6 ℝⁿ’de Diziler ve Yakınsaklık
Analiz 1’de reel sayı dizilerinin yakınsaklığını \(|a_k - a|\) farkıyla ölçtük: dizinin \(a\)’ya yakınsaması, yeterince ileri gidildiğinde bu farkın istenen kadar küçük kalmasıydı (bkz. Analiz 1). \(\mathbb{R}^n\)’de iki nokta arasındaki uzaklık \(d(x, y) = \|x - y\|\) ile ölçülür (Tanım 2.1). Bu bölümde mutlak değerin yerine Öklid normunu koyarak diziler kuramını \(\mathbb{R}^n\)’ye taşıyoruz. Tanımların ve ispatların çoğu neredeyse harfi harfine aynı kalır, çünkü reel dizilerde kullanılan temel araç üçgen eşitsizliğiydi ve norm da bu eşitsizliği sağlar.
\(\mathbb{R}^n\)’nin kendine özgü iki yanı da var. Birincisi, \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi aslında aynı indisle yürüyen \(n\) tane reel sayı dizisidir. Koordinat yakınsaklık teoremi, \(\mathbb{R}^n\)’deki yakınsaklığın tam olarak bu \(n\) reel dizinin yakınsaklığı olduğunu söyler ve limit hesabını Analiz 1’e indirger. İkincisi, \(n \ge 2\) iken \(\mathbb{R}^n\)’de reel sayılardaki sıralamanın bir karşılığı yoktur; bu yüzden monoton dizi kavramı ve ona dayanan sonuçlar buraya taşınamaz.
Önceki bölümlerde kurduğumuz topolojik dil de burada dizilerle buluşuyor. Yakınsaklığı açık yuvarlar ve komşuluklarla ifade edecek, bir dizinin limiti ile görüntü kümesinin yığılma noktaları arasındaki ilişkiyi göreceğiz.
6.1 ℝⁿ’de Dizi
Reel dizilerde olduğu gibi bir dizi, doğal sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyondur; yalnız değerleri artık \(\mathbb{R}^n\)’nin noktalarıdır.
Tanım 6.1 (ℝⁿ’de Dizi) \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}^n\), \(k \mapsto f(k) = x_k\) biçiminde tanımlanan her fonksiyona \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi denir. \(x_k\) noktasına dizinin \(k\)-inci terimi (genel terimi) denir ve dizi \((x_k)_{k \in \mathbb{N}}\) ya da kısaca \((x_k)\) ile gösterilir. Her terim \(\mathbb{R}^n\)’nin bir noktası olduğundan \(n\) bileşenle yazılır:
\[x_k = \big( x_k^{(1)}, x_k^{(2)}, \dots, x_k^{(n)} \big) \in \mathbb{R}^n.\]
Her \(j = 1, 2, \dots, n\) için \(\big( x_k^{(j)} \big)_{k \in \mathbb{N}}\) reel sayı dizisine \((x_k)\) dizisinin \(j\)-inci bileşen dizisi denir.
Yani \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi, aynı \(k\) indisiyle ilerleyen \(n\) tane reel sayı dizisidir. Açık yazılırsa
\[(x_k)_{k \in \mathbb{N}} = \Big( \big( x_1^{(1)}, \dots, x_1^{(n)} \big),\ \big( x_2^{(1)}, \dots, x_2^{(n)} \big),\ \dots \Big)\]
olur. Tersine, \(n\) tane reel sayı dizisi verilirse bunlar bileşen yapılarak \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi elde edilir. Alt indis terimin sırasını, üst indis bileşenin numarasını gösterir; üst indisteki ayraç, bunun bir kuvvet olmadığını hatırlatır. Karışıklık olmasın diye boyutu hep \(n\) ile, dizinin indisini hep \(k\) ile gösteriyoruz. Sabit noktaların bileşenlerini ise alışıldığı gibi alt indisle yazıyoruz: \(a = (a_1, \dots, a_n)\).
Birkaç örnek:
- \(x_k = \dfrac{1}{k}\) reel sayılarda (\(n = 1\)) bir dizidir. Analiz 1’deki diziler, \(n = 1\) özel durumudur.
- \(x_k = \left( \dfrac{1}{k}, \sin(k^2) \right)\), \(\mathbb{R}^2\)’de bir dizidir; bileşen dizileri \(\left( \dfrac{1}{k} \right)\) ve \(\big( \sin(k^2) \big)\) reel dizileridir.
- \(x_k = \left( \dfrac{1}{k}, \dfrac{1}{2k}, \dfrac{\cos k}{k} \right)\), \(\mathbb{R}^3\)’te bir dizidir.
- \(x_k = \left( \dfrac{1}{k}, \sin\dfrac{1}{k} \right)\) dizisinin ilk terimleri \((1, \sin 1)\), \(\left( \dfrac{1}{2}, \sin\dfrac{1}{2} \right)\), \(\left( \dfrac{1}{3}, \sin\dfrac{1}{3} \right)\), \(\dots\) noktalarıdır.
Tanım 6.2 (Dizinin Görüntü Kümesi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi olsun. Terimlerinden oluşan
\[f(\mathbb{N}) = \{ x_k : k \in \mathbb{N} \} \subseteq \mathbb{R}^n\]
kümesine dizinin görüntü kümesi denir.
Yani görüntü kümesi, terimlerin sırası ve tekrarları unutulunca geriye kalan noktalar kümesidir. Dizinin sonsuz sayıda terimi vardır ama görüntü kümesi sonlu da olabilir: \(x_k = \big( (-1)^k, 0 \big)\) dizisinin görüntü kümesi iki noktalı \(\{(-1, 0), (1, 0)\}\) kümesidir, \(x_k = \left( \dfrac{1}{k}, 0 \right)\) dizisininki ise sonsuz bir kümedir. Dizi ile görüntü kümesini ayırt etmek gerekir: \(\big( (-1)^k, 0 \big)\) ve \(\big( (-1)^{k+1}, 0 \big)\) farklı dizilerdir (biri \((-1, 0)\) noktasıyla, öbürü \((1, 0)\) noktasıyla başlar) ama görüntü kümeleri aynıdır.
6.2 Yakınsaklık
Reel dizilerde \(|a_k - a|\) farkının küçülmesi yakınsaklık demekti. \(\mathbb{R}^n\)’de bu farkın yerini \(x_k\) ile \(a\) arasındaki uzaklık, yani \(\|x_k - a\|\) alır.
Tanım 6.3 (Yakınsak Dizi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \(a \in \mathbb{R}^n\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N_\varepsilon \in \mathbb{N}\) varsa ki \(k \ge N_\varepsilon\) olan her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[\|x_k - a\| < \varepsilon\]
oluyorsa \((x_k)\) dizisi \(a\) noktasına yakınsar denir. Bu durumda \(a\) noktasına dizinin limiti, \((x_k)\) dizisine de yakınsak dizi denir ve
\[\lim_{k \to \infty} x_k = a \qquad \text{ya da} \qquad x_k \to a \ \ (k \to \infty)\]
yazılır. Sembolik olarak:
\[\lim_{k \to \infty} x_k = a \iff \forall \varepsilon > 0\ \ \exists N_\varepsilon \in \mathbb{N}\ \ \forall k \ge N_\varepsilon :\ \ \|x_k - a\| < \varepsilon.\]
Yani hangi \(\varepsilon > 0\) seçilirse seçilsin, dizide yeterince ileri gidildiğinde bütün terimler \(a\)’dan \(\varepsilon\)’dan az uzakta kalır. \(n = 1\) için Öklid normu mutlak değerdir ve bu tanım Analiz 1’deki tanımın kendisidir. Değişen tek şey uzaklığın ölçülme biçimidir: örneğin \(\mathbb{R}^2\)’de \(\|x_k - a\|\), \(x_k\) ile \(a\) noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğudur. Niceleyicilerin sırası yine önemlidir: önce \(\varepsilon\) verilir, \(N_\varepsilon\) ona bağlı olarak bulunur.
Tanımı üç farklı biçimde daha ifade etmek işimizi kolaylaştırır.
Önerme 6.1 (Yakınsaklığın Denk İfadeleri) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \(a \in \mathbb{R}^n\) olsun. Aşağıdakiler denktir:
- \(\lim_{k \to \infty} x_k = a\).
- \(\lim_{k \to \infty} \|x_k - a\| = 0\); yani \(d(x_k, a)\) uzaklıklarından oluşan reel sayı dizisi \(0\)’a yakınsar.
- Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N_\varepsilon \in \mathbb{N}\) vardır ki \(k \ge N_\varepsilon\) iken \(x_k \in B(a, \varepsilon)\) olur.
- \(a\) noktasının her \(U\) komşuluğu için \(\{k \in \mathbb{N} : x_k \notin U\}\) indis kümesi sonludur.
İspat
1 ve 2. \(t_k = \|x_k - a\|\) reel sayı dizisinin terimleri negatif olmadığından \(|t_k - 0| = \|x_k - a\|\)’dir. Dolayısıyla “\(k \ge N_\varepsilon\) iken \(|t_k - 0| < \varepsilon\)” koşulu, yakınsaklık tanımındaki (Tanım 6.3) koşulun kendisidir; biri için işe yarayan \(N_\varepsilon\) öbürü için de işe yarar.
1 ve 3. Açık yuvar \(B(a, \varepsilon) = \{ x \in \mathbb{R}^n : \|x - a\| < \varepsilon \}\) olduğundan (Tanım 2.6) \(x_k \in B(a, \varepsilon)\) ile \(\|x_k - a\| < \varepsilon\) aynı şeydir.
3’ten 4’e. \(U\), \(a\) noktasının bir komşuluğu olsun. Tanım 3.1 gereği \(B(a, \varepsilon) \subseteq U\) olacak bir \(\varepsilon > 0\) vardır. 3 gereği \(k \ge N_\varepsilon\) olan bütün terimler \(B(a, \varepsilon)\) içindedir, dolayısıyla \(U\) içindedir. \(U\)’nun dışında kalabilecek terimler en çok \(x_1, \dots, x_{N_\varepsilon - 1}\) terimleridir; bunlar sonlu sayıdadır.
4’ten 3’e. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(B(a, \varepsilon)\) yuvarı \(a\) noktasının bir komşuluğudur, çünkü kendisini kapsar. 4 gereği bu yuvarın dışında kalan terimlerin indisleri sonlu bir \(F \subseteq \mathbb{N}\) kümesi oluşturur. \(F = \varnothing\) ise \(N_\varepsilon = 1\), değilse \(N_\varepsilon = \max F + 1\) alalım. \(k \ge N_\varepsilon\) için \(k \notin F\), yani \(x_k \in B(a, \varepsilon)\) olur. \(\blacksquare\)
3 ve 4, yakınsaklığın geometrik okunuşudur: \(a\) merkezli ne kadar küçük bir yuvar çizilirse çizilsin, dizinin yalnız sonlu sayıda terimi yuvarın dışında kalır. 2 ise \(\mathbb{R}^n\)’deki her yakınsaklık sorusunu bir reel sayı dizisinin \(0\)’a yakınsamasına çevirir.
Tanım 6.4 (Iraksak Dizi) \(\mathbb{R}^n\)’de hiçbir noktaya yakınsamayan diziye ıraksak dizi denir.
Yani ıraksaklık, yakınsaklığın her aday nokta için bozulmasıdır. Niceleyicileri kuralına göre olumsuzlarsak (bkz. Analiz 1) \((x_k)\) dizisinin ıraksak olması
\[\forall a \in \mathbb{R}^n\ \ \exists \varepsilon_0 > 0\ \ \forall N \in \mathbb{N}\ \ \exists k \ge N :\ \ \|x_k - a\| \ge \varepsilon_0\]
demektir. Sözle: her \(a\) noktası için öyle bir \(\varepsilon_0\) yarıçapı vardır ki \(\{k \in \mathbb{N} : x_k \notin B(a, \varepsilon_0)\}\) indis kümesi sonsuzdur. \(\varepsilon_0\) yarıçapı \(a\) noktasına bağlı olabilir.
- Aday limit. Her bileşen dizisinin limiti tahmin edilir; aday nokta \(a\) bu limitlerden oluşur.
- Uzaklığı sınırla. \(\|x_k - a\|\) hesaplanır ve her bileşen farkı ayrı ayrı sınırlanarak \(\|x_k - a\| \le c_k\) olacak biçimde, \(k\) cinsinden basit ve azalan bir \(c_k\) bulunur (örneğin \(c_k = \dfrac{C}{k}\)).
- Eşiği seç. \(c_k < \varepsilon\) eşitsizliği \(k\) için çözülür, \(N_\varepsilon = \lfloor \cdot \rfloor + 1\) biçiminde seçilir ve \(k \ge N_\varepsilon\) için \(\|x_k - a\| \le c_k \le c_{N_\varepsilon} < \varepsilon\) zinciri yazılır.
Örnek 6.1 (Tanımla Yakınsaklık) \(\mathbb{R}^2\)’de genel terimi \(x_k = \left( \dfrac{1}{k},\ 1 + \dfrac{(-1)^k}{k} \right)\) olan dizinin \((0, 1)\) noktasına yakınsadığını tanımla gösteriniz.
Çözüm
Aday limit. \(\dfrac{1}{k} \to 0\) ve \(\dfrac{(-1)^k}{k} \to 0\) olduğundan aday nokta \(a = (0, 1)\)’dir.
Uzaklık. Her \(k\) için
\[\|x_k - (0, 1)\| = \left\| \left( \frac{1}{k},\ \frac{(-1)^k}{k} \right) \right\| = \sqrt{\frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^2}} = \frac{\sqrt{2}}{k}\]
olur. Burada \(\big( (-1)^k \big)^2 = 1\) kullanıldı.
Eşik. \(\dfrac{\sqrt{2}}{k} < \varepsilon\) eşitsizliği \(k > \dfrac{\sqrt{2}}{\varepsilon}\) ile denktir. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve
\[N_\varepsilon = \left\lfloor \frac{\sqrt{2}}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\]
alalım; taban fonksiyonunun özelliği gereği \(N_\varepsilon > \dfrac{\sqrt{2}}{\varepsilon}\)’dur (bkz. Analiz 1). \(k \ge N_\varepsilon\) olan her \(k\) için
\[\|x_k - (0, 1)\| = \frac{\sqrt{2}}{k} \le \frac{\sqrt{2}}{N_\varepsilon} < \varepsilon\]
olur. Dolayısıyla \(x_k \to (0, 1)\). İkinci bileşen \(1\)’in bir altına bir üstüne sıçrayarak yaklaşır, ama uzaklık yalnızca \(\dfrac{1}{k}\)’ya bağlıdır. Örneğin \(\varepsilon = 0{,}3\) için \(N_\varepsilon = \lfloor 4{,}71\ldots \rfloor + 1 = 5\) olur: \(x_1, \dots, x_4\) terimleri \(B\big( (0, 1), 0{,}3 \big)\) yuvarının dışında, \(x_5\) ve sonrası içindedir. \(\blacksquare\)
Örnek 6.2 (Tanımla Iraksaklık) \(\mathbb{R}^2\)’de genel terimi \(x_k = \left( (-1)^k,\ \dfrac{1}{2^k} \right)\) olan dizinin ıraksak olduğunu tanımla gösteriniz.
Çözüm
Keyfi bir \(a = (a_1, a_2) \in \mathbb{R}^2\) noktası alalım ve bu noktanın dizinin limiti olamayacağını gösterelim. Her \(z = (z_1, z_2) \in \mathbb{R}^2\) için
\[\|z - a\|^2 = (z_1 - a_1)^2 + (z_2 - a_2)^2 \ge (z_1 - a_1)^2, \quad \text{yani} \quad \|z - a\| \ge |z_1 - a_1|\]
olduğunu kullanacağız. Dizinin birinci bileşeni tek \(k\) için \(-1\), çift \(k\) için \(1\)’dir. Üçgen eşitsizliğinden
\[|1 - a_1| + |1 + a_1| \ge \big| (1 - a_1) + (1 + a_1) \big| = 2\]
olduğundan \(|1 - a_1|\) ve \(|1 + a_1|\) sayılarından en az biri \(1\)’den küçük değildir. \(\varepsilon_0 = 1\) alalım ve \(N \in \mathbb{N}\) verilsin.
- \(|1 - a_1| \ge 1\) ise çift sayı olan \(k = 2N \ge N\) indisini seçelim: \(\|x_{2N} - a\| \ge |1 - a_1| \ge 1 = \varepsilon_0\).
- \(|1 + a_1| \ge 1\) ise tek sayı olan \(k = 2N + 1 \ge N\) indisini seçelim: \(\|x_{2N+1} - a\| \ge |-1 - a_1|\) ve \(|-1 - a_1| = |1 + a_1| \ge \varepsilon_0\).
Her iki durumda da her \(N\) için \(\|x_k - a\| \ge \varepsilon_0\) olan bir \(k \ge N\) bulduk; \(a\) noktası dizinin limiti değildir. \(a\) keyfi olduğundan dizi hiçbir noktaya yakınsamaz, yani ıraksaktır.
Terimler iki kümeye ayrılır: tek indisliler \((-1, 0)\) noktasına, çift indisliler \((1, 0)\) noktasına yaklaşır. Bu iki nokta arasındaki uzaklık \(2\) olduğundan hiçbir nokta ikisine birden \(1\)’den yakın olamaz. \(\blacksquare\)
6.3 Limitin Tekliği
Tanım “bir limit”ten söz ediyor. Norm üçgen eşitsizliğini sağladığından reel dizilerdeki teklik ispatı (bkz. Analiz 1) \(\mathbb{R}^n\)’ye aynen taşınır.
Teorem 6.1 (Limitin Tekliği) \(\mathbb{R}^n\)’de yakınsak bir dizinin limiti tektir: \(x_k \to a\) ve \(x_k \to b\) ise \(a = b\)’dir.
İspat
Olmayana ergi yöntemini kullanalım: \(x_k \to a\), \(x_k \to b\) ve \(a \ne b\) olsun. Normun pozitifliği gereği (Teorem 1.2) \(\|a - b\| > 0\)’dır; \(\varepsilon = \dfrac{\|a - b\|}{2} > 0\) alalım. Yakınsaklık tanımından
- \(k \ge N_1\) iken \(\|x_k - a\| < \varepsilon\) olacak bir \(N_1 \in \mathbb{N}\),
- \(k \ge N_2\) iken \(\|x_k - b\| < \varepsilon\) olacak bir \(N_2 \in \mathbb{N}\)
vardır. \(k = \max\{N_1, N_2\}\) için iki eşitsizlik birlikte sağlanır. \(a - b\) vektörüne \(x_k\) ekleyip çıkarıp üçgen eşitsizliğini ve \(\|a - x_k\| = \|x_k - a\|\) eşitliğini kullanırsak
\[\|a - b\| \le \|a - x_k\| + \|x_k - b\| < \varepsilon + \varepsilon = \|a - b\|\]
elde ederiz. Bir sayı kendisinden küçük olamaz; bu çelişki \(a = b\) olduğunu gösterir. \(\blacksquare\)
Teklik sayesinde yakınsak bir dizi için “dizinin limiti” diye tek bir noktadan söz edebilir ve \(\lim_{k \to \infty} x_k\) yazımını belirsizlik olmadan kullanabiliriz.
6.4 Sınırlı Diziler
Reel bir dizinin sınırlılığı, terimlerin mutlak değerlerinin ortak bir sayıyla sınırlanmasıydı. \(\mathbb{R}^n\)’de mutlak değerin yerini yine norm alır.
Tanım 6.5 (Sınırlı Dizi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi olsun. Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(\|x_k\| \le M\) olacak biçimde bir \(M > 0\) reel sayısı varsa \((x_k)\) dizisine sınırlı denir. Sınırlı olmayan diziye sınırsız dizi denir; bu, her \(M > 0\) için \(\|x_{k_M}\| > M\) olacak bir \(k_M \in \mathbb{N}\) bulunması demektir.
Yani sınırlı bir dizinin bütün terimleri orijin merkezli bir \(B[0, M]\) kapalı yuvarının içindedir; başka bir deyişle görüntü kümesi \(\{ x_k : k \in \mathbb{N} \}\) sınırlı bir kümedir (Tanım 3.5). Yuvarın merkezinin orijin olması önemli değildir: bütün terimler bir \(B[x_0, r]\) yuvarındaysa üçgen eşitsizliğinden \(\|x_k\| \le \|x_k - x_0\| + \|x_0\| \le r + \|x_0\|\) olur.
Örnek 6.3 (Sınırlı Bir Dizi) \(x_k = \left( \dfrac{1}{k},\ \sin\dfrac{1}{k} \right)\) dizisinin \(\mathbb{R}^2\)’de sınırlı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(0 < \dfrac{1}{k} \le 1\) ve \(\left| \sin\dfrac{1}{k} \right| \le 1\) olduğundan
\[\|x_k\| = \sqrt{\frac{1}{k^2} + \sin^2\frac{1}{k}} \le \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\]
olur. \(M = \sqrt{2}\) sayısı bütün terimlerin normları için ortak bir sınırdır; dizi sınırlıdır. \(\blacksquare\)
Örnek 6.4 (Sınırsız Bir Dizi) \(x_k = \left( k,\ \sin\dfrac{1}{k} \right)\) dizisinin \(\mathbb{R}^2\)’de sınırsız olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(M > 0\) verilsin ve \(k_M = \lfloor M \rfloor + 1\) alalım. \(k_M\) bir doğal sayıdır ve \(k_M > M\)’dir. Karekökün altındaki ikinci terim negatif olmadığından
\[\|x_{k_M}\| = \sqrt{k_M^2 + \sin^2\frac{1}{k_M}} \ge \sqrt{k_M^2} = k_M > M\]
olur. Her \(M > 0\) için normu \(M\)’yi aşan bir terim bulunduğundan dizi sınırsızdır. \(\blacksquare\)
Reel dizilerde olduğu gibi yakınsaklık sınırlılığı gerektirir.
Teorem 6.2 (Yakınsak Diziler Sınırlıdır) \(\mathbb{R}^n\)’de yakınsak her dizi sınırlıdır.
İspat
\(x_k \to a\) olsun. Yakınsaklık tanımını \(\varepsilon = 1\) için uygulayalım: \(k \ge N_1\) iken \(\|x_k - a\| < 1\) olacak bir \(N_1 \in \mathbb{N}\) vardır. Bu \(k\)’lar için üçgen eşitsizliğinden
\[\|x_k\| = \|(x_k - a) + a\| \le \|x_k - a\| + \|a\| < 1 + \|a\|\]
olur. Geriye sonlu sayıda terim kalır: \(x_1, \dots, x_{N_1 - 1}\). Bunların normlarını da hesaba katan
\[M = \max\big\{ \|x_1\|, \|x_2\|, \dots, \|x_{N_1 - 1}\|,\ 1 + \|a\| \big\}\]
sayısını alalım (\(N_1 = 1\) ise küme yalnız \(1 + \|a\|\) sayısından oluşur). Sonlu bir kümenin en büyük elemanı vardır ve \(M \ge 1 + \|a\| > 0\)’dır. \(k < N_1\) ise \(\|x_k\| \le M\) tanım gereği, \(k \ge N_1\) ise \(\|x_k\| < 1 + \|a\| \le M\) yukarıdaki eşitsizlik gereği sağlanır. Yani her \(k\) için \(\|x_k\| \le M\); dizi sınırlıdır. \(\blacksquare\)
Teoremin karşıt tersi, ıraksaklığı göstermenin en kolay yollarından biridir.
Sonuç 6.1 (Sınırsız Diziler Iraksaktır) \(\mathbb{R}^n\)’de sınırsız bir dizi ıraksaktır.
İspat
Dizi yakınsak olsaydı Teorem 6.2 gereği sınırlı olurdu. Bu, dizinin sınırsız olmasıyla çelişir. \(\blacksquare\)
Örneğin Örnek 6.4 içindeki \(\left( k, \sin\dfrac{1}{k} \right)\) dizisi sınırsız olduğundan ıraksaktır. Teoremin tersi ise doğru değildir: sınırlı olup ıraksak olan diziler vardır.
Örnek 6.5 (Sınırlı Ama Iraksak Bir Dizi) \(x_k = \left( (-1)^k,\ \dfrac{1}{2^k} \right)\) dizisinin sınırlı ama ıraksak bir dizi olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Her \(k\) için \(\big( (-1)^k \big)^2 = 1\) ve \(\left( \dfrac{1}{2^k} \right)^2 = \dfrac{1}{4^k} \le 1\) olduğundan
\[\|x_k\| = \sqrt{1 + \frac{1}{4^k}} \le \sqrt{2}\]
olur; dizi sınırlıdır. Iraksak olduğunu ise Örnek 6.2 içinde tanımla gösterdik. Demek ki Teorem 6.2 teoreminin tersi yanlıştır: sınırlılık yakınsaklık için yetmez. \(\blacksquare\)
6.5 Koordinat Yakınsaklık
\(\mathbb{R}^n\)’de bir dizinin \(n\) bileşen dizisinden oluştuğunu gördük. Şimdi yakınsaklığın da bileşen bileşen incelenebileceğini gösteriyoruz. Bunun anahtarı, bir vektörün normu ile bileşenleri arasındaki şu iki eşitsizliktir: her \(z = (z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{R}^n\) ve her \(j = 1, \dots, n\) için
\[|z_j| \le \|z\| \le |z_1| + |z_2| + \dots + |z_n|. \tag{1}\]
Sol eşitsizlik, \(\|z\|^2 = z_1^2 + \dots + z_n^2\) toplamının, negatif olmayan terimlerinden biri olan \(z_j^2\)’den küçük olamamasından gelir; iki yanın karekökü alınır. Sağ eşitsizlik için \(\big( |z_1| + \dots + |z_n| \big)^2\) açılır: \(z_1^2 + \dots + z_n^2 = \|z\|^2\) terimlerinin yanında yalnızca negatif olmayan \(2|z_i|\,|z_j|\) çapraz terimleri çıkar; yine karekök alınır. Bu iki eşitsizlik, Öklid normunun maksimum normu ve 1-normuyla karşılaştırılmasıdır (bkz. Teorem 1.5). Sol yanı “iki nokta yakınsa her bileşenleri de yakındır”, sağ yanı “bütün bileşenler yakınsa noktalar da yakındır” diye okunur.
Teorem 6.3 (Koordinat Yakınsaklık Teoremi) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi, \(x_k = \big( x_k^{(1)}, \dots, x_k^{(n)} \big)\) ve \(a = (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n\) olsun. O zaman
\[\lim_{k \to \infty} x_k = a \iff \lim_{k \to \infty} x_k^{(j)} = a_j \quad (j = 1, 2, \dots, n)\]
olur. Yani \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, bütün bileşen dizilerinin reel sayı dizileri olarak yakınsak olmasıdır; bu durumda limitin bileşenleri, bileşen dizilerinin limitleridir.
İspat
Gereklilik (\(\Rightarrow\)). \(x_k \to a\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(k \ge N_\varepsilon\) iken \(\|x_k - a\| < \varepsilon\) olacak bir \(N_\varepsilon\) vardır. (1) eşitsizliğinin sol yanını \(x_k - a\) vektörüne uygularsak \(k \ge N_\varepsilon\) ve her \(j\) için
\[\big| x_k^{(j)} - a_j \big| \le \|x_k - a\| < \varepsilon\]
olur. Aynı \(N_\varepsilon\) bütün bileşenler için işe yarar; her \(j\) için \(x_k^{(j)} \to a_j\).
Yeterlilik (\(\Leftarrow\)). Her \(j\) için \(x_k^{(j)} \to a_j\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Her bileşen dizisine yakınsaklık tanımını \(\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{n}} > 0\) için uygulayalım: her \(j = 1, \dots, n\) için
\[k \ge N^{(j)} \ \text{ iken } \ \big| x_k^{(j)} - a_j \big| < \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\]
olacak bir \(N^{(j)} \in \mathbb{N}\) vardır. \(N_\varepsilon = \max\big\{ N^{(1)}, \dots, N^{(n)} \big\}\) alalım; sonlu sayıda doğal sayının en büyüğü olarak bu bir doğal sayıdır. \(k \ge N_\varepsilon\) için \(n\) eşitsizliğin hepsi birden sağlanır ve
\[\|x_k - a\|^2 = \sum_{j=1}^{n} \big( x_k^{(j)} - a_j \big)^2 < n \cdot \frac{\varepsilon^2}{n} = \varepsilon^2\]
olur. Karekök alırsak \(\|x_k - a\| < \varepsilon\); yani \(x_k \to a\). \(\blacksquare\)
İspattaki \(\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\) seçimi, \(n\) bileşenin katkılarının karelerinin toplandığını hesaba katar. İspatın sonlu boyuta dayandığına da dikkat edelim: \(N_\varepsilon\), sonlu sayıda eşiğin en büyüğü olarak seçildi. Teorem, \(\mathbb{R}^n\)’deki limit hesabını reel dizilere indirger:
\[\lim_{k \to \infty} x_k = \Big( \lim_{k \to \infty} x_k^{(1)},\ \dots,\ \lim_{k \to \infty} x_k^{(n)} \Big).\]
Teoremin gereklilik yönü ıraksaklık için de kullanışlı bir ölçüt verir.
Sonuç 6.2 (Iraksak Bileşenli Diziler Iraksaktır) \((x_k)\) dizisinin bileşen dizilerinden en az biri \(\mathbb{R}\)’de ıraksaksa \((x_k)\) dizisi \(\mathbb{R}^n\)’de ıraksaktır.
İspat
Olmayana ergi: \((x_k)\) dizisi bir \(a = (a_1, \dots, a_n)\) noktasına yakınsasın. Teorem 6.3 teoreminin gereklilik yönü gereği her \(j\) için \(x_k^{(j)} \to a_j\) olur; yani bütün bileşen dizileri yakınsaktır. Bu, bileşenlerden birinin ıraksak olmasıyla çelişir. \(\blacksquare\)
- Bileşen limitleri. Her bileşen dizisi Analiz 1’in araçlarıyla incelenir: limit aritmetiği, sıkıştırma, özel limitler ve sürekli fonksiyonlar için dizisel ölçüt.
- Karar. Bütün bileşenler yakınsaksa dizi, bileşen limitlerinden oluşan noktaya yakınsar (Teorem 6.3). Bir bileşen bile ıraksaksa (örneğin sınırsızsa ya da iki farklı değer arasında gidip geliyorsa) dizi ıraksaktır (Sonuç 6.2).
Örnek 6.6 (Üç Bileşenli Yakınsak Bir Dizi) \(\mathbb{R}^3\)’te \(x_k = \left( \dfrac{1}{k},\ \dfrac{2k + 1}{3k - 1},\ \left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)^{k} \right)\) dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve limitini bulunuz.
Çözüm
Bileşen limitleri. Birinci bileşen için \(\dfrac{1}{k} \to 0\)’dır. İkinci bileşende pay ve payda \(k\)’ya bölünür (\(3k - 1 \ne 0\)):
\[\frac{2k + 1}{3k - 1} = \frac{2 + \dfrac{1}{k}}{3 - \dfrac{1}{k}} \longrightarrow \frac{2}{3};\]
paydanın limiti \(3 \ne 0\) olduğundan bölüm kuralı uygulanabilir (bkz. Analiz 1). Üçüncü bileşen \(e\) sayısını tanımlayan dizidir: \(\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)^{k} \to e\) (bkz. Analiz 1).
Karar. Üç bileşen dizisi de yakınsak olduğundan Teorem 6.3 gereği dizi yakınsaktır ve
\[\lim_{k \to \infty} x_k = \left( 0,\ \frac{2}{3},\ e \right)\]
olur. \(\blacksquare\)
Örnek 6.7 (Sürekli Fonksiyon İçeren Bir Bileşen) \(\mathbb{R}^3\)’te \(x_k = \left( \dfrac{(-1)^k}{k},\ \sin\dfrac{k}{k+1},\ e^{-k} \right)\) dizisinin limitini bulunuz.
Çözüm
Birinci bileşen. \(\left( (-1)^k \right)\) sınırlı, \(\dfrac{1}{k} \to 0\) olduğundan çarpımları \(0\)’a yakınsar (bkz. Analiz 1).
İkinci bileşen. \(\dfrac{k}{k+1} = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{k}} \to 1\)’dir. \(\sin\) fonksiyonu \(1\) noktasında sürekli olduğundan (bkz. Analiz 1) süreklilik için dizisel ölçüt gereği
\[\sin\frac{k}{k+1} \longrightarrow \sin 1\]
olur (bkz. Analiz 1).
Üçüncü bileşen. \(e > 1\) olduğundan \(0 < \dfrac{1}{e} < 1\) ve \(e^{-k} = \left( \dfrac{1}{e} \right)^{k} \to 0\)’dır (bkz. Analiz 1).
Üç bileşen de yakınsak olduğundan Teorem 6.3 gereği \(x_k \to (0, \sin 1, 0)\). \(\blacksquare\)
Örnek 6.8 (Bir Bileşeni Iraksak Olan Dizi) \(\mathbb{R}^2\)’de \(x_k = \left( \dfrac{1}{k^2 + 3k},\ (-1)^k \right)\) dizisinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Birinci bileşen \(0 < \dfrac{1}{k^2 + 3k} \le \dfrac{1}{k}\) eşitsizliği ve sıkıştırma teoremiyle \(0\)’a yakınsar. İkinci bileşen \(\big( (-1)^k \big)\) ise \(\mathbb{R}\)’de ıraksaktır (bkz. Analiz 1). Bir bileşen ıraksak olduğundan Sonuç 6.2 gereği dizi ıraksaktır; birinci bileşenin yakınsak olması durumu değiştirmez.
Aynı gerekçe Örnek 6.2 içindeki \(\left( (-1)^k, \dfrac{1}{2^k} \right)\) dizisinin ıraksaklığını da tek satırda verir: birinci bileşeni \(\big( (-1)^k \big)\) ıraksaktır. \(\blacksquare\)
Örnek 6.9 (Sinüs ve Kosinüsle Kurulan Dizi) \(\mathbb{R}^2\)’de \(x_k = \big( \sin(k\pi),\ \cos(k\pi) \big)\) dizisinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(\sin(k\pi) = 0\)’dır; birinci bileşen sabit \(0\) dizisidir ve \(0\)’a yakınsar. İkinci bileşen için \(\cos(k\pi) = (-1)^k\)’dir: terimler \(-1, 1, -1, 1, \dots\) biçiminde gidip gelir ve bu dizi ıraksaktır (bkz. Analiz 1). Sonuç 6.2 gereği \((x_k)\) dizisi ıraksaktır. Terimler \((0, -1)\) ve \((0, 1)\) noktaları arasında gidip gelir. \(\blacksquare\)
Aynı iki adım aşağıdaki dizilerde tek satırda sonuç verir.
| Dizi \(x_k\) | Bileşen limitleri | Sonuç |
|---|---|---|
| \(\left( \dfrac{1}{2k},\ 5,\ \dfrac{6k^2 + 7}{k^2 + 3k} \right)\) | \(0\); \(5\); \(6\) | \((0, 5, 6)\) noktasına yakınsar |
| \(\left( \dfrac{1}{k},\ 1 - \dfrac{1}{k},\ e^{-k} \right)\) | \(0\); \(1\); \(0\) | \((0, 1, 0)\) noktasına yakınsar |
| \(\left( \dfrac{1}{k},\ \dfrac{k - 3k^2}{k + k^2} \right)\) | \(0\); \(-3\) | \((0, -3)\) noktasına yakınsar |
| \(\left( \dfrac{1}{k},\ \dfrac{2k^2 - k + 1}{k^2 + 2k - 1} \right)\) | \(0\); \(2\) | \((0, 2)\) noktasına yakınsar |
| \(\left( \dfrac{1}{k+1},\ \dfrac{k - 2}{k + k^2} \right)\) | \(0\); \(0\) | \((0, 0)\) noktasına yakınsar |
| \(\left( 1,\ \sin(\pi k),\ \cos\dfrac{1}{k} \right)\) | \(1\); \(0\); \(1\) | \((1, 0, 1)\) noktasına yakınsar |
| \(\left( \left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)^{k},\ \dfrac{(-1)^k}{k},\ 5 \right)\) | \(e\); \(0\); \(5\) | \((e, 0, 5)\) noktasına yakınsar |
| \(\left( e^{-k},\ \sin\dfrac{1}{k},\ k \right)\) | \(0\); \(0\); sınırsız | ıraksaktır |
Tablodaki rasyonel bileşenlerde pay ve payda \(k^2\)’ye bölünür (bkz. Analiz 1); örneğin
\[\frac{6k^2 + 7}{k^2 + 3k} = \frac{6 + \dfrac{7}{k^2}}{1 + \dfrac{3}{k}} \longrightarrow 6, \qquad \frac{k - 3k^2}{k + k^2} = \frac{\dfrac{1}{k} - 3}{\dfrac{1}{k} + 1} \longrightarrow -3\]
olur (\(k^2 + 2k - 1 \ge 2\) olduğundan dördüncü satırdaki payda hiç sıfır olmaz). \(\sin(\pi k) = 0\) olduğundan altıncı satırın ikinci bileşeni sabit sıfır dizisidir. \(\sin\) ve \(\cos\) sürekli olduğundan \(\cos\dfrac{1}{k} \to \cos 0 = 1\) ve \(\sin\dfrac{1}{k} \to \sin 0 = 0\) olur. \(\left| \dfrac{(-1)^k}{k} \right| = \dfrac{1}{k} \to 0\) ve \(e^{-k} \to 0\)’dır. Son satırda üçüncü bileşen \(k\) sınırsız olduğundan ıraksaktır (bkz. Analiz 1) ve Sonuç 6.2 gereği dizi ıraksaktır.
6.6 Limit için Cebirsel İşlemler
Koordinat yakınsaklık teoremi, reel dizilerdeki limit kurallarını \(\mathbb{R}^n\)’deki vektör işlemlerine taşımanın en kısa yoludur: her işlem bileşenler üzerinden yapılır ve bileşenlerde Analiz 1’in kuralları geçerlidir.
Teorem 6.4 (Limit için Cebirsel İşlemler) \((x_k)\) ve \((y_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de iki dizi, \(\lim_{k \to \infty} x_k = a\) ve \(\lim_{k \to \infty} y_k = b\) olsun. \((\lambda_k)\) bir reel sayı dizisi ve \(\lim_{k \to \infty} \lambda_k = \lambda\) olsun. O zaman:
- Toplam. \(\lim_{k \to \infty} (x_k + y_k) = a + b\).
- Skalerle çarpım. \(\lim_{k \to \infty} \lambda_k x_k = \lambda a\). Özel olarak her \(c \in \mathbb{R}\) için \(\lim_{k \to \infty} c\, x_k = c\, a\).
- İç çarpım. \(\lim_{k \to \infty} \langle x_k, y_k \rangle = \langle a, b \rangle\). Özel olarak sabit bir \(\beta \in \mathbb{R}^n\) için \(\lim_{k \to \infty} \langle \beta, x_k \rangle = \langle \beta, a \rangle\).
- Norm. \(\lim_{k \to \infty} \|x_k\| = \|a\|\).
- Skalere bölme. Her \(k\) için \(\lambda_k \ne 0\) ve \(\lambda \ne 0\) ise \(\lim_{k \to \infty} \dfrac{1}{\lambda_k}\, x_k = \dfrac{1}{\lambda}\, a\).
- Vektörel çarpım. \(n = 3\) ise \(\lim_{k \to \infty} (x_k \times y_k) = a \times b\).
İspat
\(a = (a_1, \dots, a_n)\), \(b = (b_1, \dots, b_n)\) yazalım. Teorem 6.3 teoreminin gereklilik yönü gereği her \(j\) için \(x_k^{(j)} \to a_j\) ve \(y_k^{(j)} \to b_j\)’dir. Aşağıda bileşenlerde kullanılan toplam, çarpım ve bölüm kuralları reel dizilerin limit aritmetiğidir (bkz. Analiz 1).
1. \(x_k + y_k\) vektörünün \(j\)-inci bileşeni \(x_k^{(j)} + y_k^{(j)}\)’dir ve toplam kuralı gereği \(a_j + b_j\)’ye yakınsar. Bu sayı \(a + b\) vektörünün \(j\)-inci bileşenidir; Teorem 6.3 teoreminin yeterlilik yönü gereği \(x_k + y_k \to a + b\).
2. \(\lambda_k x_k\) vektörünün \(j\)-inci bileşeni \(\lambda_k x_k^{(j)}\)’dir ve çarpım kuralı gereği \(\lambda a_j\)’ye yakınsar. Yeterlilik yönüyle \(\lambda_k x_k \to \lambda a\). Özel durum, \(\lambda_k = c\) sabit dizisi alınarak elde edilir.
3. \(\langle x_k, y_k \rangle = \displaystyle\sum_{j=1}^{n} x_k^{(j)} y_k^{(j)}\) bir reel sayı dizisidir. Çarpım kuralıyla her \(j\) için \(x_k^{(j)} y_k^{(j)} \to a_j b_j\) olur. Toplam kuralını \(n - 1\) kez uygularsak bu \(n\) yakınsak dizinin toplamı \(\sum_{j=1}^{n} a_j b_j = \langle a, b \rangle\) sayısına yakınsar. Özel durum için her terimi \(\beta\) olan sabit diziyi alalım; \(\|\beta - \beta\| = 0 < \varepsilon\) olduğundan bu dizi \(\beta\) noktasına yakınsar.
4. Ters üçgen eşitsizliği (Sonuç 1.2) gereği her \(k\) için
\[\big| \|x_k\| - \|a\| \big| \le \|x_k - a\|\]
olur. Önerme 6.1 gereği sağ taraf \(0\)’a yakınsar. Sıfır dizisiyle karşılaştırma (bkz. Analiz 1) gereği \(\|x_k\| - \|a\| \to 0\), yani \(\|x_k\| \to \|a\|\). (Başka bir yol: 3 gereği \(\|x_k\|^2 = \langle x_k, x_k \rangle\) dizisi \(\langle a, a \rangle = \|a\|^2\) sayısına yakınsar, sonra kök alınır; bkz. Analiz 1.)
5. \(\lambda_k \ne 0\) ve \(\lambda \ne 0\) olduğundan bölüm kuralı gereği \(\dfrac{1}{\lambda_k} \to \dfrac{1}{\lambda}\)’dır. 2’yi \(\left( \dfrac{1}{\lambda_k} \right)\) reel dizisine uygularız.
6. Vektörel çarpımın tanımı (Tanım 2.10) gereği \(x_k \times y_k\) vektörünün bileşenleri
\[ \begin{aligned} &x_k^{(2)} y_k^{(3)} - x_k^{(3)} y_k^{(2)}, \qquad x_k^{(3)} y_k^{(1)} - x_k^{(1)} y_k^{(3)}, \\[1mm] &\quad x_k^{(1)} y_k^{(2)} - x_k^{(2)} y_k^{(1)} \end{aligned} \]
reel dizileridir. Çarpım ve fark kuralları gereği bunlar sırasıyla \(a_2 b_3 - a_3 b_2\), \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) ve \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) sayılarına, yani \(a \times b\) vektörünün bileşenlerine yakınsar. Yeterlilik yönüyle \(x_k \times y_k \to a \times b\). \(\blacksquare\)
1 ve 2 birlikte fark kuralını da verir: \(x_k - y_k = x_k + (-1)\, y_k \to a - b\). \(\mathbb{R}^n\)’de iki vektörün bölümü tanımlı olmadığından reel dizilerdeki bölüm kuralının karşılığı yalnız skalere bölmedir.
4’ün tersi doğru değildir. \(x_k = \big( (-1)^k, 0 \big)\) için \(\|x_k\| = 1 \to 1\)’dir ama dizi ıraksaktır, çünkü birinci bileşeni ıraksaktır. Tek istisna limitin \(0\) olduğu durumdur: Önerme 6.1 gereği \(x_k \to 0\) ile \(\|x_k - 0\| = \|x_k\| \to 0\) aynı şeydir.
Örnek 6.10 (Vektörel Çarpımın Limiti) \(\mathbb{R}^3\)’te \(x_k = \left( \dfrac{1}{k},\ 1,\ 2 - \dfrac{1}{k} \right)\) ve \(y_k = \left( \dfrac{k}{k+1},\ -\dfrac{1}{k},\ 1 \right)\) olsun. \((x_k \times y_k)\) dizisinin limitini bulunuz.
Çözüm
Teoremle. Koordinat yakınsaklıkla \(x_k \to a = (0, 1, 2)\) ve \(y_k \to b = (1, 0, 1)\)’dir. Teorem 6.4 teoreminin 6. maddesi gereği
\[ \begin{aligned} \lim_{k \to \infty} (x_k \times y_k) &= a \times b = \big( 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0,\ 2 \cdot 1 - 0 \cdot 1,\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \big) \\[1mm] &= (1, 2, -1) \end{aligned} \]
olur.
Doğrudan hesapla sağlama. Vektörel çarpımın bileşenlerini önce hesaplayıp sonra limit alalım:
\[x_k^{(2)} y_k^{(3)} - x_k^{(3)} y_k^{(2)} = 1 - \left( 2 - \frac{1}{k} \right)\left( -\frac{1}{k} \right) = 1 + \frac{2}{k} - \frac{1}{k^2} \longrightarrow 1,\]
\[x_k^{(3)} y_k^{(1)} - x_k^{(1)} y_k^{(3)} = \left( 2 - \frac{1}{k} \right) \frac{k}{k+1} - \frac{1}{k} = \frac{2k - 1}{k + 1} - \frac{1}{k} \longrightarrow 2,\]
\[x_k^{(1)} y_k^{(2)} - x_k^{(2)} y_k^{(1)} = \frac{1}{k} \left( -\frac{1}{k} \right) - \frac{k}{k+1} = -\frac{1}{k^2} - \frac{k}{k+1} \longrightarrow -1.\]
Sonuç aynıdır. Aynı yolla iç çarpım için
\[\langle x_k, y_k \rangle \to \langle a, b \rangle = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2\]
bulunur. \(\blacksquare\)
Reel dizilerde “sınırlı ve monoton her dizi yakınsaktır” teoremi, yakınsaklığı limiti bilmeden göstermenin temel aracıydı (bkz. Analiz 1). Bu teorem reel sayılardaki \(\le\) sıralamasına dayanır. \(n \ge 2\) iken \(\mathbb{R}^n\)’nin noktaları arasında bu rolü oynayan doğal bir sıralama yoktur; örneğin \((1, 0)\) ile \((0, 1)\) noktalarından hangisinin “büyük” olduğu sorusunun geometrik bir anlamı yoktur. Bu yüzden monoton dizi kavramı \(\mathbb{R}\)’ye özgüdür ve \(\mathbb{R}^n\)’de kullanılmaz.
Bir \(\mathbb{R}^n\) dizisinin bileşen dizileri ise reel dizilerdir ve tek tek monoton olabilir. Bütün bileşen dizileri monoton ve sınırlıysa her biri yakınsar ve Teorem 6.3 gereği dizinin kendisi de yakınsar. Genel sınırlı dizilerde monotonluğun yerini, bir sonraki bölümde göreceğimiz diziler için Bolzano–Weierstrass teoremi alır.
6.7 Limit ve Yığılma Noktası
Bir dizinin limiti ile görüntü kümesinin yığılma noktaları (Tanım 3.4) arasında yakın bir ilişki vardır. İkisi arasındaki tek fark, belli bir yerden sonra sabitleşen dizilerden gelir.
Tanım 6.6 (Durağan Dizi) Öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) ve \(a \in \mathbb{R}^n\) varsa ki \(k \ge N\) olan her \(k\) için \(x_k = a\) oluyorsa \((x_k)\) dizisine durağan (durgun) dizi denir.
Yani durağan bir dizinin terimleri belli bir indisten sonra hep aynı noktadır. Böyle bir dizi \(a\) noktasına yakınsar, çünkü \(k \ge N\) için \(\|x_k - a\| = 0 < \varepsilon\) olur. Sabit diziler durağandır.
Önerme 6.2 (Limit ve Yığılma Noktası) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi, \(S = \{ x_k : k \in \mathbb{N} \}\) görüntü kümesi ve \(\lim_{k \to \infty} x_k = a\) olsun. O zaman aşağıdaki iki durumdan biri ve yalnız biri gerçekleşir:
- \(a\), \(S\) kümesinin bir yığılma noktasıdır, yani \(a \in S'\).
- \((x_k)\) dizisi durağandır: \(k \ge N\) iken \(x_k = a\) olacak bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır.
İspat
İkisi birden gerçekleşmez. 2 doğru olsun. O zaman \(S \subseteq \{ x_1, \dots, x_{N-1}, a \}\) sonlu bir kümedir. \(F = \{ x_1, \dots, x_{N-1} \} \setminus \{ a \}\) diyelim. \(F = \varnothing\) ise \(r = 1\), değilse \(r = \min\{ \|x - a\| : x \in F \}\) alalım; sonlu sayıda pozitif sayının en küçüğü olarak \(r > 0\)’dır. \(B(a, r)\) yuvarı \(S\) kümesinin \(a\)’dan farklı hiçbir noktasını içermez. Dolayısıyla \(a\), \(S\) kümesinin yığılma noktası değildir; 1 yanlıştır.
Biri mutlaka gerçekleşir. 2 yanlış olsun: her \(N \in \mathbb{N}\) için \(x_k \ne a\) olan bir \(k \ge N\) vardır. \(a \in S'\) olduğunu gösterelim. \(r > 0\) verilsin. \(x_k \to a\) olduğundan \(k \ge N\) iken \(\|x_k - a\| < r\) olacak bir \(N\) vardır. Varsayım gereği bu \(N\) için \(x_k \ne a\) olan bir \(k \ge N\) seçebiliriz. Bu \(x_k\) noktası \(S\) kümesindedir, \(a\)’dan farklıdır ve \(B(a, r)\) yuvarının içindedir. \(r > 0\) keyfi olduğundan \(a\) merkezli her açık yuvar \(S\) kümesinin \(a\)’dan farklı bir noktasını içerir; yani \(a \in S'\). \(\blacksquare\)
İki durumu birer örnekle görelim. \(x_k = \left( \dfrac{1}{k}, \dfrac{1}{k} \right)\) dizisi \((0, 0)\) noktasına yakınsar ve durağan değildir; \((0, 0)\) noktası, görüntü kümesine ait olmadığı hâlde bu kümenin yığılma noktasıdır. Öte yandan \(x_1 = (5, 5)\) ve \(k \ge 2\) için \(x_k = (0, 0)\) olan dizi durağandır ve \((0, 0)\) noktasına yakınsar; görüntü kümesi iki noktalı \(\{ (5, 5), (0, 0) \}\) kümesidir ve hiç yığılma noktası yoktur.
Önermenin tersi doğru değildir: görüntü kümesinin bir yığılma noktası dizinin limiti olmak zorunda değildir. \(x_k = \left( (-1)^k, \dfrac{1}{2^k} \right)\) dizisinde çift indisli terimler \(x_{2m} = \left( 1, \dfrac{1}{4^m} \right)\) biçimindedir; bunlar \((1, 0)\) noktasından farklıdır ve ona keyfi yakındır. Dolayısıyla \((1, 0)\) noktası görüntü kümesinin bir yığılma noktasıdır, ama dizi ıraksaktır (Örnek 6.2). Bir dizinin terimlerinden seçilen ve böyle bir noktaya yakınsayan “parçalar”, yani alt diziler, bir sonraki bölümün konusudur.
6.8 Alıştırmalar
İlk üç alıştırmada yakınsaklık doğrudan tanımla, sonrakilerde koordinat yakınsaklık ve bölümün öbür sonuçlarıyla incelenir.
Alıştırma 6.1 (Tanımla Yakınsaklık: Kesirli Bileşenler) Yakınsaklık tanımını kullanarak \(x_k = \left( \dfrac{1}{k},\ 1 - \dfrac{1}{k^2} \right)\) dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Aday limit. \(\dfrac{1}{k} \to 0\) ve \(1 - \dfrac{1}{k^2} \to 1\) olduğundan aday nokta \(a = (0, 1)\)’dir.
Uzaklık. \(k \ge 1\) için \(k^4 \ge k^2\), yani \(\dfrac{1}{k^4} \le \dfrac{1}{k^2}\) olduğundan
\[\|x_k - (0, 1)\| = \left\| \left( \frac{1}{k},\ -\frac{1}{k^2} \right) \right\| = \sqrt{\frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^4}} \le \sqrt{\frac{2}{k^2}} = \frac{\sqrt{2}}{k}\]
olur.
Eşik. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(N_\varepsilon = \left\lfloor \dfrac{\sqrt{2}}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\) alalım; \(N_\varepsilon > \dfrac{\sqrt{2}}{\varepsilon}\)’dur. \(k \ge N_\varepsilon\) için
\[\|x_k - (0, 1)\| \le \frac{\sqrt{2}}{k} \le \frac{\sqrt{2}}{N_\varepsilon} < \varepsilon\]
olur. Dolayısıyla \(x_k \to (0, 1)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.2 (Tanımla Yakınsaklık: Sınırlı Çarpan) Yakınsaklık tanımını kullanarak \(x_k = \left( \dfrac{k}{k+1},\ \dfrac{\sin(k^3)}{k} \right)\) dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Aday limit. \(\dfrac{k}{k+1} \to 1\)’dir. \(|\sin(k^3)| \le 1\) olduğundan \(\left| \dfrac{\sin(k^3)}{k} \right| \le \dfrac{1}{k}\) ve sıkıştırma teoremiyle ikinci bileşen \(0\)’a yakınsar. Aday nokta \(a = (1, 0)\)’dır.
Uzaklık. \(\dfrac{k}{k+1} - 1 = -\dfrac{1}{k+1}\) olduğundan
\[\|x_k - (1, 0)\|^2 = \frac{1}{(k+1)^2} + \frac{\sin^2(k^3)}{k^2} \le \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{2}{k^2}\]
olur; yani \(\|x_k - (1, 0)\| \le \dfrac{\sqrt{2}}{k}\).
Eşik. \(\varepsilon > 0\) için \(N_\varepsilon = \left\lfloor \dfrac{\sqrt{2}}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\) alalım. \(k \ge N_\varepsilon\) için
\[\|x_k - (1, 0)\| \le \frac{\sqrt{2}}{k} \le \frac{\sqrt{2}}{N_\varepsilon} < \varepsilon\]
olur. Dolayısıyla \(x_k \to (1, 0)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.3 (Tanımla Yakınsaklık: Logaritma Farkı) Yakınsaklık tanımını kullanarak \(x_k = \left( \ln(k+1) - \ln k,\ \dfrac{1}{2^k} \right)\) dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Aday limit. \(\ln(k+1) - \ln k = \ln\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)\) ve \(\ln\) sürekli olduğundan birinci bileşen \(\ln 1 = 0\)’a, ikinci bileşen de \(0\)’a yakınsar. Aday nokta \(a = (0, 0)\)’dır. Tanımı kullanmak için bu gözlem yetmez; bileşenleri \(k\) cinsinden açıkça sınırlamalıyız.
Birinci bileşen. \(\ln\) fonksiyonuna \([k, k+1]\) aralığında ortalama değer teoremini uygulayalım (bkz. Analiz 2): \((\ln t)' = \dfrac{1}{t}\) olduğundan
\[\ln(k+1) - \ln k = \frac{1}{c_k}\,\big( (k+1) - k \big) = \frac{1}{c_k}\]
olacak bir \(c_k \in (k, k+1)\) vardır. \(c_k > k\) olduğundan \(0 < \ln(k+1) - \ln k < \dfrac{1}{k}\) olur.
İkinci bileşen. Bernoulli eşitsizliğiyle (bkz. Analiz 1) \(2^k = (1 + 1)^k \ge 1 + k > k\), dolayısıyla \(0 < \dfrac{1}{2^k} < \dfrac{1}{k}\)’dır.
Uzaklık ve eşik. İki sınırı birleştirirsek
\[\|x_k - (0, 0)\| = \sqrt{\big( \ln(k+1) - \ln k \big)^2 + \frac{1}{4^k}} < \sqrt{\frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^2}} = \frac{\sqrt{2}}{k}\]
olur. \(\varepsilon > 0\) için \(N_\varepsilon = \left\lfloor \dfrac{\sqrt{2}}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\) alırsak \(k \ge N_\varepsilon\) iken \(\|x_k\| < \dfrac{\sqrt{2}}{k} \le \dfrac{\sqrt{2}}{N_\varepsilon} < \varepsilon\) olur. Dolayısıyla \(x_k \to (0, 0)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.4 (Sınırsız Rasyonel Bileşen) \(x_k = \left( \dfrac{k^3 + 3k - 10}{2k^2 + 1},\ \dfrac{1}{3^k} \right)\) dizisinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
Birinci bileşende payı paydaya bölelim:
\[k^3 + 3k - 10 = (2k^2 + 1) \cdot \frac{k}{2} + \left( \frac{5k}{2} - 10 \right)\]
olduğundan
\[\frac{k^3 + 3k - 10}{2k^2 + 1} = \frac{k}{2} + \frac{5k - 20}{2\,(2k^2 + 1)}\]
olur. \(k \ge 4\) için ikinci terim negatif değildir; bu \(k\)’lar için birinci bileşen en az \(\dfrac{k}{2}\)’dir. Dolayısıyla birinci bileşen dizisi sınırsızdır ve \(\mathbb{R}\)’de ıraksaktır (bkz. Analiz 1). İkinci bileşen \(\dfrac{1}{3^k} \to 0\) olsa da Sonuç 6.2 gereği \((x_k)\) dizisi ıraksaktır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.5 (Karekök Bileşenli Dizi) \(x_k = \left( \sqrt{k},\ \sqrt[k]{k},\ \dfrac{1}{k} \right)\) dizisinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
İkinci ve üçüncü bileşenler yakınsaktır: \(\sqrt[k]{k} \to 1\) (bkz. Analiz 1) ve \(\dfrac{1}{k} \to 0\). Ama birinci bileşen sınırsızdır: \(M > 0\) verildiğinde \(k > M^2\) olan her \(k\) için \(\sqrt{k} > M\) olur. Dolayısıyla \((\sqrt{k})\) ıraksaktır ve Sonuç 6.2 gereği \((x_k)\) dizisi ıraksaktır.
Aynı sonuç sınırlılıktan da çıkar: (1) gereği \(\|x_k\| \ge \sqrt{k}\) olduğundan dizi sınırsızdır ve Sonuç 6.1 gereği ıraksaktır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.6 (İlk Terimi Tanımsız Bir Dizi) \(k \ge 2\) için \(x_k = \left( \dfrac{k^2 - k}{k - \sqrt{k}},\ \dfrac{1 - k}{1 + k^2},\ e^{-k} \right)\) dizisinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
\(k = 1\) için birinci bileşenin paydası \(0\) olduğundan dizi \(k = 2\)’den başlatılmıştır. Yakınsaklık yalnız yeterince büyük \(k\)’lara bağlı olduğundan bu bir şey değiştirmez. Kesin olmak için \(y_k = x_{k+1}\) (\(k \in \mathbb{N}\)) dizisine bakabiliriz; iki dizi aynı terimleri aynı sırayla içerdiğinden biri yakınsaksa öbürü de aynı limite yakınsar.
Birinci bileşeni sadeleştirelim. \(k - 1 = (\sqrt{k} - 1)(\sqrt{k} + 1)\) olduğundan
\[\frac{k^2 - k}{k - \sqrt{k}} = \frac{k\,(\sqrt{k} - 1)(\sqrt{k} + 1)}{\sqrt{k}\,(\sqrt{k} - 1)} = \sqrt{k}\,(\sqrt{k} + 1) = k + \sqrt{k}\]
olur (\(k \ge 2\) için \(\sqrt{k} - 1 \ne 0\)). Birinci bileşen \(k + \sqrt{k} \ge k\) olduğundan sınırsızdır ve \(\mathbb{R}\)’de ıraksaktır. Öbür iki bileşen \(0\)’a yakınsasa da (\(\dfrac{1 - k}{1 + k^2} = \dfrac{\frac{1}{k^2} - \frac{1}{k}}{\frac{1}{k^2} + 1} \to 0\) ve \(e^{-k} \to 0\)) Sonuç 6.2 gereği dizi ıraksaktır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.7 (Dört Adımda Bir Tekrarlanan Bileşen) \(x_k = \left( 1,\ \sin\dfrac{k\pi}{2},\ \cos\dfrac{1}{k} \right)\) dizisinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
Birinci bileşen sabit \(1\) dizisidir. \(\cos\) sürekli olduğundan üçüncü bileşen \(\cos\dfrac{1}{k} \to \cos 0 = 1\) olur.
İkinci bileşen \(s_k = \sin\dfrac{k\pi}{2}\) dizisinin terimleri \(1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots\) biçimindedir: her \(m \ge 0\) için
\[s_{4m+1} = \sin\left( 2m\pi + \frac{\pi}{2} \right) = 1, \qquad s_{4m+3} = \sin\left( 2m\pi + \frac{3\pi}{2} \right) = -1\]
olur. \((s_k)\) dizisinin bir \(s\) sayısına yakınsadığını varsayalım. \(\varepsilon = 1\) için \(k \ge N\) iken \(|s_k - s| < 1\) olacak bir \(N\) vardır. \(4N + 1\) ve \(4N + 3\) indisleri \(N\)’den büyüktür; üçgen eşitsizliğiyle
\[2 = |s_{4N+1} - s_{4N+3}| \le |s_{4N+1} - s| + |s - s_{4N+3}| < 1 + 1 = 2\]
çelişkisi çıkar. Demek ki ikinci bileşen ıraksaktır ve Sonuç 6.2 gereği \((x_k)\) dizisi ıraksaktır.
Karşılaştırma için: ikinci bileşen \(\sin(\pi k)\) olsaydı, bu dizi sabit \(0\) olacağından dizi \((1, 0, 1)\) noktasına yakınsardı (bkz. Tablo 6.1). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.8 (Sınırlı Kuvvet Bölü k) \(x_k = \left( \dfrac{(\sin k)^k}{k},\ \dfrac{1}{k^2} \right)\) dizisinin limitini bulunuz.
Çözüm
\(|\sin k| \le 1\) olduğundan \(|(\sin k)^k| = |\sin k|^k \le 1\) ve
\[\left| \frac{(\sin k)^k}{k} \right| \le \frac{1}{k}\]
olur. \(\dfrac{1}{k} \to 0\) olduğundan sıfır dizisiyle karşılaştırma gereği (bkz. Analiz 1) birinci bileşen \(0\)’a yakınsar. \(((\sin k)^k)\) dizisinin kendisinin yakınsak olup olmadığını bilmemize gerek yoktur. İkinci bileşen \(\dfrac{1}{k^2} \to 0\)’dır. Teorem 6.3 gereği \(x_k \to (0, 0)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.9 (Kök Farkı ve k-inci Kök) \(x_k = \left( k - \sqrt{k^2 + k},\ \sqrt[k]{k},\ \dfrac{1}{k} \right)\) dizisinin limitini bulunuz.
Çözüm
Birinci bileşen. Eşleniğiyle genişletelim:
\[k - \sqrt{k^2 + k} = \frac{k^2 - (k^2 + k)}{k + \sqrt{k^2 + k}} = \frac{-k}{k + \sqrt{k^2 + k}} = \frac{-1}{1 + \sqrt{1 + \dfrac{1}{k}}}.\]
\(1 + \dfrac{1}{k} \to 1\) olduğundan kök alma kuralıyla (bkz. Analiz 1) \(\sqrt{1 + \frac{1}{k}} \to 1\) ve birinci bileşen \(\dfrac{-1}{1 + 1} = -\dfrac{1}{2}\) sayısına yakınsar.
Öbür bileşenler. \(\sqrt[k]{k} \to 1\) (bkz. Analiz 1) ve \(\dfrac{1}{k} \to 0\)’dır.
Teorem 6.3 gereği \(x_k \to \left( -\dfrac{1}{2},\ 1,\ 0 \right)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.10 (Eşlenikle Limit: Artı İşaretli Kök) \(\mathbb{R}^2\)’de
\[x_k = \left( \frac{2k^2 + 1}{(k^2 + 3k - 1)^3},\ \frac{2k - \sqrt{4k^2 + 1}}{\sqrt{k^2 + 3} - k} \right)\]
dizisinin limitini bulunuz.
Çözüm
Birinci bileşen. \(k \ge 1\) için \(k^2 + 3k - 1 \ge 3\) olduğundan payda sıfır olmaz. Pay ve paydayı \(k^6\)’ya bölelim; \((k^2 + 3k - 1)^3 = k^6 \left( 1 + \dfrac{3}{k} - \dfrac{1}{k^2} \right)^3\) olduğundan
\[\frac{2k^2 + 1}{(k^2 + 3k - 1)^3} = \frac{\dfrac{2}{k^4} + \dfrac{1}{k^6}}{\left( 1 + \dfrac{3}{k} - \dfrac{1}{k^2} \right)^3} \longrightarrow \frac{0}{1} = 0\]
olur.
İkinci bileşen. Pay ve paydayı ayrı ayrı eşlenikleriyle genişletelim:
\[2k - \sqrt{4k^2 + 1} = \frac{4k^2 - (4k^2 + 1)}{2k + \sqrt{4k^2 + 1}} = \frac{-1}{2k + \sqrt{4k^2 + 1}},\]
\[\sqrt{k^2 + 3} - k = \frac{(k^2 + 3) - k^2}{\sqrt{k^2 + 3} + k} = \frac{3}{\sqrt{k^2 + 3} + k}.\]
Bölüp pay ve paydayı \(k\)’ya bölersek
\[\frac{2k - \sqrt{4k^2 + 1}}{\sqrt{k^2 + 3} - k} = -\frac{\sqrt{k^2 + 3} + k}{3\left( 2k + \sqrt{4k^2 + 1} \right)} = -\frac{\sqrt{1 + \dfrac{3}{k^2}} + 1}{3\left( 2 + \sqrt{4 + \dfrac{1}{k^2}} \right)}\]
olur. Kök alma kuralıyla \(\sqrt{1 + \frac{3}{k^2}} \to 1\) ve \(\sqrt{4 + \frac{1}{k^2}} \to 2\); ikinci bileşen
\[-\frac{1 + 1}{3\,(2 + 2)} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}\]
sayısına yakınsar. Teorem 6.3 gereği \(x_k \to \left( 0, -\dfrac{1}{6} \right)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.11 (Eşlenikle Limit: Eksi İşaretli Kök) \(\mathbb{R}^2\)’de
\[x_k = \left( \frac{1 - k - k^3}{(3k + 1)^3},\ \frac{2k - \sqrt{4k^2 - 1}}{\sqrt{k^2 + 3} - k} \right)\]
dizisinin limitini bulunuz.
Çözüm
Birinci bileşen. Pay ve paydayı \(k^3\)’e bölelim; \((3k + 1)^3 = k^3 \left( 3 + \dfrac{1}{k} \right)^3\) olduğundan
\[\frac{1 - k - k^3}{(3k + 1)^3} = \frac{\dfrac{1}{k^3} - \dfrac{1}{k^2} - 1}{\left( 3 + \dfrac{1}{k} \right)^3} \longrightarrow \frac{-1}{27}\]
olur.
İkinci bileşen. Bu kez payın eşleniği pozitif bir kesir verir:
\[2k - \sqrt{4k^2 - 1} = \frac{4k^2 - (4k^2 - 1)}{2k + \sqrt{4k^2 - 1}} = \frac{1}{2k + \sqrt{4k^2 - 1}}.\]
Payda için önceki alıştırmadaki gibi \(\sqrt{k^2 + 3} - k = \dfrac{3}{\sqrt{k^2 + 3} + k}\)’dır. Bölüp pay ve paydayı \(k\)’ya bölersek
\[\frac{2k - \sqrt{4k^2 - 1}}{\sqrt{k^2 + 3} - k} = \frac{\sqrt{1 + \dfrac{3}{k^2}} + 1}{3\left( 2 + \sqrt{4 - \dfrac{1}{k^2}} \right)} \longrightarrow \frac{1 + 1}{3\,(2 + 2)} = \frac{1}{6}\]
olur. Teorem 6.3 gereği \(x_k \to \left( -\dfrac{1}{27}, \dfrac{1}{6} \right)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.12 (Logaritmalı ve Köklü Bileşenler) \(\mathbb{R}^2\)’de
\[x_k = \left( \ln\left[ \left( \frac{k+3}{k} \right)^{k+3} \right],\ \sqrt{k^2 + 3k} - k \right)\]
dizisinin limitini bulunuz.
Çözüm
Birinci bileşen. Logaritmanın içindeki diziyi iki çarpana ayıralım:
\[u_k = \left( 1 + \frac{3}{k} \right)^{k+3} = \left( 1 + \frac{3}{k} \right)^{k} \cdot \left( 1 + \frac{3}{k} \right)^{3}.\]
Üstel fonksiyonun limit tanımı gereği (bkz. Analiz 1) birinci çarpan \(e^3\)’e yakınsar. \(1 + \dfrac{3}{k} \to 1\) olduğundan ikinci çarpan \(1^3 = 1\)’e yakınsar. Çarpım kuralıyla \(u_k \to e^3\) olur. \(\ln\) fonksiyonu türevlenebilir, dolayısıyla süreklidir (bkz. Analiz 2 ve Analiz 2). Süreklilik için dizisel ölçüt gereği
\[\ln u_k \longrightarrow \ln e^3 = 3\]
olur (bkz. Analiz 1).
İkinci bileşen. Eşleniğiyle genişletip pay ve paydayı \(k\)’ya bölelim:
\[\sqrt{k^2 + 3k} - k = \frac{3k}{\sqrt{k^2 + 3k} + k} = \frac{3}{\sqrt{1 + \dfrac{3}{k}} + 1} \longrightarrow \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}.\]
Teorem 6.3 gereği \(x_k \to \left( 3, \dfrac{3}{2} \right)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.13 (Farkı Sıfıra Giden İki Dizi) \((x_k)\) ve \((y_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de iki dizi olsun ve \(\lim_{k \to \infty} \|x_k - y_k\| = 0\) olsun. \((x_k)\) yakınsaksa \((y_k)\) dizisinin de yakınsak olduğunu ve iki dizinin limitinin aynı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(x_k \to a\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin.
- \(x_k \to a\) olduğundan \(k \ge N_1\) iken \(\|x_k - a\| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olacak bir \(N_1\) vardır.
- \((\|x_k - y_k\|)\) reel dizisi \(0\)’a yakınsadığından \(k \ge N_2\) iken \(\big| \|x_k - y_k\| - 0 \big| < \dfrac{\varepsilon}{2}\), yani \(\|x_k - y_k\| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olacak bir \(N_2\) vardır.
\(N_\varepsilon = \max\{N_1, N_2\}\) alalım. \(k \ge N_\varepsilon\) için üçgen eşitsizliğinden
\[\|y_k - a\| = \big\| (y_k - x_k) + (x_k - a) \big\| \le \|x_k - y_k\| + \|x_k - a\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]
olur (burada \(\|y_k - x_k\| = \|x_k - y_k\|\) kullanıldı). Dolayısıyla \(y_k \to a\).
Aynı sonuç cebirsel işlemlerden de çıkar: Önerme 6.1 gereği \(y_k - x_k \to 0\)’dır ve Teorem 6.4 teoreminin toplam kuralıyla \(y_k = x_k + (y_k - x_k) \to a + 0 = a\) olur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 6.14 (Yakınsak Dizi ve Limitinden Oluşan Küme) \((x_k)\), \(\mathbb{R}^n\)’de bir dizi ve \(x_k \to a\) olsun. \(K = \{ x_k : k \in \mathbb{N} \} \cup \{ a \}\) kümesinin kompakt olduğunu açık örtü tanımıyla gösteriniz.
Çözüm
Kompaktlık tanımını (Tanım 5.2) doğrudan kullanalım. \(\{ U_i \}_{i \in I}\), \(K\) kümesinin açık kümelerden oluşan keyfi bir örtüsü olsun (Tanım 5.1). Sonlu bir alt örtü bulacağız.
Limiti örten küme. \(a \in K\) olduğundan \(a \in U_{i_0}\) olacak bir \(i_0 \in I\) vardır. \(U_{i_0}\) açık olduğundan \(B(a, r) \subseteq U_{i_0}\) olacak bir \(r > 0\) vardır (Tanım 3.2).
Kuyruk. \(x_k \to a\) olduğundan \(k \ge N\) iken \(\|x_k - a\| < r\), yani \(x_k \in B(a, r) \subseteq U_{i_0}\) olacak bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır. Demek ki tek başına \(U_{i_0}\) kümesi, \(a\) noktasını ve \(k \ge N\) olan bütün terimleri örter.
Geriye kalan sonlu terimler. Geriye en çok \(x_1, \dots, x_{N-1}\) terimleri kalır. Her \(k = 1, \dots, N - 1\) için \(x_k \in U_{i_k}\) olacak bir \(i_k \in I\) seçelim.
O zaman \(\{ U_{i_0}, U_{i_1}, \dots, U_{i_{N-1}} \}\) ailesi sonludur ve \(K\) kümesini örter (\(N = 1\) ise yalnız \(U_{i_0}\) yeter). Her açık örtünün sonlu bir alt örtüsü bulunduğundan \(K\) kompakttır. Özel olarak Teorem 5.2 ve Teorem 5.1 gereği \(K\) kapalı ve sınırlıdır. \(\blacksquare\)
Bu bölümde \(\mathbb{R}^n\)’deki yakınsaklığın bileşenlerin yakınsaklığına indirgendiğini ve limitin vektör işlemleriyle uyumlu olduğunu gördük. Sınırlı her dizinin yakınsak olmadığını da gördük; ama sınırlı bir dizinin terimleri arasından her zaman yakınsak bir alt dizi seçilebilir. Alt Diziler ve Cauchy Dizileri bölümünde alt dizileri, diziler için Bolzano–Weierstrass teoremini, kapalı ve kompakt kümelerin dizilerle belirlenmesini ve limiti bilinmeden yakınsaklığı sınayan Cauchy ölçütünü inceliyoruz.