9 Kuvvet Serilerinde Düzgün Yakınsaklık ve Analitik Fonksiyonlar
Kuvvet serilerini Analiz 2’de ayrıntısıyla inceledik. Orada düzgün yakınsaklık kuramından yalnız gerektiği kadarını almıştık; şimdi kuramın tamamı elimizde olduğuna göre iki eksiği tamamlayabiliriz. Birincisi uç noktalarla ilgilidir: bir kuvvet serisi yakınsaklık aralığının bir ucunda yakınsıyorsa, düzgün yakınsaklık o uca kadar uzanır mı? İkincisi analitik fonksiyonlarla ilgilidir: sonsuz kez türevlenebilir bir fonksiyonun bir kuvvet serisiyle temsil edilebilmesi için türevleri ne kadar hızlı büyüyebilir?
Bölüm boyunca gösterimi hafifletmek için serinin merkezini \(0\) alıyoruz; \(t = x - x_0\) ötelemesi genel durumu buna indirger.
\(\sum_{n \ge 0} a_n x^n\) bir kuvvet serisi ve \(R \in [0, +\infty]\) yakınsaklık yarıçapı olsun.
- Seri \(|x| < R\) için mutlak yakınsar, \(|x| > R\) için ıraksar; yarıçap Cauchy–Hadamard formülüyle bulunur (bkz. Analiz 2).
- \(0 < \rho < R\) olan her \(\rho\) için seri \([-\rho, \rho]\) üzerinde düzgün yakınsar (bkz. Analiz 2).
- Seri \((-R, R)\) üzerinde terim terime türevlenebilir (bkz. Analiz 2) ve integrallenebilir (bkz. Analiz 2); yarıçap değişmez.
- Toplam fonksiyonu \((-R, R)\) üzerinde sonsuz kez türevlenebilirdir (bkz. Analiz 2).
- Katsayılar tektir: \(a_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) (bkz. Analiz 2).
Bu sonuçların hepsi, Fonksiyon Serilerinin Özellikleri bölümündeki genel teoremlerin özel durumlarıdır: M-testi \([-\rho, \rho]\) üzerinde düzgün yakınsaklığı verir, gerisi süreklilik, integral ve türev teoremlerinden çıkar.
9.1 Uç Noktaya Kadar Düzgün Yakınsaklık
\([-\rho, \rho]\) üzerindeki düzgün yakınsaklık, \(\rho < R\) olduğu sürece geçerlidir ve M-testiyle elde edilir. \(\rho = R\) için M-testi artık çalışmaz; çünkü seri uç noktada mutlak yakınsak olmayabilir. Yine de serinin uç noktada yakınsaması, düzgün yakınsaklığı o uca kadar taşımaya yeter. Bunu sağlayan araç Abel testidir.
Teorem 9.1 (Uç Noktaya Kadar Düzgün Yakınsaklık) \(\sum_{n \ge 0} a_n x^n\) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R \in (0, +\infty)\) olsun.
\(\sum a_n R^n\) sayı serisi yakınsaksa kuvvet serisi \([0, R]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
\(\sum a_n (-R)^n\) sayı serisi yakınsaksa kuvvet serisi \([-R, 0]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
İspat
(i) Genel terimi iki çarpana ayıralım:
\[a_n x^n = \underbrace{a_n R^n}_{f_n} \cdot \underbrace{\left( \frac{x}{R} \right)^{n}}_{g_n(x)}.\]
Abel testinin (Teorem 7.4) üç koşulunu \(E = [0, R]\) üzerinde denetleyelim.
- \(f_n = a_n R^n\) sabit fonksiyonlardır ve \(\sum a_n R^n\) varsayım gereği yakınsaktır. Terimleri \(x\)’e bağlı olmayan yakınsak bir serinin kalanı \(x\)’ten bağımsız bir sıfır dizisidir; dolayısıyla \(\sum f_n\), \([0, R]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
- \(x \in [0, R]\) için \(t = \dfrac{x}{R} \in [0, 1]\) olur ve \(t^{n+1} = t \cdot t^n \le t^n\) olduğundan \(\big(g_n(x)\big)\) dizisi \(n\)’ye göre azalandır.
- \(x \in [0, R]\) için \(0 \le g_n(x) = t^n \le 1\) olduğundan \((g_n)\) düzgün sınırlıdır.
Teorem 7.4 gereği \(\sum f_n g_n = \sum a_n x^n\) serisi \([0, R]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
(ii) \(b_n = (-1)^n a_n\) olsun. \(\sum b_n x^n\) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı da \(R\)’dir, çünkü \(|b_n| = |a_n|\)’dir; ayrıca \(\sum b_n R^n = \sum a_n (-R)^n\) yakınsaktır. (i) gereği \(\sum b_n y^n\) serisi \(y \in [0, R]\) üzerinde düzgün yakınsar. \(y = -x\) yazılırsa \(b_n y^n = (-1)^n a_n (-x)^n = a_n x^n\) olur ve \(y \in [0, R]\) koşulu \(x \in [-R, 0]\) demektir. Öyleyse \(\sum a_n x^n\), \([-R, 0]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)
Sonuç 9.1 (Yakınsaklık Kümesinin Kapalı Alt Aralıkları) \(\sum a_n x^n\) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R \in (0, +\infty)\) olsun ve seri \(x = R\) noktasında yakınsasın. O zaman \(-R < c < R\) olan her \(c\) için seri \([c, R]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Seri \(x = -R\) noktasında da yakınsıyorsa \([-R, R]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
İspat
Önce şu gözlemi yapalım: bir fonksiyon serisi \(A\) ve \(B\) kümelerinin her birinde düzgün yakınsıyorsa \(A \cup B\) üzerinde de düzgün yakınsar; çünkü verilen \(\varepsilon\) için iki kümeden gelen \(N_A\) ve \(N_B\) sayılarının büyüğü, birleşimin bütün noktalarında iş görür.
\(c \ge 0\) ise \([c, R] \subseteq [0, R]\) olur ve iddia Teorem 9.1 (i) ile alt kümeye kısıtlamadan (Önerme 2.3) çıkar. \(-R < c < 0\) ise \(\rho = |c| < R\) için seri \([-\rho, \rho]\) üzerinde düzgün yakınsaktır (hatırlatmadaki ikinci madde); özel olarak \([c, 0]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Seri \([0, R]\) üzerinde de düzgün yakınsak olduğundan gözlem gereği \([c, 0] \cup [0, R] = [c, R]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
Seri \(x = -R\)’de de yakınsıyorsa Teorem 9.1 (ii) gereği \([-R, 0]\) üzerinde düzgün yakınsaktır; gözlem gereği \([-R, 0] \cup [0, R] = [-R, R]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)
Düzgün yakınsaklık uç noktaya kadar uzanınca süreklilik ve integral teoremleri de oraya kadar uzanır.
Sonuç 9.2 (Uç Noktada Süreklilik ve İntegral) \(\sum a_n x^n\) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R \in (0, +\infty)\) ve toplamı \(f\) olsun. \(\sum a_n R^n\) yakınsaksa:
\(f\), \([0, R]\) üzerinde süreklidir; özel olarak \(\displaystyle\lim_{x \to R^-} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n\) olur;
seri \([0, R]\) üzerinde terim terime integrallenebilir:
\[\int_0^R f(x)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n R^{n+1}}{n+1}.\]
İspat
Teorem 9.1 (i) gereği seri \([0, R]\) üzerinde düzgün yakınsaktır ve terimleri \(a_n x^n\) süreklidir. (i) iddiası süreklilik teoreminden (Teorem 8.1), (ii) iddiası Teorem 8.2 ile \(\int_0^R a_n x^n\,dx = \dfrac{a_n R^{n+1}}{n+1}\) hesabından çıkar. \(\blacksquare\)
- şıkkı, Analiz 2’de doğrudan bir hesapla kanıtlanan Abel limit teoremidir (bkz. Analiz 2); burada düzgün yakınsaklığın bir sonucu olarak yeniden elde edilmiştir. (ii) şıkkı ise yenidir: \((-R, R)\) içindeki terim terime integral teoremi, integrasyon aralığının uca kadar uzanmasına izin vermiyordu.
Örnek 9.1 (Uç Noktaya Kadar İntegral) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}\) serisinin toplamını bulunuz.
Çözüm
\(|x| < 1\) için
\[\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,x^n\]
açılımı geçerlidir (bkz. Analiz 2); yarıçap \(R = 1\)’dir. \(x = 1\) noktasında seri \(\sum \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\) alterne harmonik serisidir ve Leibniz testi gereği yakınsaktır. Sonuç 9.2 (i) gereği toplam \([0, 1]\) üzerinde süreklidir; \(\ln(1 + x)\) de sürekli olduğundan eşitlik \(x = 1\) için de geçerlidir. Sonuç 9.2 (ii) gereği seri \([0, 1]\) üzerinde terim terime integrallenir:
\[\int_0^1 \ln(1 + x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot \frac{1}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}.\]
Sol yanı kısmi integrasyonla hesaplayalım (\(u = \ln(1 + x)\), \(dv = dx\)):
\[ \begin{aligned} \int_0^1 \ln(1 + x)\,dx &= \Big[ x \ln(1 + x) \Big]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1 + x}\,dx \\[1mm] &= \ln 2 - \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1 + x} \right) dx = \ln 2 - (1 - \ln 2) = 2 \ln 2 - 1. \end{aligned} \]
Öyleyse
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} = 2 \ln 2 - 1 \approx 0{,}386.\]
\(\blacksquare\)
Örnek 9.2 (Uç Noktada Limit Hesabı) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}\) kuvvet serisinin yakınsaklık kümesini bulunuz ve \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}\) limitini gerekçesiyle hesaplayınız.
Çözüm
Yarıçap. \(a_n = \dfrac{1}{n(n+1)}\) için
\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = 1\]
olduğundan \(R = 1\)’dir (bkz. Analiz 2); seri \((-1, 1)\) üzerinde yakınsar.
Uç noktalar. \(x = 1\) için seri \(\sum \dfrac{1}{n(n+1)}\) olur. \(\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\) olduğundan kısmi toplam teleskopiktir:
\[S_N = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N+1} \right) = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1.\]
Seri yakınsaktır ve toplamı \(1\)’dir. \(x = -1\) için seri \(\sum \dfrac{(-1)^n}{n(n+1)}\) olur; mutlak değerlerinin serisi az önceki yakınsak seri olduğundan mutlak yakınsaktır. Yakınsaklık kümesi \([-1, 1]\)’dir.
Limit. Seri \(x = 1\)’de yakınsadığından Teorem 9.1 (i) gereği \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Terimler sürekli olduğundan limit ile toplam yer değiştirir (Sonuç 9.2):
\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{x \to 1^-} \frac{x^n}{n(n+1)} \\[1mm] &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1. \end{aligned} \]
(Bu örnekte M-testi de yeterlidir: \(|x| \le 1\) için \(\left| \dfrac{x^n}{n(n+1)} \right| \le \dfrac{1}{n(n+1)}\) ve sağdaki seri yakınsaktır; seri \([-1, 1]\) üzerinde düzgün yakınsar.) \(\blacksquare\)
Örnek 9.3 (Toplamı İntegral Olarak Yazma) \(f(x) = 1 + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}\) fonksiyonunu \(|x| < 1\) için bir integral yardımıyla ifade ediniz.
Çözüm
Serinin yarıçapı \(R = 1\)’dir (\(\sqrt[n]{n^2} \to 1\)). \((-1, 1)\) üzerinde terim terime türev alalım:
\[f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \cdots\]
Bu seriyi \(x\) ile çarparsak tanıdık bir seri çıkar:
\[x f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x) \qquad (|x| < 1).\]
(Gerçekten, sol yanın türevi \(\sum_{n \ge 1} x^{n-1} = \dfrac{1}{1 - x}\) geometrik serisidir ve \(x = 0\)’da iki yan da \(0\)’dır.) Dolayısıyla \(x \ne 0\) için
\[f'(x) = -\frac{\ln(1 - x)}{x}\]
olur. \(t \to 0\) iken \(-\dfrac{\ln(1 - t)}{t} \to 1 = f'(0)\) olduğundan sağ yan \(t = 0\)’da sürekli biçimde tanımlanır. \(f(0) = 1\) olduğundan analizin temel teoremiyle
\[f(x) = 1 - \int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t}\,dt \qquad (|x| < 1)\]
bulunur. Bu integral temel fonksiyonlarla ifade edilemez; \(f\) için elde edilebilecek “kapalı” biçim budur.
Seri \(x = \pm 1\) noktalarında da yakınsar (M-testi, Alıştırma 7.2) ve \([-1, 1]\) üzerinde süreklidir. Dolayısıyla \(f(1)\) ve \(f(-1)\) değerleri, yukarıdaki formülün \(x \to 1^-\) ve \(x \to -1^+\) limitleridir. \(\blacksquare\)
9.2 Bir Noktada Analitik Olmanın Ölçütü
Bir fonksiyonun bir noktanın çevresinde kuvvet serisiyle temsil edilebilmesine o noktada analitik olmak denir (bkz. Analiz 2). Analitik bir fonksiyon sonsuz kez türevlenebilirdir, ama tersi doğru değildir: \(x \ne 0\) için \(e^{-1/x^2}\), \(x = 0\) için \(0\) değerini alan fonksiyon sonsuz kez türevlenebilir olduğu hâlde \(0\) noktasında analitik değildir (bkz. Analiz 2). Aradaki farkı türevlerin büyüme hızı belirler.
Teorem 9.2 (Analitiklik için Türev Ölçütü) \(f\), \(0\)’ın bir komşuluğunda tanımlı bir fonksiyon olsun. \(f\)’nin \(0\) noktasında analitik olması için gerek ve yeter koşul şudur: öyle \(r > 0\), \(K > 0\) sabitleri vardır ki \(f\), \((-r, r)\) üzerinde sonsuz kez türevlenebilirdir ve her \(x \in (-r, r)\), her \(n \in \{0, 1, 2, \dots\}\) için
\[\big| f^{(n)}(x) \big| \le \frac{r K\,n!}{(r - |x|)^{n+1}} \tag{1}\]
olur.
İspat
Gereklilik. \(f\), \(0\)’da analitik olsun: öyle bir \(R > 0\) ve \((a_k)\) katsayıları vardır ki \(|x| < R\) için \(f(x) = \sum_{k \ge 0} a_k x^k\) olur. \(f\), \((-R, R)\) üzerinde sonsuz kez türevlenebilirdir ve terim terime türev almayı \(n\) kez uygulayarak
\[f^{(n)}(x) = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{k!}{(k - n)!}\,a_k\,x^{k-n} \qquad (|x| < R) \tag{2}\]
bulunur (bkz. Analiz 2).
\(0 < r < R\) olan bir \(r\) seçelim. \(\sum a_k r^k\) yakınsak olduğundan genel terimi \(0\)’a gider; yakınsak dizi sınırlı olduğundan öyle bir \(K > 0\) vardır ki her \(k\) için \(|a_k r^k| \le K\) olur. \(|x| < r\) için \((2)\) eşitliğinde mutlak değer alalım ve \(|a_k| \le \dfrac{K}{r^k}\) yazalım:
\[\big| f^{(n)}(x) \big| \le \sum_{k=n}^{\infty} \frac{k!}{(k - n)!} \cdot \frac{K}{r^k}\,|x|^{k-n} = \frac{K}{r^n} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{k!}{(k - n)!} \left( \frac{|x|}{r} \right)^{k-n}.\]
Sağdaki toplamı hesaplamak için \((2)\) formülünü \(\dfrac{1}{1 - t} = \sum_{k \ge 0} t^k\) geometrik serisine uygulayalım. Sol yanın \(n\)’inci türevi \(\dfrac{n!}{(1 - t)^{n+1}}\) olduğundan
\[\sum_{k=n}^{\infty} \frac{k!}{(k - n)!}\,t^{k-n} = \frac{n!}{(1 - t)^{n+1}} \qquad (|t| < 1)\]
elde edilir. \(t = \dfrac{|x|}{r} \in [0, 1)\) için
\[\big| f^{(n)}(x) \big| \le \frac{K}{r^n} \cdot \frac{n!}{\left( 1 - \dfrac{|x|}{r} \right)^{n+1}} = \frac{K}{r^n} \cdot \frac{n!\,r^{n+1}}{(r - |x|)^{n+1}} = \frac{r K\,n!}{(r - |x|)^{n+1}}\]
olur; bu \((1)\) eşitsizliğidir.
Yeterlilik. \(f\), \((-r, r)\) üzerinde sonsuz kez türevlenebilir olsun ve \((1)\) sağlansın. \(f\)’nin Maclaurin serisinin \(\left( -\dfrac{r}{2}, \dfrac{r}{2} \right)\) aralığında \(f\)’ye yakınsadığını göstereceğiz.
\(0 < |x| < \dfrac{r}{2}\) ve \(n \ge 1\) olsun. Lagrange kalanlı Taylor teoremi (bkz. Analiz 2), \(0\) ile \(x\) arasında
\[f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,x^n\]
olacak biçimde bir \(\xi\) noktası verir. Son terim kalandır; \(R_n(x)\) ile gösterelim. \(|\xi| < |x|\) olduğundan \(r - |\xi| > r - |x| > 0\) olur ve \((1)\) eşitsizliği \(\xi\) noktasında
\[\big| f^{(n)}(\xi) \big| \le \frac{r K\,n!}{(r - |\xi|)^{n+1}} \le \frac{r K\,n!}{(r - |x|)^{n+1}}\]
verir. Dolayısıyla
\[|R_n(x)| = \frac{\big| f^{(n)}(\xi) \big|}{n!}\,|x|^n \le \frac{r K}{r - |x|} \left( \frac{|x|}{r - |x|} \right)^{n}\]
bulunur. \(|x| < \dfrac{r}{2}\) olduğundan \(r - |x| > \dfrac{r}{2} > |x|\), yani \(q = \dfrac{|x|}{r - |x|} < 1\)’dir. \(q^n \to 0\) olduğundan \(R_n(x) \to 0\) olur; bu,
\[f(x) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k \qquad \left( |x| < \frac{r}{2} \right)\]
demektir (\(x = 0\) için eşitlik açıktır). \(f\), \(0\)’ın \(\left( -\dfrac{r}{2}, \dfrac{r}{2} \right)\) komşuluğunda bir kuvvet serisiyle temsil edilir; \(0\) noktasında analitiktir. \(\blacksquare\)
Ölçüt \(x = 0\) noktasında \(\big| f^{(n)}(0) \big| \le \dfrac{K\,n!}{r^n}\) verir: analitik bir fonksiyonun türevleri en çok “faktöriyel çarpı geometrik dizi” hızıyla büyüyebilir. Eşdeğer olarak Maclaurin katsayıları \(\left| \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} \right| \le \dfrac{K}{r^n}\) sınırını sağlar; bu, serinin yarıçapının en az \(r\) olduğunu söyler.
Örnek 9.4 (Ölçütte Eşitlik Durumu) \(f(x) = \dfrac{1}{1 - x}\) fonksiyonunun \((1)\) eşitsizliğini \(r = 1\), \(K = 1\) ile sağladığını gösteriniz.
Çözüm
Tümevarımla \(f^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{(1 - x)^{n+1}}\) olur: \(n = 0\) için doğrudur ve \(\left( \dfrac{n!}{(1 - x)^{n+1}} \right)' = \dfrac{(n+1)!}{(1 - x)^{n+2}}\)’dir. \(|x| < 1\) için \(1 - x \ge 1 - |x| > 0\) olduğundan
\[\big| f^{(n)}(x) \big| = \frac{n!}{(1 - x)^{n+1}} \le \frac{n!}{(1 - |x|)^{n+1}} = \frac{r K\,n!}{(r - |x|)^{n+1}} \qquad (r = K = 1)\]
olur; \(0 \le x < 1\) için eşitlik sağlanır. Ölçütteki sınır, geometrik serinin toplam fonksiyonundan okunmuştur ve daha iyisi ile değiştirilemez. \(\blacksquare\)
9.3 Alıştırmalar
Alıştırma 9.1 (Arktanjantın Uca Kadar İntegrali) \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}\) serisinin toplamını bulunuz.
Çözüm
\(|x| < 1\) için \(\arctan x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\,x^{2n+1}\) açılımı geçerlidir (bkz. Analiz 2); yarıçap \(R = 1\)’dir. \(x = 1\)’de seri \(\sum \dfrac{(-1)^n}{2n+1}\) olur ve Leibniz testi gereği yakınsaktır. Sonuç 9.2 gereği eşitlik \([0, 1]\) üzerinde geçerlidir ve seri bu aralıkta terim terime integrallenir:
\[\int_0^1 \arctan x\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \cdot \frac{1}{2n+2}.\]
Sol yan için kısmi integrasyon (\(u = \arctan x\), \(dv = dx\)):
\[ \begin{aligned} \int_0^1 \arctan x\,dx &= \Big[ x \arctan x \Big]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1 + x^2}\,dx \\[1mm] &= \frac{\pi}{4} - \left[ \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2}. \end{aligned} \]
Öyleyse
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \approx 0{,}439.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.2 (Yalnız Bir Uçta Yakınsayan Seri) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n}}\) serisinin \([-1, 0]\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu, \([0, 1)\) üzerinde ise düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(\sqrt[n]{\sqrt{n}} = \left( \sqrt[n]{n} \right)^{1/2} \to 1\) olduğundan \(R = 1\)’dir.
\([-1, 0]\) üzerinde. \(x = -1\) için seri \(\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) olur; \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) azalarak \(0\)’a gittiğinden Leibniz testi gereği yakınsaktır. Teorem 9.1 (ii) gereği seri \([-1, 0]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
\([0, 1)\) üzerinde. Her kısmi toplam \(S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} \dfrac{x^n}{\sqrt{n}}\), \([0, 1)\) üzerinde sınırlıdır: \(0 \le S_N(x) \le N\). Toplam fonksiyonu \(S\) ise sınırlı değildir. Gerçekten, \(M > 0\) verilsin. \(\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) ıraksak olduğundan \(\sum_{n=1}^{N} \dfrac{1}{\sqrt{n}} > 2M\) olacak biçimde bir \(N\) vardır. \(x \to 1^-\) iken \(S_N(x) \to \sum_{n=1}^{N} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) olduğundan \(1\)’e yeterince yakın bir \(x \in [0, 1)\) için \(S_N(x) > M\) olur; terimler negatif olmadığından \(S(x) \ge S_N(x) > M\). Sınırlı fonksiyonların sınırsız limiti düzgün olamaz (Sonuç 4.1); seri \([0, 1)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 9.3 (Sinüs Fonksiyonu Ölçütü Sağlar) \(f(x) = \sin x\) fonksiyonunun Teorem 9.2 ölçütünü her \(r > 0\) için sağladığını gösteriniz.
Çözüm
\(\sin x\) fonksiyonunun türevleri sırayla \(\cos x\), \(-\sin x\), \(-\cos x\), \(\sin x\) biçiminde yinelenir; dolayısıyla her \(n\) ve her \(x\) için \(\big| f^{(n)}(x) \big| \le 1\)’dir.
\(r > 0\) verilsin. Ölçütün sağ yanını alttan sınırlayalım: \(|x| < r\) için \(0 < r - |x| \le r\) olduğundan
\[\frac{r K\,n!}{(r - |x|)^{n+1}} \ge \frac{r K\,n!}{r^{n+1}} = \frac{K\,n!}{r^n}\]
olur. \(\dfrac{r^n}{n!} \to 0\) olduğundan \(\left( \dfrac{r^n}{n!} \right)\) dizisi sınırlıdır; \(K\) sayısını bu dizinin bir üst sınırı olarak seçelim: her \(n\) için \(\dfrac{r^n}{n!} \le K\), yani \(\dfrac{K\,n!}{r^n} \ge 1\). Öyleyse
\[\big| f^{(n)}(x) \big| \le 1 \le \frac{K\,n!}{r^n} \le \frac{r K\,n!}{(r - |x|)^{n+1}} \qquad (|x| < r)\]
sağlanır. Ölçüt her \(r > 0\) için geçerlidir; bu, sinüsün Maclaurin serisinin bütün \(\mathbb{R}\)’de sinüse yakınsamasıyla uyumludur. \(\blacksquare\)
Fonksiyon serilerinin genel kuramını ve en düzenli örneği olan kuvvet serilerini tamamladık. Kuvvet serileri bir fonksiyonu \(x^n\) kuvvetleriyle açar; periyodik fonksiyonlar için doğal yapı taşları ise \(\cos(nx)\) ve \(\sin(nx)\) fonksiyonlarıdır. Sıradaki kısım bu açılımları, Fourier serilerini ele alır.