12 Kısmi Türevler
Analiz 2’de bir \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık aralığında tanımlı \(f\) fonksiyonunun \(x_0 \in I\) noktasındaki türevini fark oranının limiti olarak tanımladık (bkz. Analiz 2):
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.\]
Bu limit varsa \(f\), \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve türev \(f'(x_0)\) ya da \(\dfrac{df}{dx}(x_0)\) ile gösterilir. Tanım \(\mathbb{R}^n\)’ye olduğu gibi taşınamaz. \(f : D \to \mathbb{R}\), \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) iken \(f(a + h)\) yazıldığında \(h\) artımı artık bir vektördür ve bir sayıyı bir vektöre bölmenin anlamı yoktur.
Bu engeli aşmanın iki yolu var. Birincisi artımı bir doğru üzerinde tutmaktır: \(h\) yerine sabit bir vektörün reel katını, örneğin \(h e_j\) ya da \(h u\) (\(h \in \mathbb{R}\)) almak. O zaman fark oranındaki bölme yine bir reel sayıya bölmedir ve Analiz 2’nin bütün araçları kullanılabilir. İkincisi türevi bir bölüm olarak değil, fonksiyona en iyi yaklaşan lineer dönüşüm olarak görmektir. Birinci yol kısmi ve yönlü türevleri, ikinci yol tam türevi verir.
Bu bölümde en basitiyle, kısmi türevle başlıyoruz: bir değişken dışındaki bütün değişkenleri dondurup geriye kalan tek değişkenli fonksiyonun türevini alacağız. Tanımı ve gösterimleri, hesap kuralını, parçalı tanımlı fonksiyonlarda tanımla hesabı, geometrik yorumu, kısmi türevle süreklilik arasındaki ilişkiyi, kısmi türev kurallarını, gradyan vektörünü ve vektör değerli fonksiyonların kısmi türevlerini göreceğiz.
12.1 Türevin Üç Türü
\(\mathbb{R}^n\)’de türev dendiğinde üç kavram akla gelir; bunları tek tek işlemeden önce aralarındaki ilişkiye kısaca bakalım. \(f : D \to \mathbb{R}^m\), \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) bir fonksiyon ve \(a\), \(D\)’nin bir iç noktası olsun.
| Türev | Artım | Yanıtladığı soru | Ayrıntı |
|---|---|---|---|
| Kısmi türev | \(a + h e_j\), \(h \in \mathbb{R}\) | Yalnız \(x_j\) değişirken \(f\) ne hızla değişir? | Bu bölüm |
| Yönlü türev | \(a + h u\), \(h \in \mathbb{R}\), \(u\) birim vektör | \(u\) doğrultusunda ilerlerken \(f\) ne hızla değişir? | Yönlü Türev ve Ortalama Değer Teoremi |
| Tam türev | \(a + h\), \(h \in \mathbb{R}^n\) | \(f(a + h) - f(a)\) farkına \(h\)’nin lineer bir ifadesiyle yaklaşılabilir mi? | Türevlenebilme ve Toplam Diferansiyel |
Kısmi türevde artım yalnız \(j\)-inci koordinat ekseni doğrultusundadır:
\[\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h e_j) - f(a)}{h}.\]
Yönlü türevde artım, herhangi bir \(u\) birim vektörünün (Tanım 1.10) doğrultusundadır:
\[D_u f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h u) - f(a)}{h}.\]
Tam türevde ise \(h \in \mathbb{R}^n\) serbestçe değişir ve bölme yerine bir lineer yaklaşım istenir: öyle bir \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) lineer dönüşümü aranır ki
\[\lim_{h \to 0} \frac{\|f(a + h) - f(a) - T(h)\|}{\|h\|} = 0\]
olsun. Hatırlatalım: \(T\)’nin lineer olması, her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) ve her \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) için \(T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x) + \beta T(y)\) olması demektir; \(m = 1\) iken böyle bir dönüşüme lineer fonksiyonel de denir. Uygun bir \(T\) varsa tektir ve \(Df(a)\) ile gösterilir. \(n = m = 1\) iken \(T(h) = f'(a)\,h\) olur ve tanım Analiz 2’deki türeve döner.
Üç kavram güçlerine göre sıralanır. Kısmi türev en zayıfıdır: fonksiyonun \(a\) çevresindeki davranışının yalnız \(a\)’dan geçen ve eksenlere paralel olan \(n\) doğru üzerindeki izini görür. Yönlü türev \(a\)’dan geçen bütün doğruları görür; kısmi türev, yönlü türevin \(u = e_j\) özel durumudur. Tam türev en güçlüsüdür: \(h\) hangi yoldan sıfıra giderse gitsin \(f(a + h)\) değerine lineer bir ifadeyle yaklaşır. İleride tam türevi olan bir fonksiyonun bütün yönlü türevlerinin, dolayısıyla bütün kısmi türevlerinin var olduğunu göreceğiz. Ters yönler doğru değildir; bunun ilk örneğini bu bölümde, bütün kısmi türevleri olduğu hâlde sürekli bile olmayan bir fonksiyonla göreceğiz.
12.2 Kısmi Türevin Tanımı
Kısmi türevin fikri, bir değişken dışındakileri sabit tutarak çok değişkenli fonksiyonu tek değişkenli bir fonksiyona çevirmektir.
Tanım 12.1 (Kısmi Türev) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f : D \to \mathbb{R}\) ve \(a = (a_1, \dots, a_n)\), \(D\) kümesinin bir iç noktası olsun. \(j \in \{1, \dots, n\}\) için
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h e_j) - f(a)}{h}\]
limiti bir reel sayı olarak varsa bu sayıya \(f\)’nin \(a\) noktasında \(x_j\)’ye göre kısmi türevi (\(x_j\) doğrultusundaki kısmi türevi ya da parçalı türevi) denir ve \(\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\), \(D_j f(a)\) ya da \(f_{x_j}(a)\) ile gösterilir. Burada \(h\) reel bir değişkendir ve \(e_j\), doğal tabanın \(j\)-inci vektörüdür (Tanım 1.4).
Yani artım yalnız \(j\)-inci bileşene eklenir:
\[a + h e_j = (a_1, \dots, a_{j-1}, a_j + h, a_{j+1}, \dots, a_n).\]
Açık yazılışla ve \(x_j = a_j + h\) değişken değiştirmesiyle
\[ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_j + h, \dots, a_n) - f(a)}{h} \\[1mm] &= \lim_{x_j \to a_j} \frac{f(a_1, \dots, x_j, \dots, a_n) - f(a)}{x_j - a_j} \end{aligned} \]
olur. Öbür bileşenler \(a\)’daki değerlerinde dondurulmuştur; değişen tek şey \(j\)-inci bileşendir. \(a\) noktasının iç nokta olması tanımın anlamlı olması içindir: Tanım 4.4 gereği \(B(a, r) \subseteq D\) olacak bir \(r > 0\) vardır ve \(0 < |h| < r\) için \(\|(a + h e_j) - a\| = |h|\,\|e_j\| = |h| < r\) olduğundan \(a + h e_j \in D\)’dir. Demek ki fark oranı \(0\)’ın bir delinmiş komşuluğunda tanımlıdır ve \(h \to 0\) limiti anlamlıdır.
Tanım 12.2 (Kısmi Türevlenebilir Fonksiyon ve Kısmi Türev Fonksiyonu) \(f : D \to \mathbb{R}\) ve \(a \in D^\circ\) olsun. Her \(j = 1, \dots, n\) için \(\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\) kısmi türevi varsa \(f\)’ye \(a\) noktasında kısmi türevlenebilir (parçalı türevlenebilir) denir.
\(U \subseteq D\) açık bir küme olsun. \(x_j\)’ye göre kısmi türev \(U\)’nun her noktasında varsa
\[\frac{\partial f}{\partial x_j} : U \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_j}(x)\]
fonksiyonuna \(f\)’nin \(U\) üzerinde \(x_j\)’ye göre kısmi türev fonksiyonu denir; bu fonksiyon \(D_j f\) ya da \(f_{x_j}\) ile de gösterilir. \(f\), \(U\)’nun her noktasında kısmi türevlenebilirse \(f\)’ye \(U\) üzerinde kısmi türevlenebilir denir.
Yani kısmi türevlenebilirlik, \(n\) limitin hepsinin birden var olmasıdır; kısmi türev fonksiyonu da her noktaya o noktadaki kısmi türevi karşılık getirir. \(U\)’nun açık seçilmesi, her noktasının bir iç nokta olması ve kısmi türevin her yerde tanımlanabilmesi içindir (Tanım 3.2). Kısmi türev fonksiyonu yeni bir çok değişkenli fonksiyondur; onun da kısmi türevleri sorulabilir.
İki değişkenli fonksiyonlarda değişkenler \(x, y\) ile, doğal taban \(e_1 = (1, 0)\) ve \(e_2 = (0, 1)\) ile yazılır. \((x_0, y_0)\), \(D \subseteq \mathbb{R}^2\)’nin bir iç noktası ise tanım şu iki limite dönüşür:
\[ \begin{aligned} f_x(x_0, y_0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}, \\[1mm] f_y(x_0, y_0) &= \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + k) - f(x_0, y_0)}{k}. \end{aligned} \]
Bunlar \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\) biçiminde de yazılır; \(P = (x_0, y_0)\) denirse kısaca \(f_x(P)\) ve \(f_y(P)\) yazılır. Kısmi türev fonksiyonları \(f_x\), \(f_y\) ya da \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\), \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) ile gösterilir. Fonksiyon \(z = f(x, y)\) biçiminde verilmişse \(\dfrac{\partial z}{\partial x}\) ve \(\dfrac{\partial z}{\partial y}\) yazımı da kullanılır. Üç değişkende \((x, y, z)\) ve \(f_x\), \(f_y\), \(f_z\) yazılır. \(D_j f(a)\) gösterimindeki alt indis bir sayıdır; yönlü türevdeki \(D_u f(a)\) gösteriminde ise alt indis bir vektördür ve \(D_{e_j} f(a) = D_j f(a)\) olur.
Kısmi türevin tek değişkenli bir türev olduğunu şimdi kesin olarak ifade edelim; bütün hesaplar bu gözleme dayanır.
Önerme 12.1 (Kısmi Türev Tek Değişkenli Bir Türevdir) \(f : D \to \mathbb{R}\), \(a \in D^\circ\) ve \(B(a, r) \subseteq D\) olsun. \(j \in \{1, \dots, n\}\) sabit olmak üzere, \(t \in (a_j - r, a_j + r)\) için
\[\varphi_j(t) = f(a_1, \dots, a_{j-1}, t, a_{j+1}, \dots, a_n)\]
fonksiyonunu tanımlayalım. \(\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\) kısmi türevinin var olması için gerek ve yeter koşul, \(\varphi_j\)’nin \(a_j\) noktasında türevlenebilir olmasıdır. Bu durumda
\[\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = \varphi_j'(a_j)\]
olur.
İspat
\(\varphi_j\) iyi tanımlıdır. \(|t - a_j| < r\) ise \((a_1, \dots, t, \dots, a_n) = a + (t - a_j) e_j\) noktasının \(a\)’ya uzaklığı \(|t - a_j| < r\) olduğundan bu nokta \(B(a, r) \subseteq D\) içindedir.
Fark oranları aynıdır. \(0 < |h| < r\) için \(\varphi_j(a_j + h) = f(a + h e_j)\) ve \(\varphi_j(a_j) = f(a)\) olduğundan
\[\frac{\varphi_j(a_j + h) - \varphi_j(a_j)}{h} = \frac{f(a + h e_j) - f(a)}{h}\]
olur. İki yandaki fark oranları \(0\)’ın aynı delinmiş komşuluğunda özdeş fonksiyonlardır; dolayısıyla biri \(h \to 0\) iken bir limite sahipse öbürü de aynı limite sahiptir. Sol yanın limiti, varsa, \(\varphi_j'(a_j)\)’dir (bkz. Analiz 2); sağ yanınki, varsa, \(\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\)’dır. \(\blacksquare\)
Önermenin pratikteki anlamı açıktır: \(\dfrac{\partial f}{\partial x_j}\) hesaplanırken \(x_j\) dışındaki bütün değişkenler sabit sayı gibi düşünülür ve \(x_j\)’ye göre Analiz 2’deki gibi türev alınır. Aynı hesap \(t \mapsto f(a + t e_j)\) fonksiyonunun \(0\)’daki türevi olarak da yazılabilir, çünkü bu fonksiyon \(\varphi_j\)’nin \(a_j\) kadar kaydırılmışıdır.
- Değişkeni seç. Hangi değişkene göre türev alınacağı belirlenir; öbür bütün değişkenler sabit sayı gibi düşünülür.
- Tek değişkenli kuralları uygula. Sabitlerin türevi \(0\)’dır ve sabit çarpanlar türevin dışına çıkar; toplam, çarpım, bölüm ve zincir kuralları Analiz 2’deki gibi kullanılır.
- Noktayı yerine koy. Bulunan ifadede noktanın koordinatları yerine yazılır. Bu adım, formülün noktanın bir komşuluğunda geçerli olmasını gerektirir; fonksiyon o noktada ayrı bir formülle tanımlıysa tanıma dönülür.
Örnek 12.1 (Bir Polinomun Kısmi Türevleri) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3\) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
\(x\)’e göre. \(y\) sabit sayılır. \(3xy\) teriminde \(3y\) sabit bir katsayıdır ve türevi \(3y\)’dir; \(x^3\) teriminin türevi \(3x^2\)’dir; \(y^3\) sabittir ve türevi \(0\)’dır. Dolayısıyla
\[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 3y - 3x^2.\]
\(y\)’ye göre. Bu kez \(x\) sabit sayılır: \(3xy\)’nin türevi \(3x\), \(x^3\)’ün türevi \(0\), \(y^3\)’ün türevi \(3y^2\)’dir.
\[\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 3x - 3y^2.\]
\(f(x, y) = f(y, x)\) olduğundan iki sonucun birbirinden \(x\) ile \(y\)’nin yer değiştirmesiyle elde edilmesi şaşırtıcı değildir: \(f_y(x, y) = f_x(y, x)\). \(\blacksquare\)
Örnek 12.2 (Tabanı ve Üssü Değişken Olan Fonksiyon) \(D = (0, +\infty) \times \mathbb{R}\) olmak üzere \(f : D \to \mathbb{R}\), \(f(x, y) = x^y\) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
\(D\) açıktır: \((x_0, y_0) \in D\) ise \(B\big( (x_0, y_0), x_0 \big)\) yuvarındaki her \((x, y)\) noktası için \(|x - x_0| < x_0\), yani \(x > 0\) olur. Her nokta bir iç noktadır.
\(x\)’e göre. \(y\) sabit sayılınca \(x \mapsto x^y\) bir genel kuvvet fonksiyonudur ve türevi \(y\,x^{y-1}\)’dir (bkz. Analiz 2):
\[f_x(x, y) = y\,x^{y-1}.\]
\(y\)’ye göre. \(x > 0\) sabit sayılınca \(y \mapsto x^y\) bir üstel fonksiyondur. \(x \ne 1\) ise türevi \(x^y \ln x\)’tir (bkz. Analiz 2); \(x = 1\) ise \(y \mapsto 1^y = 1\) sabittir ve türevi \(0 = 1^y \ln 1\)’dir. Her iki durumda
\[f_y(x, y) = x^y \ln x.\]
Aynı ifadenin iki değişkene göre türevleri bambaşka kurallarla bulunur: \(x\)’e göre kuvvet kuralı, \(y\)’ye göre üstel fonksiyonun kuralı. \(x \mapsto x^x\) fonksiyonunun türevinin \(x^x + x^x \ln x\) olduğunu hatırlayalım (bkz. Analiz 2); bu toplamın iki terimi, tam da \(f_x\) ve \(f_y\)’nin \((x, x)\) noktasındaki değerleridir. Bu bir rastlantı değildir; nedenini Jacobi Matrisi ve Zincir Kuralı bölümünde göreceğiz. \(\blacksquare\)
Örnek 12.3 (Bir Noktada Kısmi Türevler) \(f(x, y) = 4 - x^2 - 2y^2\) ise \(f_x(1, 1)\) ve \(f_y(1, 1)\) kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
\(y\) sabitken \(f_x(x, y) = -2x\), \(x\) sabitken \(f_y(x, y) = -4y\) olur. Bu formüller bütün \(\mathbb{R}^2\)’de geçerli olduğundan noktayı yerine koyabiliriz:
\[ \begin{aligned} f_x(1, 1) &= -2 \cdot 1 = -2, \\[1mm] f_y(1, 1) &= -4 \cdot 1 = -4. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Örnek 12.4 (Trigonometrik Terimli Bir Fonksiyon) Aşağıdaki fonksiyonun kısmi türevlerini bulunuz:
\[f(x, y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy).\]
Çözüm
\(x\)’e göre. \(y^2\) ve \(\sin y\) sabit katsayılardır. \(\cos(xy)\) teriminde iç fonksiyon \(x \mapsto xy\)’dir ve türevi \(y\)’dir; zincir kuralıyla (bkz. Analiz 2) \(\big( \cos(xy) \big)' = -y \sin(xy)\) olur. Dolayısıyla
\[f_x(x, y) = 3x^2 y^2 + 4x^3 \sin y - y \sin(xy).\]
\(y\)’ye göre. \(x^3\) ve \(x^4\) sabit katsayılardır; \(\cos(xy)\)’nin \(y\)’ye göre türevinde iç türev \(x\)’tir:
\[f_y(x, y) = 2x^3 y + x^4 \cos y - x \sin(xy).\]
\(\blacksquare\)
Örnek 12.5 (Çarpım Kuralıyla Kısmi Türev) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(f(x, y) = e^{2x} + x \sin(xy)\) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
\(x\)’e göre. \(e^{2x}\)’in türevi \(2e^{2x}\)’tir. \(x \sin(xy)\) teriminde \(x\) iki çarpanda birden geçer; çarpım kuralıyla
\[\frac{\partial}{\partial x}\big( x \sin(xy) \big) = 1 \cdot \sin(xy) + x \cdot y \cos(xy)\]
olur. Sonuç olarak
\[f_x(x, y) = 2e^{2x} + \sin(xy) + xy \cos(xy).\]
\(y\)’ye göre. \(e^{2x}\) sabittir; \(x \sin(xy)\) teriminde \(x\) sabit bir katsayıdır ve \(\sin(xy)\)’nin \(y\)’ye göre türevi \(x \cos(xy)\)’dir:
\[f_y(x, y) = x \cdot x \cos(xy) = x^2 \cos(xy).\]
\(x\)’e göre türev alırken çarpım kuralı gerekti, \(y\)’ye göre gerekmedi: hangi kuralın kullanılacağı, değişkenin ifadenin hangi parçalarında geçtiğine bağlıdır. \(\blacksquare\)
Örnek 12.6 (Üç Değişkenli Karekök) \(f(x, y, z) = \sqrt{xyz}\) fonksiyonunun kısmi türevlerini, tanım kümesinin iç noktalarında bulunuz.
Çözüm
Tanım kümesi ve iç noktalar. \(D = \{ (x, y, z) : xyz \ge 0 \}\)’dır. \(xyz > 0\) olan her nokta bir iç noktadır. Bu durumda üç bileşen de sıfırdan farklıdır; \(\varepsilon = \min\{ |x|, |y|, |z| \}\) alalım. \((u, v, w) \in B\big( (x, y, z), \varepsilon \big)\) ise \(|u - x| < |x|\) olduğundan \(u\) ile \(x\) aynı işaretlidir; aynı biçimde \(v\) ile \(y\), \(w\) ile \(z\) aynı işaretlidir ve \(uvw > 0\) olur. Öte yandan \(xyz = 0\) olan bir noktanın sıfır olan bileşenlerine küçük \(\pm \varepsilon\) değerleri verip işaretleri uygun seçerek, noktaya istenildiği kadar yakın ve \(uvw < 0\) olan bir nokta bulunur; bu noktalar iç nokta değildir. Demek ki \(D^\circ = \{ xyz > 0 \}\)’dır.
Kısmi türevler. \(xyz > 0\) iken \(\sqrt{u}\)’nun türevi \(\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\) ve iç fonksiyon \(x \mapsto xyz\)’nin \(x\)’e göre türevi \(yz\) olduğundan
\[\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{yz}{2\sqrt{xyz}}.\]
Aynı biçimde iç türevler \(xz\) ve \(xy\) olur:
\[ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{xz}{2\sqrt{xyz}}, \\[1mm] \frac{\partial f}{\partial z} &= \frac{xy}{2\sqrt{xyz}}. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Örnek 12.7 (Logaritmalı Üç Değişkenli Fonksiyon) \(f(x, y, z) = \ln\left( \dfrac{xy}{z} \right)\) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
Tanım kümesi. \(D = \left\{ (x, y, z) : z \ne 0,\ \dfrac{xy}{z} > 0 \right\}\)’dır. \(D\)’nin her noktasında üç bileşen de sıfırdan farklıdır ve Örnek 12.6 içindeki işaret gözlemi, yeterince yakın noktalarda bileşenlerin işaretinin, dolayısıyla \(\dfrac{xy}{z}\)’nin işaretinin değişmediğini gösterir. \(D\) açıktır.
Kısmi türevler. \(\ln u\)’nun türevi \(\dfrac{1}{u}\)’dur; zincir kuralıyla sonuç “iç fonksiyonun türevi bölü kendisi” olur (bkz. Analiz 2).
\[ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{y / z}{xy / z} = \frac{1}{x}, \\[1mm] \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{x / z}{xy / z} = \frac{1}{y}, \\[1mm] \frac{\partial f}{\partial z} &= \frac{-xy / z^2}{xy / z} = -\frac{1}{z}. \end{aligned} \]
Denetim. \(D\) üzerinde \(\dfrac{xy}{z} = \dfrac{|x|\,|y|}{|z|}\) olduğundan \(f(x, y, z) = \ln|x| + \ln|y| - \ln|z|\) yazılabilir. \(\ln|t|\)’nin türevi \(\dfrac{1}{t}\) olduğundan (bkz. Analiz 2) aynı sonuçlar hemen okunur. \(\blacksquare\)
12.3 Tanımla Hesap
Hesap kuralı, fonksiyon noktanın bir komşuluğunda tek bir formülle verildiğinde çalışır. Parçalı tanımlı fonksiyonlarda formülün değiştiği noktada kısmi türev ancak tanımla bulunur; tanımla hesap, kuralla bulunan sonucu denetlemenin de iyi bir yoludur.
- Artımı yerleştir. \(f(a)\) ve \(f(a + h e_j)\) yazılır; \(h \ne 0\) iken \(a + h e_j\) noktasında hangi formülün geçerli olduğuna dikkat edilir.
- Fark oranını sadeleştir. \(\dfrac{f(a + h e_j) - f(a)}{h}\) ifadesi \(h\) cinsinden sadeleştirilir.
- Limiti al. \(h \to 0\) limiti hesaplanır; mutlak değer ya da kök içeren ifadelerde sağdan ve soldan limitlere ayrı ayrı bakılır. Limit varsa kısmi türev odur; yoksa kısmi türev yoktur.
Örnek 12.8 (Tanımla Hesap ve Kuralla Denetim) \(f(x, y) = 3x^2 y + x^2 + y^3\) fonksiyonunun \((2, 1)\) noktasındaki kısmi türevlerini tanımla bulunuz.
Çözüm
\(f(2, 1) = 12 + 4 + 1 = 17\)’dir.
\(x\)’e göre (\(e_1 = (1, 0)\)). \((2, 1) + h(1, 0) = (2 + h, 1)\) ve
\[f(2 + h, 1) = 3(2 + h)^2 + (2 + h)^2 + 1 = 4(2 + h)^2 + 1 = 17 + 16h + 4h^2\]
olduğundan
\[f_x(2, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{16h + 4h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (16 + 4h) = 16.\]
\(y\)’ye göre (\(e_2 = (0, 1)\)). \((2, 1) + h(0, 1) = (2, 1 + h)\) ve
\[f(2, 1 + h) = 12(1 + h) + 4 + (1 + h)^3 = 17 + 15h + 3h^2 + h^3\]
olduğundan
\[f_y(2, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{15h + 3h^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (15 + 3h + h^2) = 15.\]
Kuralla denetim. \(f_x(x, y) = 6xy + 2x\) ve \(f_y(x, y) = 3x^2 + 3y^2\) olduğundan \(f_x(2, 1) = 12 + 4 = 16\) ve \(f_y(2, 1) = 12 + 3 = 15\) bulunur; iki yol aynı sonucu verir. \(\blacksquare\)
Örnek 12.9 (Parçalı Tanımlı Rasyonel Fonksiyon) Aşağıdaki fonksiyonun \((0, 0)\) noktasındaki kısmi türevlerini bulunuz:
\[ f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0), \\[2mm] 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases} \]
Çözüm
Orijinde fonksiyon ayrı bir değerle tanımlandığından tanıma dönmek zorundayız. \(f(0, 0) = 0\)’dır.
\(x\)’e göre. \(h \ne 0\) için \((h, 0) \ne (0, 0)\) ve \(f(h, 0) = \dfrac{h^2 \cdot 0}{h^2} = 0\) olduğundan
\[f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0.\]
\(y\)’ye göre. \(h \ne 0\) için \(f(0, h) = \dfrac{0 \cdot h}{h^2} = 0\) olduğundan aynı biçimde \(f_y(0, 0) = 0\)’dır.
Orijin dışında. \((x, y) \ne (0, 0)\) iken payda sıfırdan farklıdır ve bölüm kuralı
\[ \begin{aligned} f_x(x, y) &= \frac{2xy(x^2 + y^2) - x^2 y \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2xy^3}{(x^2 + y^2)^2}, \\[1mm] f_y(x, y) &= \frac{x^2 (x^2 + y^2) - x^2 y \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 (x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2} \end{aligned} \]
verir. Bu formüllerde \((0, 0)\) yazılırsa \(\dfrac{0}{0}\) çıkar; orijindeki değerler formülden okunamaz, yalnız tanımdan bulunur. \(\blacksquare\)
Örnek 12.10 (Mutlak Değerli Bir Fonksiyon) \(f(x, y) = |x| + |y| - |x + y|\) fonksiyonunun \((0, 0)\) noktasındaki kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
\(f(0, 0) = 0\)’dır. Mutlak değer fonksiyonu \(0\)’da türevlenebilir olmadığından (bkz. Analiz 2) terimleri ayrı ayrı türetmeye çalışmak işe yaramaz: \(|x|\) teriminin orijinde \(x\)’e göre kısmi türevi yoktur ve toplam kuralı uygulanamaz. Tanıma dönelim.
\(x\)’e göre. \(f(h, 0) = |h| + 0 - |h| = 0\) olduğundan fark oranı özdeş olarak \(0\)’dır ve \(f_x(0, 0) = 0\)’dır.
\(y\)’ye göre. \(f(0, h) = 0 + |h| - |h| = 0\) olduğundan \(f_y(0, 0) = 0\)’dır.
İki kısmi türev de vardır ve sıfırdır, oysa \(f\) özdeş olarak sıfır değildir. \(x\) ile \(y\) aynı işaretliyse \(|x + y| = |x| + |y|\) ve \(f(x, y) = 0\) olur. \(x\) ile \(y\) zıt işaretliyse, örneğin \(x > 0 > y\) ise, \(x + y \ge 0\) durumunda \(f(x, y) = -2y\), \(x + y < 0\) durumunda \(f(x, y) = 2x\) olur; yani
\[f(x, y) = 2 \min\{ |x|, |y| \} \qquad (xy < 0).\]
Örneğin \(y = -x\) doğrusu üzerinde \(f(t, -t) = 2|t|\)’dir ve fonksiyonun orada bir kırığı vardır. Kısmi türevler bu kırığı görmez, çünkü yalnız iki koordinat ekseni üzerindeki değerlere bakarlar ve eksenlerde \(f\) sıfırdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 12.11 (Kök ve Mutlak Değer) \(f(x, y) = \sqrt{|xy|}\) fonksiyonunun \((0, 0)\) noktasındaki kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
\(f(0, 0) = 0\)’dır. \(h \ne 0\) için \(f(h, 0) = \sqrt{|h \cdot 0|} = 0\) ve \(f(0, h) = 0\) olduğundan iki fark oranı da özdeş olarak \(0\)’dır. Dolayısıyla \(f_x(0, 0) = 0\) ve \(f_y(0, 0) = 0\)’dır.
Burada da kısmi türevler fonksiyonun yalnız eksenler üzerindeki değerlerini görür. Köşegen üzerinde ise \(f(t, t) = \sqrt{t^2} = |t|\)’dir; fonksiyonun grafiği orijinden geçen bu doğru boyunca sivri bir kırık yapar. Kısmi türevlerin var olup sıfır çıkması, fonksiyonun orijin çevresinde “düzgün” olduğunu söylemez. \(\blacksquare\)
12.4 Geometrik Yorum
İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri, grafiği üzerinde çizilen iki eğrinin eğimleridir. \(f : D \to \mathbb{R}\), \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) fonksiyonunun grafiği \(\mathbb{R}^3\)’te \(z = f(x, y)\) denklemiyle verilen \(S\) yüzeyidir (Tanım 8.5).
Önerme 12.2 (Kısmi Türevlerin Geometrik Anlamı) \(f : D \to \mathbb{R}\), \((x_0, y_0) \in D^\circ\), \(z_0 = f(x_0, y_0)\) ve \(P = (x_0, y_0, z_0)\) olsun; \(P\), \(f\)’nin grafiği olan \(S\) yüzeyinin bir noktasıdır.
- \(f_x(x_0, y_0)\) varsa \(y = y_0\) düşey düzlemi \(S\)’yi \(P\) yakınında, bu düzlemde \(x \mapsto f(x, y_0)\) fonksiyonunun grafiği olan bir \(C_1\) eğrisi boyunca keser; \(C_1\)’in \(P\)’deki teğetinin eğimi \(f_x(x_0, y_0)\)’dır. Bu teğet doğru \[T_1 : \quad z - z_0 = f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0), \quad y = y_0\] olur.
- \(f_y(x_0, y_0)\) varsa \(x = x_0\) düşey düzlemi \(S\)’yi, bu düzlemde \(y \mapsto f(x_0, y)\) fonksiyonunun grafiği olan bir \(C_2\) eğrisi boyunca keser; \(C_2\)’nin \(P\)’deki teğetinin eğimi \(f_y(x_0, y_0)\)’dır ve teğet doğru \[T_2 : \quad z - z_0 = f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0), \quad x = x_0\] olur.
İspat
\(B\big( (x_0, y_0), r \big) \subseteq D\) olsun ve \(|x - x_0| < r\) için \(g(x) = f(x, y_0)\) diyelim.
Kesit eğrisi. \(y = y_0\) düzleminin noktaları \((x, y_0, z)\) biçimindedir. Böyle bir nokta \(S\) üzerindeyse \(z = f(x, y_0) = g(x)\) olur. Demek ki kesişimin \(P\) yakınındaki parçası
\[C_1 = \{ (x, y_0, g(x)) : |x - x_0| < r \}\]
kümesidir. \(y = y_0\) düzleminde \((x, z)\) koordinatları kullanılırsa \(C_1\), \(g\)’nin grafiğidir.
Teğet. Önerme 12.1 gereği \(g\), \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve \(g'(x_0) = f_x(x_0, y_0)\)’dır. \(g\)’nin grafiğinin \((x_0, g(x_0)) = (x_0, z_0)\) noktasındaki teğet doğrusu \(z - z_0 = g'(x_0)(x - x_0)\) doğrusudur (bkz. Analiz 2). Bu doğru \(y = y_0\) düzleminde yattığından uzaydaki denklemi, \(y = y_0\) koşulunun eklenmesiyle 1’deki \(T_1\) olur.
İkinci kesit. \(G(y) = f(x_0, y)\) alınarak aynı akıl yürütme \(x = x_0\) düzlemine uygulanır: \(C_2\), \(G\)’nin grafiğidir, \(G'(y_0) = f_y(x_0, y_0)\)’dır ve teğet doğru \(T_2\)’dir.
\(S\) yüzeyinin \(P\) noktasındaki iki teğeti, sırasıyla \((1, 0, f_x(x_0, y_0))\) ve \((0, 1, f_y(x_0, y_0))\) doğrultu vektörleriyle \(P\)’den geçen doğrulardır. \(\blacksquare\)
Kısmi türevler değişim hızı olarak da okunur. \(z = f(x, y)\) yazılırsa \(\dfrac{\partial z}{\partial x}\), \(y\) sabitken \(z\)’nin \(x\)’e göre değişim hızıdır; \(\dfrac{\partial z}{\partial y}\) de \(x\) sabitken \(z\)’nin \(y\)’ye göre değişim hızıdır. Örneğin Örnek 12.3 fonksiyonunda \(f_x(1, 1) = -2\) olması, \((1, 1)\) noktasından \(x\) ekseni doğrultusunda küçük bir \(\Delta x\) kadar ilerlendiğinde \(f\)’nin yaklaşık \(2\,\Delta x\) kadar azaldığını söyler. \(T_1\) ve \(T_2\) doğrularının belirlediği düzlem, Türevlenebilme ve Toplam Diferansiyel bölümünde teğet düzlem adıyla karşımıza çıkacak.
Örnek 12.12 (Paraboloidin Kesitlerine Teğetler) \(z = f(x, y) = 4 - x^2 - 2y^2\) paraboloidinin \(y = 1\) ve \(x = 1\) düzlemleriyle kesit eğrilerini ve bu eğrilerin \(P = (1, 1, 1)\) noktasındaki teğet doğrularını bulunuz.
Çözüm
\(f(1, 1) = 4 - 1 - 2 = 1\) olduğundan \(P\) paraboloidin üzerindedir. Kısmi türevleri Örnek 12.3 içinde bulmuştuk: \(f_x(1, 1) = -2\), \(f_y(1, 1) = -4\).
\(y = 1\) kesiti. \(y = 1\) yazılırsa \(z = 4 - x^2 - 2 = 2 - x^2\) olur; kesit eğrisi
\[C_1 : \quad z = 2 - x^2, \quad y = 1\]
parabolüdür. Parametrik olarak \(C_1\), \(t \mapsto (t, 1, 2 - t^2)\) eğrisidir. \(P\)’deki teğetin eğimi \(f_x(1, 1) = -2\)’dir; gerçekten \((2 - x^2)' = -2x\) ifadesi \(x = 1\)’de \(-2\) olur. Önerme 12.2 gereği
\[T_1 : \quad z - 1 = -2(x - 1), \quad y = 1,\]
yani \(z = -2x + 3\), \(y = 1\) doğrusudur. Parametrik olarak \(T_1\), \(t \mapsto (1 + t, 1, 1 - 2t)\) doğrusudur.
\(x = 1\) kesiti. \(x = 1\) yazılırsa \(z = 4 - 1 - 2y^2 = 3 - 2y^2\) olur; kesit eğrisi
\[C_2 : \quad z = 3 - 2y^2, \quad x = 1\]
parabolüdür. \(P\)’deki teğetin eğimi \(f_y(1, 1) = -4\)’tür ve
\[T_2 : \quad z - 1 = -4(y - 1), \quad x = 1,\]
yani \(z = -4y + 5\), \(x = 1\) doğrusudur.
\(T_2\), \(T_1\)’den daha diktir: \(P\)’den \(y\) doğrultusunda ilerlerken yükseklik, \(x\) doğrultusunda ilerlerken olduğunun iki katı hızla azalır. \(\blacksquare\)
12.5 Kısmi Türev ve Süreklilik
Tek değişkenli fonksiyonlarda bir noktada türevlenebilen fonksiyon o noktada süreklidir (bkz. Analiz 2). Kısmi türev bu güvenceyi yalnız eksenlere paralel doğrular üzerinde verir.
Sonuç 12.1 (Kısmi Türev ve Eksen Doğrultusunda Süreklilik) \(f : D \to \mathbb{R}\), \(a \in D^\circ\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\) var olsun. O zaman
\[\lim_{t \to 0} f(a + t e_j) = f(a)\]
olur.
İspat
\(B(a, r) \subseteq D\) olsun. Önerme 12.1 gereği \(\varphi_j(s) = f(a_1, \dots, s, \dots, a_n)\) fonksiyonu \(a_j\) noktasında türevlenebilirdir; tek değişkenli türevlenebilir fonksiyon sürekli olduğundan \(\varphi_j\), \(a_j\)’de süreklidir. \(\varphi_j(a_j + t) = f(a + t e_j)\) olduğundan bu süreklilik, istenen \(\lim_{t \to 0} f(a + t e_j) = f(a)\) eşitliğinin ta kendisidir. \(\blacksquare\)
Yani \(x_j\)’ye göre kısmi türev, \(f\)’yi yalnız \(a\)’dan geçen ve \(j\)-inci eksene paralel olan doğru üzerinde sürekli kılar. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) eşitliği ise \(a\)’ya her yoldan yaklaşıldığında aynı davranışı ister (Tanım 8.7, Tanım 10.1). Bütün kısmi türevlerin var olması bile yalnız \(n\) doğruyu denetler; aşağıdaki örnek, bunun sürekliliğe yetmediğini gösterir.
Örnek 12.13 (Kısmi Türevleri Olan Süreksiz Fonksiyon) Aşağıdaki fonksiyonun \((0, 0)\) noktasında iki kısmi türevinin de var olduğunu, ama fonksiyonun bu noktada sürekli olmadığını gösteriniz:
\[ f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0), \\[2mm] 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases} \]
Çözüm
Kısmi türevler. \(h \ne 0\) için \(f(h, 0) = \dfrac{h \cdot 0}{h^2} = 0\) ve \(f(0, h) = 0\)’dır. Dolayısıyla
\[ \begin{aligned} f_x(0, 0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0, \\[1mm] f_y(0, 0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(0, h) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 \end{aligned} \]
olur; \(f\), orijinde kısmi türevlenebilirdir.
Süreksizlik. Orijine iki farklı yoldan yaklaşalım. \(x\) ekseni üzerinde, \(t \ne 0\) için \(f(t, 0) = 0\) olduğundan bu yol boyunca limit \(0\)’dır. \(y = x\) doğrusu üzerinde, \(t \ne 0\) için
\[f(t, t) = \frac{t^2}{t^2 + t^2} = \frac{1}{2}\]
olduğundan bu yol boyunca limit \(\dfrac{1}{2}\)’dir. İki yol boyunca limitler farklı olduğundan Sonuç 9.1 gereği \(\displaystyle\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)\) limiti yoktur. Limit olmadığından \(f\), orijinde sürekli değildir (Tanım 10.1).
Neden? Kutupsal koordinatlarla \(x = r \cos\theta\), \(y = r \sin\theta\) (\(r > 0\)) yazılırsa
\[f(r \cos\theta, r \sin\theta) = \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta}{r^2} = \frac{\sin 2\theta}{2}\]
olur. \(f\), orijinden çıkan her ışın üzerinde sabittir ve orijinin her komşuluğunda \(\left[ -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right]\) aralığındaki bütün değerleri alır. Kısmi türevler yalnız \(\theta = 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}\) ışınlarını, yani eksenleri görür; \(f\) ise tam o ışınlarda sıfırdır.
\(\blacksquare\)
Tek değişkende türevin sürekliliği gerektirmesinin nedeni, \(x_0\)’a yaklaşmanın yalnız iki yolu (sağdan ve soldan) olması ve fark oranının ikisini de denetlemesidir. \(\mathbb{R}^2\)’de ise orijine sonsuz çok doğrultudan ve eğriden yaklaşılabilir; kısmi türevler bunlardan yalnız dördünü denetler. Ters yön de doğru değildir: sürekli bir fonksiyonun kısmi türevleri olmayabilir.
Örnek 12.14 (Sürekli Ama Kısmi Türevi Olmayan Fonksiyon) \(f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}^2\)’de sürekli olduğunu, ama \((0, 0)\) noktasında kısmi türevlerinin olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Süreklilik. \(f(x, y) = \|(x, y)\|\), Öklid normudur ve norm süreklidir (Sonuç 10.2).
Kısmi türevler. \(h \ne 0\) için \(f(h, 0) - f(0, 0) = \sqrt{h^2} = |h|\) olduğundan
\[\frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \frac{|h|}{h} = \begin{cases} 1, & h > 0, \\ -1, & h < 0 \end{cases}\]
olur. Sağdan limit \(1\), soldan limit \(-1\) olduğundan \(h \to 0\) limiti yoktur; \(f_x(0, 0)\) yoktur. \(f(0, h) = |h|\) olduğundan aynı nedenle \(f_y(0, 0)\) da yoktur.
Grafik, tepesi orijinde olan \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) konisidir. \(y = 0\) düzlemiyle kesiti \(z = |x|\) eğrisidir ve orijinde köşe yapar; köşede teğet olmadığından eğim de yoktur. \(\blacksquare\)
Demek ki bir noktada kısmi türevlerin var olması ile sürekliliğin arasında iki yönde de gerektirme yoktur. Tek değişkenli türevin çok değişkenli asıl karşılığı tam türevdir: Türevlenebilme ve Toplam Diferansiyel bölümünde tam türevi olan fonksiyonun sürekli olduğunu ve kısmi türevleri bir komşulukta var ve sürekli olan fonksiyonun tam türevinin bulunduğunu göreceğiz.
12.6 Kısmi Türev Kuralları
Önerme 12.1 sayesinde tek değişkenli türev kuralları kısmi türevlere olduğu gibi geçer.
Teorem 12.1 (Kısmi Türevin Cebirsel Kuralları) \(f, g : D \to \mathbb{R}\), \(a \in D^\circ\) ve \(j \in \{1, \dots, n\}\) olsun. \(\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\) ve \(\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(a)\) kısmi türevleri var olsun. O zaman:
- Toplam ve fark. \(f \pm g\) fonksiyonunun \(x_j\)’ye göre kısmi türevi \(a\)’da vardır ve \[\frac{\partial (f \pm g)}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) \pm \frac{\partial g}{\partial x_j}(a).\]
- Sabitle çarpım. Her \(c \in \mathbb{R}\) için \[\frac{\partial (cf)}{\partial x_j}(a) = c\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(a).\]
- Çarpım. \(fg\) fonksiyonunun \(x_j\)’ye göre kısmi türevi \(a\)’da vardır ve \[\frac{\partial (fg)}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\, g(a) + f(a)\, \frac{\partial g}{\partial x_j}(a).\]
- Bölüm. \(D\)’nin her noktasında \(g \ne 0\) ise \(\dfrac{f}{g}\) fonksiyonunun \(x_j\)’ye göre kısmi türevi \(a\)’da vardır ve \[\frac{\partial}{\partial x_j}\left( \frac{f}{g} \right)(a) = \frac{\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(a)\, g(a) - f(a)\, \dfrac{\partial g}{\partial x_j}(a)}{g(a)^2}.\]
İspat
\(B(a, r) \subseteq D\) olsun ve \(t \in (a_j - r, a_j + r)\) için
\[ \begin{aligned} \varphi(t) &= f(a_1, \dots, t, \dots, a_n), \\[1mm] \psi(t) &= g(a_1, \dots, t, \dots, a_n) \end{aligned} \]
diyelim (\(t\), \(j\)-inci bileşendedir). Önerme 12.1 gereği \(\varphi\) ve \(\psi\), \(a_j\)’de türevlenebilirdir ve
\[ \begin{aligned} \varphi'(a_j) &= \frac{\partial f}{\partial x_j}(a), \\[1mm] \psi'(a_j) &= \frac{\partial g}{\partial x_j}(a) \end{aligned} \]
olur. \(f \pm g\), \(cf\), \(fg\) ve \(f/g\) fonksiyonlarının aynı doğru üzerindeki kısıtlanışları sırasıyla \(\varphi \pm \psi\), \(c\varphi\), \(\varphi\psi\) ve \(\varphi/\psi\) fonksiyonlarıdır; bölüm durumunda \(\psi\) hiç sıfır olmaz, çünkü \(g\) hiçbir yerde sıfır değildir. Tek değişkenli türevin aritmetiği (bkz. Analiz 2) bu dört fonksiyonun \(a_j\)’de türevlenebilir olduğunu ve örneğin
\[(\varphi\psi)'(a_j) = \varphi'(a_j)\,\psi(a_j) + \varphi(a_j)\,\psi'(a_j)\]
olduğunu söyler. \(f \pm g\), \(cf\), \(fg\) ve \(f/g\) fonksiyonları \(D\) üzerinde tanımlıdır ve \(a\) onların da iç noktasıdır; Önerme 12.1 bu kez ters yönde uygulanırsa kısmi türevlerin var olduğu ve tek değişkenli türevlere eşit olduğu çıkar. \(\varphi(a_j) = f(a)\) ve \(\psi(a_j) = g(a)\) yazılınca dört formül elde edilir. \(\blacksquare\)
Bölüm kuralındaki “\(D\)’nin her noktasında \(g \ne 0\)” varsayımı, \(f/g\)’nin \(a\)’nın bir komşuluğunda tanımlı olmasını güvenceye alır. Yalnız \(g(a) \ne 0\) bilmek bunun için yetmez: kısmi türevleri olan bir fonksiyon \(a\)’da sürekli olmak zorunda olmadığından (Örnek 12.13) \(g\), \(a\)’ya çok yakın noktalarda sıfır olabilir. Kısmi türev yalnız noktanın bir komşuluğundaki değerlere bağlı olduğundan, kuralı \(D\) yerine \(a\)’yı içeren ve \(g\)’nin sıfırlanmadığı açık bir kümede uygulamak da yeter.
Örnek 12.15 (Bölüm Kuralıyla Kısmi Türev Fonksiyonları) Örnek 12.13 içindeki \(f\) fonksiyonunun \(f_x\) ve \(f_y\) kısmi türev fonksiyonlarını bütün \(\mathbb{R}^2\) üzerinde yazınız.
Çözüm
Orijin dışında. \(U = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\) açıktır, çünkü tek noktalı küme kapalıdır (Sonuç 3.2). \(U\) üzerinde \(f = \dfrac{p}{q}\), \(p(x, y) = xy\), \(q(x, y) = x^2 + y^2 \ne 0\)’dır. \(p_x = y\), \(q_x = 2x\) olduğundan Teorem 12.1 gereği
\[f_x(x, y) = \frac{y(x^2 + y^2) - xy \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^3 - x^2 y}{(x^2 + y^2)^2}\]
olur. \(p_y = x\), \(q_y = 2y\) ile aynı biçimde
\[f_y(x, y) = \frac{x(x^2 + y^2) - xy \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^3 - x y^2}{(x^2 + y^2)^2}.\]
Orijinde. Örnek 12.13 içinde tanımla \(f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0\) bulduk.
Sonuç.
\[ f_x(x, y) = \begin{cases} \dfrac{y^3 - x^2 y}{(x^2 + y^2)^2}, & (x, y) \ne (0, 0), \\[2mm] 0, & (x, y) = (0, 0), \end{cases} \]
ve \(f_y\) de aynı biçimde, üst satırda \(\dfrac{x^3 - x y^2}{(x^2 + y^2)^2}\) ile yazılır. Kısmi türev fonksiyonlarının kendileri orijinde çok kötü davranır: \(y \ne 0\) için \(f_x(0, y) = \dfrac{y^3}{y^4} = \dfrac{1}{y}\)’dir ve \(y \to 0\) iken sınırsız büyür. \(\blacksquare\)
Tek değişkenli ortalama değer teoremi ve analizin temel teoremleri de bir değişkene göre kısmi türevler için hemen yazılabilir. Aşağıda iki değişkenli fonksiyonlar ve \(x\) değişkeni için ifade ediyoruz; öbür değişkenler ve \(\mathbb{R}^n\) için ifade ve ispat aynıdır.
Önerme 12.3 (Kısmi Türev için Ortalama Değer Teoremi) \(U \subseteq \mathbb{R}^2\) açık, \(a < b\) ve \(y_0\) reel sayılar ve \(\{ (x, y_0) : a \le x \le b \} \subseteq U\) olsun. \(f : U \to \mathbb{R}\) için \(x \mapsto f(x, y_0)\) fonksiyonu \([a, b]\) üzerinde sürekli ve her \(x \in (a, b)\) için \(f_x(x, y_0)\) var olsun. O zaman öyle bir \(c \in (a, b)\) vardır ki
\[f(b, y_0) - f(a, y_0) = (b - a)\, f_x(c, y_0)\]
olur.
İspat
\(g(x) = f(x, y_0)\), \(x \in [a, b]\) diyelim. Varsayım gereği \(g\), \([a, b]\) üzerinde süreklidir. \(x \in (a, b)\) ise \((x, y_0)\), açık \(U\) kümesinin bir iç noktasıdır ve Önerme 12.1 gereği \(g\), \(x\)’te türevlenebilirdir ve \(g'(x) = f_x(x, y_0)\)’dır. Lagrange ortalama değer teoremi (bkz. Analiz 2) \(g(b) - g(a) = (b - a)\, g'(c)\) olacak bir \(c \in (a, b)\) verir; bu, istenen eşitliktir. \(\blacksquare\)
Buradaki \(c\) noktası \(a\) ve \(b\)’ye olduğu kadar \(y_0\)’a da bağlıdır. Sonuç 12.1 gereği \(x \mapsto f(x, y_0)\) fonksiyonu \((a, b)\)’nin her noktasında zaten süreklidir; süreklilik varsayımı yalnız \(a\) ve \(b\) uç noktaları için bir şey söyler.
Önerme 12.4 (Kısmi Türev ve İntegral) \(a < b\) reel sayılar olsun.
- \(J \subseteq \mathbb{R}\) bir açık aralık, \(f : [a, b] \times J \to \mathbb{R}\) ve her \(y \in J\) için \(t \mapsto f(t, y)\) fonksiyonu \([a, b]\) üzerinde sürekli olsun. \((x, y) \in [a, b] \times J\) için \[F(x, y) = \int_a^x f(t, y)\,dt\] ile tanımlanan \(F\) fonksiyonunun her \((x, y) \in (a, b) \times J\) noktasında \(x\)’e göre kısmi türevi vardır ve \(F_x(x, y) = f(x, y)\) olur.
- \(U \subseteq \mathbb{R}^2\) açık, \(y_0 \in \mathbb{R}\) ve \(\{ (x, y_0) : a \le x \le b \} \subseteq U\) olsun. \(f : U \to \mathbb{R}\) için her \(x \in [a, b]\) noktasında \(f_x(x, y_0)\) var ve \(x \mapsto f_x(x, y_0)\) fonksiyonu \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir olsun. O zaman \[\int_a^b f_x(x, y_0)\,dx = f(b, y_0) - f(a, y_0)\] olur.
İspat
1. \((a, b) \times J\) kümesi açıktır ve \(F\)’nin tanım kümesinin içindedir; her noktası bir iç noktadır. \(y \in J\) sabit olsun ve \(\varphi(x) = F(x, y) = \displaystyle\int_a^x f(t, y)\,dt\) diyelim. \(\varphi\), sürekli \(t \mapsto f(t, y)\) fonksiyonunun integral fonksiyonudur; ikinci temel teorem (bkz. Analiz 2) gereği her \(x \in (a, b)\) için \(\varphi'(x) = f(x, y)\)’dir. Önerme 12.1 gereği \(F_x(x, y) = \varphi'(x) = f(x, y)\) olur.
2. \(g(x) = f(x, y_0)\) diyelim. Her \(x \in [a, b]\) için \((x, y_0)\), açık \(U\)’nun bir iç noktası olduğundan \(g\), \(x\)’in bir komşuluğunda tanımlıdır ve Önerme 12.1 gereği \(x\)’te türevlenebilirdir; \(g'(x) = f_x(x, y_0)\)’dır. Demek ki \(g\), \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir \(g'\) fonksiyonunun bir ilkelidir ve Newton–Leibniz formülü (bkz. Analiz 2)
\[\int_a^b g'(x)\,dx = g(b) - g(a)\]
verir. Bu, istenen eşitliktir. \(\blacksquare\)
Örnek 12.16 (İntegralle Tanımlı Fonksiyonun Kısmi Türevi) \(b > 0\) olmak üzere \((x, y) \in [0, b] \times \mathbb{R}\) için
\[F(x, y) = \int_0^x \frac{dt}{1 + y^2 t^2}\]
olsun. \(0 < x < b\) için \(F_x(x, y)\)’yi bulunuz ve sonucu \(F\)’yi açıkça hesaplayarak denetleyiniz.
Çözüm
Önermeyle. \(f(t, y) = \dfrac{1}{1 + y^2 t^2}\) fonksiyonunun paydası \(1\)’den küçük olmadığından her \(y\) için \(t \mapsto f(t, y)\) süreklidir. \(J = \mathbb{R}\) açık aralığıyla Önerme 12.4 gereği
\[F_x(x, y) = \frac{1}{1 + x^2 y^2}\]
olur.
Denetim. \(y \ne 0\) ise \(u = yt\) değişken değiştirmesiyle (\(du = y\,dt\))
\[F(x, y) = \frac{1}{y} \int_0^{xy} \frac{du}{1 + u^2} = \frac{\arctan(xy)}{y}\]
bulunur. \(y\) sabitken \(x\)’e göre türev alınırsa \(\dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{y}{1 + x^2 y^2} = \dfrac{1}{1 + x^2 y^2}\) çıkar. \(y = 0\) ise \(F(x, 0) = \displaystyle\int_0^x dt = x\) ve \(F_x(x, 0) = 1\)’dir; bu da formülün \(y = 0\) için verdiği değerdir. \(\blacksquare\)
12.7 Gradyan
Bir noktadaki \(n\) kısmi türevi tek bir vektörde toplamak, ileride hem yönlü türevi hem de ekstremum koşullarını kısaca yazmamızı sağlayacak.
Tanım 12.3 (Gradyan) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f : D \to \mathbb{R}\), \(a \in D^\circ\) ve \(f\), \(a\) noktasında kısmi türevlenebilir olsun.
\[\nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)\]
vektörüne \(f\)’nin \(a\) noktasındaki gradyan vektörü ya da kısaca gradyanı denir; \((\operatorname{grad} f)(a)\) ile de gösterilir. \(f\), açık bir \(U\) kümesi üzerinde kısmi türevlenebilirse \(x \mapsto \nabla f(x)\) fonksiyonu \(\nabla f : U \to \mathbb{R}^n\) ile gösterilir.
Yani gradyan, \(f\)’nin \(a\)’daki \(n\) eksen doğrultusundaki değişim hızlarını bir araya toplayan, \(\mathbb{R}^n\)’nin bir elemanıdır. İki değişkende \(\nabla f = (f_x, f_y)\), üç değişkende \(\nabla f = (f_x, f_y, f_z)\) olur. \(\nabla\) simgesi “nabla” diye okunur. Gradyanı \(1 \times n\) tipinde bir satır matrisi olarak düşünmek de ileride işe yarar. Gradyanın asıl anlamı sonraki bölümlerde ortaya çıkacak: türevlenebilir bir fonksiyonun yönlü türevleri gradyanla iç çarpım olarak hesaplanır ve gradyan fonksiyonun en hızlı arttığı doğrultuyu gösterir (Yönlü Türev ve Ortalama Değer Teoremi); bir iç noktadaki yerel ekstremumda gradyan sıfır vektörüdür (Yerel Ekstremumlar).
Örnek 12.17 (Gradyan ve Bir Noktadaki Değeri) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(f(x, y) = 3xy - x^2 - y^2\) fonksiyonunun \((x, y)\) noktasındaki ve \((-1, 1)\) noktasındaki gradyanını bulunuz.
Çözüm
\(f_x(x, y) = 3y - 2x\) ve \(f_y(x, y) = 3x - 2y\) olduğundan
\[\nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (3y - 2x,\ 3x - 2y)\]
olur. \((-1, 1)\) noktasında \(3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 5\) ve \(3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -5\) bulunur:
\[\nabla f(-1, 1) = (5, -5).\]
\(\blacksquare\)
Örnek 12.18 (Üstel ve Trigonometrik Terimli Fonksiyonun Gradyanı) \(f(x, y) = e^{2x} + x \sin(xy)\) fonksiyonunun gradyanını ve \(\nabla f(1, \pi)\) vektörünü bulunuz.
Çözüm
Kısmi türevleri Örnek 12.5 içinde bulmuştuk. Dolayısıyla
\[\nabla f(x, y) = \big( 2e^{2x} + \sin(xy) + xy \cos(xy),\ x^2 \cos(xy) \big)\]
olur. \((1, \pi)\) noktasında \(\sin \pi = 0\) ve \(\cos \pi = -1\)’dir:
\[ \begin{aligned} f_x(1, \pi) &= 2e^2 + 0 + \pi \cdot (-1) = 2e^2 - \pi, \\[1mm] f_y(1, \pi) &= 1 \cdot (-1) = -1. \end{aligned} \]
Sonuç olarak \(\nabla f(1, \pi) = (2e^2 - \pi, -1)\)’dir. \(\blacksquare\)
Örnek 12.19 (Üç Değişkenli Fonksiyonun Gradyanı) \(f(x, y, z) = x^3 y - x y^3 - y z^3\) fonksiyonunun \((1, 1, 1)\) noktasındaki gradyanını bulunuz.
Çözüm
Her seferinde öbür iki değişkeni sabit tutarak
\[ \begin{aligned} f_x(x, y, z) &= 3x^2 y - y^3, \\[1mm] f_y(x, y, z) &= x^3 - 3xy^2 - z^3, \\[1mm] f_z(x, y, z) &= -3yz^2 \end{aligned} \]
bulunur. \((1, 1, 1)\) noktasında \(f_x = 3 - 1 = 2\), \(f_y = 1 - 3 - 1 = -3\) ve \(f_z = -3\) olur. Dolayısıyla
\[\nabla f(1, 1, 1) = (2, -3, -3).\]
\(\blacksquare\)
12.8 Vektör Değerli Fonksiyonların Kısmi Türevleri
Değerleri \(\mathbb{R}^m\)’de olan bir fonksiyonun kısmi türevi aynı fark oranıyla tanımlanır; tek fark, payın artık bir vektör olmasıdır.
Tanım 12.4 (Vektör Değerli Fonksiyonun Kısmi Türevi) \(\varnothing \ne D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(F : D \to \mathbb{R}^m\), \(F = (f_1, \dots, f_m)\) ve \(a \in D^\circ\) olsun. \(j \in \{1, \dots, n\}\) için
\[\frac{\partial F}{\partial x_j}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{F(a + h e_j) - F(a)}{h}\]
limiti \(\mathbb{R}^m\)’de varsa bu vektöre \(F\)’nin \(a\) noktasında \(x_j\)’ye göre kısmi türevi denir; \(F_{x_j}(a)\) ya da \(D_j F(a)\) ile de gösterilir. Her \(j = 1, \dots, n\) için \(\dfrac{\partial F}{\partial x_j}(a)\) varsa \(F\)’ye \(a\)’da kısmi türevlenebilir denir.
Yani pay, \(\mathbb{R}^m\)’de iki vektörün farkıdır ve \(\dfrac{1}{h}\) reel sayısıyla çarpılır; sonuç, \(0\)’ın delinmiş bir komşuluğunda tanımlı ve değerleri \(\mathbb{R}^m\)’de olan bir fonksiyondur. Limit, Tanım 8.7 anlamında, tanım kümesi \(\mathbb{R}\)’nin bir alt kümesi olan bir fonksiyonun limitidir. Açık yazılışla
\[\frac{\partial F}{\partial x_j}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{F(a_1, \dots, a_j + h, \dots, a_n) - F(a)}{h}\]
olur. \(m = 1\) iken tanım, Tanım 12.1 tanımının kendisidir. \(n = 1\) iken \(F\), bir aralıkta tanımlı ve değerleri \(\mathbb{R}^m\)’de olan bir eğridir ve tek kısmi türev, eğrinin hız vektörü \(F'(t)\)’dir.
Teorem 12.2 (Kısmi Türevin Bileşenlerle Hesabı) \(F : D \to \mathbb{R}^m\), \(F = (f_1, \dots, f_m)\), \(a \in D^\circ\) ve \(j \in \{1, \dots, n\}\) olsun. \(\dfrac{\partial F}{\partial x_j}(a)\) kısmi türevinin var olması için gerek ve yeter koşul, her \(i = 1, \dots, m\) için \(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\) kısmi türevinin var olmasıdır. Bu durumda
\[\frac{\partial F}{\partial x_j}(a) = \left( \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a), \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a), \dots, \frac{\partial f_m}{\partial x_j}(a) \right)\]
olur.
İspat
\(B(a, r) \subseteq D\) olsun ve \(0 < |h| < r\) için
\[q(h) = \frac{F(a + h e_j) - F(a)}{h}\]
diyelim. Vektörlerin farkı ve bir vektörün bir sayıyla çarpımı bileşen bileşen yapıldığından (Tanım 1.3) \(q(h)\)’nin \(i\)-inci bileşeni
\[q_i(h) = \frac{f_i(a + h e_j) - f_i(a)}{h}\]
olur. \(q\), \((-r, r) \setminus \{0\}\) üzerinde tanımlı, değerleri \(\mathbb{R}^m\)’de olan bir fonksiyondur ve \(0\) bu kümenin bir yığılma noktasıdır. Bileşenlerle limit teoremi (Teorem 8.6) gereği \(\lim_{h \to 0} q(h)\) limitinin var olması için gerek ve yeter koşul her \(\lim_{h \to 0} q_i(h)\) limitinin var olmasıdır ve bu durumda
\[\lim_{h \to 0} q(h) = \Big( \lim_{h \to 0} q_1(h), \dots, \lim_{h \to 0} q_m(h) \Big)\]
olur. Tanım gereği \(\lim_{h \to 0} q(h) = \dfrac{\partial F}{\partial x_j}(a)\) ve \(\lim_{h \to 0} q_i(h) = \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\)’dır. \(\blacksquare\)
Yani vektör değerli bir fonksiyonun kısmi türevi bileşen bileşen alınır; \(F\)’nin \(a\)’da kısmi türevlenebilir olması, her \(f_i\) bileşeninin \(a\)’da kısmi türevlenebilir olması demektir. Bir noktadaki bütün kısmi türevler \(n\) tane vektördür: \(\dfrac{\partial F}{\partial x_1}(a), \dots, \dfrac{\partial F}{\partial x_n}(a) \in \mathbb{R}^m\). Bu vektörler sütun olarak yan yana dizilince \(i\)-inci satırı \(\nabla f_i(a)\) olan \(m \times n\) tipinde bir matris oluşur; bu matris Jacobi Matrisi ve Zincir Kuralı bölümünün konusudur.
Örnek 12.20 (İki Bileşenli Fonksiyonun Kısmi Türevleri) \(F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\),
\[F(x, y) = \big( 3xy - x^3 - y^3,\ e^{2x} + x \sin(xy) \big)\]
fonksiyonunun kısmi türevlerini ve \((1, 0)\) noktasındaki değerlerini bulunuz.
Çözüm
Bileşenler \(f_1(x, y) = 3xy - x^3 - y^3\) ve \(f_2(x, y) = e^{2x} + x \sin(xy)\)’dir; kısmi türevlerini Örnek 12.1 ve Örnek 12.5 içinde bulmuştuk. Teorem 12.2 gereği
\[ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x} &= \left( \frac{\partial f_1}{\partial x}, \frac{\partial f_2}{\partial x} \right) = \big( 3y - 3x^2,\ 2e^{2x} + \sin(xy) + xy \cos(xy) \big), \\[1mm] \frac{\partial F}{\partial y} &= \left( \frac{\partial f_1}{\partial y}, \frac{\partial f_2}{\partial y} \right) = \big( 3x - 3y^2,\ x^2 \cos(xy) \big) \end{aligned} \]
olur. \((1, 0)\) noktasında \(\sin 0 = 0\) ve \(\cos 0 = 1\) olduğundan
\[ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(1, 0) &= \big( 0 - 3,\ 2e^2 + 0 + 0 \big) = (-3, 2e^2), \\[1mm] \frac{\partial F}{\partial y}(1, 0) &= \big( 3 - 0,\ 1 \cdot 1 \big) = (3, 1) \end{aligned} \]
bulunur. \(\blacksquare\)
Örnek 12.21 (Dört Değişkenli ve Üç Bileşenli Fonksiyon) \(F : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3\),
\[F(x, y, z, w) = \big( x^2 y,\ zy \sin w,\ xzw \big)\]
fonksiyonunun bütün birinci kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
Her bileşeni, seçilen değişken dışındaki üç değişkeni sabit tutarak türetiriz. Bir bileşen seçilen değişkeni içermiyorsa o bileşenin kısmi türevi \(0\)’dır.
\[ \begin{aligned} F_x &= (2xy,\ 0,\ zw), \\[1mm] F_y &= (x^2,\ z \sin w,\ 0), \\[1mm] F_z &= (0,\ y \sin w,\ xw), \\[1mm] F_w &= (0,\ zy \cos w,\ xz). \end{aligned} \]
Örneğin \(F_w\)’nin ikinci bileşeninde \(zy\) sabit bir katsayıdır ve \(\sin w\)’nin türevi \(\cos w\)’dir; üçüncü bileşende \(xz\) sabit katsayı, \(w\)’nin türevi \(1\)’dir. \(\blacksquare\)
Örnek 12.22 (Bir Bileşeni Engel Olan Fonksiyon) \(F(x, y) = \big( x + y,\ |x| \big)\) fonksiyonunun \((0, 0)\) noktasında hangi kısmi türevlerinin var olduğunu belirleyiniz.
Çözüm
Teorem 12.2 gereği bileşenlere bakmak yeter: \(f_1(x, y) = x + y\), \(f_2(x, y) = |x|\).
\(x\)’e göre. \(\dfrac{\partial f_1}{\partial x}(0, 0) = 1\)’dir. \(f_2\) için \(h \ne 0\) iken
\[\frac{f_2(h, 0) - f_2(0, 0)}{h} = \frac{|h|}{h}\]
olur ve bu oranın sağdan limiti \(1\), soldan limiti \(-1\)’dir; \(\dfrac{\partial f_2}{\partial x}(0, 0)\) yoktur. Bir bileşenin kısmi türevi olmadığından \(\dfrac{\partial F}{\partial x}(0, 0)\) yoktur.
\(y\)’ye göre. \(\dfrac{\partial f_1}{\partial y}(0, 0) = 1\)’dir. \(f_2(0, h) = 0\) olduğundan \(\dfrac{\partial f_2}{\partial y}(0, 0) = 0\)’dır. Dolayısıyla
\[\frac{\partial F}{\partial y}(0, 0) = (1, 0).\]
\(F\)’nin orijinde bir kısmi türevi vardır, öbürü yoktur; \(F\) orijinde kısmi türevlenebilir değildir. \(\blacksquare\)
12.9 Alıştırmalar
Alıştırmalarda tanımla hesap, hesap kuralı, geometrik yorum, gradyan ve bileşenlerle hesap birlikte kullanılır.
Alıştırma 12.1 (Logaritmalı Fonksiyonda Tanımla Hesap) \(f(x, y, z) = \ln\left( \dfrac{xy}{z} \right)\) fonksiyonunun \((1, 1, 1)\) noktasındaki kısmi türevlerini tanımla bulunuz ve Örnek 12.7 sonuçlarıyla karşılaştırınız.
Çözüm
\(f(1, 1, 1) = \ln 1 = 0\)’dır. \(|h| < 1\) için aşağıdaki noktaların hepsi tanım kümesindedir. Kullanacağımız limit
\[\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h)}{h} = 1\]
limitidir; bu oran \(\ln\) fonksiyonunun \(1\) noktasındaki fark oranıdır ve \(\ln'(1) = 1\)’dir (bkz. Analiz 2).
\(x\)’e göre. \(f(1 + h, 1, 1) = \ln(1 + h)\) olduğundan
\[f_x(1, 1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h) - 0}{h} = 1.\]
\(y\)’ye göre. \(f(1, 1 + h, 1) = \ln(1 + h)\) olduğundan aynı biçimde \(f_y(1, 1, 1) = 1\)’dir.
\(z\)’ye göre. \(\ln\dfrac{1}{1 + h} = -\ln(1 + h)\) olduğundan \(f(1, 1, 1 + h) = -\ln(1 + h)\) ve
\[f_z(1, 1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{-\ln(1 + h)}{h} = -1.\]
Karşılaştırma. Örnek 12.7 içindeki \(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{1}{y}\), \(-\dfrac{1}{z}\) formülleri \((1, 1, 1)\)’de sırasıyla \(1\), \(1\), \(-1\) verir; iki yol uyuşur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 12.2 (Düşey Kesitte Teğet Eğimi: x = 2 Düzlemi) \(f(x, y) = 9 - x^2 - y^2\) fonksiyonunun grafiği ile \(x = 2\) düzleminin kesit eğrisine \((2, 1, 4)\) noktasında çizilen teğet doğrusunun eğimini ve denklemini bulunuz.
Çözüm
\(f(2, 1) = 9 - 4 - 1 = 4\) olduğundan \((2, 1, 4)\) noktası grafiğin üzerindedir. \(x = 2\) düzleminde \(x\) sabittir ve kesit eğrisi \(y \mapsto f(2, y) = 5 - y^2\) fonksiyonunun grafiğidir. Önerme 12.2 gereği teğetin eğimi \(f_y(2, 1)\)’dir. \(x\) sabitken \(f_y(x, y) = -2y\) olduğundan
\[f_y(2, 1) = -2.\]
Teğet doğrusu \(z - 4 = -2(y - 1)\), \(x = 2\); yani \(z = -2y + 6\), \(x = 2\) doğrusudur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 12.3 (Düşey Kesitte Teğet Eğimi: y = 1 Düzlemi) \(f(x, y) = 9 - x^2 - y^2\) fonksiyonunun grafiği ile \(y = 1\) düzleminin kesit eğrisine \((2, 1, 4)\) noktasında çizilen teğet doğrusunun eğimini ve denklemini bulunuz.
Çözüm
\(f(2, 1) = 4\) olduğundan nokta grafiğin üzerindedir. \(y = 1\) düzleminde \(y\) sabittir ve kesit eğrisi \(x \mapsto f(x, 1) = 8 - x^2\) fonksiyonunun grafiğidir. Teğetin eğimi \(f_x(2, 1)\)’dir. \(y\) sabitken \(f_x(x, y) = -2x\) olduğundan
\[f_x(2, 1) = -4.\]
Teğet doğrusu \(z - 4 = -4(x - 2)\), \(y = 1\); yani \(z = -4x + 12\), \(y = 1\) doğrusudur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 12.4 (Eksen Üzerinde Olmayan Kısmi Türev) \(f(x, y) = \sqrt{|xy|}\) olsun. \(y_0 \ne 0\) ise \(f_x(0, y_0)\) kısmi türevinin olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(f(0, y_0) = 0\) ve \(h \ne 0\) için \(f(h, y_0) = \sqrt{|h|\,|y_0|} = \sqrt{|y_0|}\,\sqrt{|h|}\)’dir. Fark oranı
\[\frac{f(h, y_0) - f(0, y_0)}{h} = \sqrt{|y_0|}\ \frac{\sqrt{|h|}}{h}\]
olur. \(h > 0\) ise \(\dfrac{\sqrt{|h|}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}\) ve \(h \to 0^+\) iken fark oranı \(+\infty\)’a gider. \(h < 0\) ise \(\dfrac{\sqrt{|h|}}{h} = -\dfrac{1}{\sqrt{|h|}}\) ve \(h \to 0^-\) iken fark oranı \(-\infty\)’a gider. Fark oranının sonlu bir limiti yoktur; \(f_x(0, y_0)\) yoktur.
Örnek 12.11 ile karşılaştıralım: \(f_x(0, 0) = 0\) vardır, ama \(y\) ekseninin öbür noktalarında \(f_x\) yoktur. Bir noktada kısmi türevin var olması, yakındaki noktalar hakkında bir şey söylemez. Aynı hesap \(x_0 \ne 0\) için \(f_y(x_0, 0)\)’ın da olmadığını gösterir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 12.5 (Tanımla Gradyan) \(f(x, y) = x^2 - 3xy + y^2\) fonksiyonunun \((1, 2)\) noktasındaki gradyanını tanımla bulunuz.
Çözüm
\(f(1, 2) = 1 - 6 + 4 = -1\)’dir.
\(x\)’e göre.
\[f(1 + h, 2) = (1 + h)^2 - 6(1 + h) + 4 = -1 - 4h + h^2\]
olduğundan
\[f_x(1, 2) = \lim_{h \to 0} \frac{-4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (h - 4) = -4.\]
\(y\)’ye göre.
\[f(1, 2 + h) = 1 - 3(2 + h) + (2 + h)^2 = -1 + h + h^2\]
olduğundan
\[f_y(1, 2) = \lim_{h \to 0} \frac{h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (1 + h) = 1.\]
Sonuç. \(\nabla f(1, 2) = (-4, 1)\)’dir. Kuralla denetim: \(f_x = 2x - 3y\) ve \(f_y = -3x + 2y\) ifadeleri \((1, 2)\)’de \(-4\) ve \(1\) verir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 12.6 (Orijinde Gradyan) Aşağıdaki fonksiyonun \(\nabla f(0, 0)\) gradyanını bulunuz:
\[ f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x^2 y^3}{x^2 + y^4}, & (x, y) \ne (0, 0), \\[2mm] 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases} \]
Çözüm
\((x, y) \ne (0, 0)\) iken \(x^2 + y^4 > 0\) olduğundan fonksiyon iyi tanımlıdır. Orijinde tanıma dönelim; \(f(0, 0) = 0\)’dır.
\(x\)’e göre. \(h \ne 0\) için \(f(h, 0) = \dfrac{h^2 \cdot 0}{h^2} = 0\) olduğundan fark oranı \(0\)’dır ve \(f_x(0, 0) = 0\)’dır.
\(y\)’ye göre. \(h \ne 0\) için \(f(0, h) = \dfrac{0 \cdot h^3}{h^4} = 0\) olduğundan \(f_y(0, 0) = 0\)’dır.
Sonuç. \(\nabla f(0, 0) = (0, 0)\)’dır. Bu fonksiyon orijinde süreklidir de: \(x^2 \le x^2 + y^4\) olduğundan \(|f(x, y)| \le |y|^3\) olur ve sıkıştırma teoremiyle (Teorem 8.5) \(f(x, y) \to 0 = f(0, 0)\) bulunur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 12.7 (Uzaklığa Bağlı Bir Fonksiyonun Gradyanı) \(f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) + \sqrt{x^2 + y^2}\) fonksiyonunun \((1, 2)\) noktasındaki gradyanını bulunuz.
Çözüm
\(f\), açık \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\) kümesinde tanımlıdır. \(y\) sabitken zincir kuralıyla
\[f_x(x, y) = \frac{2x}{x^2 + y^2} + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{2x}{x^2 + y^2} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\]
olur; aynı biçimde
\[f_y(x, y) = \frac{2y}{x^2 + y^2} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}.\]
\((1, 2)\) noktasında \(x^2 + y^2 = 5\)’tir:
\[ \begin{aligned} f_x(1, 2) &= \frac{2}{5} + \frac{1}{\sqrt{5}}, \\[1mm] f_y(1, 2) &= \frac{4}{5} + \frac{2}{\sqrt{5}}. \end{aligned} \]
Dolayısıyla
\[\nabla f(1, 2) = \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{\sqrt{5}},\ \frac{4}{5} + \frac{2}{\sqrt{5}} \right) = \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)(1, 2).\]
Gözlem. Gradyan, \((1, 2)\) konum vektörüne paraleldir. Bu rastlantı değildir: \(f\) yalnız \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\) uzaklığına bağlıdır, \(f = g(\rho)\) ve \(g(\rho) = 2\ln\rho + \rho\)’dur. Tek değişkenli zincir kuralı \(f_x = g'(\rho)\,\dfrac{x}{\rho}\) ve \(f_y = g'(\rho)\,\dfrac{y}{\rho}\) verir; yani \(\nabla f = \dfrac{g'(\rho)}{\rho}\,(x, y)\)’dir. \(g'(\rho) = \dfrac{2}{\rho} + 1\) olduğundan \(\rho = \sqrt{5}\) için
\[\frac{g'(\rho)}{\rho} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{2}{\sqrt{5}} + 1 \right) = \frac{2}{5} + \frac{1}{\sqrt{5}}\]
çıkar. \(\blacksquare\)
Alıştırma 12.8 (Kutupsal Koordinat Dönüşümünün Kısmi Türevleri) \(F : (0, +\infty) \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(F(r, \theta) = (r \cos\theta, r \sin\theta)\) olsun. \(\dfrac{\partial F}{\partial r}\) ve \(\dfrac{\partial F}{\partial \theta}\) kısmi türevlerini bulunuz ve bu iki vektörün her noktada birbirine dik olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kısmi türevler. Teorem 12.2 gereği bileşen bileşen türev alırız. \(\theta\) sabitken \(r \cos\theta\) ve \(r \sin\theta\)’nın \(r\)’ye göre türevleri \(\cos\theta\) ve \(\sin\theta\)’dır; \(r\) sabitken \(\theta\)’ya göre türevleri \(-r \sin\theta\) ve \(r \cos\theta\)’dır:
\[ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial r}(r, \theta) &= (\cos\theta, \sin\theta), \\[1mm] \frac{\partial F}{\partial \theta}(r, \theta) &= (-r \sin\theta, r \cos\theta). \end{aligned} \]
Diklik. Standart iç çarpımla (Tanım 1.6)
\[\left\langle \frac{\partial F}{\partial r}, \frac{\partial F}{\partial \theta} \right\rangle = -r \cos\theta \sin\theta + r \sin\theta \cos\theta = 0\]
olur; iki vektör diktir.
Geometrik anlam. \(\theta\) sabit tutulup \(r\) değiştirilince \(F(r, \theta)\) noktası orijinden çıkan bir ışın üzerinde ilerler ve \(\dfrac{\partial F}{\partial r}\) bu ışının birim doğrultu vektörüdür: \(\left\| \dfrac{\partial F}{\partial r} \right\| = 1\). \(r\) sabit tutulup \(\theta\) değiştirilince nokta \(r\) yarıçaplı çember üzerinde döner ve \(\dfrac{\partial F}{\partial \theta}\) bu çembere teğettir; uzunluğu \(\left\| \dfrac{\partial F}{\partial \theta} \right\| = r\)’dir, çünkü büyük çember üzerinde aynı açısal hızla dönen nokta daha hızlı yol alır. Işın ile çember birbirini dik keser. \(\blacksquare\)
Bu bölümde kısmi türevin, bir değişken dışındaki bütün değişkenleri dondurarak elde edilen tek değişkenli türev olduğunu gördük; bu yüzden hesap kuralları Analiz 2’den olduğu gibi geçer, ama kısmi türevler fonksiyonun bir nokta çevresindeki davranışını yalnız eksenlere paralel doğrular üzerinden görür ve sürekliliği bile güvenceye almaz. Kısmi türev fonksiyonları da çok değişkenli fonksiyonlar olduğundan onların da kısmi türevleri alınabilir. Yüksek Mertebeden Kısmi Türevler bölümünde ikinci ve daha yüksek mertebeden kısmi türevleri, \(C^k\) sınıflarını ve karışık kısmi türevlerin ne zaman eşit olduğunu söyleyen Clairaut teoremini inceliyoruz.