Kriptosistemin Formal Tanımı

Matematiksel şifreleme algoritmalarına (Sezar, Affine, Hill vb.) geçmeden önce, bir şifreleme sisteminin evrensel anatomisini tanımlamamız gerekir. Tüm modern ve klasik kriptosistemler matematiksel olarak 5 bileşenli bir yapı ile ifade edilir.

Tanım: Kriptosistem (Şifreleme Sistemi)

Bir kriptosistem, aşağıdaki koşulları sağlayan bir $(\mathcal{P},\mathcal{C},\mathcal{K},\mathcal{E},\mathcal{D})$ beşlisidir:

• $\mathcal{P}$ (Plaintext): Açık metinlerin (şifrelenmemiş orijinal mesajların) oluşturduğu sonlu küme.
• $\mathcal{C}$ (Ciphertext): Şifreli (kapalı) metinlerin oluşturduğu sonlu küme.
• $\mathcal{K}$ (Key Space): Anahtar uzayı; kullanılabilecek olası tüm anahtarların oluşturduğu sonlu küme.
• $\mathcal{E}$ (Encryption): Şifreleme (kapama) fonksiyonları kümesi.
• $\mathcal{D}$ (Decryption): Deşifreleme (açma) fonksiyonları kümesi.

Fonksiyonların Çalışma Prensibi

Her $k\in \mathcal{K}$ anahtarı için, bir şifreleme kuralı $e_k\in \mathcal{E}$ ve buna karşılık gelen bir deşifreleme kuralı $d_k\in \mathcal{D}$ tanımlanır:

$$e_k:\mathcal{P}\to \mathcal{C}$$$$d_k:\mathcal{C}\to \mathcal{P}$$

Sistemin tutarlı olabilmesi için, seçilen her bir anahtar $k\in \mathcal{K}$ ve her bir açık metin parçası $x\in \mathcal{P}$ için, şifrelenmiş metnin tekrar geri açılabileceğini garanti eden şu koşul sağlanmalıdır:

$$(d_k\circ e_k)(x)=d_k(e_k(x))=x,\mathrm{\forall }x\in \mathcal{P}$$

📌 Birebirlik (Injective) Şartı

Şifreleme fonksiyonu olan $e_k$, matematiksel olarak kesinlikle birebir (1-1) olmalıdır.

Eğer fonksiyon birebir olmazsa ve farklı iki açık metin ($x_1\ne x_2$) aynı şifreli metne ($C$) dönüşürse:

$$e_k(x_1)=e_k(x_2)$$

Bu durumda şifreyi çözen kişi, $C$ metnini deşifre ettiğinde orijinal metnin $x_1$ mi yoksa $x_2$ mi olduğunu bilemez. Benzersiz bir çözüm elde edilebilmesi için birebirlik şarttır.

Kümelerin Somutlaştırılması: Alfabe ve Mod 26

Matematiksel şifreleme fonksiyonlarının harfler üzerinde işlem yapabilmesi için, harfleri sayılara dönüştürmemiz gerekir. Modern kriptografik sistemlerde ve bu notlardaki tüm klasik algoritmalarda uluslararası standart olan 26 harfli İngilizce alfabe kullanılır. Türkçe karakterler (ç, ğ, ı, ö, ş, ü) modüler aritmetik sınırlarını ve standart ASCII tablolarını bozduğu için denklemlere dahil edilmez.

Bu bağlamda, açık metin ($\mathcal{P}$) ve şifreli metin ($\mathcal{C}$) kümelerimiz ${\mathbb{Z}}_{26}$ (Mod 26'ya göre kalanlar sınıfı) olarak tanımlanır:

$$\mathcal{P}=\mathcal{C}={\mathbb{Z}}_{26}=\{0,1,2,\dots ,25\}$$

Harf - Sayı Dönüşüm Tablosu: İşlemlerde sıfırdan başlama (0-index) kuralı geçerlidir. A harfi $0$, Z harfi ise $25$ değerini alır.

Harf	Değer	Harf	Değer
A	$0$	N	$13$
B	$1$	O	$14$
C	$2$	P	$15$
D	$3$	Q	$16$
E	$4$	R	$17$
F	$5$	S	$18$
G	$6$	T	$19$
H	$7$	U	$20$
I	$8$	V	$21$
J	$9$	W	$22$
K	$10$	X	$23$
L	$11$	Y	$24$
M	$12$	Z	$25$

📌 Hatırlatma: Modüler Aritmetik ve Tablo Kullanımı

Klasik şifreleme algoritmalarının tamamında (Sezar, Affine, Vigenère, Hill) matematiksel işlemler bu tablo referans alınarak ve sonuçlar her zaman Mod 26'ya göre hesaplanarak yürütülecektir. Eğer bir işlem sonucu negatif çıkarsa veya $25$'i geçerse, sonucun mod $26$'daki denki bulunarak tabloya geri dönülür.