Affine (Afin) Şifreleme

Sezar şifrelemesi, harfleri sadece sabit bir miktar kaydırarak (toplama işlemiyle) gizler. Affine (Afin) şifreleme ise bu mantığı bir adım ileri taşıyarak, modüler aritmetik üzerinde hem çarpma hem de toplama işlemini aynı anda kullanan doğrusal (lineer) bir yerine koyma algoritmasıdır.

Klasik cebirdeki $y=ax+b$ doğru denkleminin, alfabe (mod $26$) üzerine inşa edilmiş halidir.

Sistemin Formal Tanımı

Afin şifrelemesinde anahtarımız ($k$) artık tek boyutlu bir skaler değil, $k=(a,b)$ şeklinde tanımlanan sıralı bir sayı ikilisidir. Sistemi 5 bileşenli yapıya uyarlarsak:

Tanım: Afin Şifrelemesinin Matematiksel Modeli

• Açık Metin ($\mathcal{P}$): ${\mathbb{Z}}_{26}=\{0,1,2,\dots ,25\}$
• Şifreli Metin ($\mathcal{C}$): ${\mathbb{Z}}_{26}=\{0,1,2,\dots ,25\}$
• Anahtar Uzayı ($\mathcal{K}$): $k=(a,b)$ formunda olmak üzere; $a,b\in {\mathbb{Z}}_{26}$ ve $gcd(a,26)=1$ koşulunu sağlayan tüm sıralı ikililerin kümesi.
• Şifreleme Fonksiyonu ($\mathcal{E}$): Her $k=(a,b)\in \mathcal{K}$ ve $x\in \mathcal{P}$ için şifreleme işlemi:$$e_k(x)\equiv a\cdot x+b(\mathrm{mod}26)$$
• Deşifreleme Fonksiyonu ($\mathcal{D}$): Her $k=(a,b)\in \mathcal{K}$ ve $y\in \mathcal{C}$ için açma işlemi; fonksiyonun tersinin alınmasıyla bulunur. Burada $a^{-1}$, $a$'nın mod 26'ya göre çarpımsal tersidir:$$d_k(y)\equiv a^{-1}\cdot (y-b)(\mathrm{mod}26)$$

⚠️ Anahtar Seçme Koşulları ve Birebirlik (Injective) Şartı

Afin şifrelemesinde $b$ (kaydırma) değeri için ${\mathbb{Z}}_{26}$ içindeki tüm sayılar seçilebilir. Ancak $a$ (çarpan) değeri rastgele seçilemez!

Şifreleme fonksiyonunun çözülebilmesi için mutlaka birebir (1-1) olması gerekir. Eğer $a$ sayısı $26$ ile aralarında asal değilse (yani $gcd(a,26)\ne 1$), fonksiyon birebirliğini kaybeder.

Örnek bir felaket senaryosu: Diyelim ki kuralı ihlal edip $gcd(2,26)\ne 1$ olmasına rağmen $k=(2,3)$ seçtik. Denklemimiz: $e_k(x)\equiv 2x+3(\mathrm{mod}26)$

• A harfi ($0$) şifrelendiğinde: $2\cdot 0+3\equiv 3⟹\mathbf{D}$
• N harfi ($13$) şifrelendiğinde: $2\cdot 13+3=29\equiv 3(\mathrm{mod}26)⟹\mathbf{D}$

Gördüğünüz gibi hem A hem de N harfi aynı şifreli harfe (D) dönüştü. Mesajı alan kişi D harfini deşifre etmek istediğinde orijinal harfin A mı yoksa N mi olduğunu asla bilemez. Sistem çöker.

📌 Toplam Anahtar Uzayı ve Euler'in Phi (Totient) Fonksiyonu

Afin şifrelemesinde $a$ değerleri için $m$ ile aralarında asal olan sayıların adedini bulmamız gerekir. Kriptografide bu değer Euler'in Phi Fonksiyonu ($\varphi$) ile hesaplanır. $b$ değeri için ise modül ($m$) kadar seçenek vardır.

Bu nedenle Afin kriptosisteminin toplam anahtar uzayı şu formülle ifade edilir:

$$|\mathcal{K}|=\varphi (m)\cdot m$$

İngilizce alfabe ($m=26$) için hesaplarsak, $26$ ile aralarında asal olan sayıların adedi:

$$\varphi (26)=\varphi (2)\cdot \varphi (13)=(2-1)\cdot (13-1)=12$$

Geçerli olan bu 12 çarpan şunlardır: $\{1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25\}$. $a$ için $12$, $b$ için $26$ seçenek olduğundan toplam anahtar uzayı:

$$|\mathcal{K}|=12\cdot 26=312$$

Sezar'ın 25'lik anahtar uzayına göre daha geniş görünse de, $|\mathcal{K}|=312$ modern bilgisayarlar için kaba kuvvet (brute force) saldırılarıyla saniyeler içinde kırılabilir.

📝 Çözümlü Uygulamalar

Aşağıdaki örneklerde işlemleri Harf - Sayı Dönüşüm Tablosunu kullanarak yapınız.

Örnek: Açık metni "MATH" olan bir mesajı, $k=(5,8)$ anahtarını kullanarak Afin şifrelemesi ile şifreleyiniz.

💡 Çözümü Göster / Gizle

Çözüm: Şifreleme kuralımız: $e_k(x)\equiv 5x+8(\mathrm{mod}26)$

Harfleri tablodan sayıya çevirip denklemde yerine koyalım:

1. M $\to 12⟹5\cdot 12+8=68\equiv 16(\mathrm{mod}26)⟹\mathbf{Q}$
2. A $\to 0⟹5\cdot 0+8=8⟹\mathbf{I}$
3. T $\to 19⟹5\cdot 19+8=103\equiv 25(\mathrm{mod}26)⟹\mathbf{Z}$
4. H $\to 7⟹5\cdot 7+8=43\equiv 17(\mathrm{mod}26)⟹\mathbf{R}$

Sonuç: MATH kelimesi QIZR olarak şifrelenir.

$⊠$

Örnek: $k=(7,2)$ anahtarı ile şifrelenmiş olan "QCF" kapalı metnini deşifre ediniz.

💡 Çözümü Göster / Gizle

Çözüm: Deşifreleme formülümüz: $d_k(y)\equiv a^{-1}\cdot (y-b)(\mathrm{mod}26)$

Öncelikle $a=7$ sayısının mod 26'daki çarpımsal tersini ($7^{-1}$) bulmalıyız. Yani öyle bir sayı bulmalıyız ki $7\cdot x\equiv 1(\mathrm{mod}26)$ olsun. $7\cdot 15=105=4\cdot 26+1$ olduğundan, $7^{-1}\equiv 15(\mathrm{mod}26)$ bulunur.

Yeni deşifreleme denklemimiz: $d_k(y)\equiv 15\cdot (y-2)(\mathrm{mod}26)$

1. Q $\to 16⟹15\cdot (16-2)=15\cdot 14=210\equiv 2(\mathrm{mod}26)⟹\mathbf{C}$
2. C $\to 2⟹15\cdot (2-2)=0⟹\mathbf{A}$
3. F $\to 5⟹15\cdot (5-2)=15\cdot 3=45\equiv 19(\mathrm{mod}26)⟹\mathbf{T}$

Sonuç: Şifreli QCF metninin açık hali CAT kelimesidir.

$⊠$

Örnek: Düşmandan ele geçirilen "AGIY" şifreli metninin, orijinalinde "OKAY" kelimesi olduğu bilinmektedir. Kullanılan $(a,b)$ Afin anahtarını bulunuz.

💡 Çözümü Göster / Gizle

Çözüm:$e_k(x)\equiv a\cdot x+b(\mathrm{mod}26)$ olduğunu biliyoruz. İlk iki harf üzerinden iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurarak sistemi çözebiliriz.

O ($14$) $\to$ A ($0$):

$$14a+b\equiv 0(\mathrm{mod}26)\text{--- (Denklem 1)}$$

K ($10$) $\to$ G ($6$):

$$10a+b\equiv 6(\mathrm{mod}26)\text{--- (Denklem 2)}$$

Denklem 1'den Denklem 2'yi taraf tarafa çıkaralım ($b$'leri yok etmek için):

$$(14a+b)-(10a+b)\equiv 0-6(\mathrm{mod}26)$$$$4a\equiv -6\equiv 20(\mathrm{mod}26)$$

Kritik Aşama: Mod 26'da $4a\equiv 20$ denklemini çözerken direkt 4'e bölemeyiz. $gcd(4,26)=2$ olduğu için bu denklemin iki farklı kökü vardır:

1. $a\equiv 5(\mathrm{mod}26)$
2. $a\equiv 5+13=18(\mathrm{mod}26)$

Ancak Afin kuralları gereği $gcd(a,26)=1$ olmak zorundadır. $gcd(18,26)\ne 1$ olduğu için $a=18$ değeri geçersizdir. Demek ki $a=5$ olmalıdır.

Bulduğumuz $a=5$ değerini Denklem 1'de yerine koyalım:

$$14\cdot 5+b\equiv 0(\mathrm{mod}26)$$$$70+b\equiv 0(\mathrm{mod}26)$$$$18+b\equiv 0(\mathrm{mod}26)$$$$b\equiv -18\equiv 8(\mathrm{mod}26)$$

Sonuç: Düşmanın kullandığı anahtar $k=(5,8)$ ikilisidir. (Örnek 1'deki anahtarı bulmuş olduk!)

$⊠$

🕹️ İnteraktif Afin Hesaplayıcı

$e_k(x)\equiv a\cdot x+b(\mathrm{mod}26)$ denkleminin pratikte nasıl çalıştığını aşağıdaki araçla test edebilirsiniz.

Dikkat ederseniz, fonksiyonun 1-1 (birebir) olma şartını korumak için "Çarpan (a)" menüsünde yalnızca 26 ile aralarında asal olan o 12 geçerli anahtar yer almaktadır. Yanlarında modüler terslerinin de ($a^{-1}$) hesaplandığını görebilirsiniz.

Canlı Afin Hesaplayıcı

İşlem Türü:
🔒 Şifrele (Encrypt)🔓 Deşifrele (Decrypt)

Çarpan (a = 5):
1 (Tersi: 1)3 (Tersi: 9)5 (Tersi: 21)7 (Tersi: 15)9 (Tersi: 3)11 (Tersi: 19)15 (Tersi: 7)17 (Tersi: 23)19 (Tersi: 11)21 (Tersi: 5)23 (Tersi: 17)25 (Tersi: 25)Kaydırma (b = 8):

Mesaj:

Sonuç
QIZR