dışındakiler orijinden uzağa sürüklenir; çemberin üzerindeki parçacıklar ise yerinde kalır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 10.5 (İki Değişkenli Bir Gradyan Alanı) \(f(x, y) = y\sin(xy)\) fonksiyonunun gradyan vektör alanını bulunuz.

Çözüm

\(x\)’e göre türev. \(y\) sabit tutulur; zincir kuralıyla \(\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)\) olduğundan

\[f_x = y \cdot y\cos(xy) = y^2\cos(xy)\]

olur.

\(y\)’ye göre türev. \(f\), \(y\) ile \(\sin(xy)\)’nin çarpımıdır; çarpım kuralı ve \(\dfrac{\partial}{\partial y}\sin(xy) = x\cos(xy)\) ile

\[f_y = \sin(xy) + y \cdot x\cos(xy) = \sin(xy) + xy\cos(xy)\]

bulunur.

Gradyan alanı.

\[\nabla f(x, y) = y^2\cos(xy)\,\mathbf{i} + \big[\sin(xy) + xy\cos(xy)\big]\,\mathbf{j}.\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 10.6 (Üç Değişkenli Bir Gradyan Alanı) \(f(x, y, z) = x^2 y\,e^{y/z}\) fonksiyonunun gradyan vektör alanını bulunuz.

Çözüm

\(f\), \(z \ne 0\) olan noktalarda tanımlıdır. Üç kısmi türevi sırayla alalım.

\(x\)’e göre. \(y\,e^{y/z}\) çarpanı sabittir:

\[f_x = 2xy\,e^{y/z}.\]

\(y\)’ye göre. \(x^2\) sabittir; \(y\,e^{y/z}\) çarpımına çarpım kuralını uygulayalım. \(\dfrac{\partial}{\partial y}e^{y/z} = \dfrac{1}{z}\,e^{y/z}\) olduğundan

\[f_y = x^2\left(e^{y/z} + \frac{y}{z}\,e^{y/z}\right) = x^2\left(1 + \frac{y}{z}\right)e^{y/z}\]

olur.

\(z\)’ye göre. \(x^2 y\) sabittir ve \(\dfrac{\partial}{\partial z}\dfrac{y}{z} = -\dfrac{y}{z^2}\) olduğundan

\[f_z = x^2 y \cdot \left(-\frac{y}{z^2}\right)e^{y/z} = -\frac{x^2 y^2}{z^2}\,e^{y/z}\]

bulunur.

Gradyan alanı.

\[ \begin{aligned} \nabla f(x, y, z) &= 2xy\,e^{y/z}\,\mathbf{i} + x^2\left(1 + \frac{y}{z}\right)e^{y/z}\,\mathbf{j} \\[1mm] &\quad - \frac{x^2 y^2}{z^2}\,e^{y/z}\,\mathbf{k}. \end{aligned} \]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 10.7 (Köşegene Dik Bir Gradyan Alanı) \(f(x, y) = \tfrac{1}{2}(x - y)^2\) fonksiyonunun gradyan vektör alanını bularak bu alanı tarif ediniz.

Çözüm

Gradyan alanı. Zincir kuralıyla \(f_x = (x - y) \cdot 1\) ve \(f_y = (x - y) \cdot (-1)\) olduğundan

\[\nabla f(x, y) = (x - y)\,\mathbf{i} + (y - x)\,\mathbf{j} = (x - y)(\mathbf{i} - \mathbf{j})\]

bulunur.

Doğrultu. Her ok \(\mathbf{i} - \mathbf{j}\) vektörünün bir katıdır; yani bütün oklar \(y = x\) doğrusuna diktir. \(y = x\) doğrusu üzerinde \(\nabla f = \mathbf{0}\)’dır.

Yön. Doğrunun altında (\(x > y\)) oklar \(\mathbf{i} - \mathbf{j}\) yönünde, yani sağa ve aşağı; üstünde (\(x < y\)) \(-\mathbf{i} + \mathbf{j}\) yönünde, yani sola ve yukarı bakar. Her iki durumda da oklar \(y = x\) doğrusundan uzağa doğrudur.

Uzunluk. \(|\nabla f| = \sqrt{2}\,|x - y|\) olur. \((x, y)\) noktasının \(y = x\) doğrusuna uzaklığı \(|x - y|/\sqrt{2}\) olduğundan okun uzunluğu bu uzaklığın iki katıdır.

Seviye eğrileri. \(f = c\) eğrileri \(x - y = \pm\sqrt{2c}\) doğrularıdır, yani \(y = x\)’e paralel doğrulardır. Gradyan bu doğrulara diktir ve \(f\)’nin arttığı yöne, \(y = x\) doğrusundan uzağa bakar. \(\blacksquare\)

Alıştırma 10.8 (Elips Biçimli Seviye Eğrileri) \(f(x, y) = \ln(1 + x^2 + 2y^2)\) fonksiyonunun gradyan vektör alanını bularak bu alanın \(f\)’nin seviye eğrileriyle ilişkisini açıklayınız.

Çözüm

Gradyan alanı. Zincir kuralıyla

\[\nabla f(x, y) = \frac{2x}{1 + x^2 + 2y^2}\,\mathbf{i} + \frac{4y}{1 + x^2 + 2y^2}\,\mathbf{j}\]

bulunur.

Seviye eğrileri. \(f(x, y) = c\) eşitliği \(x^2 + 2y^2 = e^c - 1\) demektir. \(c > 0\) için bunlar merkezi orijin olan elipslerdir; \(c = 0\) seviyesi yalnız orijindir.

Diklik. \(x^2 + 2y^2 = k\) elipsinde kapalı türev \(2x + 4y\,y' = 0\) verir; bu yüzden \(\langle 2y, -x \rangle\) vektörü elipse teğettir. \(\nabla f\), \(\langle 2x, 4y \rangle\) vektörünün pozitif bir katıdır ve

\[\langle 2x, 4y \rangle \cdot \langle 2y, -x \rangle = 4xy - 4xy = 0\]

olduğundan gradyan elipslere diktir. Ayrıca \(f\), \(x^2 + 2y^2\) büyüdükçe arttığından oklar elipslerden dışarı doğrudur.

Uzunluk. \(x\) ekseni üzerinde \(|\nabla f| = \dfrac{2|x|}{1 + x^2}\)’dir; bu değer en çok \(1\)’dir ve \(|x| = 1\)’de alınır. \(y\) ekseni üzerinde \(|\nabla f| = \dfrac{4|y|}{1 + 2y^2}\)’dir; en çok \(\sqrt{2}\)’dir ve \(|y| = 1/\sqrt{2}\)’de alınır. Oklar orijine yakın yerde ve çok uzakta kısa, aradaki halkada uzundur. Eşit aralıklı seviyelerin elipsleri de bu halkada en sık, orijin yakınında ve uzakta seyrektir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 10.9 (Hız Alanında Konum Tahmini) Bir parçacık \(\mathbf{V}(x, y) = \langle x^2,\ x + y^2 \rangle\) hız alanında, yani bu alanın bir akış çizgisi boyunca hareket ediyor. \(t = 3\) anında \((2, 1)\) noktasında olan parçacığın \(t = 3{,}01\) anındaki konumunu tahmin ediniz.

Çözüm

(1) yaklaşımını \(t = 3\) ve \(h = 0{,}01\) ile kullanacağız.

Hız. Parçacığın \(t = 3\) anındaki hızı, bulunduğu noktadaki alanın değeridir:

\[\mathbf{V}(2, 1) = \langle 2^2,\ 2 + 1^2 \rangle = \langle 4, 3 \rangle.\]

Tahmin.

\[\mathbf{r}(3{,}01) \approx \langle 2, 1 \rangle + 0{,}01\,\langle 4, 3 \rangle = \langle 2{,}04;\ 1{,}03 \rangle.\]

Parçacık \(t = 3{,}01\) anında yaklaşık olarak \((2{,}04;\ 1{,}03)\) noktasındadır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 10.10 (Orijinden Başlayan Bir Akış Çizgisi) \(t = 0\) anında orijinde bulunan bir parçacık \(\mathbf{F}(x, y) = \mathbf{i} + x\,\mathbf{j}\) hız alanında hareket ediyor. Parçacığın izlediği yolu bulunuz.

Çözüm

Denklemler. Parçacığın yolu \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle\) bir akış çizgisidir:

\[x'(t) = 1, \qquad y'(t) = x(t), \qquad x(0) = y(0) = 0.\]

\(x(t)\). \(x' = 1\) ve \(x(0) = 0\) olduğundan \(x(t) = t\) olur.

\(y(t)\). Bunu ikinci denklemde yerine koyarsak \(y'(t) = t\) olur; \(y(0) = 0\) koşuluyla \(y(t) = t^2/2\) bulunur.

Yol. \(\mathbf{r}(t) = t\,\mathbf{i} + \tfrac{1}{2}t^2\,\mathbf{j}\) ve \(t = x\) olduğundan parçacık

\[y = \frac{x^2}{2}\]

parabolü üzerinde hareket eder. Doğrulama: \(\mathbf{r}'(t) = \langle 1, t \rangle\) ve \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle 1, t \rangle\) aynıdır.

Bütün akış çizgileri. Her akış çizgisinde \(x' = 1 \ne 0\) olduğundan eğri \(x\)’in bir fonksiyonu olarak yazılabilir ve zincir kuralı

\[\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = x\]

verir. Buradan \(y = \tfrac{1}{2}x^2 + C\) çıkar: alanın bütün akış çizgileri bu parabolün düşey ötelemeleridir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 10.11 (Hiperbol Biçimli Akış Çizgileri) \(\mathbf{F}(x, y) = x\,\mathbf{i} - y\,\mathbf{j}\) alanının \(t = 0\) anında \((1, 1)\) noktasından geçen akış çizgisini bulunuz.

Çözüm

Denklemler. Akış çizgisi \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle\) için

\[x'(t) = x(t), \qquad y'(t) = -y(t), \qquad x(0) = y(0) = 1\]

olur.

Korunan büyüklük. Çarpım kuralıyla

\[\frac{d}{dt}(xy) = x'y + xy' = xy - xy = 0\]

olduğundan \(xy\) her akış çizgisi boyunca sabittir. Alanın akış çizgileri \(xy = C\) hiperbolleri (ve \(C = 0\) için eksenler) üzerinde kalır. \((1, 1)\) noktasında \(xy = 1\)’dir.

Çözüm. \(\big(x\,e^{-t}\big)' = x'\,e^{-t} - x\,e^{-t} = 0\) olduğundan \(x\,e^{-t}\) sabittir; \(x(0) = 1\) ile \(x(t) = e^{t}\) bulunur. Aynı biçimde \(\big(y\,e^{t}\big)' = y'\,e^{t} + y\,e^{t} = 0\) olduğundan \(y(t) = e^{-t}\) olur.

Yol. \(x(t) = e^t\) bütün pozitif değerleri alır ve \(x(t)\,y(t) = 1\)’dir. Akış çizgisi, \(xy = 1\) hiperbolünün sağ kolu, yani

\[y = \frac{1}{x}, \qquad x > 0\]

eğrisidir. \(t\) arttıkça \(x\) büyür, \(y\) sıfıra yaklaşır: parçacık sağa doğru ilerleyerek \(x\) eksenine yaklaşır. \(\blacksquare\)

Vektör alanlarını tanıdığımıza göre onları integrallemeye hazırız. Sonraki bölümde Eğrisel İntegraller ile bir fonksiyonu ve bir vektör alanını bir eğri boyunca integralleyecek, bir kuvvet alanının bir parçacığı bir eğri boyunca hareket ettirirken yaptığı işi hesaplayacağız.