11 Sürekli Fonksiyonların Global Özellikleri
Süreklilik tanımı yereldir: \(f\)’nin bir \(a\) noktasında sürekli olup olmadığına yalnız \(a\)’nın çok yakınındaki değerlere bakarak karar verilir (Tanım 10.1). Oysa tek değişkenli analizin en çok kullanılan sonuçları bir fonksiyonun bütün bir küme üzerindeki davranışını anlatır: \([a, b]\) aralığında sürekli bir fonksiyon en büyük ve en küçük değerini alır (bkz. Analiz 1), aldığı iki değer arasındaki her değeri alır (bkz. Analiz 1) ve düzgün süreklidir (bkz. Analiz 1). Böyle sonuçlara sürekli fonksiyonların global özellikleri denir. Hepsi aynı kalıptadır: her noktadaki süreklilik, tanım kümesinin iyi bir özelliğiyle birleşince fonksiyonun bütünü hakkında bir sonuç verir.
Bu bölümde önce sürekliliği tek bir noktaya bakmadan, açık ve kapalı kümelerin ters görüntüleriyle ifade ediyoruz. Ardından Kompakt ve Bağlantılı Kümeler bölümündeki iki kavramın sürekli fonksiyonlarca korunduğunu gösteriyoruz. \([a, b]\) aralığının rolünü kompakt kümeler, “tek parça olma” özelliğinin rolünü bağlantılı kümeler üstlenecek; böylece uç değer ve ara değer teoremleri \(\mathbb{R}^n\)’ye taşınacak. Bölüm, düzgün süreklilik kavramı ve kompakt kümelerde her sürekli fonksiyonun düzgün sürekli olduğunu söyleyen Heine–Cantor teoremiyle bitiyor.
Bölüm boyunca \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(f : D \to \mathbb{R}^m\) yazacağız; \(f\)’nin \(D\)’de sürekli olması, \(D\)’nin her noktasında sürekli olması demektir (Tanım 10.2).
11.1 Görüntü ve Ters Görüntü
Global özellikler bir fonksiyonun kümeleri nereye götürdüğü sorusuyla ifade edilir; bu yüzden işe görüntü ve ters görüntü kavramlarını çok boyutlu durumda hatırlayarak başlıyoruz.
Bu iki kavramı Analiz 1’de keyfi fonksiyonlar için tanımlamıştık (bkz. Analiz 1). \(A \subseteq D\) kümesinin \(f\) altındaki görüntüsü ve \(B \subseteq \mathbb{R}^m\) kümesinin \(f\) altındaki ters görüntüsü
\[f(A) = \{f(x) : x \in A\} \subseteq \mathbb{R}^m,\]
\[f^{-1}(B) = \{x \in D : f(x) \in B\} \subseteq D\]
kümeleridir. \(f(D)\) kümesine \(f\)’nin görüntü kümesi denir. İki noktaya dikkat edelim. Ters görüntü, fonksiyonun tersi olsun olmasın her fonksiyon için tanımlıdır; \(f^{-1}(B)\) yazımındaki \(f^{-1}\) bir ters fonksiyon anlamına gelmez. Ayrıca ters görüntü her zaman tanım kümesinin içindedir: \(B\) ne kadar büyük olursa olsun \(f^{-1}(B) \subseteq D\) olur ve \(B\), \(f\)’nin değerlerinden hiçbirini içermiyorsa \(f^{-1}(B) = \varnothing\)’dir.
Ters görüntü küme işlemleriyle tam uyumludur (bkz. Analiz 1 ve Analiz 1). \(\{B_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\), \(\mathbb{R}^m\)’nin alt kümelerinden oluşan bir aile ve \(B \subseteq \mathbb{R}^m\) ise
\[f^{-1}\Big( \bigcup_{\alpha \in \Lambda} B_\alpha \Big) = \bigcup_{\alpha \in \Lambda} f^{-1}(B_\alpha),\]
\[f^{-1}\Big( \bigcap_{\alpha \in \Lambda} B_\alpha \Big) = \bigcap_{\alpha \in \Lambda} f^{-1}(B_\alpha),\]
\[f^{-1}(\mathbb{R}^m \setminus B) = D \setminus f^{-1}(B)\]
olur. Son eşitlikte tümleyenin \(\mathbb{R}^n\)’ye göre değil \(D\)’ye göre alındığına dikkat edelim: \(f(x) \notin B\) koşulunu sağlayan noktalar yalnız \(D\)’nin noktaları arasından seçilir. Görüntü ise yalnız birleşimle uyumludur; genel olarak yalnız \(f\big(f^{-1}(B)\big) \subseteq B\) ve \(A \subseteq f^{-1}\big(f(A)\big)\) kapsamaları vardır.
Tek değişkenli bir örnekle başlayalım. \(f : [-1, 1] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\) olsun. \(x \in \left[0, \tfrac{1}{2}\right]\) ise \(0 \le x^2 \le \tfrac{1}{4}\)’tür; tersine her \(y \in \left[0, \tfrac{1}{4}\right]\) için \(x = \sqrt{y}\) noktası \(\left[0, \tfrac{1}{2}\right]\) aralığındadır ve \(f(x) = y\) olur. Dolayısıyla \(f\big(\left[0, \tfrac{1}{2}\right]\big) = \left[0, \tfrac{1}{4}\right]\)’tür. Aynı gerekçeyle görüntü kümesi \(f([-1, 1]) = [0, 1]\)’dir.
Örnek 11.1 (Kare Fonksiyonunda Ters Görüntü) \(f : [-1, 1] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\) olsun. \(B = \left[ \dfrac{1}{4}, 3 \right]\) kümesinin \(f\) altındaki ters görüntüsünü bulunuz.
Çözüm
Tanım gereği
\[f^{-1}(B) = \left\{ x \in [-1, 1] : \frac{1}{4} \le x^2 \le 3 \right\}\]
olur. \(x \in [-1, 1]\) için \(x^2 \le 1 < 3\) olduğundan sağdaki eşitsizlik kendiliğinden sağlanır. Geriye \(x^2 \ge \dfrac{1}{4}\), yani \(|x| \ge \dfrac{1}{2}\) koşulu kalır. Dolayısıyla
\[f^{-1}\left( \left[ \frac{1}{4}, 3 \right] \right) = \left[ -1, -\frac{1}{2} \right] \cup \left[ \frac{1}{2}, 1 \right].\]
\(B\)’nin \((1, 3]\) parçasına hiçbir nokta gitmez, çünkü \(f\) bu değerleri almaz. Bu yüzden \(f\big(f^{-1}(B)\big) = \left[ \tfrac{1}{4}, 1 \right]\) olur ve \(B\)’den küçüktür. Ayrıca \(B\) bir aralık, yani tek parça olduğu hâlde ters görüntüsü iki ayrık parçadan oluşur; bu gözleme bölümün ilerisinde döneceğiz. \(\blacksquare\)
Çok değişkenli fonksiyonlarda tek noktalı bir kümenin ters görüntüsü, fonksiyonun sabit bir değer aldığı noktaların kümesidir; iki değişkende bu küme çoğunlukla bir eğridir.
Örnek 11.2 (Bir Elipsi Veren Ters Görüntü) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(f(x, y) = \dfrac{x^2}{4} + y^2\) olsun. Her \(c \in \mathbb{R}\) için \(f^{-1}(\{c\})\) kümesini bulunuz.
Çözüm
Tanım gereği
\[f^{-1}(\{c\}) = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : \frac{x^2}{4} + y^2 = c \right\}\]
olur. Kareler negatif olmadığından her noktada \(f(x, y) \ge 0\)’dır. Üç durum vardır.
\(c < 0\). Denklemin çözümü yoktur; \(f^{-1}(\{c\}) = \varnothing\).
\(c = 0\). İki negatif olmayan terimin toplamı ancak ikisi de sıfırsa sıfırdır: \(x = y = 0\). Yani \(f^{-1}(\{0\}) = \{(0, 0)\}\).
\(c > 0\). Denklemi \(c\)’ye bölersek
\[\frac{x^2}{4c} + \frac{y^2}{c} = 1\]
bulunur. Bu, merkezi orijin, yarı eksenleri \(x\) doğrultusunda \(2\sqrt{c}\) ve \(y\) doğrultusunda \(\sqrt{c}\) olan bir elipstir; tepe noktaları \((\pm 2\sqrt{c}, 0)\) ve \((0, \pm \sqrt{c})\)’dir.
Demek ki \(f^{-1}(\{c\})\) kümesi ancak \(c \ge 0\) iken boş değildir. Bu, \(f\)’nin tam olarak negatif olmayan değerleri aldığını söyler: \(f(\mathbb{R}^2) = [0, +\infty)\). \(\blacksquare\)
Örnek 11.3 (Bir Yarım Kürenin Düzlemle Kesiti) \(f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}\) fonksiyonunun tanım kümesi \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 9\}\) kapalı diskidir. \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x = 1\}\) olmak üzere \(f(A \cap D)\) kümesini bulunuz.
Çözüm
Görüntü kümesi. Önce \(f(D)\)’yi bulalım. \((x, y) \in D\) ise \(0 \le 9 - x^2 - y^2 \le 9\), dolayısıyla \(0 \le f(x, y) \le 3\) olur. Tersine \(z \in [0, 3]\) verilsin; \(9 - z^2 \in [0, 9]\) olduğundan \(\big(\sqrt{9 - z^2}, 0\big)\) noktası \(D\)’dedir ve bu noktada \(f\)’nin değeri \(\sqrt{9 - (9 - z^2)} = z\)’dir. Dolayısıyla \(f(D) = [0, 3]\).
Kesişim. \(A \cap D\) kümesi \(x = 1\) ve \(1 + y^2 \le 9\) koşullarını sağlayan noktalardan oluşur:
\[A \cap D = \{(1, y) : y^2 \le 8\} = \{(1, y) : |y| \le 2\sqrt{2}\}.\]
Görüntü. Bu noktalarda \(f(1, y) = \sqrt{8 - y^2}\)’dir. \(|y| \le 2\sqrt{2}\) ise \(0 \le 8 - y^2 \le 8\), yani \(0 \le f(1, y) \le 2\sqrt{2}\) olur. Tersine \(z \in [0, 2\sqrt{2}]\) verilsin ve \(y = \sqrt{8 - z^2}\) alalım. \(0 \le 8 - z^2 \le 8\) olduğundan \(|y| \le 2\sqrt{2}\), yani \((1, y) \in A \cap D\)’dir ve \(f(1, y) = \sqrt{8 - (8 - z^2)} = z\) olur. Dolayısıyla
\[f(A \cap D) = [0, 2\sqrt{2}].\]
Geometrik olarak \(f\)’nin grafiği \(3\) yarıçaplı üst yarım küredir. \(x = 1\) düzlemi bu yarım küreyi, merkezi \((1, 0, 0)\) ve yarıçapı \(2\sqrt{2}\) olan bir yarım çember boyunca keser; \(f(A \cap D)\) bu yarım çemberin aldığı yüksekliklerin kümesidir. \(\blacksquare\)
Sürekli bir fonksiyonun bile kümelerin bazı özelliklerini korumadığını ilk iki tek değişkenli örnekte görelim.
Örnek 11.4 (Sinüs Fonksiyonunda Görüntüler) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sin x\) olsun. \(E_1 = (0, \pi)\), \(E_2 = [0, \pi]\), \(E_3 = (-1, 1)\) ve \(E_4 = [-1, 1]\) kümelerinin \(f\) altındaki görüntülerini bulunuz.
Çözüm
\(E_1\) ve \(E_2\). \(x \in (0, \pi)\) ise \(0 < \sin x \le 1\) olduğundan \(f(E_1) \subseteq (0, 1]\)’dir. Tersine \(y \in (0, 1]\) verilsin. Sinüs \(\left[0, \tfrac{\pi}{2}\right]\) aralığında süreklidir (bkz. Analiz 1) ve \(\sin 0 = 0 < y \le 1 = \sin \tfrac{\pi}{2}\)’dir. Ara değer teoremi (bkz. Analiz 1) gereği \(\sin c = y\) olan bir \(c \in \left[0, \tfrac{\pi}{2}\right]\) vardır; \(y \ne 0\) olduğundan \(c \ne 0\), yani \(c \in E_1\)’dir. Dolayısıyla \(f(E_1) = (0, 1]\). \(E_2\) kümesi buna \(0\) ve \(\pi\) uç noktalarını ekler ve \(\sin 0 = \sin \pi = 0\) olduğundan \(f(E_2) = [0, 1]\) olur.
\(E_3\) ve \(E_4\). \(1 < \tfrac{\pi}{2}\) olduğundan \([-1, 1] \subseteq \left[ -\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2} \right]\)’dir ve sinüs bu aralıkta kesin artandır. Sinüs tek fonksiyon olduğundan \(\sin(-1) = -\sin 1\)’dir. O hâlde \(x \in (-1, 1)\) ise \(-\sin 1 < \sin x < \sin 1\) olur. Tersine \(-\sin 1 < y < \sin 1\) ise ara değer teoremi \([-1, 1]\) üzerinde \(\sin c = y\) olan bir \(c\) verir ve \(\sin(\pm 1) \ne y\) olduğundan \(c \ne \pm 1\)’dir. Dolayısıyla
\[f(E_3) = (-\sin 1, \sin 1)\]
olur ve uç noktalar eklenince \(f(E_4) = [-\sin 1, \sin 1]\) bulunur.
\(E_1\) ve \(E_3\) açık aralıklardır. \(f(E_3)\) açıktır ama \(f(E_1) = (0, 1]\) açık değildir: sürekli bir fonksiyon açık bir kümeyi açık bir kümeye götürmek zorunda değildir. Buna karşılık kapalı ve sınırlı \(E_2\), \(E_4\) aralıklarının görüntüleri yine kapalı ve sınırlıdır; bunun bir rastlantı olmadığını Teorem 11.2 gösterecek. \(\blacksquare\)
Örnek 11.5 (İşaret Fonksiyonunda Görüntüler) \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \ne 0\) için \(g(x) = \dfrac{x}{|x|}\) ve \(g(0) = 0\) olsun. \(E_1 = (0, \pi)\), \(E_2 = [0, \pi]\), \(E_3 = (-1, 1)\) ve \(E_4 = [-1, 1]\) kümelerinin \(g\) altındaki görüntülerini bulunuz.
Çözüm
\(x > 0\) ise \(|x| = x\) olduğundan \(g(x) = 1\); \(x < 0\) ise \(|x| = -x\) olduğundan \(g(x) = -1\)’dir. Buna göre:
- \(E_1\)’in bütün elemanları pozitif olduğundan \(g(E_1) = \{1\}\);
- \(E_2 = \{0\} \cup (0, \pi]\) olduğundan \(g(E_2) = \{0, 1\}\);
- \(E_3 = (-1, 0) \cup \{0\} \cup (0, 1)\) olduğundan \(g(E_3) = \{-1, 0, 1\}\);
- \(E_4\) de negatif, sıfır ve pozitif sayılar içerdiğinden \(g(E_4) = \{-1, 0, 1\}\).
\(E_3\) bir aralıktır, dolayısıyla bağlantılıdır (Teorem 5.6). Oysa \(g(E_3) = \{-1, 0, 1\}\) bağlantısızdır: \(0\) ile \(1\) arasındaki \(\tfrac{1}{2}\) sayısı bu kümeye ait değildir (Alıştırma 5.7). \(g\) fonksiyonu \(0\) noktasında sürekli değildir; sürekli fonksiyonların bağlantılı kümeleri parçalayamayacağını Teorem 11.5 teoreminde göreceğiz. \(\blacksquare\)
11.2 Bağıl Açık Kümeler
Tanım kümesi açık olmayan bir fonksiyonda açık bir kümenin ters görüntüsü açık olmayabilir; bu yüzden açıklığı tanım kümesine göre ölçen bir kavrama ihtiyacımız var.
\(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x\) fonksiyonunu ele alalım; \(f\) süreklidir. \(U = \left( -1, \tfrac{1}{2} \right)\) açık kümesinin ters görüntüsü \(f^{-1}(U) = \left[ 0, \tfrac{1}{2} \right)\)’dir ve bu küme \(\mathbb{R}\)’de açık değildir: \(0\) kümededir ama hiçbir \((-\varepsilon, \varepsilon)\) aralığı kümenin içinde kalmaz. Hatta \(f^{-1}(\mathbb{R}) = [0, 1]\) bile açık değildir. Sorun \(f\)’de değil, ters görüntünün \([0, 1]\)’in dışına çıkamamasındadır. \([0, 1]\)’in içinden bakan biri için \(\left[ 0, \tfrac{1}{2} \right)\) kümesi “açıktır”: bu küme, açık \(U\) kümesinin \([0, 1]\)’e düşen parçasıdır, yani \(U \cap [0, 1]\)’dir.
Tanım 11.1 (Bağıl Açık ve Bağıl Kapalı Küme) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(S \subseteq D\) olsun.
- \(S = V \cap D\) olacak biçimde açık bir \(V \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi varsa \(S\)’ye \(D\)’de bağıl açık (\(D\)’ye göre açık) küme denir.
- \(S = G \cap D\) olacak biçimde kapalı bir \(G \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi varsa \(S\)’ye \(D\)’de bağıl kapalı (\(D\)’ye göre kapalı) küme denir.
Yani bağıl açık bir küme, \(\mathbb{R}^n\)’deki bir açık kümenin \(D\)’ye düşen parçasıdır; \(V\)’nin \(D\)’nin dışında nasıl davrandığı önemli değildir. Her açık \(S \subseteq D\) kümesi \(D\)’de bağıl açıktır (\(V = S\) alınır). \(D\) ve \(\varnothing\) kümeleri ise \(D\)’de hem bağıl açık hem bağıl kapalıdır: \(V = G = \mathbb{R}^n\) ve \(V = G = \varnothing\) alınır. Yukarıdaki \(\left[ 0, \tfrac{1}{2} \right)\) kümesi \([0, 1]\)’de bağıl açıktır ama \(\mathbb{R}\)’de açık değildir. Bağlantılılık tanımındaki (Tanım 5.3) \(U \cap S\) ve \(V \cap S\) parçaları da tam olarak \(S\)’de bağıl açık kümelerdir.
Bağıl açıklık da açıklık gibi yuvarlarla ifade edilebilir; tek fark, yuvarın yalnız \(D\)’ye düşen kısmına bakılmasıdır.
Önerme 11.1 (Bağıl Açıklığın Özellikleri) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(S \subseteq D\) olsun.
(a) \(S\)’nin \(D\)’de bağıl açık olması için gerek ve yeter koşul, her \(x \in S\) için \(B(x, \varepsilon) \cap D \subseteq S\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) bulunmasıdır.
(b) \(D\) açıksa \(S\)’nin \(D\)’de bağıl açık olması için gerek ve yeter koşul \(S\)’nin açık olmasıdır.
(c) \(S\)’nin \(D\)’de bağıl kapalı olması için gerek ve yeter koşul \(D \setminus S\) kümesinin \(D\)’de bağıl açık olmasıdır.
İspat
(a) (\(\Rightarrow\)) \(S = V \cap D\) ve \(V\) açık olsun. \(x \in S\) ise \(x \in V\)’dir ve \(V\) açık olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq V\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. O zaman
\[B(x, \varepsilon) \cap D \subseteq V \cap D = S\]
olur.
(\(\Leftarrow\)) Her \(x \in S\) için koşuldaki sayılardan birini seçip \(\varepsilon_x\) diyelim ve
\[V = \bigcup_{x \in S} B(x, \varepsilon_x)\]
kümesini tanımlayalım (\(S = \varnothing\) ise \(V = \varnothing\)). Açık yuvarlar açık olduğundan (Teorem 3.1) ve açık kümelerin birleşimi açık olduğundan (Teorem 3.3) \(V\) açıktır. \(V \cap D = S\) olduğunu gösterelim. Birleşimin her parçası için \(B(x, \varepsilon_x) \cap D \subseteq S\) olduğundan \(V \cap D \subseteq S\)’dir. Tersine \(x \in S\) ise \(x \in B(x, \varepsilon_x) \subseteq V\) ve \(x \in D\) olduğundan \(x \in V \cap D\)’dir. Demek ki \(S = V \cap D\) ve \(S\), \(D\)’de bağıl açıktır.
(b) \(D\) açık olsun. \(S = V \cap D\) ve \(V\) açıksa \(S\) iki açık kümenin kesişimi olarak açıktır (Teorem 3.3). Tersine \(S\) açıksa \(S \subseteq D\) olduğundan \(S = S \cap D\) yazılır; \(V = S\) alınır.
(c) (\(\Rightarrow\)) \(S = G \cap D\) ve \(G\) kapalı olsun. \(D\)’nin bir noktası \(S\)’de değilse \(G\)’de değildir; tersine \(D\)’nin \(G\)’de olmayan bir noktası \(S\)’de değildir. Dolayısıyla
\[D \setminus S = D \cap (\mathbb{R}^n \setminus G)\]
olur. \(G\) kapalı olduğundan \(\mathbb{R}^n \setminus G\) açıktır (Tanım 3.3); \(D \setminus S\) bağıl açıktır.
(\(\Leftarrow\)) \(D \setminus S = V \cap D\) ve \(V\) açık olsun. Aynı akıl yürütmeyle \(S = D \setminus (D \setminus S) = D \cap (\mathbb{R}^n \setminus V)\) bulunur. \(\mathbb{R}^n \setminus V\) kapalıdır; \(S\) bağıl kapalıdır. \(\blacksquare\)
Önermenin (b) maddesinin kapalı kümeler için karşılığı da aynı yolla görülür: \(D\) kapalıysa \(S \subseteq D\) kümesinin \(D\)’de bağıl kapalı olması için gerek ve yeter koşul \(S\)’nin kapalı olmasıdır. Gerçekten \(S = G \cap D\) iki kapalı kümenin kesişimi olarak kapalıdır (Teorem 3.4); tersine \(S\) kapalıysa \(S = S \cap D\)’dir.
11.3 Sürekliliğin Açık ve Kapalı Kümelerle Belirlenmesi
Artık sürekliliği tek bir noktaya bakmadan ifade edebiliriz: sürekli fonksiyonlar, açık kümelerin ters görüntülerini bağıl açık kümelere götüren fonksiyonlardır.
Teorem 11.1 (Sürekliliğin Açık Kümelerle Belirlenmesi) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(f : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. \(f\)’nin \(D\)’de sürekli olması için gerek ve yeter koşul şudur: her açık \(U \subseteq \mathbb{R}^m\) kümesi için \(f^{-1}(U)\) kümesi \(D\)’de bağıl açıktır, yani
\[f^{-1}(U) = V \cap D\]
olacak biçimde açık bir \(V \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi vardır.
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(f\), \(D\)’de sürekli ve \(U \subseteq \mathbb{R}^m\) açık olsun. Önerme 11.1 (a) gereği her \(a \in f^{-1}(U)\) için \(B(a, \delta) \cap D \subseteq f^{-1}(U)\) olacak biçimde bir \(\delta > 0\) bulmak yeter.
\(a \in f^{-1}(U)\) olsun. O zaman \(a \in D\) ve \(f(a) \in U\)’dur. \(U\) açık olduğundan
\[B\big(f(a), \varepsilon_a\big) \subseteq U\]
olacak biçimde bir \(\varepsilon_a > 0\) vardır. \(f\), \(a\) noktasında sürekli olduğundan bu \(\varepsilon_a\) için öyle bir \(\delta_a > 0\) vardır ki \(x \in D\) ve \(\|x - a\| < \delta_a\) iken \(\|f(x) - f(a)\| < \varepsilon_a\) olur (Tanım 10.1). Yuvarlarla yazarsak (Önerme 10.1)
\[x \in B(a, \delta_a) \cap D \implies f(x) \in B\big(f(a), \varepsilon_a\big) \subseteq U.\]
\(f(x) \in U\) olması \(x \in f^{-1}(U)\) demektir. Dolayısıyla \(B(a, \delta_a) \cap D \subseteq f^{-1}(U)\) olur ve \(f^{-1}(U)\), \(D\)’de bağıl açıktır. Önerme 11.1 ispatındaki gibi aranan açık küme açıkça da yazılabilir:
\[V = \bigcup_{a \in f^{-1}(U)} B(a, \delta_a).\]
Tanım kümesi \(D\) açık değilse \(B(a, \delta_a)\) yuvarının \(D\)’nin dışına taşan kısmı hakkında hiçbir şey bilmeyiz; bu yüzden sonuç “açık” değil “bağıl açık”tır.
(\(\Leftarrow\)) Koşul sağlansın; \(a \in D\) ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(U = B\big(f(a), \varepsilon\big)\) açık yuvarı \(\mathbb{R}^m\)’de açıktır (Teorem 3.1). Varsayım gereği \(f^{-1}(U) = V \cap D\) olacak biçimde açık bir \(V \subseteq \mathbb{R}^n\) vardır. \(f(a) \in U\) olduğundan \(a \in f^{-1}(U) \subseteq V\)’dir. \(V\) açık olduğundan \(B(a, \delta) \subseteq V\) olan bir \(\delta > 0\) vardır. Şimdi \(x \in D\) ve \(\|x - a\| < \delta\) olsun. O zaman \(x \in B(a, \delta) \cap D \subseteq V \cap D = f^{-1}(U)\), yani \(f(x) \in B\big(f(a), \varepsilon\big)\) olur:
\[\|f(x) - f(a)\| < \varepsilon.\]
Bu, \(f\)’nin \(a\) noktasında sürekli olduğunu gösterir. \(a \in D\) keyfi olduğundan \(f\), \(D\)’de süreklidir. \(\blacksquare\)
Tanım kümesi açıksa “bağıl” sözcüğü düşer.
Sonuç 11.1 (Açık Tanım Kümesinde Süreklilik) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) boş olmayan açık bir küme ve \(f : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. \(f\)’nin \(D\)’de sürekli olması için gerek ve yeter koşul, her açık \(U \subseteq \mathbb{R}^m\) kümesi için \(f^{-1}(U)\) kümesinin \(\mathbb{R}^n\)’de açık olmasıdır. Özel olarak \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) sürekliyse açık kümelerin ters görüntüleri açıktır.
İspat
\(f^{-1}(U) \subseteq D\) ve \(D\) açık olduğundan Önerme 11.1 (b) gereği \(f^{-1}(U)\)’nun \(D\)’de bağıl açık olması, açık olmasıyla aynı şeydir. Sonuç, Teorem 11.1 ile elde edilir. \(\mathbb{R}^n\) açık olduğundan (Teorem 3.3) son cümle bunun özel hâlidir. \(\blacksquare\)
Açık kümeler yerine kapalı kümelerle de aynı betimleme yapılabilir; köprü, ters görüntünün tümleyenle uyumlu olmasıdır.
Sonuç 11.2 (Sürekliliğin Kapalı Kümelerle Belirlenmesi) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(f : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. \(f\)’nin \(D\)’de sürekli olması için gerek ve yeter koşul şudur: her kapalı \(F \subseteq \mathbb{R}^m\) kümesi için \(f^{-1}(F)\) kümesi \(D\)’de bağıl kapalıdır, yani
\[f^{-1}(F) = G \cap D\]
olacak biçimde kapalı bir \(G \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi vardır. Özel olarak \(D\) kapalıysa, örneğin \(D = \mathbb{R}^n\) ise, sürekli bir fonksiyon altında kapalı kümelerin ters görüntüleri kapalıdır.
İspat
Her \(B \subseteq \mathbb{R}^m\) için \(f^{-1}(\mathbb{R}^m \setminus B) = D \setminus f^{-1}(B)\) eşitliğini kullanacağız.
(\(\Rightarrow\)) \(f\) sürekli ve \(F \subseteq \mathbb{R}^m\) kapalı olsun. \(\mathbb{R}^m \setminus F\) açık olduğundan Teorem 11.1 gereği
\[f^{-1}(\mathbb{R}^m \setminus F) = D \setminus f^{-1}(F)\]
kümesi \(D\)’de bağıl açıktır. Önerme 11.1 (c) gereği \(f^{-1}(F)\), \(D\)’de bağıl kapalıdır.
(\(\Leftarrow\)) Koşul sağlansın ve \(U \subseteq \mathbb{R}^m\) açık olsun. \(F = \mathbb{R}^m \setminus U\) kapalıdır; varsayım gereği \(f^{-1}(F) = D \setminus f^{-1}(U)\) kümesi \(D\)’de bağıl kapalıdır. Önerme 11.1 (c) bu kez \(S = D \setminus f^{-1}(U)\) kümesine uygulanırsa \(D \setminus S = f^{-1}(U)\) kümesinin bağıl açık olduğu çıkar. \(U\) keyfi olduğundan Teorem 11.1 gereği \(f\) süreklidir.
\(D\) kapalıysa \(G \cap D\) iki kapalı kümenin kesişimi olarak kapalıdır (Teorem 3.4); \(\mathbb{R}^n\) de kapalı bir kümedir. \(\blacksquare\)
Bu iki sonuç, bir kümenin açık ya da kapalı olduğunu göstermenin en kısa yoludur. Örneğin \(f(x, y) = xy\) polinomu \(\mathbb{R}^2\)’de süreklidir (Teorem 10.3) ve tek noktalı \(\{1\}\) kümesi kapalıdır (Örnek 3.11). Dolayısıyla
\[E = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 1\} = f^{-1}(\{1\})\]
hiperbolü kapalıdır. Alıştırma 5.5 alıştırmasında bu kümenin sınırlı olmadığını, dolayısıyla kapalı olduğu hâlde kompakt olmadığını görmüştük.
- Kümeyi ters görüntü olarak yaz. Kümeyi tanımlayan koşullar \(f(x) \in B\) biçiminde yazılır; \(f\), koşullarda geçen ifadelerden kurulan (gerekirse vektör değerli) bir fonksiyondur.
- Sürekliliği ve \(B\)’yi denetle. \(f\)’nin sürekliliği polinomlar, cebirsel işlemler, bileşke ve bileşenler yardımıyla gösterilir; \(B\)’nin açık ya da kapalı olduğu belirlenir. \(<\) ve \(>\) gibi kesin eşitsizlikler açık, \(\le\), \(\ge\) ve \(=\) ise kapalı kümeler verir.
- Karar ver. Tanım kümesi \(\mathbb{R}^n\) ise \(B\) açıkken \(f^{-1}(B)\) açık (Sonuç 11.1), \(B\) kapalıyken kapalıdır (Sonuç 11.2). Koşullar birden çoksa her birinin ters görüntüsü ayrı ayrı incelenip kesişim alınabilir.
Örnek 11.6 (Bir Eşitsizlik Kümesi Açıktır) \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) sürekli ve \(\alpha \in \mathbb{R}\) olsun. \(E = \{x \in \mathbb{R}^n : f(x) < \alpha\}\) kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Ters görüntü. \(U = (-\infty, \alpha)\) diyelim. \(x \in E\) olması \(f(x) < \alpha\), yani \(f(x) \in U\) demektir; dolayısıyla \(E = f^{-1}(U)\)’dur.
\(U\) açıktır. \(y \in U\) ise \(\varepsilon = \alpha - y > 0\) için
\[B(y, \varepsilon) = (y - \varepsilon, y + \varepsilon) = (2y - \alpha, \alpha) \subseteq U\]
olur.
Karar. \(f\), açık \(\mathbb{R}^n\) kümesinde sürekli ve \(U\) açık olduğundan Sonuç 11.1 gereği \(E = f^{-1}(U)\) açıktır. \(\blacksquare\)
Aynı yolla \((\alpha, +\infty)\) açık olduğundan \(\{x : f(x) > \alpha\}\) kümesi de açıktır. \((-\infty, \alpha]\), \([\alpha, +\infty)\) ve \(\{\alpha\}\) kümeleri \(\mathbb{R}\)’de kapalıdır (tümleyenleri açıktır); dolayısıyla \(\{x : f(x) \le \alpha\}\), \(\{x : f(x) \ge \alpha\}\) ve \(\{x : f(x) = \alpha\}\) kümeleri kapalıdır (Sonuç 11.2). Örneğin \(x \mapsto \|x - x_0\|\) uzaklık fonksiyonu süreklidir (Sonuç 10.2); \(B[x_0, r]\) ve \(S(x_0, r)\) kümelerinin kapalı olduğu buradan tek satırda çıkar. Bunu Açık ve Kapalı Kümeler bölümünde tümleyenin açıklığını göstererek elde etmiştik. Örnek 11.2 örneğindeki elipsler de \(\{x : f(x) = c\}\) biçiminde oldukları için kapalıdır.
Örnek 11.7 (Dört Boyutta Kapalı Bir Küme) \[ \begin{aligned} F = \big\{ (x, y, z, u) \in \mathbb{R}^4 :\ & e^{x+y}\cos(zu^3) \in [0, 2], \\[1mm] & x - y^2 + z^4 + u^5 \in [-\pi, 2025] \big\} \end{aligned} \]
kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Ters görüntü. \(f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2\), \(f = (f_1, f_2)\) fonksiyonunu
\[f_1(x, y, z, u) = e^{x+y}\cos(zu^3),\]
\[f_2(x, y, z, u) = x - y^2 + z^4 + u^5\]
bileşenleriyle tanımlayalım ve \(I = [0, 2] \times [-\pi, 2025]\) diyelim. Bir noktanın \(F\)’de olması, \(f_1\) değerinin \([0, 2]\)’de ve \(f_2\) değerinin \([-\pi, 2025]\)’te olması, yani \(f\)’nin değerinin \(I\)’da olması demektir. Dolayısıyla \(F = f^{-1}(I)\)’dır.
Süreklilik. \((x, y, z, u) \mapsto x + y\) ve \((x, y, z, u) \mapsto zu^3\) polinomdur, dolayısıyla süreklidir (Teorem 10.3). Üstel fonksiyon ve kosinüs \(\mathbb{R}\)’de süreklidir; bileşkeleri olan \(e^{x+y}\) ve \(\cos(zu^3)\) süreklidir (Teorem 10.4) ve çarpımları \(f_1\) de süreklidir (Teorem 10.2). \(f_2\) bir polinomdur. İki bileşeni sürekli olduğundan \(f\) süreklidir (Teorem 10.5).
\(I\) kapalıdır. \(I\) bir kapalı 2-hücredir; kompakttır (Teorem 5.4), dolayısıyla kapalıdır (Teorem 5.2).
Karar. \(f\), kapalı \(\mathbb{R}^4\) kümesinde sürekli ve \(I\) kapalı olduğundan Sonuç 11.2 gereği \(F = f^{-1}(I)\) kapalıdır.
Vektör değerli bir fonksiyon kurmadan da sonuca varılabilir:
\[F = f_1^{-1}([0, 2]) \cap f_2^{-1}([-\pi, 2025])\]
kümesi iki kapalı kümenin kesişimidir. \(\blacksquare\)
Ters görüntü açıklığı ve kapalılığı (bağıl anlamda) korur. Aynı şeyi sınırlılık ya da bağlantılılık için bekleyemeyiz; bunu tek değişkenli fonksiyonlar bile gösterir.
Örnek 11.8 (Sınırlı Kümenin Ters Görüntüsü Sınırsız Olabilir) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\) olsun. \(f^{-1}\big((0, 1]\big)\) kümesini bulunuz.
Çözüm
\(f\) paydası hiç sıfır olmayan bir rasyonel fonksiyon olarak süreklidir. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(1 + x^2 \ge 1 > 0\) olduğundan
\[0 < \frac{1}{1 + x^2} \le 1\]
olur; yani her \(x\) ters görüntüdedir:
\[f^{-1}\big((0, 1]\big) = \mathbb{R}.\]
\((0, 1]\) sınırlıdır ama ters görüntüsü sınırlı değildir. Aynı fonksiyon görüntü tarafında da bir uyarı verir: her \(y \in (0, 1]\) değeri \(x = \sqrt{\tfrac{1}{y} - 1}\) noktasında alındığından \(f(\mathbb{R}) = (0, 1]\)’dir. Kapalı \(\mathbb{R}\) kümesinin sürekli görüntüsü kapalı değildir. \(\blacksquare\)
Örnek 11.9 (Bağlantılı Kümenin Ters Görüntüsü Bağlantısız Olabilir) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\) olsun. \(E = (1, 4)\) kümesinin ters görüntüsünü bulunuz.
Çözüm
\(1 < x^2 < 4\) koşulu \(1 < |x| < 2\) demektir. Dolayısıyla
\[f^{-1}\big((1, 4)\big) = (-2, -1) \cup (1, 2)\]
olur. \(E\) bir aralıktır ve bağlantılıdır (Teorem 5.6). Ters görüntü ise bağlantısızdır: \(-\tfrac{3}{2}\) ile \(\tfrac{3}{2}\) kümenin elemanlarıdır ama aralarındaki \(0\) değildir (Alıştırma 5.7).
Aynı fonksiyon açık \((-1, 1)\) aralığını \([0, 1)\) aralığına götürür; bu küme açık değildir. Sürekli görüntü açıklığı da korumaz. \(\blacksquare\)
11.4 Kompakt Kümelerin Görüntüsü
Görüntü, ters görüntünün aksine açıklığı ve kapalılığı korumuyordu; kompaktlık ise görüntü altında korunur ve bu, bölümün ilk büyük global sonucudur.
Kullanacağımız basit bir gözlem şudur: \(f\), \(D\)’de sürekliyse ve \(K \subseteq D\) ise \(f\)’nin \(K\)’ye kısıtlaması da \(K\)’de süreklidir. Gerçekten süreklilik tanımındaki koşulun \(x \in K\) noktaları için sağlanması, \(x \in D\) noktaları için sağlanmasının bir parçasıdır.
Teorem 11.2 (Kompakt Kümenin Sürekli Görüntüsü Kompakttır) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f : D \to \mathbb{R}^m\) sürekli ve \(K \subseteq D\) kompakt olsun. O zaman \(f(K)\) kümesi \(\mathbb{R}^m\)’de kompakttır.
İspat
\(K = \varnothing\) ise \(f(K) = \varnothing\) kompakttır; \(K \ne \varnothing\) olsun. \(\{V_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\), \(f(K)\)’nin keyfi bir açık örtüsü olsun (Tanım 5.1).
Ters görüntüler \(K\)’yi örter. \(f\)’nin \(K\)’ye kısıtlaması süreklidir. Bu kısıtlamaya Teorem 11.1 uygulanırsa her \(\alpha \in \Lambda\) için
\[\{x \in K : f(x) \in V_\alpha\} = W_\alpha \cap K\]
olacak biçimde açık bir \(W_\alpha \subseteq \mathbb{R}^n\) bulunur. \(x \in K\) ise \(f(x) \in f(K)\) bir \(V_\alpha\) kümesindedir; o zaman \(x \in W_\alpha \cap K \subseteq W_\alpha\) olur. Demek ki \(\{W_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\) ailesi \(K\)’nin bir açık örtüsüdür.
Sonlu alt örtü. \(K\) kompakt olduğundan öyle \(\alpha_1, \dots, \alpha_k \in \Lambda\) vardır ki
\[K \subseteq W_{\alpha_1} \cup \dots \cup W_{\alpha_k}\]
olur. Şimdi \(y \in f(K)\) olsun; \(y = f(x)\) olan bir \(x \in K\) vardır. Bu \(x\) bir \(W_{\alpha_i}\) kümesindedir, yani \(x \in W_{\alpha_i} \cap K\) ve dolayısıyla \(f(x) \in V_{\alpha_i}\)’dir. Sonuç olarak
\[f(K) \subseteq V_{\alpha_1} \cup \dots \cup V_{\alpha_k}\]
bulunur. Verilen örtünün sonlu bir alt örtüsünü bulduk; örtü keyfi olduğundan \(f(K)\) kompakttır. \(\blacksquare\)
Dizilerle ikinci ispat
Dizisel kompaktlık teoremi (Teorem 7.4) gereği, terimleri \(f(K)\)’de olan her dizinin limiti \(f(K)\)’de olan yakınsak bir alt dizisi bulunduğunu göstermek yeter.
\((y_k)\), terimleri \(f(K)\)’de olan bir dizi olsun. Her \(k\) için \(f(x_k) = y_k\) olan bir \(x_k \in K\) seçelim. \(K\) kompakt olduğundan aynı teorem gereği \((x_k)\) dizisinin bir \(x \in K\) noktasına yakınsayan bir \((x_{k_j})\) alt dizisi vardır. \(f\), \(x\) noktasında sürekli olduğundan dizisel süreklilik (Teorem 10.1) gereği
\[y_{k_j} = f(x_{k_j}) \to f(x) \in f(K)\]
olur. \((y_k)\) dizisinin limiti \(f(K)\)’de olan yakınsak bir alt dizisini bulduk; \(f(K)\) kompakttır. \(\blacksquare\)
\(n = m = 1\) için teorem Analiz 1’deki sonucun kendisidir (bkz. Analiz 1). Örnek 11.4 örneğindeki \([0, \pi]\) ve \([-1, 1]\) aralıklarının görüntülerinin kapalı ve sınırlı çıkması bu teoremin sonucudur. Heine–Borel teoremiyle birlikte teorem şöyle okunur: kapalı ve sınırlı bir kümenin sürekli görüntüsü kapalı ve sınırlıdır. Kümenin kendisi yalnız kapalı ya da yalnız sınırlı ise bu doğru değildir: kapalı \(\mathbb{R}\) kümesinin \(x \mapsto \frac{1}{1 + x^2}\) altındaki görüntüsü kapalı olmayan \((0, 1]\)’dir (Örnek 11.8); sınırlı \((0, 1)\) aralığının \(x \mapsto \frac{1}{x}\) altındaki görüntüsü sınırsız \((1, +\infty)\)’dur.
Sonuç 11.3 (Kompakt Kümede Sürekli Fonksiyon Sınırlıdır) \(\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n\) kompakt ve \(f : K \to \mathbb{R}^m\) sürekli olsun. O zaman \(f\), \(K\) üzerinde sınırlıdır: her \(x \in K\) için \(\|f(x)\| \le M\) olacak biçimde bir \(M > 0\) vardır.
İspat
Teorem 11.2 (\(D = K\) alınarak) gereği \(f(K)\) kompakttır; Teorem 5.1 gereği sınırlıdır. Tanım 3.5 gereği \(f(K) \subseteq B[0, M]\) olan bir \(M > 0\) vardır; bu, her \(x \in K\) için \(\|f(x)\| \le M\) demektir. \(\blacksquare\)
Reel değerli fonksiyonlarda bundan daha fazlası doğrudur: sınırlar yalnız var olmakla kalmaz, fonksiyon tarafından alınır.
Teorem 11.3 (Uç Değer Teoremi) \(\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n\) kompakt ve \(f : K \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. Öyle \(x_m, x_M \in K\) noktaları vardır ki her \(x \in K\) için
\[f(x_m) \le f(x) \le f(x_M)\]
olur. Yani \(f\), \(K\) üzerinde en küçük ve en büyük değerini alır.
İspat
Teorem 11.2 gereği \(f(K) \subseteq \mathbb{R}\) kompakttır; dolayısıyla sınırlı (Teorem 5.1) ve kapalıdır (Teorem 5.2). \(K \ne \varnothing\) olduğundan \(f(K) \ne \varnothing\)’dir.
En büyük değer. \(f(K)\) boş olmayan ve üstten sınırlı bir reel sayı kümesi olduğundan tamlık aksiyomu gereği (bkz. Analiz 1) \(M = \sup f(K)\) vardır. Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(M - \frac{1}{k}\) sayısı \(f(K)\)’nin bir üst sınırı değildir, çünkü \(M\) en küçük üst sınırdır. Dolayısıyla
\[M - \frac{1}{k} < y_k \le M\]
olan bir \(y_k \in f(K)\) vardır (bkz. Analiz 1). \(|y_k - M| < \frac{1}{k}\) olduğundan \(y_k \to M\) olur. Terimleri kapalı \(f(K)\) kümesinde olan yakınsak bir dizinin limiti bu kümededir (Teorem 7.3); yani \(M \in f(K)\). Demek ki \(f(x_M) = M\) olan bir \(x_M \in K\) vardır ve her \(x \in K\) için \(f(x) \le M = f(x_M)\) olur.
En küçük değer. \(-f\) fonksiyonu da \(K\)’de süreklidir (Teorem 10.2). Az önceki adımı \(-f\)’ye uygularsak, her \(x \in K\) için \(-f(x) \le -f(x_m)\) olacak biçimde bir \(x_m \in K\) buluruz; bu, \(f(x_m) \le f(x)\) demektir. \(\blacksquare\)
\(n = 1\) ve \(K = [a, b]\) için teorem Weierstrass ekstremum teoremidir (bkz. Analiz 1). \(f(x_M)\) sayısına \(f\)’nin \(K\) üzerindeki en büyük değeri (maksimumu), \(f(x_m)\) sayısına en küçük değeri (minimumu) denir. Teorem bu değerlerin var olduğunu garanti eder ama onları bulmanın yolunu göstermez; en büyük ve en küçük değeri hesaplama yöntemlerini Mutlak ve Bağlı Ekstremumlar bölümünde kuracağız. Şimdilik değerleri eşitsizliklerle bulabildiğimiz bir örnek verelim.
Örnek 11.10 (Kapalı Diskte Doğrusal Bir Fonksiyon) \(K = B[0, 1] \subseteq \mathbb{R}^2\) kapalı birim diski üzerinde \(f(x, y) = x + y\) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
Çözüm
Varlık. \(K\) kompakttır (Örnek 5.4) ve \(f\) bir polinom olarak süreklidir (Teorem 10.3). Teorem 11.3 gereği en büyük ve en küçük değer vardır.
Sınır. Cauchy–Schwarz eşitsizliği (Teorem 1.1) gereği her \((x, y) \in K\) için
\[|x + y| = \big| \langle (1, 1), (x, y) \rangle \big| \le \|(1, 1)\|\,\|(x, y)\| \le \sqrt{2}\]
olur; yani \(-\sqrt{2} \le f(x, y) \le \sqrt{2}\).
Sınırlar alınır. \(p = \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\) için \(\|p\| = 1\), yani \(p \in K\)’dir ve \(f(p) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\) olur. Aynı biçimde \(-p \in K\) ve \(f(-p) = -\sqrt{2}\)’dir. Dolayısıyla \(f\)’nin \(K\) üzerindeki en büyük değeri \(\sqrt{2}\), en küçük değeri \(-\sqrt{2}\)’dir. \(\blacksquare\)
Kompaktlık koşulu atılamaz. Aynı \(f(x, y) = x + y\) fonksiyonunu açık \(B(0, 1)\) diskinde düşünelim. Bu diskte \(\|(x, y)\| < 1\) olduğundan yukarıdaki hesap \(f(x, y) < \sqrt{2}\) verir; öte yandan \(t \in (0, 1)\) için \(tp \in B(0, 1)\) ve \(f(tp) = t\sqrt{2}\) olduğundan \(f\)’nin değerleri \(\sqrt{2}\)’ye istenildiği kadar yaklaşır. Supremum \(\sqrt{2}\)’dir ama hiçbir noktada alınmaz; açık disk kapalı olmadığından kompakt değildir. Sınırlılık da kendiliğinden gelmez: \(K = B[0, 1] \setminus \{0\}\) kümesinde sürekli olan \(f(x) = \dfrac{1}{\|x\|}\) fonksiyonu \(x = \frac{1}{k} e_1\) noktalarında \(k\) değerini alır ve sınırsızdır; bu \(K\) kümesi de \(0\) yığılma noktasını içermediğinden kapalı değildir.
11.5 Kompakt Kümede Ters Fonksiyon
Birebir ve sürekli bir fonksiyonun tersi sürekli olmak zorunda değildir; tanım kümesi kompaktsa ise tersi de süreklidir ve ispat, kapalı kümelerle süreklilik ölçütünü (Sonuç 11.2) ters fonksiyona uygular.
\(f : K \to \mathbb{R}^m\) birebir ise (bkz. Analiz 1) \(f\), \(K\)’den \(f(K)\)’ye birebir ve örten bir fonksiyondur. Tersi olan \(f^{-1} : f(K) \to K\) fonksiyonu, her \(y \in f(K)\) noktasına \(f(x) = y\) eşitliğini sağlayan tek \(x \in K\) noktasını karşılık getirir (bkz. Analiz 1). Tanım kümesi \(\mathbb{R}^m\)’nin, değerleri \(\mathbb{R}^n\)’nin bir alt kümesinde olduğundan bu fonksiyon için \(n\) ile \(m\)’nin rolleri yer değiştirir.
Teorem 11.4 (Kompakt Kümede Ters Fonksiyonun Sürekliliği) \(\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n\) kompakt ve \(f : K \to \mathbb{R}^m\) birebir ve sürekli olsun. O zaman \(f^{-1} : f(K) \to \mathbb{R}^n\) ters fonksiyonu \(f(K)\) üzerinde süreklidir.
İspat
Ters görüntüyle karışmaması için \(g = f^{-1} : f(K) \to \mathbb{R}^n\) diyelim. Sonuç 11.2 gereği, her kapalı \(G \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi için \(g^{-1}(G)\) kümesinin \(f(K)\)’de bağıl kapalı olduğunu göstermek yeter.
Ters görüntüyü hesaplayalım. \(G \subseteq \mathbb{R}^n\) kapalı olsun. Tanım gereği
\[g^{-1}(G) = \{y \in f(K) : g(y) \in G\}\]
olur. Bu kümenin \(f(G \cap K)\) olduğunu gösterelim. \(y \in g^{-1}(G)\) ise \(x = g(y)\) noktası hem \(K\)’de hem \(G\)’dedir ve \(f(x) = y\)’dir; yani \(y \in f(G \cap K)\). Tersine \(y = f(x)\) ve \(x \in G \cap K\) ise \(y \in f(K)\)’dir ve \(f\) birebir olduğundan \(g(y) = x \in G\) olur; yani \(y \in g^{-1}(G)\). Dolayısıyla
\[g^{-1}(G) = f(G \cap K).\]
Bu küme kapalıdır. \(K\) kompakt olduğundan kapalıdır (Teorem 5.2); \(G \cap K\) iki kapalı kümenin kesişimi olarak kapalıdır (Teorem 3.4). Kompakt \(K\) kümesinin kapalı bir alt kümesi olduğundan \(G \cap K\) kompakttır (Teorem 5.3). \(f\) sürekli olduğundan \(f(G \cap K)\) kompakttır (Teorem 11.2), dolayısıyla kapalıdır (Teorem 5.2).
Sonuç. \(f(G \cap K) \subseteq f(K)\) olduğundan
\[g^{-1}(G) = f(G \cap K) \cap f(K)\]
yazılır; \(g^{-1}(G)\), kapalı bir kümenin \(f(K)\) ile kesişimidir, yani \(f(K)\)’de bağıl kapalıdır. \(G\) keyfi olduğundan Sonuç 11.2 gereği \(g = f^{-1}\), \(f(K)\) üzerinde süreklidir. \(\blacksquare\)
Tanım kümesinin kompakt olması vazgeçilmezdir; aşağıdaki örnekte tek bir eksik nokta sonucu bozar.
Örnek 11.11 (Kompaktlık Olmadan Tersi Süreksiz Olabilir) \(f : [0, 2\pi) \to \mathbb{R}^2\), \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) fonksiyonunun birebir ve sürekli olduğunu, ama ters fonksiyonunun \((1, 0)\) noktasında sürekli olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Süreklilik. Bileşenler olan kosinüs ve sinüs süreklidir (bkz. Analiz 1); Teorem 10.5 gereği \(f\) süreklidir.
Birebirlik. \(t, s \in [0, 2\pi)\) için \(f(t) = f(s)\) olsun: \(\cos t = \cos s\) ve \(\sin t = \sin s\). O zaman
\[\cos(t - s) = \cos t \cos s + \sin t \sin s = \cos^2 t + \sin^2 t = 1\]
olur ve bu, \(t - s\) farkının \(2\pi\)’nin bir tam katı olması demektir. \(|t - s| < 2\pi\) olduğundan bu kat \(0\)’dır: \(t = s\).
Tersin süreksizliği. \(g = f^{-1}\) diyelim; \(f(0) = (1, 0)\) olduğundan \(g(1, 0) = 0\)’dır. \(k \in \mathbb{N}\) için \(t_k = 2\pi - \frac{1}{k}\) alalım; \(\frac{1}{k} \le 1 < 2\pi\) olduğundan \(t_k \in [0, 2\pi)\)’dir. \(\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta\) ve \(\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta\) olduğundan
\[p_k = f(t_k) = \left( \cos\frac{1}{k},\ -\sin\frac{1}{k} \right)\]
olur. Kosinüs ve sinüs \(0\)’da sürekli olduğundan bileşenler \(1\)’e ve \(0\)’a yakınsar; Teorem 6.3 gereği \(p_k \to (1, 0)\)’dır. Oysa
\[g(p_k) = t_k = 2\pi - \frac{1}{k} \to 2\pi \ne 0 = g(1, 0)\]
olur. Dizisel süreklilik (Teorem 10.1) gereği \(g\), \((1, 0)\) noktasında sürekli değildir.
Teorem burada uygulanamaz, çünkü \([0, 2\pi)\) kapalı değildir (\(2\pi\) bir yığılma noktasıdır ama kümeye ait değildir) ve dolayısıyla kompakt değildir. Eksik noktayı eklersek bu kez \(f(0) = f(2\pi)\) olur ve \(f\) birebirliğini yitirir. Çember üzerinde \((1, 0)\)’a alttan yaklaşan noktaların açıları \(2\pi\)’ye, üstten yaklaşanlarınki \(0\)’a gider; ters fonksiyon çemberi \((1, 0)\) noktasında “yırtar”. \(\blacksquare\)
11.6 Bağlantılı Kümelerin Görüntüsü ve Ara Değer Teoremi
Kompaktlık gibi bağlantılılık da sürekli görüntü altında korunur; bu sonuç, ara değer teoremini bağlantılı kümelere taşımanın anahtarıdır.
Teorem 11.5 (Bağlantılı Kümenin Sürekli Görüntüsü Bağlantılıdır) \(E \subseteq \mathbb{R}^n\) bağlantılı bir küme ve \(f : E \to \mathbb{R}^m\) sürekli olsun. O zaman \(f(E)\) kümesi \(\mathbb{R}^m\)’de bağlantılıdır.
İspat
\(f(E)\)’nin bağlantısız olduğunu varsayalım. Tanım 5.3 gereği öyle \(U, V \subseteq \mathbb{R}^m\) açık kümeleri vardır ki
(i) \(U \cap f(E) \ne \varnothing\) ve \(V \cap f(E) \ne \varnothing\);
(ii) \(\big(U \cap f(E)\big) \cap \big(V \cap f(E)\big) = \varnothing\);
(iii) \(f(E) \subseteq U \cup V\)
olur. (i) gereği \(f(E) \ne \varnothing\), dolayısıyla \(E \ne \varnothing\)’dir. \(f\) sürekli olduğundan Teorem 11.1 gereği
\[f^{-1}(U) = U_1 \cap E,\]
\[f^{-1}(V) = V_1 \cap E\]
olacak biçimde açık \(U_1, V_1 \subseteq \mathbb{R}^n\) kümeleri vardır. Bu iki kümenin \(E\) için aynı üç koşulu sağladığını gösterelim.
(i) \(y \in U \cap f(E)\) olsun. \(y = f(x)\) olan bir \(x \in E\) vardır ve \(f(x) \in U\) olduğundan \(x \in f^{-1}(U) = U_1 \cap E\)’dir. Demek ki \(U_1 \cap E \ne \varnothing\). Aynı gerekçeyle \(V_1 \cap E \ne \varnothing\).
(ii) \(x \in (U_1 \cap E) \cap (V_1 \cap E)\) olsaydı \(x \in f^{-1}(U)\) ve \(x \in f^{-1}(V)\) olurdu; o zaman \(f(x)\) hem \(U \cap f(E)\) hem \(V \cap f(E)\) kümesinde olurdu. Bu, \(f(E)\) için (ii) ile çelişir. Demek ki \((U_1 \cap E) \cap (V_1 \cap E) = \varnothing\).
(iii) \(x \in E\) ise \(f(x) \in f(E) \subseteq U \cup V\)’dir; dolayısıyla \(x \in f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V) \subseteq U_1 \cup V_1\). Demek ki \(E \subseteq U_1 \cup V_1\).
\(U_1\) ve \(V_1\) açık kümeleri \(E\) için üç koşulu sağladığından \(E\) bağlantısızdır. Bu, varsayımla çelişir; \(f(E)\) bağlantılıdır. \(\blacksquare\)
Teorem, bağlantılılığı göstermek için konvekslikten çok daha esnek bir araç verir: bağlantılı olduğu bilinen bir kümenin sürekli görüntüsü olarak yazılabilen her küme bağlantılıdır.
Örnek 11.12 (Çember Bağlantılıdır) \(S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}\) birim çemberinin bağlantılı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) fonksiyonu süreklidir (bileşenleri süreklidir, Teorem 10.5). \(f(\mathbb{R}) = S\) olduğunu gösterelim.
\(f(\mathbb{R}) \subseteq S\). Her \(t\) için \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\)’dir.
\(S \subseteq f(\mathbb{R})\). \((x, y) \in S\) olsun. \(x^2 \le 1\) olduğundan \(-1 \le x \le 1\)’dir. Kosinüs \([0, \pi]\) aralığında süreklidir ve \(\cos 0 = 1\), \(\cos \pi = -1\)’dir; ara değer teoremi (bkz. Analiz 1) gereği \(\cos t_0 = x\) olan bir \(t_0 \in [0, \pi]\) vardır. Bu aralıkta \(\sin t_0 \ge 0\)’dır ve \(\sin^2 t_0 = 1 - x^2 = y^2\) olduğundan \(\sin t_0 = |y|\) olur. \(y \ge 0\) ise \(f(t_0) = (x, y)\)’dir. \(y < 0\) ise \(\cos(-t_0) = x\) ve \(\sin(-t_0) = -|y| = y\) olduğundan \(f(-t_0) = (x, y)\)’dir.
Sonuç. \(\mathbb{R}\) bağlantılıdır (Teorem 5.6). Teorem 11.5 gereği \(S = f(\mathbb{R})\) bağlantılıdır.
\(S\) konveks değildir: \((1, 0)\) ile \((-1, 0)\) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası olan \((0, 0)\) çemberde değildir. Bu yüzden Teorem 5.7 burada işe yaramazdı. \(\blacksquare\)
Reel değerli fonksiyonlarda teorem, tanıdık ara değer teoremine dönüşür.
Teorem 11.6 (Ara Değer Teoremi) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\) bağlantılı bir küme ve \(f : D \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(x_1, x_2 \in D\) ve \(f(x_1) < f(x_2)\) ise her \(y_0 \in \big(f(x_1), f(x_2)\big)\) için \(f(x) = y_0\) olacak biçimde bir \(x \in D\) vardır.
İspat
Tersine, bir \(y_0 \in \big(f(x_1), f(x_2)\big)\) değerinin hiç alınmadığını, yani \(y_0 \notin f(D)\) olduğunu varsayalım.
\(U = (-\infty, y_0)\) ve \(V = (y_0, +\infty)\) açık kümelerini alalım (Örnek 11.6 çözümündeki gerekçeyle ikisi de açıktır). Bu kümeler \(f(D)\) için bağlantısızlık koşullarını sağlar:
(i) \(f(x_1) < y_0\) olduğundan \(f(x_1) \in U \cap f(D)\); \(f(x_2) > y_0\) olduğundan \(f(x_2) \in V \cap f(D)\).
(ii) \(U \cap V = \varnothing\).
(iii) \(y_0 \notin f(D)\) olduğundan \(f(D) \subseteq \mathbb{R} \setminus \{y_0\} = U \cup V\).
Demek ki \(f(D)\) bağlantısızdır. Oysa \(D\) bağlantılı ve \(f\) sürekli olduğundan Teorem 11.5 gereği \(f(D)\) bağlantılıdır. Bu çelişki, her \(y_0\) değerinin alındığını gösterir. \(\blacksquare\)
\(n = 1\) ve \(D = [a, b]\) için bu, Analiz 1’deki ara değer teoremidir (bkz. Analiz 1). Aynı sonucu şöyle de okuyabiliriz: \(f(D)\), \(\mathbb{R}\)’nin boş olmayan bağlantılı bir alt kümesidir, dolayısıyla bir aralıktır (Alıştırma 5.7). Uç değer teoremiyle birleşince görüntü tam olarak belirlenir.
Sonuç 11.4 (Kompakt ve Bağlantılı Kümenin Görüntüsü) \(\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n\) kompakt ve bağlantılı, \(f : K \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(m\) ve \(M\), \(f\)’nin \(K\) üzerindeki en küçük ve en büyük değerleri ise \(f(K) = [m, M]\)’dir.
İspat
Teorem 11.3 gereği \(m = f(x_m)\) ve \(M = f(x_M)\) olan \(x_m, x_M \in K\) vardır ve her \(x \in K\) için \(m \le f(x) \le M\)’dir; yani \(f(K) \subseteq [m, M]\) ve \(m, M \in f(K)\). \(m = M\) ise iş biter. \(m < M\) ise her \(y \in (m, M)\) için Teorem 11.6 (\(x_1 = x_m\), \(x_2 = x_M\) ile) \(f(x) = y\) olan bir \(x \in K\) verir. Dolayısıyla \([m, M] \subseteq f(K)\) ve \(f(K) = [m, M]\). \(\blacksquare\)
Bu, \(f([a, b]) = [m, M]\) sonucunun (bkz. Analiz 1) çok boyutlu karşılığıdır. Ara değer teoreminin klasik bir uygulamasıyla bitirelim.
Örnek 11.13 (Çemberde Karşıt Noktalar) \(S \subseteq \mathbb{R}^2\) birim çember ve \(f : S \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(f(p) = f(-p)\) olacak biçimde bir \(p \in S\) bulunduğunu gösteriniz.
Çözüm
Yardımcı fonksiyon. \(p = (x, y) \in S\) ise \(-p = (-x, -y)\) de \(S\)’dedir. \(h(p) = -p\) fonksiyonunun bileşenleri \(-x\) ve \(-y\) polinomlarıdır; \(h\) süreklidir ve \(S\)’yi \(S\)’ye götürür. Bileşke \(f \circ h\) süreklidir (Teorem 10.4) ve
\[g(p) = f(p) - f(-p)\]
fonksiyonu \(S\)’de süreklidir (Teorem 10.2). Ayrıca her \(p \in S\) için
\[g(-p) = f(-p) - f(p) = -g(p)\]
olur.
Ara değer. \(p_0 = (1, 0)\) alalım. \(g(p_0) = 0\) ise \(p = p_0\) istenen noktadır. \(g(p_0) \ne 0\) ise \(g(p_0)\) ile \(g(-p_0) = -g(p_0)\) sıfırdan farklı ve zıt işaretlidir; \(0\) bu iki değerin arasındadır. \(S\) bağlantılıdır (Örnek 11.12). Teorem 11.6 (daha küçük değeri veren noktayı \(x_1\), öbürünü \(x_2\) alarak) \(g(p) = 0\) olan bir \(p \in S\) verir. Bu, \(f(p) = f(-p)\) demektir.
Örneğin \(f\) ekvator boyunca sıcaklığı gösteriyorsa, ekvatorun tam karşıt iki noktasında sıcaklık aynıdır. \(\blacksquare\)
Bölümün şimdiye kadarki sonuçlarını ve uyarı örneklerini bir tabloda toplayalım.
| Özellik | Sürekli görüntü altında | Sürekli ters görüntü altında |
|---|---|---|
| açık | korunmaz: \(x^2\) için \((-1, 1) \mapsto [0, 1)\) | bağıl olarak korunur (Teorem 11.1) |
| kapalı | korunmaz: \(\frac{1}{1 + x^2}\) için \(\mathbb{R} \mapsto (0, 1]\) | bağıl olarak korunur (Sonuç 11.2) |
| sınırlı | korunmaz: \(\frac{1}{x}\) için \((0, 1) \mapsto (1, +\infty)\) | korunmaz (Örnek 11.8) |
| kompakt | korunur (Teorem 11.2) | korunmaz: \(f^{-1}([0, 1]) = \mathbb{R}\), \(f = \frac{1}{1 + x^2}\) |
| bağlantılı | korunur (Teorem 11.5) | korunmaz (Örnek 11.9) |
Tablodaki “korunur” sonuçları tek yönlüdür. Sabit bir fonksiyon her kümeyi tek bir noktaya götürür; bu yüzden sınırsız, kompakt olmayan ya da bağlantısız bir kümenin sürekli görüntüsü sınırlı, kompakt ve bağlantılı olabilir.
11.7 Düzgün Süreklilik
Süreklilik tanımında \(\delta\) sayısı hem \(\varepsilon\)’a hem de noktaya bağlıdır; bütün noktalarda aynı anda işleyen bir \(\delta\) bulunabiliyorsa daha güçlü bir özellik elde ederiz.
Tanım 11.2 (Düzgün Süreklilik) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(f : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(\delta = \delta(\varepsilon) > 0\) varsa ki \(\|x - s\| < \delta\) koşulunu sağlayan her \(x, s \in D\) için
\[\|f(x) - f(s)\| < \varepsilon\]
olsun, \(f\)’ye \(D\) üzerinde düzgün sürekli denir.
Yani düzgün süreklilikte \(\delta\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır: birbirine \(\delta\)’dan yakın olan her nokta çiftinin değerleri birbirine \(\varepsilon\)’dan yakındır; çiftin tanım kümesinin neresinde olduğu önemli değildir. \(n = m = 1\) için tanım Analiz 1’deki düzgün süreklilik tanımıdır (bkz. Analiz 1). Tanımda \(s = a\) sabitlenirse \(a\) noktasındaki süreklilik tanımı elde edilir; dolayısıyla düzgün sürekli bir fonksiyon süreklidir (bkz. Analiz 1). \(f\), \(D\) üzerinde düzgün sürekliyse \(D\)’nin her alt kümesi üzerinde de düzgün süreklidir, çünkü koşulun daha az nokta çifti için sağlanması gerekir.
Tanımın olumsuzu, düzgün sürekli olmamayı göstermek için kullanılır: \(f\), \(D\) üzerinde düzgün sürekli değildir ancak ve ancak öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(\delta > 0\) için
\[\|x_\delta - s_\delta\| < \delta,\]
\[\|f(x_\delta) - f(s_\delta)\| \ge \varepsilon_0\]
koşullarını sağlayan \(x_\delta, s_\delta \in D\) noktaları bulunur.
Örnek 11.14 (Norm Fonksiyonu Düzgün Süreklidir) \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \|x\|\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}^n\) üzerinde düzgün sürekli olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Ters üçgen eşitsizliği (Sonuç 1.2) gereği her \(x, s \in \mathbb{R}^n\) için
\[|f(x) - f(s)| = \big| \|x\| - \|s\| \big| \le \|x - s\|\]
olur. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(\delta = \varepsilon\) alalım. \(\|x - s\| < \delta\) ise \(|f(x) - f(s)| \le \|x - s\| < \varepsilon\)’dur. \(\delta\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlı olduğundan \(f\) düzgün süreklidir.
Aynı akıl yürütme, bir \(L > 0\) için her \(x, s \in D\) noktasında \(\|f(x) - f(s)\| \le L\,\|x - s\|\) eşitsizliğini sağlayan her fonksiyona uygulanır: \(\delta = \dfrac{\varepsilon}{L}\) seçilir. Bu koşula Lipschitz koşulu denir (bkz. Analiz 1). \(\blacksquare\)
Aşağıdaki iki örnek aynı fonksiyonun bir kümede düzgün sürekli olup başka bir kümede olmadığını gösterir; fark, tanım kümesinin fonksiyonun patladığı noktalara yaklaşıp yaklaşmamasıdır.
Örnek 11.15 (Eksenlerden Uzak Bir Dikdörtgende Düzgün Süreklilik) \(0 < a < b\) ve \(0 < c < d\) olsun. \(f(x, y) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) fonksiyonunun
\[D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : a < x < b,\ c < y < d\}\]
kümesinde düzgün sürekli olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(\varepsilon > 0\) verilsin ve
\[\delta = \frac{a^2 c^2}{a^2 + c^2}\,\varepsilon > 0\]
alalım. \(p_1 = (x_1, y_1)\) ve \(p_2 = (x_2, y_2)\), \(D_1\)’de iki nokta ve \(\|p_1 - p_2\| < \delta\) olsun. Her bileşen farkı normu aşmadığından \(|x_1 - x_2| < \delta\) ve \(|y_1 - y_2| < \delta\)’dır. Ayrıca \(x_1, x_2 > a > 0\) ve \(y_1, y_2 > c > 0\) olduğundan \(x_1 x_2 > a^2\) ve \(y_1 y_2 > c^2\)’dir. Buna göre
\[ \begin{aligned} |f(p_1) - f(p_2)| &= \left| \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} + \frac{y_2 - y_1}{y_1 y_2} \right| \\[1mm] &\le \frac{|x_2 - x_1|}{x_1 x_2} + \frac{|y_2 - y_1|}{y_1 y_2} \\[1mm] &< \frac{\delta}{a^2} + \frac{\delta}{c^2} = \frac{a^2 + c^2}{a^2 c^2}\,\delta = \varepsilon \end{aligned} \]
bulunur. \(\delta\) yalnız \(\varepsilon\)’a (ve sabit \(a\), \(c\) sayılarına) bağlı olduğundan \(f\), \(D_1\) üzerinde düzgün süreklidir. Hesapta \(b\) ve \(d\) hiç kullanılmadı: aynı \(\delta\), \(\{x > a,\ y > c\}\) bölgesinin tamamında işler. \(\blacksquare\)
- Sorunlu bölgeyi bul. Fonksiyonun çok hızlı değiştiği yer aranır: tanım kümesine ait olmayan bir sınır noktasının yakını ya da sonsuz. Bir \(\varepsilon_0 > 0\) sayısı seçilir.
- Nokta çiftlerini kur. Her \(\delta > 0\) için Arşimet özelliğiyle \(N > \frac{1}{\delta}\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) alınır ve bu bölgede birbirine uzaklığı en çok \(\frac{1}{N}\) (dolayısıyla \(\delta\)’dan küçük), değerleri arasındaki fark ise en az \(\varepsilon_0\) olan iki nokta \(x_\delta, s_\delta \in D\) yazılır. Bu, tanımın olumsuzudur.
Örnek 11.16 (Açık Birim Karede Düzgün Süreklilik Bozulur) \(f(x, y) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) fonksiyonunun
\[D_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x < 1,\ 0 < y < 1\}\]
açık birim karesinde düzgün sürekli olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Sorunlu bölge. \(f\), orijine yaklaşırken sınırsız büyür. \(\varepsilon_0 = 1\) alalım.
Nokta çiftleri. \(\delta > 0\) verilsin. Arşimet özelliği gereği \(N > \max\left\{ 1, \dfrac{1}{\delta} \right\}\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır; \(N \ge 2\)’dir. Noktaları
\[x_\delta = \left( \frac{1}{N}, \frac{1}{N} \right),\]
\[s_\delta = \left( \frac{1}{2N}, \frac{1}{3N} \right)\]
olarak seçelim. \(N \ge 2\) olduğundan bütün bileşenler \((0, 1)\) aralığındadır; iki nokta da \(D_2\)’dedir. Uzaklıkları
\[ \begin{aligned} \|x_\delta - s_\delta\| &= \sqrt{\left( \frac{1}{2N} \right)^2 + \left( \frac{2}{3N} \right)^2} \\[1mm] &= \frac{1}{N}\sqrt{\frac{9 + 16}{36}} = \frac{5}{6N} < \frac{1}{N} < \delta \end{aligned} \]
olur. Öte yandan \(f(x_\delta) = N + N = 2N\) ve \(f(s_\delta) = 2N + 3N = 5N\) olduğundan
\[|f(x_\delta) - f(s_\delta)| = 3N \ge 6 > 1 = \varepsilon_0\]
bulunur. Her \(\delta > 0\) için böyle bir çift bulunduğundan \(f\), \(D_2\) üzerinde düzgün sürekli değildir. \(\blacksquare\)
İki örnek arasındaki fark tanım kümesinin yapısındadır. \(D_1\) kümesi, \(f\)’nin sürekli olduğu kompakt \([a, b] \times [c, d]\) dikdörtgeninin içindedir; \(D_2\) ise sınırlıdır ama kapalı değildir ve \(f\)’nin tanımlı olmadığı orijine istenildiği kadar yaklaşır. Aşağıdaki teorem bu farkın tesadüf olmadığını söyler.
Teorem 11.7 (Heine–Cantor Teoremi) \(\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n\) kompakt ve \(f : K \to \mathbb{R}^m\) sürekli olsun. O zaman \(f\), \(K\) üzerinde düzgün süreklidir.
İspat
\(\varepsilon > 0\) verilsin.
Her noktada bir yarıçap. \(f\) her \(a \in K\) noktasında sürekli olduğundan öyle bir \(\delta(a) > 0\) vardır ki
\[x \in K,\ \|x - a\| < \delta(a) \implies \|f(x) - f(a)\| < \frac{\varepsilon}{2}\]
olur.
Sonlu örtü. \(a \in B\left( a, \frac{\delta(a)}{2} \right)\) olduğundan \(\left\{ B\left( a, \frac{\delta(a)}{2} \right) \right\}_{a \in K}\) ailesi \(K\)’nin bir açık örtüsüdür. \(K\) kompakt olduğundan öyle \(a_1, \dots, a_k \in K\) vardır ki \(\delta_j = \dfrac{\delta(a_j)}{2}\) olmak üzere
\[K \subseteq \bigcup_{j=1}^{k} B(a_j, \delta_j)\]
olur.
Ortak \(\delta\). \(\delta = \min\{\delta_1, \dots, \delta_k\}\) diyelim; sonlu tane pozitif sayının en küçüğü olarak \(\delta > 0\)’dır. \(x, s \in K\) ve \(\|x - s\| < \delta\) olsun. \(x\), örtünün bir \(B(a_j, \delta_j)\) yuvarındadır. O zaman
\[\|x - a_j\| < \delta_j < \delta(a_j)\]
ve üçgen eşitsizliği gereği
\[\|s - a_j\| \le \|s - x\| + \|x - a_j\| < \delta + \delta_j \le 2\delta_j = \delta(a_j)\]
olur. İki nokta da \(a_j\)’ye \(\delta(a_j)\)’den yakın olduğundan \(\|f(x) - f(a_j)\| < \frac{\varepsilon}{2}\) ve \(\|f(s) - f(a_j)\| < \frac{\varepsilon}{2}\)’dir.
Sonuç. Üçgen eşitsizliğiyle
\[\|f(x) - f(s)\| \le \|f(x) - f(a_j)\| + \|f(a_j) - f(s)\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]
bulunur. \(\delta\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır; \(f\), \(K\) üzerinde düzgün süreklidir. \(\blacksquare\)
Dizilerle ikinci ispat
\(f\)’nin \(K\) üzerinde düzgün sürekli olmadığını varsayalım. Tanımın olumsuzu gereği öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(\delta > 0\) için \(\|x - s\| < \delta\) ve \(\|f(x) - f(s)\| \ge \varepsilon_0\) olan \(x, s \in K\) bulunur. Bunu her \(k \in \mathbb{N}\) için \(\delta = \frac{1}{k}\) ile uygulayalım: öyle \(x_k, s_k \in K\) vardır ki
\[\|x_k - s_k\| < \frac{1}{k},\]
\[\|f(x_k) - f(s_k)\| \ge \varepsilon_0\]
olur. \(K\) kompakt olduğundan dizisel kompaktlık teoremi (Teorem 7.4) gereği \((x_k)\) dizisinin bir \(x \in K\) noktasına yakınsayan bir \((x_{k_j})\) alt dizisi vardır. Aynı indislerle alınan \((s_{k_j})\) alt dizisi de \(x\)’e yakınsar, çünkü
\[\|s_{k_j} - x\| \le \|s_{k_j} - x_{k_j}\| + \|x_{k_j} - x\| < \frac{1}{k_j} + \|x_{k_j} - x\|\]
ve sağdaki iki terim \(0\)’a gider (\(k_j \ge j\) olduğundan \(\frac{1}{k_j} \le \frac{1}{j}\)). \(f\), \(x\) noktasında sürekli olduğundan dizisel süreklilik (Teorem 10.1) gereği \(f(x_{k_j}) \to f(x)\) ve \(f(s_{k_j}) \to f(x)\) olur. Buradan
\[\|f(x_{k_j}) - f(s_{k_j})\| \le \|f(x_{k_j}) - f(x)\| + \|f(x) - f(s_{k_j})\| \to 0\]
çıkar. Oysa her \(j\) için bu fark en az \(\varepsilon_0 > 0\)’dır. Bu çelişki \(f\)’nin düzgün sürekli olduğunu gösterir. \(\blacksquare\)
\(n = m = 1\) için teorem Analiz 1’deki Cantor teoremidir (bkz. Analiz 1). Örnek 11.15 sonucu bu teoremden hesap yapmadan da çıkar: \(f(x, y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) fonksiyonu \([a, b] \times [c, d]\) dikdörtgeninde süreklidir, çünkü orada paydalar sıfırdan farklıdır. Bu dikdörtgen kompakt olduğundan (Teorem 5.4) \(f\) orada düzgün süreklidir; alt kümesi olan \(D_1\) üzerinde de düzgün süreklidir. Kompaktlığın iki bileşeni de gereklidir: \(D_2\) sınırlıdır ama kapalı değildir ve Örnek 11.16 örneğinde düzgün süreklilik bozulur; \(\mathbb{R}^2\) kapalıdır ama sınırlı değildir ve \(f(x, y) = xy\) polinomu orada düzgün sürekli değildir (Alıştırma 11.9).
11.8 Alıştırmalar
Alıştırma 11.1 (Karekök Fonksiyonunda Görüntüler) \(f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x}\) olsun. \(E_1 = (0, 1)\), \(E_2 = [0, 1)\) ve \(E_3 = [0, 1]\) kümelerinin \(f\) altındaki görüntülerini bulunuz.
Çözüm
Karekök fonksiyonu \([0, +\infty)\) üzerinde kesin artandır: \(0 \le u < v\) ise \(\sqrt{u} < \sqrt{v}\)’dir. Ayrıca her \(y \ge 0\) için \(x = y^2\) noktasında \(\sqrt{x} = y\) olur.
\(E_1\). \(x \in (0, 1)\) ise \(0 = \sqrt{0} < \sqrt{x} < \sqrt{1} = 1\)’dir. Tersine \(y \in (0, 1)\) ise \(x = y^2 \in (0, 1)\) ve \(\sqrt{x} = y\)’dir. Dolayısıyla \(f(E_1) = (0, 1)\).
\(E_2\) ve \(E_3\). \(E_2 = \{0\} \cup E_1\) ve \(\sqrt{0} = 0\) olduğundan \(f(E_2) = [0, 1)\). \(E_3 = E_2 \cup \{1\}\) ve \(\sqrt{1} = 1\) olduğundan \(f(E_3) = [0, 1]\).
\(f\) süreklidir ve kompakt \(E_3\) kümesinin görüntüsü kompakttır (Teorem 11.2); bağlantılı üç aralığın görüntüleri de aralıktır (Teorem 11.5). \(\blacksquare\)
Alıştırma 11.2 (Bir Bölü x Fonksiyonunda Görüntüler) \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \ne 0\) için \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) ve \(g(0) = 0\) olsun. \(E_1 = (0, 1)\), \(E_2 = [0, 1)\) ve \(E_3 = [0, 1]\) kümelerinin \(g\) altındaki görüntülerini bulunuz.
Çözüm
\(E_1\). \(x \in (0, 1)\) ise \(\dfrac{1}{x} > 1\)’dir. Tersine \(y > 1\) ise \(x = \dfrac{1}{y} \in (0, 1)\) ve \(g(x) = y\)’dir. Dolayısıyla \(g(E_1) = (1, +\infty)\).
\(E_2\). \(E_2 = \{0\} \cup E_1\) ve \(g(0) = 0\) olduğundan \(g(E_2) = \{0\} \cup (1, +\infty)\).
\(E_3\). \(E_3 = E_2 \cup \{1\}\) ve \(g(1) = 1\) olduğundan \(g(E_3) = \{0\} \cup [1, +\infty)\).
\(E_3\) kompakttır ama \(g(E_3)\) sınırlı değildir. Bu Teorem 11.2 ile çelişmez, çünkü \(g\) sıfırda sürekli değildir: \(x_k = \frac{1}{k} \to 0\) iken \(g(x_k) = k\) dizisi \(g(0) = 0\)’a yakınsamaz (Teorem 10.1). Ayrıca \(g(E_3)\) bağlantılı da değildir; teorem burada da uygulanamaz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 11.3 (Karekök Fonksiyonunda Ters Görüntüler) \(f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x}\) olsun. \(f^{-1}\big((-1, 1)\big)\) ve \(f^{-1}\big([-1, 1]\big)\) kümelerini bulunuz.
Çözüm
Ters görüntüler tanım kümesinin, yani \([0, +\infty)\)’un içindedir. Her \(x \ge 0\) için \(\sqrt{x} \ge 0 > -1\) olduğundan alt sınır koşulu kendiliğinden sağlanır. \(\sqrt{x} < 1\) koşulu \(x < 1\), \(\sqrt{x} \le 1\) koşulu \(x \le 1\) demektir. Dolayısıyla
\[f^{-1}\big((-1, 1)\big) = [0, 1),\]
\[f^{-1}\big([-1, 1]\big) = [0, 1].\]
\((-1, 1)\) açıktır ama \([0, 1)\) kümesi \(\mathbb{R}\)’de açık değildir: \(0\) kümededir, oysa \(0\)’a istenildiği kadar yakın negatif sayılar kümede değildir. Bu Teorem 11.1 ile çelişmez; teorem yalnız bağıl açıklık ister ve gerçekten
\[[0, 1) = (-1, 1) \cap [0, +\infty)\]
olduğundan \([0, 1)\), tanım kümesinde bağıl açıktır. Tanım kümesi kapalı olduğundan kapalı \([-1, 1]\) kümesinin ters görüntüsü kapalıdır (Sonuç 11.2). \(\blacksquare\)
Alıştırma 11.4 (Bir Bölü x Fonksiyonunda Ters Görüntüler) \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \ne 0\) için \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) ve \(g(0) = 0\) olsun. \(g^{-1}\big((-1, 1)\big)\) ve \(g^{-1}\big([-1, 1]\big)\) kümelerini bulunuz.
Çözüm
Sıfır noktası. \(g(0) = 0\) iki kümede de olduğundan \(0\) iki ters görüntüye de aittir.
Sıfırdan farklı noktalar. \(x \ne 0\) için \(\left| \dfrac{1}{x} \right| < 1\) koşulu \(|x| > 1\), \(\left| \dfrac{1}{x} \right| \le 1\) koşulu \(|x| \ge 1\) demektir. Dolayısıyla
\[g^{-1}\big((-1, 1)\big) = (-\infty, -1) \cup \{0\} \cup (1, +\infty),\]
\[g^{-1}\big([-1, 1]\big) = (-\infty, -1] \cup \{0\} \cup [1, +\infty).\]
Yorum. \((-1, 1)\) sınırlı ve açıktır; ters görüntüsü sınırsızdır ve açık değildir. Açık olmadığını görmek için \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(x = \frac{1}{2}\min\{\varepsilon, 1\}\) alalım. \(x \in B(0, \varepsilon)\) ve \(0 < x < 1\)’dir; dolayısıyla \(x\) ters görüntüde değildir. \(0\) noktasının hiçbir yuvarı kümenin içinde kalmaz. Tanım kümesi \(\mathbb{R}\) açık olduğundan Sonuç 11.1 gereği \(g\), \(\mathbb{R}\)’de sürekli olamaz; nitekim \(g\) sıfırda sürekli değildir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 11.5 (Bir Paraboloit Parçası Kompakttır) \[K = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 \le z \le 1\}\]
kümesinin kompakt olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kapalılık. \(h_1(x, y, z) = x^2 + y^2 - z\) ve \(h_2(x, y, z) = z\) polinomları \(\mathbb{R}^3\)’te süreklidir (Teorem 10.3). Kümenin iki koşulu \(h_1 \le 0\) ve \(h_2 \le 1\) olduğundan
\[K = h_1^{-1}\big((-\infty, 0]\big) \cap h_2^{-1}\big((-\infty, 1]\big)\]
olur. \((-\infty, 0]\) ve \((-\infty, 1]\) kümeleri \(\mathbb{R}\)’de kapalıdır. Sonuç 11.2 gereği iki ters görüntü de kapalıdır ve kapalı kümelerin kesişimi kapalıdır (Teorem 3.4).
Sınırlılık. \((x, y, z) \in K\) ise \(0 \le x^2 + y^2 \le z \le 1\) olduğundan hem \(x^2 + y^2 \le 1\) hem \(0 \le z \le 1\)’dir. Dolayısıyla
\[\|(x, y, z)\|^2 = (x^2 + y^2) + z^2 \le 1 + 1 = 2\]
ve \(K \subseteq B[0, \sqrt{2}]\) olur.
Karar. \(K\) kapalı ve sınırlı olduğundan Heine–Borel teoremi (Teorem 5.5) gereği kompakttır. Dolayısıyla \(K\) üzerinde sürekli her reel değerli fonksiyon en büyük ve en küçük değerini alır (Teorem 11.3). \(\blacksquare\)
Alıştırma 11.6 (Vektör Değerli Bir Fonksiyonla Kompakt Görüntü) \[ f(x, y) = \begin{cases} \left( \dfrac{\sin(x^3 + y^3)}{x^2 + y^2},\ x^2 + y^2 \right), & (x, y) \ne (0, 0), \\[2mm] (0, 0), & (x, y) = (0, 0) \end{cases} \]
olsun. \(f\big(B[0, 1]\big)\) kümesinin \(\mathbb{R}^2\)’de kompakt olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Teorem 11.2 gereği \(f\)’nin \(\mathbb{R}^2\)’de sürekli olduğunu göstermek yeter, çünkü \(B[0, 1]\) kompakttır (Örnek 5.4). Bileşenleri \(f_1\) ve \(f_2\) ile gösterelim; Teorem 10.5 gereği ikisinin sürekliliği yeter.
İkinci bileşen. \(f_2(x, y) = x^2 + y^2\) her noktada (orijinde de) bu formülle verilir ve bir polinomdur; süreklidir (Teorem 10.3).
Orijin dışında birinci bileşen. \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\) kümesinde
\[R(x, y) = \frac{\sin(x^3 + y^3)}{x^2 + y^2}\]
fonksiyonu, sürekli \(\sin(x^3 + y^3)\) fonksiyonunun (Teorem 10.4) sıfır olmayan \(x^2 + y^2\) polinomuna bölümüdür; süreklidir (Teorem 10.2). \((a, b) \ne (0, 0)\) ise \(r = \|(a, b)\|\) yarıçaplı \(B\big((a, b), r\big)\) yuvarı orijini içermez ve bu yuvarda \(f_1 = R\)’dir. Lemma 10.1 gereği \(f_1\), \((a, b)\) noktasında süreklidir.
Orijinde birinci bileşen. \(|\sin t| \le |t|\) eşitsizliği (bkz. Analiz 1) ve \(|x|^3 \le |x|(x^2 + y^2)\), \(|y|^3 \le |y|(x^2 + y^2)\) eşitsizlikleri gereği \((x, y) \ne (0, 0)\) için
\[ \begin{aligned} |f_1(x, y) - 0| &\le \frac{|x^3 + y^3|}{x^2 + y^2} \le \frac{|x|^3 + |y|^3}{x^2 + y^2} \\[1mm] &\le |x| + |y| \le 2\,\|(x, y)\| \end{aligned} \]
olur. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(\delta = \frac{\varepsilon}{2}\) alalım. \(\|(x, y)\| < \delta\) ise \(|f_1(x, y) - f_1(0, 0)| < \varepsilon\)’dur; bu eşitsizlik orijinin kendisinde de sağlanır. Demek ki \(f_1\) orijinde süreklidir.
Sonuç. \(f\), \(\mathbb{R}^2\)’de süreklidir ve Teorem 11.2 gereği \(f\big(B[0, 1]\big)\) kompakttır. Özel olarak bu küme kapalı ve sınırlıdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 11.7 (Kompakt Kümenin En Yakın Noktası) \(\varnothing \ne K \subseteq \mathbb{R}^n\) kompakt ve \(p \in \mathbb{R}^n\) olsun. Her \(x \in K\) için \(\|p - q\| \le \|p - x\|\) olacak biçimde bir \(q \in K\) bulunduğunu gösteriniz.
Çözüm
Süreklilik. \(h(x) = \|p - x\|\) diyelim. Ters üçgen eşitsizliği (Sonuç 1.2) gereği her \(x, a \in \mathbb{R}^n\) için
\[|h(x) - h(a)| = \big| \|p - x\| - \|p - a\| \big| \le \|(p - x) - (p - a)\| = \|x - a\|\]
olur. \(\delta = \varepsilon\) seçilirse \(\|x - a\| < \delta\) iken \(|h(x) - h(a)| < \varepsilon\)’dur; \(h\) süreklidir, hatta Örnek 11.14 örneğindeki gibi düzgün süreklidir.
En küçük değer. \(K\) kompakt ve boş olmadığından Teorem 11.3 gereği \(h\), \(K\) üzerinde en küçük değerini bir \(q \in K\) noktasında alır: her \(x \in K\) için \(\|p - q\| \le \|p - x\|\).
\(q\), \(K\)’nin \(p\)’ye en yakın noktasıdır. Kompaktlık gereklidir: \(K = B(0, 1) \subseteq \mathbb{R}^2\) ve \(p = (2, 0)\) olsun. Her \(x \in K\) için
\[\|p - x\| \ge \|p\| - \|x\| > 2 - 1 = 1\]
olur; öte yandan \(x_k = \left( 1 - \frac{1}{k}, 0 \right) \in K\) için \(\|p - x_k\| = 1 + \frac{1}{k} \to 1\) olur. En küçük uzaklık \(1\)’e istenildiği kadar yaklaşılır ama hiçbir noktada alınmaz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 11.8 (Kapalı Diskin Görüntüsü Bir Aralıktır) \(K = B[0, 1] \subseteq \mathbb{R}^2\) ve \(f(x, y) = x + 2y\) olsun. \(f(K)\) kümesini bulunuz.
Çözüm
Görüntü bir kapalı aralıktır. \(K\) kompakttır (Örnek 5.4) ve bir yuvar olarak bağlantılıdır (Sonuç 5.2); \(f\) bir polinom olarak süreklidir. Sonuç 11.4 gereği \(f(K) = [m, M]\)’dir; \(m\) ve \(M\), \(f\)’nin \(K\) üzerindeki en küçük ve en büyük değerleridir.
Sınırlar. Cauchy–Schwarz eşitsizliği (Teorem 1.1) gereği \((x, y) \in K\) için
\[|x + 2y| = \big| \langle (1, 2), (x, y) \rangle \big| \le \|(1, 2)\|\,\|(x, y)\| \le \sqrt{5}\]
olur.
Sınırlar alınır. \(p = \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}, \dfrac{2}{\sqrt{5}} \right)\) için \(\|p\|^2 = \dfrac{1 + 4}{5} = 1\), yani \(p \in K\)’dir ve \(f(p) = \dfrac{1 + 4}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\) olur. Aynı biçimde \(f(-p) = -\sqrt{5}\)’tir. Dolayısıyla \(M = \sqrt{5}\), \(m = -\sqrt{5}\) ve
\[f(K) = [-\sqrt{5}, \sqrt{5}].\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.9 (Çarpım Fonksiyonu Düzlemde Düzgün Sürekli Değildir) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(f(x, y) = xy\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}^2\) üzerinde düzgün sürekli olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Sorunlu bölge. Sonsuza giderken \(x\)’teki küçük bir değişim \(y\) ile çarpılarak büyür. \(\varepsilon_0 = 1\) alalım.
Nokta çiftleri. \(\delta > 0\) verilsin ve \(N > \dfrac{1}{\delta}\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) seçelim.
\[x_\delta = \left( N + \frac{1}{N},\ N \right),\]
\[s_\delta = (N, N)\]
noktaları için \(\|x_\delta - s_\delta\| = \dfrac{1}{N} < \delta\)’dır. Öte yandan
\[f(x_\delta) - f(s_\delta) = \left( N + \frac{1}{N} \right) N - N^2 = 1 \ge \varepsilon_0\]
olur. Her \(\delta > 0\) için böyle bir çift bulunduğundan \(f\), \(\mathbb{R}^2\) üzerinde düzgün sürekli değildir.
Buna karşılık her \(R > 0\) için \(f\), kompakt \(B[0, R]\) yuvarı üzerinde düzgün süreklidir (Teorem 11.7). Düzgün sürekliliği bozan, \(\mathbb{R}^2\)’nin sınırsız olmasıdır. \(\blacksquare\)
Bu bölümde sürekliliğin açık ve kapalı kümelerin ters görüntüleriyle tek bir noktaya bakmadan ifade edilebildiğini, kompaktlığın ve bağlantılılığın sürekli görüntü altında korunduğunu gördük. Bu iki gözlemden uç değer teoremi, ara değer teoremi, kompakt kümede ters fonksiyonun sürekliliği ve Heine–Cantor teoremi çıktı; hepsi Analiz 1’de \([a, b]\) aralığı için bildiğimiz sonuçların çok boyutlu karşılıklarıdır. Sıradaki adım türevi çok değişkenli fonksiyonlara taşımaktır. İlk ve en basit araç, bir değişken dışındakileri sabit tutarak alınan türevdir: Kısmi Türevler.