2 Çözüm Kavramı ve Çözüm Aileleri
Önceki bölümde bir diferansiyel denklemi mertebesine, derecesine ve lineer olup olmadığına göre sınıflandırmayı öğrendik. Sınıflandırma, denkleme bakıp onun hangi türden bir nesne olduğunu söyler; ama asıl sorumuza, “bu denklemi çözmek ne demektir?” sorusuna henüz cevap vermez. Bu bölümün konusu tam olarak budur.
Cebirsel bir denklemde, örneğin \(x^2 - 5x + 6 = 0\) denkleminde bilinmeyen bir sayıdır; denklemi çözmek, yerine konduğunda eşitliği sağlayan sayıları bulmak demektir. Diferansiyel bir denklemde ise bilinmeyen bir fonksiyondur. Dolayısıyla çözüm de bir sayı değil, bir fonksiyondur: kendisi ve türevleri denklemde yerine konduğunda denklemi özdeş olarak sağlayan bir fonksiyon.
Bu farkın iki önemli sonucu vardır. Birincisi, bir fonksiyonun türevlerinden söz edebilmek için onun tanımlı ve türevlenebilir olduğu bir aralık belirtmek zorundayız; “çözüm” her zaman “şu aralık üzerinde çözüm” demektir. İkincisi, çözüm her zaman \(y = f(x)\) biçiminde açıkça yazılabilir olmayabilir; çoğu zaman elimize \(x\) ile \(y\) arasında bir bağıntı geçer. Aşağıda önce çözümün kesin tanımını yapacak, sonra bir fonksiyonun ya da bağıntının gerçekten çözüm olup olmadığını sınamanın düzenli yolunu göreceğiz. Bölümün sonunda ise tek bir çözüm yerine sonsuz çok çözümden oluşan çözüm ailelerini ve bu ailelerin içinde genel, özel ve tekil çözümlerin nasıl ayrıldığını inceleyeceğiz.
2.1 Bir Diferansiyel Denklemin Çözümü
\(n\)-inci mertebeden bir adi diferansiyel denklemin en genel yazılışı, bağımsız değişken \(x\), bağımlı değişken \(y\) ve \(y\)’nin \(n\)-inci mertebeye kadarki türevleri arasında bir bağıntıdır:
\[F\left(x,\ y,\ \frac{dy}{dx},\ \dots,\ \frac{d^{n}y}{dx^{n}}\right) = 0.\]
Bu yazılışta denklemin bütün terimleri bir tarafa toplanmış, diğer tarafta sıfır bırakılmıştır. Örneğin \(y'' + 2y' - 3y = 0\) denklemi bu biçimdedir; \(y' = x^2 + y\) denklemi ise \(y' - x^2 - y = 0\) yazılarak bu biçime getirilir.
Yüksek mertebeden türevler için
\[y^{(n)} = \frac{d^{n}y}{dx^{n}}\]
gösterimini kullanacağız. Düşük mertebelerde \(y'\), \(y''\), \(y'''\) üs işaretli yazım da yaygındır; \(y^{(4)}\) ile \(y^4\) (yani \(y\)’nin dördüncü kuvveti) karıştırılmamalıdır.
Tanım 2.1 (Bir Aralık Üzerinde Çözüm) \(n\)-inci mertebeden
\[F\left(x,\ y,\ \frac{dy}{dx},\ \dots,\ \frac{d^{n}y}{dx^{n}}\right) = 0\]
diferansiyel denklemi verilsin. \(\alpha < x < \beta\) aralığı üzerinde tanımlı bir \(\varphi\) fonksiyonu bu aralığın her noktasında \(\varphi'\), \(\varphi''\), \(\dots\), \(\varphi^{(n)}\) türevlerine sahipse ve aralıktaki her \(x\) için
\[F\left(x,\ \varphi(x),\ \varphi'(x),\ \dots,\ \varphi^{(n)}(x)\right) = 0\]
eşitliğini sağlıyorsa, \(\varphi\) fonksiyonuna bu denklemin \(\alpha < x < \beta\) aralığı üzerinde bir çözümü (solution) denir.
Yani bir fonksiyonun çözüm olması demek, o fonksiyon ile türevleri denklemde yerine konduğunda eşitliğin aralıktaki tek tek bazı noktalarda değil, aralığın tamamında bir özdeşlik hâline gelmesi demektir.
Aksi söylenmedikçe \(F\) fonksiyonunun reel değerli olduğunu varsayacak ve \(y = \varphi(x)\) biçiminde reel değerli çözümler arayacağız.
Ayrıca çözümün tanımlı olduğu aralık her zaman ayrıca belirtilmeyebilir; böyle durumlarda söz konusu aralık, yapılan işlemlerin anlamlı olduğu en geniş aralıktır. Bir fonksiyonun bir aralıkta çözüm olup daha geniş bir aralıkta çözüm olmaması sık karşılaşılan bir durumdur.
2.2 Açık ve Kapalı Çözümler
Bir çözüm elimize her zaman “\(y\) eşittir \(x\)’in bir ifadesi” biçiminde geçmez. Kimi zaman \(x\) ile \(y\) arasında, \(y\) yalnız bırakılmamış bir bağıntı buluruz. Bu iki duruma ayrı adlar veriyoruz.
Tanım 2.2 (Açık Çözüm, Kapalı Çözüm) Bir diferansiyel denklemin çözümü
\[y = \varphi(x)\]
biçiminde, yani bağımlı değişken yalnız bırakılmış olarak veriliyorsa buna açık çözüm (explicit solution) denir.
Çözüm
\[h(x, y) = 0\]
biçiminde bir bağıntıyla veriliyorsa, yani bağımlı değişken yalnız bırakılmamışsa buna kapalı çözüm (implicit solution) denir.
Yani açık çözüm doğrudan kullanılabilen bir fonksiyon formülüdür; kapalı çözüm ise, uygun bir aralıkta bir ya da birkaç açık çözümü içinde saklayan bir bağıntıdır.
Bir bağıntının kapalı çözüm sayılabilmesi için, söz konusu aralıkta gerçekten türevlenebilir bir \(y = \varphi(x)\) fonksiyonu belirlemesi ve belirlediği bu fonksiyonun denklemi sağlaması gerekir. Aşağıda her iki durumu da örnekleyeceğiz.
2.3 Bir Fonksiyonun Çözüm Olduğunu Doğrulamak
Bir fonksiyonun verilen denklemin çözümü olup olmadığını anlamak için denklemi çözmeye gerek yoktur; yerine koymak yeterlidir. İzlenecek adımlar şunlardır:
- Verilen fonksiyonun tanımlı olduğu ve gereken mertebeye kadar türevlenebildiği aralığı belirleyin.
- Denklemin mertebesi kadar türevi sırayla hesaplayın.
- \(y\), \(y'\), \(\dots\), \(y^{(n)}\) yerine bu ifadeleri denklemde yazın.
- Sol tarafı sadeleştirin ve sağ tarafla karşılaştırın. Eşitlik aralıktaki her \(x\) için sağlanıyorsa fonksiyon bu aralıkta çözümdür; tek bir \(x\) değerinde bile bozuluyorsa çözüm değildir.
Örnek 2.1 (Üstel Bir Fonksiyonun Doğrulanması) Bütün reel \(x\) değerleri için
\[y = f(x) = 2e^{-3x} + 4e^{x}\]
ile tanımlanan fonksiyonun
\[y'' + 2y' - 3y = 0\]
denkleminin açık çözümü olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Üstel fonksiyonlar bütün reel sayılarda tanımlı ve her mertebeden türevlenebilir olduğundan, \(f\) fonksiyonu bütün \(x\) değerleri için ikinci türeve sahiptir. Demek ki doğrulamayı \((-\infty, \infty)\) aralığında yapabiliriz.
Önce türevleri hesaplayalım:
\[f'(x) = -6e^{-3x} + 4e^{x},\]
\[f''(x) = 18e^{-3x} + 4e^{x}.\]
Burada \(e^{-3x}\) türevlenirken zincir kuralından her seferinde \(-3\) çarpanı gelmektedir: \(2 \cdot (-3) = -6\) ve \(-6 \cdot (-3) = 18\).
Şimdi bu ifadeleri denklemde yerine koyalım:
\[\left(18e^{-3x} + 4e^{x}\right) + 2\left(-6e^{-3x} + 4e^{x}\right) - 3\left(2e^{-3x} + 4e^{x}\right).\]
Parantezleri açıp \(e^{-3x}\) ve \(e^{x}\) terimlerini ayrı ayrı toplayalım:
\[e^{-3x}\,(18 - 12 - 6) + e^{x}\,(4 + 8 - 12).\]
Her iki parantez de sıfırdır, dolayısıyla toplam her \(x\) için sıfıra eşittir:
\[y'' + 2y' - 3y = 0.\]
Eşitlik belirli birkaç \(x\) değerinde değil, bütün reel sayılarda sağlandığı için \(f\) fonksiyonu denklemin \((-\infty, \infty)\) aralığında bir açık çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Şimdi de bir bağıntının kapalı çözüm olduğunu gösterelim. İzlenecek yol şudur: bağıntının belirlediği açık fonksiyonları bulup her birini ayrı ayrı denetlemek.
Örnek 2.2 (Çember Bağıntısının Kapalı Çözüm Olması) \[x^{2} + y^{2} - 16 = 0\]
bağıntısının
\[x + y\,\frac{dy}{dx} = 0\]
denkleminin \(-4 < x < 4\) aralığında kapalı çözümü olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Bağıntıyı \(y\) için çözelim:
\[y^{2} = 16 - x^{2} \ \Longrightarrow\ y = \pm\sqrt{16 - x^{2}}.\]
Demek ki bağıntı, \(-4 < x < 4\) aralığında iki ayrı fonksiyon belirlemektedir:
\[f_{1}(x) = \sqrt{16 - x^{2}}, \qquad f_{2}(x) = -\sqrt{16 - x^{2}}.\]
Aralığın uç noktaları dışarıda bırakılmıştır, çünkü \(x = \pm 4\) noktalarında karekökün altındaki ifade sıfır olur ve bu fonksiyonların türevi tanımsızdır.
Birinci fonksiyon. \(f_{1}(x) = \sqrt{16 - x^{2}}\) için zincir kuralıyla
\[f_{1}'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{-x}{\sqrt{16 - x^{2}}}.\]
Denklemde \(y\) yerine \(f_{1}(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\) yerine \(f_{1}'(x)\) yazalım:
\[x + \sqrt{16 - x^{2}}\left(\frac{-x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\right) = x - x = 0.\]
Sadeleşme \(-4 < x < 4\) aralığının her noktasında geçerlidir, çünkü orada \(\sqrt{16 - x^{2}} \neq 0\)’dır.
İkinci fonksiyon. \(f_{2}(x) = -\sqrt{16 - x^{2}}\) için
\[f_{2}'(x) = \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\]
olur ve yerine koyarsak
\[x + \left(-\sqrt{16 - x^{2}}\right)\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = x - x = 0\]
elde ederiz.
Her iki fonksiyon da denklemi aralığın tamamında sağladığından \(f_{1}\) ve \(f_{2}\) birer açık çözümdür. Bu iki açık çözümü birlikte veren \(x^{2} + y^{2} - 16 = 0\) bağıntısı ise denklemin \(-4 < x < 4\) aralığında kapalı çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Bağıntıyı Çözmeden Denetlemek
Yukarıdaki örnekte bağıntıyı \(y\) için çözebildik. Çoğu zaman bu mümkün değildir; örneğin \(\sin(xy) + y^{2} - x = 0\) bağıntısından \(y\)’yi yalnız bırakamayız. Böyle durumlarda kapalı türev alma yöntemi kullanılır:
- \(h(x, y) = 0\) bağıntısının iki tarafının da \(x\)’e göre türevini alın; bunu yaparken \(y\)’nin \(x\)’in bir fonksiyonu olduğunu unutmayın, yani \(y\) içeren her terimde zincir kuralı gereği bir \(\dfrac{dy}{dx}\) çarpanı belirir.
- Elde ettiğiniz eşitlikte \(\dfrac{dy}{dx}\) içeren terimleri bir tarafta toplayın.
- \(\dfrac{dy}{dx}\)’i yalnız bırakın ve sonucu verilen diferansiyel denklemle karşılaştırın. İki ifade aynıysa bağıntı denklemin kapalı çözümüdür.
Bu yöntemi çember örneğine uygularsak, \(x^{2} + y^{2} - 16 = 0\) bağıntısının \(x\)’e göre türevi
\[2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0\]
olur; iki tarafı \(2\)’ye bölünce doğrudan \(x + y\,\dfrac{dy}{dx} = 0\) denklemine ulaşırız. Görüldüğü gibi yöntem, bağıntıyı \(y\) için çözmeden de aynı sonucu vermektedir.
2.4 Çözüm Aileleri
Bir diferansiyel denklemin tek bir çözümü olması beklenen bir durum değildir. En basit örnek doğrudan integrasyonla çözülen denklemlerdir: \(y' = 2x\) denkleminin çözümü \(y = x^{2} + c\)’dir ve \(c\)’nin her değeri için ayrı bir çözüm elde ederiz. Yani karşımızda tek bir fonksiyon değil, bir fonksiyon ailesi vardır.
Tanım 2.3 (Bir Parametreli Çözüm Ailesi) Bir diferansiyel denklemin çözümü, içinde \(c\) gibi bir keyfi sabit (arbitrary constant) bulunan
\[y = f(x, c)\]
biçiminde veriliyorsa, \(c\)’nin her reel değeri bir çözüm belirler. Bu çözümler topluluğuna denklemin bir parametreli çözüm ailesi (one-parameter family of solutions) denir. Buradaki \(c\) sabitine ailenin parametresi denir.
Aynı biçimde içinde \(n\) tane keyfi sabit bulunan bir çözüm ailesine \(n\) parametreli çözüm ailesi denir.
Yani bir parametreli aile, tek bir formülün sabiti değiştirildikçe ürettiği sonsuz çoklukta çözüm demektir; bu çözümlerin grafiklerine denklemin çözüm eğrileri denir.
Bir denklemin bütün çözümleri her zaman böyle tek bir ailenin içinde toplanmaz: kimi denklemlerde, aileye hangi sabit değeri verilirse verilsin elde edilemeyen ayrı çözümler de bulunur. Aşağıdaki tanım çözümleri bu bakımdan üç gruba ayırır.
Tanım 2.4 (Genel Çözüm, Özel Çözüm, Tekil Çözüm) \(n\)-inci mertebeden bir adi diferansiyel denklem verilsin.
- Denklemin, birbirinden bağımsız \(n\) tane keyfi sabit içeren bir çözümüne genel çözüm (general solution) denir.
- Genel çözümdeki keyfi sabitlere belirli sayısal değerler verilerek elde edilen her çözüme özel çözüm (particular solution) denir.
- Genel çözümdeki keyfi sabitlere hangi değer verilirse verilsin elde edilemeyen bir çözüme tekil çözüm (singular solution) denir.
Yani genel çözüm denklemin çözümlerinin neredeyse tamamını tek bir formülde toplar, özel çözüm bu formülün tek bir üyesidir, tekil çözüm ise formülün hiçbir üyesi olmadığı hâlde denklemi sağlayan bir çözümdür.
| Çözüm türü | Keyfi sabit | Elde ediliş |
|---|---|---|
| Genel çözüm | \(n\) mertebeli denklemde \(n\) tane | Denklemin çözülmesiyle |
| Özel çözüm | yok (sabitler belirlenmiştir) | Genel çözümden sabitlere değer vererek |
| Tekil çözüm | yok | Genel çözümden elde edilemez; ayrıca bulunur |
Aşağıdaki iki örnek, aynı denklem üzerinde bu ayrımın nasıl işlediğini gösteriyor: önce bir genel çözüm, sonra o genel çözümün dışında kalan bir çözüm bulacağız.
Örnek 2.3 (Bir Parametreli Parabol Ailesi) Birinci mertebeden
\[\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - 4y = 0\]
denkleminin, \(c\) keyfi bir sabit olmak üzere \(f(x) = (x + c)^{2}\) biçiminde bir parametreli çözüm ailesine sahip olduğunu gösterip bu ailenin ne türden bir çözüm olduğunu belirleyiniz.
Çözüm
\(y = f(x) = (x + c)^{2}\) fonksiyonu bütün reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir. Türevi
\[y' = f'(x) = 2(x + c)\]
olur. Bunları denklemde yerine koyalım:
\[\bigl[2(x + c)\bigr]^{2} - 4(x + c)^{2} = 4(x + c)^{2} - 4(x + c)^{2} = 0.\]
Eşitlik \(c\)’nin her değeri ve \(x\)’in her değeri için sağlanır. Demek ki tek bir keyfi sabit içeren \(y = (x + c)^{2}\) ailesinin her üyesi denklemin bir çözümüdür.
Geometrik olarak bu aile, tepe noktası \(x\) ekseni üzerinde olan ve \(c\) değiştikçe yatay yönde kayan birbirinin aynısı parabollerden oluşur; \(c\) ne olursa olsun parabol \(x\) eksenine tepe noktasında değer.
Çözümün türüne gelince: denklem birinci mertebedendir ve ailede bir tane keyfi sabit vardır. Keyfi sabit sayısı mertebeye eşit olduğundan \(y = (x + c)^{2}\) ailesi denklemin genel çözümüdür. Sabite belirli bir sayı vererek elde edilen her üye, örneğin \(y = (x + 3)^{2}\), bu genel çözümün bir özel çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Örnek 2.4 (Aileden Elde Edilemeyen Bir Çözüm) \[\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - 4y = 0\]
denkleminin, genel çözümü olan \(y = (x + c)^{2}\) ailesinden elde edilemeyen bir çözümü var mıdır?
Çözüm
\(y = 0\) sabit fonksiyonunu deneyelim. Bu fonksiyonun türevi \(y' = 0\)’dır ve
\[(0)^{2} - 4 \cdot 0 = 0\]
olduğundan \(y = 0\) da denklemin bir çözümüdür.
Ancak \(y = 0\) fonksiyonu aileden elde edilemez: \((x + c)^{2}\) ifadesi \(c\)’ye hangi sayısal değeri verirsek verelim özdeş olarak sıfır olmaz, yalnızca tek bir noktada (\(x = -c\) noktasında) sıfırdır. Bir fonksiyonun tek bir noktada sıfır olması ile bir aralık boyunca sıfır fonksiyonuna eşit olması aynı şey değildir.
Demek ki \(y = 0\), genel çözümdeki keyfi sabite hangi değer verilirse verilsin elde edilemeyen bir çözümdür; yani denklemin bir tekil çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Tekil çözümler yalnızca lineer olmayan denklemlerde ortaya çıkar. Yukarıdaki örneklerdeki denklemde türevin karesi bulunduğundan denklem lineer değildir; tekil çözümün varlığı da bununla ilgilidir. Lineer bir denklemin bütün çözümleri genel çözümün içinde yer alır.
Bir aile içinden tek bir çözümü seçmek için denklemin yanında bir ek koşul verilir. Aşağıdaki örnek bu seçimin nasıl yapıldığını gösteriyor.
Örnek 2.5 (Aileden Tek Bir Çözümün Seçilmesi) \[y' = \frac{dy}{dx} = \cos x, \qquad y(0) = 2\]
problemini çözünüz.
Çözüm
Genel çözüm. Denklemin sağ tarafı yalnızca \(x\)’e bağlı olduğundan, iki tarafın da \(x\)’e göre integralini alarak doğrudan çözebiliriz:
\[y = \int \cos x\,dx = \sin x + c.\]
Burada \(c\) keyfi bir sabittir. Bu, denklemin genel çözümüdür: birinci mertebeden bir denklem ve bir tane keyfi sabit. Geometrik olarak bu aile, sinüs eğrisinin düşey yönde kaydırılmış kopyalarından oluşan çözüm eğrileri topluluğudur.
Ek koşulun kullanılması. Çözümün ayrıca \(y(0) = 2\) koşulunu sağlamasını istiyoruz. Genel çözümde \(x = 0\) yazalım:
\[y(0) = \sin 0 + c = c.\]
Buradan \(c = 2\) bulunur. Sabiti yerine koyarsak
\[y(x) = \sin x + 2\]
elde edilir. Bu, sonsuz çoklukta çözüm eğrisi arasından \((0, 2)\) noktasından geçen tek eğridir ve problemin özel çözümüdür.
\(\blacksquare\)
2.5 Alıştırmalar
Alıştırma 2.1 (Doğrulama: Üstel Fonksiyon) \(y_{1}(t) = e^{t}\) fonksiyonunun \(y'' - y = 0\) denkleminin bir çözümü olduğunu doğrulayınız.
Çözüm
Fonksiyon bütün reel sayılarda tanımlı ve her mertebeden türevlenebilirdir. Türevleri
\[y_{1}'(t) = e^{t}, \qquad y_{1}''(t) = e^{t}\]
olur. Denklemde yerine koyalım:
\[y_{1}'' - y_{1} = e^{t} - e^{t} = 0.\]
Eşitlik her \(t\) için sağlandığından \(y_{1}(t) = e^{t}\) denklemin \((-\infty, \infty)\) aralığında bir çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.2 (Doğrulama: Hiperbolik Kosinüs) \(y_{2}(t) = \cosh t\) fonksiyonunun \(y'' - y = 0\) denkleminin bir çözümü olduğunu doğrulayınız.
Çözüm
Hiperbolik kosinüs
\[\cosh t = \frac{e^{t} + e^{-t}}{2}\]
biçiminde tanımlıdır ve bütün reel sayılarda türevlenebilirdir. Türevleri sırasıyla
\[y_{2}'(t) = \sinh t = \frac{e^{t} - e^{-t}}{2},\]
\[y_{2}''(t) = \cosh t.\]
İkinci türev fonksiyonun kendisine eşit çıktığı için
\[y_{2}'' - y_{2} = \cosh t - \cosh t = 0\]
olur. Eşitlik her \(t\) için sağlanır, dolayısıyla \(\cosh t\) de denklemin bir çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.3 (Doğrulama: Sekant Sağ Taraflı Denklem) \(0 < t < \dfrac{\pi}{2}\) aralığında
\[y = (\cos t)\ln \cos t + t \sin t\]
fonksiyonunun \(y'' + y = \sec t\) denkleminin bir çözümü olduğunu doğrulayınız.
Çözüm
Verilen aralıkta \(\cos t > 0\) olduğundan \(\ln \cos t\) tanımlıdır ve fonksiyon iki kez türevlenebilirdir.
Birinci türev. Çarpım kuralını iki terime de uygulayalım:
\[y' = -\sin t \ln \cos t + \cos t \cdot \frac{-\sin t}{\cos t} + \sin t + t\cos t.\]
Ortadaki terim \(-\sin t\) olarak sadeleşir ve üçüncü terimle birbirini götürür:
\[y' = -\sin t \ln \cos t + t\cos t.\]
İkinci türev. Aynı kuralları bir kez daha uygulayalım:
\[y'' = -\cos t \ln \cos t + \frac{\sin^{2} t}{\cos t} + \cos t - t\sin t.\]
Burada \(-\sin t \ln \cos t\) çarpımında \(\ln \cos t\) çarpanının türevi alındığında
\[-\sin t \cdot \frac{-\sin t}{\cos t} = \frac{\sin^{2} t}{\cos t}\]
terimi ortaya çıkar.
Yerine koyma. Şimdi \(y'' + y\) toplamını yazalım:
\[y'' + y = -\cos t \ln \cos t + \frac{\sin^{2} t}{\cos t} + \cos t - t\sin t + (\cos t)\ln \cos t + t \sin t.\]
Logaritmalı terimler ve \(t\sin t\) terimleri birbirini götürür; geriye
\[\frac{\sin^{2} t}{\cos t} + \cos t = \frac{\sin^{2} t + \cos^{2} t}{\cos t} = \frac{1}{\cos t} = \sec t\]
kalır. Eşitlik \(0 < t < \dfrac{\pi}{2}\) aralığının her noktasında sağlandığından verilen fonksiyon bu aralıkta denklemin bir çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.4 (Doğrulama: Kuvvet Fonksiyonu) \(t > 0\) için \(y_{1}(t) = t^{-2}\) fonksiyonunun
\[t^{2}y'' + 5ty' + 4y = 0\]
denkleminin bir çözümü olduğunu doğrulayınız.
Çözüm
\(t > 0\) olduğu sürece \(t^{-2}\) tanımlı ve iki kez türevlenebilirdir. Türevleri
\[y_{1}'(t) = -2t^{-3}, \qquad y_{1}''(t) = 6t^{-4}.\]
Bu ifadeleri denklemde yerine koyalım:
\[t^{2}\left(6t^{-4}\right) + 5t\left(-2t^{-3}\right) + 4t^{-2}.\]
Üsleri toplayarak her terimi \(t^{-2}\) cinsinden yazalım:
\[6t^{-2} - 10t^{-2} + 4t^{-2} = (6 - 10 + 4)\,t^{-2} = 0.\]
Eşitlik her \(t > 0\) için sağlandığından \(y_{1}(t) = t^{-2}\) denklemin bu aralıkta bir çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.5 (Doğrulama: Logaritmalı Kuvvet Fonksiyonu) \(t > 0\) için \(y_{2}(t) = t^{-2}\ln t\) fonksiyonunun
\[t^{2}y'' + 5ty' + 4y = 0\]
denkleminin bir çözümü olduğunu doğrulayınız.
Çözüm
\(t > 0\) için hem \(t^{-2}\) hem de \(\ln t\) türevlenebilir olduğundan çarpımları da türevlenebilirdir. Çarpım kuralıyla
\[y_{2}'(t) = -2t^{-3}\ln t + t^{-2}\cdot\frac{1}{t} = -2t^{-3}\ln t + t^{-3}.\]
İkinci türevi alırken ilk terime yine çarpım kuralını uygulayalım:
\[y_{2}''(t) = 6t^{-4}\ln t - 2t^{-4} - 3t^{-4} = 6t^{-4}\ln t - 5t^{-4}.\]
Burada \(-2t^{-3}\ln t\) teriminin türevi \(6t^{-4}\ln t - 2t^{-4}\), \(t^{-3}\) teriminin türevi ise \(-3t^{-4}\)’tür.
Şimdi denklemin sol tarafını terim terim yazalım:
\[t^{2}y_{2}'' = 6t^{-2}\ln t - 5t^{-2},\]
\[5ty_{2}' = -10t^{-2}\ln t + 5t^{-2},\]
\[4y_{2} = 4t^{-2}\ln t.\]
Bunları toplayalım. Logaritmalı terimlerin katsayıları \(6 - 10 + 4 = 0\), logaritmasız terimlerin katsayıları ise \(-5 + 5 = 0\) verir:
\[t^{2}y_{2}'' + 5ty_{2}' + 4y_{2} = 0.\]
Demek ki \(y_{2}(t) = t^{-2}\ln t\) de denklemin \(t > 0\) aralığında bir çözümüdür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.6 (Doğrulama: İntegral İçeren Çözüm) \[y = e^{t^{2}}\int_{0}^{t} e^{-s^{2}}\,ds + e^{t^{2}}\]
fonksiyonunun \(y' - 2ty = 1\) denkleminin bir çözümü olduğunu doğrulayınız.
Çözüm
\(e^{-s^{2}}\) fonksiyonu sürekli olduğundan, analizin temel teoremi gereği
\[\frac{d}{dt}\int_{0}^{t} e^{-s^{2}}\,ds = e^{-t^{2}}\]
olur. Şimdi \(y\)’nin türevini alalım; ilk terim bir çarpım olduğundan çarpım kuralını kullanıyoruz:
\[y' = 2te^{t^{2}}\int_{0}^{t} e^{-s^{2}}\,ds + e^{t^{2}}e^{-t^{2}} + 2te^{t^{2}}.\]
Ortadaki terim \(e^{t^{2}}e^{-t^{2}} = e^{0} = 1\) biçiminde sadeleşir:
\[y' = 2te^{t^{2}}\int_{0}^{t} e^{-s^{2}}\,ds + 1 + 2te^{t^{2}}.\]
Öte yandan verilen fonksiyonun \(2t\) katı
\[2ty = 2te^{t^{2}}\int_{0}^{t} e^{-s^{2}}\,ds + 2te^{t^{2}}\]
olur. İki ifadeyi çıkaralım; integralli terimler ve \(2te^{t^{2}}\) terimleri birbirini götürür:
\[y' - 2ty = 1.\]
Eşitlik her \(t\) için sağlandığından verilen fonksiyon denklemin bir çözümüdür. Bu örnek, bir çözümün her zaman bilinen temel fonksiyonlarla sonlu bir formül hâlinde yazılamayabileceğini, bir integralle verilmesinin de yeterli olduğunu göstermektedir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 2.7 (Kapalı Bağıntının Denetlenmesi) \[\sin(xy) + y^{2} - x = 0\]
bağıntısı
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy) + 2y}\]
denkleminin kapalı çözümü müdür?
Çözüm
Bağıntıdan \(y\)’yi yalnız bırakmak mümkün değildir; bu yüzden kapalı türev alma yolunu izleyeceğiz. \(y\)’yi \(x\)’in bir fonksiyonu kabul edip iki tarafın \(x\)’e göre türevini alalım.
\(\sin(xy)\) teriminde önce zincir kuralı, sonra \(xy\) çarpımı için çarpım kuralı kullanılır:
\[\frac{d}{dx}\sin(xy) = \cos(xy)\left(y + x\,\frac{dy}{dx}\right).\]
\(y^{2}\) teriminin türevi \(2y\dfrac{dy}{dx}\), \(-x\) teriminin türevi ise \(-1\)’dir. Hepsini bir araya getirirsek
\[\cos(xy)\left(y + x\,\frac{dy}{dx}\right) + 2y\,\frac{dy}{dx} - 1 = 0.\]
Parantezi açalım:
\[y\cos(xy) + x\cos(xy)\,\frac{dy}{dx} + 2y\,\frac{dy}{dx} = 1.\]
\(\dfrac{dy}{dx}\) içeren terimleri ortak parantezine alalım:
\[\frac{dy}{dx}\Bigl(x\cos(xy) + 2y\Bigr) = 1 - y\cos(xy).\]
\(x\cos(xy) + 2y \neq 0\) olan noktalarda iki tarafı bu ifadeye bölelim:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy) + 2y}.\]
Elde ettiğimiz ifade verilen denklemin ta kendisidir. Demek ki bağıntı, \(x\cos(xy) + 2y \neq 0\) koşulunun sağlandığı ve bağıntının türevlenebilir bir \(y\) fonksiyonu belirlediği her aralıkta denklemin kapalı çözümüdür.
\(\blacksquare\)
2.6 Sonraki Adım
Bu bölümde bir denklemin çözümlerinin çoğu zaman tek bir fonksiyon değil, keyfi sabitler içeren bir aile oluşturduğunu gördük. Son örnekte olduğu gibi, bu aileden tek bir üyeyi seçmek için denklemin yanına ek koşullar konur. Bu koşulların hepsi bağımsız değişkenin aynı değerinde mi verilmiştir, yoksa farklı değerlerinde mi? Bu ayrım problemin türünü belirler ve çözümün varlığı ile tekliği sorusunu gündeme getirir. Bir sonraki bölümde bu konuyu ele alıyoruz: Başlangıç ve Sınır Değer Problemleri.