15 Jacobi Matrisi ve Zincir Kuralı
Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi bir sayıdır, ama bu sayının asıl işi bir yaklaşım kurmaktır: \(f\), \(a\) noktasında türevlenebilirse \(a\) yakınında \(f(a + h) - f(a) \approx f'(a)\,h\) olur ve \(h \mapsto f'(a)\,h\) lineer fonksiyonu artıma en iyi uyan doğrusal yaklaşımdır (bkz. Analiz 2). Türevlenebilme ve Toplam Diferansiyel bölümünde bu fikri reel değerli çok değişkenli fonksiyonlara taşıdık: \(f : D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) için artıma yaklaşan lineer fonksiyon \(h \mapsto \langle \nabla f(a), h \rangle\) oldu.
Bu bölümde değer uzayını da büyütüyor ve \(f : D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) fonksiyonlarını ele alıyoruz. Artık \(f(a + h) - f(a)\) artımı \(\mathbb{R}^m\)’de bir vektördür; ona yaklaşan nesne \(\mathbb{R}^n\)’den \(\mathbb{R}^m\)’ye bir lineer dönüşüm, yani \(m \times n\) tipinde bir matris olacak. Bu matrisin satırları bileşen fonksiyonların gradyanlarıdır ve ona Jacobi matrisi denir. Türevi bir lineer dönüşüm olarak görmenin karşılığını bileşke fonksiyonlarda alacağız: bileşkenin türevi türevlerin bileşkesidir, matris diliyle Jacobi matrisleri çarpılır. Zincir kuralı adını taşıyan bu sonuç, tek değişkenli \((f \circ g)'(a) = f'\big(g(a)\big)\,g'(a)\) formülünün doğal genellemesidir ve çok değişkenli hesabın en sık kullanılan aracıdır.
Matris çarpımı içeren her formülde \(\mathbb{R}^n\)’nin elemanlarını sütun vektörü olarak düşüneceğiz: \(h = (h_1, \dots, h_n)\) vektörü bir matrisle çarpılırken \(n \times 1\) tipinde bir matristir.
15.1 Vektör Değerli Fonksiyonlarda Türevlenebilme
Tanıma, reel değerli durumdaki yaklaşımı bileşen bileşen yazarak ulaşalım.
\(f = (f_1, \dots, f_m) : D \to \mathbb{R}^m\), \(a \in D^\circ\) olsun ve her \(f_i\) bileşeni \(a\) noktasında türevlenebilsin. Önerme 14.1 ve Teorem 14.2 gereği her \(i = 1, \dots, m\) için
\[f_i(a + h) - f_i(a) = \langle \nabla f_i(a), h \rangle + \|h\|\,\eta_i(h)\]
yazılabilir; burada \(h \to 0\) iken \(\eta_i(h) \to 0\) olur. Bu \(m\) eşitliği alt alta yazıp \(\eta = (\eta_1, \dots, \eta_m)\) dersek
\[f(a + h) - f(a) = J\,h + \|h\|\,\eta(h)\]
elde edilir. Burada \(J\), \(i\)-inci satırı \(\nabla f_i(a)\) olan \(m \times n\) tipindeki matristir:
\[J = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}.\]
\(h \mapsto J h\) bir lineer dönüşümdür ve bileşenlerle limit teoremi (Teorem 8.6) gereği \(h \to 0\) iken \(\eta(h) \to 0\) olur. Demek ki vektör değerli bir fonksiyonun artımı da bir lineer dönüşümle yaklaşılır ve yapılan hata \(\|h\|\) ile kıyaslanınca küçüktür. Tanım, kısmi türevlere hiç başvurmadan bu özelliği esas alır.
Lineer cebirden hatırlayalım: \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) fonksiyonu her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) ve \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) için \(T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x) + \beta T(y)\) koşulunu sağlıyorsa bir lineer dönüşümdür. Her lineer dönüşüm tek bir \(m \times n\) matrisle \(T(h) = A h\) biçiminde yazılır; \(A\) matrisinin \(j\)-inci sütunu \(T(e_j)\) vektörüdür (Tanım 1.4). Özel olarak \(T(0) = 0\)’dır.
Tanım 15.1 (Vektör Değerli Fonksiyonun Türevi) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f : D \to \mathbb{R}^m\) ve \(a \in D^\circ\) olsun. Öyle bir \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) lineer dönüşümü varsa ki
\[\lim_{h \to 0} \frac{\|f(a + h) - f(a) - T(h)\|}{\|h\|} = 0\]
olsun, \(f\)’ye \(a\) noktasında türevlenebilir (diferansiyellenebilir) denir. Bu durumda \(T\) dönüşümüne \(f\)’nin \(a\) noktasındaki türevi denir ve \(Df(a)\) ya da \(f'(a)\) ile gösterilir. \(x = a + h\) yazılırsa koşul
\[\lim_{x \to a} \frac{\|f(x) - f(a) - T(x - a)\|}{\|x - a\|} = 0\]
biçimini alır. \(f\), bir \(U \subseteq D\) açık kümesinin her noktasında türevlenebiliyorsa \(f\)’ye \(U\) üzerinde türevlenebilir denir.
Yani \(f(a + h) - f(a)\) artımına \(T(h)\) ile yaklaşıyoruz ve yaklaşımın hatası, \(h\) hangi yoldan \(0\)’a giderse gitsin, \(h\) vektörünün uzunluğundan daha hızlı sıfıra gidiyor. Paydaki norm \(\mathbb{R}^m\)’nin, paydadaki norm \(\mathbb{R}^n\)’nin Öklid normudur. Türev bir sayı ya da vektör değil, bir lineer dönüşümdür; \(Df(a)\) dönüşümünün \(h\)’deki değerini \(Df(a)(h)\) ya da kısaca \(Df(a)h\) ile yazacağız. \(T\)’nin tek olduğunu Teorem 15.1 ile göreceğiz.
Birkaç ayrıntı:
\(a \in D^\circ\) olduğundan \(B(a, r) \subseteq D\) olacak bir \(r > 0\) vardır ve kesir \(0 < \|h\| < r\) olan her \(h\) için tanımlıdır.
\(h \ne 0\) için normun içindeki vektörü \(\|h\|\)’ye bölerek \(\eta(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a) - T(h)}{\|h\|}\) tanımlayalım ve \(\eta(0) = 0\) diyelim. O zaman koşul, \(h \to 0\) iken \(\eta(h) \to 0\) olmak üzere
\[f(a + h) = f(a) + T(h) + \|h\|\,\eta(h)\]
biçiminde yazılır. Kalan terim \(\|h\|\,\eta(h)\), \(\mathbb{R}^m\)’de bir vektördür.
Kısmi türevlenebilmeden ayırt etmek için bu kavrama tam türevlenebilme de denir. Tanımın gücü, yaklaşımın bütün doğrultularda aynı anda iyi olmasını istemesindedir; bu yüzden kısmi türevlerin var olması türevlenebilme için yetmez.
Tanım, önceki bölümdeki türevi özel hâl olarak içerir.
\(m = 1\). \(\mathbb{R}^n\)’den \(\mathbb{R}\)’ye her lineer dönüşüm \(T(h) = \langle A, h \rangle\) biçimindedir ve \(\mathbb{R}\)’de norm mutlak değerdir. Bir reel sayının mutlak değeri \(0\)’a gittiğinde sayının kendisi de \(0\)’a gider; dolayısıyla \(m = 1\) iken Tanım 15.1 ile Tanım 14.1 aynı şeyi söyler ve Teorem 14.2 gereği \(Df(a)h = \langle \nabla f(a), h \rangle\) olur.
\(n = 1\). \(\mathbb{R}\)’den \(\mathbb{R}^m\)’ye her lineer dönüşüm \(T(h) = h\,T(1) = h\,c\) biçimindedir; burada \(c = T(1) \in \mathbb{R}^m\)’dir. \(h \ne 0\) için
\[\left\| \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - c \right\| = \frac{\|f(a + h) - f(a) - hc\|}{|h|}\]
olduğundan \(f\)’nin \(a\)’da türevlenebilmesi, fark oranının \(\mathbb{R}^m\)’de \(c\) limitine sahip olmasıdır. Bu limit, \(f\)’nin tek kısmi türevi olan hız vektörüdür (Tanım 12.4, Teorem 12.2): \(c = f'(a) = \big( f_1'(a), \dots, f_m'(a) \big)\). Böylece \(Df(a)h = h\,f'(a)\) olur.
\(n = m = 1\). \(Df(a)h = f'(a)\,h\); türev, Analiz 2’deki türev sayısıyla çarpma dönüşümüdür (bkz. Analiz 2).
Örnek 15.1 (Tanımla Türev Hesabı) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x, y) = (x^2, xy)\) fonksiyonunun \((1, 2)\) noktasında türevlenebilir olduğunu tanımla gösteriniz ve \(Df(1, 2)\) dönüşümünü bulunuz.
Çözüm
Artım. \(h = (h_1, h_2)\) için
\[ \begin{aligned} f(1 + h_1, 2 + h_2) - f(1, 2) &= \big( (1 + h_1)^2 - 1,\ (1 + h_1)(2 + h_2) - 2 \big) \\[1mm] &= \big( 2h_1 + h_1^2,\ 2h_1 + h_2 + h_1 h_2 \big) \end{aligned} \]
olur.
Aday. Her bileşenin \(h\)’ye göre lineer kısmını ayıralım: \(T(h_1, h_2) = (2h_1,\ 2h_1 + h_2)\). Bu dönüşüm lineerdir; \(h\) sütun vektörünü
\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\]
matrisiyle çarpar. Geriye kalan terim \((h_1^2,\ h_1 h_2)\) vektörüdür.
Kalan.
\[\|(h_1^2, h_1 h_2)\| = \sqrt{h_1^4 + h_1^2 h_2^2} = |h_1|\,\sqrt{h_1^2 + h_2^2} = |h_1|\,\|h\|\]
olduğundan \(h \ne 0\) için
\[\frac{\|f(1 + h_1, 2 + h_2) - f(1, 2) - T(h)\|}{\|h\|} = |h_1| \le \|h\|\]
olur ve sıkıştırmayla (Teorem 8.5) oran \(0\)’a gider. \(f\), \((1, 2)\)’de türevlenebilirdir ve
\[Df(1, 2)(h_1, h_2) = (2h_1,\ 2h_1 + h_2).\]
Matrisin satırları, \(\nabla(x^2) = (2x, 0)\) ve \(\nabla(xy) = (y, x)\) gradyanlarının \((1, 2)\) noktasındaki değerleri olan \((2, 0)\) ve \((2, 1)\) vektörleridir. Bunun rastlantı olmadığını Teorem 15.3 gösterecek. \(\blacksquare\)
Örnek 15.2 (Afin Fonksiyonların Türevi) \(L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) lineer bir dönüşüm, \(b \in \mathbb{R}^m\) ve \(f(x) = L(x) + b\) olsun. \(f\)’nin her \(a \in \mathbb{R}^n\) noktasında türevlenebilir olduğunu ve \(Df(a) = L\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(L\) lineer olduğundan her \(h\) için
\[f(a + h) - f(a) = L(a + h) + b - L(a) - b = L(h)\]
olur. \(T = L\) seçilirse tanımdaki kesrin payı özdeş olarak \(0\)’dır; limit de \(0\)’dır. Demek ki \(Df(a) = L\)’dir ve türev \(a\) noktasına bağlı değildir.
İki özel durum önemlidir. \(L = 0\) ise \(f\) sabit fonksiyondur ve türevi her noktada sıfır dönüşümdür; matrisi \(m \times n\) tipindeki sıfır matristir. \(b = 0\) ise \(f = L\) lineerdir ve her noktadaki türevi kendisidir: bir lineer dönüşüme en iyi uyan lineer dönüşüm kendisidir. \(m = 1\) için bu, Örnek 14.2 sonucudur. \(\blacksquare\)
15.2 Türevin Tekliği ve Süreklilik
Tanımda “bir \(T\) varsa” dedik. Türevden söz edebilmek için bu dönüşümün tek olması gerekir.
Teorem 15.1 (Türevin Tekliği) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\) ve \(f : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. \(f\), \(a\) noktasında türevlenebilirse Tanım 15.1 koşulunu sağlayan \(T\) lineer dönüşümü tektir.
İspat
\(a\) iç nokta olduğundan \(B(a, r) \subseteq D\) olacak bir \(r > 0\) vardır. \(T_1\) ve \(T_2\) lineer dönüşümlerinin ikisi de koşulu sağlasın. \(i = 1, 2\) ve \(0 < \|h\| < r\) için
\[q_i(h) = \frac{\|f(a + h) - f(a) - T_i(h)\|}{\|h\|}\]
diyelim; varsayım gereği \(h \to 0\) iken \(q_1(h) \to 0\) ve \(q_2(h) \to 0\) olur.
Bir doğrultuda karşılaştırma. \(\|e\| = 1\) olan bir \(e \in \mathbb{R}^n\) vektörü sabitleyelim ve \(0 < |\lambda| < r\) olsun. \(T_1\), \(T_2\) lineer olduğundan \(T_1(\lambda e) - T_2(\lambda e)\) farkı \(\lambda\big( T_1(e) - T_2(e) \big)\) vektörüne eşittir; ayrıca \(\|\lambda e\| = |\lambda|\)’dır. Öte yandan
\[ \begin{aligned} T_1(\lambda e) - T_2(\lambda e) &= \big[ f(a + \lambda e) - f(a) - T_2(\lambda e) \big] \\[1mm] &\quad - \big[ f(a + \lambda e) - f(a) - T_1(\lambda e) \big] \end{aligned} \]
yazılabilir. Üçgen eşitsizliği (Teorem 1.2) ile
\[\|T_1(e) - T_2(e)\| = \frac{\|T_1(\lambda e) - T_2(\lambda e)\|}{|\lambda|} \le q_2(\lambda e) + q_1(\lambda e)\]
bulunur.
Limit. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Öyle bir \(\delta \in (0, r]\) vardır ki \(0 < \|h\| < \delta\) iken \(q_1(h) < \dfrac{\varepsilon}{2}\) ve \(q_2(h) < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. \(\lambda = \dfrac{\delta}{2}\) seçersek \(\|\lambda e\| < \delta\) olduğundan \(\|T_1(e) - T_2(e)\| < \varepsilon\) bulunur. Sol taraf \(\varepsilon\)’a bağlı değildir ve \(\varepsilon > 0\) keyfidir; öyleyse \(T_1(e) = T_2(e)\)’dir.
Bütün vektörler. \(y \in \mathbb{R}^n\), \(y \ne 0\) ise \(e = \dfrac{y}{\|y\|}\) birim vektördür ve lineerlikten
\[T_1(y) = \|y\|\,T_1(e) = \|y\|\,T_2(e) = T_2(y)\]
olur; \(y = 0\) için de \(T_1(0) = 0 = T_2(0)\)’dır. Öyleyse \(T_1 = T_2\). \(\blacksquare\)
Teklik sayesinde “türev” demek anlamlıdır. İspatta \(a\)’nın iç nokta olması kilit rol oynadı: \(a\)’dan her \(e\) doğrultusunda küçük adımlar atabildik. \(m = 1\) iken teklik Teorem 14.2 ile de görülmüştü; orada tek aday gradyandı.
Türevlenebilir fonksiyonların sürekli olduğunu ve zincir kuralını ispatlarken, bir lineer dönüşümün vektörlerin boyunu en çok sabit bir çarpan kadar büyüttüğünü kullanacağız.
Lemma 15.1 (Lineer Dönüşümün Sınırlılığı) \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\), matrisi \(A = (a_{ij})\) olan bir lineer dönüşüm ve
\[M_T = \Big( \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2 \Big)^{1/2}\]
olsun. Her \(h \in \mathbb{R}^n\) için \(\|T(h)\| \le M_T\,\|h\|\) olur. Özel olarak \(h \to 0\) iken \(T(h) \to 0\)’dır.
İspat
\(A\)’nın \(i\)-inci satırını \(a_i = (a_{i1}, \dots, a_{in})\) ile gösterelim. \(T(h) = Ah\) vektörünün \(i\)-inci bileşeni
\[a_{i1} h_1 + \dots + a_{in} h_n = \langle a_i, h \rangle\]
sayısıdır. Cauchy–Schwarz eşitsizliği (Teorem 1.1) gereği \(|\langle a_i, h \rangle| \le \|a_i\|\,\|h\|\) olduğundan
\[\|T(h)\|^2 = \sum_{i=1}^{m} \langle a_i, h \rangle^2 \le \sum_{i=1}^{m} \|a_i\|^2\,\|h\|^2 = M_T^2\,\|h\|^2\]
olur; son adımda \(\|a_1\|^2 + \dots + \|a_m\|^2\) toplamının bütün \(a_{ij}^2\) sayılarının toplamı olduğunu kullandık. Karekök alınırsa istenen eşitsizlik çıkar. \(h \to 0\) iken \(0 \le \|T(h)\| \le M_T\,\|h\| \to 0\) olduğundan sıkıştırmayla (Teorem 8.5) \(\|T(h)\| \to 0\), yani \(T(h) \to 0\) olur. \(\blacksquare\)
Sonuç 15.1 (Türevlenebilen Fonksiyon Süreklidir) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\) ve \(f : D \to \mathbb{R}^m\) fonksiyonu \(a\) noktasında türevlenebilir olsun. O zaman \(f\), \(a\) noktasında süreklidir.
İspat
\(T = Df(a)\) olsun ve \(\eta\), yukarıdaki ayrıntılarda tanımlanan kalan fonksiyonu olsun: \(0 < \|h\| < r\) için
\[f(a + h) - f(a) = T(h) + \|h\|\,\eta(h)\]
ve \(h \to 0\) iken \(\eta(h) \to 0\). Üçgen eşitsizliği ve Lemma 15.1 ile
\[\|f(a + h) - f(a)\| \le \|T(h)\| + \|h\|\,\|\eta(h)\| \le \big( M_T + \|\eta(h)\| \big)\,\|h\|\]
bulunur. \(h \to 0\) iken sağ taraftaki ilk çarpan \(M_T\)’ye, ikinci çarpan \(0\)’a gider; sıkıştırmayla \(\|f(a + h) - f(a)\| \to 0\) olur. Bu, \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) demektir; \(f\), \(a\)’da süreklidir (Tanım 10.1). \(\blacksquare\)
Sonucun karşıt tersi kullanışlıdır: \(a\)’da sürekli olmayan bir fonksiyon \(a\)’da türevlenemez. \(m = 1\) için bu, Teorem 14.1 ve Sonuç 14.1 ile bildiğimiz şeydir. Tersi doğru değildir; tek değişkende bile \(|x|\) fonksiyonu \(0\)’da sürekli olduğu hâlde türevlenemez.
15.3 Bileşenlerle Türevlenebilme
Vektör değerli bir fonksiyonun türevlenebilirliği, bileşenlerininkine indirgenir. Böylece reel değerli fonksiyonlar için bildiğimiz her şey bileşen bileşen kullanılabilir.
Teorem 15.2 (Bileşenlerle Türevlenebilme) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\) ve \(f = (f_1, \dots, f_m) : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. \(f\)’nin \(a\) noktasında türevlenebilir olması için gerek ve yeter koşul, her \(f_i\) bileşeninin reel değerli bir fonksiyon olarak \(a\) noktasında türevlenebilir olmasıdır. Bu durumda her \(h \in \mathbb{R}^n\) için
\[Df(a)h = \big( Df_1(a)h, \dots, Df_m(a)h \big)\]
olur.
İspat
Hazırlık. Her \(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) fonksiyonu \(T = (T_1, \dots, T_m)\) bileşenleriyle yazılır. Vektörlerde toplama ve skalerle çarpma bileşen bileşen yapıldığından \(T\)’nin lineer olması, her \(T_i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) bileşeninin lineer olmasıyla aynı şeydir.
Ayrıca her \(y = (y_1, \dots, y_m) \in \mathbb{R}^m\) için
\[|y_i| \le \|y\| \le |y_1| + \dots + |y_m|\]
olur: sol eşitsizlik \(y_i^2 \le y_1^2 + \dots + y_m^2\) eşitsizliğinden, sağdaki ise \(y = y_1 e_1 + \dots + y_m e_m\) yazıp üçgen eşitsizliğini uygulamaktan gelir.
\(T = (T_1, \dots, T_m)\) lineer olsun ve \(0 < \|h\| < r\) için
\[q(h) = \frac{f(a + h) - f(a) - T(h)}{\|h\|} \in \mathbb{R}^m\]
diyelim. \(q(h)\) vektörünün \(i\)-inci bileşeni
\[q_i(h) = \frac{f_i(a + h) - f_i(a) - T_i(h)}{\|h\|}\]
sayısıdır ve yukarıdaki eşitsizlik gereği
\[|q_i(h)| \le \|q(h)\| \le |q_1(h)| + \dots + |q_m(h)|\]
olur.
(\(\Rightarrow\)) \(f\), \(T = Df(a)\) ile türevlenebilir olsun. \(h \to 0\) iken \(\|q(h)\| \to 0\) olduğundan soldaki eşitsizlik ve sıkıştırma gereği her \(i\) için \(|q_i(h)| \to 0\) olur. Bu, \(f_i\)’nin \(a\)’da \(T_i\) lineer dönüşümüyle türevlenebilir olması demektir; teklik (Teorem 15.1) gereği \(Df_i(a) = T_i\)’dir.
(\(\Leftarrow\)) Her \(f_i\), \(a\)’da türevlenebilir olsun ve \(T_i = Df_i(a)\) diyelim. \(T = (T_1, \dots, T_m)\) lineerdir. Her \(i\) için \(|q_i(h)| \to 0\) olduğundan sağdaki eşitsizlik gereği \(\|q(h)\| \to 0\) olur. Öyleyse \(f\), \(a\)’da türevlenebilirdir ve \(Df(a) = T\)’dir; yani \(Df(a)h = \big( Df_1(a)h, \dots, Df_m(a)h \big)\). \(\blacksquare\)
Yani vektör değerli durum yeni bir zorluk getirmez: \(f\) türevlenebilirse her bileşeni türevlenebilirdir, bir bileşeni bile türevlenemiyorsa \(f\) türevlenemez. \(m = 1\) için \(Df_i(a)h = \langle \nabla f_i(a), h \rangle\) olduğundan (Teorem 14.2) formül
\[Df(a)h = \big( \langle \nabla f_1(a), h \rangle, \dots, \langle \nabla f_m(a), h \rangle \big)\]
biçimini alır. Teorem Sonuç 15.1 için ikinci bir yol da verir: türevlenebilir \(f\)’nin her bileşeni Teorem 14.1 gereği süreklidir, dolayısıyla Teorem 10.5 gereği \(f\) süreklidir.
15.4 Jacobi Matrisi
Türevin var olduğu biliniyorsa onu limit hesaplamadan, yalnız kısmi türevlerle bulabiliriz. Önce kısmi türevleri bir matriste toplayalım.
Tanım 15.2 (Jacobi Matrisi) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\) ve \(f = (f_1, \dots, f_m) : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. Bütün \(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\) kısmi türevleri (\(i = 1, \dots, m\), \(j = 1, \dots, n\)) varsa
\[J_f(a) = \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \right)_{m \times n} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}\]
matrisine \(f\)’nin \(a\) noktasındaki Jacobi matrisi denir.
Yani Jacobi matrisinin \(i\)-inci satırında \(i\)-inci bileşenin bütün değişkenlere göre kısmi türevleri, \(j\)-inci sütununda bütün bileşenlerin \(j\)-inci değişkene göre kısmi türevleri durur. Satırlar bileşenlerin gradyanları (Tanım 12.3), sütunlar ise \(f\)’nin vektör değerli kısmi türevleridir (Tanım 12.4, Teorem 12.2):
\[J_f(a) = \begin{pmatrix} \nabla f_1(a) \\ \vdots \\ \nabla f_m(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}.\]
Bileşenler ve değişkenler adlarıyla yazıldığında da kural aynıdır. Örneğin \(f(x, y) = \big( u(x, y), v(x, y), w(x, y) \big)\) için
\[J_f = \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ w_x & w_y \end{pmatrix}\]
olur. Jacobi matrisinin tanımı yalnız kısmi türevlerin varlığını ister, türevlenebilirliği istemez.
Teorem 15.3 (Türevin Matris Temsili) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\) ve \(f = (f_1, \dots, f_m) : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. \(f\), \(a\) noktasında türevlenebilirse \(f\)’nin \(a\)’da bütün birinci kısmi türevleri vardır ve her \(h \in \mathbb{R}^n\) için
\[Df(a)h = J_f(a)\,h\]
olur; yani \(Df(a)\) lineer dönüşümünün matrisi Jacobi matrisidir.
İspat
\(T = Df(a)\) ve \(B(a, r) \subseteq D\) olsun; \(j \in \{1, \dots, n\}\) sabitlensin.
Bir sütun. \(0 < |t| < r\) için \(h = te_j\) alalım. \(\|te_j\| = |t|\) ve \(T(te_j) = t\,T(e_j)\) olduğundan
\[\left\| \frac{f(a + te_j) - f(a)}{t} - T(e_j) \right\| = \frac{\|f(a + te_j) - f(a) - T(te_j)\|}{\|te_j\|}\]
olur. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(0 < \|h\| < \delta\) iken tanımdaki kesir \(\varepsilon\)’dan küçük olacak bir \(\delta \in (0, r]\) seçilsin. \(0 < |t| < \delta\) ise \(0 < \|te_j\| < \delta\) olduğundan sağ taraf \(\varepsilon\)’dan küçüktür. Demek ki
\[\lim_{t \to 0} \frac{f(a + te_j) - f(a)}{t} = T(e_j)\]
vardır. Soldaki limit \(f\)’nin \(x_j\)’ye göre kısmi türevidir (Tanım 12.4). Teorem 12.2 gereği her \(i\) için \(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\) vardır ve \(T(e_j)\) vektörünün \(i\)-inci bileşenine eşittir:
\[T(e_j) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) \\ \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_j}(a) \end{pmatrix}.\]
Bu, \(J_f(a)\) matrisinin \(j\)-inci sütunudur.
Bütün vektörler. \(h = h_1 e_1 + \dots + h_n e_n\) için \(T\)’nin lineerliğinden
\[T(h) = h_1\,T(e_1) + \dots + h_n\,T(e_n) = J_f(a)\,h\]
bulunur; çünkü bir matrisin bir sütun vektörüyle çarpımı, sütunlarının o vektörün bileşenleriyle kurulan toplamıdır. \(\blacksquare\)
Yani türevlenebilir bir fonksiyonun türevini bulmak için limit hesaplamak gerekmez: kısmi türevler hesaplanır ve matrise dizilir. Bu yüzden \(Df(a)\) lineer dönüşümü ile onun matris temsili olan \(J_f(a)\) çoğu zaman özdeşleştirilir ve \(Df(a) = J_f(a)\) ya da \(f'(a) = J_f(a)\) yazılır. Özel durumlarda:
- \(m = 1\) iken \(J_f(a)\), \(1 \times n\) tipindeki \(\nabla f(a)\) satırıdır ve \(J_f(a)\,h = \langle \nabla f(a), h \rangle\) olur.
- \(n = m = 1\) iken \(J_f(a)\), tek girdisi \(f'(a)\) olan \(1 \times 1\) matristir.
Teoremin tersi doğru değildir. Jacobi matrisini kuran kısmi türevler, \(f\) türevlenebilir olmadığında da var olabilir. Örneğin Örnek 13.5 içindeki \(\dfrac{xy}{x^2 + y^2}\) fonksiyonunun (orijinde \(0\) tanımlanarak) orijinde iki kısmi türevi de vardır, ama fonksiyon orada süreksiz olduğundan türevlenemez (Sonuç 15.1). Örneğin \(F(x, y) = \Big( \dfrac{xy}{x^2 + y^2},\ x + y \Big)\) (orijinde ilk bileşen \(0\)) fonksiyonunun orijinde Jacobi matrisi vardır, ama Teorem 15.2 gereği \(F\) orada türevlenemez. Türevlenebilme, \(J_f(a)\)’nın var olmasını değil, küçük \(h\) vektörleri için \(J_f(a)\,h\) çarpımının \(f(a + h) - f(a)\) artımına iyi bir yaklaşım olmasını ister. Teoremin söylediği şudur: türev varsa \(J_f(a)\)’dan başkası olamaz; \(J_f(a)\) yalnız bir adaydır.
Reel değerli fonksiyonlar için toplam diferansiyeli \(df(a) = \langle \nabla f(a), dx \rangle\) olarak tanımlamıştık (Tanım 14.2). Vektör değerli fonksiyonda gradyanın yerini Jacobi matrisi alır.
Tanım 15.3 (Vektör Değerli Fonksiyonun Toplam Diferansiyeli) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f = (f_1, \dots, f_m) : D \to \mathbb{R}^m\) fonksiyonu \(a \in D^\circ\) noktasında türevlenebilir ve \(dx = (dx_1, \dots, dx_n)\) bağımsız artımlar olsun.
\[df(a) = Df(a)(dx) = J_f(a)\,dx\]
vektörüne \(f\)’nin \(a\) noktasındaki toplam diferansiyeli denir.
Yani toplam diferansiyel, türev dönüşümünün \(dx\) artımına uygulanmasıdır ve \(i\)-inci bileşeni, \(f_i\)’nin önceki bölümdeki toplam diferansiyeli \(df_i(a)\)’dır. Örneğin iki değişkenli ve üç bileşenli \(f(x, y) = \big( f_1(x, y), f_2(x, y), f_3(x, y) \big)\) fonksiyonu için
\[df = \begin{pmatrix} df_1 \\ df_2 \\ df_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f_1}{\partial y}\,dy \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f_2}{\partial y}\,dy \\ \dfrac{\partial f_3}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f_3}{\partial y}\,dy \end{pmatrix}\]
ve
\[df = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y} \\ \dfrac{\partial f_3}{\partial x} & \dfrac{\partial f_3}{\partial y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}\]
olur; \(df\), Jacobi matrisinin \((dx, dy)\) sütunuyla çarpımıdır. \(n = m = 1\) iken tanım \(df = f'(x)\,dx\), \(n = 1\) iken \(df = f'(t)\,dt\) formülüne dönüşür. \(w = f(x)\) yazılırsa \(dw = f'(x)\,dx = J_f(x)\,dx\) biçimi de kullanılır.
Tanım ve değer uzaylarının boyutu aynıysa Jacobi matrisi karedir ve determinantı alınabilir.
Tanım 15.4 (Jacobi Determinantı) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\) ve \(f = (f_1, \dots, f_n) : D \to \mathbb{R}^n\) fonksiyonunun \(a\)’da bütün birinci kısmi türevleri bulunsun. \(J_f(a)\) kare matrisinin determinantına \(f\)’nin \(a\) noktasındaki Jacobi determinantı denir ve
\[\det J_f(a) = \frac{\partial(f_1, \dots, f_n)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}(a)\]
ile gösterilir.
Yani Jacobi determinantı yalnız \(m = n\) iken anlamlıdır. Bileşenler ve değişkenler adlarıyla yazıldığında, örneğin \(u = u(x, y)\) ve \(v = v(x, y)\) için
\[\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix} = u_x v_y - u_y v_x\]
olur. Jacobi determinantının mutlak değeri, \(f\)’nin \(a\) yakınındaki küçük alan ve hacimleri yaklaşık kaç katına çıkardığını gösterir; sıfırdan farklı olması Ters ve Kapalı Fonksiyon Teoremleri bölümünde kilit koşul olacak.
Örnek 15.3 (Kutupsal Koordinatların Jacobi Determinantı) \(g(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\) kutupsal koordinat dönüşümünün Jacobi matrisini ve Jacobi determinantını bulunuz.
Çözüm
Jacobi matrisi. \(x = r\cos\theta\) ve \(y = r\sin\theta\) bileşenlerdir. Sütunlar \(\dfrac{\partial g}{\partial r} = (\cos\theta, \sin\theta)\) ve \(\dfrac{\partial g}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta)\) vektörleridir (Alıştırma 12.8):
\[J_g(r, \theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.\]
Determinant.
\[\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = r\cos^2\theta - (-r\sin\theta)\sin\theta = r\big( \cos^2\theta + \sin^2\theta \big) = r\]
bulunur. \(r > 0\) iken determinant sıfırdan farklıdır. \(r = 0\) iken sıfırdır; nitekim \(r = 0\) doğrusunun bütün \((0, \theta)\) noktaları tek bir noktaya, orijine gider. \(\blacksquare\)
15.5 Sürekli Kısmi Türevlerle Yeter Koşul
Teorem 15.3 kısmi türevlerin varlığını gerek koşul olarak verir ama bu koşul yeter değildir. Reel değerli fonksiyonlarda en kullanışlı yeter koşul kısmi türevlerin sürekliliğiydi (Teorem 14.3); bileşenler yardımıyla bu koşul vektör değerli fonksiyonlara geçer.
Teorem 15.4 (Vektör Değerli Fonksiyonlar için Yeter Koşul) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\) ve \(f = (f_1, \dots, f_m) : D \to \mathbb{R}^m\) olsun. Bütün \(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\) kısmi türevleri bir \(B(a, r) \subseteq D\) yuvarının her noktasında var ve \(a\) noktasında sürekliyse \(f\), \(a\)’da türevlenebilirdir ve \(Df(a) = J_f(a)\) olur. Özel olarak \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) açık ve \(f \in C^1(U)\) ise \(f\), \(U\)’nun her noktasında türevlenebilirdir.
İspat
Her \(i\) için \(f_i\)’nin birinci kısmi türevleri \(B(a, r)\)’de var ve \(a\)’da süreklidir; Teorem 14.3 gereği \(f_i\), \(a\)’da türevlenebilirdir. Bütün bileşenler türevlenebilir olduğundan Teorem 15.2 gereği \(f\) de \(a\)’da türevlenebilirdir ve Teorem 15.3 gereği türevin matrisi \(J_f(a)\)’dır.
\(f \in C^1(U)\) ise (Tanım 13.3) her \(f_i\) bileşeni \(C^1(U)\) sınıfındadır. \(a \in U\) için \(B(a, r) \subseteq U\) olacak bir \(r > 0\) vardır; kısmi türevler bu yuvarda var ve \(a\)’da süreklidir. İlk kısım gereği \(f\), \(a\)’da türevlenebilirdir. \(\blacksquare\)
Yani somut fonksiyonların çoğunda türevi bulmak, kısmi türevleri hesaplayıp Jacobi matrisine dizmekten ibarettir. \(f \in C^1(U)\) iken \(x \mapsto J_f(x)\) matrisinin her girdisi \(U\) üzerinde süreklidir; türev noktadan noktaya sürekli değişir. \(C^1\) sınıfındaki fonksiyonlara sürekli türevlenebilir denmesinin nedeni budur. Koşul yeterdir ama gerekli değildir: türevlenebilir olup kısmi türevleri sürekli olmayan fonksiyonlar vardır (Örnek 14.14) ve böyle bir fonksiyonu bileşen olarak alan, öbür bileşenleri türevlenebilir seçilmiş vektör değerli fonksiyon da aynı özelliği taşır.
- Bileşenler. \(f = (f_1, \dots, f_m)\) bileşenleri ayrı ayrı yazılır.
- Jacobi matrisi. Bütün \(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\) kısmi türevleri hesaplanır ve \(i\)-inci satıra \(\nabla f_i\) gelecek biçimde \(m \times n\) tipindeki \(J_f\) matrisine dizilir. Bir kısmi türev yoksa \(f\) türevlenemez (Teorem 15.3).
- Karar. Kısmi türevler noktanın bir yuvarında var ve noktada sürekliyse \(Df(a) = J_f(a)\)’dır (Teorem 15.4). Değilse tek aday \(J_f(a)\)’dır; kalan terimin \(\|h\|\) ile bölümünün \(0\)’a gidip gitmediği tanımla incelenir, gerekirse bileşen bileşen (Teorem 15.2).
Örnek 15.4 (Üç Bileşenli Bir Fonksiyonun Türevi) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), \(f(x_1, x_2) = \big( x_1^2,\ x_1^3 x_2,\ x_1^4 x_2^2 \big)\) olsun. \(Df(x_1, x_2)\) türevini bulunuz.
Çözüm
Bileşenler. \(f_1 = x_1^2\), \(f_2 = x_1^3 x_2\), \(f_3 = x_1^4 x_2^2\)’dir. \(n = 2\), \(m = 3\) olduğundan türev \(3 \times 2\) tipinde bir matrisle temsil edilir.
Jacobi matrisi.
\[J_f(x_1, x_2) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} \\ \dfrac{\partial f_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_3}{\partial x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 & 0 \\ 3x_1^2 x_2 & x_1^3 \\ 4x_1^3 x_2^2 & 2x_1^4 x_2 \end{pmatrix}.\]
Karar. Bütün girdiler polinomdur, dolayısıyla \(\mathbb{R}^2\)’de süreklidir (Teorem 10.3). Teorem 15.4 gereği \(f\) her noktada türevlenebilirdir ve \(Df(x_1, x_2) = J_f(x_1, x_2)\)’dir. Örneğin \((1, -1)\) noktasında
\[Df(1, -1)(h_1, h_2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2h_1 \\ -3h_1 + h_2 \\ 4h_1 - 2h_2 \end{pmatrix}\]
olur. \(\blacksquare\)
Örnek 15.5 (Türev ve Toplam Diferansiyel) \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4\),
\[f(x, y, z) = \big( x^2 + 5xyz,\ 2x - 3z,\ 4y + 2z - z^2,\ y^2 + 6z \big)\]
olsun. \(f'\) türevini ve \(df\) toplam diferansiyelini bulunuz.
Çözüm
Türev. Bileşenler polinom olduğundan kısmi türevleri de polinomdur ve süreklidir; Teorem 15.4 gereği türev Jacobi matrisidir. Her satır bir bileşenin \((x, y, z)\)’ye göre kısmi türevlerinden oluşur:
\[f'(x, y, z) = J_f(x, y, z) = \begin{pmatrix} 2x + 5yz & 5xz & 5xy \\ 2 & 0 & -3 \\ 0 & 4 & 2 - 2z \\ 0 & 2y & 6 \end{pmatrix}.\]
Toplam diferansiyel. Diferansiyel vektörü \((dx, dy, dz)\) olmak üzere
\[df = \begin{pmatrix} 2x + 5yz & 5xz & 5xy \\ 2 & 0 & -3 \\ 0 & 4 & 2 - 2z \\ 0 & 2y & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}\]
olur ve matris çarpımı satır satır yapılınca
\[df = \begin{pmatrix} (2x + 5yz)\,dx + 5xz\,dy + 5xy\,dz \\ 2\,dx - 3\,dz \\ 4\,dy + (2 - 2z)\,dz \\ 2y\,dy + 6\,dz \end{pmatrix}\]
bulunur. \(f'\) bir matrisle temsil edilen lineer dönüşümdür; \(df\) ise bu dönüşümün \((dx, dy, dz)\) vektörüne uygulanmasıyla elde edilen vektördür. \(\blacksquare\)
Örnek 15.6 (Paraboloit Parametrizasyonunun Türevi) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), \(f(x, y) = (x, y, x^2 + y^2)\) fonksiyonunun türevlenebilir olduğunu gösteriniz ve \(Df(0, 0)\), \(Df(0, 1)\), \(Df(1, 1)\) dönüşümlerini yazınız.
Çözüm
Türevlenebilirlik. Bileşenler \(f_1 = x\), \(f_2 = y\), \(f_3 = x^2 + y^2\) polinomlarıdır. Kısmi türevler
\[ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= (1, 0, 2x), \\[1mm] \frac{\partial f}{\partial y} &= (0, 1, 2y) \end{aligned} \]
olup bileşenleri süreklidir. Teorem 15.4 gereği \(f\) her noktada türevlenebilirdir, yani türevin bir matris temsili vardır:
\[Df(x, y) = J_f(x, y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2x & 2y \end{pmatrix}.\]
Üç noktada. \(h = (h_1, h_2)\) için
\[ \begin{aligned} Df(0, 0)(h_1, h_2) &= (h_1,\ h_2,\ 0), \\[1mm] Df(0, 1)(h_1, h_2) &= (h_1,\ h_2,\ 2h_2), \\[1mm] Df(1, 1)(h_1, h_2) &= (h_1,\ h_2,\ 2h_1 + 2h_2) \end{aligned} \]
olur. Afin fonksiyonlardan (Örnek 15.2) farklı olarak bu fonksiyonun türevi noktadan noktaya değişir. \(\blacksquare\)
Örnek 15.7 (Matris Temsilini Tanımla Doğrulamak) \[f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0), \\[2mm] 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}\]
fonksiyonunun \((0, 0)\) noktasında türevlenebilir olduğunu gösteriniz ve \(J_f(0, 0)\) matrisini bulunuz.
Çözüm
Kısmi türevler. Eksenler üzerinde \(f(t, 0) = f(0, t) = 0\) olduğundan fark oranları sıfırdır: \(f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0\). Tek aday, \(1 \times 2\) tipindeki \(J_f(0, 0) = (0 \ \ 0)\) matrisi, yani sıfır dönüşümüdür.
Kalan. \(h = (h_1, h_2) \ne 0\) olsun. \((h_1^2 - h_2^2)^2 \ge 0\) eşitsizliği açılınca \(4h_1^2 h_2^2 \le (h_1^2 + h_2^2)^2\) verir. Dolayısıyla
\[\frac{|f(h_1, h_2) - 0 - 0|}{\|h\|} = \frac{h_1^2 h_2^2}{(h_1^2 + h_2^2)^{3/2}} \le \frac{(h_1^2 + h_2^2)^2}{4\,(h_1^2 + h_2^2)^{3/2}} = \frac{\|h\|}{4}\]
olur ve sıkıştırmayla oran \(0\)’a gider.
Sonuç. \(f\), \((0, 0)\)’da türevlenebilirdir, \(Df(0, 0)\) sıfır dönüşümüdür ve \(J_f(0, 0) = (0 \ \ 0)\)’dır. Kısmi türevlerin orijin yakınındaki davranışını incelemeden, doğrudan tanımla karar verdik. \(\blacksquare\)
15.6 Afin Yaklaşım
Türevlenebilme, \(f\)’nin \(a\) yakınında bir sabit vektör ile bir lineer dönüşümün toplamına çok benzediğini söyler. Reel değerli fonksiyonlarda bu toplamı doğrusallaştırma adıyla tanımlamıştık (Tanım 14.3); aynı tanım vektör değerli fonksiyonlara geçer.
Tanım 15.5 (Afin Yaklaşım) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(f : D \to \mathbb{R}^m\) ve \(f\), \(a \in D^\circ\) noktasında türevlenebilir olsun.
\[L_a(x) = f(a) + Df(a)(x - a) = f(a) + J_f(a)\,(x - a)\]
kuralıyla tanımlanan \(L_a : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) fonksiyonuna \(f\)’nin \(a\) noktasındaki afin yaklaşımı (doğrusallaştırması) denir. \(x\), \(a\)’ya yakınken kullanılan \(f(x) \approx L_a(x)\) yaklaşımı, \(h = x - a\) ile \(f(a + h) \approx f(a) + Df(a)h\) biçiminde de yazılır.
Yani \(L_a\), bir sabit vektör ile bir lineer dönüşümün toplamı olan afin bir fonksiyondur ve \(a\) noktasında \(f\) ile aynı değeri alır. Türevlenebilme tanımı, yaklaşımın hatasının \(a\)’ya uzaklıktan daha hızlı sıfıra gittiğini söyler:
\[\lim_{x \to a} \frac{\|f(x) - L_a(x)\|}{\|x - a\|} = 0.\]
\(a\) noktasında \(f(a)\) değerini alan afin fonksiyonlar arasında bu özelliği taşıyan tek fonksiyon \(L_a\)’dır: \(\ell(x) = f(a) + S(x - a)\) (\(S\) lineer) bu özelliği taşıyorsa \(S\) türevlenebilme koşulunu sağlar ve teklik (Teorem 15.1) gereği \(S = Df(a)\) olur. \(m = 1\) iken bu, Önerme 14.2 sonucudur. \(L_a\)’nın bileşenleri, \(f\)’nin bileşenlerinin doğrusallaştırmalarıdır. Geometrik olarak
\[f(a) + Df(a)(\mathbb{R}^n) = \{ f(a) + Df(a)h : h \in \mathbb{R}^n \}\]
afin kümesi, \(f\)’nin görüntü kümesine \(f(a)\) noktasında teğet olarak düşünülür.
Örnek 15.8 (Paraboloidin Teğet Düzlemleri) \(f(x, y) = (x, y, x^2 + y^2)\) olsun (Örnek 15.6). \(f\)’nin \((0, 0)\) ve \((1, 1)\) noktalarındaki afin yaklaşımlarını bulunuz ve bu yaklaşımların görüntü kümelerini betimleyiniz.
Çözüm
Görüntü kümesi. \(f(x, y) = (x, y, x^2 + y^2)\) noktaları tam olarak \(z = x^2 + y^2\) paraboloidinin noktalarıdır; \(f\) bu yüzeyi parametrize eder.
\((0, 0)\) noktasında. \(f(0, 0) = (0, 0, 0)\) ve \(Df(0, 0)(h_1, h_2) = (h_1, h_2, 0)\) olduğundan
\[L_{(0, 0)}(x, y) = (0, 0, 0) + (x, y, 0) = (x, y, 0)\]
bulunur. Görüntü kümesi \(\{ (h_1, h_2, 0) : h_1, h_2 \in \mathbb{R} \}\), yani \(z = 0\) düzlemidir: paraboloidin en alt noktasındaki teğet düzlem.
\((1, 1)\) noktasında. \(f(1, 1) = (1, 1, 2)\) ve \(Df(1, 1)(h_1, h_2) = (h_1, h_2, 2h_1 + 2h_2)\) olduğundan
\[ \begin{aligned} L_{(1, 1)}(x, y) &= \big( x,\ y,\ 2 + 2(x - 1) + 2(y - 1) \big) \\[1mm] &= (x,\ y,\ 2x + 2y - 2) \end{aligned} \]
olur. Görüntü kümesi \(z = 2x + 2y - 2\) düzlemidir. Bu, \(g(x, y) = x^2 + y^2\) fonksiyonunun grafiğinin \((1, 1, 2)\) noktasındaki teğet düzlemidir (Tanım 14.4): \(g_x(1, 1) = g_y(1, 1) = 2\) olduğundan teğet düzlem \(z = 2 + 2(x - 1) + 2(y - 1)\)’dir.
Hata. Üçüncü bileşenlerin farkı
\[(x^2 + y^2) - (2x + 2y - 2) = (x - 1)^2 + (y - 1)^2\]
olduğundan
\[\big\| f(x, y) - L_{(1, 1)}(x, y) \big\| = \big\| (x, y) - (1, 1) \big\|^2\]
olur; hatanın uzaklığa oranı uzaklığın kendisine eşittir ve \(0\)’a gider. Örneğin \((1{,}1;\ 0{,}9)\) noktasında üçüncü bileşenler \(2{,}02\) ve \(2\)’dir; hata \(0{,}02\)’dir. \(\blacksquare\)
15.7 Cebirsel İşlemler
Tek değişkendeki türev kuralları (bkz. Analiz 2) vektör değerli fonksiyonlara taşınır. İki vektör çarpılıp yine bir vektör elde edilemediğinden çarpım kuralının iki biçimi vardır: reel değerli bir fonksiyonla çarpım ve iç çarpım.
Teorem 15.5 (Türevin Cebirsel Özellikleri) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\) ve \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) olsun. \(f, g : D \to \mathbb{R}^m\) ve \(\varphi : D \to \mathbb{R}\) fonksiyonları \(a\) noktasında türevlenebilir olsun. O zaman aşağıdaki fonksiyonlar \(a\) noktasında türevlenebilirdir ve her \(h \in \mathbb{R}^n\) için verilen eşitlikler sağlanır.
Lineer birleşim. \(\alpha f + \beta g\) için
\[D(\alpha f + \beta g)(a) = \alpha\,Df(a) + \beta\,Dg(a).\]
Reel fonksiyonla çarpım. \((\varphi f)(x) = \varphi(x) f(x)\) ile tanımlanan \(\varphi f : D \to \mathbb{R}^m\) için
\[D(\varphi f)(a)h = \big( D\varphi(a)h \big)\,f(a) + \varphi(a)\,Df(a)h.\]
İç çarpım. \(x \mapsto \langle f(x), g(x) \rangle\) ile tanımlanan \(\langle f, g \rangle : D \to \mathbb{R}\) için
\[D\langle f, g \rangle(a)h = \langle Df(a)h, g(a) \rangle + \langle f(a), Dg(a)h \rangle.\]
İspat
\(B(a, r) \subseteq D\) olsun. Her fonksiyonun kalanını, türevin artımdan çıkarılmasıyla tanımlayalım: \(0 < \|h\| < r\) için
\[ \begin{aligned} r_f(h) &= f(a + h) - f(a) - Df(a)h, \\[1mm] r_g(h) &= g(a + h) - g(a) - Dg(a)h, \\[1mm] \rho(h) &= \varphi(a + h) - \varphi(a) - D\varphi(a)h. \end{aligned} \]
Varsayım gereği \(h \to 0\) iken \(\dfrac{\|r_f(h)\|}{\|h\|}\), \(\dfrac{\|r_g(h)\|}{\|h\|}\) ve \(\dfrac{|\rho(h)|}{\|h\|}\) oranları \(0\)’a gider. Bunlar kalanların kendilerinin de \(0\)’a gittiğini verir; örneğin
\[\|r_f(h)\| = \|h\| \cdot \frac{\|r_f(h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \cdot 0 = 0.\]
1. \(\alpha\,Df(a) + \beta\,Dg(a)\) dönüşümü lineerdir ve
\[ \begin{aligned} &(\alpha f + \beta g)(a + h) - (\alpha f + \beta g)(a) - \big( \alpha\,Df(a) + \beta\,Dg(a) \big)h \\[1mm] &\quad = \alpha\,r_f(h) + \beta\,r_g(h) \end{aligned} \]
olur. Üçgen eşitsizliğiyle
\[\frac{\|\alpha\,r_f(h) + \beta\,r_g(h)\|}{\|h\|} \le |\alpha|\,\frac{\|r_f(h)\|}{\|h\|} + |\beta|\,\frac{\|r_g(h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0\]
bulunur.
2. \(c(h) = D\varphi(a)h\) reel sayısını ve \(T = Df(a)\) dönüşümünü kısaltma olarak kullanalım. \(\varphi(a + h) = \varphi(a) + c(h) + \rho(h)\) ve \(f(a + h) = f(a) + T(h) + r_f(h)\) eşitliklerini çarpıp \(\varphi(a) f(a)\)’yı çıkarırsak
\[\varphi(a + h) f(a + h) - \varphi(a) f(a) = c(h)\,f(a) + \varphi(a)\,T(h) + R(h)\]
elde edilir; burada
\[R(h) = \rho(h)\,f(a) + \varphi(a)\,r_f(h) + \big( c(h) + \rho(h) \big)\big( T(h) + r_f(h) \big)\]
dir. \(h \mapsto c(h)\,f(a) + \varphi(a)\,T(h)\) lineerdir, çünkü \(c\) ve \(T\) lineerdir. \(R(h)\) teriminin üç parçasını ayrı ayrı inceleyelim:
İlk iki parça için
\[ \begin{aligned} \frac{\|\rho(h)\,f(a)\|}{\|h\|} &= \frac{|\rho(h)|}{\|h\|}\,\|f(a)\| \longrightarrow 0, \\[1mm] \frac{\|\varphi(a)\,r_f(h)\|}{\|h\|} &= |\varphi(a)|\,\frac{\|r_f(h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \end{aligned} \]
olur.
Üçüncü parça için Lemma 15.1 gereği \(\|T(h)\| \le M_T\,\|h\|\) olduğundan
\[\frac{\big\| \big( c(h) + \rho(h) \big)\big( T(h) + r_f(h) \big) \big\|}{\|h\|} \le \big| c(h) + \rho(h) \big| \left( M_T + \frac{\|r_f(h)\|}{\|h\|} \right)\]
olur. Parantez \(M_T\)’ye gider, dolayısıyla \(0\)’ın yakınında sınırlıdır. \(c\) lineer olduğundan Lemma 15.1 gereği \(c(h) \to 0\), ayrıca \(\rho(h) \to 0\)’dır. Çarpım \(0\)’a gider.
Üçgen eşitsizliğiyle \(\dfrac{\|R(h)\|}{\|h\|} \to 0\) olur; \(\varphi f\), \(a\)’da türevlenebilirdir ve türevi \(h \mapsto c(h)\,f(a) + \varphi(a)\,T(h)\) dönüşümüdür.
3. İç çarpımı bileşenlerle yazalım:
\[\langle f, g \rangle(x) = f_1(x) g_1(x) + \dots + f_m(x) g_m(x).\]
Teorem 15.2 gereği her \(f_i\) ve \(g_i\), \(a\)’da türevlenebilirdir. 2. madde \(m = 1\), \(\varphi = f_i\) ve \(f = g_i\) ile uygulanırsa her \(f_i g_i\) çarpımı \(a\)’da türevlenebilir ve
\[D(f_i g_i)(a)h = \big( Df_i(a)h \big)\,g_i(a) + f_i(a)\,\big( Dg_i(a)h \big)\]
olur. 1. madde gereği bu çarpımların toplamı da türevlenebilirdir ve
\[D\langle f, g \rangle(a)h = \sum_{i=1}^{m} \big( Df_i(a)h \big)\,g_i(a) + \sum_{i=1}^{m} f_i(a)\,\big( Dg_i(a)h \big)\]
bulunur. Teorem 15.2 gereği \(Df(a)h = \big( Df_1(a)h, \dots, Df_m(a)h \big)\) olduğundan birinci toplam \(\langle Df(a)h, g(a) \rangle\), ikinci toplam \(\langle f(a), Dg(a)h \rangle\) iç çarpımıdır. \(\blacksquare\)
Yani türev lineerdir ve çarpımlar için tanıdık Leibniz kuralı geçerlidir: çarpanların türevi sırayla alınır, öbür çarpan \(a\) noktasındaki değerinde bırakılır. Jacobi matrisleriyle ilk iki madde
\[ \begin{aligned} J_{\alpha f + \beta g}(a) &= \alpha\,J_f(a) + \beta\,J_g(a), \\[1mm] J_{\varphi f}(a) &= f(a)\,\nabla\varphi(a) + \varphi(a)\,J_f(a) \end{aligned} \]
biçimini alır; ikinci satırdaki \(f(a)\,\nabla\varphi(a)\), \(m \times 1\) tipindeki bir sütun ile \(1 \times n\) tipindeki bir satırın çarpımıdır. \(m = 1\) iken 2. madde iki reel fonksiyonun çarpımı için \(\nabla(\varphi\psi) = \psi\,\nabla\varphi + \varphi\,\nabla\psi\) formülünü, \(n = m = 1\) iken Analiz 2’deki çarpım kuralını verir. 3. maddede \(g = f\) alınırsa
\[D\big( \|f\|^2 \big)(a)h = 2\,\langle f(a), Df(a)h \rangle\]
bulunur.
Örnek 15.9 (Sabit Uzunluklu Vektör Fonksiyonu) \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) açık, \(f : U \to \mathbb{R}^m\) türevlenebilir ve her \(x \in U\) için \(\|f(x)\| = 1\) olsun. Her \(a \in U\) ve her \(h \in \mathbb{R}^n\) için \(\langle f(a), Df(a)h \rangle = 0\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Sabit fonksiyon. \(\psi(x) = \langle f(x), f(x) \rangle = \|f(x)\|^2\) fonksiyonu \(U\) üzerinde sabit \(1\)’dir. \(a \in U\) ve \(B(a, r) \subseteq U\) ise \(\|h\| < r\) için \(\psi(a + h) - \psi(a) - 0 = 0\) olur; \(T = 0\) tanımdaki koşulu sağlar ve türevin tekliği gereği \(D\psi(a) = 0\)’dır (karşılaştırın: Örnek 15.2).
İç çarpım kuralı. Teorem 15.5 3. maddesi \(g = f\) ile uygulanırsa
\[0 = D\psi(a)h = \langle Df(a)h, f(a) \rangle + \langle f(a), Df(a)h \rangle = 2\,\langle f(a), Df(a)h \rangle\]
bulunur; iç çarpımın simetrisi kullanıldı (Önerme 1.2). Demek ki \(\langle f(a), Df(a)h \rangle = 0\)’dır.
Yorum. \(n = 1\), \(m = 2\) ve \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) alalım; \(f\) birim çemberi dolaşır. \(Df(t)h = h\,f'(t)\) ve \(f'(t) = (-\sin t, \cos t)\) olduğundan
\[\langle f(t), f'(t) \rangle = -\cos t\sin t + \sin t\cos t = 0\]
olur: çember üzerinde hareket eden noktanın hız vektörü, konum vektörüne, yani yarıçapa diktir. Genel durumda da \(Df(a)\) dönüşümünün bütün değerleri \(f(a)\) vektörüne diktir. \(\blacksquare\)
15.8 Zincir Kuralı
Tek değişkende \((f \circ g)'(a) = f'\big(g(a)\big)\,g'(a)\) idi (bkz. Analiz 2). Türevleri lineer dönüşüm olarak gördüğümüzde bu formül kelimesi kelimesine genelleşir: sayıların çarpımının yerini lineer dönüşümlerin bileşkesi, yani matrislerin çarpımı alır.
Teorem 15.6 (Zincir Kuralı) \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(V \subseteq \mathbb{R}^m\) boş olmayan açık kümeler, \(g : U \to \mathbb{R}^m\) ve \(f : V \to \mathbb{R}^p\) fonksiyonlar ve \(g(U) \subseteq V\) olsun. \(g\), \(a \in U\) noktasında ve \(f\), \(b = g(a)\) noktasında türevlenebilirse \(f \circ g : U \to \mathbb{R}^p\) bileşke fonksiyonu \(a\) noktasında türevlenebilirdir ve
\[D(f \circ g)(a) = Df\big( g(a) \big) \circ Dg(a)\]
olur. Matris diliyle
\[J_{f \circ g}(a) = J_f\big( g(a) \big)\,J_g(a)\]
yazılır; sağdaki çarpım \(p \times m\) ve \(m \times n\) tipindeki iki matrisin çarpımıdır.
İspat
\(S = Dg(a)\) ve \(T = Df(b)\) diyelim; \(S : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) ve \(T : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p\) lineerdir. \(U\) açık olduğundan \(0 < \|h\|\) küçükken \(a + h \in U\) olur.
İki kalan. \(a + h \in U\) için
\[r(h) = g(a + h) - g(a) - S(h)\]
diyelim; \(h \to 0\) iken \(\dfrac{\|r(h)\|}{\|h\|} \to 0\)’dır. \(b + w \in V\) olan \(w \in \mathbb{R}^m\) için
\[\rho(w) = f(b + w) - f(b) - T(w)\]
ve \(w \ne 0\) iken \(\eta(w) = \dfrac{\rho(w)}{\|w\|}\), \(w = 0\) iken \(\eta(0) = 0\) diyelim. \(\rho(0) = f(b) - f(b) - T(0) = 0\) olduğundan her \(w\) için
\[\rho(w) = \|w\|\,\eta(w)\]
olur ve \(f\)’nin türevlenebilirliği gereği \(w \to 0\) iken \(\eta(w) \to 0 = \eta(0)\)’dır; yani \(\eta\), \(0\) noktasında süreklidir.
Bileşkenin artımı. \(w(h) = g(a + h) - g(a)\) diyelim. \(b + w(h) = g(a + h) \in V\) olduğundan
\[ \begin{aligned} (f \circ g)(a + h) - (f \circ g)(a) &= f\big( b + w(h) \big) - f(b) \\[1mm] &= T\big( w(h) \big) + \|w(h)\|\,\eta\big( w(h) \big) \end{aligned} \]
yazılır. \(w(h) = S(h) + r(h)\) ve \(T\) lineer olduğundan \(T\big( w(h) \big) = T\big( S(h) \big) + T\big( r(h) \big)\)’dir. Dolayısıyla
\[(f \circ g)(a + h) - (f \circ g)(a) - (T \circ S)(h) = R(h)\]
olur; burada
\[R(h) = T\big( r(h) \big) + \|w(h)\|\,\eta\big( w(h) \big)\]
dir.
Kalanın tahmini. Lemma 15.1 gereği \(\|S(h)\| \le M_S\,\|h\|\) ve \(\|T(w)\| \le M_T\,\|w\|\) olacak \(M_S\), \(M_T\) sabitleri vardır.
Birinci terim için \(\dfrac{\|T(r(h))\|}{\|h\|} \le M_T\,\dfrac{\|r(h)\|}{\|h\|} \to 0\).
İkinci terim için önce \(\|w(h)\| \le \|S(h)\| + \|r(h)\|\) eşitsizliğinden
\[\frac{\|w(h)\|\,\|\eta(w(h))\|}{\|h\|} \le \left( M_S + \frac{\|r(h)\|}{\|h\|} \right) \|\eta(w(h))\|\]
bulunur. \(g\), \(a\)’da türevlenebilir olduğundan süreklidir (Sonuç 15.1); bu yüzden \(h \mapsto w(h)\) fonksiyonu \(h = 0\)’da süreklidir ve \(w(0) = 0\)’dır. \(\eta\) da \(0\)’da sürekli olduğundan bileşkenin sürekliliği (Teorem 10.4) gereği \(h \to 0\) iken \(\eta\big( w(h) \big) \to \eta(0) = 0\) olur. Paranteze alınan çarpan \(M_S\)’ye gider, yani \(0\)’ın yakınında sınırlıdır; çarpım \(0\)’a gider.
Üçgen eşitsizliğiyle \(\dfrac{\|R(h)\|}{\|h\|} \to 0\) bulunur.
Sonuç. \(T \circ S\) iki lineer dönüşümün bileşkesi olarak lineerdir ve yukarıdaki limit, \(f \circ g\)’nin \(a\)’da \(T \circ S\) ile türevlenebilir olduğunu söyler. Teklik (Teorem 15.1) gereği \(D(f \circ g)(a) = T \circ S = Df(b) \circ Dg(a)\)’dır. İki lineer dönüşümün bileşkesinin matrisi, matrislerinin çarpımıdır; Teorem 15.3 gereği bu matrisler \(J_f(b)\) ve \(J_g(a)\), bileşkeninki de \(J_{f \circ g}(a)\)’dır. Öyleyse \(J_{f \circ g}(a) = J_f(b)\,J_g(a)\). \(\blacksquare\)
Yani bileşkenin türevi, türevlerin bileşkesidir. İspatın fikri kısaca şudur: \(g\) küçük bir \(h\) artımını yaklaşık olarak \(Dg(a)h\) artımına, \(f\) de bu artımı yaklaşık olarak \(Df(b)\big( Dg(a)h \big)\) artımına götürür; iki yaklaşımın hataları üst üste binse de \(\|h\|\)’den hızlı sönmeye devam eder. \(n = m = p\) ise determinantın çarpımsallığından
\[\det J_{f \circ g}(a) = \det J_f\big( g(a) \big) \cdot \det J_g(a)\]
olur; Jacobi determinantları da çarpılır.
Matris çarpımını girdi girdi yazmak, zincir kuralını kısmi türevlerle ifade eder.
Sonuç 15.2 (Zincir Kuralının Kısmi Türevlerle Yazılışı) Teorem 15.6 koşulları altında \(f = (f_1, \dots, f_p)\) fonksiyonunun değişkenleri \(y = (y_1, \dots, y_m)\) ile gösterilsin. Her \(i = 1, \dots, p\) ve \(j = 1, \dots, n\) için
\[\frac{\partial (f_i \circ g)}{\partial x_j}(a) = \sum_{l=1}^{m} \frac{\partial f_i}{\partial y_l}\big( g(a) \big)\, \frac{\partial g_l}{\partial x_j}(a)\]
olur.
İspat
\(f \circ g = (f_1 \circ g, \dots, f_p \circ g)\) fonksiyonu \(a\)’da türevlenebilir olduğundan Teorem 15.3 gereği sol taraf \(J_{f \circ g}(a)\) matrisinin \((i, j)\) girdisidir. Teorem 15.6 gereği bu girdi, \(J_f\big( g(a) \big)\) matrisinin \(i\)-inci satırı ile \(J_g(a)\) matrisinin \(j\)-inci sütununun çarpımıdır. Satırın \(l\)-inci girdisi \(\dfrac{\partial f_i}{\partial y_l}\big( g(a) \big)\), sütunun \(l\)-inci girdisi \(\dfrac{\partial g_l}{\partial x_j}(a)\) olduğundan çarpım sağ taraftaki toplamdır. \(\blacksquare\)
Uygulamada Leibniz yazımı kullanılır: \(z = f(y)\) ve \(y = g(x)\) ise
\[\frac{\partial z_i}{\partial x_j} = \sum_{l=1}^{m} \frac{\partial z_i}{\partial y_l}\,\frac{\partial y_l}{\partial x_j}\]
yazılır. Solda \(z_i\), \(x\)’in fonksiyonu olarak; sağda önce \(y\)’nin fonksiyonu olarak türetilir. Formül sözle şöyle okunur: \(x_j\)’deki küçük bir değişim her \(y_l\) ara değişkenini değiştirir, her \(y_l\) değişimi de \(z_i\)’yi değiştirir; bütün ara değişkenlerden gelen katkılar toplanır.
Örnek 15.10 (Matris Çarpımıyla Zincir Kuralı) \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(g(x, y) = (x + y, x - y)\) ve \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), \(f(u, v) = (uv, u^2, v^2)\) olsun. \(J_{f \circ g}(1, 0)\) matrisini zincir kuralıyla bulunuz ve sonucu doğrudan hesapla denetleyiniz.
Çözüm
Jacobi matrisleri. \(f\) ve \(g\) polinom bileşenlidir, dolayısıyla her yerde türevlenebilir (Teorem 15.4). \(g(1, 0) = (1, 1)\)’dir ve
\[ \begin{aligned} J_g(x, y) &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \\[1mm] J_f(u, v) &= \begin{pmatrix} v & u \\ 2u & 0 \\ 0 & 2v \end{pmatrix} \end{aligned} \]
olduğundan \(J_f(1, 1)\) matrisinin satırları \((1, 1)\), \((2, 0)\) ve \((0, 2)\)’dir.
Zincir kuralı.
\[ \begin{aligned} J_{f \circ g}(1, 0) &= J_f(1, 1)\,J_g(1, 0) \\[1mm] &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}. \end{aligned} \]
Denetim. Bileşke açıkça
\[(f \circ g)(x, y) = \big( x^2 - y^2,\ (x + y)^2,\ (x - y)^2 \big)\]
olur ve Jacobi matrisi
\[J_{f \circ g}(x, y) = \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2(x + y) & 2(x + y) \\ 2(x - y) & -2(x - y) \end{pmatrix}\]
matrisidir. \((1, 0)\) noktasında satırlar \((2, 0)\), \((2, 2)\) ve \((2, -2)\)’dir; iki yol uyuşur. \(\blacksquare\)
Örnek 15.11 (Dış Fonksiyonun Türevlenebilmesi Gereklidir) \[f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0), \\[2mm] 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}\]
ve \(g(t) = (t, t)\) olsun. \((f \circ g)'(0)\) sayısının \(J_f(0, 0)\,J_g(0)\) çarpımına eşit olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Formülün önerdiği değer. Eksenler üzerinde \(f(t, 0) = f(0, t) = 0\) olduğundan \(f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0\) ve \(J_f(0, 0) = (0 \ \ 0)\)’dır. \(g'(t) = (1, 1)\) olduğundan \(J_g(0)\), girdileri \(1\) ve \(1\) olan sütundur. Çarpım
\[J_f(0, 0)\,J_g(0) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0\]
olur.
Gerçek değer. \(t \ne 0\) için
\[(f \circ g)(t) = f(t, t) = \frac{t^2 \cdot t}{t^2 + t^2} = \frac{t}{2}\]
ve \((f \circ g)(0) = f(0, 0) = 0\)’dır. Demek ki her \(t\) için \((f \circ g)(t) = \dfrac{t}{2}\) ve \((f \circ g)'(0) = \dfrac{1}{2} \ne 0\)’dır.
Yorum. \(g\) türevlenebilirdir ve \(f\)’nin orijinde kısmi türevleri vardır; üstelik \(f\) süreklidir. Yine de formül yanlış sonuç verdi, çünkü \(f\) orijinde türevlenemez (Örnek 14.10). Zincir kuralında dış fonksiyonun yalnız kısmi türevlerinin var olması yetmez, türevlenebilir olması gerekir. Bu hesap, \(f\)’nin türevlenemediğinin başka bir kanıtıdır: \(f\) türevlenebilseydi Teorem 15.6 eşitliği sağlanırdı. \(\blacksquare\)
15.9 Zincir Kuralının Özel Hâlleri
Boyutlar küçük seçildiğinde zincir kuralı tanıdık formüllere dönüşür; uygulamada en çok bu özel hâller kullanılır.
İlk özel hâl, çok değişkenli bir fonksiyonu bir eğri boyunca izlemektir (\(n = 1\), \(p = 1\)).
Sonuç 15.3 (Bir Eğri Boyunca Değişim Hızı) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık bir aralık, \(V \subseteq \mathbb{R}^m\) açık bir küme, \(\gamma = (\gamma_1, \dots, \gamma_m) : I \to \mathbb{R}^m\) ve \(f : V \to \mathbb{R}\) fonksiyonlar ve \(\gamma(I) \subseteq V\) olsun. \(\gamma\), \(t_0 \in I\) noktasında ve \(f\), \(\gamma(t_0)\) noktasında türevlenebilirse \(F(t) = f\big( \gamma(t) \big)\) fonksiyonu \(t_0\)’da türevlenebilirdir ve
\[ \begin{aligned} F'(t_0) &= \big\langle \nabla f\big( \gamma(t_0) \big), \gamma'(t_0) \big\rangle \\[1mm] &= \sum_{l=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_l}\big( \gamma(t_0) \big)\,\gamma_l'(t_0) \end{aligned} \]
olur.
İspat
Teorem 15.6 gereği \(F\), \(t_0\)’da türevlenebilirdir ve \(J_F(t_0) = J_f\big( \gamma(t_0) \big)\,J_\gamma(t_0)\)’dır. \(n = 1\) olduğundan \(J_\gamma(t_0)\), girdileri \(\gamma_1'(t_0), \dots, \gamma_m'(t_0)\) olan \(m \times 1\) tipindeki sütundur; \(J_f\big( \gamma(t_0) \big)\) ise \(1 \times m\) tipindeki \(\nabla f\big( \gamma(t_0) \big)\) satırıdır. Bir satır ile bir sütunun çarpımı iç çarpımdır ve \(1 \times 1\) tipindeki \(J_F(t_0)\) matrisinin tek girdisi \(F'(t_0)\)’dır. \(\blacksquare\)
Yani bir fonksiyonun bir eğri boyunca değişim hızı, gradyan ile eğrinin hız vektörünün iç çarpımıdır. İki değişkende, \(F(t) = f\big( x(t), y(t) \big)\) için formül
\[\frac{dF}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{dx}{dt} \\ \dfrac{dy}{dt} \end{pmatrix}\]
biçimini alır. Solda adi türev durur, çünkü \(F\) tek değişkenlidir; sağda \(f\)’nin kısmi türevleri \(\big( x(t), y(t) \big)\) noktasında hesaplanır. \(m = 1\) alınırsa (\(n = m = p = 1\)) sonuç \((f \circ \gamma)'(t_0) = f'\big( \gamma(t_0) \big)\,\gamma'(t_0)\) olur; bu, Analiz 2’deki zincir kuralıdır ve Leibniz yazımıyla \(\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{dz}{dy}\,\dfrac{dy}{dx}\) diye okunur.
Örnek 15.12 (Bir Eğri Boyunca Türev) \(f(x, y) = x^2 y\), \(x(t) = e^t\) ve \(y(t) = t^2\) olsun. \(F(t) = f\big( x(t), y(t) \big)\) için \(F'(t)\) türevini zincir kuralıyla bulunuz.
Çözüm
Zincir kuralı. \(f\) polinom olduğundan türevlenebilirdir; \(x\) ve \(y\) de türevlenebilirdir. \(f_x = 2xy\), \(f_y = x^2\), \(x'(t) = e^t\), \(y'(t) = 2t\) olduğundan Sonuç 15.3 gereği
\[ \begin{aligned} F'(t) &= 2xy \cdot e^t + x^2 \cdot 2t \\[1mm] &= 2e^t t^2 \cdot e^t + e^{2t} \cdot 2t = 2t(t + 1)\,e^{2t} \end{aligned} \]
bulunur; ikinci adımda \(x = e^t\) ve \(y = t^2\) yerine konuldu.
Denetim. \(F(t) = e^{2t} t^2\) olduğundan tek değişkenli çarpım kuralı
\[F'(t) = 2e^{2t} t^2 + 2t\,e^{2t} = 2t(t + 1)\,e^{2t}\]
verir. \(\blacksquare\)
İkinci özel hâlde iki değişkenli bir fonksiyonun değişkenleri, iki değişkenli başka fonksiyonlarla değiştirilir (\(n = m = 2\), \(p = 1\)).
Sonuç 15.4 (İki Ara Değişkenli Zincir Kuralı) \(U, V \subseteq \mathbb{R}^2\) açık kümeler, \(u, v : U \to \mathbb{R}\) ve \(f : V \to \mathbb{R}\) fonksiyonlar olsun ve her \((x, y) \in U\) için \(\big( u(x, y), v(x, y) \big) \in V\) olsun. \(u\) ve \(v\), \((x_0, y_0) \in U\) noktasında, \(f\) de \((u_0, v_0) = \big( u(x_0, y_0), v(x_0, y_0) \big)\) noktasında türevlenebilirse
\[F(x, y) = f\big( u(x, y), v(x, y) \big)\]
fonksiyonu \((x_0, y_0)\)’da türevlenebilirdir ve
\[ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x} &= \frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial x}, \\[1mm] \frac{\partial F}{\partial y} &= \frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial y} \end{aligned} \]
olur; burada \(F\), \(u\) ve \(v\)’nin kısmi türevleri \((x_0, y_0)\)’da, \(f\)’ninkiler \((u_0, v_0)\)’da hesaplanır.
İspat
\(g = (u, v) : U \to \mathbb{R}^2\) fonksiyonu, bileşenleri \((x_0, y_0)\)’da türevlenebilir olduğundan orada türevlenebilirdir (Teorem 15.2) ve \(F = f \circ g\)’dir. Teorem 15.6 gereği \(F\), \((x_0, y_0)\)’da türevlenebilirdir ve \(J_F = J_f\,J_g\) olur:
\[\begin{pmatrix} \dfrac{\partial F}{\partial x} & \dfrac{\partial F}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial u} & \dfrac{\partial f}{\partial v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} \\ \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}.\]
Satırın iki sütunla çarpımı iki formülü verir. \(\blacksquare\)
Kutupsal koordinatlar bu özel hâlin en sık karşılaşılan örneğidir.
Örnek 15.13 (Kutupsal Koordinatlarda Kısmi Türevler) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) türevlenebilir ve \(F(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)\) olsun. \(\dfrac{\partial F}{\partial r}\) ve \(\dfrac{\partial F}{\partial \theta}\) kısmi türevlerini \(f_x\) ve \(f_y\) cinsinden yazınız.
Çözüm
Ara değişkenler. \(x = r\cos\theta\) ve \(y = r\sin\theta\) ara değişkenlerdir; Örnek 15.3 gereği
\[ \begin{aligned} x_r &= \cos\theta, & y_r &= \sin\theta, \\[1mm] x_\theta &= -r\sin\theta, & y_\theta &= r\cos\theta \end{aligned} \]
olur.
Formüller. Sonuç 15.4, \(u, v\) yerine \(x, y\) ve \(x, y\) yerine \(r, \theta\) yazılarak uygulanırsa
\[ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial r} &= f_x \cos\theta + f_y \sin\theta, \\[1mm] \frac{\partial F}{\partial \theta} &= -f_x\, r\sin\theta + f_y\, r\cos\theta \end{aligned} \]
bulunur; \(f_x\) ve \(f_y\), \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) noktasında hesaplanır.
Denetim. \(f(x, y) = xy\) için \(F(r, \theta) = r^2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{r^2}{2}\sin 2\theta\) olur; doğrudan türevle \(F_r = r\sin 2\theta\) ve \(F_\theta = r^2\cos 2\theta\)’dır. Formüllerle, \(f_x = y = r\sin\theta\) ve \(f_y = x = r\cos\theta\) olduğundan
\[ \begin{aligned} F_r &= r\sin\theta\cos\theta + r\cos\theta\sin\theta = r\sin 2\theta, \\[1mm] F_\theta &= -r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta = r^2\cos 2\theta \end{aligned} \]
bulunur; iki yol uyuşur. \(\blacksquare\)
Ara değişken sayısı arttıkça Sonuç 15.2 içindeki toplamı doğrudan yazmak yerine değişkenlerin birbirine bağlılığını bir ağaç diyagramıyla göstermek işi kolaylaştırır. Leibniz yazımında toplamın her terimi, ağaçta tepeden aranan değişkene inen bir yola karşılık gelir.
- Ağacı çiz. En üste bağımlı değişken, ortaya ara değişkenler, en alta bağımsız değişkenler yazılır. Her değişken, doğrudan bağlı olduğu değişkenlere birer dalla bağlanır ve dalın üzerine ilgili kısmi türev yazılır.
- Yolları çarp. Aranan kısmi türev için tepeden ilgili bağımsız değişkene inen bütün yollar bulunur; her yol boyunca dallardaki kısmi türevler çarpılır.
- Topla ve yerine koy. Yolların katkıları toplanır. Değer bir noktada isteniyorsa önce ara değişkenlerin o noktadaki değerleri hesaplanır, sonra hepsi yerine konur.
Örnek 15.14 (Dört Ara Değişkenli Zincir Kuralı) \(u = f(x, y, z, w)\) türevlenebilir bir fonksiyon, \(x, y, z, w\) de \((s, t)\) değişkenlerinin türevlenebilir fonksiyonları olsun. \(\dfrac{\partial u}{\partial s}\) ve \(\dfrac{\partial u}{\partial t}\) kısmi türevlerini zincir kuralıyla yazınız.
Çözüm
Ağaç. En üstte \(u\), ortada \(x, y, z, w\) ara değişkenleri, en altta her ara değişkenin altında \(s\) ve \(t\) durur. \(u\)’dan \(s\)’ye dört yol iner: \(u \to x \to s\), \(u \to y \to s\), \(u \to z \to s\) ve \(u \to w \to s\). \(t\) için de dört yol vardır.
Yolların toplamı. Her yol boyunca kısmi türevleri çarpıp toplarsak
\[ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial s} &= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial s}, \\[1mm] \frac{\partial u}{\partial t} &= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial t} \end{aligned} \]
bulunur. Bu, Sonuç 15.2 formülünün \(n = 2\), \(m = 4\), \(p = 1\) hâlidir. Matris biçiminde
\[\begin{pmatrix} u_s & u_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_x & u_y & u_z & u_w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_s & x_t \\ y_s & y_t \\ z_s & z_t \\ w_s & w_t \end{pmatrix}\]
yazılır. \(\blacksquare\)
Örnek 15.15 (Üç Ara Değişkenli Bir Hesap) \(x = rse^t\), \(y = 2re^{st}\), \(z = r^2\sin(st)\) ve \(u = x^4 y + y^2 z^3\) olsun. \(r = 2\), \(s = 1\), \(t = 0\) için \(\dfrac{\partial u}{\partial s}\) değerini bulunuz.
Çözüm
Ağaç ve genel formüller. \(u\), \(x, y, z\) ara değişkenlerine, bunların her biri de \(r, s, t\) bağımsız değişkenlerine bağlıdır. Bütün fonksiyonlar polinom, üstel ve sinüs fonksiyonlarından kurulduğu için \(C^1\) sınıfındadır ve zincir kuralı uygulanabilir. Tepeden her bağımsız değişkene üç yol iner:
\[ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r} &= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r}, \\[1mm] \frac{\partial u}{\partial s} &= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s}, \\[1mm] \frac{\partial u}{\partial t} &= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}. \end{aligned} \]
Kısmi türevler. Dış ve iç türevler
\[ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= 4x^3 y, & \frac{\partial u}{\partial y} &= x^4 + 2yz^3, & \frac{\partial u}{\partial z} &= 3y^2 z^2, \\[1mm] \frac{\partial x}{\partial s} &= re^t, & \frac{\partial y}{\partial s} &= 2rt\,e^{st}, & \frac{\partial z}{\partial s} &= r^2 t\cos(st) \end{aligned} \]
olduğundan
\[ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial s} &= 4x^3 y \cdot re^t + \big( x^4 + 2yz^3 \big) \cdot 2rt\,e^{st} \\[1mm] &\quad + 3y^2 z^2 \cdot r^2 t\cos(st) \end{aligned} \]
bulunur.
Nokta. \(r = 2\), \(s = 1\), \(t = 0\) için \(x = 2 \cdot 1 \cdot e^0 = 2\), \(y = 2 \cdot 2 \cdot e^0 = 4\) ve \(z = 4\sin 0 = 0\) olur. \(t = 0\) olduğundan son iki terim sıfırdır ve
\[\frac{\partial u}{\partial s} = 4 \cdot 2^3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot e^0 = 256\]
bulunur. \(u\)’yu \(r, s, t\) cinsinden açıkça yazmaya gerek kalmadı; zincir kuralı yalnız ara değişkenlerin o noktadaki değerlerini istedi. \(\blacksquare\)
Örnek 15.16 (Üstel Koordinatlarda Logaritma) \(x = e^u\cos v\), \(y = e^u\sin v\) ve \(z = \ln(x^2 + y^2)\) olsun. \(\dfrac{\partial z}{\partial u}\) ve \(\dfrac{\partial z}{\partial v}\) kısmi türevlerini bulunuz.
Çözüm
Tanım ve türevlenebilirlik.
\[x^2 + y^2 = e^{2u}(\cos^2 v + \sin^2 v) = e^{2u} > 0\]
olduğundan \(z\) her \((u, v)\) için tanımlıdır. \(x\) ve \(y\), \((u, v)\)’nin \(C^1\) fonksiyonlarıdır. \(\ln(x^2 + y^2)\) fonksiyonunun kısmi türevleri \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\) açık kümesinde süreklidir, dolayısıyla bu fonksiyon orada türevlenebilirdir (Sonuç 14.3):
\[ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{2x}{x^2 + y^2}, \\[1mm] \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{2y}{x^2 + y^2}. \end{aligned} \]
İç türevler. \(x_u = e^u\cos v = x\), \(y_u = e^u\sin v = y\), \(x_v = -e^u\sin v = -y\) ve \(y_v = e^u\cos v = x\)’tir.
Zincir kuralı. Sonuç 15.4 (harflerin rolleri değişmiş olarak) gereği
\[ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u} &= \frac{2x}{x^2 + y^2}\,x + \frac{2y}{x^2 + y^2}\,y = \frac{2(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = 2, \\[1mm] \frac{\partial z}{\partial v} &= \frac{2x}{x^2 + y^2}\,(-y) + \frac{2y}{x^2 + y^2}\,x = 0 \end{aligned} \]
bulunur.
Denetim. \(x^2 + y^2 = e^{2u}\) olduğundan \(z = \ln e^{2u} = 2u\)’dur; gerçekten \(z_u = 2\) ve \(z_v = 0\)’dır. \(\blacksquare\)
15.10 Alıştırmalar
Alıştırmalarda tanımla türev, Jacobi matrisi ve determinantı, cebirsel kurallar ve zincir kuralının farklı biçimleri birlikte kullanılır.
Alıştırma 15.1 (Tanımla Türev: Toplam ve Çarpım) \(f(x, y) = (x + y, xy)\) fonksiyonunun \((1, 1)\) noktasında türevlenebilir olduğunu tanımla gösteriniz ve \(Df(1, 1)\) dönüşümünü yazınız.
Çözüm
Artım. \(h = (h_1, h_2)\) için
\[f(1 + h_1, 1 + h_2) - f(1, 1) = \big( h_1 + h_2,\ h_1 + h_2 + h_1 h_2 \big)\]
olur; ikinci bileşen \((1 + h_1)(1 + h_2) - 1\) çarpımı açılarak bulundu.
Aday ve kalan. Lineer kısım \(T(h_1, h_2) = (h_1 + h_2,\ h_1 + h_2)\), kalan \((0,\ h_1 h_2)\)’dir. \(|h_1 h_2| \le \dfrac{h_1^2 + h_2^2}{2}\) olduğundan
\[\frac{\|(0, h_1 h_2)\|}{\|h\|} = \frac{|h_1 h_2|}{\|h\|} \le \frac{\|h\|^2}{2\,\|h\|} = \frac{\|h\|}{2} \longrightarrow 0\]
bulunur.
Sonuç. \(f\), \((1, 1)\)’de türevlenebilirdir ve
\[Df(1, 1)(h_1, h_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = (h_1 + h_2,\ h_1 + h_2)\]
olur. Satırlar \(\nabla(x + y) = (1, 1)\) ve \(\nabla(xy) = (y, x)\) gradyanlarının \((1, 1)\)’deki değerleridir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.2 (Küresel Koordinatların Jacobi Determinantı) \(g(\rho, \varphi, \theta) = (x, y, z)\) küresel koordinat dönüşümü
\[ \begin{aligned} x &= \rho\sin\varphi\cos\theta, \\[1mm] y &= \rho\sin\varphi\sin\theta, \\[1mm] z &= \rho\cos\varphi \end{aligned} \]
ile verilsin. \(\dfrac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \varphi, \theta)} = \rho^2 \sin\varphi\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Jacobi matrisi. Her bileşeni sırayla \(\rho\), \(\varphi\) ve \(\theta\)’ya göre türetirsek
\[J_g = \begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \end{pmatrix}\]
bulunur.
Üçüncü satıra göre açılım. Üçüncü satırın son girdisi \(0\) olduğundan iki terim kalır:
\[ \begin{aligned} \det J_g &= \cos\varphi \begin{vmatrix} \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \end{vmatrix} \\[1mm] &\quad + \rho\sin\varphi \begin{vmatrix} \sin\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \end{vmatrix}. \end{aligned} \]
İkinci terimin işareti: \((3, 2)\) girdisi \(-\rho\sin\varphi\)’dir ve kofaktör işareti \((-1)^{3+2} = -1\)’dir; çarpımları \(+\rho\sin\varphi\) verir.
Küçük determinantlar. Birincisi
\[ \begin{aligned} &\rho\cos\varphi\cos\theta \cdot \rho\sin\varphi\cos\theta + \rho\sin\varphi\sin\theta \cdot \rho\cos\varphi\sin\theta \\[1mm] &\quad = \rho^2 \sin\varphi\cos\varphi\,(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \rho^2 \sin\varphi\cos\varphi, \end{aligned} \]
ikincisi
\[ \begin{aligned} &\sin\varphi\cos\theta \cdot \rho\sin\varphi\cos\theta + \rho\sin\varphi\sin\theta \cdot \sin\varphi\sin\theta \\[1mm] &\quad = \rho\sin^2\varphi\,(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \rho\sin^2\varphi \end{aligned} \]
olur.
Sonuç.
\[\det J_g = \rho^2 \sin\varphi\cos^2\varphi + \rho^2 \sin^3\varphi = \rho^2 \sin\varphi\,(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = \rho^2 \sin\varphi.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 15.3 (İç Çarpım Kuralıyla Türev) \(f(x, y) = (x, y, 1)\) ve \(g(x, y) = (y, x^2, xy)\) olsun. \(\langle f, g \rangle\) fonksiyonunun \((1, 2)\) noktasındaki türevini Teorem 15.5 ile bulunuz ve sonucu doğrudan hesapla denetleyiniz.
Çözüm
Değerler. \(a = (1, 2)\) için \(f(a) = (1, 2, 1)\) ve \(g(a) = (2, 1, 2)\)’dir.
Türevler. Jacobi matrisleri
\[ \begin{aligned} J_f &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\[1mm] J_g(x, y) &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2x & 0 \\ y & x \end{pmatrix} \end{aligned} \]
olduğundan \(h = (h_1, h_2)\) için \(Df(a)h = (h_1, h_2, 0)\) ve \(Dg(a)h = (h_2,\ 2h_1,\ 2h_1 + h_2)\)’dir.
Kural. Teorem 15.5 3. maddesi gereği
\[ \begin{aligned} D\langle f, g \rangle(a)h &= \langle (h_1, h_2, 0), (2, 1, 2) \rangle \\[1mm] &\quad + \langle (1, 2, 1), (h_2, 2h_1, 2h_1 + h_2) \rangle \\[1mm] &= (2h_1 + h_2) + (6h_1 + 2h_2) = 8h_1 + 3h_2 \end{aligned} \]
bulunur; yani \(\nabla\langle f, g \rangle(1, 2) = (8, 3)\)’tür.
Denetim. \(\langle f, g \rangle = xy + x^2 y + xy\), yani \(x^2 y + 2xy\) olduğundan gradyan \((2xy + 2y,\ x^2 + 2x)\)’tir ve \((1, 2)\)’de \((8, 3)\) olur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.4 (Bölümün Türevi) \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a \in D^\circ\), \(\varphi : D \to \mathbb{R}\) fonksiyonu \(a\)’da türevlenebilir ve \(\varphi(a) \ne 0\) olsun. \(\dfrac{1}{\varphi}\) fonksiyonunun \(a\)’da türevlenebilir olduğunu ve her \(h\) için
\[D\Big( \frac{1}{\varphi} \Big)(a)h = -\frac{D\varphi(a)h}{\varphi(a)^2}\]
olduğunu zincir kuralıyla gösteriniz.
Çözüm
Payda sıfırlanmaz. \(\varphi\), \(a\)’da süreklidir (Sonuç 15.1). Süreklilik tanımı \(\varepsilon = |\varphi(a)| > 0\) ile uygulanırsa öyle bir \(r > 0\) bulunur ki \(B(a, r) \subseteq D\) olur ve her \(x \in B(a, r)\) için \(|\varphi(x) - \varphi(a)| < |\varphi(a)|\) sağlanır. Ters üçgen eşitsizliğiyle
\[|\varphi(x)| \ge |\varphi(a)| - |\varphi(x) - \varphi(a)| > 0\]
olur. \(U = B(a, r)\) açık kümesinde \(\dfrac{1}{\varphi}\) tanımlıdır ve \(\varphi(U) \subseteq V = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)’dır.
Bileşke. \(q : V \to \mathbb{R}\), \(q(t) = \dfrac{1}{t}\) fonksiyonu \(V\)’nin her noktasında türevlenebilirdir ve bölüm kuralı gereği \(q'(t) = -\dfrac{1}{t^2}\)’dir (bkz. Analiz 2). \(U\) üzerinde \(\dfrac{1}{\varphi} = q \circ \varphi\)’dir. Türevlenebilme yalnız \(a\)’nın yakınındaki değerlere bağlı olduğundan \(\varphi\)’nin \(U\)’ya kısıtlanışı \(a\)’da türevlenebilirdir.
Zincir kuralı. Teorem 15.6 (\(m = 1\), \(p = 1\)) gereği \(q \circ \varphi\), \(a\)’da türevlenebilirdir ve
\[D(q \circ \varphi)(a)h = q'\big( \varphi(a) \big)\,D\varphi(a)h = -\frac{D\varphi(a)h}{\varphi(a)^2}\]
olur. Gradyanlarla yazılırsa
\[\nabla\Big( \frac{1}{\varphi} \Big)(a) = -\frac{\nabla\varphi(a)}{\varphi(a)^2}\]
bulunur. Bu sonuç Teorem 15.5 ile birleştirilince \(\dfrac{f}{\varphi} = \dfrac{1}{\varphi}\,f\) bölümünün de \(a\)’da türevlenebilir olduğu çıkar. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.5 (Ara Değişkenlerle Kısmi Türev: s’ye Göre) \(x = rse^t\), \(y = rs^2e^{-t}\), \(z = r^2 s\sin t\) ve \(u = x^4 y + y^2 z^3\) olsun. \(r = 2\), \(s = 1\), \(t = 0\) için \(\dfrac{\partial u}{\partial s}\) değerini bulunuz.
Çözüm
Nokta. \(r = 2\), \(s = 1\), \(t = 0\) için \(x = 2\), \(y = 2\) ve \(z = 0\)’dır.
Dış türevler. Bu noktada \(u_x = 4x^3 y = 64\), \(u_y = x^4 + 2yz^3 = 16\) ve \(u_z = 3y^2 z^2 = 0\)’dır.
İç türevler. \(x_s = re^t = 2\), \(y_s = 2rse^{-t} = 4\) ve \(z_s = r^2\sin t = 0\)’dır.
Zincir kuralı. Örnek 15.15 içindeki ağaçla
\[\frac{\partial u}{\partial s} = u_x\,x_s + u_y\,y_s + u_z\,z_s = 64 \cdot 2 + 16 \cdot 4 + 0 \cdot 0 = 192\]
bulunur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.6 (Ara Değişkenlerle Kısmi Türev: r’ye Göre) \(x = rse^t\), \(y = rs^2e^{-t}\), \(z = r^2 s\sin t\) ve \(u = x^4 y + y^2 z^3\) olsun. \(r = 2\), \(s = 1\), \(t = 0\) için \(\dfrac{\partial u}{\partial r}\) değerini bulunuz.
Çözüm
Nokta ve dış türevler. \(r = 2\), \(s = 1\), \(t = 0\) için \(x = 2\), \(y = 2\), \(z = 0\) ve \(u_x = 64\), \(u_y = 16\), \(u_z = 0\)’dır (Alıştırma 15.5).
İç türevler. \(x_r = se^t = 1\), \(y_r = s^2 e^{-t} = 1\) ve \(z_r = 2rs\sin t = 0\)’dır.
Zincir kuralı.
\[\frac{\partial u}{\partial r} = u_x\,x_r + u_y\,y_r + u_z\,z_r = 64 \cdot 1 + 16 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 80\]
bulunur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.7 (Ara Değişkenlerle Kısmi Türev: t’ye Göre) \(x = rse^t\), \(y = rs^2e^{-t}\), \(z = r^2 s\sin t\) ve \(u = x^4 y + y^2 z^3\) olsun. \(r = 2\), \(s = 1\), \(t = 0\) için \(\dfrac{\partial u}{\partial t}\) değerini bulunuz.
Çözüm
Nokta ve dış türevler. \(r = 2\), \(s = 1\), \(t = 0\) için \(x = 2\), \(y = 2\), \(z = 0\) ve \(u_x = 64\), \(u_y = 16\), \(u_z = 0\)’dır (Alıştırma 15.5).
İç türevler. \(x_t = rse^t = 2\), \(y_t = -rs^2 e^{-t} = -2\) ve \(z_t = r^2 s\cos t = 4\)’tür.
Zincir kuralı.
\[\frac{\partial u}{\partial t} = u_x\,x_t + u_y\,y_t + u_z\,z_t = 64 \cdot 2 + 16 \cdot (-2) + 0 \cdot 4 = 96\]
bulunur. \(z_t \ne 0\) olduğu hâlde \(u_z = 0\) olduğundan \(z\) üzerinden geçen yol katkı vermez. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.8 (Gradyanın Kutupsal Koordinatlarda Uzunluğu) \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) türevlenebilir, \(F(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)\) ve \(r > 0\) olsun.
\[f_x^2 + f_y^2 = F_r^2 + \frac{1}{r^2}\,F_\theta^2\]
olduğunu gösteriniz; \(f_x\) ve \(f_y\), \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) noktasında hesaplanır.
Çözüm
Formüller. Örnek 15.13 gereği
\[ \begin{aligned} F_r &= f_x\cos\theta + f_y\sin\theta, \\[1mm] \frac{1}{r}\,F_\theta &= -f_x\sin\theta + f_y\cos\theta \end{aligned} \]
olur.
Kareler.
\[ \begin{aligned} F_r^2 &= f_x^2\cos^2\theta + 2f_x f_y\sin\theta\cos\theta + f_y^2\sin^2\theta, \\[1mm] \frac{1}{r^2}\,F_\theta^2 &= f_x^2\sin^2\theta - 2f_x f_y\sin\theta\cos\theta + f_y^2\cos^2\theta. \end{aligned} \]
Toplam. Toplarken karışık terimler birbirini götürür ve \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) kullanılır:
\[F_r^2 + \frac{1}{r^2}\,F_\theta^2 = f_x^2 + f_y^2 = \|\nabla f\|^2.\]
Gradyanın uzunluğu Kartezyen ya da kutupsal koordinatlarla hesaplanabilir ve iki hesap aynı sonucu verir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.9 (Farklara Bağlı Bir Fonksiyon) \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) türevlenebilir ve \(w(x, y, z) = f(x - y, y - z, z - x)\) olsun.
\[\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0\]
olduğunu gösteriniz.
Çözüm
İç fonksiyon. \(f\)’nin değişkenlerini \((u, v, s)\) ile gösterelim ve \(g(x, y, z) = (x - y, y - z, z - x)\) diyelim. \(g\) lineer olduğundan türevlenebilirdir (Örnek 15.2) ve
\[J_g = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
olur.
Zincir kuralı. \(w = f \circ g\) olduğundan Teorem 15.6 gereği \(\nabla w = \nabla f\big( g(x, y, z) \big)\,J_g\)’dir:
\[\begin{pmatrix} w_x & w_y & w_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_u & f_v & f_s \end{pmatrix} J_g = \begin{pmatrix} f_u - f_s & -f_u + f_v & -f_v + f_s \end{pmatrix}.\]
Toplam. Üç girdiyi toplarsak
\[w_x + w_y + w_z = (f_u - f_s) + (-f_u + f_v) + (-f_v + f_s) = 0\]
bulunur. Bunun nedeni, \(J_g\) matrisinin her satırındaki girdilerin toplamının \(0\) olmasıdır: \((x, y, z)\) üç değişkeni aynı miktarda artırıldığında \(x - y\), \(y - z\) ve \(z - x\) farkları değişmez. \(\blacksquare\)
Bu bölümde vektör değerli bir fonksiyonun türevini bir lineer dönüşüm olarak kurduk, onu Jacobi matrisiyle hesapladık ve zincir kuralıyla bileşkelerin türevini matris çarpımına indirdik. Zincir kuralının en önemli uygulamalarından biri, bir fonksiyonu bir noktadan geçen \(t \mapsto a + tu\) doğrusu boyunca izlemektir: Sonuç 15.3 gereği bu doğru boyunca değişim hızı \(\langle \nabla f(a), u \rangle\) olur. Yönlü Türev ve Ortalama Değer Teoremi bölümünde bu değişim hızını yönlü türev adıyla inceliyor, gradyanın en hızlı artış doğrultusunu gösterdiğini ve çok değişkenli ortalama değer teoremini kanıtlıyoruz.