4 Sınır, Kapanış ve İç
Açık ve Kapalı Kümeler bölümünde kümeleri iki uç özellikle sınıflandırdık: açık kümenin her noktasının çevresinde kümenin içinde kalan bir yuvar vardır, kapalı küme ise bütün yığılma noktalarını içerir. Oysa karşılaştığımız kümelerin çoğu bu iki sınıfın hiçbirine girmez. Örneğin \(\{x \in \mathbb{R}^n : 2 \le \|x - x_0\| < 3\}\) halkası iç yüzeyini içerir ama dış yüzeyini içermez; ne açıktır ne kapalıdır. Böyle bir kümede neyin tamam olduğunu, neyin eksik kaldığını söyleyebilmek için noktaları tek tek sınıflandırmamız gerekir.
Bir \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) kümesi ve bir \(x\) noktası verildiğinde üç durum vardır: \(x\) merkezli küçük bir yuvar tamamen \(S\)’nin içinde kalabilir, tamamen \(S\)’nin dışında kalabilir ya da ne kadar küçük seçilirse seçilsin hem \(S\)’den hem tümleyenden nokta içerebilir. Birinci türden noktalar kümenin içini, üçüncü türden noktalar kümenin sınırını oluşturur; kümeye sınırını eklediğimizde de kapanışını elde ederiz. Gerçel sayılarda kapanışı (bkz. Analiz 1) ve içi (bkz. Analiz 1) aralıklarla tanımlamıştık; burada aynı kavramları \(\mathbb{R}^n\)’de, aralıkların yerine yuvarlarla kuruyoruz.
Bölümün ana sonuçları şunlardır: bir kümenin açık olması sınırından hiçbir nokta içermemesi, kapalı olması ise sınırının tamamını içermesi demektir. Kapanış, kümeyi içeren en küçük kapalı kümedir; iç ise kümenin içinde kalan en büyük açık kümedir.
4.1 Sınır Noktası ve Sınır
Önce bir kümenin “kıyısında” duran noktaları tanımlayalım.
Tanım 4.1 (Sınır Noktası ve Sınır) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(x \in \mathbb{R}^n\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için
\[B(x, \varepsilon) \cap S \ne \varnothing \quad \text{ve} \quad B(x, \varepsilon) \cap S^c \ne \varnothing\]
oluyorsa \(x\) noktasına \(S\) kümesinin bir sınır noktası denir. \(S\)’nin bütün sınır noktalarının kümesine \(S\)’nin sınırı denir ve \(\partial S\) ile gösterilir:
\[\partial S = \{ x \in \mathbb{R}^n : x, \ S \text{'nin bir sınır noktasıdır} \}.\]
Yani \(x\) bir sınır noktasıdır ancak ve ancak \(x\) merkezli her yuvar hem \(S\)’ye hem de \(S^c\)’ye değer. Sınır noktası kümeye ait olabilir de olmayabilir de; tanım yalnız noktanın çevresine bakar. \(x \in S\) ise birinci koşul kendiliğinden sağlanır, çünkü \(x\) yuvarın merkezidir; geriye her yuvarın \(S^c\)’den bir nokta içermesi kalır. \(x \notin S\) ise ikinci koşul kendiliğinden sağlanır; geriye her yuvarın \(S\)’den bir nokta içermesi kalır.
Hesaplarda en çok tanımın olumsuzu kullanılır: \(x \notin \partial S\) olması için gerek ve yeter koşul
\[B(x, \varepsilon) \subseteq S \quad \text{ya da} \quad B(x, \varepsilon) \subseteq S^c\]
olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) bulunmasıdır. Gerçekten \(B(x, \varepsilon) \cap S^c = \varnothing\) eşitliği \(B(x, \varepsilon) \subseteq S\) demektir, \(B(x, \varepsilon) \cap S = \varnothing\) eşitliği de \(B(x, \varepsilon) \subseteq S^c\) demektir. Özel olarak \(\partial \varnothing = \varnothing\) ve \(\partial \mathbb{R}^n = \varnothing\) olur: boş küme hiçbir yuvarla kesişmez, \(\mathbb{R}^n\)’nin tümleyeni ise boştur.
İlk örneğimiz yuvarlardır. Açık yuvar, kapalı yuvar ve yuvar yüzeyi (Tanım 2.6) için sezgimiz sınırın yuvar yüzeyi olduğunu söyler; bunu tanımdan gösterelim.
Önerme 4.1 (Açık ve Kapalı Yuvarın Sınırı) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. O zaman
\[\partial B(x_0, r) = \partial B[x_0, r] = S(x_0, r)\]
olur; burada \(S(x_0, r) = \{ x \in \mathbb{R}^n : \|x - x_0\| = r \}\) yuvar yüzeyidir.
İspat
\(x \in \mathbb{R}^n\) alalım ve \(\|x - x_0\|\) uzaklığının \(r\)’ye eşit, \(r\)’den küçük ya da \(r\)’den büyük olmasına göre üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.
\(\|x - x_0\| = r\) ise \(x\) iki yuvarın da sınır noktasıdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(x_0\)’dan çıkıp \(x\)’ten geçen ışın üzerindeki \(y_t = x_0 + t\,(x - x_0)\) noktalarını (\(t > 0\)) kullanacağız. Normun özelliklerinden
\[ \begin{aligned} \|y_t - x_0\| &= t\,\|x - x_0\| = t\,r, \\[1mm] \|y_t - x\| &= |t - 1|\,\|x - x_0\| = |t - 1|\,r \end{aligned} \]
olur. \(0 < \delta < \min\left\{ 1, \dfrac{\varepsilon}{r} \right\}\) olan bir \(\delta\) seçelim.
- \(t = 1 - \delta\) için \(\|y_t - x_0\| = (1 - \delta)\,r < r\) olur; yani \(y_{1 - \delta} \in B(x_0, r) \subseteq B[x_0, r]\).
- \(t = 1 + \delta\) için \(\|y_t - x_0\| = (1 + \delta)\,r > r\) olur; yani \(y_{1 + \delta} \notin B[x_0, r]\) ve dolayısıyla \(y_{1 + \delta} \notin B(x_0, r)\).
İki nokta da \(x\)’e \(\delta r < \varepsilon\) uzaklıktadır, yani \(B(x, \varepsilon)\) içindedir. Böylece \(B(x, \varepsilon)\) hem \(B(x_0, r)\) ile hem \(B[x_0, r]\) ile kesişir ve ikisinin de tümleyeniyle kesişir. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(x \in \partial B(x_0, r)\) ve \(x \in \partial B[x_0, r]\).
\(\|x - x_0\| < r\) ise \(x\) hiçbirinin sınır noktası değildir. \(\varepsilon = r - \|x - x_0\| > 0\) alalım. \(y \in B(x, \varepsilon)\) ise üçgen eşitsizliği (Teorem 1.2) gereği
\[\|y - x_0\| \le \|y - x\| + \|x - x_0\| < \varepsilon + \|x - x_0\| = r\]
olur. Demek ki \(B(x, \varepsilon) \subseteq B(x_0, r) \subseteq B[x_0, r]\); bu yuvar iki kümenin de tümleyeniyle kesişmez.
\(\|x - x_0\| > r\) ise \(x\) hiçbirinin sınır noktası değildir. \(\varepsilon = \|x - x_0\| - r > 0\) alalım. \(y \in B(x, \varepsilon)\) ise ters üçgen eşitsizliği (Sonuç 1.2) gereği
\[\|y - x_0\| \ge \|x - x_0\| - \|y - x\| > \|x - x_0\| - \varepsilon = r\]
olur. Demek ki \(B(x, \varepsilon)\), \(B[x_0, r]\) ile, dolayısıyla \(B(x_0, r)\) ile de kesişmez.
Üç durum birlikte, \(\partial B(x_0, r)\) ve \(\partial B[x_0, r]\) kümelerinin ikisinin de tam olarak \(\|x - x_0\| = r\) koşulunu sağlayan noktalardan oluştuğunu gösterir. \(\blacksquare\)
Açık ve kapalı yuvarın sınırı aynıdır. İkisini ayıran şey, sınırın ne kadarının kümeye ait olduğudur: \(B(x_0, r)\) sınırından hiçbir nokta içermez, \(B[x_0, r]\) ise sınırının tamamını içerir. Bu gözlemin genel bir teorem olduğunu birazdan göreceğiz.
Örnek 4.1 (Bir Çember ile Bir Hiperbolün Sınırladığı Küme) \(\mathbb{R}^2\)’de
\[E = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 4, \ xy > 1 \}\]
kümesinin sınırını bulunuz.
Çözüm
Kısalık için \(\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : \dots \}\) yerine yalnız koşulları yazacağız. Her bileşen için \(|x - x_0| \le \|(x, y) - (x_0, y_0)\|\) ve \(|y - y_0| \le \|(x, y) - (x_0, y_0)\|\) eşitsizliklerini sık sık kullanacağız; bunlar, normun karesinin \((x - x_0)^2\) ve \((y - y_0)^2\) terimlerini içermesinden gelir.
Kümeyi tanıyalım. \(xy > 1\) koşulu \(x\) ile \(y\)’nin sıfırdan farklı ve aynı işaretli olmasını gerektirir. Bu yüzden \(E\), biri birinci ve öbürü üçüncü bölgede olan iki parçadan oluşur. Birinci bölgedeki parça, \(x^2 + y^2 = 4\) çemberinin içinde ve \(xy = 1\) hiperbolünün üstünde kalan mercek biçimli bölgedir. Çember ile hiperbolün kesişim noktalarını bulalım: \(y = \dfrac{1}{x}\) yazılırsa \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 4\), yani \(x^4 - 4x^2 + 1 = 0\) ve \(x^2 = 2 \pm \sqrt{3}\) bulunur.
\[ \begin{aligned} a &= \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \approx 1{,}93, \\[1mm] b &= \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \approx 0{,}52 \end{aligned} \]
yazarsak \(ab = 1\), \(a^2 + b^2 = 4\) ve \(a - b = \sqrt{2}\) olur. Kesişim noktaları \((a, b)\), \((b, a)\), \((-a, -b)\) ve \((-b, -a)\)’dır.
İddia. İki yardımcı küme tanımlayalım:
\[ \begin{aligned} F &= \{ x^2 + y^2 \le 4, \ xy \ge 1 \}, \\[1mm] U &= \{ x^2 + y^2 < 4, \ xy > 1 \}. \end{aligned} \]
\(U \subseteq E \subseteq F\) olduğu açıktır. \(\partial E = F \setminus U\) olduğunu göstereceğiz. Aşağıda \(p = (x_0, y_0)\) incelenen nokta, \(q = (x, y)\) ise yuvarın genel noktasıdır.
Adım 1: \(U\)’nun noktaları sınırda değildir. \(p \in U\) olsun ve
\[\varepsilon = \min\left\{ 2 - \|p\|, \ \frac{x_0 y_0 - 1}{4} \right\} > 0\]
alalım. \(q \in B(p, \varepsilon)\) ise üçgen eşitsizliğiyle \(\|q\| < \varepsilon + \|p\| \le 2\) olur; özel olarak \(|y| < 2\) ve \(|x_0| \le \|p\| < 2\)’dir. Bu sınırları
\[xy - x_0 y_0 = (x - x_0)\,y + x_0\,(y - y_0)\]
özdeşliğinde kullanırsak
\[|xy - x_0 y_0| \le 2\,|x - x_0| + 2\,|y - y_0| < 4\varepsilon \le x_0 y_0 - 1\]
bulunur ve buradan \(xy > x_0 y_0 - (x_0 y_0 - 1) = 1\) çıkar. Demek ki \(B(p, \varepsilon) \subseteq U \subseteq E\); bu yuvar \(E^c\) ile kesişmez ve \(p \notin \partial E\).
Adım 2: \(F\)’nin dışındaki noktalar sınırda değildir. \(p \notin F\) ise ya \(\|p\| > 2\) ya da \(x_0 y_0 < 1\)’dir.
\(\|p\| > 2\) ise \(\varepsilon = \|p\| - 2\) alalım. \(q \in B(p, \varepsilon)\) için ters üçgen eşitsizliğiyle \(\|q\| > \|p\| - \varepsilon = 2\) olur; \(q \notin E\).
\(x_0 y_0 < 1\) ise
\[\varepsilon = \min\left\{ 1, \ \frac{1 - x_0 y_0}{|x_0| + |y_0| + 1} \right\}\]
alalım. \(q \in B(p, \varepsilon)\) ise \(|y| \le |y_0| + |y - y_0| < |y_0| + 1\) olduğundan
\[ \begin{aligned} |xy - x_0 y_0| &\le |x - x_0|\,|y| + |x_0|\,|y - y_0| \\[1mm] &< \varepsilon\,\big( |y_0| + 1 \big) + \varepsilon\,|x_0| \le 1 - x_0 y_0 \end{aligned} \]
olur. Buradan \(xy < 1\) ve \(q \notin E\) çıkar.
İki durumda da \(B(p, \varepsilon) \subseteq E^c\) olur; \(p \notin \partial E\).
Adım 3: \(F \setminus U\)’nun noktaları sınırdadır. \(p \in F \setminus U\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun; \(B(p, \varepsilon)\) içinde \(E\)’den ve \(E^c\)’den birer nokta bulacağız. \((x, y) \mapsto (-x, -y)\) dönüşümü \(E\)’yi, \(F\)’yi ve \(U\)’yu kendilerine götürür ve uzaklıkları korur. \(x_0 y_0 \ge 1\) olduğundan iki koordinat aynı işaretlidir; bu yüzden \(x_0 > 0\) ve \(y_0 > 0\) varsayabiliriz. \(p \in F\) ve \(p \notin U\) olduğundan \(\|p\| = 2\) ya da \(x_0 y_0 = 1\)’dir. Aşağıda seçilen \(\delta\) sayısı hep \(0 < \delta < \min\left\{ 1, \dfrac{\varepsilon}{2} \right\}\) aralığındadır; \(\|p\| \le 2\) olduğundan \((1 \pm \delta)\,p\) noktaları \(p\)’ye \(\delta \|p\| < \varepsilon\) uzaklıkta, yani \(B(p, \varepsilon)\) içindedir.
\(E^c\)’den bir nokta. \(\|p\| = 2\) ise \((1 + \delta)\,p\) noktasının normu \(2(1 + \delta) > 2\) olduğundan bu nokta \(E\)’de değildir. \(x_0 y_0 = 1\) ise \((1 - \delta)\,p\) noktasının koordinatları çarpımı \((1 - \delta)^2 < 1\) olduğundan bu nokta da \(E\)’de değildir.
\(E\)’den bir nokta. Üç alt durum vardır.
\(\|p\| = 2\) ve \(x_0 y_0 > 1\) ise \(\delta\) sayısını ayrıca \(\delta < 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x_0 y_0}}\) seçelim. \((1 - \delta)\,p\) noktasının normu \(2(1 - \delta) < 2\), koordinatları çarpımı \((1 - \delta)^2 x_0 y_0 > 1\)’dir; bu nokta \(E\)’dedir.
\(x_0 y_0 = 1\) ve \(\|p\| < 2\) ise \(\delta\) sayısını ayrıca \(\delta < \dfrac{2}{\|p\|} - 1\) seçelim. \((1 + \delta)\,p\) noktasının normu \((1 + \delta)\|p\| < 2\), koordinatları çarpımı \((1 + \delta)^2 > 1\)’dir; bu nokta \(E\)’dedir.
\(\|p\| = 2\) ve \(x_0 y_0 = 1\) ise \(p\) köşe noktalarından biridir. \((x, y) \mapsto (y, x)\) simetrisi de \(E\)’yi ve uzaklıkları korur; bu yüzden \(p = (a, b)\) alabiliriz. \(q = (a - \delta, \ b + \delta)\) noktasına bakalım. \(ab = 1\), \(a^2 + b^2 = 4\) ve \(a - b = \sqrt{2}\) eşitliklerinden
\[ \begin{aligned} \|q\|^2 &= 4 - 2\delta\,\big( \sqrt{2} - \delta \big) < 4, \\[1mm] (a - \delta)(b + \delta) &= 1 + \delta\,\big( \sqrt{2} - \delta \big) > 1 \end{aligned} \]
olur (\(\delta < 1 < \sqrt{2}\)). Demek ki \(q \in E\) ve \(\|q - p\| = \sqrt{2}\,\delta < \varepsilon\).
Her durumda \(B(p, \varepsilon)\) hem \(E\) ile hem \(E^c\) ile kesişir; \(p \in \partial E\).
Sonuç. Düzlemin her noktası ya \(U\)’dadır, ya \(F\)’nin dışındadır, ya da \(F \setminus U\)’dadır. Üç adım birlikte
\[\partial E = F \setminus U = \{ x^2 + y^2 = 4, \ xy \ge 1 \} \cup \{ x^2 + y^2 \le 4, \ xy = 1 \}\]
verir: sınır, uçlarında dört köşe noktasında birleşen iki çember yayı ile iki hiperbol yayından oluşur. Çember yayları üzerindeki köşe dışı noktalar \(E\)’ye aittir; hiperbol yayları üzerindeki noktalar ise ait değildir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.2 (Rasyonel Sayıların Sınırı) \(\mathbb{R}\)’de (\(n = 1\)) \(\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(n = 1\) iken yuvarlar açık aralıklardır: \(B(x, \varepsilon) = (x - \varepsilon, x + \varepsilon)\). \(x \in \mathbb{R}\) ve \(\varepsilon > 0\) keyfi olsun. Her açık aralıkta bir rasyonel sayı (bkz. Analiz 1) ve bir irrasyonel sayı (bkz. Analiz 1) bulunur. Dolayısıyla
\[(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \cap \mathbb{Q} \ne \varnothing \quad \text{ve} \quad (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \cap \mathbb{Q}^c \ne \varnothing\]
olur, yani \(x \in \partial \mathbb{Q}\). \(x\) keyfi olduğundan \(\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}\).
Bu örnek, sınırın kümenin “kenarı” diye düşündüğümüz ince bir çizgi olmak zorunda olmadığını gösterir: \(\mathbb{Q}\) sayı doğrusu üzerinde öyle dağılmıştır ki her nokta onun sınırındadır. \(\blacksquare\)
4.2 Sınırın Temel Özellikleri
Bir kümenin açık ya da kapalı olup olmadığı, yalnız sınırına bakılarak anlaşılabilir.
Teorem 4.1 (Sınır ile Açıklık ve Kapalılık) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun.
(a) \(\partial S = \partial (S^c)\).
(b) \(S\) açıktır ancak ve ancak \(S \cap \partial S = \varnothing\).
(c) \(S\) kapalıdır ancak ve ancak \(\partial S \subseteq S\).
İspat
(a) \((S^c)^c = S\) olduğundan \(x\)’in \(S^c\) kümesinin sınır noktası olma koşulu, her \(\varepsilon > 0\) için
\[B(x, \varepsilon) \cap S^c \ne \varnothing \quad \text{ve} \quad B(x, \varepsilon) \cap S \ne \varnothing\]
olmasıdır. Bu, \(x\)’in \(S\) kümesinin sınır noktası olma koşulunun aynısıdır; yalnız iki koşulun sırası değişmiştir. Öyleyse \(\partial (S^c) = \partial S\).
(b) (\(\Rightarrow\)) \(S\) açık ve \(x \in S\) olsun. Açık küme tanımı (Tanım 3.2) gereği \(B(x, \varepsilon) \subseteq S\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır; bu yuvar \(S^c\) ile kesişmez ve \(x \notin \partial S\). \(S\)’nin hiçbir noktası sınırda olmadığından \(S \cap \partial S = \varnothing\).
(\(\Leftarrow\)) \(S \cap \partial S = \varnothing\) ve \(x \in S\) olsun. \(x \notin \partial S\) olduğundan \(B(x, \varepsilon) \cap S = \varnothing\) ya da \(B(x, \varepsilon) \cap S^c = \varnothing\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Birinci eşitlik olamaz, çünkü \(x\) hem \(B(x, \varepsilon)\)’da hem \(S\)’dedir. Öyleyse \(B(x, \varepsilon) \cap S^c = \varnothing\), yani \(B(x, \varepsilon) \subseteq S\). \(x \in S\) keyfi olduğundan \(S\) açıktır.
(c) Kapalı küme tanımını (Tanım 3.3), ardından (b) şıkkını \(S^c\) kümesine ve son olarak (a) şıkkını uygulayalım:
\[ \begin{aligned} S \text{ kapalı} &\iff S^c \text{ açık} \\[1mm] &\iff S^c \cap \partial (S^c) = \varnothing \\[1mm] &\iff S^c \cap \partial S = \varnothing. \end{aligned} \]
Son koşul, \(\partial S\)’nin hiçbir noktasının \(S^c\)’de olmaması, yani \(\partial S \subseteq S\) demektir. \(\blacksquare\)
Teoremi önceki örneklere uygulayalım. \(B(x_0, r) \cap S(x_0, r) = \varnothing\) olduğundan açık yuvar açıktır; \(S(x_0, r) \subseteq B[x_0, r]\) olduğundan kapalı yuvar kapalıdır. Böylece Teorem 3.1 ve Sonuç 3.1 sonuçlarını sınır diliyle yeniden elde etmiş oluyoruz. \(E\) kümesi (Örnek 4.1) sınırının çember yayları üzerindeki noktaları içerdiğinden açık değildir; hiperbol yaylarını içermediğinden kapalı da değildir. \(\mathbb{Q}\) da ne açıktır ne kapalıdır: \(\mathbb{Q} \cap \partial \mathbb{Q} = \mathbb{Q} \ne \varnothing\) ve \(\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} \not\subseteq \mathbb{Q}\). Genel olarak sınırının bir kısmını içerip bir kısmını dışarıda bırakan bir küme ne açık ne kapalıdır.
4.3 Kapanış
Bir kümeye, ona istenildiği kadar yakın olan bütün noktaları ekleyerek onu “kapatabiliriz”.
Tanım 4.2 (Kapanış) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun ve \(S\)’nin yığılma noktalarının (Tanım 3.4) kümesini \(S'\) ile gösterelim.
\[\overline{S} = S \cup S'\]
kümesine \(S\)’nin kapanışı denir.
Yani kapanış, kümeye bütün yığılma noktalarını ekleyerek elde edilir. Her küme kapanışının içindedir: \(S \subseteq \overline{S}\). \(S\) kapalıysa Teorem 3.7 gereği \(S' \subseteq S\) olur ve kapanış yeni bir nokta eklemez; kapalı olmayan bir kümede ise kapanış, kümede eksik kalan yığılma noktalarını tamamlar.
Bir noktanın kapanışta olup olmadığını anlamak için yığılma noktalarıyla uğraşmak yerine yalnız yuvarlara bakmak çoğu zaman daha kolaydır.
Lemma 4.1 (Kapanışın Yuvarlarla Belirlenmesi) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(x \in \mathbb{R}^n\) olsun. \(x \in \overline{S}\) olması için gerek ve yeter koşul, her \(\varepsilon > 0\) için \(B(x, \varepsilon) \cap S \ne \varnothing\) olmasıdır.
İspat
(\(\Rightarrow\)) \(x \in \overline{S}\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(x \in S\) ise \(x \in B(x, \varepsilon) \cap S\) olur. \(x \in S'\) ise yığılma noktası tanımı gereği \(\big( B(x, \varepsilon) \setminus \{x\} \big) \cap S \ne \varnothing\)’dır ve bu küme \(B(x, \varepsilon) \cap S\) kümesinin içinde kalır. İki durumda da \(B(x, \varepsilon) \cap S \ne \varnothing\).
(\(\Leftarrow\)) Her \(\varepsilon > 0\) için \(B(x, \varepsilon) \cap S \ne \varnothing\) olsun. \(x \in S\) ise \(x \in \overline{S}\)’dir. \(x \notin S\) ise \(B(x, \varepsilon) \cap S\) kümesinin elemanları \(x\)’ten farklıdır; yani
\[\big( B(x, \varepsilon) \setminus \{x\} \big) \cap S = B(x, \varepsilon) \cap S \ne \varnothing\]
olur. Bu her \(\varepsilon > 0\) için doğru olduğundan \(x \in S'\) ve dolayısıyla \(x \in \overline{S}\). \(\blacksquare\)
Lemmanın olumsuzu da sık kullanılır: \(x \notin \overline{S}\) olması, \(B(x, \varepsilon) \cap S = \varnothing\) olan bir \(\varepsilon > 0\) bulunması demektir. Kapanış doğrudan lemmadaki yuvar koşuluyla da tanımlanabilirdi; lemma, bu tanımın \(S \cup S'\) ile aynı kümeyi verdiğini söyler.
Teorem 4.2 (Kapanışın Özellikleri) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun.
(a) \(\overline{S}\) kapalı bir kümedir.
(b) \(F\) kapalı ve \(S \subseteq F\) ise \(\overline{S} \subseteq F\). Yani \(\overline{S}\), \(S\)’yi içeren en küçük kapalı kümedir.
(c) \(\overline{S}\), \(S\)’yi içeren bütün kapalı kümelerin kesişimidir:
\[\overline{S} = \bigcap \{ F \subseteq \mathbb{R}^n : S \subseteq F \text{ ve } F \text{ kapalı} \}.\]
(d) \(\overline{S} = S \cup \partial S\).
(e) \(S\) kapalıdır ancak ve ancak \(\overline{S} = S\).
İspat
(a) \(\mathbb{R}^n \setminus \overline{S}\) kümesinin açık olduğunu gösterelim. \(x \notin \overline{S}\) olsun. Lemma 4.1 gereği \(B(x, \varepsilon) \cap S = \varnothing\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Bu yuvarın hiçbir noktasının \(\overline{S}\)’de olmadığını gösterelim. \(y \in B(x, \varepsilon)\) alalım. Açık yuvar açık bir küme olduğundan (Teorem 3.1) \(B(y, \delta) \subseteq B(x, \varepsilon)\) olan bir \(\delta > 0\) vardır. O zaman \(B(y, \delta) \cap S \subseteq B(x, \varepsilon) \cap S = \varnothing\) olur ve lemma gereği \(y \notin \overline{S}\). Böylece \(B(x, \varepsilon) \subseteq \mathbb{R}^n \setminus \overline{S}\) bulunur. \(x\) keyfi olduğundan \(\mathbb{R}^n \setminus \overline{S}\) açık, \(\overline{S}\) kapalıdır.
(b) \(F\) kapalı, \(S \subseteq F\) ve \(x \in \overline{S}\) olsun. \(x \in S\) ise \(x \in F\)’dir. \(x \in S'\) ise her \(\varepsilon > 0\) için \(\big( B(x, \varepsilon) \setminus \{x\} \big) \cap S \ne \varnothing\) olur; \(S \subseteq F\) olduğundan aynı \(B(x, \varepsilon) \setminus \{x\}\) delikli yuvarı \(F\) ile de kesişir, yani \(x\), \(F\)’nin de bir yığılma noktasıdır. Kapalı küme bütün yığılma noktalarını içerdiğinden (Teorem 3.7) \(x \in F\). Demek ki \(\overline{S} \subseteq F\). (a) gereği \(\overline{S}\)’nin kendisi de \(S\)’yi içeren kapalı bir kümedir; öyleyse böyle kümelerin en küçüğüdür.
(c) Sağ yandaki kesişimi \(K\) ile gösterelim; \(\mathbb{R}^n\) kapalı olduğundan kesişim boş olmayan bir aile üzerinden alınır. (a) gereği \(\overline{S}\) bu ailenin bir üyesidir, dolayısıyla \(K \subseteq \overline{S}\). (b) gereği \(\overline{S}\) ailenin her üyesinin içindedir, dolayısıyla \(\overline{S} \subseteq K\). Öyleyse \(\overline{S} = K\).
(d) \(x \in \partial S\) ise \(x\) merkezli her yuvar \(S\) ile kesişir ve lemma gereği \(x \in \overline{S}\) olur; \(S \subseteq \overline{S}\) olduğundan \(S \cup \partial S \subseteq \overline{S}\). Tersine \(x \in \overline{S}\) olsun. \(x \in S\) ise \(x \in S \cup \partial S\)’dir. \(x \notin S\) ise lemma gereği her \(B(x, \varepsilon)\) yuvarı \(S\) ile kesişir; ayrıca \(x \in B(x, \varepsilon) \cap S^c\) olduğundan her yuvar \(S^c\) ile de kesişir. Demek ki \(x \in \partial S\). Böylece \(\overline{S} \subseteq S \cup \partial S\).
(e) \(S\) kapalıysa (b) şıkkını \(F = S\) ile uygulayarak \(\overline{S} \subseteq S\) buluruz; \(S \subseteq \overline{S}\) her zaman doğru olduğundan \(\overline{S} = S\). Tersine \(\overline{S} = S\) ise (a) gereği \(S\) kapalıdır. \(\blacksquare\)
Teoremin (b) ve (c) şıkları kapanışa dışarıdan bakar: \(\overline{S}\), \(S\)’yi saran kapalı kümelerin en darıdır. Tanım ise içeriden bakar: \(S\)’ye eksik noktaları tek tek ekler. İki bakış aynı kümeyi verir.
Teoremin (d) şıkkını tanımla yan yana koyarsak \(S \cup S' = S \cup \partial S\) eşitliğini buluruz. Buna rağmen \(S'\) ile \(\partial S\) genellikle farklı kümelerdir: açık yuvarın merkezi bir yığılma noktasıdır ama sınır noktası değildir; tek noktalı bir kümenin noktası ise sınır noktasıdır ama yığılma noktası değildir (bkz. Alıştırma 4.4 ve Alıştırma 4.6). Fark yalnız \(S\)’nin kendi noktalarında ortaya çıkar. \(x \notin S\) ise \(B(x, \varepsilon) \setminus \{x\}\) ile \(B(x, \varepsilon)\) yuvarı \(S\) ile aynı noktalarda kesişir ve \(x\) her yuvarında \(S^c\)’nin bir noktasıdır; bu yüzden \(S\)’nin dışındaki bir nokta için yığılma noktası olmak ile sınır noktası olmak aynı şeydir.
Kapanışı bütün uzay olan kümeler özel bir ad taşır.
Tanım 4.3 (Yoğun Küme) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. \(\overline{S} = \mathbb{R}^n\) ise \(S\)’ye \(\mathbb{R}^n\)’de yoğun küme denir.
Yani \(S\) yoğundur ancak ve ancak \(\mathbb{R}^n\)’deki her yuvar \(S\)’den bir nokta içerir (Lemma 4.1): uzayın hiçbir noktası \(S\)’den uzak değildir. \(n = 1\) için bu, gerçel sayılardaki yoğunluk kavramıdır (bkz. Analiz 1).
Örnek 4.3 (Açık Yuvarın Kapanışı) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. \(\overline{B(x_0, r)} = B[x_0, r]\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Teorem 4.2 (d) ve Önerme 4.1 gereği
\[ \begin{aligned} \overline{B(x_0, r)} &= B(x_0, r) \cup \partial B(x_0, r) \\[1mm] &= B(x_0, r) \cup S(x_0, r) = B[x_0, r] \end{aligned} \]
olur; son eşitlik, \(\|x - x_0\| \le r\) koşulunun “\(\|x - x_0\| < r\) ya da \(\|x - x_0\| = r\)” diye ikiye ayrılmasıdır.
Aynı sonuç doğrudan tanımdan da çıkar: Örnek 3.16 gereği açık yuvarın yığılma noktaları kümesi \(B[x_0, r]\)’dir, dolayısıyla
\[\overline{B(x_0, r)} = B(x_0, r) \cup B[x_0, r] = B[x_0, r].\]
Kapalı yuvar için de aynı hesap
\[\overline{B[x_0, r]} = B[x_0, r] \cup S(x_0, r) = B[x_0, r]\]
verir; Teorem 4.2 (e) ile bu, kapalı yuvarın kapalı olmasının (Sonuç 3.1) bir başka ifadesidir. \(\blacksquare\)
Örnek 4.4 (Rasyonel Sayıların Kapanışı) \(\mathbb{R}\)’de \(\overline{\mathbb{Q}}\) kümesini bulunuz. \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)’de yoğun mudur?
Çözüm
Örnek 4.2 gereği \(\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}\)’dir. Teorem 4.2 (d) ile
\[\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{Q} \cup \partial \mathbb{Q} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{R} = \mathbb{R}\]
bulunur. Dolayısıyla \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)’de yoğundur (Tanım 4.3). Aynı sonuca gerçel sayılarda sıralama yoluyla da ulaşmıştık (bkz. Analiz 1). \(\blacksquare\)
Örnek 4.5 (Papyon Biçimli Bir Kümenin Kapanışı) \[A = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 \le x \le 1, \ -|x| < y < |x| \}\]
kümesinin kapanışını bulunuz.
Çözüm
\(-1 \le x \le 1\) koşulu \(|x| \le 1\), \(-|x| < y < |x|\) koşulu da \(|y| < |x|\) demektir; öyleyse kısaca \(A = \{ |y| < |x| \le 1 \}\) yazabiliriz. \(A\), \(y = x\) ile \(y = -x\) doğruları arasında ve \(x = \pm 1\) düşey doğruları arasında kalan papyon biçimli bölgedir. Köşegenler üzerindeki noktalar, başlangıç noktası da dahil, \(A\)’ya ait değildir.
Kapanışın
\[F = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 \le x \le 1, \ -|x| \le y \le |x| \}\]
kümesi, yani kısaca \(F = \{ |y| \le |x| \le 1 \}\) olduğunu göstereceğiz. \(p = (x_0, y_0)\) incelenen nokta, \(q = (x, y)\) yuvarın genel noktası olsun; her bileşen için \(|x - x_0| \le \|q - p\|\) ve \(|y - y_0| \le \|q - p\|\)’dir.
\(\overline{A} \subseteq F\). \(F\)’nin kapalı olduğunu göstermek yeter; o zaman \(A \subseteq F\) olduğundan Teorem 4.2 (b) gereği \(\overline{A} \subseteq F\) olur. \(F^c = \{ |x| > 1 \} \cup \{ |y| > |x| \}\)’dir ve iki parça da açıktır:
- \(|x_0| > 1\) ise \(\varepsilon = |x_0| - 1\) alalım. \(q \in B(p, \varepsilon)\) için \(|x - x_0| < \varepsilon\) olduğundan \(|x| \ge |x_0| - |x - x_0| > 1\) olur.
- \(|y_0| > |x_0|\) ise \(\varepsilon = \dfrac{|y_0| - |x_0|}{2}\) alalım. \(q \in B(p, \varepsilon)\) için \(|y| > |y_0| - \varepsilon\) ve \(|x| < |x_0| + \varepsilon\) olduğundan \(|y| - |x| > |y_0| - |x_0| - 2\varepsilon = 0\) olur.
İki açık kümenin birleşimi açık olduğundan (Teorem 3.3) \(F^c\) açık, \(F\) kapalıdır.
\(F \subseteq \overline{A}\). \(p \in F\) alalım. \(p \in A\) ise iş biter. \(p \notin A\) ise \(|y_0| = |x_0| \le 1\)’dir; Lemma 4.1 gereği her \(\varepsilon > 0\) için \(B(p, \varepsilon) \cap A \ne \varnothing\) olduğunu göstermeliyiz.
- \(x_0 \ne 0\) ise \(1 - t < \varepsilon\) olan bir \(t \in (0, 1)\) seçip \(q = (x_0, \ t y_0)\) noktasına bakalım. \(|t y_0| = t\,|x_0| < |x_0| \le 1\) olduğundan \(q \in A\). Ayrıca \(|y_0| \le 1\) olduğundan \(\|q - p\| = (1 - t)\,|y_0| < \varepsilon\).
- \(p = (0, 0)\) ise \(0 < s < \min\{ \varepsilon, 1 \}\) seçip \(q = (s, 0)\) noktasını alalım. \(|0| < s \le 1\) olduğundan \(q \in A\) ve \(\|q - p\| = s < \varepsilon\).
Sonuç olarak
\[\overline{A} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 \le x \le 1, \ -|x| \le y \le |x| \}.\]
Kapanışa köşegen parçaları eklenmiştir; özel olarak \(A\)’ya ait olmayan \((0, 0)\) noktası kapanıştadır.
\(\blacksquare\)
4.4 İç Nokta ve İç
Kapanış kümeyi dışarıdan tamamlar; iç ise kümenin kıyısındaki noktaları atarak onu içeriye doğru küçültür.
Tanım 4.4 (İç Nokta ve İç) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(x \in \mathbb{R}^n\) olsun. \(B(x, \varepsilon) \subseteq S\) olacak biçimde bir \(\varepsilon > 0\) varsa \(x\) noktasına \(S\)’nin bir iç noktası denir. \(S\)’nin bütün iç noktalarının kümesine \(S\)’nin içi denir ve \(S^\circ\) ile gösterilir:
\[S^\circ = \{ x \in S : \exists \varepsilon > 0, \ B(x, \varepsilon) \subseteq S \}.\]
Yani iç nokta, çevresinde kümeden hiç çıkmadan her yöne biraz hareket edilebilen noktadır. \(x \in B(x, \varepsilon)\) olduğundan her iç nokta kümenin bir elemanıdır; böylece \(S^\circ \subseteq S \subseteq \overline{S}\) zinciri elde edilir. Açık küme tanımı (Tanım 3.2) bu dille “her noktası bir iç nokta olan küme” diye okunur.
Teorem 4.3 (İçin Özellikleri) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun.
(a) \(S^\circ\) açık bir kümedir.
(b) \(S^\circ\), \(S\)’nin içinde kalan bütün açık kümelerin birleşimidir:
\[S^\circ = \bigcup \{ G \subseteq \mathbb{R}^n : G \subseteq S \text{ ve } G \text{ açık} \}.\]
Yani \(S^\circ\), \(S\)’nin içinde kalan en büyük açık kümedir.
(c) \(S^\circ = S \setminus \partial S\).
(d) \(S\) açıktır ancak ve ancak \(S^\circ = S\).
İspat
(a) \(x \in S^\circ\) olsun; \(B(x, \varepsilon) \subseteq S\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. Bu yuvarın her noktasının da iç nokta olduğunu gösterelim. \(y \in B(x, \varepsilon)\) alalım. Açık yuvar açık olduğundan (Teorem 3.1) \(B(y, \delta) \subseteq B(x, \varepsilon)\) olan bir \(\delta > 0\) vardır; o zaman \(B(y, \delta) \subseteq S\) ve \(y \in S^\circ\). Böylece \(B(x, \varepsilon) \subseteq S^\circ\) olur. \(S^\circ\)’ın her noktasının çevresinde \(S^\circ\)’ın içinde kalan bir yuvar bulunduğundan \(S^\circ\) açıktır. (\(S^\circ = \varnothing\) ise de açıktır.)
(b) Sağ yandaki birleşimi \(V\) ile gösterelim. (a) gereği \(S^\circ\) açıktır ve \(S^\circ \subseteq S\)’dir; yani \(S^\circ\), birleşimi alınan kümelerden biridir ve \(S^\circ \subseteq V\). Tersine \(x \in V\) olsun. O zaman \(x \in G\) olan açık bir \(G \subseteq S\) vardır; \(G\) açık olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq G \subseteq S\) olan bir \(\varepsilon > 0\) bulunur, yani \(x \in S^\circ\). Böylece \(V \subseteq S^\circ\) ve \(S^\circ = V\). Özel olarak \(S\)’nin içindeki her açık küme \(S^\circ\)’ın içindedir; \(S^\circ\) bu kümelerin en büyüğüdür.
(c) \(x \in S^\circ\) olsun. \(B(x, \varepsilon) \subseteq S\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır; bu yuvar \(S^c\) ile kesişmediğinden \(x \notin \partial S\). Ayrıca \(x \in S\) olduğundan \(x \in S \setminus \partial S\). Böylece \(S^\circ \subseteq S \setminus \partial S\).
Tersine \(x \in S \setminus \partial S\) olsun. \(x \notin \partial S\) olduğundan \(B(x, \varepsilon) \cap S = \varnothing\) ya da \(B(x, \varepsilon) \cap S^c = \varnothing\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. \(x \in B(x, \varepsilon) \cap S\) olduğundan birinci eşitlik olamaz. Öyleyse \(B(x, \varepsilon) \cap S^c = \varnothing\), yani \(B(x, \varepsilon) \subseteq S\) ve \(x \in S^\circ\). Böylece \(S \setminus \partial S \subseteq S^\circ\).
(d) \(S\) açıksa her noktası bir iç noktadır, yani \(S \subseteq S^\circ\); \(S^\circ \subseteq S\) her zaman doğru olduğundan \(S^\circ = S\). Tersine \(S^\circ = S\) ise (a) gereği \(S\) açıktır. \(\blacksquare\)
Kapanış ile iç birbirinin aynadaki görüntüsüdür: \(\overline{S}\) kümeye sınırını ekler, \(S^\circ\) kümeden sınırını çıkarır. Örneğin \(\mathbb{Q}^\circ = \mathbb{Q} \setminus \partial \mathbb{Q} = \varnothing\) olur; \(\mathbb{Q}\) hiçbir açık aralığı içermez. Üç kavram birlikte, bir kümeye göre uzayı üç parçaya ayırır.
Sonuç 4.1 (Uzayın Üç Parçaya Ayrılışı) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. \(\mathbb{R}^n\), ikişer ikişer ayrık olan \(S^\circ\), \(\partial S\) ve \((S^c)^\circ\) kümelerinin birleşimidir. Özel olarak \(\partial S = \overline{S} \setminus S^\circ\).
İspat
\(x \in \mathbb{R}^n\) olsun. \(x \notin S^\circ\) ve \(x \notin (S^c)^\circ\) olması, \(x\) merkezli hiçbir yuvarın ne \(S\)’nin ne de \(S^c\)’nin içinde kalmaması demektir; yani her yuvar hem \(S^c\) ile hem \(S\) ile kesişir, bu da \(x \in \partial S\) demektir. Dolayısıyla üç kümenin birleşimi \(\mathbb{R}^n\)’dir.
Ayrıklığa bakalım. \(S^\circ \subseteq S\) ve \((S^c)^\circ \subseteq S^c\) olduğundan bu ikisi ayrıktır. Teorem 4.3 (c) gereği \(S^\circ \cap \partial S = \varnothing\)’dır. Aynı şıkkı \(S^c\)’ye uygular ve Teorem 4.1 (a)’i kullanırsak \((S^c)^\circ \cap \partial S = (S^c)^\circ \cap \partial (S^c) = \varnothing\) buluruz.
Son olarak Teorem 4.3 (c) gereği \(S\)’nin sınırda olmayan noktaları tam olarak \(S^\circ\)’ı oluşturur; bu yüzden Teorem 4.2 (d) ile
\[\overline{S} = S \cup \partial S = S^\circ \cup \partial S\]
olur. \(S^\circ\) ile \(\partial S\) ayrık olduğundan \(\overline{S} \setminus S^\circ = \partial S\).
\(\blacksquare\)
\((S^c)^\circ\) kümesinin noktalarına \(S\)’nin dış noktaları da denir: bunlar, çevresinde \(S\)’den hiç nokta bulunmayan bir yuvar taşıyan noktalardır.
Örnek 4.6 (Kapalı Yuvarın İçi) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. \(\big( B[x_0, r] \big)^\circ = B(x_0, r)\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Teorem 4.3 (c) ve Önerme 4.1 gereği
\[ \begin{aligned} \big( B[x_0, r] \big)^\circ &= B[x_0, r] \setminus S(x_0, r) \\[1mm] &= \{ x : \|x - x_0\| < r \} = B(x_0, r) \end{aligned} \]
olur. Aynı biçimde
\[\big( B(x_0, r) \big)^\circ = B(x_0, r) \setminus S(x_0, r) = B(x_0, r)\]
bulunur; açık yuvar kendi içine eşittir, bu da Teorem 4.3 (d) gereği açık olmasıyla uyumludur. \(\blacksquare\)
Örnek 4.7 (Papyon Biçimli Kümenin İçi) \[A = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 \le x \le 1, \ -|x| < y < |x| \}\]
kümesinin içini ve sınırını bulunuz.
Çözüm
Örnek 4.5 çözümünde gördüğümüz gibi \(A = \{ |y| < |x| \le 1 \}\) yazılabilir. \(p = (x_0, y_0)\) incelenen nokta, \(q = (x, y)\) yuvarın genel noktası olsun. İçin
\[G = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 < x < 1, \ -|x| < y < |x| \}\]
kümesi, yani kısaca \(G = \{ |y| < |x| < 1 \}\) olduğunu göstereceğiz.
\(G \subseteq A^\circ\). \(G \subseteq A\) olduğu açıktır. \(G\)’nin açık olduğunu gösterirsek Teorem 4.3 (b) gereği \(G \subseteq A^\circ\) olur. \(p \in G\) için
\[\varepsilon = \min\left\{ 1 - |x_0|, \ \frac{|x_0| - |y_0|}{2} \right\} > 0\]
alalım. \(q \in B(p, \varepsilon)\) ise \(|x - x_0| < \varepsilon\) ve \(|y - y_0| < \varepsilon\) olduğundan
\[ \begin{aligned} |x| &< |x_0| + \varepsilon \le 1, \\[1mm] |x| - |y| &> \big( |x_0| - \varepsilon \big) - \big( |y_0| + \varepsilon \big) \ge 0 \end{aligned} \]
olur; yani \(B(p, \varepsilon) \subseteq G\) ve \(G\) açıktır.
\(A^\circ \subseteq G\). \(A \setminus G\) kümesinin noktaları \(|x_0| = 1\) ve \(|y_0| < 1\) olan noktalar, yani papyonun düşey kenarlarıdır. Böyle bir \(p\) ve \(\varepsilon > 0\) için
\[q = \Big( \big( 1 + \tfrac{\varepsilon}{2} \big)\,x_0, \ y_0 \Big)\]
noktasında \(|x| = 1 + \dfrac{\varepsilon}{2} > 1\) olduğundan \(q \notin A\)’dır ve \(\|q - p\| = \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\)’dur. Demek ki \(p\) merkezli hiçbir yuvar \(A\)’nın içinde kalmaz; \(p \notin A^\circ\).
Sonuç.
\[A^\circ = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 < x < 1, \ -|x| < y < |x| \}.\]
Sonuç 4.1 gereği \(\partial A = \overline{A} \setminus A^\circ\)’dır. \(\overline{A} = \{ |y| \le |x| \le 1 \}\) kümesinden \(\{ |y| < |x| < 1 \}\) çıkarılınca \(|y| = |x|\) ya da \(|x| = 1\) olan noktalar kalır:
\[\partial A = \{ |y| = |x| \le 1 \} \cup \{ |x| = 1, \ |y| \le 1 \}.\]
Sınır iki köşegen parçası ile iki düşey kenardan oluşur. \(A\) açık değildir, çünkü \(A^\circ \ne A\); kapalı da değildir, çünkü \(\overline{A} \ne A\). \(\blacksquare\)
Örnek 4.8 (Çember ile Hiperbolün Sınırladığı Kümenin İçi ve Kapanışı) \[E = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 4, \ xy > 1 \}\]
kümesinin içini ve kapanışını bulunuz.
Çözüm
Örnek 4.1 çözümünde
\[ \begin{aligned} F &= \{ x^2 + y^2 \le 4, \ xy \ge 1 \}, \\[1mm] U &= \{ x^2 + y^2 < 4, \ xy > 1 \} \end{aligned} \]
kümeleri için \(U \subseteq E \subseteq F\) ve \(\partial E = F \setminus U\) bulmuştuk.
Kapanış. Teorem 4.2 (d) gereği \(\overline{E} = E \cup (F \setminus U)\)’dur. \(E\) ve \(F \setminus U\) kümeleri \(F\)’nin içinde olduğundan birleşim de \(F\)’nin içindedir. Tersine \(F\)’nin her noktası ya \(U \subseteq E\)’dedir ya da \(F \setminus U\)’dadır. Öyleyse \(\overline{E} = F\).
İç. Teorem 4.3 (c) gereği \(E^\circ = E \setminus (F \setminus U)\)’dur. \(E\)’nin \(U\)’da olan noktaları \(F \setminus U\)’da olmadığından çıkarılmaz; \(U\)’da olmayan noktaları ise \(E \subseteq F\) olduğundan \(F \setminus U\)’dadır ve çıkarılır. Öyleyse \(E^\circ = U\).
Sonuç.
\[ \begin{aligned} \overline{E} &= \{ x^2 + y^2 \le 4, \ xy \ge 1 \}, \\[1mm] E^\circ &= \{ x^2 + y^2 < 4, \ xy > 1 \}. \end{aligned} \]
Kapanışa geçerken kesin eşitsizlikler geniş eşitsizliğe, içe geçerken geniş eşitsizlikler kesin eşitsizliğe dönüşmüştür. Bu kural iyi bir sezgi verir ama bir ispat değildir ve her zaman doğru sonuç vermez. Örneğin \(S = \{ x \in \mathbb{R} : x(x - 1)^2 \ge 0 \}\) kümesi \([0, +\infty)\) aralığıdır ve içi \((0, +\infty)\)’dur; oysa kural \(\{ x(x - 1)^2 > 0 \}\) kümesini, yani \((0, 1) \cup (1, +\infty)\) kümesini verirdi. Bu yüzden her aday nokta yuvarlarla sınanmalıdır. \(\blacksquare\)
4.5 Kapanış ile İç Arasındaki Bağlar
Kapanış ve iç, kümeler arasındaki kapsama ve tümleme işlemleriyle uyumludur; aşağıdaki örnekler bu bağları tanımlardan çıkarır.
Örnek 4.9 (Kapanış Kapsamayı Korur) \(A, C \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(A \subseteq C\) olsun. \(\overline{A} \subseteq \overline{C}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(x \in \overline{A}\) ve \(\varepsilon > 0\) keyfi olsun. Lemma 4.1 gereği \(B(x, \varepsilon) \cap A \ne \varnothing\)’dır, yani \(y \in B(x, \varepsilon)\) ve \(y \in A\) olan bir \(y\) vardır. \(A \subseteq C\) olduğundan \(y \in C\) olur, dolayısıyla \(y \in B(x, \varepsilon) \cap C\) ve bu kesişim boş değildir. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan lemma gereği \(x \in \overline{C}\). Böylece \(\overline{A} \subseteq \overline{C}\).
Aynı sonuç Teorem 4.2 (b) ile tek satırda da çıkar: \(\overline{C}\) kapalıdır ve \(A \subseteq C \subseteq \overline{C}\) olduğundan \(A\)’yı içerir; öyleyse \(A\)’yı içeren en küçük kapalı küme olan \(\overline{A}\), \(\overline{C}\)’nin içindedir. \(\blacksquare\)
Örnek 4.10 (İç Kapsamayı Korur) \(A, C \subseteq \mathbb{R}^n\) ve \(A \subseteq C\) olsun. \(A^\circ \subseteq C^\circ\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(x \in A^\circ\) olsun. İç nokta tanımı gereği \(B(x, \varepsilon) \subseteq A\) olan bir \(\varepsilon > 0\) vardır. \(A \subseteq C\) olduğundan \(B(x, \varepsilon) \subseteq C\) olur; aynı \(\varepsilon\), \(x\)’in \(C\)’nin de iç noktası olduğunu gösterir. Böylece \(x \in C^\circ\) ve \(A^\circ \subseteq C^\circ\).
Teorem 4.3 (b) ile de gösterilebilir: \(A^\circ\) açıktır ve \(A^\circ \subseteq A \subseteq C\) olduğundan \(C\)’nin içinde kalan açık bir kümedir; \(C^\circ\) bu tür kümelerin en büyüğü olduğundan \(A^\circ \subseteq C^\circ\). \(\blacksquare\)
Örnek 4.11 (Kapanışın Tümleyeni) \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. \(\big( \overline{A} \big)^c = (A^c)^\circ\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Bir \(x \in \mathbb{R}^n\) için aşağıdaki denklikleri sırayla yazalım:
\[ \begin{aligned} x \in \big( \overline{A} \big)^c &\iff x \notin \overline{A} \\[1mm] &\iff \exists \varepsilon > 0 : \ B(x, \varepsilon) \cap A = \varnothing \\[1mm] &\iff \exists \varepsilon > 0 : \ B(x, \varepsilon) \subseteq A^c \\[1mm] &\iff x \in (A^c)^\circ. \end{aligned} \]
İkinci denklik, Lemma 4.1 sonucunun olumsuzudur; üçüncüsü, \(A\) ile kesişmeyen bir kümenin \(A^c\)’nin içinde kalmasıdır; dördüncüsü iç nokta tanımıdır. İki küme aynı elemanlara sahip olduğundan eşittir.
Eşitliği \(A\) yerine \(A^c\) kümesine uygulayıp iki yanın tümleyenini alırsak, \((A^c)^c = A\) olduğundan \((A^\circ)^c = \overline{A^c}\) eşitliği de elde edilir. Bu iki eşitlik, kapanış ile ilgili her sonucun tümleme yoluyla iç ile ilgili bir sonuca çevrilebileceğini söyler; örneğin \(\overline{A}\)’nın kapalı olması, \((A^c)^\circ\)’ın açık olmasının bir başka ifadesidir. \(\blacksquare\)
4.6 İç, Kapanış ve Sınırı Hesaplamak
Somut bir kümenin içini, kapanışını ve sınırını bulurken hep aynı yolu izleriz.
- Adayları belirle. Kümeyi tanımlayan koşullarda kesin eşitsizlikleri sağlayan noktalar iç nokta adayıdır; bir koşulun eşitliğe dönüştüğü noktalar sınır noktası adayıdır.
- İç adaylar için yuvar bul. Her iç aday \(p\) için kümenin içinde kalan bir \(B(p, \varepsilon)\) bulunur. \(\varepsilon\) çoğu zaman \(p\)’nin en yakın “eşitlik yüzeyine” uzaklığıdır; kapsama üçgen eşitsizliğiyle gösterilir.
- Sınır adaylarını sına. Her sınır adayı \(p\) ve her \(\varepsilon > 0\) için \(B(p, \varepsilon)\) içinde kümeden bir nokta ve tümleyenden bir nokta gösterilir; bunun için \(p\) uygun bir doğru boyunca biraz kaydırılır.
- Geri kalanları ele ve sonucu yaz. Kalan her nokta için tümleyenin içinde kalan bir yuvar bulunur. Sonra \(S^\circ = S \setminus \partial S\) ve \(\overline{S} = S \cup \partial S\) yazılır.
Örnek 4.12 (Yarı Açık Bir Halka) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) olsun.
\[X = \{ x \in \mathbb{R}^n : 2 \le \|x - x_0\| < 3 \}\]
kümesinin içini, kapanışını ve sınırını bulunuz. \(X\) açık mıdır, kapalı mıdır?
Çözüm
Bu kümenin ne açık ne kapalı olduğunu Örnek 3.15 ile görmüştük; şimdi reçeteyi izleyerek kümenin tam olarak nerede “eksik” ve nerede “fazla” olduğunu belirleyeceğiz.
Adaylar. \(2 < \|p - x_0\| < 3\) olan noktalar iç nokta adayı, \(\|p - x_0\| = 2\) ya da \(\|p - x_0\| = 3\) olan noktalar sınır noktası adayıdır.
İç adaylar. \(2 < \|p - x_0\| < 3\) olsun ve
\[\varepsilon = \min\big\{ \|p - x_0\| - 2, \ 3 - \|p - x_0\| \big\}\]
alalım. \(y \in B(p, \varepsilon)\) ise üçgen eşitsizliği ve ters üçgen eşitsizliği
\[ \begin{aligned} \|y - x_0\| &\le \|y - p\| + \|p - x_0\| < \varepsilon + \|p - x_0\| \le 3, \\[1mm] \|y - x_0\| &\ge \|p - x_0\| - \|y - p\| > \|p - x_0\| - \varepsilon \ge 2 \end{aligned} \]
verir; yani \(B(p, \varepsilon) \subseteq X\).
Sınır adayları. \(p\)’yi \(x_0\)’dan çıkan ışın boyunca kaydıralım: \(t > 0\) için \(y_t = x_0 + t\,(p - x_0)\) noktasında
\[ \begin{aligned} \|y_t - x_0\| &= t\,\|p - x_0\|, \\[1mm] \|y_t - p\| &= |t - 1|\,\|p - x_0\| \end{aligned} \]
olur. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(0 < \delta < \min\left\{ \dfrac{1}{3}, \dfrac{\varepsilon}{3} \right\}\) seçelim.
- \(\|p - x_0\| = 3\) ise \(p \notin X\)’tir; \(p\)’nin kendisi \(B(p, \varepsilon) \cap X^c\) kümesindedir. \(y_{1 - \delta}\) noktasında \(\|y_{1 - \delta} - x_0\| = 3 - 3\delta\) ve \(\delta < \dfrac{1}{3}\) olduğundan bu sayı \(2\) ile \(3\) arasındadır; yani \(y_{1 - \delta} \in X\). Ayrıca \(\|y_{1 - \delta} - p\| = 3\delta < \varepsilon\).
- \(\|p - x_0\| = 2\) ise \(p \in X\)’tir. \(y_{1 - \delta}\) noktasında \(\|y_{1 - \delta} - x_0\| = 2 - 2\delta < 2\), yani \(y_{1 - \delta} \notin X\). Ayrıca \(\|y_{1 - \delta} - p\| = 2\delta < \varepsilon\).
İki durumda da her yuvar hem \(X\) ile hem \(X^c\) ile kesişir; bu noktalar sınırdadır.
Geri kalanlar. \(\|p - x_0\| < 2\) ise \(\varepsilon = 2 - \|p - x_0\|\) alındığında üçgen eşitsizliği, \(B(p, \varepsilon)\)’nın her \(y\) noktası için \(\|y - x_0\| < 2\) verir. \(\|p - x_0\| > 3\) ise \(\varepsilon = \|p - x_0\| - 3\) alındığında ters üçgen eşitsizliği, her \(y\) noktası için \(\|y - x_0\| > 3\) verir. İki durumda da \(B(p, \varepsilon) \subseteq X^c\) ve \(p \notin \partial X\).
Sonuç.
\[ \begin{aligned} \partial X &= S(x_0, 2) \cup S(x_0, 3), \\[1mm] X^\circ &= X \setminus \partial X = \{ x : 2 < \|x - x_0\| < 3 \}, \\[1mm] \overline{X} &= X \cup \partial X = \{ x : 2 \le \|x - x_0\| \le 3 \}. \end{aligned} \]
\(X \cap \partial X = S(x_0, 2) \ne \varnothing\) olduğundan \(X\) açık değildir; \(S(x_0, 3)\) yüzeyi sınırın bir parçası olduğu hâlde \(X\)’in dışında kaldığından \(X\) kapalı da değildir (Teorem 4.1).
\(\blacksquare\)
Örnek 4.13 (Yarı Açık Bir Şerit) \[T = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x \le 1 \}\]
şeridinin içini, kapanışını ve sınırını bulunuz.
Çözüm
\(p = (x_0, y_0)\) incelenen nokta olsun. Her \((x, y)\) için \(|x - x_0| \le \|(x, y) - p\|\) olduğunu kullanacağız.
İç adaylar: \(0 < x_0 < 1\). \(\varepsilon = \min\{ x_0, 1 - x_0 \}\) alalım. \((x, y) \in B(p, \varepsilon)\) ise \(|x - x_0| < \varepsilon\) olduğundan \(0 < x < 1\) olur; \(B(p, \varepsilon) \subseteq T\).
Sınır adayları: \(x_0 = 0\) ya da \(x_0 = 1\). \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(0 < \delta < \min\{ \varepsilon, 1 \}\) seçelim. \(x_0 = 0\) ise \(p \notin T\) ve \((\delta, y_0) \in T\)’dir. \(x_0 = 1\) ise \(p \in T\) ve \((1 + \delta, y_0) \notin T\)’dir. Kaydırılan nokta \(p\)’ye \(\delta < \varepsilon\) uzaklıktadır. İki durumda da \(B(p, \varepsilon)\) hem \(T\) ile hem \(T^c\) ile kesişir.
Geri kalanlar. \(x_0 < 0\) ise \(\varepsilon = -x_0\) alındığında yuvarın her noktasında \(x < 0\) olur. \(x_0 > 1\) ise \(\varepsilon = x_0 - 1\) alındığında yuvarın her noktasında \(x > 1\) olur. İki durumda da yuvar \(T^c\)’nin içindedir.
Sonuç. \(\partial T\), \(x = 0\) ve \(x = 1\) düşey doğrularının birleşimidir. Buradan \(T^\circ = \{ 0 < x < 1 \}\) açık şeridi ve \(\overline{T} = \{ 0 \le x \le 1 \}\) kapalı şeridi bulunur. \(T\), sınırının \(x = 1\) parçasını içerdiğinden açık değildir (bunu Örnek 3.7 ile doğrudan da görmüştük); \(x = 0\) parçasını içermediğinden kapalı da değildir. \(\blacksquare\)
4.7 Özet Tablosu
Bölümde incelediğimiz kümelerin içini, kapanışını ve sınırını bir arada görelim; son sütundaki bilgiler Sonuç 4.1 gereği ilk iki sütundan da okunabilir.
| Küme | İç | Kapanış | Sınır |
|---|---|---|---|
| \(B(x_0, r)\) | \(B(x_0, r)\) | \(B[x_0, r]\) | \(S(x_0, r)\) |
| \(B[x_0, r]\) | \(B(x_0, r)\) | \(B[x_0, r]\) | \(S(x_0, r)\) |
| \(S(x_0, r)\) | \(\varnothing\) | \(S(x_0, r)\) | \(S(x_0, r)\) |
| \(\{ s < \lVert x - a \rVert < r \}\) | kendisi | \(\{ s \le \lVert x - a \rVert \le r \}\) | \(S(a, s) \cup S(a, r)\) |
| \(\{ 2 \le \lVert x - x_0 \rVert < 3 \}\) | \(\{ 2 < \lVert x - x_0 \rVert < 3 \}\) | \(\{ 2 \le \lVert x - x_0 \rVert \le 3 \}\) | \(S(x_0, 2) \cup S(x_0, 3)\) |
| \(\{ 0 < x \le 1 \} \subseteq \mathbb{R}^2\) | \(\{ 0 < x < 1 \}\) | \(\{ 0 \le x \le 1 \}\) | \(x = 0\) ve \(x = 1\) doğruları |
| \((0, 1] \times [0, 1]\) | \((0, 1) \times (0, 1)\) | \([0, 1] \times [0, 1]\) | birim karenin çevresi |
| papyon \(A\) | \(\{ \lvert y \rvert < \lvert x \rvert < 1 \}\) | \(\{ \lvert y \rvert \le \lvert x \rvert \le 1 \}\) | köşegen parçaları ve düşey kenarlar |
| \(E\) | \(\{ x^2 + y^2 < 4, \ xy > 1 \}\) | \(\{ x^2 + y^2 \le 4, \ xy \ge 1 \}\) | iki çember yayı ve iki hiperbol yayı |
| \(\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}\) | \(\varnothing\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\mathbb{Q}^n \subseteq \mathbb{R}^n\) | \(\varnothing\) | \(\mathbb{R}^n\) | \(\mathbb{R}^n\) |
| boş olmayan sonlu \(S\) | \(\varnothing\) | \(S\) | \(S\) |
| \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}^n\) | kendisi | kendisi | \(\varnothing\) |
Tablodaki açık halka, kare, \(\mathbb{Q}^n\), sonlu küme ve yuvar yüzeyi satırları aşağıdaki alıştırmalarda gösterilmektedir. Tablo bir örüntüyü de öne çıkarır: bir kümenin açık olması iç sütunuyla kendisinin, kapalı olması kapanış sütunuyla kendisinin aynı olmasıdır.
4.8 Alıştırmalar
Alıştırma 4.1 (Açık Halka) \(a \in \mathbb{R}^n\) ve \(0 < s < r\) olsun.
\[A = \{ x \in \mathbb{R}^n : s < \|x - a\| < r \}\]
halkasının içini, kapanışını ve sınırını bulunuz.
Çözüm
İç. Örnek 3.9 gereği \(A\) açıktır; Teorem 4.3 (d) gereği \(A^\circ = A\) olur.
Sınır adayları. \(\|p - a\| = r\) ya da \(\|p - a\| = s\) olsun; iki durumda da \(p \notin A\), dolayısıyla her yuvar \(A^c\) ile kesişir. \(y_t = a + t\,(p - a)\) noktaları için \(\|y_t - a\| = t\,\|p - a\|\) ve \(\|y_t - p\| = |t - 1|\,\|p - a\|\)’dır. \(\varepsilon > 0\) verilsin.
- \(\|p - a\| = r\) ise \(t\)’yi \(\max\left\{ \dfrac{s}{r}, 1 - \dfrac{\varepsilon}{r} \right\} < t < 1\) aralığından seçelim. O zaman \(s < t r < r\), yani \(y_t \in A\) ve \(\|y_t - p\| = (1 - t)\,r < \varepsilon\).
- \(\|p - a\| = s\) ise \(t\)’yi \(1 < t < \min\left\{ \dfrac{r}{s}, 1 + \dfrac{\varepsilon}{s} \right\}\) aralığından seçelim. O zaman \(s < t s < r\), yani \(y_t \in A\) ve \(\|y_t - p\| = (t - 1)\,s < \varepsilon\).
Her yuvar \(A\) ile de kesiştiğinden bu noktalar sınırdadır.
Geri kalanlar. \(\|p - a\| < s\) ise \(\varepsilon = s - \|p - a\|\) ile yuvarın her noktası \(\|y - a\| < s\) sağlar; \(\|p - a\| > r\) ise \(\varepsilon = \|p - a\| - r\) ile her noktası \(\|y - a\| > r\) sağlar. İki durumda da yuvar \(A^c\)’nin içindedir.
Sonuç. \(\partial A = S(a, s) \cup S(a, r)\) bulunur; \(A\) açık olduğundan bu sınırdan hiçbir nokta içermez (Teorem 4.1). Kapanış için
\[\overline{A} = A \cup \partial A = \{ x \in \mathbb{R}^n : s \le \|x - a\| \le r \}\]
elde edilir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 4.2 (Bir Kenarı Eksik Kare) \[K = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x \le 1, \ 0 \le y \le 1 \}\]
kümesinin içini, kapanışını ve sınırını bulunuz; \(K\) açık ya da kapalı mıdır?
Çözüm
\(K = (0, 1] \times [0, 1]\) yazalım ve \(p = (x_0, y_0)\) incelenen nokta olsun. Yine her bileşen için \(|x - x_0| \le \|(x, y) - p\|\) ve \(|y - y_0| \le \|(x, y) - p\|\)’dir.
İç adaylar: \(0 < x_0 < 1\) ve \(0 < y_0 < 1\). \(\varepsilon = \min\{ x_0, \ 1 - x_0, \ y_0, \ 1 - y_0 \}\) alalım. \((x, y) \in B(p, \varepsilon)\) ise \(|x - x_0| < \varepsilon\) ve \(|y - y_0| < \varepsilon\) olduğundan \(0 < x < 1\) ve \(0 < y < 1\) olur; \(B(p, \varepsilon) \subseteq K\).
Sınır adayları: \(p \in [0, 1] \times [0, 1]\) ve koordinatlardan biri \(0\) ya da \(1\). \(\varepsilon > 0\) verilsin.
\(K\)’dan bir nokta. Karenin merkezi \(c = \left( \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right)\) olsun ve \(0 < t \le 1\) için \(q_t = p + t\,(c - p)\) noktasına bakalım. Birinci koordinat \((1 - t)\,x_0 + \dfrac{t}{2}\)’dir; \(x_0 \in [0, 1]\) olduğundan bu sayı \(\dfrac{t}{2}\) ile \(1 - \dfrac{t}{2}\) arasındadır, dolayısıyla \(0 < x < 1\) olur. İkinci koordinat için de aynısı geçerlidir. Öyleyse \(q_t \in (0, 1) \times (0, 1) \subseteq K\). Ayrıca \(\|q_t - p\| = t\,\|c - p\| \le t\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) olduğundan \(t\) yeterince küçük seçilirse \(q_t \in B(p, \varepsilon)\) olur.
\(K^c\)’den bir nokta. \(0 < \delta < \varepsilon\) seçelim. \(x_0 = 0\) ise \(p\)’nin kendisi \(K\)’da değildir. \(x_0 = 1\) ise \((1 + \delta, y_0)\), \(y_0 = 0\) ise \((x_0, -\delta)\), \(y_0 = 1\) ise \((x_0, 1 + \delta)\) noktası \(K\)’da değildir ve \(p\)’ye \(\delta < \varepsilon\) uzaklıktadır.
Demek ki karenin çevresindeki her nokta sınırdadır.
Geri kalanlar: \(p \notin [0, 1] \times [0, 1]\). O zaman \(x_0 < 0\), \(x_0 > 1\), \(y_0 < 0\) ya da \(y_0 > 1\)’dir. Sırasıyla \(\varepsilon = -x_0\), \(x_0 - 1\), \(-y_0\) ya da \(y_0 - 1\) alınırsa yuvarın her noktası aynı eşitsizliği sağlar ve \(K\)’nın dışında kalır.
Sonuç. \(\partial K\), birim karenin çevresidir: \([0, 1] \times [0, 1]\) kümesinin en az bir koordinatı \(0\) ya da \(1\) olan noktaları. Buradan
\[ \begin{aligned} K^\circ &= K \setminus \partial K = (0, 1) \times (0, 1), \\[1mm] \overline{K} &= K \cup \partial K = [0, 1] \times [0, 1] \end{aligned} \]
bulunur. \(\left( 1, \tfrac{1}{2} \right) \in K \cap \partial K\) olduğundan \(K\) açık değildir; \(\left( 0, \tfrac{1}{2} \right) \in \partial K\) noktası \(K\)’da olmadığından \(K\) kapalı da değildir. İkinci sonucu Örnek 3.14 ile yığılma noktaları yoluyla da görmüştük. \(\blacksquare\)
Alıştırma 4.3 (Yuvar Yüzeyinin İçi Boştur) \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) ve \(r > 0\) olsun. Yuvar yüzeyi \(S(x_0, r)\) için sınırı, kapanışı ve içi bulunuz.
Çözüm
Yüzeydeki noktalar sınırdadır. \(\|p - x_0\| = r\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(p\)’nin kendisi \(S(x_0, r)\)’dedir. \(0 < \delta < \dfrac{\varepsilon}{r}\) için \(y = x_0 + (1 + \delta)(p - x_0)\) noktasında \(\|y - x_0\| = (1 + \delta)\,r \ne r\) olduğundan \(y \notin S(x_0, r)\) ve \(\|y - p\| = \delta r < \varepsilon\). Her yuvar hem kümeyle hem tümleyenle kesişir.
Öbür noktalar sınırda değildir. \(\|p - x_0\| < r\) ise Önerme 4.1 ispatındaki gibi \(\varepsilon = r - \|p - x_0\|\) için \(B(p, \varepsilon) \subseteq B(x_0, r)\) olur; \(\|p - x_0\| > r\) ise \(\varepsilon = \|p - x_0\| - r\) için \(B(p, \varepsilon)\) yuvarı \(B[x_0, r]\) ile kesişmez. İki durumda da yuvarın hiçbir noktası \(r\) uzaklıkta değildir, yani yuvar \(S(x_0, r)\)’nin tümleyeninin içindedir.
Sonuç. \(\partial S(x_0, r) = S(x_0, r)\). Sınır kümenin içinde olduğundan küme kapalıdır (Teorem 4.1) ve kapanışı kendisidir. İçi ise
\[S(x_0, r)^\circ = S(x_0, r) \setminus \partial S(x_0, r) = \varnothing\]
olur (Teorem 4.3). Yüzey “kalınlığı olmayan” bir kümedir: hiçbir yuvarı içine alamaz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 4.4 (Sonlu Bir Kümenin İçi, Kapanışı ve Sınırı) \(S = \{ p_1, \dots, p_m \} \subseteq \mathbb{R}^n\) boş olmayan sonlu bir küme olsun. \(S'\), \(\overline{S}\), \(S^\circ\) ve \(\partial S\) kümelerini bulunuz.
Çözüm
Yığılma noktası yoktur. Alıştırma 3.7 gereği bir yığılma noktasının her yuvarında kümenin sonsuz çoklukta noktası bulunur. \(S\) sonlu olduğundan bu olanaksızdır; demek ki \(S' = \varnothing\).
Kapanış. \(\overline{S} = S \cup S' = S\) olur; Teorem 4.2 (e) gereği bu, sonlu kümelerin kapalı olmasının (Sonuç 3.2) bir başka ifadesidir.
İç. \(p_i \in S\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(0 < t < \varepsilon\) için \(p_i + t\,e_1\) noktaları \(B(p_i, \varepsilon)\) içinde birbirinden farklı sonsuz çoklukta noktadır; \(S\) sonlu olduğundan bunların hepsi \(S\)’de olamaz. Öyleyse hiçbir yuvar \(S\)’nin içinde kalmaz ve \(S^\circ = \varnothing\).
Sınır. Sonuç 4.1 gereği \(\partial S = \overline{S} \setminus S^\circ = S\).
Bu örnekte \(S' = \varnothing\) iken \(\partial S = S\)’dir; yığılma noktası ile sınır noktası kavramlarının ne kadar farklı olabileceğini gösterir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 4.5 (Rasyonel Koordinatlı Noktalar) \[\mathbb{Q}^n = \{ x \in \mathbb{R}^n : x_1, \dots, x_n \in \mathbb{Q} \}\]
kümesinin sınırını, kapanışını ve içini bulunuz; \(\mathbb{Q}^n\), \(\mathbb{R}^n\)’de yoğun mudur?
Çözüm
\(x \in \mathbb{R}^n\) ve \(\varepsilon > 0\) keyfi olsun; \(\eta = \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{n}}\) yazalım. Her \(j\) için \((x_j - \eta, x_j + \eta)\) aralığında bir \(q_j\) rasyonel sayısı vardır (bkz. Analiz 1). \(q = (q_1, \dots, q_n)\) noktası \(\mathbb{Q}^n\)’dedir ve
\[\|q - x\|^2 = \sum_{j=1}^{n} (q_j - x_j)^2 < n\,\eta^2 = \varepsilon^2\]
olduğundan \(q \in B(x, \varepsilon)\). Ayrıca \((x_1 - \eta, x_1 + \eta)\) aralığında bir \(r_1\) irrasyonel sayısı vardır (bkz. Analiz 1). \(z = (r_1, q_2, \dots, q_n)\) noktasının birinci koordinatı irrasyonel olduğundan \(z \notin \mathbb{Q}^n\) ve aynı hesapla \(\|z - x\| < \varepsilon\).
Demek ki \(x\) merkezli her yuvar hem \(\mathbb{Q}^n\) ile hem tümleyeniyle kesişir; \(x \in \partial \mathbb{Q}^n\). \(x\) keyfi olduğundan \(\partial \mathbb{Q}^n = \mathbb{R}^n\). Buradan
\[ \begin{aligned} \overline{\mathbb{Q}^n} &= \mathbb{Q}^n \cup \mathbb{R}^n = \mathbb{R}^n, \\[1mm] \big( \mathbb{Q}^n \big)^\circ &= \mathbb{Q}^n \setminus \mathbb{R}^n = \varnothing \end{aligned} \]
bulunur. Kapanış bütün uzay olduğundan \(\mathbb{Q}^n\), \(\mathbb{R}^n\)’de yoğundur. \(n = 1\) için bu, Örnek 4.2 ve Örnek 4.4 sonuçlarıdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 4.6 (Yığılma Noktası ile Sınır Noktasının Farkı) \(\mathbb{R}^2\)’de \(c = (3, 0)\) ve \(S = B(0, 1) \cup \{ c \}\) olsun. \(S'\) ve \(\partial S\) kümelerini bulunuz ve karşılaştırınız.
Çözüm
Yığılma noktaları. \(\|p\| \le 1\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(p = 0\) ise \(0 < s < \min\{ \varepsilon, 1 \}\) için \((s, 0)\) noktası \(B(0, 1)\)’dedir, \(p\)’den farklıdır ve \(p\)’ye \(s < \varepsilon\) uzaklıktadır. \(p \ne 0\) ise \(0 < \delta < \min\{ \varepsilon, 1 \}\) için \(q = (1 - \delta)\,p\) noktasında \(\|q\| = (1 - \delta)\|p\| < 1\) olur; \(q \in S\), \(q \ne p\) ve \(\|q - p\| = \delta \|p\| < \varepsilon\). Demek ki \(B[0, 1] \subseteq S'\).
\(\|p\| > 1\) olsun. \(p \ne c\) ise \(\varepsilon = \min\{ \|p\| - 1, \ \|p - c\| \}\), \(p = c\) ise \(\varepsilon = 2\) alalım. Ters üçgen eşitsizliği gereği yuvarın her \(q\) noktası için \(\|q\| > \|p\| - \varepsilon \ge 1\) olur, yani yuvar \(B(0, 1)\) ile kesişmez. \(p \ne c\) ise \(\|c - p\| \ge \varepsilon\) olduğundan \(c\) yuvarın dışındadır; \(p = c\) ise \(c\) delikli yuvardan çıkarılmıştır. Her iki durumda \(\big( B(p, \varepsilon) \setminus \{p\} \big) \cap S = \varnothing\) ve \(p \notin S'\). Sonuç: \(S' = B[0, 1]\).
Sınır noktaları. \(\|p\| < 1\) ise \(B(p, 1 - \|p\|) \subseteq B(0, 1) \subseteq S\) olduğundan \(p\) sınırda değildir. \(\|p\| = 1\) ise Önerme 4.1 gereği her yuvar \(B(0, 1) \subseteq S\) ile kesişir; ayrıca \(0 < \delta < \min\{ \varepsilon, 1 \}\) için \((1 + \delta)\,p\) noktasının normu \(1\) ile \(2\) arasındadır, bu nokta ne \(B(0, 1)\)’dedir ne de \(c\)’ye eşittir, yani \(S^c\)’dedir ve \(p\)’ye \(\delta < \varepsilon\) uzaklıktadır. Böylece \(p \in \partial S\). \(p = c\) ise her yuvar \(c \in S\) noktasını ve \((3 + \delta, 0) \notin S\) noktalarını (\(0 < \delta < \varepsilon\)) içerir; \(c \in \partial S\). Son olarak \(\|p\| > 1\) ve \(p \ne c\) ise yukarıdaki \(\varepsilon\) için \(B(p, \varepsilon) \cap S = \varnothing\) olduğundan \(p\) sınırda değildir. Sonuç: \(\partial S = S(0, 1) \cup \{ c \}\).
Karşılaştırma. Açık yuvarın bütün noktaları, örneğin merkez \(0\), yığılma noktasıdır ama sınır noktası değildir. \(c\) ise sınır noktasıdır ama yığılma noktası değildir; çevresinde \(S\)’nin başka hiçbir noktası yoktur. Buna karşın iki birleşim aynıdır:
\[S \cup S' = S \cup \partial S = B[0, 1] \cup \{ c \} = \overline{S},\]
Teorem 4.2 (d) ile uyumlu olarak. \(S\)’nin dışındaki noktalarda iki kavram çakışır: \(S' \setminus S = \partial S \setminus S = S(0, 1)\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 4.7 (Sınır Kapalı Bir Kümedir) \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. \(\partial S = \overline{S} \cap \overline{S^c}\) olduğunu gösteriniz ve buradan \(\partial S\)’nin kapalı olduğunu çıkarınız.
Çözüm
Lemma 4.1 sonucunu hem \(S\) kümesine hem \(S^c\) kümesine uygulayalım:
\[ \begin{aligned} x \in \overline{S} &\iff \forall \varepsilon > 0 : \ B(x, \varepsilon) \cap S \ne \varnothing, \\[1mm] x \in \overline{S^c} &\iff \forall \varepsilon > 0 : \ B(x, \varepsilon) \cap S^c \ne \varnothing. \end{aligned} \]
\(x \in \partial S\) olması tanım gereği bu iki koşulun birlikte sağlanmasıdır; öyleyse \(\partial S = \overline{S} \cap \overline{S^c}\).
Teorem 4.2 (a) gereği \(\overline{S}\) ve \(\overline{S^c}\) kapalıdır. Kapalı kümelerin kesişimi kapalı olduğundan (Teorem 3.4) \(\partial S\) kapalıdır. Örneğin \(\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}\) ve \(\partial B(x_0, r) = S(x_0, r)\) kapalı kümelerdir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 4.8 (Birleşimin Kapanışı) \(A, C \subseteq \mathbb{R}^n\) olsun. \(\overline{A \cup C} = \overline{A} \cup \overline{C}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
(\(\supseteq\)) \(A \subseteq A \cup C\) olduğundan Örnek 4.9 gereği \(\overline{A} \subseteq \overline{A \cup C}\); aynı biçimde \(\overline{C} \subseteq \overline{A \cup C}\). Öyleyse \(\overline{A} \cup \overline{C} \subseteq \overline{A \cup C}\).
(\(\subseteq\)) \(\overline{A}\) ve \(\overline{C}\) kapalıdır (Teorem 4.2 (a)); iki kapalı kümenin birleşimi kapalı olduğundan (Teorem 3.4) \(\overline{A} \cup \overline{C}\) kapalıdır. Bu küme \(A \cup C\)’yi içerir. Teorem 4.2 (b) gereği \(A \cup C\)’yi içeren en küçük kapalı küme onun içindedir: \(\overline{A \cup C} \subseteq \overline{A} \cup \overline{C}\).
Kesişim için yalnız bir yön doğrudur. \(A \cap C \subseteq A\) ve \(A \cap C \subseteq C\) olduğundan \(\overline{A \cap C} \subseteq \overline{A} \cap \overline{C}\) olur, ama eşitlik bozulabilir: \(\mathbb{R}\)’de \(A = \mathbb{Q}\) ve \(C = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) için \(\overline{A \cap C} = \overline{\varnothing} = \varnothing\) iken \(\overline{A} \cap \overline{C} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}\)’dir. \(\blacksquare\)
Sınır, kapanış ve iç, bir kümenin kenarını kesin bir dille konuşmamızı sağladı ve açıklığı ile kapalılığı birer sınır koşuluna çevirdi. Kapalı kümeler arasında sınırlı olanların neden ayrı bir yeri olduğu, açık örtüler ve kompaktlık kavramıyla birlikte bir sonraki bölümün, Kompakt ve Bağlantılı Kümeler bölümünün konusudur.