1 Diferansiyel Denklemler: Kavram ve Sınıflandırma
Analiz derslerinde bir fonksiyon verildiğinde türevini hesaplamayı öğrendik. Doğa bilimlerinde, mühendislikte ve ekonomide karşılaşılan durum çoğu zaman bunun tersidir: elimizde fonksiyonun kendisi değil, değişim hızı hakkında bir bilgi vardır. Bir nüfusun artış hızının o anki nüfusla orantılı olduğunu, bir cismin ivmesinin üzerine etkiyen kuvvetle belirlendiğini, bir çubuk boyunca sıcaklığın zamana göre değişiminin konuma göre eğriliğiyle ilişkili olduğunu biliriz. Bu bilgilerin her biri, bilinmeyen bir fonksiyonu türevleriyle birlikte içeren bir denklem olarak yazılır. İşte bu tür denklemlere diferansiyel denklem denir.
Bir diferansiyel denklemde bilinmeyen bir sayı değil, bir fonksiyondur. \(x^2 - 5x + 6 = 0\) denkleminde \(x\)’in hangi sayılar olabileceğini sorarız; \(y' = 2y\) denkleminde ise “türevi kendisinin iki katı olan fonksiyonlar hangileridir?” diye sorarız. Bu fark, dersin bütün yapısını belirler: çözüm bir sayı değil bir fonksiyon, hatta çoğu zaman sonsuz tane fonksiyondan oluşan bir ailedir.
Bu ilk bölümde hiçbir denklem çözmeyeceğiz. Önce ortak dili kuracağız. Bir diferansiyel denkleme baktığımızda onu üç ölçüte göre sınıflandırmayı öğreneceğiz: türevler tek bir bağımsız değişkene göre mi alınmış (adi–kısmi ayrımı), denklemde görünen en yüksek türev kaçıncı basamaktan (mertebe) ve bilinmeyen fonksiyon denklemde nasıl görünüyor (lineerlik). Bu sınıflandırma süs değildir: sonraki bölümlerde göreceğimiz çözüm yöntemlerinin her biri belirli bir sınıf için tasarlanmıştır, dolayısıyla bir denklemle karşılaşıldığında atılacak ilk adım onu doğru sınıfa yerleştirmektir.
1.1 Diferansiyel Denklem Kavramı
Tanımı yapmadan önce bir denklemde iki tür değişkenin bulunduğunu belirtelim. Bağımsız değişken (independent variable), bilinmeyen fonksiyonun girdisidir; bağımlı değişken (dependent variable) ise bu fonksiyonun kendisidir, yani bilinmeyendir. \(y = y(x)\) yazdığımızda \(x\) bağımsız, \(y\) bağımlıdır: \(y\)’nin aldığı değer \(x\)’e bağlıdır.
Tanım 1.1 (Diferansiyel Denklem) Bir ya da birden çok bağımlı değişkenin, bir ya da birden çok bağımsız değişkene göre türevlerini içeren denkleme diferansiyel denklem (differential equation) denir.
Yani bir bağıntının diferansiyel denklem olması için içinde en az bir türev bulunması yeterlidir; bilinmeyen, o türevleri alınan fonksiyondur.
Örnek 1.1 (Bir Büyüme Modeli) Bir bakteri kültüründe nüfusun artış hızının, o andaki nüfusun iki katı olduğu gözlenmiştir. Bu gözlemi bir denklem olarak yazınız; yazdığınız bağıntının neden bir diferansiyel denklem olduğunu ve bilinmeyeninin ne olduğunu açıklayınız.
Çözüm
Nüfusu, zamanın bir fonksiyonu olarak \(y = y(t)\) ile gösterelim. “Artış hızı” ifadesi, nüfusun zamana göre türevi olan \(\dfrac{dy}{dt}\) demektir. Gözlem, bu hızın o andaki nüfusun iki katına eşit olduğunu söylüyor:
\[\frac{dy}{dt} = 2y.\]
Bu bağıntıda bilinmeyen \(t\) ya da \(y\) sayıları değil, \(t\)’ye \(y(t)\) değerini karşılık getiren fonksiyonun kendisidir. Bağıntı bu bilinmeyen fonksiyonun türevini içerdiğinden bir diferansiyel denklemdir. Burada \(t\) bağımsız, \(y\) bağımlı değişkendir.
Denklemi çözmeyi henüz bilmiyoruz; ama \(y(t) = e^{2t}\) fonksiyonunun denklemi sağladığını doğrudan görebiliriz: türevi \(2e^{2t}\)’dir, bu da \(2y(t)\)’ye eşittir. Aynı şekilde her \(C\) sabiti için \(y(t) = Ce^{2t}\) de denklemi sağlar. Demek ki bir diferansiyel denklemin çözümü tek bir fonksiyon değil, bir fonksiyon ailesi olabilir.
\(\blacksquare\)
1.2 Adi ve Kısmi Diferansiyel Denklemler
İlk sınıflandırma ölçütü, türevlerin kaç tane bağımsız değişkene göre alındığıdır. Bilinmeyen fonksiyon tek değişkenliyse (\(y = y(x)\) gibi) denklemde yalnızca adi türevler, çok değişkenliyse (\(u = u(x,t)\) gibi) kısmi türevler görünür.
Tanım 1.2 (Adi Diferansiyel Denklem) Bir ya da birden çok bağımlı değişkenin tek bir bağımsız değişkene göre türevlerini içeren diferansiyel denkleme adi diferansiyel denklem (ordinary differential equation) denir.
Yani bir denklemde yalnızca tek bir harfe göre türev alınmışsa denklem adidir.
Örnek 1.2 (Adi Denklem Örneği) Aşağıdaki denklemin adi olup olmadığını belirleyiniz; bağımlı ve bağımsız değişkenlerini yazınız:
\[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x^{2}y\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3} = 0, \qquad y = y(x).\]
Çözüm
Denklemde geçen türevler \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\) ve \(\dfrac{dy}{dx}\)’tir; her ikisi de yalnızca \(x\)’e göre alınmıştır. Bağımsız değişken sayısı bir olduğundan denklem adidir.
Bilinmeyen fonksiyon \(y\), girdisi ise \(x\)’tir; dolayısıyla \(x\) bağımsız, \(y\) bağımlı değişkendir. Denklemde ayrıca bir \(x^{2}\) çarpanı ve \(\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{3}\) ifadesi bulunması bu sınıflandırmayı değiştirmez: adi–kısmi ayrımı yalnızca türevlerin hangi değişkene göre alındığına bakar.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.3 (Değişken Adlarına Aldanmamak) Aşağıdaki denklemin adi olup olmadığını belirleyiniz; bağımlı ve bağımsız değişkenlerini yazınız:
\[\frac{d^{4}x}{dt^{4}} + 7\frac{dx}{dt} + 8x^{2} = \cosh t, \qquad x = x(t).\]
Çözüm
Türevlerin hepsi \(t\)’ye göre alınmıştır, yani bağımsız değişken tektir; denklem adidir.
Buradaki asıl incelik harflerdedir: \(x\) burada bir bağımsız değişken değil, bilinmeyen fonksiyonun adıdır. \(x = x(t)\) yazımı bunu açıkça söyler. Dolayısıyla \(t\) bağımsız, \(x\) bağımlı değişkendir. Bağımlı ve bağımsız değişkeni belirlerken harfin kendisine değil, “hangisi hangisinin fonksiyonu?” sorusunun cevabına bakılır.
Denklemin sağındaki \(\cosh t\) terimi yalnızca bağımsız değişkene bağlıdır; bu da sınıflandırmayı etkilemez.
\(\blacksquare\)
Tanım 1.3 (Kısmi Diferansiyel Denklem) Bir ya da birden çok bağımlı değişkenin birden çok bağımsız değişkene göre türevlerini içeren diferansiyel denkleme kısmi diferansiyel denklem (partial differential equation) denir.
Yani denklemde iki ya da daha fazla harfe göre türev alınmışsa (ve bu yüzden \(\partial\) simgesi görünüyorsa) denklem kısmidir.
Örnek 1.4 (Kısmi Denklem Örneği) Aşağıdaki denklemin türünü belirleyiniz; bağımlı ve bağımsız değişkenlerini yazınız:
\[\frac{\partial z}{\partial s} + 2\frac{\partial z}{\partial t} = 0, \qquad z = z(s,t).\]
Çözüm
Bilinmeyen fonksiyon \(z\), iki değişkenli bir fonksiyondur: \(z = z(s,t)\). Denklemde \(z\)’nin hem \(s\)’ye hem \(t\)’ye göre türevi görünüyor. Bağımsız değişken sayısı ikidir, dolayısıyla denklem kısmi diferansiyel denklemdir.
Burada \(s\) ve \(t\) bağımsız, \(z\) bağımlı değişkendir. Kısmi türev simgesi \(\partial\)’nin kullanılmasının nedeni de budur: \(\dfrac{\partial z}{\partial s}\) yazıldığında \(t\) sabit tutulup yalnızca \(s\)’ye göre türev alındığı anlaşılır.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.5 (Dalga Denklemi) Aşağıdaki denklemin türünü belirleyiniz; bağımlı ve bağımsız değişkenlerini yazınız (\(c\) sabittir):
\[\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} - c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 0, \qquad u = u(x,t).\]
Çözüm
Bilinmeyen \(u\) fonksiyonu iki değişkene bağlıdır ve denklemde hem \(t\)’ye hem \(x\)’e göre ikinci türevler bulunmaktadır. Bağımsız değişkenler \(x\) ve \(t\), bağımlı değişken \(u\)’dur; bağımsız değişken sayısı birden çok olduğundan denklem kısmi diferansiyel denklemdir.
\(c\) harfi bir değişken değil, sabittir (gerilmiş bir telde dalganın yayılma hızı); bu yüzden sınıflandırmada rol oynamaz. Bu denklem dalga denklemi adıyla bilinir.
\(\blacksquare\)
Adi ve kısmi denklemlerin çözüm teknikleri birbirinden oldukça farklıdır. Bu notlarda esas olarak adi diferansiyel denklemler incelenecektir; kısmi denklemler burada yalnızca sınıflandırmayı tamamlamak için tanıtılmıştır.
1.3 Mertebe
Bir denklemi adi ya da kısmi diye ayırdıktan sonra, hem adi hem kısmi denklemler için kullanılabilecek ikinci bir ölçütümüz var: denklemde görünen en yüksek basamaktan türev.
Tanım 1.4 (Mertebe) Bir diferansiyel denklemde bulunan en yüksek basamaktan türevin basamağına, denklemin mertebesi (order) denir.
Yani denklemde görünen bütün türevlerin basamaklarına bakılır ve en büyüğü seçilir. Kısmi türevlerde basamak, toplam kaç kez türev alındığıdır: \(\dfrac{\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial t}\) ifadesinde iki kez \(x\)’e, bir kez \(t\)’ye göre türev alındığından basamak \(2 + 1 = 3\)’tür.
Bir türevin üssü ile basamağı farklı şeylerdir. \(\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{8}\) ifadesinde birinci türev sekizinci kuvvete yükseltilmiştir; bu terimin mertebeye katkısı \(8\) değil \(1\)’dir. Buna karşılık \(\dfrac{d^{8}y}{dx^{8}}\) ifadesinde gerçekten sekiz kez türev alınmıştır ve basamağı \(8\)’dir. Üs, birazdan göreceğimiz lineerlik ölçütünde önem kazanacaktır.
Örnek 1.6 (Adi Denklemin Mertebesi) Aşağıdaki denklemin mertebesini belirleyiniz:
\[\frac{d^{7}y}{dx^{7}} + \sin x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{8} + \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = 0.\]
Çözüm
Denklemde üç türev görünüyor. Bunları basamaklarıyla birlikte listeleyelim:
| terim | türev | basamak |
|---|---|---|
| birinci | \(\dfrac{d^{7}y}{dx^{7}}\) | \(7\) |
| ikinci | \(\dfrac{dy}{dx}\) | \(1\) |
| üçüncü | \(\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}\) | \(3\) |
En büyük basamak \(7\)’dir, yani en yüksek basamaktan türev \(\dfrac{d^{7}y}{dx^{7}}\)’dir. Öyleyse denklem yedinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemdir.
İkinci terimdeki \(8\) üssünün mertebeyle ilgisi olmadığına dikkat edelim: orada türev bir kez alınmış, sonra sonuç sekizinci kuvvete yükseltilmiştir.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.7 (Kısmi Denklemin Mertebesi) Aşağıdaki denklemin türünü ve mertebesini belirleyiniz:
\[\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial t} + u^{2} = 0.\]
Çözüm
Türevler iki farklı değişkene (\(x\) ve \(t\)) göre alındığından denklem kısmidir.
Mertebe için türevlerin basamaklarını sayalım. Birinci terimde \(t\)’ye göre iki kez türev alınmıştır, basamak \(2\)’dir. İkinci terimde \(x\)’e göre iki, \(t\)’ye göre bir kez türev alınmıştır; toplam türev alma sayısı \(2 + 1 = 3\) olduğundan basamak \(3\)’tür. Üçüncü terim \(u^{2}\) hiç türev içermez.
En büyük basamak \(3\) olduğundan denklem üçüncü mertebeden bir kısmi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
1.4 Lineerlik
Sınıflandırmanın üçüncü ve en önemli ölçütü lineerliktir. Mertebe, denklemde kaç kez türev alındığını söyler; lineerlik ise bilinmeyen fonksiyonun denklemde nasıl göründüğünü söyler. Lineer denklemler için eksiksiz bir teori vardır: sağ tarafı sıfır olan lineer denklemlerde çözümler toplanabilir ve sabitle çarpılabilir, genel çözüm de bu yapı üzerinden bir formülle yazılabilir. Lineer olmayan denklemlerde böyle bir genel teori yoktur ve her denklem kendi yöntemini ister.
Tanım 1.5 (Lineer Adi Diferansiyel Denklem) Bağımlı değişkeni \(y\), bağımsız değişkeni \(x\) olan bir denklem
\[ \begin{aligned} a_{0}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}} &+ a_{1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots \\[2pt] &+ a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_{n}(x)\,y = b(x) \end{aligned} \]
biçimindeyse ya da bu biçimde yazılabiliyorsa, denkleme \(n\)-inci mertebeden lineer adi diferansiyel denklem (linear ordinary differential equation of order \(n\)) denir. Burada \(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}\) katsayıları ile \(b\) yalnızca bağımsız değişkene bağlı fonksiyonlardır; \(a_{0}\)’ın, üzerinde çalışılan aralıkta sıfırdan farklı olduğu varsayılır.
Başka bir deyişle, bir lineer adi diferansiyel denklemde
- bağımlı değişken \(y\) ve türevleri yalnızca birinci dereceden görünür;
- \(y\)’nin ve/veya türevlerinin çarpımları bulunmaz;
- \(y\)’nin ve/veya türevlerinin aşkın fonksiyonları (üstel fonksiyon, logaritma, trigonometrik fonksiyon, …) bulunmaz.
Yani lineer bir denklemde bilinmeyen fonksiyon ve türevleri yalnızca “katsayı çarpı terim” biçiminde, birinci kuvvetten ve birbirleriyle çarpılmadan görünür.
Lineerlik koşulları yalnızca bağımlı değişkenle ilgilidir. \(a_{i}(x)\) katsayıları ve sağ taraftaki \(b(x)\) istendiği kadar karmaşık olabilir: \(x^{3}\), \(e^{x}\), \(\sin x\), \(\cos^{2}x\) gibi terimler denklemin lineerliğini bozmaz. Bozan şey \(y^{2}\), \(yy'\), \(\sin y\), \(e^{y}\) gibi, bilinmeyeni birinci dereceden başka biçimde içeren terimlerdir.
Tanım 1.6 (Lineer Olmayan Denklem) Yukarıdaki genel biçimde yazılamayan, yani üç koşuldan en az biri bozulan adi diferansiyel denkleme lineer olmayan adi diferansiyel denklem (nonlinear ordinary differential equation) denir.
Yani bilinmeyen ya da türevlerinden biri ikinci veya daha yüksek dereceden görünüyorsa, bir çarpımda yer alıyorsa ya da bir aşkın fonksiyonun içine girmişse denklem lineer değildir.
Örnek 1.8 (Altıncı Mertebeden Lineer Denklem) Aşağıdaki denklemin mertebesini ve lineerliğini belirleyiniz:
\[x^{3}\frac{d^{6}y}{dx^{6}} + x\frac{dy}{dx} + \cos^{2}x = 0.\]
Çözüm
En yüksek basamaktan türev \(\dfrac{d^{6}y}{dx^{6}}\) olduğundan denklem altıncı mertebedendir.
Lineerlik için denklemi tanımdaki biçime getirelim; yalnızca bağımsız değişkene bağlı olan \(\cos^{2}x\) terimini sağ tarafa atalım:
\[x^{3}\frac{d^{6}y}{dx^{6}} + x\frac{dy}{dx} = -\cos^{2}x.\]
Şimdi üç koşulu sırayla denetleyelim. Bilinmeyen \(y\) ve türevleri birinci dereceden görünüyor; \(y\)’nin ya da türevlerinin birbiriyle çarpımı yok; \(y\)’nin içine giren üstel, logaritmik ya da trigonometrik bir fonksiyon yok. (\(\cos^{2}x\) aşkın bir fonksiyondur, ama \(y\)’nin değil \(x\)’in fonksiyonudur; bu yüzden lineerliği bozmaz.)
Öyleyse denklem altıncı mertebeden lineer bir adi diferansiyel denklemdir. Tanımdaki gösterimle \(a_{0}(x) = x^{3}\), \(a_{5}(x) = x\), \(b(x) = -\cos^{2}x\)’tir; geri kalan katsayıların, yani \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\) ile \(y\)’nin katsayısı \(a_{6}\)’nın hepsi sıfırdır. Baştaki \(x^{3}\) katsayısı \(x = 0\) noktasında sıfırlandığından denklem, bu noktayı içermeyen bir aralıkta (örneğin \(x > 0\) için) lineer denklem olarak ele alınır.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.9 (Üstel Katsayılı Lineer Denklem) Aşağıdaki denklemin mertebesini ve lineerliğini belirleyiniz:
\[3x^{2}\frac{d^{5}y}{dx^{5}} + e^{x}\frac{dy}{dx} + y + x\sin x = 0.\]
Çözüm
En yüksek basamaktan türev \(\dfrac{d^{5}y}{dx^{5}}\)’tir, yani denklem beşinci mertebedendir.
Yalnızca \(x\)’e bağlı olan \(x\sin x\) terimini sağ tarafa alalım:
\[3x^{2}\frac{d^{5}y}{dx^{5}} + e^{x}\frac{dy}{dx} + y = -x\sin x.\]
Bilinmeyen \(y\) ve türevleri birinci dereceden ve çarpımsız görünüyor, \(y\) hiçbir aşkın fonksiyonun içine girmiyor. Katsayılardan biri olan \(e^{x}\) üstel bir fonksiyondur; ama üssünde \(y\) değil \(x\) vardır, dolayısıyla üçüncü koşul bozulmaz.
Öyleyse denklem beşinci mertebeden lineer bir adi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.10 (Türevin Kuvveti Alınmış Denklem) Aşağıdaki denklemin mertebesini ve lineerliğini belirleyiniz:
\[\left(\frac{d^{7}x}{dt^{7}}\right)^{3} + 9\frac{dx}{dt} + x = 1.\]
Çözüm
En yüksek basamaktan türev \(\dfrac{d^{7}x}{dt^{7}}\)’dir; \(3\) üssü basamağı değiştirmez. Denklem yedinci mertebedendir.
Lineerlik koşullarından ilki bozuluyor: bilinmeyenin yedinci türevi birinci dereceden değil, üçüncü dereceden görünüyor. Böyle bir terim, tanımdaki \(a_{0}(t)\dfrac{d^{7}x}{dt^{7}}\) biçimine hiçbir katsayı seçimiyle getirilemez.
Öyleyse denklem yedinci mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.11 (Sarkaç Denklemi) Aşağıdaki denklemin mertebesini ve lineerliğini belirleyiniz (\(k\) sabittir):
\[\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + k\sin\theta = 0.\]
Çözüm
Burada bağımlı değişken \(\theta\), bağımsız değişken \(t\)’dir; yani bilinmeyen, zamana bağlı açı fonksiyonu \(\theta = \theta(t)\)’dir. En yüksek basamaktan türev \(\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\) olduğundan denklem ikinci mertebedendir.
Lineerlik koşullarından üçüncüsü bozuluyor: \(\sin\theta\) terimi, bağımlı değişkenin aşkın bir fonksiyonudur. Denklemi \(a_{0}(t)\theta'' + a_{1}(t)\theta' + a_{2}(t)\theta = b(t)\) biçimine getirmenin yolu yoktur, çünkü \(\sin\theta\) ifadesinden \(\theta\)’yı katsayısıyla çarpım hâlinde ayırmak mümkün değildir.
Öyleyse denklem ikinci mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir. Bu denklem, bir sarkacın salınımını betimler; küçük açılarda \(\sin\theta \approx \theta\) yaklaşımı yapılarak lineer hâle getirilmesi, uygulamalı matematiğin en bilinen örneklerinden biridir.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.12 (Çarpım İçeren Denklem) Aşağıdaki denklemin mertebesini ve lineerliğini belirleyiniz:
\[3x^{2}yy' + 5\cos x = 0.\]
Çözüm
Denklemde görünen tek türev \(y'\) olduğundan denklem birinci mertebedendir.
Lineerlik koşullarından ikincisi bozuluyor: \(yy'\) terimi, bilinmeyenle türevinin çarpımıdır. Denklemi
\[3x^{2}yy' = -5\cos x\]
biçiminde yazsak bile sol tarafta \(y'\)’nün katsayısı \(3x^{2}y\) olur; bu katsayı \(y\) içerdiğinden yalnızca bağımsız değişkene bağlı değildir, yani tanımdaki biçime uymaz.
Öyleyse denklem birinci mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
1.5 Sabit ve Değişken Katsayılı Lineer Denklemler
Lineer denklemler kendi içinde de ayrılır. Bu kez bakılan şey, bağımlı değişkenin ve türevlerinin katsayılarının yapısıdır.
Tanım 1.7 (Sabit ve Değişken Katsayı) Lineer bir adi diferansiyel denklemde \(a_{0}(x), a_{1}(x), \dots, a_{n}(x)\) katsayılarının hepsi sabitse denkleme sabit katsayılı lineer denklem (linear equation with constant coefficients), katsayılardan en az biri bağımsız değişkene gerçekten bağlıysa değişken katsayılı lineer denklem (linear equation with variable coefficients) denir.
Yani ayrım, yalnızca bilinmeyenin önündeki katsayılara bakılarak yapılır; sağ taraftaki \(b(x)\) bu sınıflandırmaya girmez. Örneğin yukarıda incelediğimiz \(x^{3}y^{(6)} + xy' = -\cos^{2}x\) denklemi lineerdir ve katsayıları \(x^{3}\) ile \(x\) olduğundan değişken katsayılıdır.
Örnek 1.13 (Sabit Katsayılı Denklem) Aşağıdaki denklemi mertebe, lineerlik ve katsayı türü bakımından sınıflandırınız:
\[3y'' + y' = 2e^{x}.\]
Çözüm
En yüksek basamaktan türev \(y''\) olduğundan denklem ikinci mertebedendir.
Bilinmeyen \(y\) ve türevleri birinci dereceden, çarpımsız ve aşkın fonksiyonların dışında göründüğünden denklem lineerdir. Tanımdaki gösterimle
\[a_{0}(x) = 3, \qquad a_{1}(x) = 1, \qquad a_{2}(x) = 0, \qquad b(x) = 2e^{x}.\]
Katsayıların üçü de sabittir. Sağ taraftaki \(2e^{x}\) terimi \(x\)’e bağlıdır; ama katsayı değil, denklemin sağ tarafıdır, dolayısıyla sınıflandırmayı değiştirmez.
Öyleyse denklem ikinci mertebeden, sabit katsayılı lineer bir adi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
Bu ayrım ileride çok işimize yarayacaktır: sabit katsayılı lineer denklemler için her mertebede çalışan tam bir çözüm yöntemi vardır, değişken katsayılı denklemlerde ise durum çok daha zordur.
1.6 Sınıflandırma Alıştırmaları
Aşağıdaki alıştırmalarda her denklem üç ölçüte göre sınıflandırılacaktır: adi mi kısmi mi, mertebesi kaç, lineer mi değil mi. Sıralamayı hep aynı tutmak yararlıdır: önce bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirleyin, sonra en yüksek basamaktan türevi bulun, en sonunda lineerlik koşullarını denetleyin.
Alıştırma 1.1 (Üçüncü Mertebeden Çarpım Terimli Denklem) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız:
\[y''' + 2e^{t}y'' + yy' = t^{4}, \qquad y = y(t).\]
Çözüm
Bütün türevler tek bir değişkene, \(t\)’ye göre alınmıştır; denklem adidir. Bağımsız değişken \(t\), bağımlı değişken \(y\)’dir.
En yüksek basamaktan türev \(y'''\) olduğundan denklem üçüncü mertebedendir.
Lineerlik için terimlere tek tek bakalım. \(y'''\) ve \(2e^{t}y''\) terimleri sorunsuzdur: bilinmeyenin türevleri birinci dereceden görünür ve \(2e^{t}\) katsayısı yalnızca bağımsız değişkene bağlıdır. Ama \(yy'\) terimi bilinmeyenle türevinin çarpımıdır ve ikinci koşulu bozar.
Öyleyse denklem üçüncü mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.2 (Lojistik Denklem) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız (\(a\) ve \(\alpha\) sabittir):
\[\frac{dx}{dt} = ax - \alpha x^{2}.\]
Çözüm
Tek türev \(\dfrac{dx}{dt}\)’dir ve yalnızca \(t\)’ye göre alınmıştır; denklem adidir. Bağımsız değişken \(t\), bağımlı değişken \(x\)’tir.
En yüksek basamaktan türev birinci basamaktan olduğundan denklem birinci mertebedendir.
Bütün terimleri sola toplayalım:
\[\frac{dx}{dt} - ax + \alpha x^{2} = 0.\]
Burada \(\alpha x^{2}\) terimi, bilinmeyeni ikinci dereceden içerir ve birinci koşulu bozar. (\(a\) ile \(\alpha\)’nın sabit olması bir şey değiştirmez; bozan şey \(x\)’in kuvvetidir.)
Öyleyse denklem birinci mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir. Bu denklem, sınırlı kaynaklar altındaki nüfus artışını betimleyen lojistik denklem olarak bilinir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.3 (Bağımlı Değişkeni Ayırt Etmek) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız (\(k\) sabittir):
\[\frac{d^{2}t}{d\theta^{2}} + k\sin\theta = 0.\]
Çözüm
Önce değişkenleri doğru okumak gerekir: türev \(\theta\)’ya göre alınmış ve türevi alınan büyüklük \(t\)’dir. Demek ki burada \(\theta\) bağımsız, \(t\) bağımlı değişkendir, yani bilinmeyen \(t = t(\theta)\) fonksiyonudur. Tek bağımsız değişken bulunduğundan denklem adidir.
En yüksek basamaktan türev \(\dfrac{d^{2}t}{d\theta^{2}}\) olduğundan denklem ikinci mertebedendir.
Lineerlik için \(k\sin\theta\) terimini sağa atalım:
\[\frac{d^{2}t}{d\theta^{2}} = -k\sin\theta.\]
Şimdi durum açıktır: sol tarafta bilinmeyenin ikinci türevi birinci dereceden ve \(1\) katsayısıyla görünür; sağ taraftaki \(-k\sin\theta\) ise yalnızca bağımsız değişkenin fonksiyonudur, yani tanımdaki \(b(\theta)\) rolündedir. Üç koşul da sağlanır.
Öyleyse denklem ikinci mertebeden, sabit katsayılı lineer bir adi diferansiyel denklemdir.
Bu alıştırma, sarkaç denklemiyle (Örnek 1.11) yan yana konduğunda öğretici bir karşıtlık oluşturur: orada \(\sin\)’in içindeki \(\theta\) bağımlı değişken olduğu için denklem lineer değildi, burada ise bağımsız değişken olduğu için denklem lineerdir. Aynı görünen iki ifadenin sınıflandırması, hangi harfin bilinmeyen olduğuna göre değişir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.4 (Karma Kısmi Türevli Denklem) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız:
\[\frac{\partial^{2}u}{\partial x\,\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x} + u = 0.\]
Çözüm
Bilinmeyen \(u\) fonksiyonunun hem \(x\)’e hem \(y\)’ye göre türevleri alınmıştır; bağımsız değişkenler \(x\) ve \(y\), bağımlı değişken \(u\)’dur. Bağımsız değişken sayısı birden çok olduğundan denklem kısmidir.
Birinci terimde bir kez \(x\)’e, bir kez \(y\)’ye göre türev alınmıştır; basamağı \(1 + 1 = 2\)’dir. İkinci terimin basamağı \(1\), üçüncü terimin \(0\)’dır. En büyük basamak \(2\) olduğundan denklem ikinci mertebedendir.
Lineerlik koşullarını kısmi denklemler için de aynı biçimde uygularız: bilinmeyen \(u\) ve türevleri birinci dereceden görünür, birbirleriyle çarpılmamıştır, aşkın bir fonksiyonun içine girmemiştir. Üstelik bütün katsayılar \(1\)’e eşittir.
Öyleyse denklem ikinci mertebeden lineer bir kısmi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.5 (Kök İçeren Denklem) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız:
\[\left(\frac{dr}{ds}\right)^{3} = \left(\frac{d^{2}r}{ds^{2}} + 1\right)^{1/2}.\]
Çözüm
Türevler yalnızca \(s\)’ye göre alınmıştır; denklem adidir. Bağımsız değişken \(s\), bağımlı değişken \(r\)’dir.
Denklemde görünen türevler \(\dfrac{dr}{ds}\) (basamak \(1\)) ve \(\dfrac{d^{2}r}{ds^{2}}\) (basamak \(2\)) olduğundan denklem ikinci mertebedendir. Dıştaki \(3\) üssü ile \(1/2\) üssü basamakları değiştirmez.
Lineerlik koşulu daha ilk bakışta bozuluyor: birinci türevin küpü alınmış, ikinci türev ise bir karekökün içine girmiştir. İstersek iki tarafın karesini alıp kökten kurtulabiliriz:
\[\left(\frac{dr}{ds}\right)^{6} = \frac{d^{2}r}{ds^{2}} + 1.\]
Bu biçimde ikinci türev birinci dereceden görünür; ama bu kez birinci türev altıncı dereceden görünmektedir, yani birinci koşul yine sağlanmaz.
Öyleyse denklem ikinci mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.6 (Beşinci Mertebeden Kısmi Denklem) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız:
\[\frac{\partial^{5}v}{\partial t^{2}\partial y^{3}} + 2\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}} + tyv = 0.\]
Çözüm
Bilinmeyen \(v\) fonksiyonunun hem \(t\)’ye hem \(y\)’ye göre türevleri alınmıştır; bağımsız değişkenler \(t\) ve \(y\), bağımlı değişken \(v\)’dir. Denklem kısmidir.
Birinci terimde \(t\)’ye göre iki, \(y\)’ye göre üç kez türev alınmıştır; basamağı \(2 + 3 = 5\)’tir. İkinci terimin basamağı \(2\), üçüncü terimin \(0\)’dır. En büyük basamak \(5\) olduğundan denklem beşinci mertebedendir.
Lineerlik koşullarını denetleyelim: \(v\) ve türevlerinin hepsi birinci dereceden görünür, aralarında çarpım yoktur, aşkın bir fonksiyonun içine girmemişlerdir. Üçüncü terimdeki \(ty\) çarpanı bir katsayıdır ve yalnızca bağımsız değişkenlere bağlıdır; bu yüzden lineerliği bozmaz, yalnızca katsayının değişken olduğunu gösterir.
Öyleyse denklem beşinci mertebeden lineer bir kısmi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.7 (Değişken Katsayılı Lineer Denklem) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız:
\[\frac{dy}{dt} = 1 - 2ty.\]
Çözüm
Tek bağımsız değişken \(t\) olduğundan denklem adidir; bağımlı değişken \(y\)’dir.
Tek türev birinci basamaktan olduğundan denklem birinci mertebedendir.
Lineerliği görmek için bilinmeyene ait terimleri sola toplayalım:
\[\frac{dy}{dt} + 2ty = 1.\]
Bu, tam olarak tanımdaki biçimdir: \(a_{0}(t) = 1\), \(a_{1}(t) = 2t\) ve \(b(t) = 1\). Bilinmeyen \(y\) ile türevi birinci dereceden ve çarpımsızdır.
Öyleyse denklem birinci mertebeden, değişken katsayılı lineer bir adi diferansiyel denklemdir. (\(2ty\) terimindeki \(t\) çarpanı bir katsayıdır; \(y\)’nin kuvvetini değiştirmediği için lineerliği bozmaz, yalnızca katsayıyı değişken yapar.)
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.8 (İki Türevin Çarpımı) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız:
\[\frac{d^{6}x}{dt^{6}} + \left(\frac{d^{3}x}{dt^{3}}\right)\left(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\right) + 3x^{2} = t^{2}.\]
Çözüm
Türevlerin hepsi \(t\)’ye göre alınmıştır; denklem adidir. Bağımsız değişken \(t\), bağımlı değişken \(x\)’tir.
Basamaklar sırasıyla \(6\), \(3\), \(2\) ve \(0\)’dır; en büyüğü \(6\) olduğundan denklem altıncı mertebedendir.
Lineerlik iki ayrı yerden bozuluyor. Önce ikinci terim: iki türevin çarpımıdır, ikinci koşula aykırıdır. Sonra üçüncü terim: \(3x^{2}\) bilinmeyeni ikinci dereceden içerir, birinci koşula aykırıdır. Bunlardan biri bile lineerliği bozmaya yeterdi.
Öyleyse denklem altıncı mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir. Sağ taraftaki \(t^{2}\) terimi yalnızca bağımsız değişkene bağlı olduğundan bu sonuçta rol oynamaz.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.9 (Bilinmeyenin Üstel Fonksiyonu) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız:
\[y'' + xe^{y} = 0, \qquad y = y(x).\]
Çözüm
Türev yalnızca \(x\)’e göre alınmıştır; denklem adidir. Bağımsız değişken \(x\), bağımlı değişken \(y\)’dir.
En yüksek basamaktan türev \(y''\) olduğundan denklem ikinci mertebedendir.
Lineerlik koşullarından üçüncüsü bozuluyor: \(e^{y}\) ifadesi, bağımlı değişkenin üstel fonksiyonudur. Önündeki \(x\) çarpanı sorun değildir; sorun, üsse bilinmeyenin kendisinin girmiş olmasıdır. \(e^{y}\) teriminden \(y\)’yi katsayısıyla çarpım hâlinde ayırmanın bir yolu yoktur.
Öyleyse denklem ikinci mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir. Karşılaştırma için: \(y'' + xe^{x} = 0\) denklemi lineer olurdu, çünkü orada üsteki harf bağımsız değişkendir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.10 (Tabanı ve Üssü Bilinmeyen Terim) Aşağıdaki denklemi sınıflandırınız:
\[y^{(4)} + (\sin x)\,y^{\,y} = 2, \qquad y = y(x).\]
Çözüm
Türev yalnızca \(x\)’e göre alınmıştır; denklem adidir. Bağımsız değişken \(x\), bağımlı değişken \(y\)’dir.
Denklemde görünen tek türev \(y^{(4)}\)’tür, yani dördüncü basamaktandır (bu türev \(y^{(\mathrm{iv})}\) biçiminde de yazılır). Öyleyse denklem dördüncü mertebedendir.
İkinci terimdeki \(y^{\,y}\) ifadesine dikkat edelim: hem taban hem üs bilinmeyendir. Bu ifadeyi
\[y^{\,y} = e^{\,y\ln y}\]
biçiminde yazabiliriz; demek ki \(y^{\,y}\), bağımlı değişkenin aşkın bir fonksiyonudur ve üçüncü koşulu bozar. (Aynı zamanda birinci dereceden de değildir, yani birinci koşul da sağlanmaz.) Katsayı olan \(\sin x\) ise yalnızca bağımsız değişkene bağlı olduğundan lineerliğe bir zarar vermez.
Öyleyse denklem dördüncü mertebeden lineer olmayan bir adi diferansiyel denklemdir.
\(\blacksquare\)
1.7 Özet
Bir diferansiyel denklemle karşılaştığımızda soracağımız üç soruyu ve cevaplarının ne anlama geldiğini toparlayalım:
| soru | cevap | sonuç |
|---|---|---|
| Türevler kaç değişkene göre alınmış? | tek | adi denklem |
| birden çok | kısmi denklem | |
| En yüksek basamaktan türev kaçıncı basamaktan? | \(n\) | \(n\)-inci mertebeden denklem |
| Bilinmeyen birinci dereceden, çarpımsız ve aşkın fonksiyonsuz mu görünüyor? | evet | lineer denklem |
| hayır | lineer olmayan denklem | |
| (Lineerse) katsayılar sabit mi? | evet / hayır | sabit / değişken katsayılı |
Artık bir denklemi tanıyabiliyoruz; ama “bu denklemin çözümü” derken tam olarak neyi kastettiğimizi henüz söylemedik. Bir fonksiyonun denklemi sağlaması ne demektir, bu hangi aralıkta istenir, çözüm neden tek bir fonksiyon değil de bir aile olarak çıkar? Bu soruların cevabını Çözüm Kavramı ve Çözüm Aileleri bölümünde vereceğiz.