3 Açık ve Kapalı Kümeler
Analiz 1’de reel sayıların topolojisini aralıklar üzerine kurmuştuk: bir kümenin açık olması, her noktasının çevresinde kümeden taşmayan bir açık aralık bulunması demekti (bkz. Analiz 1). \(\mathbb{R}^n\)’de aralığın rolünü açık yuvar üstlenir. Metrik, Doğrular ve Konveks Kümeler bölümünde tanımladığımız \(B(x_0, r)\), \(B[x_0, r]\) ve \(S(x_0, r)\) kümeleri (Tanım 2.6) bu bölümün temel araçlarıdır; iki nokta arasındaki yakınlığı artık mutlak değer yerine Öklid normu ölçer.
Tanımlar Analiz 1’dekilerle neredeyse kelimesi kelimesine aynıdır; değişen, kümelerin geometrisidir. Sayı doğrusunda bir aralığın “kenarı” iki uç noktadan ibaretti. Düzlemde ve uzayda ise kenar bir çember, bir doğru ya da bir yüzey olabilir ve bir kümenin kenarının bir kısmını içerip bir kısmını içermemesi çok daha kolaydır. Bu bölümde açık ve kapalı kümeleri, yığılma noktalarını ve sınırlı kümeleri tanıyor; kümeler için Bolzano–Weierstrass teoremini ispatlıyor ve kapalı kümeleri yığılma noktaları yardımıyla betimliyoruz.
3.1 Komşuluk
Bir noktanın yakınında olmak, o noktanın çevresindeki küçük bir açık yuvarın içinde kalmak demektir; bir kümenin bir noktayı “çevreleyip çevrelemediğini” bu fikirle ölçeriz.
Tanım 3.1 (Komşuluk) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun.
\[\exists\, \varepsilon > 0 : \quad B(x_0, \varepsilon) \subseteq U\]
koşulu sağlanıyorsa \(U\) kümesine \(x_0\) noktasının bir komşuluğu denir. \(B(x_0, \varepsilon)\) yuvarının kendisine de \(x_0\) noktasının \(\varepsilon\)-komşuluğu denir.
Yani \(U\), \(x_0\)’ın bir komşuluğuysa \(x_0\)’a uzaklığı \(\varepsilon\)’dan küçük olan bütün noktalar \(U\)’dadır: \(x_0\) ile \(U\)’nun dışı arasında bir açık yuvar sığacak kadar boşluk vardır. \(x_0 \in B(x_0, \varepsilon)\) olduğundan bir noktanın her komşuluğu o noktayı içerir. Analiz 1’de “komşuluk” sözcüğünü doğrudan \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) aralığı için kullanmıştık; burada sözcük daha geniş anlamdadır: \(x_0\) merkezli bir açık yuvarı içeren her küme \(x_0\)’ın bir komşuluğudur.
Örneğin \(\mathbb{R}\)’de \(U = (-1, 1)\) kümesi \(0\)’ın bir komşuluğudur, çünkü \(B\left(0, \tfrac{1}{2}\right) = \left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right) \subseteq (-1, 1)\)’dir. Aynı küme \(1\)’in komşuluğu değildir: \(1\)’in her komşuluğu \(1\)’i içermek zorundadır, oysa \(1 \notin U\)’dur.
Örnek 3.1 (Kapalı Yuvar Merkezinin Komşuluğudur) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. \(B[x_0, r]\) kapalı yuvarının \(x_0\) noktasının bir komşuluğu olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(\varepsilon = \dfrac{r}{2} > 0\) alalım. \(x \in B\left(x_0, \tfrac{r}{2}\right)\) ise \(\|x - x_0\| < \dfrac{r}{2} < r\) olur; dolayısıyla \(\|x - x_0\| \le r\), yani \(x \in B[x_0, r]\)’dir. Böylece
\[B\left(x_0, \frac{r}{2}\right) \subseteq B[x_0, r]\]
olur ve \(B[x_0, r]\), \(x_0\)’ın bir komşuluğudur.
Aynı \(\varepsilon\) için \(B\left(x_0, \tfrac{r}{2}\right) \subseteq B(x_0, r)\) de sağlandığından açık yuvar \(B(x_0, r)\) da \(x_0\)’ın bir komşuluğudur. (Burada \(\varepsilon = r\) seçmek de yeterdi.) \(\blacksquare\)
Örnek 3.2 (Kapalı Aralık Uç Noktasının Komşuluğu Değildir) \(a, b \in \mathbb{R}\) ve \(a < b\) olsun. \([a, b]\) aralığının \(a\) noktasının bir komşuluğu olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Tersine, \([a, b]\)’nin \(a\)’nın bir komşuluğu olduğunu varsayalım. O zaman bir \(\varepsilon > 0\) için
\[B(a, \varepsilon) = (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subseteq [a, b]\]
olur. Oysa \(a - \dfrac{\varepsilon}{2}\) sayısı \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) aralığındadır ve \(a\)’dan küçük olduğundan \([a, b]\)’de değildir. Bu çelişki, \([a, b]\)’nin \(a\)’nın komşuluğu olmadığını gösterir.
Aynı yolla, \(b + \dfrac{\varepsilon}{2}\) sayısı kullanılarak, \([a, b]\)’nin \(b\)’nin de komşuluğu olmadığı görülür; \([a, b)\) aralığı da \(a\)’nın komşuluğu değildir. Buna karşılık \(a < c < b\) ise \(\varepsilon = \min\{c - a,\ b - c\}\) için \((c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subseteq [a, b]\) olduğundan \([a, b]\), uç noktaların arasındaki her \(c\) noktasının komşuluğudur. \(\blacksquare\)
3.2 Açık Kümeler
Komşuluk tek bir noktayı çevreler. Her noktasını çevreleyen kümeler ise bu bölümün ana konusudur.
Tanım 3.2 (Açık Küme) \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. Her \(x \in U\) için
\[B(x, \varepsilon) \subseteq U\]
olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) varsa \(U\) kümesine açık küme denir.
Yani \(U\) açıktır ancak ve ancak her noktasının bir komşuluğudur: kümenin her noktasının çevresine kümeden taşmayan bir açık yuvar yerleştirilebilir. Yarıçap \(\varepsilon\) genellikle noktaya bağlıdır; kümenin kenarına yaklaşan noktalarda yuvarın küçülmesi gerekir. \(n = 1\) için bu, Analiz 1’deki açık küme tanımının ta kendisidir (bkz. Analiz 1).
İlk örnek olarak açık birim yuvarı ele alalım; ardından sonucu her açık yuvara genelleştireceğiz.
Örnek 3.3 (Açık Birim Yuvar Açıktır) \(U = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\| < 1\}\) kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Keyfi bir \(x_0 \in U\) alalım. \(\|x_0\| < 1\) olduğundan \(\varepsilon = 1 - \|x_0\| > 0\)’dır. \(B(x_0, \varepsilon) \subseteq U\) olduğunu gösterelim.
\(y \in B(x_0, \varepsilon)\) olsun; o zaman \(\|y - x_0\| < \varepsilon\)’dur. Üçgen eşitsizliği (Teorem 1.2) gereği
\[ \begin{aligned} \|y\| &= \|(y - x_0) + x_0\| \le \|y - x_0\| + \|x_0\| \\[1mm] &< \varepsilon + \|x_0\| = 1 \end{aligned} \]
olur. Dolayısıyla \(y \in U\)’dur. \(y\) keyfi olduğundan \(B(x_0, \varepsilon) \subseteq U\); \(x_0\) keyfi olduğundan \(U\) açıktır. \(\blacksquare\)
Seçtiğimiz yarıçap, \(x_0\)’ın birim yuvarın yüzeyine olan uzaklığıdır. Aynı fikir her açık yuvarda işler.
Teorem 3.1 (Açık Yuvar Açıktır) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. \(B(x_0, r)\) açık yuvarı \(\mathbb{R}^n\)’de açık bir kümedir.
İspat
Keyfi bir \(x \in B(x_0, r)\) alalım. \(\|x - x_0\| < r\) olduğundan
\[\varepsilon = r - \|x - x_0\| > 0\]
sayısını tanımlayabiliriz. \(B(x, \varepsilon) \subseteq B(x_0, r)\) olduğunu gösterelim. \(y \in B(x, \varepsilon)\) ise \(\|y - x\| < \varepsilon\)’dur ve üçgen eşitsizliğinden
\[ \begin{aligned} \|y - x_0\| &= \|(y - x) + (x - x_0)\| \le \|y - x\| + \|x - x_0\| \\[1mm] &< \varepsilon + \|x - x_0\| = r \end{aligned} \]
bulunur; yani \(y \in B(x_0, r)\)’dir. \(y\) keyfi olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq B(x_0, r)\) olur. Her \(x \in B(x_0, r)\) için böyle bir \(\varepsilon\) bulunduğundan \(B(x_0, r)\) açıktır.
Sezgisel olarak: \(x\)’in büyük yuvarın yüzeyine uzaklığı \(r - \|x - x_0\|\)’dır ve bu uzaklığı aşmayan yarıçaplı her yuvar büyük yuvarın içinde kalır. \(\blacksquare\)
\(n = 1\) için \(B(x_0, r) = (x_0 - r, x_0 + r)\) olduğundan teorem, açık aralıkların açık olduğunu söyler: \(a < b\) ise \((a, b)\) aralığı \(\tfrac{a + b}{2}\) merkezli, \(\tfrac{b - a}{2}\) yarıçaplı yuvardır. Öte yandan Örnek 3.2 gereği \([a, b]\), \([a, b)\) ve \((a, b]\) aralıkları açık değildir: her biri, içerdiği bir uç noktanın komşuluğu değildir.
Kapalı yuvarın dışı da benzer biçimde davranır: yuvarın dışındaki bir noktanın çevresine yuvara değmeyen küçük bir yuvar yerleştirilebilir.
Teorem 3.2 (Kapalı Yuvarın Tümleyeni Açıktır) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. Kapalı yuvarın tümleyeni
\[\mathbb{R}^n \setminus B[x_0, r] = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x - x_0\| > r\}\]
\(\mathbb{R}^n\)’de açık bir kümedir.
İspat
Keyfi bir \(y \in \mathbb{R}^n \setminus B[x_0, r]\) alalım. \(y \notin B[x_0, r]\) olduğundan \(\|y - x_0\| > r\), yani
\[\rho = \|y - x_0\| - r > 0\]
olur. \(B(y, \rho) \subseteq \mathbb{R}^n \setminus B[x_0, r]\) olduğunu gösterelim. \(x \in B(y, \rho)\) olsun; \(\|x - y\| < \rho\)’dur. Üçgen eşitsizliğinden \(\|y - x_0\| \le \|y - x\| + \|x - x_0\|\) olduğundan
\[\|x - x_0\| \ge \|y - x_0\| - \|x - y\| > \|y - x_0\| - \rho = r\]
bulunur. Böylece \(\|x - x_0\| > r\), yani \(x \notin B[x_0, r]\)’dir. \(x\) keyfi olduğundan \(B(y, \rho)\) tümleyenin içindedir; \(y\) keyfi olduğundan tümleyen açıktır. \(\blacksquare\)
Bir kümenin açık olup olmadığını tanımdan incelerken hep aynı yolu izledik. Bu yolu bir reçete olarak yazalım.
- Noktayı al. Kümenin keyfi bir noktası alınır ve kümeyi tanımlayan eşitsizlikler bu nokta için yazılır.
- Yarıçapı seç. Her kesin eşitsizlikte iki yan arasındaki fark pozitiftir (örneğin \(1 - \|x_0\|\) ya da \(1 - x_0\)); eşitsizlik bir koordinat ya da \(\|x - a\|\) içeriyorsa \(\varepsilon\) bu farkların en küçüğü seçilebilir; başka durumlarda fark uygun bir sabite bölünür.
- Yuvarı denetle. Yuvarın her noktasının eşitsizlikleri sağladığı, üçgen eşitsizliğiyle ya da her bileşen için geçerli olan \(|x_j - y_j| \le \|x - y\|\) eşitsizliğiyle (Teorem 1.5) gösterilir.
Küme açık değilse tersine, kümeyi tanımlayan bir eşitsizliğin eşitlikle sağlandığı bir nokta seçilir ve her \(\varepsilon > 0\) için yuvarın içinde ama kümenin dışında kalan bir nokta gösterilir; çoğu zaman bir bileşeni \(\frac{\varepsilon}{2}\) kaydırılmış nokta işe yarar.
Örnek 3.4 (Açık Şerit Açıktır) \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x < 1\}\) kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Nokta. Keyfi bir \((x_0, y_0) \in A\) alalım; \(0 < x_0 < 1\)’dir. \(y_0\) üzerinde hiçbir koşul yoktur.
Yarıçap. İki kesin eşitsizlikten \(x_0 - 0 = x_0 > 0\) ve \(1 - x_0 > 0\) farkları elde edilir.
\[\varepsilon = \min\{x_0,\ 1 - x_0\} > 0\]
seçelim.
Yuvar. \((x, y) \in B\big((x_0, y_0), \varepsilon\big)\) olsun. O zaman
\[|x - x_0| = \sqrt{(x - x_0)^2} \le \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \varepsilon\]
olur. \(\varepsilon \le x_0\) ve \(\varepsilon \le 1 - x_0\) olduğundan
\[0 \le x_0 - \varepsilon < x < x_0 + \varepsilon \le 1\]
bulunur. Yani \(0 < x < 1\) ve \((x, y) \in A\)’dır. Böylece \(B\big((x_0, y_0), \varepsilon\big) \subseteq A\) olur ve \(A\) açıktır.
Şeridin her noktası için uygun yarıçap, noktanın şeridi sınırlayan \(x = 0\) ve \(x = 1\) doğrularına olan uzaklıklarının küçüğüdür. \(\blacksquare\)
Açık olmayan bir kümede öyle bir nokta vardır ki bu noktanın çevresine ne kadar küçük bir yuvar konursa konsun yuvar kümeden taşar. Böyle kümelerin tipik örnekleri “incelmiş” kümelerdir: düzlemdeki bir doğru ya da çember, uzaydaki bir düzlem ya da küre yüzeyi hiçbir açık yuvarı içeremez.
Örnek 3.5 (Yarım Silindir Açık Değildir) \[S = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_2^2 + x_3^2 = 1,\ x_1 > 0\}\]
kümesinin \(\mathbb{R}^3\)’te açık olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(S\), ekseni \(x_1\) ekseni olan birim silindir yüzeyinin \(x_1 > 0\) kısmıdır. Tersine, \(S\)’nin açık olduğunu varsayalım. \(a = (1, 0, 1)\) noktası \(S\)’dedir, çünkü \(0^2 + 1^2 = 1\) ve \(1 > 0\)’dır. \(S\) açık olduğundan \(B(a, \varepsilon) \subseteq S\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) vardır.
\(p = \left(1, 0, 1 + \tfrac{\varepsilon}{2}\right)\) noktasını ele alalım.
\[\|p - a\| = \left\| \left(0, 0, \tfrac{\varepsilon}{2}\right) \right\| = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\]
olduğundan \(p \in B(a, \varepsilon)\)’dir. Öte yandan
\[0^2 + \left(1 + \frac{\varepsilon}{2}\right)^2 = 1 + \varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{4} > 1\]
olduğundan \(p \notin S\)’dir. Bu, \(B(a, \varepsilon) \subseteq S\) ile çelişir; \(S\) açık değildir.
Aynı akıl yürütme \(S\)’nin her noktasında işler: yüzeyin hiçbir noktası, çevresindeki bir yuvarla birlikte yüzeyde kalamaz. \(\blacksquare\)
Örnek 3.6 (Dört Boyutta Açık Olmayan Bir Küme) \[A = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 : x^2 + y^2 = 4,\ z > 0,\ t \ge 0\}\]
kümesinin \(\mathbb{R}^4\)’te açık olmadığını \(a = (2, 0, 1, 0)\) noktasından yararlanarak gösteriniz.
Çözüm
Açık küme tanımının olumsuzunu yazalım: \(A\) açık değildir ancak ve ancak
\[\exists\, a \in A \quad \forall \varepsilon > 0 : \quad B(a, \varepsilon) \not\subseteq A\]
sağlanır. Önce \(a \in A\) olduğunu doğrulayalım: \(2^2 + 0^2 = 4\), \(z = 1 > 0\) ve \(t = 0 \ge 0\)’dır.
Şimdi keyfi bir \(\varepsilon > 0\) alalım ve \(B(a, \varepsilon)\)’da olup \(A\)’da olmayan bir nokta bulalım. \(a\)’nın yalnız ikinci bileşenini değiştirip \(p = \left(2, \tfrac{\varepsilon}{2}, 1, 0\right)\) diyelim.
\[\|p - a\| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\]
olduğundan \(p \in B(a, \varepsilon)\)’dir. Ama
\[2^2 + \left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^2 = 4 + \frac{\varepsilon^2}{4} > 4\]
olduğundan \(p \notin A\)’dır. Her \(\varepsilon > 0\) için \(B(a, \varepsilon) \not\subseteq A\) olduğundan \(A\) açık değildir. \(\blacksquare\)
Örnek 3.7 (Bir Kenarı Dahil Şerit Açık Değildir) \(U = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x \le 1\}\) kümesinin açık olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Sorun, \(x \le 1\) eşitsizliğinin eşitlikle sağlandığı \(x = 1\) doğrusundaki noktalardadır. \(a = (1, 0)\) alalım; \(0 < 1 \le 1\) olduğundan \(a \in U\)’dur.
Keyfi bir \(\varepsilon > 0\) için \(p = \left(1 + \tfrac{\varepsilon}{2}, 0\right)\) noktası
\[\|p - a\| = \left\| \left(\tfrac{\varepsilon}{2}, 0\right) \right\| = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\]
sağladığından \(B(a, \varepsilon)\)’dadır, ama \(1 + \frac{\varepsilon}{2} > 1\) olduğundan \(p \notin U\)’dur. Dolayısıyla hiçbir \(\varepsilon > 0\) için \(B(a, \varepsilon) \subseteq U\) olmaz; \(U\) açık değildir.
Kenarlarından biri kümeye katılmış bu şerit, sayı doğrusundaki \((0, 1]\) aralığının düzlemdeki karşılığıdır. \(\blacksquare\)
3.3 Açık Kümelerin Özellikleri
Açık kümelerden yeni açık kümeler üretmenin iki temel yolu vardır: keyfi birleşim ve sonlu kesişim.
Teorem 3.3 (Açık Kümelerin Özellikleri) \(\mathbb{R}^n\)’nin açık kümeleri şu özellikleri sağlar.
(a) \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}^n\) açık kümelerdir.
(b) Sonlu sayıda açık kümenin kesişimi açıktır: \(U_1, \dots, U_m \subseteq \mathbb{R}^n\) açık ise \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{m} U_i\) açıktır.
(c) Keyfi sayıda açık kümenin birleşimi açıktır: \(\Lambda\) bir indis kümesi ve \(\{U_\alpha : \alpha \in \Lambda\}\) açık kümelerden oluşan bir aile ise \(\displaystyle\bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_\alpha\) açıktır.
İspat
(a) Her \(x \in \mathbb{R}^n\) için \(B(x, 1) \subseteq \mathbb{R}^n\) olduğundan \(\mathbb{R}^n\) açıktır. Boş kümenin hiç elemanı olmadığından “her \(x \in \varnothing\) için …” diye başlayan koşulu bozacak bir nokta yoktur; \(\varnothing\) açıktır.
(b) \(U = \displaystyle\bigcap_{i=1}^{m} U_i\) diyelim. \(U = \varnothing\) ise (a) gereği açıktır; \(U \ne \varnothing\) olsun ve keyfi bir \(x \in U\) alalım. Her \(i = 1, \dots, m\) için \(x \in U_i\)’dir ve \(U_i\) açık olduğundan
\[B(x, \varepsilon_i) \subseteq U_i\]
olacak biçimde bir \(\varepsilon_i > 0\) vardır. Sonlu sayıda pozitif sayının en küçüğü de pozitiftir:
\[\varepsilon = \min\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m\} > 0.\]
Her \(i\) için \(\varepsilon \le \varepsilon_i\) olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq B(x, \varepsilon_i) \subseteq U_i\) olur; öyleyse
\[B(x, \varepsilon) \subseteq \bigcap_{i=1}^{m} U_i = U.\]
\(x\) keyfi olduğundan \(U\) açıktır.
(c) \(V = \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_\alpha\) diyelim ve keyfi bir \(x \in V\) alalım. Birleşimin tanımı gereği \(x \in U_{\alpha_0}\) olan bir \(\alpha_0 \in \Lambda\) vardır. \(U_{\alpha_0}\) açık olduğundan bir \(\varepsilon_0 > 0\) için
\[B(x, \varepsilon_0) \subseteq U_{\alpha_0} \subseteq V\]
olur. \(x\) keyfi olduğundan \(V\) açıktır. Burada indis kümesinin sonlu ya da sonsuz olması rol oynamadı; \(x\)’i içeren tek bir üye yetti. \(\blacksquare\)
\(n = 1\) için bunlar Analiz 1’deki özelliklerin aynısıdır (bkz. Analiz 1).
Bu üç özellik, “topoloji” adının kaynağıdır. Bir \(X\) kümesinin alt kümelerinden oluşan bir \(\tau\) ailesi \(\varnothing\) ile \(X\)’i içeriyorsa ve ailenin üyelerinin sonlu kesişimleri de keyfi birleşimleri de yine ailede kalıyorsa \(\tau\)’ya \(X\) üzerinde bir topoloji, \((X, \tau)\) ikilisine de bir topolojik uzay denir. Teorem 3.3, açık yuvarlar yardımıyla tanımlanan açık kümeler ailesinin \(\mathbb{R}^n\) üzerinde bir topoloji oluşturduğunu söyler; \(\mathbb{R}^n\) bu topolojiyle bir topolojik uzaydır. “\(\mathbb{R}^n\)’nin topolojisi” dendiğinde açık kümeler ve onlardan türetilen kavramların (kapalı küme, yığılma noktası, sınır, kapanış, kompaktlık, …) bütünü kastedilir.
Örnek 3.8 (Sonsuz Sayıda Yuvarın Birleşimi) \[U = \bigcup_{k=1}^{\infty} B\left((k, 0), \tfrac{1}{2}\right) \subseteq \mathbb{R}^2\]
kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(B\left((k, 0), \tfrac{1}{2}\right)\), \((k, 0)\) merkezli ve \(\tfrac{1}{2}\) yarıçaplı bir açık yuvardır ve Teorem 3.1 gereği açıktır. \(U\) bu açık kümelerin birleşimi olduğundan Teorem 3.3 (c) gereği açıktır.
Tanıma dönüp her noktada ayrı ayrı yarıçap aramaya gerek kalmadı. \(U\), \(x\) ekseni boyunca dizilmiş sonsuz sayıda ayrık diskten oluşur (komşu iki diskin merkezleri arasındaki uzaklık \(1\)’dir); böyle “dağınık” bir küme de açık olabilir. \(\blacksquare\)
Örnek 3.9 (Açık Halka Açıktır) \(a \in \mathbb{R}^n\) ve \(0 < s < r\) olsun.
\[A = \{x \in \mathbb{R}^n : s < \|x - a\| < r\}\]
kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Nokta. Keyfi bir \(y \in A\) alalım; \(s < \|y - a\| < r\)’dir.
Yarıçap. İki kesin eşitsizlikten \(\|y - a\| - s > 0\) ve \(r - \|y - a\| > 0\) farkları elde edilir.
\[\delta = \min\big\{\|y - a\| - s,\ r - \|y - a\|\big\} > 0\]
seçelim.
Yuvar. \(w \in B(y, \delta)\) olsun; \(\|w - y\| < \delta\)’dır. Üst sınır için üçgen eşitsizliğinden
\[\|w - a\| \le \|w - y\| + \|y - a\| < \delta + \|y - a\| \le r\]
olur. Alt sınır için üçgen eşitsizliği \(\|y - a\| \le \|y - w\| + \|w - a\|\) biçiminde kullanılırsa
\[\|w - a\| \ge \|y - a\| - \|w - y\| > \|y - a\| - \delta \ge s\]
bulunur. Böylece \(s < \|w - a\| < r\), yani \(w \in A\)’dır. \(B(y, \delta) \subseteq A\) olduğundan \(A\) açıktır.
Aynı sonuca daha kısa bir yoldan da ulaşılır:
\[A = B(a, r) \cap \big( \mathbb{R}^n \setminus B[a, s] \big)\]
yazılabilir. Birinci küme Teorem 3.1, ikincisi Teorem 3.2 gereği açıktır; iki açık kümenin kesişimi Teorem 3.3 (b) gereği açıktır. \(\blacksquare\)
Teorem 3.3 (b) şıkkındaki “sonlu” sözcüğü atlanamaz. İspatta \(\varepsilon\)’u sonlu sayıda pozitif sayının en küçüğü olarak seçtik; sonsuz sayıda pozitif sayının ise en küçüğü olmayabilir ve bunların infimumu \(0\) olabilir.
Örnek 3.10 (Açık Kümelerin Sonsuz Kesişimi) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) olsun.
\[\bigcap_{k=1}^{\infty} B\left(x_0, \tfrac{1}{k}\right) = \{x_0\}\]
olduğunu ve bu kümenin açık olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Eşitlik. Her \(k\) için \(\|x_0 - x_0\| = 0 < \frac{1}{k}\) olduğundan \(x_0\) bütün yuvarlardadır. Tersine \(y \ne x_0\) olsun; \(d = \|y - x_0\| > 0\)’dır. Arşimet özelliği gereği \(\dfrac{1}{k} < d\) olan bir \(k \in \mathbb{N}\) vardır (bkz. Analiz 1); bu \(k\) için \(y \notin B\left(x_0, \tfrac{1}{k}\right)\) olur ve \(y\) kesişimde değildir. Kesişim yalnız \(x_0\)’dan oluşur.
Açık değil. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(x_0 + \tfrac{\varepsilon}{2} e_1\) noktasının \(x_0\)’a uzaklığı \(\tfrac{\varepsilon}{2}\|e_1\| = \tfrac{\varepsilon}{2}\)’dir; bu nokta \(B(x_0, \varepsilon)\)’dadır ama \(x_0\)’dan farklı olduğundan \(\{x_0\}\)’da değildir. Hiçbir \(\varepsilon > 0\) için \(B(x_0, \varepsilon) \subseteq \{x_0\}\) olmaz.
Böylece açık kümelerin sonsuz kesişimi açık olmayabilir. \(n = 1\) ve \(x_0 = 0\) için bu,
\[\bigcap_{k=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right) = \{0\}\]
örneğidir. \(\blacksquare\)
3.4 Kapalı Kümeler
Açık kümelerin tümleyenleri, analizde en az açık kümeler kadar önemli ikinci bir küme sınıfı oluşturur.
Tanım 3.3 (Kapalı Küme) \(F \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. Tümleyeni
\[F^c = \mathbb{R}^n \setminus F = \{x \in \mathbb{R}^n : x \notin F\}\]
açık bir küme ise \(F\)’ye kapalı küme denir.
Yani \(F\) kapalıdır ancak ve ancak \(F\)’nin dışındaki her noktanın çevresine \(F\)’ye hiç değmeyen bir açık yuvar yerleştirilebilir. Tümleyenin tümleyeni kümenin kendisi olduğundan, yani \((F^c)^c = F\) olduğundan, bir küme ancak ve ancak tümleyeni kapalıysa açıktır. \(n = 1\) için tanım Analiz 1’dekiyle aynıdır (bkz. Analiz 1).
Sonuç 3.1 (Kapalı Yuvar Kapalıdır) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. \(B[x_0, r]\) kapalı yuvarı kapalı bir kümedir.
İspat
\(B[x_0, r]\)’nin tümleyeni Teorem 3.2 gereği açıktır; tanım gereği \(B[x_0, r]\) kapalıdır. \(\blacksquare\)
Adlandırma böylece yerini bulur: açık yuvar açık, kapalı yuvar kapalı bir kümedir. \(n = 1\) için \(B[x_0, r] = [x_0 - r, x_0 + r]\) olduğundan kapalı aralıklar kapalıdır.
Örnek 3.11 (Tek Nokta Kümesi Kapalıdır) \(a \in \mathbb{R}^n\) olsun. \(\{a\}\) kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(\mathbb{R}^n \setminus \{a\}\) kümesinin açık olduğunu göstermeliyiz. Keyfi bir \(x \in \mathbb{R}^n \setminus \{a\}\) alalım. \(x \ne a\) olduğundan \(\|x - a\| > 0\)’dır;
\[\varepsilon = \frac{\|x - a\|}{2} > 0\]
seçelim. \(\|x - a\| = 2\varepsilon > \varepsilon\) olduğundan \(a \notin B(x, \varepsilon)\)’dir; yani \(B(x, \varepsilon) \subseteq \mathbb{R}^n \setminus \{a\}\). \(x\) keyfi olduğundan tümleyen açıktır ve \(\{a\}\) kapalıdır. \(\blacksquare\)
Açık kümelerin özellikleri tümleyene geçilerek kapalı kümelere taşınır. Köprüyü De Morgan kuralları kurar: her \(\{A_\alpha : \alpha \in \Lambda\}\) ailesi için
\[ \begin{aligned} \Big( \bigcup_{\alpha \in \Lambda} A_\alpha \Big)^c &= \bigcap_{\alpha \in \Lambda} A_\alpha^c, \\[1mm] \Big( \bigcap_{\alpha \in \Lambda} A_\alpha \Big)^c &= \bigcup_{\alpha \in \Lambda} A_\alpha^c. \end{aligned} \]
Birleşimin tümleyeni tümleyenlerin kesişimi, kesişimin tümleyeni tümleyenlerin birleşimidir.
Teorem 3.4 (Kapalı Kümelerin Özellikleri) \(\mathbb{R}^n\)’nin kapalı kümeleri şu özellikleri sağlar.
(a) \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}^n\) kapalı kümelerdir.
(b) Sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi kapalıdır: \(F_1, \dots, F_m \subseteq \mathbb{R}^n\) kapalı ise \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{m} F_i\) kapalıdır.
(c) Keyfi sayıda kapalı kümenin kesişimi kapalıdır: \(\{F_\alpha : \alpha \in \Lambda\}\) kapalı kümelerden oluşan bir aile ise \(\displaystyle\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_\alpha\) kapalıdır.
İspat
(a) \(\varnothing^c = \mathbb{R}^n\) ve \((\mathbb{R}^n)^c = \varnothing\) kümeleri Teorem 3.3 (a) gereği açıktır; dolayısıyla \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}^n\) kapalıdır.
(b) Her \(F_i^c\) açıktır. De Morgan kuralından
\[\Big( \bigcup_{i=1}^{m} F_i \Big)^c = \bigcap_{i=1}^{m} F_i^c\]
olur. Sağ yan sonlu sayıda açık kümenin kesişimidir ve Teorem 3.3 (b) gereği açıktır. Tümleyeni açık olduğundan \(\bigcup_{i=1}^{m} F_i\) kapalıdır.
(c) Her \(F_\alpha^c\) açıktır ve De Morgan kuralından
\[\Big( \bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_\alpha \Big)^c = \bigcup_{\alpha \in \Lambda} F_\alpha^c\]
olur. Sağ yan açık kümelerin birleşimidir ve Teorem 3.3 (c) gereği açıktır. Öyleyse \(\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_\alpha\) kapalıdır. \(\blacksquare\)
Sonuç 3.2 (Sonlu Kümeler Kapalıdır) \(\mathbb{R}^n\)’nin sonlu her alt kümesi kapalıdır.
İspat
Boş küme Teorem 3.4 (a) gereği kapalıdır. \(F = \{p_1, \dots, p_m\}\) ise
\[F = \{p_1\} \cup \{p_2\} \cup \dots \cup \{p_m\}\]
sonlu sayıda tek nokta kümesinin birleşimidir. Örnek 3.11 gereği her \(\{p_i\}\) kapalıdır; Teorem 3.4 (b) gereği \(F\) kapalıdır. \(\blacksquare\)
Örnek 3.12 (Kapalı Halka Kapalıdır) \(a \in \mathbb{R}^n\) ve \(0 < s < r\) olsun.
\[K = \{x \in \mathbb{R}^n : s \le \|x - a\| \le r\}\]
kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(K\), \(s \le \|x - a\|\) ve \(\|x - a\| \le r\) koşullarının ikisini birden sağlayan noktalardan oluşur. Bir nokta ancak bu iki koşuldan en az birini bozduğunda \(K\)’nin dışındadır:
\[ \begin{aligned} K^c &= \{x : \|x - a\| < s\} \cup \{x : \|x - a\| > r\} \\[1mm] &= B(a, s) \cup \big( \mathbb{R}^n \setminus B[a, r] \big). \end{aligned} \]
\(B(a, s)\) Teorem 3.1 gereği, \(\mathbb{R}^n \setminus B[a, r]\) ise Teorem 3.2 gereği açıktır. İki açık kümenin birleşimi Teorem 3.3 (c) gereği açık olduğundan \(K^c\) açıktır ve \(K\) kapalıdır.
Tümleyeni yazarken “ve” bağlacının “veya” bağlacına dönüştüğüne dikkat edelim. Aynı gerekçe \(s = r\) için de işler: bu durumda \(K\), yuvar yüzeyi \(S(a, r) = \{x : \|x - a\| = r\}\) olur; dolayısıyla yuvar yüzeyi de kapalı bir kümedir. \(\blacksquare\)
Teorem 3.4 (b) şıkkındaki “sonlu” sözcüğü de atlanamaz. Aşağıdaki örnek, Örnek 3.10 ile verilen örneğin tümleyen tarafındaki karşılığıdır.
Örnek 3.13 (Kapalı Kümelerin Sonsuz Birleşimi) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) olsun.
\[\bigcup_{k=1}^{\infty} B\left[x_0, \tfrac{k}{k + 1}\right] = B(x_0, 1)\]
olduğunu ve bu kümenin kapalı olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Eşitlik. Her \(k\) için \(\frac{k}{k + 1} < 1\) olduğundan \(B\left[x_0, \tfrac{k}{k+1}\right] \subseteq B(x_0, 1)\)’dir; birleşim \(B(x_0, 1)\)’in içindedir. Tersine \(x \in B(x_0, 1)\) olsun; \(d = \|x - x_0\| < 1\)’dir. Arşimet özelliği gereği \(\dfrac{1}{k + 1} < 1 - d\) olan bir \(k \in \mathbb{N}\) vardır. Bu \(k\) için
\[\|x - x_0\| = d < 1 - \frac{1}{k + 1} = \frac{k}{k + 1}\]
olur; yani \(x \in B\left[x_0, \tfrac{k}{k+1}\right]\) ve \(x\) birleşimdedir.
Kapalı değil. \(B(x_0, 1)\)’in tümleyeninin açık olmadığını gösterelim. \(z = x_0 + e_1\) için \(\|z - x_0\| = \|e_1\| = 1\) olduğundan \(z\) tümleyendedir. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(c = \min\{\varepsilon, 1\}\) ve \(w = x_0 + \left(1 - \tfrac{c}{2}\right) e_1\) diyelim. O zaman
\[ \begin{aligned} \|w - z\| &= \left\| -\tfrac{c}{2}\, e_1 \right\| = \frac{c}{2} < \varepsilon, \\[1mm] \|w - x_0\| &= 1 - \frac{c}{2} < 1 \end{aligned} \]
olur. Yani \(w \in B(z, \varepsilon)\)’dir ama \(w \in B(x_0, 1)\) olduğundan \(w\) tümleyende değildir. \(z\)’nin hiçbir yuvarı tümleyenin içinde kalmaz; tümleyen açık değildir ve \(B(x_0, 1)\) kapalı değildir.
Kapalı yuvarlar büyüyerek açık yuvarı doldurur, ama yüzeydeki noktalar hiçbir kapalı yuvara girmez. \(n = 1\) için benzer bir örnek
\[\bigcup_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{k + 1},\ 1 - \frac{1}{k + 1} \right] = (0, 1)\]
eşitliğidir. Her aralık \((0, 1)\)’in içindedir; \(x \in (0, 1)\) ise Arşimet özelliğiyle \(\frac{1}{k + 1} < \min\{x, 1 - x\}\) olan bir \(k\) seçilir ve \(x\) bu \(k\) için yazılan aralıktadır. Kapalı aralıkların sonsuz birleşimi, kapalı olmayan bir açık aralık vermiştir. \(\blacksquare\)
Örnek 3.14 (Bir Kenarı Eksik Kare Kapalı Değildir) \[A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x \le 1,\ 0 \le y \le 1\}\]
kümesinin kapalı olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(A\) kapalıdır ancak ve ancak \(A^c\) açıktır. Bir nokta ancak dört eşitsizlikten en az birini bozduğunda \(A\)’nın dışındadır:
\[A^c = \{(x, y) : x \le 0 \ \text{veya}\ x > 1 \ \text{veya}\ y < 0 \ \text{veya}\ y > 1\}.\]
\(A^c\)’nin açık olmadığını gösterelim. \(A\)’ya ait olmayan kenar, \(x = 0\) doğrusu üzerindeki kenardır. Bu kenarın ortasındaki \(\left(0, \tfrac{1}{2}\right)\) noktası \(x \le 0\) koşulunu sağladığından \(A^c\)’dedir. \(\delta > 0\) verilsin ve \(t = \min\left\{\tfrac{\delta}{2}, 1\right\}\) diyelim. \(\left(t, \tfrac{1}{2}\right)\) noktası için
\[\left\| \left(t, \tfrac{1}{2}\right) - \left(0, \tfrac{1}{2}\right) \right\| = t < \delta\]
olduğundan bu nokta \(B\big((0, \tfrac{1}{2}), \delta\big)\)’dadır. Öte yandan \(0 < t \le 1\) ve \(0 \le \tfrac{1}{2} \le 1\) olduğundan \(\left(t, \tfrac{1}{2}\right) \in A\)’dır, yani bu nokta \(A^c\)’de değildir. Hiçbir \(\delta > 0\) için \(B\big((0, \tfrac{1}{2}), \delta\big) \subseteq A^c\) olmaz; \(A^c\) açık değildir ve \(A\) kapalı değildir.
\(A\) açık da değildir: \(\left(1, \tfrac{1}{2}\right) \in A\) noktasının her \(\varepsilon\) yarıçaplı yuvarı, \(A\)’ya ait olmayan \(\left(1 + \tfrac{\varepsilon}{2}, \tfrac{1}{2}\right)\) noktasını içerir. \(\blacksquare\)
3.5 Ne Açık Ne Kapalı Kümeler
Günlük dilde bir kapı ya açıktır ya kapalı; kümeler için böyle bir ikilik yoktur.
Bir kümenin açık olup olmadığı ile tümleyeninin açık olup olmadığı birbirinden bağımsız iki sorudur; bu yüzden dört durum ortaya çıkar. \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}^n\) hem açık hem kapalıdır (Teorem 3.3 ve Teorem 3.4); \(\mathbb{R}\)’de bu ikisinden başka hem açık hem kapalı küme olmadığını Analiz 1’de görmüştük (bkz. Analiz 1). \(B(x_0, 1)\)’in kapalı olmadığını Örnek 3.13 içinde gördük ve aynı akıl yürütme her \(r > 0\) yarıçapı için geçerlidir. \(B[x_0, r]\) ise açık değildir: \(x_0 + r e_1\) noktası bu yuvardadır, ama her \(\varepsilon > 0\) için \(x_0 + \left(r + \tfrac{\varepsilon}{2}\right) e_1\) noktası bu noktanın \(\varepsilon\) yarıçaplı yuvarında olup kapalı yuvarın dışındadır. Aynı nokta seçimi \(S(x_0, r)\) yuvar yüzeyinin de açık olmadığını gösterir: \(x_0 + r e_1 \in S(x_0, r)\) iken \(x_0 + \left(r + \tfrac{\varepsilon}{2}\right) e_1\) noktası \(B(x_0 + r e_1, \varepsilon)\) içindedir ama yüzeyde değildir. Açık şerit \(A = \{0 < x < 1\}\) de kapalı değildir: \((0, y_0) \notin A\) ve her \(\varepsilon > 0\) için \(\left( \tfrac{1}{2}\min\{\varepsilon, 1\},\ y_0 \right)\) noktası hem \(A\)’da hem \(B\big((0, y_0), \varepsilon\big)\) yuvarındadır; yani \(A^c\)’nin \((0, y_0)\) noktasının hiçbir yuvarı \(A^c\)’nin içinde kalmaz.
| Açık mı? | Kapalı mı? | Örnek |
|---|---|---|
| evet | evet | \(\varnothing\), \(\mathbb{R}^n\) |
| evet | hayır | \(B(x_0, r)\), açık şerit \(\{0 < x < 1\}\) |
| hayır | evet | \(B[x_0, r]\), \(\{a\}\), \(S(x_0, r)\) |
| hayır | hayır | bir kenarı eksik kare (Örnek 3.14) |
Bir kümenin açık olmadığını göstermek, onun kapalı olduğunu göstermez; kapalılık için tümleyene ayrıca bakmak gerekir.
Örnek 3.15 (Ne Açık Ne Kapalı Halka) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) olsun.
\[X = \{x \in \mathbb{R}^n : 2 \le \|x - x_0\| < 3\}\]
kümesinin ne açık ne kapalı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(X\), iç yüzeyi \(S(x_0, 2)\)’yi içeren, dış yüzeyi \(S(x_0, 3)\)’ü içermeyen bir halkadır. İki yüzeyin her biri ayrı bir sorun çıkarır.
Açık değil. \(p = x_0 + 2e_1\) noktası \(\|p - x_0\| = 2\) sağladığından \(X\)’tedir. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(t = \min\{\varepsilon, 1\}\) ve \(q = x_0 + \left(2 - \tfrac{t}{2}\right) e_1\) diyelim. \(\|q - p\| = \tfrac{t}{2} < \varepsilon\) olduğundan \(q \in B(p, \varepsilon)\)’dir; ama \(\|q - x_0\| = 2 - \tfrac{t}{2} < 2\) olduğundan \(q \notin X\)’tir. \(p\)’nin hiçbir yuvarı \(X\)’in içinde kalmaz; \(X\) açık değildir.
Kapalı değil. \(z = x_0 + 3e_1\) noktası \(\|z - x_0\| = 3\) sağladığından \(X^c\)’dedir. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(t = \min\{\varepsilon, 1\}\) ve \(w = x_0 + \left(3 - \tfrac{t}{2}\right) e_1\) diyelim. \(\|w - z\| = \tfrac{t}{2} < \varepsilon\) olduğundan \(w \in B(z, \varepsilon)\)’dir ve
\[2 < \frac{5}{2} \le 3 - \frac{t}{2} = \|w - x_0\| < 3\]
olduğundan \(w \in X\)’tir; yani \(w\), \(X^c\)’de değildir. \(X^c\) açık değildir, dolayısıyla \(X\) kapalı değildir.
Kümeyi iki parçanın kesişimi olarak yazmak durumu aydınlatır:
\[X = \{x : \|x - x_0\| \ge 2\} \cap B(x_0, 3).\]
Birinci küme kapalıdır (tümleyeni \(B(x_0, 2)\) açıktır), ikincisi açıktır. Kapalı bir kümeyle açık bir kümenin kesişimi hakkında genel bir şey söylenemez; sayı doğrusunda da \((0, 2) \cap [-1, 1] = (0, 1]\) kesişimi ne açık ne kapalıdır. \(\blacksquare\)
3.6 Yığılma Noktaları
Bir kümenin kapalı olup olmadığını, kümeye istenildiği kadar yaklaşan noktalara bakarak da anlayabiliriz. Bu noktaları yığılma noktası kavramı betimler.
Tanım 3.4 (Yığılma Noktası) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(x \in \mathbb{R}^n\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için
\[\big( B(x, \varepsilon) \setminus \{x\} \big) \cap S \ne \varnothing\]
oluyorsa \(x\) noktasına \(S\) kümesinin bir yığılma noktası denir. \(S\)’nin bütün yığılma noktalarının kümesi \(S'\) ile gösterilir.
Yani \(x \in S'\) olması, \(x\)’in her komşuluğunun \(S\)’nin \(x\)’ten farklı en az bir elemanını içermesidir: her \(\varepsilon > 0\) için \(0 < \|y - x\| < \varepsilon\) olan bir \(y \in S\) vardır. Tanım \(x\)’in \(S\)’ye ait olmasını gerektirmez; önemli olan, \(x\)’in çevresinde \(S\)’nin başka noktalarının “yığılmasıdır”. Örneğin \(\mathbb{R}\)’de \(\left\{ \tfrac{1}{k} : k \in \mathbb{N} \right\}\) kümesinin tek yığılma noktası \(0\)’dır ve \(0\) kümeye ait değildir (bkz. Analiz 1).
Örnek 3.16 (Açık Yuvarın Yığılma Noktaları) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\), \(r > 0\) ve \(A = B(x_0, r)\) olsun. \(A' = B[x_0, r]\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(B[x_0, r] \subseteq A'\). \(\|x - x_0\| \le r\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(A\)’da, \(x\)’ten farklı ve \(x\)’e \(\varepsilon\)’dan yakın bir \(y\) noktası bulacağız.
\(x = x_0\) ise \(\eta = \min\{\varepsilon, r\}\) ve \(y = x_0 + \tfrac{\eta}{2} e_1\) alalım. \(\|y - x_0\| = \tfrac{\eta}{2}\) olduğundan hem \(0 < \|y - x\| < \varepsilon\) hem de \(\|y - x_0\| < r\), yani \(y \in A\)’dır.
\(x \ne x_0\) ise \(d = \|x - x_0\|\) diyelim; \(0 < d \le r\)’dir. \(y\)’yi \(x_0\) ile \(x\)’i birleştiren doğru parçası üzerinde, \(x\)’e yakın seçelim:
\[ \begin{aligned} t &= \max\left\{0,\ 1 - \frac{\varepsilon}{2d}\right\}, \\[1mm] y &= x_0 + t(x - x_0). \end{aligned} \]
\(0 \le t < 1\) ve \(1 - t \le \dfrac{\varepsilon}{2d}\) olduğundan
\[ \begin{aligned} \|y - x_0\| &= t\, d < d \le r, \\[1mm] \|y - x\| &= (1 - t)\, d \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \end{aligned} \]
olur; ayrıca \(1 - t > 0\) olduğundan \(\|y - x\| > 0\)’dır. Yani \(y \in A\), \(y \ne x\) ve \(y \in B(x, \varepsilon)\)’dir.
Her iki durumda da \(\big( B(x, \varepsilon) \setminus \{x\} \big) \cap A \ne \varnothing\) olduğundan \(x \in A'\)’dür.
\(A' \subseteq B[x_0, r]\). \(\|x - x_0\| > r\) olsun. Teorem 3.2 ispatındaki gibi \(\rho = \|x - x_0\| - r\) alınırsa \(B(x, \rho)\) yuvarının bütün noktaları \(x_0\)’dan \(r\)’den fazla uzaktadır; yani \(B(x, \rho) \cap A = \varnothing\)’dir. Dolayısıyla \(x \notin A'\)’dür.
İki kapsama birlikte \(A' = B[x_0, r]\) verir. Açık yuvarın yığılma noktaları kümesi yuvarın kendisinden büyüktür: \(S(x_0, r)\) yüzeyindeki noktalar yuvara ait olmadığı hâlde yığılma noktasıdır. \(\blacksquare\)
3.7 Sınırlı Kümeler
Kümeler için Bolzano–Weierstrass teoremi sınırlı kümelerden söz eder. \(\mathbb{R}\)’de sınırlılık alttan ve üstten sınırlı olmak demekti; \(\mathbb{R}^n\)’de sıralama olmadığından sınırlılığı norm yardımıyla tanımlarız.
Tanım 3.5 (Sınırlı Küme) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. Her \(x \in S\) için \(\|x\| \le r\) olacak biçimde bir \(r > 0\) varsa, yani
\[S \subseteq B[0, r]\]
ise \(S\)’ye sınırlı küme denir.
Yani sınırlı bir küme, orijin merkezli yeterince büyük bir kapalı yuvarın içine sığar. Merkezin orijin olması önemli değildir: \(S \subseteq B[x_0, \rho]\) ise her \(x \in S\) için
\[\|x\| \le \|x - x_0\| + \|x_0\| \le \rho + \|x_0\|\]
olduğundan \(S \subseteq B[0, \rho + \|x_0\|]\)’dir. Özel olarak her açık ve her kapalı yuvar sınırlıdır. \(n = 1\) için tanım, Analiz 1’deki sınırlı küme kavramıyla aynıdır (bkz. Analiz 1).
Yuvar yerine bir küp de kullanılabilir; bu biçim, küpleri bölerek yapılan ispatlarda işe yarar.
Önerme 3.1 (Sınırlılığın Küple İfadesi) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesinin sınırlı olması için gerek ve yeter koşul, bir \(r > 0\) için
\[S \subseteq [-r, r] \times [-r, r] \times \dots \times [-r, r]\]
olmasıdır. Kısaca \(S \subseteq [-r, r]^n\) yazılır; \([-r, r]^n\), bütün kenarları \(2r\) uzunluğunda olan bir kapalı aralıktır (kapalı \(n\)-hücre).
İspat
Teorem 1.5 gereği her \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) ve her \(j\) için
\[|x_j| \le \|x\|_\infty \le \|x\| \le \sqrt{n}\, \|x\|_\infty\]
olur; burada \(\|x\|_\infty = \max\{|x_1|, \dots, |x_n|\}\)’dir.
(\(\Rightarrow\)) \(S \subseteq B[0, r]\) olsun. \(x \in S\) ise her \(j\) için \(|x_j| \le \|x\| \le r\), yani \(x_j \in [-r, r]\)’dir; dolayısıyla \(x \in [-r, r]^n\) olur.
(\(\Leftarrow\)) \(S \subseteq [-r, r]^n\) olsun. \(x \in S\) ise her \(i\) için \(|x_i| \le r\), yani \(\|x\|_\infty \le r\) olduğundan \(\|x\| \le \sqrt{n}\, r\)’dir; yani \(S \subseteq B[0, \sqrt{n}\, r]\) ve \(S\) sınırlıdır. \(\blacksquare\)
Örnek 3.17 (Şerit Sınırlı Değildir) \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x < 1\}\) şeridinin sınırlı olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Tersine, bir \(r > 0\) için \(A \subseteq B[0, r]\) olduğunu varsayalım. Arşimet özelliği gereği \(k > r\) olan bir \(k \in \mathbb{N}\) vardır (bkz. Analiz 1). \(\left(\tfrac{1}{2}, k\right)\) noktası \(A\)’dadır, ama
\[\left\| \left(\tfrac{1}{2}, k\right) \right\| = \sqrt{\tfrac{1}{4} + k^2} > k > r\]
olduğundan \(B[0, r]\)’de değildir. Bu çelişki \(A\)’nın sınırlı olmadığını gösterir.
Şerit açık bir kümedir (Örnek 3.4) ama sınırlı değildir; açıklık ile sınırlılık birbirinden bağımsız özelliklerdir. \(\blacksquare\)
3.8 İç İçe Kapalı Aralıklar
Bolzano–Weierstrass teoreminin ispatı, gittikçe küçülen iç içe kutular kurar ve bu kutuların ortak bir noktası olduğunu kullanır. \(\mathbb{R}\)’de bu, iç içe kapalı aralıklar teoremidir (bkz. Analiz 1); \(\mathbb{R}^n\)’deki karşılığı ondan bileşen bileşen elde edilir. \(\mathbb{R}^n\)’nin bir kapalı aralığı (Tanım 2.9), \(\mathbb{R}\)’nin \(n\) tane kapalı aralığının Kartezyen çarpımıdır:
\[I = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \dots \times [a_n, b_n];\]
burada her \(j\) için \(a_j \le b_j\)’dir.
Teorem 3.5 (İç İçe Kapalı Aralıklar Özelliği) \((I_k)_{k \in \mathbb{N}}\), \(\mathbb{R}^n\)’nin kapalı aralıklarından oluşan ve
\[I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots\]
koşulunu sağlayan bir dizi olsun. O zaman \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} I_k \ne \varnothing\)’dir.
İspat
Her \(k\) için \(I_k\)’yi \(\mathbb{R}\)’nin kapalı aralıklarının çarpımı olarak yazalım:
\[I_k = I_{k,1} \times I_{k,2} \times \dots \times I_{k,n};\]
burada her \(j = 1, \dots, n\) için \(I_{k,j} = [a_{k,j}, b_{k,j}]\) ve \(a_{k,j} \le b_{k,j}\)’dir.
Bileşen aralıkları da iç içedir. Bir \(j\) indisini sabitleyip \(I_{k+1,j} \subseteq I_{k,j}\) olduğunu gösterelim. \(t \in I_{k+1,j}\) olsun. \(j\)-inci bileşeni \(t\), öbür her \(i \ne j\) için \(i\)-inci bileşeni \(a_{k+1,i}\) olan \(p\) noktasının her bileşeni ilgili aralıktadır; yani \(p \in I_{k+1}\)’dir. \(I_{k+1} \subseteq I_k\) olduğundan \(p \in I_k\) olur; özel olarak \(p\)’nin \(j\)-inci bileşeni olan \(t\), \(I_{k,j}\)’dedir. Böylece her \(j\) için
\[I_{1,j} \supseteq I_{2,j} \supseteq I_{3,j} \supseteq \cdots\]
\(\mathbb{R}\)’de iç içe kapalı aralıklardan oluşan bir dizidir.
Her bileşende ortak nokta. \(\mathbb{R}\)’deki iç içe aralıklar teoremi gereği her \(j\) için
\[x_j \in \bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k,j}\]
olan bir \(x_j \in \mathbb{R}\) vardır.
Ortak nokta. \(x = (x_1, \dots, x_n)\) diyelim. Her \(k\) ve her \(j\) için \(x_j \in I_{k,j}\) olduğundan \(x \in I_{k,1} \times \dots \times I_{k,n} = I_k\)’dir. \(x\) bütün \(I_k\)’lerde olduğundan kesişim boş değildir. \(\blacksquare\)
Aralıkların kapalı olması gereklidir. \(\mathbb{R}\)’de \(\left(0, \tfrac{1}{k}\right)\) açık aralıkları iç içedir ama ortak noktaları yoktur; \(\mathbb{R}^n\)’de de \(\left(0, \tfrac{1}{k}\right)^n\) açık aralıklarının ortak noktası yoktur, çünkü ortak bir noktanın birinci bileşeni bütün \(\left(0, \tfrac{1}{k}\right)\) aralıklarında olmalıydı.
3.9 Kümeler için Bolzano–Weierstrass Teoremi
Sonsuz sayıda nokta sınırlı bir bölgeye sıkıştırılırsa bir yerde yığılmak zorundadır. Bu sezgiyi \(\mathbb{R}\)’de Bolzano–Weierstrass teoremi olarak ispatlamıştık (bkz. Analiz 1). Aynı “ikiye bölme” fikri \(\mathbb{R}^n\)’de bir küpü \(2^n\) küçük küpe bölerek çalışır.
Teorem 3.6 (Bolzano–Weierstrass Teoremi) \(\mathbb{R}^n\)’nin sınırlı ve sonsuz elemanlı her alt kümesinin en az bir yığılma noktası vardır.
İspat
\(S \subseteq \mathbb{R}^n\) sınırlı ve sonsuz elemanlı olsun. Önerme 3.1 gereği bir \(r > 0\) için
\[S \subseteq I_1 = [-r, r] \times \dots \times [-r, r]\]
olur. \(I_1\), bütün kenarları \(\ell_1 = 2r\) uzunluğunda olan bir kapalı aralıktır; kısaca bir küptür.
Bölme adımı. Bütün kenarları \(\ell\) uzunluğunda olan bir kapalı aralık
\[I = [c_1, c_1 + \ell] \times \dots \times [c_n, c_n + \ell]\]
olsun. Her \([c_j, c_j + \ell]\) kenarını orta noktasından ikiye bölelim:
\[[c_j, c_j + \ell] = \left[c_j,\ c_j + \tfrac{\ell}{2}\right] \cup \left[c_j + \tfrac{\ell}{2},\ c_j + \ell\right].\]
Her bileşen için iki yarıdan birini seçerek \(2^n\) tane kapalı aralık elde ederiz. Bunların her birinin bütün kenarları \(\tfrac{\ell}{2}\) uzunluğundadır ve birleşimleri \(I\)’dır. \(n = 2\) için bir kare dört küçük kareye, \(n = 3\) için bir küp sekiz küçük küpe bölünür.
İç içe küpler. \(I_1\)’i böyle \(2^n\) parçaya bölelim: \(I_1 = I_1^{(1)} \cup \dots \cup I_1^{(2^n)}\). \(S = S \cap I_1\) sonsuz elemanlı olduğundan \(S \cap I_1^{(j)}\) kümelerinden en az biri sonsuz elemanlıdır; aksi hâlde \(S\), sonlu sayıda sonlu kümenin birleşimi olarak sonlu olurdu. Böyle bir parçaya \(I_2\) diyelim: \(I_2 \subseteq I_1\), \(S \cap I_2\) sonsuz elemanlıdır ve \(I_2\)’nin kenarları \(\ell_2 = r\) uzunluğundadır. Aynı işlemi \(I_2\)’ye uygulayıp \(I_3\)’ü, \(I_3\)’e uygulayıp \(I_4\)’ü seçeriz ve böyle devam ederiz. Sonuçta her \(m \in \mathbb{N}\) için şu üç özelliği taşıyan kapalı aralıklar elde ederiz:
- \(I_{m+1} \subseteq I_m\),
- \(S \cap I_m\) sonsuz elemanlıdır,
- \(I_m\)’in bütün kenarları \(\ell_m = \dfrac{2r}{2^{m-1}}\) uzunluğundadır.
Ortak nokta. Teorem 3.5 gereği bütün \(I_m\)’lerde bulunan bir \(x^*\) noktası vardır.
\(x^*\) bir yığılma noktasıdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(y \in I_m\) ise \(x^*\) ile \(y\) aynı küpte olduğundan her \(j\) için \(|x^*_j - y_j| \le \ell_m\)’dir; Teorem 1.5 gereği
\[\|x^* - y\| \le \sqrt{n}\, \|x^* - y\|_\infty \le \sqrt{n}\, \ell_m = \frac{2r\sqrt{n}}{2^{m-1}}\]
olur. Arşimet özelliği gereği \(m > \dfrac{2r\sqrt{n}}{\varepsilon}\) olan bir \(m \in \mathbb{N}\) vardır. Her \(m \in \mathbb{N}\) için \(2^{m-1} \ge m\)’dir (tümevarımla: \(m = 1\) için eşitlik vardır ve \(2^{m-1} \ge m\) ise \(2^m \ge 2m \ge m + 1\) olur). Dolayısıyla bu \(m\) için
\[\frac{2r\sqrt{n}}{2^{m-1}} \le \frac{2r\sqrt{n}}{m} < \varepsilon\]
ve \(I_m \subseteq B(x^*, \varepsilon)\) olur. \(S \cap I_m\) sonsuz elemanlı olduğundan \(B(x^*, \varepsilon)\), \(S\)’nin sonsuz çoklukta elemanını, özel olarak \(x^*\)’dan farklı en az bir elemanını içerir:
\[\big( B(x^*, \varepsilon) \setminus \{x^*\} \big) \cap S \ne \varnothing.\]
\(\varepsilon > 0\) keyfi olduğundan \(x^*\), \(S\)’nin bir yığılma noktasıdır. \(\blacksquare\)
Teoremin iki koşulu da gereklidir. Sonlu bir kümenin hiç yığılma noktası yoktur: \(S = \{p_1, \dots, p_m\}\) ve \(x \in \mathbb{R}^n\) verildiğinde, \(x\)’ten farklı \(p_i\)’lerin \(x\)’e uzaklıklarının en küçüğüne \(\varepsilon\) dersek (\(x\)’ten farklı \(p_i\) yoksa \(\varepsilon = 1\) alınır) \(B(x, \varepsilon) \setminus \{x\}\) kümesi \(S\)’nin hiçbir noktasını içermez. Sınırlı olmayan sonsuz bir kümenin de yığılma noktası olmayabilir: \(S = \{k e_1 : k \in \mathbb{N}\}\) kümesinin farklı iki noktası arasındaki uzaklık en az \(1\)’dir. Bu yüzden her \(B\left(x, \tfrac{1}{2}\right)\) yuvarı \(S\)’nin en çok bir noktasını içerir (iki nokta aynı yuvarda olsaydı aralarındaki uzaklık üçgen eşitsizliği gereği \(1\)’den küçük olurdu). Bu nokta \(x\)’ten farklı bir \(p\) ise yarıçapı \(\|p - x\|\)’e küçültmek \(x\)’in çevresinde \(S\)’nin başka noktası bırakmaz; dolayısıyla \(S' = \varnothing\)’dir.
Son olarak, teoremin verdiği yığılma noktası kümeye ait olmak zorunda değildir: \(\left\{ \tfrac{1}{k} : k \in \mathbb{N} \right\}\) kümesinin tek yığılma noktası olan \(0\) kümede değildir.
3.10 Kapalı Kümeler ve Yığılma Noktaları
Kapalı kümeyi tümleyeni üzerinden tanımladık. Aşağıdaki teorem kapalılığı kümenin yığılma noktaları cinsinden ifade eder ve pek çok durumda tanımdan daha kullanışlıdır.
Teorem 3.7 (Kapalılık ve Yığılma Noktaları) \(F \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter koşul, \(F\)’nin bütün yığılma noktalarını içermesidir:
\[F \text{ kapalı} \iff F' \subseteq F.\]
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(F\) kapalı olsun ve \(x\), \(F\)’nin bir yığılma noktası olsun. \(x \notin F\) olduğunu varsayalım. O zaman \(x \in F^c\)’dir ve \(F^c\) açık olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq F^c\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Bu yuvar \(F\) ile hiç kesişmez; özel olarak
\[\big( B(x, \varepsilon) \setminus \{x\} \big) \cap F = \varnothing\]
olur. Bu, \(x\)’in yığılma noktası olmasıyla çelişir. Öyleyse \(x \in F\)’dir; yani \(F' \subseteq F\).
(\(\Leftarrow\)) \(F' \subseteq F\) olsun; \(F^c\)’nin açık olduğunu gösterelim. Keyfi bir \(x \in F^c\) alalım. \(x \notin F\) ve \(F\) bütün yığılma noktalarını içerdiğinden \(x\), \(F\)’nin bir yığılma noktası değildir. Dolayısıyla bir \(\varepsilon > 0\) için
\[\big( B(x, \varepsilon) \setminus \{x\} \big) \cap F = \varnothing\]
olur. \(x\)’in kendisi de \(F\)’de olmadığından \(B(x, \varepsilon) \cap F = \varnothing\), yani \(B(x, \varepsilon) \subseteq F^c\)’dir. \(x\) keyfi olduğundan \(F^c\) açıktır ve \(F\) kapalıdır. \(\blacksquare\)
\(n = 1\) için aynı sonuç Analiz 1’de de vardı (bkz. Analiz 1). Örneğin \(\left\{ \tfrac{1}{k} : k \in \mathbb{N} \right\}\) kümesi kapalı değildir, çünkü yığılma noktası olan \(0\)’ı içermez.
Örnek 3.18 (Açık Yuvar Kapalı Değildir) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. \(B(x_0, r)\)’nin kapalı olmadığını Teorem 3.7 yardımıyla gösteriniz.
Çözüm
Örnek 3.16 gereği \(B(x_0, r)\)’nin yığılma noktaları kümesi \(B[x_0, r]\)’dir. \(x_0 + r e_1\) noktası
\[\big\| (x_0 + r e_1) - x_0 \big\| = r\, \|e_1\| = r\]
sağladığından \(B[x_0, r]\)’dedir, yani \(B(x_0, r)\)’nin bir yığılma noktasıdır; ama \(B(x_0, r)\)’de değildir. \(B(x_0, r)\) bütün yığılma noktalarını içermediğinden Teorem 3.7 gereği kapalı değildir.
Buna karşılık \(B[x_0, r]\) kapalıdır (Sonuç 3.1); teorem gereği onun bütün yığılma noktaları kendi içindedir. \(\blacksquare\)
Teorem 3.6 ile Teorem 3.7 birlikte şunu söyler: kapalı, sınırlı ve sonsuz elemanlı bir kümenin en az bir yığılma noktası vardır ve bu nokta kümenin içindedir. Bu gözlem, ileride kompakt kümeleri incelerken temel rol oynayacaktır.
3.11 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Uzayda Yatay Bir Disk) \[C = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 < 4,\ z = 1\}\]
kümesinin \(\mathbb{R}^3\)’te açık olmadığını \(a = (1, 0, 1)\) noktasından yararlanarak gösteriniz.
Çözüm
\(1^2 + 0^2 = 1 < 4\) ve \(z = 1\) olduğundan \(a \in C\)’dir. Keyfi bir \(\varepsilon > 0\) için \(p = \left(1, 0, 1 + \tfrac{\varepsilon}{2}\right)\) diyelim.
\[\|p - a\| = \left\| \left(0, 0, \tfrac{\varepsilon}{2}\right) \right\| = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\]
olduğundan \(p \in B(a, \varepsilon)\)’dir; ama \(p\)’nin üçüncü bileşeni \(1 + \tfrac{\varepsilon}{2} \ne 1\) olduğundan \(p \notin C\)’dir. Hiçbir \(\varepsilon > 0\) için \(B(a, \varepsilon) \subseteq C\) olmadığından \(C\) açık değildir.
\(C\), \(z = 1\) düzlemindeki açık bir disktir. Düzlemin içinde kalındığında her noktasının çevresine \(C\)’de kalan bir disk yerleştirilebilir; ama \(\mathbb{R}^3\)’te her yuvar düzlemin üstüne ve altına taşar. Açıklık, kümenin hangi uzayın alt kümesi olarak düşünüldüğüne bağlıdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.2 (Sağ Yarı Düzlem Açıktır) \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x > 0\}\) kümesinin açık olduğunu ispatlayınız.
Çözüm
Keyfi bir \((x_0, y_0) \in A\) alalım; \(x_0 > 0\)’dır. \(\varepsilon = x_0\) seçelim. \((x, y) \in B\big((x_0, y_0), \varepsilon\big)\) ise
\[|x - x_0| \le \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \varepsilon = x_0\]
olur; buradan \(x > x_0 - x_0 = 0\), yani \((x, y) \in A\) bulunur. \(B\big((x_0, y_0), x_0\big) \subseteq A\) olduğundan \(A\) açıktır.
Seçtiğimiz yarıçap, \((x_0, y_0)\) noktasının \(A\)’yı sınırlayan \(x = 0\) doğrusuna, yani \(y\) eksenine olan uzaklığıdır. Aynı kümenin konveks olduğunu Örnek 2.7 içinde görmüştük; \(A\) hem açık hem konvekstir, ama Örnek 3.17 içindeki akıl yürütmeyle sınırlı değildir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.3 (Açık Dikdörtgen Açıktır) \(A = (0, 1) \times (3, 4) \subseteq \mathbb{R}^2\) kümesinin açık olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kartezyen çarpımın tanımı gereği \((x_0, y_0) \in A\) olması, \(0 < x_0 < 1\) ve \(3 < y_0 < 4\) olması demektir. Dört kesin eşitsizlikten dört pozitif fark elde edilir; en küçüğünü seçelim:
\[\varepsilon = \min\{x_0,\ 1 - x_0,\ y_0 - 3,\ 4 - y_0\} > 0.\]
\((x, y) \in B\big((x_0, y_0), \varepsilon\big)\) olsun. \(|x - x_0|\) ve \(|y - y_0|\) farklarının her biri \(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \varepsilon\) ile sınırlıdır. \(\varepsilon\) dört farkın her birinden büyük olmadığından
\[ \begin{aligned} 0 \le x_0 - \varepsilon &< x < x_0 + \varepsilon \le 1, \\[1mm] 3 \le y_0 - \varepsilon &< y < y_0 + \varepsilon \le 4 \end{aligned} \]
olur. Yani \((x, y) \in A\) ve \(B\big((x_0, y_0), \varepsilon\big) \subseteq A\)’dır; \(A\) açıktır.
Bir başka yol: \(A\), \(\{(x, y) : 0 < x < 1\}\) ve \(\{(x, y) : 3 < y < 4\}\) şeritlerinin kesişimidir. Birinci şerit Örnek 3.4 gereği, ikincisi aynı gerekçeyle açıktır; iki açık kümenin kesişimi Teorem 3.3 (b) gereği açıktır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.4 (Sağ Kenarı Dahil Şerit) \(U = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 < x \le 1\}\) kümesinin açık olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(a = (1, 0)\) noktası \(-1 < 1 \le 1\) sağladığından \(U\)’dadır. Keyfi bir \(\varepsilon > 0\) için \(p = \left(1 + \tfrac{\varepsilon}{2}, 0\right)\) noktası \(\|p - a\| = \tfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\) sağladığından \(B(a, \varepsilon)\)’dadır, ama \(1 + \tfrac{\varepsilon}{2} > 1\) olduğundan \(U\)’da değildir. Hiçbir \(\varepsilon > 0\) için \(B(a, \varepsilon) \subseteq U\) olmaz; \(U\) açık değildir.
Şeridin sol kenarı (\(x = -1\)) açıklık için sorun çıkarmaz; sorun, kümeye katılmış sağ kenardadır. Sol kenar ise kapalılığı bozar: \((-1, 0) \notin U\) noktası ve her \(\varepsilon > 0\) için \(t = \tfrac{1}{2}\min\{\varepsilon, 2\}\) alınırsa \((-1 + t, 0)\) noktası hem bu noktanın \(\varepsilon\) yarıçaplı yuvarında hem de \(U\)’dadır. Dolayısıyla \(U\) kapalı da değildir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.5 (Yarı Açık Kare Açık Değildir) \[A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x \le 1,\ 0 \le y < 1\}\]
kümesinin açık olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(A\)’ya ait olan bir kenardaki noktayı seçelim: \(a = \left(\tfrac{1}{2}, 0\right)\) için \(0 < \tfrac{1}{2} \le 1\) ve \(0 \le 0 < 1\) olduğundan \(a \in A\)’dır. Keyfi bir \(\varepsilon > 0\) için \(p = \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{\varepsilon}{2}\right)\) noktası
\[\|p - a\| = \left\| \left(0, -\tfrac{\varepsilon}{2}\right) \right\| = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\]
sağladığından \(B(a, \varepsilon)\)’dadır; ama ikinci bileşeni negatif olduğundan \(A\)’da değildir. Hiçbir \(\varepsilon > 0\) için \(B(a, \varepsilon) \subseteq A\) olmaz; \(A\) açık değildir.
\(A\) kapalı da değildir: \(\left(0, \tfrac{1}{2}\right) \notin A\) noktası için Örnek 3.14 çözümündeki akıl yürütme aynen işler. \(A\), dört kenarından ikisini (\(x = 1\) ve \(y = 0\)) içeren, öbür ikisini (\(x = 0\) ve \(y = 1\)) içermeyen bir karedir ve ne açık ne kapalıdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.6 (Tek Nokta Kapalı Yuvarların Kesişimidir) \(x \in \mathbb{R}^n\) olsun.
\[\{x\} = \bigcap_{r > 0} B[x, r]\]
olduğunu gösteriniz ve buradan \(\{x\}\) kümesinin kapalı olduğu sonucunu çıkarınız.
Çözüm
Kesişim \(x\)’i içerir. Her \(r > 0\) için \(\|x - x\| = 0 \le r\) olduğundan \(x \in B[x, r]\)’dir.
Kesişimde başka nokta yoktur. \(y\) kesişimde olsun ve \(y \ne x\) olduğunu varsayalım. O zaman \(d = \|y - x\| > 0\)’dır ve \(r = \tfrac{d}{2}\) için \(\|y - x\| = d > \tfrac{d}{2}\) olduğundan \(y \notin B\left[x, \tfrac{d}{2}\right]\) olur. Bu, \(y\)’nin kesişimde olmasıyla çelişir; öyleyse \(y = x\)’tir.
Kapalılık. Her \(B[x, r]\) Sonuç 3.1 gereği kapalıdır; kapalı kümelerin keyfi kesişimi Teorem 3.4 (c) gereği kapalıdır. Dolayısıyla \(\{x\}\) kapalıdır. Örneğin \(\{(1, 2, 3)\}\) kümesi \(\mathbb{R}^3\)’te kapalıdır.
Bu, Örnek 3.11 sonucunun ikinci bir ispatıdır: orada tümleyenin açıklığını doğrudan göstermiştik, burada kapalı kümelerin kesişim özelliğini kullandık. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.7 (Yığılma Noktasının Her Yuvarında Sonsuz Nokta) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(x \in S'\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için \(B(x, \varepsilon) \cap S\) kümesinin sonsuz elemanlı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Tersine, bir \(\varepsilon > 0\) için \(B(x, \varepsilon) \cap S\) kümesinin sonlu olduğunu varsayalım. O zaman onun alt kümesi olan
\[T = \big( B(x, \varepsilon) \setminus \{x\} \big) \cap S\]
de sonludur. \(x \in S'\) olduğundan \(T \ne \varnothing\)’dir; \(T = \{p_1, \dots, p_m\}\) yazalım. Her \(p_i \ne x\) olduğundan
\[\delta = \min\{\|p_1 - x\|, \dots, \|p_m - x\|\} > 0\]
olur; her \(p_i\), \(B(x, \varepsilon)\)’da olduğundan \(\delta < \varepsilon\)’dur.
Şimdi \(\big( B(x, \delta) \setminus \{x\} \big) \cap S\) kümesine bakalım. Bu kümenin bir \(q\) elemanı \(B(x, \varepsilon) \setminus \{x\}\)’te ve \(S\)’de olduğundan \(T\)’ye aittir, yani bir \(i\) için \(q = p_i\)’dir. Ama o zaman \(\|q - x\| = \|p_i - x\| \ge \delta\) olur ve \(q \in B(x, \delta)\) ile çelişir. Demek ki
\[\big( B(x, \delta) \setminus \{x\} \big) \cap S = \varnothing\]
olur; bu da \(x \in S'\) olmasıyla çelişir. Öyleyse her \(\varepsilon > 0\) için \(B(x, \varepsilon) \cap S\) sonsuz elemanlıdır.
Tersi de doğrudur: her yuvar \(S\)’nin sonsuz çoklukta elemanını içeriyorsa bunlardan en az biri \(x\)’ten farklıdır ve \(x \in S'\)’dür. Bu sonuç, sonlu kümelerin yığılma noktası olmadığını bir kez daha gösterir. \(n = 1\) için bkz. Analiz 1. \(\blacksquare\)
Alıştırma 3.8 (İki Yığılma Noktalı Bir Küme) \[S = \left\{ \left( \frac{1}{k}, (-1)^k \right) : k \in \mathbb{N} \right\} \subseteq \mathbb{R}^2\]
kümesinin yığılma noktalarını bulunuz.
Çözüm
\(S\)’nin noktaları \(y = 1\) (\(k\) çift) ve \(y = -1\) (\(k\) tek) doğruları üzerinde, \(y\) eksenine yaklaşarak dizilir. Adaylar \((0, 1)\) ve \((0, -1)\) noktalarıdır.
\((0, 1) \in S'\). \(\varepsilon > 0\) verilsin. Arşimet özelliği gereği \(\tfrac{1}{k} < \varepsilon\) olan bir \(k \in \mathbb{N}\) vardır; çift sayı olan \(2k\) de bu koşulu sağlar. \(p = \left(\tfrac{1}{2k}, 1\right) \in S\) için
\[\big\| p - (0, 1) \big\| = \frac{1}{2k} < \varepsilon\]
ve \(p \ne (0, 1)\)’dir. Öyleyse \((0, 1) \in S'\)’dür. Aynı yolla, tek sayı olan \(2k + 1\) indisiyle, \((0, -1) \in S'\) bulunur.
Başka yığılma noktası yoktur. \(x = (a, b)\) bu iki noktadan farklı olsun.
\(b \ne 1\) ve \(b \ne -1\) ise \(\delta = \min\{|b - 1|, |b + 1|\} > 0\) diyelim. \(S\)’nin her noktasının ikinci bileşeni \(1\) ya da \(-1\) olduğundan her \(p \in S\) için \(\|p - x\| \ge \delta\)’dır; \(B(x, \delta) \cap S = \varnothing\) ve \(x \notin S'\).
\(b = 1\) ise \(a \ne 0\)’dır. \(a < 0\) ise \(S\)’nin her noktasının birinci bileşeni pozitif olduğundan her \(p \in S\) için \(\|p - x\| \ge \tfrac{1}{k} - a > |a|\) olur; \(B(x, |a|) \cap S = \varnothing\)’dir. \(a > 0\) ise \(B\left(x, \tfrac{a}{2}\right)\) yuvarındaki her \(p = \left(\tfrac{1}{k}, (-1)^k\right)\) noktası için \(\left|\tfrac{1}{k} - a\right| < \tfrac{a}{2}\), dolayısıyla \(\tfrac{1}{k} > \tfrac{a}{2}\), yani \(k < \tfrac{2}{a}\) olmalıdır. Bu yuvar \(S\)’nin yalnız sonlu çoklukta noktasını içerir ve Alıştırma 3.7 gereği \(x \notin S'\)’dür.
\(b = -1\) ise aynı akıl yürütme geçerlidir.
Sonuç. \(S' = \{(0, 1), (0, -1)\}\)’dir. Bu iki nokta \(S\)’de olmadığından Teorem 3.7 gereği \(S\) kapalı değildir. \(\blacksquare\)
Bu bölümde bir kümenin açık ya da kapalı olmasını tanımladık ve kapalılığı yığılma noktalarıyla betimledik. Doğal bir sonraki adım, noktaları bir kümeye göre konumlarına göre ayırmaktır: bir nokta kümenin tam içinde mi, kenarında mı, yoksa kümeden uzakta mı? Sınır, Kapanış ve İç bölümünde sınır noktası, kapanış ve iç kavramlarını tanımlıyor ve bunları açık ve kapalı kümelerle ilişkilendiriyoruz.