6 İstatistiğe Giriş ve Betimsel Ölçüler
Şimdiye kadar dağılımı bilinen rastgele değişkenlerle çalıştık: \(X \sim \operatorname{Binom}(n,p)\) ise \(P(X = 3)\) nedir, \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) ise \(P(X > 10)\) nedir? Gerçek hayatta soru çoğu zaman tersinden gelir. Elimizde birkaç yüz gözlem vardır ve bu gözlemleri üreten dağılım hakkında bir şey söylemek isteriz: ortalama nedir, yayılım ne kadardır, bir iddia verilerle uyuşuyor mu? İstatistiğin işi budur.
Bu bölümde istatistiğin temel kavramlarını kuracağız: kitle, parametre, örneklem ve örneklemin nasıl seçileceği. Ardından bir veri kümesini birkaç sayıyla özetlemeyi öğreneceğiz: verinin merkezini gösteren ortalamalar ve verinin ne kadar yayıldığını gösteren dağılım ölçüleri.
6.1 İstatistik Nedir?
İstatistik, rastgelelik içeren olaylar, süreçler ve sistemler için model kurmaya, bu modellerin gözlemlerle uyuşup uyuşmadığını sınamaya ve modellerden sonuç çıkarmaya yarayan bilgi ve yöntemleri sağlayan bilim dalıdır. Genel olarak iki amaçla kullanılır.
Tanım 6.1 (Betimsel istatistik) Eldeki verilerin toplanması, düzenlenmesi, tablo ve grafiklerle sunulması ve ortalama, varyans gibi özet ölçülerle anlatılmasıyla uğraşan istatistiğe betimsel (tanımlayıcı) istatistik denir.
Yani betimsel istatistik yalnızca elimizdeki veriyi anlatır; o verinin dışına genelleme yapmaz.
Tanım 6.2 (Çıkarımsal istatistik) Bir büyük topluluğun yalnızca bir kısmından elde edilen verileri kullanarak topluluğun tamamı hakkında olasılık temelli genellemeler (tahminler, kararlar) yapan istatistiğe çıkarımsal (tümevarımsal) istatistik denir.
Yani çıkarımsal istatistik parçadan bütüne gider. Parçadan bütüne gidildiği için vardığı sonuçlar kesin değildir; bu belirsizliğin ne kadar olduğunu olasılıkla ölçer. Kitabın geri kalanı büyük ölçüde çıkarımsal istatistiğin araçlarıyla ilgilidir.
Örnek 6.1 (Betimsel mi, çıkarımsal mı?) Aşağıdaki iki çalışmadan hangisi betimsel, hangisi çıkarımsal istatistiktir?
(i) Bir fabrikanın geçen ayki günlük üretim miktarları bir grafikte gösteriliyor ve aylık ortalama üretimin günde \(412\) parça olduğu yazılıyor.
(ii) Bir ülkede rastgele seçilen \(1500\) seçmenin \(\%42\)’si bir adayı desteklediğini söylüyor ve bundan ülkedeki bütün seçmenlerin yaklaşık \(\%42\)’sinin bu adayı desteklediği sonucu çıkarılıyor.
Çözüm
(i) Geçen ayın bütün günleri elimizdedir ve yapılan iş bu günlerin verisini düzenleyip özetlemektir. Hiçbir genelleme yapılmıyor; bu betimsel istatistiktir.
(ii) Veri yalnızca \(1500\) seçmenden gelir, ama sonuç milyonlarca seçmen hakkındadır. Parçadan bütüne gidildiği için bu çıkarımsal istatistiktir. Sonucun ne kadar güvenilir olduğunu, yani gerçek oranın \(\%42\)’ye ne kadar yakın olduğunu ileride oran için aralık tahmini ile ölçeceğiz.
\(\blacksquare\)
6.2 Temel Örnekleme Kavramları
Çıkarımsal istatistiğin dilini birkaç temel kavram kurar. Önce hakkında bilgi edinmek istediğimiz topluluğu adlandıralım.
Tanım 6.3 (Kitle) Üzerinde araştırma yapılacak birimlerin oluşturduğu kümeye kitle (anakütle, popülasyon) denir. Birimler insanlar, nesneler, olaylar ya da kayıtlar olabilir.
Yani kitle, sorumuzun ilgilendiği “herkes”tir: bir üniversitenin bütün öğrencileri, bir fabrikanın ürettiği bütün ampuller, bir hastanenin bütün hasta kayıtları.
Tanım 6.4 (Sonlu ve sonsuz kitle) Birim sayısı sonlu olan kitleye sonlu kitle, aksi hâlde sonsuz kitle denir.
Yani bir üniversitenin öğrencileri sonlu bir kitledir. Bir üretim hattının üreteceği bütün ampuller ya da bir paranın yapılabilecek bütün atışları ise sonsuz kitle olarak düşünülür, çünkü süreç ilke olarak sınırsızca sürdürülebilir.
Tanım 6.5 (Karakteristik) Bir kitlenin her birimi üzerinde ölçülebilen değişkene kitlenin bir karakteristiği denir.
Yani karakteristik, birimlere sorduğumuz sorudur: “boyun kaç santimetre?”, “ampul kaç saat yandı?”. Aynı kitlenin birçok karakteristiği olabilir.
Tanım 6.6 (Parametre) Bir kitleyi tanımlayan sayısal ölçüye parametre denir.
Yani parametre, kitlenin tamamı için hesaplanan bir sayıdır: ortalama boy, ampullerin ortalama ömrü, kusurlu ampullerin oranı. Parametreyi bulmak için kitledeki bütün birimleri gözlememiz gerekir; bu çoğu zaman imkânsız ya da çok pahalı olduğundan parametrenin değeri genellikle bilinmez. İstatistiğin temel sorusu, bilinmeyen parametre hakkında kitlenin küçük bir kısmına bakarak ne söyleyebileceğimizdir.
Örnek 6.2 (Öğrencilerin boy uzunlukları) Bir araştırmada bir üniversitedeki öğrencilerin boy uzunlukları inceleniyor. Kitle, karakteristik ve parametre nedir?
Çözüm
Kitle o üniversitedeki bütün öğrencilerdir; birim tek bir öğrencidir. Bu sonlu bir kitledir.
Karakteristik her öğrencinin boy uzunluğudur.
Parametre olarak kitlenin ortalama boy uzunluğu alınabilir. Tek seçenek bu değildir: boyların varyansı ya da boyu \(180\) cm’den uzun öğrencilerin oranı da birer parametredir. Hangisinin kullanılacağı araştırmanın sorusuna bağlıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.3 (Ampullerin ömrü) Bir fabrika, ürettiği ampullerin ne kadar dayandığını merak ediyor. Kitle, karakteristik ve parametreyi belirleyiniz. Parametre neden kitlenin tamamı gözlenerek bulunamaz?
Çözüm
Kitle, üretim hattının ürettiği ve üreteceği bütün ampullerdir. Süreç durmadıkça yeni ampuller eklendiği için bu kitle sonsuz kabul edilir. Karakteristik bir ampulün yanma süresi (saat), parametre de ampullerin ortalama ömrüdür.
Bir ampulün ömrünü ölçmek için onu yanıp bitene kadar yakmak gerekir. Bütün ampulleri denersek satacak ampul kalmaz; üstelik kitle sonsuz olduğundan hepsini denemek zaten mümkün değildir. Bu yüzden birkaç ampul denenir ve ortalama ömür onlardan tahmin edilir.
\(\blacksquare\)
Kitlenin tamamına ulaşamadığımızda bir kısmıyla yetiniriz.
Tanım 6.7 (Örneklem) Kitlenin belli bir özelliğini incelemek için kitleden belirli kurallara göre seçilen birimler topluluğuna örneklem denir. Örneklemdeki birim sayısına örneklem hacmi (büyüklüğü) denir ve genellikle \(n\) ile gösterilir.
Yani örneklem, kitle birimlerinin gözlenen bir alt kümesidir. Örneklem üzerinden hesaplanan sayılara (örneğin örneklem ortalamasına) istatistik denir; parametre kitleyi, istatistik örneklemi anlatır. Bu kavramın olasılık diliyle kesin tanımını Örneklem ve İstatistikler bölümünde vereceğiz.
Tanım 6.8 (Örnekleme) Bir kitleden örneklem seçme sürecine örnekleme denir.
Yani örnekleme, “hangi birimleri gözleyeceğiz?” sorusunun cevabını veren yöntemdir. Örneklemden kitleye doğru bir genelleme yapabilmek için örneklemin kitleyi iyi temsil etmesi gerekir; bunun ne kadar sağlanacağı büyük ölçüde örnekleme yöntemine bağlıdır.
6.3 Örnekleme Yöntemleri
Örnekleme yöntemleri, birimlerin seçiminde olasılığın rol oynayıp oynamamasına göre iki gruba ayrılır:
| Olasılığa bağlı örnekleme | Olasılığa bağlı olmayan örnekleme |
|---|---|
| Basit rastgele örnekleme | Keyfi örnekleme |
| Tabakalı örnekleme | Kota örneklemesi |
| Sistematik örnekleme | Dilim örneklemesi |
| Küme örneklemesi |
Tanım 6.9 (Olasılığa bağlı örnekleme) Kitledeki her birimin örnekleme girme olasılığının önceden bilindiği ve sıfırdan büyük olduğu, seçimin bir rastgele mekanizmayla (kura, rastgele sayılar) yapıldığı örneklemeye olasılığa bağlı örnekleme denir.
Tanım 6.10 (Olasılığa bağlı olmayan örnekleme) Birimlerin rastgele bir mekanizmayla değil, araştırmacının tercihine ya da kolaylığa göre seçildiği örneklemeye olasılığa bağlı olmayan örnekleme denir.
Yani ilk grupta seçimi şans yapar ve her birimin şansı hesaplanabilir; ikinci grupta seçimi bir insan yapar. Bu fark önemlidir: bu kitapta göreceğimiz tahmin ve test yöntemlerinin hepsi, örneklemin olasılığa bağlı bir yöntemle, çoğunlukla basit rastgele örneklemeyle seçildiğini varsayar. Olasılığa bağlı olmayan yöntemlerde seçim hatasının büyüklüğü olasılıkla ölçülemez.
Olasılığa Bağlı Yöntemler
Olasılığa bağlı yöntemlerin en temeli, bütün birimlere eşit davranan basit rastgele örneklemedir.
Tanım 6.11 (Basit rastgele örnekleme) \(N\) birimlik bir kitleden \(n\) birim, iadesiz olarak ve \(n\) birimlik her alt kümenin seçilme olasılığı aynı olacak biçimde seçiliyorsa buna basit rastgele örnekleme denir.
Yani \(\binom{N}{n}\) tane olası örneklemin her biri \(1/\binom{N}{n}\) olasılıkla seçilir. Uygulamada birimler \(1\)’den \(N\)’ye numaralanır ve kura ya da bilgisayarın ürettiği rastgele sayılarla \(n\) numara çekilir.
Önerme 6.1 (Basit rastgele örneklemede seçilme olasılığı) \(N\) birimlik bir kitleden basit rastgele örnekleme ile \(n\) birim seçilirse her birimin örnekleme girme olasılığı \(\dfrac{n}{N}\)’dir.
İspat
Belirli bir birimi, diyelim ki \(1\) numaralı birimi ele alalım. Bu birimi içeren örneklemleri sayalım: \(1\) numara zaten seçilmiş olduğundan geriye kalan \(N - 1\) birimden \(n - 1\) tanesini seçmek gerekir. Bunun \(\binom{N-1}{n-1}\) yolu vardır.
Bütün örneklemler eşit olasılıklı olduğundan istenen olasılık, uygun örneklemlerin sayısının bütün örneklemlerin sayısına oranıdır: \[ \frac{\binom{N-1}{n-1}}{\binom{N}{n}} = \frac{\dfrac{(N-1)!}{(n-1)!\,(N-n)!}}{\dfrac{N!}{n!\,(N-n)!}} = \frac{(N-1)!\; n!}{(n-1)!\; N!} = \frac{n}{N}. \] Son adımda \(n! = n\,(n-1)!\) ve \(N! = N\,(N-1)!\) eşitliklerini kullandık. Hesap hangi birimle başladığımıza bağlı olmadığından sonuç her birim için aynıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.4 (Beş birimden iki birim) Birimleri \(a, b, c, d, e\) olan bir kitleden basit rastgele örnekleme ile \(2\) birim seçiliyor. Olası bütün örneklemleri yazınız ve \(a\) biriminin seçilme olasılığını bulunuz.
Çözüm
İki elemanlı alt kümeler şunlardır: \[ \begin{aligned} &\{a,b\},\ \{a,c\},\ \{a,d\},\ \{a,e\},\ \{b,c\},\\ &\{b,d\},\ \{b,e\},\ \{c,d\},\ \{c,e\},\ \{d,e\}. \end{aligned} \] Bunlar \(\binom{5}{2} = 10\) tanedir ve her biri \(\dfrac{1}{10}\) olasılıkla seçilir. \(a\)’yı içerenler ilk satırdaki \(4\) tanesidir, dolayısıyla \[ P(a \text{ seçilir}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. \] Bu sonuç, Önerme 6.1 ile bulunan \(\dfrac{n}{N} = \dfrac{2}{5}\) değeriyle aynıdır.
\(\blacksquare\)
Basit rastgele örneklemenin iki zayıf yanı vardır: bütün kitlenin numaralı bir listesi gerekir ve şans eseri kitlenin bazı kesimleri örnekleme hiç girmeyebilir. Aşağıdaki üç yöntem bu sorunlara çözüm getirir.
Tanım 6.12 (Tabakalı örnekleme) Kitle önce birbiriyle örtüşmeyen ve kendi içinde benzer birimlerden oluşan alt gruplara (tabakalara) ayrılır; sonra her tabakadan ayrı ayrı basit rastgele örnekleme ile birim seçilir. Bu yönteme tabakalı örnekleme denir.
Yani tabakalı örneklemede her tabakanın örneklemde temsil edilmesi garanti altına alınır. Çoğu zaman her tabakadan, tabakanın kitledeki payıyla orantılı sayıda birim seçilir (orantılı dağıtım): \(N_h\) birimlik bir tabakadan \(n \cdot N_h / N\) birim alınır.
Tanım 6.13 (Sistematik örnekleme) \(N\) birimlik numaralı bir listeden \(n\) birim seçilecek olsun ve \(k = N/n\) bir tam sayı olsun. İlk \(k\) birim arasından biri rastgele seçilir; bu birimin numarası \(r\) ise örneklem \[ r,\ r + k,\ r + 2k,\ \dots,\ r + (n-1)k \] numaralı birimlerden oluşur. Bu yönteme sistematik örnekleme, \(k\) sayısına da örnekleme aralığı denir.
Yani yalnız ilk birim rastgele seçilir, gerisi her \(k\) birimde bir alınarak kendiliğinden belirlenir. Uygulaması çok kolaydır: bir üretim hattından her \(20\). ürünü almak ya da bir listede her \(50\). kişiyi aramak gibi. Tek tehlike, listede \(k\) ile aynı adımda tekrarlanan bir düzen varsa örneklemin bu düzene takılmasıdır.
Tanım 6.14 (Küme örneklemesi) Kitle, her biri kitleye benzeyen küçük gruplara (kümelere) ayrılır; kümelerden bir kısmı basit rastgele örnekleme ile seçilir ve seçilen kümelerdeki bütün birimler örnekleme alınır. Bu yönteme küme örneklemesi denir.
Yani tabakalı örneklemede her gruptan birkaç birim alınırken, küme örneklemesinde birkaç grubun tamamı alınır. Kümeler çoğunlukla coğrafi ya da idari birimlerdir: sınıflar, mahalleler, köyler. Kitlenin tam listesi yoksa ama kümelerin listesi varsa bu yöntem çok kullanışlıdır.
Örnek 6.5 (Aynı kitleden dört örneklem) \(96\) birimlik bir kitleden \(12\) birimlik bir örneklem seçilecektir. Birimler \(1\)’den \(96\)’ya numaralanmıştır. Seçimin basit rastgele, tabakalı, sistematik ve küme örneklemesiyle nasıl yapılacağını açıklayınız. Tabakalı örneklemede kitle \(48\), \(24\) ve \(24\) birimlik üç tabakaya, küme örneklemesinde \(6\) birimlik \(16\) kümeye ayrılmış olsun.
Çözüm
Basit rastgele. \(1, 2, \dots, 96\) numaralarından \(12\) tanesi, \(\binom{96}{12}\) olası seçimden her biri eşit olasılıklı olacak biçimde çekilir. Her birimin seçilme olasılığı \(12/96 = 1/8\)’dir.
Tabakalı. Orantılı dağıtımla tabakalardan \[ 12 \cdot \frac{48}{96} = 6, \qquad 12 \cdot \frac{24}{96} = 3, \qquad 12 \cdot \frac{24}{96} = 3 \] birim seçilir; her tabakanın içinde seçim basit rastgeledir.
Sistematik. Örnekleme aralığı \(k = 96/12 = 8\)’dir. \(1\) ile \(8\) arasından rastgele bir sayı çekilir; diyelim ki \(r = 5\) geldi. Örneklem \[ 5,\ 13,\ 21,\ \dots,\ 93 \] numaralı birimlerdir. Son birim \(5 + 11 \cdot 8 = 93\)’tür.
Küme. \(16\) kümeden \(2\) tanesi basit rastgele örnekleme ile seçilir ve bu iki kümedeki \(2 \cdot 6 = 12\) birimin tamamı örnekleme alınır.
Dört seçimin birer örneği aşağıdaki şekildedir.
\(\blacksquare\)
Olasılığa Bağlı Olmayan Yöntemler
Bu yöntemler hızlı ve ucuzdur, ama örneklemin kitleyi temsil edip etmediğini olasılıkla ölçemeyiz. Genellikle ön araştırmalarda ya da rastgele seçimin mümkün olmadığı durumlarda kullanılırlar.
Tanım 6.15 (Keyfi örnekleme) Birimlerin, araştırmacının en kolay ulaşabildikleri oldukları için seçildiği örneklemeye keyfi örnekleme denir.
Yani sokakta ilk karşılaşılan \(50\) kişiye anket yapmak keyfi örneklemedir. O sokaktan o saatte geçenler kitlenin tamamına benzemeyebilir.
Tanım 6.16 (Kota örneklemesi) Kitle cinsiyet, yaş grubu gibi özelliklere göre alt gruplara ayrılır ve her alt gruptan kaç birim alınacağı (kota) önceden belirlenir; kotayı dolduracak birimleri ise görüşmeci kendisi seçer. Bu yönteme kota örneklemesi denir.
Yani kota örneklemesi dışarıdan tabakalı örneklemeye benzer, ama gruplar içindeki seçim rastgele değildir. Bu yüzden olasılığa bağlı bir yöntem sayılmaz.
Tanım 6.17 (Dilim örneklemesi) Araştırmacının, kitle hakkındaki bilgisine ve yargısına dayanarak kitleyi en iyi temsil ettiğini düşündüğü birimleri seçtiği örneklemeye dilim örneklemesi denir.
Yani seçimde araştırmacının uzmanlığı belirleyicidir; örneğin bir ilin fiyat düzeyini ölçmek için “tipik” olduğu düşünülen birkaç market seçilir. Araştırmacının yargısı iyi olduğu ölçüde sonuç da iyidir, ama yanılma payı hesaplanamaz.
6.4 Merkezi Eğilim Ölçüleri
Bir veri kümesini grafikle göstermek çoğu zaman yeterli değildir; genel durumu birkaç sayıyla anlatabilmek isteriz. Merkezi eğilim ölçüleri verilerin hangi değer çevresinde toplandığını gösterir. Veriyi tek sayıyla özetlemelerinin yanı sıra farklı veri kümelerini karşılaştırmayı ve genelleme yapmayı da kolaylaştırırlar.
Bu ölçüler iki gruba ayrılır. Analitik ortalamalar (aritmetik, ağırlıklı, geometrik ve harmonik ortalama) hesapta bütün gözlem değerlerini kullanır. Analitik olmayan ortalamalar (medyan ve mod) ise bütün değerleri kullanmaz; sıralamaya ya da sıklığa bakar.
Bu kısım boyunca \(x_1, x_2, \dots, x_n\) bir veri kümesinin gözlem değerlerini gösterecek.
Aritmetik Ortalama
En çok kullanılan ortalama, bütün değerleri toplayıp değer sayısına bölmektir.
Tanım 6.18 (Aritmetik ortalama) \(x_1, x_2, \dots, x_n\) gözlem değerlerinin aritmetik ortalaması \[ \bar x = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \] sayısıdır.
Yani aritmetik ortalama, toplamı \(n\) kişiye eşit paylaştırınca her birine düşen paydır: \(n\bar x = \sum x_i\). Fizikte bir çubuğa yerleştirilmiş eşit ağırlıkların denge noktası da \(\bar x\)’tir. Bu denge yorumunu aşağıdaki özellik kesinleştirir.
Önerme 6.2 (Ortalamadan sapmaların toplamı) Her veri kümesinde gözlemlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının toplamı sıfırdır: \[ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x) = 0. \]
İspat
Toplamı terim terim ayıralım. \(\bar x\) her terimde aynı sabit olduğundan \(n\) kez toplanınca \(n\bar x\) verir: \[ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar x. \] Tanım gereği \(\bar x = \frac{1}{n}\sum x_i\), yani \(n\bar x = \sum x_i\) olduğundan sağ taraf \(0\)’dır.
\(\blacksquare\)
Yani ortalamanın üstünde kalan gözlemlerin toplam fazlası, altında kalanların toplam eksiğine tam olarak eşittir. Örneğin \(2, 3, 7\) için \(\bar x = 4\) ve sapmalar \(-2, -1, 3\)’tür; toplamları \(0\)’dır.
Aritmetik ortalamanın önemli bir zayıflığı, uç değerlerden kolayca etkilenmesidir. Verilerden birkaçı ötekilerden çok büyük ya da çok küçükse ortalama verinin merkezini iyi temsil etmeyebilir. Bunu medyanı tanımladıktan sonra bir örnekte göreceğiz (Örnek 6.12).
Ağırlıklı Ortalama
Bazen gözlem değerleri aynı önemde değildir. Bir dersin kredisi yüksekse o dersin notu genel ortalamada daha çok söz sahibi olmalıdır.
Tanım 6.19 (Ağırlıklı ortalama) \(x_1, \dots, x_n\) gözlem değerlerine sırasıyla \(w_1, \dots, w_n \ge 0\) ağırlıkları (katsayıları) verilsin ve ağırlıkların toplamı pozitif olsun. Ağırlıklı aritmetik ortalama \[ \bar x_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \] sayısıdır.
Yani her değer ağırlığı kadar kez sayılmış gibi davranılır. Bütün ağırlıklar eşitse (\(w_i = w\)) pay ve paydadaki \(w\) sadeleşir ve aritmetik ortalama geri gelir.
Örnek 6.6 (Kredili not ortalaması) Bir öğrenci kredileri \(5\), \(3\) ve \(2\) olan üç dersten sırasıyla \(3{,}0\), \(4{,}0\) ve \(2{,}0\) notlarını almıştır. Öğrencinin kredilerle ağırlıklandırılmış not ortalaması nedir?
Çözüm
Ağırlıklar kredilerdir: \(w_1 = 5\), \(w_2 = 3\), \(w_3 = 2\). Tanımdaki formülle \[ \bar x_w = \frac{5 \cdot 3{,}0 + 3 \cdot 4{,}0 + 2 \cdot 2{,}0}{5 + 3 + 2} = \frac{15 + 12 + 4}{10} = \frac{31}{10} = 3{,}1. \] Ağırlıksız aritmetik ortalama \((3{,}0 + 4{,}0 + 2{,}0)/3 = 3{,}0\) olurdu. Ağırlıklı ortalama daha büyük çıktı, çünkü en yüksek not (\(4{,}0\)) ikinci büyük krediye, en düşük not (\(2{,}0\)) ise en küçük krediye sahip.
\(\blacksquare\)
Geometrik Ortalama
Bir büyüklük her dönem bir önceki değerinin belli bir katına çıkıyorsa, yani değişim toplamsal değil çarpımsalsa, ortalama değişim hızını aritmetik ortalama yanlış verir. Böyle durumlarda geometrik ortalama kullanılır.
Tanım 6.20 (Geometrik ortalama) \(x_1, x_2, \dots, x_n\) pozitif sayılarının geometrik ortalaması, çarpımlarının \(n\). kökü olan \[ G = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \] sayısıdır.
Yani \(G\), bütün çarpanların yerine konduğunda aynı çarpımı veren tek sayıdır: \(G^n = x_1 x_2 \cdots x_n\). Değer ardışık dönemlerde \(x_1, \dots, x_n\) katına çıkıyorsa toplam artış \(x_1 x_2 \cdots x_n\) katıdır ve her dönem \(G\) katına çıksaydı da aynı sonuca varılırdı. Bu yüzden \(G\) ortalama büyüme çarpanıdır; ortalama büyüme oranı \(G - 1\)’dir.
Örnek 6.7 (Değeri artan bir eşya) \(90\,000\) TL’ye alınan bir eşyanın değeri, satın alındıktan sonraki ilk yıl \(\%50\), ikinci yıl \(\%20\) ve üçüncü yıl \(\%90\) artmıştır. Yıllık ortalama artış yüzde kaçtır?
Çözüm
Yüzde artışları büyüme çarpanlarına çevirelim: \(\%50\) artış değeri \(1{,}5\) katına, \(\%20\) artış \(1{,}2\) katına, \(\%90\) artış \(1{,}9\) katına çıkarır. Değer yıllara göre \[ \begin{aligned} &90\,000 \cdot 1{,}5 = 135\,000, \qquad 135\,000 \cdot 1{,}2 = 162\,000,\\ &162\,000 \cdot 1{,}9 = 307\,800 \end{aligned} \] olur. Üç yılda değer \(1{,}5 \cdot 1{,}2 \cdot 1{,}9 = 3{,}42\) katına çıkmıştır. Ortalama yıllık çarpan bu üç çarpanın geometrik ortalamasıdır: \[ G = \sqrt[3]{1{,}5 \cdot 1{,}2 \cdot 1{,}9} = \sqrt[3]{3{,}42} \approx 1{,}5066. \] Yani eşyanın değeri yılda ortalama yaklaşık \(\%50{,}66\) artmıştır. Sağlama: \(90\,000 \cdot 1{,}5066^3 \approx 307\,800\) TL, gerçek değerle aynıdır.
Aritmetik ortalama kullansaydık çarpan \((1{,}5 + 1{,}2 + 1{,}9)/3 \approx 1{,}5333\) çıkardı ve \(90\,000 \cdot 1{,}5333^3 \approx 324\,453\) TL gibi gerçekte hiç ulaşılmamış bir değer bulurduk.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.8 (Şeker fiyatının ortalama artışı) 2010 yılında \(1\) kg toz şeker \(2{,}25\) TL iken 2018 yılında \(5{,}15\) TL olmuştur. Fiyat her yıl aynı oranda artmış sayılırsa yıllık ortalama artış oranı nedir?
Çözüm
Yıllık artış oranı \(r\) ise fiyat her yıl \((1 + r)\) katına çıkar. Başlangıç fiyatı \(P_0\) olmak üzere \(n\) yıl sonraki fiyat \[ P_n = P_0 (1 + r)^n \] olur. 2010’dan 2018’e \(n = 8\) yıl geçmiştir: \[ 2010 \to 2{,}25, \quad 2011 \to 2{,}25\,(1+r), \quad \dots, \quad 2018 \to 2{,}25\,(1+r)^8. \] \(5{,}15 = 2{,}25\,(1 + r)^8\) denkleminden \[ 1 + r = \sqrt[8]{\frac{5{,}15}{2{,}25}} \approx \sqrt[8]{2{,}2889} \approx 1{,}1091 \] bulunur. Burada \(1 + r\), sekiz yıllık çarpanların geometrik ortalamasıdır, çünkü bu çarpanların çarpımı \(5{,}15/2{,}25\)’tir. Buna göre \(r \approx 0{,}1091\), yani fiyat yılda ortalama yaklaşık \(\%10{,}9\) artmıştır.
Toplam artışı (\(\%128{,}9\)) yıl sayısına bölmek yanlış olurdu: yılda \(\%16{,}1\) gibi fazla büyük bir oran verir, çünkü her yılın artışı bir önceki yılın artmış fiyatı üzerine eklenir.
\(\blacksquare\)
Harmonik Ortalama
Hız (km/saat), birim fiyat (TL/kg), verimlilik (parça/saat) gibi oran biçimindeki büyüklüklerin ortalaması alınırken, payı sabit tutulan durumlarda doğru ortalama harmonik ortalamadır.
Tanım 6.21 (Harmonik ortalama) \(x_1, x_2, \dots, x_n\) pozitif sayılarının harmonik ortalaması, terslerinin aritmetik ortalamasının tersi olan \[ H = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \] sayısıdır.
Yani önce her değerin tersi alınır, terslerin aritmetik ortalaması bulunur ve sonuç yeniden ters çevrilir. Bir yolun eşit uzunluktaki parçalarında farklı hızlarla gidiliyorsa ortalama hız bu hızların harmonik ortalamasıdır, çünkü her parçada harcanan zaman hızın tersiyle orantılıdır.
Örnek 6.9 (Gidiş-dönüş hızı) İki şehir arasındaki yol gidişte saatte \(75\) km, dönüşte saatte \(50\) km hızla alınmıştır. Bütün yolculuk boyunca ortalama hız nedir?
Çözüm
Gidiş ve dönüş aynı uzunlukta olduğundan ortalama hız iki hızın harmonik ortalamasıdır: \[ H = \frac{2}{\dfrac{1}{75} + \dfrac{1}{50}} = \frac{2}{\dfrac{2 + 3}{150}} = \frac{2 \cdot 150}{5} = 60 \text{ km/saat}. \]
Sonucu doğrudan “ortalama hız = toplam yol / toplam zaman” tanımıyla sağlayalım. Yol \(150\) km olsun (sonuç yolun uzunluğuna bağlı değildir). Gidiş \(150/75 = 2\) saat, dönüş \(150/50 = 3\) saat sürer. Toplam \(300\) km yol \(5\) saatte alınmıştır: \[ \frac{300}{5} = 60 \text{ km/saat}. \] Aynı sonuç, hızların harcanan sürelerle ağırlıklandırılmış ortalaması olarak da okunabilir: \[ \frac{2 \cdot 75 + 3 \cdot 50}{2 + 3} = \frac{300}{5} = 60. \] Daha yavaş gidilen dönüşte daha çok zaman geçtiği için ortalama \(50\)’ye daha yakındır. Hızların aritmetik ortalaması \((75 + 50)/2 = 62{,}5\) ise yanlıştır, çünkü iki yarıda eşit süre geçmiş gibi davranır.
\(\blacksquare\)
Ortalamalar Arasındaki Sıralama
Son iki örnekte aynı sayıların farklı ortalamalarını karşılaştırdık: \(75\) ile \(50\)’nin aritmetik ortalaması \(62{,}5\), harmonik ortalaması \(60\)’tır. Aradaki sıralama bir rastlantı değildir.
Teorem 6.1 (Harmonik, geometrik ve aritmetik ortalama eşitsizliği) \(x_1, x_2, \dots, x_n\) pozitif sayıların harmonik, geometrik ve aritmetik ortalamaları sırasıyla \(H\), \(G\) ve \(\bar x\) ise \[ H \le G \le \bar x \] olur. Eşitlikler ancak \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\) iken sağlanır; sayılar hepsi eşit değilse \(H < G < \bar x\)’tir.
İspat
\(G \le \bar x\). Bu aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliğidir. \(\ln\) fonksiyonunun konkavlığından elde edilişi ve eşitliğin ancak bütün \(x_i\)’ler eşitken sağlandığı bkz. Analiz 2.
\(H \le G\). Aynı eşitsizliği \(y_i = \dfrac{1}{x_i} > 0\) sayılarına uygulayalım: \[ \sqrt[n]{y_1 y_2 \cdots y_n} \le \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}. \] Sol taraf \(\sqrt[n]{\dfrac{1}{x_1 x_2 \cdots x_n}} = \dfrac{1}{G}\), sağ taraf ise \(\dfrac{1}{n}\sum \dfrac{1}{x_i} = \dfrac{1}{H}\)’dir. Böylece \(\dfrac{1}{G} \le \dfrac{1}{H}\) bulunur. İki taraf da pozitif olduğundan tersleri alınca eşitsizlik yön değiştirir: \(H \le G\).
Eşitlik. İkinci adımda eşitlik ancak bütün \(y_i\)’ler, yani bütün \(x_i\)’ler eşitken olur; birinci adım için de durum aynıdır. Sayılar hepsi eşitse üç ortalama da bu ortak değere eşittir. Hepsi eşit değilse iki eşitsizlik de kesindir.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.10 (İki sayının üç ortalaması) \(a = 8\) ve \(b = 2\) sayılarının aritmetik, geometrik ve harmonik ortalamalarını bulunuz ve aralarındaki sıralamayı (Teorem 6.1) bir yarım çember üzerinde gösteriniz.
Çözüm
Tanımlardan \[ \bar x = \frac{8 + 2}{2} = 5, \qquad G = \sqrt{8 \cdot 2} = 4, \qquad H = \frac{2}{\frac{1}{8} + \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{5}{8}} = \frac{16}{5} = 3{,}2 \] bulunur ve gerçekten \(3{,}2 < 4 < 5\)’tir.
Şimdi geometrik resmi kuralım. Uzunluğu \(a + b = 10\) olan bir \([AB]\) çapı üzerine yarım çember çizelim; merkez \(O\), \(|AP| = a\) ve \(|PB| = b\) olacak biçimde \(P\) noktası çapın üzerinde olsun. \(P\)’den çapa dik çıkılan doğru çemberi \(C\)’de kessin.
- \(|OC|\) yarıçaptır: \(|OC| = \dfrac{a + b}{2} = 5\), yani aritmetik ortalama.
- \(ACB\) üçgeni, çapı gören çevre açı dik olduğundan \(C\)’de diktir ve \([CP]\) bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Dik üçgende yükseklik bağıntısıyla \(|PC|^2 = |AP| \cdot |PB| = ab\), yani \(|PC| = \sqrt{ab} = 4\), geometrik ortalama.
- \(P\)’den \([OC]\)’ye inilen dikmenin ayağı \(D\) olsun. \(OPC\) üçgeni \(P\)’de diktir ve \([PD]\) onun hipotenüse ait yüksekliğidir. Öklid bağıntısıyla \(|DC| \cdot |OC| = |PC|^2\), dolayısıyla \[ |DC| = \frac{ab}{(a + b)/2} = \frac{2ab}{a + b} = \frac{16}{5} = 3{,}2. \] Öte yandan \(\dfrac{2}{1/a + 1/b} = \dfrac{2ab}{a + b}\) olduğundan \(|DC|\) harmonik ortalamadır.
Dik üçgende hipotenüs her dik kenardan uzundur. \(PDC\) üçgeninde hipotenüs \([PC]\) olduğundan \(|DC| \le |PC|\), \(OPC\) üçgeninde hipotenüs \([OC]\) olduğundan \(|PC| \le |OC|\) olur. Böylece \(H \le G \le \bar x\) sıralaması şekilden okunur. \(P\) merkeze yaklaştıkça (\(a\) ile \(b\) eşitlendikçe) üç uzunluk da yarıçapa yaklaşır.
\(\blacksquare\)
Medyan
Analitik olmayan ortalamalar bütün değerleri hesaba katmaz. Bunların ilki verileri sıraya dizip tam ortadakine bakar. Bunun için gözlem değerlerini küçükten büyüğe sıralayıp \[ x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n)} \] yazalım; \(x_{(k)}\), sıralanmış verideki \(k\). değerdir. Örneğin \(5, 2, 9\) için \(x_{(1)} = 2\), \(x_{(2)} = 5\), \(x_{(3)} = 9\)’dur.
Tanım 6.22 (Medyan) Büyüklüğüne göre sıralanmış gözlemlerin tam ortasındaki değere medyan (ortanca, orta değer) denir: \[ M = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & n \text{ tek ise},\\[2mm] \dfrac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}, & n \text{ çift ise}. \end{cases} \]
Yani \(n\) tekse tam ortada tek bir gözlem vardır ve medyan odur; \(n\) çiftse ortada iki gözlem vardır ve medyan bu ikisinin aritmetik ortalamasıdır. Her iki durumda da gözlemlerin en az yarısı \(M\)’den küçük ya da ona eşit, en az yarısı \(M\)’den büyük ya da ona eşittir.
Örnek 6.11 (Tek sayıda gözlemin medyanı) Yedi ölçümün sonuçları \(12,\ 5,\ 9,\ 14,\ 7,\ 10,\ 8\)’dir. Medyanı bulunuz.
Çözüm
Önce sıralayalım: \[ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 14. \] \(n = 7\) tek olduğundan medyan \(\frac{7+1}{2} = 4\). sıradaki değerdir: \(M = x_{(4)} = 9\). Solunda ve sağında üçer gözlem vardır.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.12 (Uç değerin ortalamaya ve medyana etkisi) \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\) verisinin en büyük değeri \(7\) yerine yanlışlıkla \(100\) yazılmıştır. Bu hata aritmetik ortalamayı ve medyanı nasıl değiştirir?
Çözüm
Doğru veride \(n = 8\) ve toplam \(32\)’dir, dolayısıyla \(\bar x = 32/8 = 4\)’tür. \(n\) çift olduğundan medyan 4. ve 5. değerlerin ortalamasıdır: \(M = (4 + 4)/2 = 4\).
Hatalı veri \(1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 100\) olur. Toplam \(125\)’e çıkar ve \[ \bar x = \frac{125}{8} = 15{,}625 \] bulunur. Sıralı veride 4. ve 5. değerler değişmediği için medyan yine \(M = (4 + 4)/2 = 4\)’tür.
Tek bir değerin değişmesi ortalamayı yaklaşık dört katına çıkardı, medyanı ise hiç etkilemedi. Ortalama, tanımı gereği her değeri hesaba kattığı için uç değere çekilir; hatta hatalı veride sekiz gözlemden yedisi ortalamanın altında kalır. Medyan yalnız sıralamaya baktığından uç değerlere karşı dayanıklıdır. Gelir, konut fiyatı gibi birkaç çok büyük değer içeren verilerde merkezi göstermek için bu yüzden çoğunlukla medyan tercih edilir.
\(\blacksquare\)
Mod
İkinci analitik olmayan ortalama, veride en çok tekrarlanan değere bakar.
Tanım 6.23 (Mod) Bir veri kümesinde en sık gözlenen değere mod (tepe değer) denir.
Yani mod, frekansı en büyük olan değerdir. En büyük frekansa birden çok değer sahipse bunların hepsi moddur; mod tek olmak zorunda değildir. Her değer yalnızca bir kez gözlenmişse hiçbir değer ötekilerden sık değildir ve veri kümesinin modu yoktur. Mod sayısal olmayan veriler için de anlamlıdır: bir kan grubu listesinin modu en sık görülen kan grubudur.
Örnek 6.13 (Ayakkabı numaralarının modu) On beş öğrencinin ayakkabı numaraları şöyledir: \[ 36,\ 37,\ 37,\ 38,\ 38,\ 38,\ 39,\ 39,\ 40,\ 40,\ 40,\ 41,\ 42,\ 42,\ 43. \] Bu verinin modu nedir?
Çözüm
Her numaranın kaç kez geçtiğini sayalım:
| Numara | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frekans | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 1 | 2 | 1 |
Frekansların toplamı \(15\)’tir. En büyük frekans \(3\)’tür ve iki numarada görülür. Veri kümesinin iki modu vardır: \(38\) ve \(40\). Bir ayakkabı mağazası için bu bilgi ortalamadan daha kullanışlıdır: en çok bu iki numaradan stok tutmak gerekir.
\(\blacksquare\)
6.5 Dağılım Ölçüleri
Merkezi eğilim ölçüleri birimlerin aldığı değerler hakkında genel bir bilgi verir, ama birimlerin birbirinden ne ölçüde farklı olduğunu söylemez. Ortalamaları aynı olan iki veri kümesi çok farklı görünebilir. Değerlerin ne kadar yayıldığını ölçmek için dağılım ölçüleri kullanılır: açıklık, varyans ve standart sapma, ortalama mutlak sapma, değişim katsayısı ve çeyrekliklere dayanan ölçüler.
En basit yayılım ölçüsüyle başlayalım.
Tanım 6.24 (Açıklık) Bir veri kümesinin en büyük ve en küçük değerleri arasındaki farka açıklık (değişim aralığı) denir: \(R = x_{(n)} - x_{(1)}\).
Yani açıklık, verinin kapladığı aralığın uzunluğudur. Hesabı kolaydır ama yalnız iki değere bakar; tek bir uç değer açıklığı çok büyütebilir.
Örnek 6.14 (Aynı ortalama, farklı yayılım) A grubunun gözlemleri \(48, 49, 50, 51, 52\), B grubununkiler \(30, 40, 50, 60, 70\)’tir. İki grubun ortalamalarını ve açıklıklarını karşılaştırınız.
Çözüm
Ortalamalar \[ \begin{aligned} \bar x_A &= \frac{48 + 49 + 50 + 51 + 52}{5} = \frac{250}{5} = 50,\\[1mm] \bar x_B &= \frac{30 + 40 + 50 + 60 + 70}{5} = \frac{250}{5} = 50 \end{aligned} \] olup eşittir. Açıklıklar ise \(R_A = 52 - 48 = 4\) ve \(R_B = 70 - 30 = 40\)’tır. Ortalamaya bakan biri iki grubu aynı sanır; oysa B’nin gözlemleri A’nınkilerden on kat geniş bir aralığa yayılmıştır.
\(\blacksquare\)
Varyans ve Standart Sapma
Yayılımı bütün gözlemleri kullanarak ölçmenin doğal yolu, gözlemlerin ortalamadan sapmalarına bakmaktır. Sapmaların kendisini toplamak işe yaramaz, çünkü Önerme 6.2 gereği toplamları hep sıfırdır. Sapmaların karelerini toplarsak artı ve eksi sapmalar birbirini götürmez. Burada kitlenin tamamına mı yoksa bir örnekleme mi baktığımız fark eder.
Tanım 6.25 (Kitle ortalaması ve kitle varyansı) Hacmi \(N\) olan sonlu bir kitlenin değerleri \(x_1, x_2, \dots, x_N\) olsun. Kitle ortalaması \(\mu\) ve kitle varyansı \(\sigma^2\) \[ \mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \] ile tanımlanır. \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\) sayısına kitle standart sapması denir.
Yani kitle varyansı, sapma karelerinin ortalamasıdır. Kitleden bir birim eşit olasılıkla (\(1/N\) olasılıkla) rastgele seçilir ve değeri \(X\) ile gösterilirse, \(X\) kesikli bir rastgele değişkendir ve \(\mu\) ile \(\sigma^2\) tam olarak onun beklenen değeri ve varyansıdır: \(E(X) = \mu\), \(\operatorname{Var}(X) = \sigma^2\). Kitle parametreleriyle rastgele değişkenlerin momentleri arasındaki köprü budur.
Tanım 6.26 (Örneklem ortalaması ve örneklem varyansı) Bir kitleden seçilen \(n\) hacimli bir örneklemin gözlem değerleri \(x_1, x_2, \dots, x_n\) olsun. Örneklem ortalaması \(\bar x\) ve örneklem varyansı \(s^2\) \[ \bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 \] ile tanımlanır. \(s = \sqrt{s^2}\) sayısına örneklem standart sapması denir.
Yani \(\mu\) kitleye, \(\bar x\) örnekleme ait aritmetik ortalamadır; \(\sigma^2\) ile \(s^2\) arasındaki ilişki de böyledir. Örneklem varyansında paydada \(n\) yerine \(n - 1\) bulunur. Bunun nedeni, gözlemler bağımsız ve aynı dağılımlıyken (kitle sonsuz sayıldığında ya da seçim iadeli yapıldığında) \(s^2\)’nin bilinmeyen \(\sigma^2\)’yi ortalamada doğru tahmin etmesidir; \(n\) ile bölmek \(\sigma^2\)’yi sistematik olarak küçük tahmin eder. Bu sonucu Tahmin Edicilerin Özellikleri bölümünde yansızlık kavramıyla birlikte ispatlayacağız. Standart sapma, verilerle aynı birimde olduğu için (varyans ise birimin karesiyle ölçüldüğü için) yorumu daha kolaydır.
Varyansı elle hesaplarken sapmaları tek tek bulmak yorucu olabilir. Aşağıdaki özdeşlik hesabı kısaltır.
Önerme 6.3 (Sapma kareleri toplamı için kısa yol) Her veri kümesi için \[ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\,\bar x^{\,2} \] olur. Aynı özdeşlik \(\bar x\) yerine \(\mu\), \(n\) yerine \(N\) yazılarak kitle için de geçerlidir.
İspat
Kareyi açalım: \((x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^{\,2}\). Bunu \(i = 1, \dots, n\) için toplarsak, \(\bar x\) sabit olduğundan \[ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\bar x \sum_{i=1}^{n} x_i + n\,\bar x^{\,2} \] olur. \(\sum x_i = n\bar x\) olduğundan ortadaki terim \(-2\bar x \cdot n\bar x = -2n\,\bar x^{\,2}\)’dir ve \[ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2n\,\bar x^{\,2} + n\,\bar x^{\,2} = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\,\bar x^{\,2} \] bulunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.15 (Küçük bir kitlenin varyansı) Dört daireli bir apartmanın dairelerinin aylık su tüketimleri (m³) \(2, 4, 6, 8\)’dir. Apartmanın bütün daireleri kitleyi oluşturmaktadır. Kitle ortalamasını, kitle varyansını ve kitle standart sapmasını bulunuz.
Çözüm
Kitle hacmi \(N = 4\)’tür. Ortalama \[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5 \] ve sapmalar \(-3, -1, 1, 3\)’tür. Sapma kareleri \(9, 1, 1, 9\) olup toplamları \(20\)’dir. Kitle varyansında \(N\)’ye böleriz: \[ \sigma^2 = \frac{20}{4} = 5, \qquad \sigma = \sqrt{5} \approx 2{,}236 \text{ m}^3. \] Aynı dört değer bir kitleden seçilmiş bir örneklem olsaydı \(n - 1 = 3\)’e bölerdik ve \(s^2 = 20/3 \approx 6{,}667\) bulurduk. Hangi formülün kullanılacağı, değerlerin kitlenin tamamı mı yoksa bir örneklem mi olduğuna bağlıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.16 (B grubunun örneklem varyansı) B grubunun \(30, 40, 50, 60, 70\) gözlemleri (Örnek 6.14) bir örneklem olsun. Örneklem varyansını ve standart sapmasını tanımdan hesaplayınız.
Çözüm
\(\bar x_B = 50\) bulunmuştu. Sapmalar ve kareleri şöyledir:
| \(x_i\) | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i - \bar x\) | \(-20\) | \(-10\) | \(0\) | \(10\) | \(20\) |
| \((x_i - \bar x)^2\) | 400 | 100 | 0 | 100 | 400 |
Sapmaların toplamı \(0\)’dır (Önerme 6.2). Sapma karelerinin toplamı \(1000\)’dir ve \(n - 1 = 4\)’e bölünür: \[ s_B^2 = \frac{1000}{4} = 250, \qquad s_B = \sqrt{250} \approx 15{,}81. \]
\(\blacksquare\)
Örnek 6.17 (A grubunun örneklem varyansı) A grubunun \(48, 49, 50, 51, 52\) gözlemleri (Örnek 6.14) bir örneklem olsun. Örneklem varyansını kısa yolla (Önerme 6.3) hesaplayınız.
Çözüm
\(\bar x_A = 50\) bulunmuştu. Karelerin toplamı \[ 48^2 + 49^2 + 50^2 + 51^2 + 52^2 = 2304 + 2401 + 2500 + 2601 + 2704 = 12\,510 \] ve \(n\,\bar x^{\,2} = 5 \cdot 50^2 = 12\,500\)’dür. Kısa yolla sapma kareleri toplamı \(12\,510 - 12\,500 = 10\) bulunur. Buradan \[ s_A^2 = \frac{10}{4} = 2{,}5, \qquad s_A = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58. \] B grubunun varyansı (\(250\)) A’nınkinin \(100\) katı, standart sapması \(10\) katıdır. Bu, gözlemlerin ortalamadan uzaklığının B’de on kat büyük olmasıyla uyumludur.
\(\blacksquare\)
Ortalama Mutlak Sapma
Sapmaların birbirini götürmesini engellemenin ikinci yolu, kare yerine mutlak değer almaktır.
Tanım 6.27 (Ortalama mutlak sapma) \(x_1, \dots, x_n\) gözlemlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının mutlak değerlerinin ortalamasına ortalama mutlak sapma denir: \[ \text{OMS} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \lvert x_i - \bar x \rvert. \]
Yani ortalama mutlak sapma, bir gözlemin ortalamadan tipik olarak ne kadar uzakta olduğunu verinin kendi biriminde doğrudan söyler. Varyans büyük sapmaları karesiyle cezalandırır, ortalama mutlak sapma ise her sapmayı büyüklüğü kadar sayar.
Örnek 6.18 (İki grubun ortalama mutlak sapması) A (\(48, 49, 50, 51, 52\)) ve B (\(30, 40, 50, 60, 70\)) gruplarının (Örnek 6.14) ortalama mutlak sapmalarını bulunuz.
Çözüm
İki grupta da \(\bar x = 50\)’dir. A grubunda sapmaların mutlak değerleri \(2, 1, 0, 1, 2\)’dir: \[ \text{OMS}_A = \frac{2 + 1 + 0 + 1 + 2}{5} = \frac{6}{5} = 1{,}2. \] B grubunda sapmaların mutlak değerleri \(20, 10, 0, 10, 20\)’dir: \[ \text{OMS}_B = \frac{20 + 10 + 0 + 10 + 20}{5} = \frac{60}{5} = 12. \] A grubunda bir gözlem ortalamadan ortalama \(1{,}2\) birim, B grubunda \(12\) birim uzaktadır.
\(\blacksquare\)
Değişim Katsayısı
Standart sapma verinin birimiyle ölçülür. Bu yüzden ortalamaları çok farklı olan ya da farklı birimlerle ölçülen iki veri kümesinin yayılımını standart sapmayla karşılaştırmak yanıltıcı olabilir: ortalaması \(10\) olan bir veride \(2\) birimlik sapma büyüktür, ortalaması \(1000\) olan bir veride küçüktür.
Tanım 6.28 (Değişim katsayısı) Ortalaması pozitif olan bir veri kümesinin standart sapmasının ortalamasına oranına değişim katsayısı denir: \[ \text{DK} = \frac{s}{\bar x} \cdot 100\% \quad (\text{örneklem}), \qquad \text{DK} = \frac{\sigma}{\mu} \cdot 100\% \quad (\text{kitle}). \]
Yani değişim katsayısı yayılımı ortalamaya göre, yüzde olarak ölçer ve birimden bağımsızdır. Değişim katsayısı küçük olan veri kümesi daha homojendir (birimleri birbirine daha çok benzer).
Örnek 6.19 (Hangi grup daha homojen?) A ve B kitlelerinin varyansları eşittir: \(\sigma_A^2 = \sigma_B^2 = 3\). A’nın ortalaması \(\mu_A = 10\), B’ninki \(\mu_B = 50\)’dir. Hangi kitle daha homojendir?
Çözüm
Standart sapmalar eşittir: \(\sigma_A = \sigma_B = \sqrt{3} \approx 1{,}732\). Yalnız buna bakarak iki kitlenin eşit homojen olduğunu söylemek yanlış olur. Değişim katsayıları \[ \text{DK}_A = \frac{\sqrt 3}{10} \cdot 100\% \approx \%17{,}32, \qquad \text{DK}_B = \frac{\sqrt 3}{50} \cdot 100\% \approx \%3{,}46 \] bulunur. B’de ortalamaya göre yayılım beş kat küçüktür; B kitlesi daha homojendir.
\(\blacksquare\)
6.6 Konum Ölçüleri: Yüzdelikler ve Çeyreklikler
Medyan veriyi iki eşit parçaya bölüyordu. Aynı fikri başka oranlara genelleştirerek bir değerin veri kümesi içindeki göreli konumunu anlatan ölçüler elde ederiz: “bu değerin altında verilerin yüzde kaçı var?”
Tanım 6.29 (Yüzdelik) \(0 < P < 100\) olsun. Sıralanmış veride gözlemlerin yaklaşık \(\%P\)’sinin kendisinden küçük, \(\%(100 - P)\)’sinin kendisinden büyük olduğu değere \(P\). yüzdelik denir ve \(Y_P\) ile gösterilir. \(n\) gözlemli bir veride \(Y_P\)’nin sıralı veri içindeki konumu \[ L_P = (n + 1)\frac{P}{100} \] ile belirlenir:
- \(L_P\) bir tam sayıysa \(Y_P = x_{(L_P)}\)’dir.
- \(L_P = k + d\) ise (\(k\) tam sayı, \(0 < d < 1\)) \(Y_P\), \(x_{(k)}\) ile \(x_{(k+1)}\) arasında doğrusal olarak bulunur: \(Y_P = x_{(k)} + d\,\big(x_{(k+1)} - x_{(k)}\big)\).
- \(L_P < 1\) ise \(Y_P = x_{(1)}\), \(L_P > n\) ise \(Y_P = x_{(n)}\) alınır.
Yani konum formülü, \(Y_P\)’nin sıralı veride kaçıncı sırada durduğunu söyler; sıra numarası tam çıkmazsa iki komşu gözlemin arasına orantılı olarak yerleşiriz. Yüzdelikler için bundan biraz farklı konum kuralları da kullanılır; büyük veride farklar önemsizdir.
Tanım 6.30 (Çeyreklikler) Sıralanmış veriyi dört eşit parçaya bölen üç değere çeyreklikler (çeyrek değerler, dörtte birlikler) denir:
- Birinci çeyreklik \(Q_1 = Y_{25}\): verilerin \(\%25\)’ini solunda (altında), \(\%75\)’ini sağında (üstünde) bırakan değerdir.
- İkinci çeyreklik \(Q_2 = Y_{50}\): medyandır.
- Üçüncü çeyreklik \(Q_3 = Y_{75}\): verilerin \(\%75\)’ini solunda, \(\%25\)’ini sağında bırakan değerdir.
Yani çeyreklikler sıralı veriyi, her birinde gözlemlerin yaklaşık dörtte biri bulunan dört parçaya ayırır. Konumları \(L_{25} = \frac{n+1}{4}\), \(L_{50} = \frac{n+1}{2}\) ve \(L_{75} = \frac{3(n+1)}{4}\)’tür. \(Q_2\) gerçekten medyanla aynıdır: \(n\) tekse \(L_{50} = \frac{n+1}{2}\) bir tam sayıdır; \(n\) çiftse \(L_{50} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2}\) olduğundan \(Q_2\) iki ortadaki gözlemin tam ortasına, yani aritmetik ortalamalarına düşer.
Tanım 6.31 (Çeyrekler arası açıklık ve çeyrek ayrılış) \(\text{ÇAA} = Q_3 - Q_1\) farkına çeyrekler arası açıklık, bunun yarısı olan \(\text{ÇA} = \dfrac{Q_3 - Q_1}{2}\) sayısına çeyrek ayrılış (çeyrek sapma) denir.
Yani çeyrekler arası açıklık, gözlemlerin ortadaki yarısının kapladığı aralığın uzunluğudur. En küçük ve en büyük değerlere bakmadığı için açıklığın aksine uç değerlerden etkilenmez; medyanın yanında kullanılan dayanıklı bir yayılım ölçüsüdür.
Örnek 6.20 (On gözlemin çeyreklikleri) Bir kafede on gün boyunca satılan tatlı sayıları sıralı olarak şöyledir: \[ 12,\ 15,\ 17,\ 20,\ 22,\ 25,\ 28,\ 30,\ 34,\ 41. \] \(Q_1\), \(Q_2\) ve \(Q_3\) çeyrekliklerini bulunuz.
Çözüm
\(n = 10\) olduğundan \(n + 1 = 11\)’dir.
\(Q_1\). Konum \(L_{25} = 11 \cdot 0{,}25 = 2{,}75\)’tir. Yani \(Q_1\), 2. ve 3. gözlemler arasında, 2.’den itibaren aradaki farkın \(0{,}75\)’i kadar ötededir: \[ Q_1 = x_{(2)} + 0{,}75\,\big(x_{(3)} - x_{(2)}\big) = 15 + 0{,}75 \cdot 2 = 16{,}5. \]
\(Q_2\). Konum \(L_{50} = 11 \cdot 0{,}5 = 5{,}5\)’tir: \[ Q_2 = x_{(5)} + 0{,}5\,\big(x_{(6)} - x_{(5)}\big) = 22 + 0{,}5 \cdot 3 = 23{,}5. \] Bu, medyan tanımının verdiği \((22 + 25)/2 = 23{,}5\) ile aynıdır.
\(Q_3\). Konum \(L_{75} = 11 \cdot 0{,}75 = 8{,}25\)’tir: \[ Q_3 = x_{(8)} + 0{,}25\,\big(x_{(9)} - x_{(8)}\big) = 30 + 0{,}25 \cdot 4 = 31. \]
Aşağıdaki kutu grafiği bu sonuçları özetler: kutu \(Q_1\)’den \(Q_3\)’e uzanır, içindeki çizgi medyandır, kutunun iki yanındaki çizgiler (bıyıklar) en küçük ve en büyük gözleme kadar gider.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.21 (Çeyrekler arası açıklık) Tatlı satışlarının (Örnek 6.20) çeyrekler arası açıklığını ve çeyrek ayrılışını bulunuz. Son gün \(41\) yerine \(90\) tatlı satılsaydı bu ölçüler ve açıklık nasıl değişirdi?
Çözüm
\(Q_1 = 16{,}5\) ve \(Q_3 = 31\) bulunmuştu. Buna göre \[ \text{ÇAA} = 31 - 16{,}5 = 14{,}5, \qquad \text{ÇA} = \frac{14{,}5}{2} = 7{,}25. \] Günlerin ortadaki yarısının satışları \(14{,}5\) tatlılık bir aralığa sığar.
En büyük gözlem \(41\) yerine \(90\) olsa \(Q_1\) ve \(Q_3\)’ün hesabında kullanılan \(x_{(2)}, x_{(3)}, x_{(8)}, x_{(9)}\) değişmez; ÇAA ve ÇA aynı kalır. Açıklık ise \(41 - 12 = 29\)’dan \(90 - 12 = 78\)’e çıkar. Tek bir uç değer açıklığı iki katından fazla büyütür ama çeyrekler arası açıklığı etkilemez.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.22 (Doksanıncı yüzdelik) Tatlı satışlarının (Örnek 6.20) \(90\). yüzdeliğini bulunuz.
Çözüm
Konum \(L_{90} = 11 \cdot \dfrac{90}{100} = 9{,}9\)’dur. Yani \(Y_{90}\), 9. ve 10. gözlemler arasında, 9.’dan itibaren farkın \(0{,}9\)’u kadar ötededir: \[ Y_{90} = x_{(9)} + 0{,}9\,\big(x_{(10)} - x_{(9)}\big) = 34 + 0{,}9 \cdot 7 = 40{,}3. \] Günlerin yaklaşık \(\%90\)’ında \(40{,}3\)’ten az tatlı satılmıştır.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde veriyi kitle–örneklem ayrımıyla düşünmeyi ve birkaç sayıyla özetlemeyi öğrendik. Şimdiye kadar \(\bar x\) ve \(s^2\) bizim için elimizdeki verinin sabit sayılarıydı. Oysa başka bir örneklem seçseydik başka değerler bulurduk; yani örneklem ortalaması da örneklemden örnekleme değişen bir rastgele değişkendir. Bir sonraki bölüm Örneklem ve İstatistikler, örneklemi rastgele değişkenlerle modelleyerek bu değişkenliği olasılık diliyle incelemeye başlıyor.