1  ℝⁿ Uzayı, İç Çarpım ve Norm

Analiz 1 ve 2’de incelediğimiz fonksiyonlar tek bir reel değişkene bağlıydı. Oysa pek çok nicelik birden çok değişkene bağlıdır: bir levhanın \((x, y)\) noktasındaki sıcaklığı, bir cismin \((x, y, z)\) noktasındaki yoğunluğu ya da \(n\) tane girdiye bağlı bir maliyet. Bu kitapta tanım kümesi \(\mathbb{R}^n\)’nin bir alt kümesi olan fonksiyonları inceleyeceğiz.

Tek değişkenli analizin temel kavramlarının hepsi, yani limit, süreklilik ve türev, iki sayı arasındaki \(|x - y|\) uzaklığına dayanıyordu: “\(x\), \(a\)’ya yakındır” demek “\(|x - a|\) küçüktür” demekti. Çok değişkenli analize geçerken ilk işimiz bu ölçünün \(\mathbb{R}^n\)’deki karşılığını kurmaktır. Bunun için önce \(\mathbb{R}^n\)’nin elemanlarını toplamayı ve bir sayıyla çarpmayı, sonra iki vektörden bir sayı üreten iç çarpımı ve bir vektörün uzunluğunu ölçen normu tanımlayacağız.

Bu bölümde şunları göreceğiz: \(\mathbb{R}^n\)’nin vektör uzayı yapısı ve doğal tabanı; iç çarpımın aksiyomları ve standart iç çarpım; Öklid normu ve Cauchy–Schwarz eşitsizliği; iki vektör arasındaki açı ve diklik; normun özellikleri ve üçgen eşitsizliği; 1-normu, maksimum normu ve \(p\)-normu; normların denkliği; son olarak bir normun ne zaman bir iç çarpımdan gelebileceğini söyleyen paralelkenar özdeşliği.

1.1 ℝⁿ Kümesi

Başlangıç noktamız, \(n\) tane reel sayının sıralı bir listesidir.

Tanım 1.1 (ℝⁿ Uzayı) \(n \in \mathbb{N}\) olsun.

\[ \begin{aligned} \mathbb{R}^n &= \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) : x_i \in \mathbb{R},\ i = 1, 2, \dots, n \} \\[1mm] &= \underbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}}_{n \text{ tane}} \end{aligned} \]

kümesine \(n\) boyutlu \(\mathbb{R}^n\) uzayı denir; \(n\) sayısı uzayın boyutudur. \(x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) elemanlarına nokta, vektör ya da sıralı \(n\)’li, \(x_1, x_2, \dots, x_n\) reel sayılarına \(x\)’in koordinatları ya da bileşenleri denir. Bütün bileşenleri \(0\) olan \((0, 0, \dots, 0)\) elemanına \(\mathbb{R}^n\)’nin sıfır vektörü ya da orijini denir ve kısaca \(0\) ile gösterilir.

Yani \(\mathbb{R}^n\)’nin bir elemanı, \(n\) tane reel sayının belli bir sırayla yazılmış listesidir ve bu sıra önemlidir: bileşenlerin yeri değişirse genellikle başka bir eleman elde edilir. Örneğin \(\mathbb{R}^2\)’de \((3, 1) \ne (1, 3)\) ve \((-1, 1) \ne (1, -1)\), \(\mathbb{R}^3\)’te \((2, 1, -1) \ne (-1, 1, 2)\)’dir. “Nokta” ile “vektör” sözcüklerini aynı anlamda kullanacağız: \(x\)’i uzayda bir yer olarak düşünürken nokta, orijinden o yere çizilen bir ok olarak düşünürken vektör deriz. Noktaları kalın harfle yazmıyoruz; sıfır vektörünü de reel sayı \(0\) ile aynı simgeyle gösteriyoruz, hangisinin kastedildiği bağlamdan anlaşılır.

Küçük boyutlar tanıdıktır. \(n = 1\) için \(\mathbb{R}^1 = \mathbb{R}\) reel sayılar kümesidir ve elemanlarına skaler denir. \(n = 2\) için \(\mathbb{R}^2\), \((x_1, x_2)\) sıralı ikililerinden oluşur ve geometrik olarak düzlemi betimler. \(n = 3\) için \(\mathbb{R}^3\), \((x_1, x_2, x_3)\) sıralı üçlülerinden oluşur ve içinde yaşadığımız üç boyutlu uzayı betimler. İki ve üç değişkende bileşenleri çoğunlukla \((x, y)\) ve \((x, y, z)\) diye yazacağız. \(n \ge 4\) için çizim yapamayız, ama hesaplar aynen sürer; bu bölümdeki işlemlerin hepsi bileşen bileşen yapılan reel sayı işlemleridir.

Tanım 1.2 (İki Vektörün Eşitliği) \(x = (x_1, \dots, x_n)\) ve \(y = (y_1, \dots, y_n)\), \(\mathbb{R}^n\)’nin iki elemanı olsun. Her \(i = 1, 2, \dots, n\) için \(x_i = y_i\) ise \(x\) ile \(y\) eşittir denir ve \(x = y\) yazılır.

Yani iki vektörün eşit olması, \(n\) tane sayı eşitliğinin aynı anda sağlanması demektir:

\[x = y \iff x_1 = y_1,\ x_2 = y_2,\ \dots,\ x_n = y_n.\]

Tek bir vektör denklemi, \(n\) tane sayı denklemine denktir. Bu gözlemi bölüm boyunca sık sık kullanacağız.

1.2 Toplama ve Skalerle Çarpma

\(\mathbb{R}\)’de sayıları toplayıp çarpabiliyoruz; \(\mathbb{R}^n\)’de bu işlemleri bileşen bileşen tanımlarız.

Tanım 1.3 (Toplama ve Skalerle Çarpma) \(x = (x_1, \dots, x_n)\) ve \(y = (y_1, \dots, y_n)\), \(\mathbb{R}^n\)’nin iki elemanı ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) olsun. \(+ : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) toplama işlemi ve \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) skalerle çarpma işlemi

\[ \begin{aligned} x + y &= (x_1 + y_1,\ x_2 + y_2,\ \dots,\ x_n + y_n), \\[1mm] \lambda x &= (\lambda x_1,\ \lambda x_2,\ \dots,\ \lambda x_n) \end{aligned} \]

ile tanımlanır. Ayrıca \(-x = (-1)x\) ve \(x - y = x + (-y)\) yazılır.

Yani iki vektörü toplamak için karşılıklı bileşenler toplanır; bir vektörü \(\lambda\) sayısıyla çarpmak için her bileşen \(\lambda\) ile çarpılır. Sonuç yine \(\mathbb{R}^n\)’nin bir elemanıdır. Her iki işlem de bileşenlerde \(\mathbb{R}\)’nin bilinen işlemleri olduğundan, \(\mathbb{R}\)’deki hesap kurallarını her bileşene ayrı ayrı uygulayabiliriz. Farklı boyuttaki vektörler ise toplanamaz: \((1, 2) + (1, 2, 3)\) yazımı anlamsızdır. Hesap her boyutta aynıdır; örneğin \(\mathbb{R}^3\)’te \(x = (1, -2, 3)\) ve \(y = (0, 4, -1)\) için

\[3x - 2y = (3, -6, 9) - (0, 8, -2) = (3, -14, 11)\]

olur.

Örnek 1.1 (Düzlemde Toplama ve Çıkarma) \(\mathbb{R}^2\)’de \(a = (3, 1)\) ve \(b = (1, 2)\) için \(a + b\), \(a - b\) ve \(2a - 3b\) vektörlerini hesaplayınız.

Çözüm

Bileşen bileşen hesaplayalım:

\[ \begin{aligned} a + b &= (3 + 1,\ 1 + 2) = (4, 3), \\[1mm] a - b &= (3 - 1,\ 1 - 2) = (2, -1), \\[1mm] 2a - 3b &= (6, 2) - (3, 6) = (3, -4). \end{aligned} \]

Bu işlemlerin geometrik anlamı da vardır. \(a + b\), kenarları \(a\) ve \(b\) olan paralelkenarın orijinden çıkan köşegenidir: \(a\)’nın ucundan başlayıp \(b\) kadar ilerlersek \(a + b\)’nin ucuna varırız (paralelkenar kuralı). \(b + (a - b) = a\) olduğundan \(a - b\) de \(b\)’nin ucundan \(a\)’nın ucuna giden okun orijine taşınmış hâlidir; bu ok paralelkenarın öbür köşegenidir.

a = (3, 1) ve b = (1, 2) için a + b = (4, 3), kenarları a ile b olan paralelkenarın orijinden çıkan köşegenidir. b'nin ucundan a'nın ucuna giden kesikli ok öbür köşegendir; orijine taşındığında a − b = (2, −1) vektörü olur.

\(\blacksquare\)

İki işlemin uyduğu kurallar, \(\mathbb{R}\)’deki toplama ve çarpmanın kurallarından doğrudan gelir.

Önerme 1.1 (ℝⁿ’nin Vektör Uzayı Özellikleri) Her \(x, y, z \in \mathbb{R}^n\) ve her \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) için aşağıdakiler geçerlidir.

1. \(x + y = y + x\) (değişme).
2. \((x + y) + z = x + (y + z)\) (birleşme).
3. \(0 + x = x\) (toplamanın birim elemanı).
4. \(x + (-x) = 0\) (toplamaya göre ters eleman).
5. \(\lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x\).
6. \(\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y\).
7. \((\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x\).
8. \(1x = x\).

Ayrıca \(0x = 0\)’dır (soldaki \(0\) reel sayı, sağdaki sıfır vektörüdür).

İspat

Her özellik, iki yanın bileşenlerinin eşit olduğunu göstererek kanıtlanır (Tanım 1.2); bileşenlerde ise yalnız \(\mathbb{R}\)’nin cisim aksiyomları kullanılır (bkz. Analiz 1). \(i\) keyfi bir indis olsun (\(1 \le i \le n\)).

(1) \(x + y\)’nin \(i\). bileşeni \(x_i + y_i\), \(y + x\)’in \(i\). bileşeni \(y_i + x_i\)’dir; \(\mathbb{R}\)’de toplama değişmeli olduğundan bunlar eşittir.

(2) İki yanın \(i\). bileşenleri \((x_i + y_i) + z_i\) ve \(x_i + (y_i + z_i)\)’dir; \(\mathbb{R}\)’de toplama birleşmeli olduğundan eşittir.

(3) \(0 + x\)’in \(i\). bileşeni \(0 + x_i = x_i\)’dir.

(4) \(-x = (-x_1, \dots, -x_n)\) olduğundan \(x + (-x)\)’in \(i\). bileşeni \(x_i + (-x_i) = 0\)’dır; yani \(x + (-x)\) sıfır vektörüdür.

(5) İki yanın \(i\). bileşenleri \(\lambda(\mu x_i)\) ve \((\lambda\mu)x_i\)’dir; \(\mathbb{R}\)’de çarpma birleşmeli olduğundan eşittir.

(6) İki yanın \(i\). bileşenleri \(\lambda(x_i + y_i)\) ve \(\lambda x_i + \lambda y_i\)’dir; \(\mathbb{R}\)’deki dağılma özelliği gereği eşittir.

(7) İki yanın \(i\). bileşenleri \((\lambda + \mu)x_i\) ve \(\lambda x_i + \mu x_i\)’dir; yine dağılma özelliği gereği eşittir.

(8) \(1x\)’in \(i\). bileşeni \(1 \cdot x_i = x_i\)’dir.

Son olarak \(0x\)’in \(i\). bileşeni \(0 \cdot x_i = 0\)’dır; öyleyse \(0x\) sıfır vektörüdür. \(\blacksquare\)

Lineer cebirden bildiğimiz gibi bu sekiz özelliği sağlayan yapıya vektör uzayı denir. Böylece \(\mathbb{R}^n\), toplama ve skalerle çarpma işlemleriyle birlikte \(\mathbb{R}\) üzerinde bir vektör uzayıdır; lineer bağımsızlık, taban ve boyut gibi kavramların hepsi \(\mathbb{R}^n\)’de anlamlıdır.

Tanım 1.4 (Doğal Taban) \(i = 1, 2, \dots, n\) için \(i\). bileşeni \(1\), öbür bileşenleri \(0\) olan vektör \(e_i\) ile gösterilir:

\[ \begin{aligned} e_1 &= (1, 0, 0, \dots, 0), \\[1mm] e_2 &= (0, 1, 0, \dots, 0), \\[1mm] &\ \ \vdots \\[1mm] e_n &= (0, 0, \dots, 0, 1). \end{aligned} \]

\(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) kümesine \(\mathbb{R}^n\)’nin doğal tabanı (standart tabanı) denir.

Yani doğal taban, koordinat eksenleri doğrultusundaki “birim adımlardan” oluşur. Her \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) için

\[x = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dots + x_n e_n\]

olur, çünkü sağ yandaki toplamın \(i\). bileşenine yalnız \(x_i e_i\) terimi katkı verir ve bu katkı \(x_i\)’dir. Bu yazılış tektir: \(x = c_1 e_1 + \dots + c_n e_n\) ise sağ yan \((c_1, \dots, c_n)\) vektörüdür ve Tanım 1.2 gereği her \(i\) için \(c_i = x_i\) olur. \(x = 0\) alındığında teklik, \(c_1 e_1 + \dots + c_n e_n = 0\) ise bütün \(c_i\)’lerin \(0\) olduğunu söyler; yani \(e_1, \dots, e_n\) lineer bağımsızdır ve \(\mathbb{R}^n\)’yi gerer. Demek ki doğal taban gerçekten bir tabandır ve \(\mathbb{R}^n\)’nin boyutu \(n\)’dir.

Örneğin \(\mathbb{R}^2\)’de \(e_1 = (1, 0)\), \(e_2 = (0, 1)\) ve \((3, 1) = 3e_1 + e_2\)’dir. \(\mathbb{R}^3\)’te \(e_1 = (1, 0, 0)\), \(e_2 = (0, 1, 0)\), \(e_3 = (0, 0, 1)\) ve

\[(1, 2, 3) = (1, 0, 0) + (0, 2, 0) + (0, 0, 3) = e_1 + 2e_2 + 3e_3\]

olur.

1.3 İç Çarpım

Toplama ve skalerle çarpma, uzunluk ya da açı hakkında hiçbir şey söylemez. Bu geometrik bilgiyi, iki vektörden bir reel sayı üreten bir işlem taşır.

Tanım 1.5 (İç Çarpım) \(\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon olsun. Her \(x, y, z \in \mathbb{R}^n\) ve her \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) için

\[ \begin{aligned} &\text{(İ1)} \quad \langle x, x \rangle \ge 0, \\[1mm] &\text{(İ2)} \quad \langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0, \\[1mm] &\text{(İ3)} \quad \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle, \\[1mm] &\text{(İ4)} \quad \langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle \end{aligned} \]

koşulları sağlanıyorsa \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)’ye \(\mathbb{R}^n\) üzerinde bir iç çarpım (inner product), \((\mathbb{R}^n, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) ikilisine bir iç çarpım uzayı denir. (İ1)’e pozitiflik, (İ3)’e simetri, (İ4)’e ilk bileşende lineerlik denir.

Yani iç çarpım, iki vektöre bir sayı karşılık getiren ve dört makul kurala uyan bir fonksiyondur: bir vektörün kendisiyle iç çarpımı negatif olamaz ve yalnız sıfır vektörü için sıfırdır, vektörlerin sırası önemli değildir ve ilk bileşende toplamaya ve skalerle çarpmaya uyulur. (İ3) ile (İ4) birlikte ikinci bileşende de lineerliği verir:

\[ \begin{aligned} \langle x, \alpha y + \beta z \rangle &= \langle \alpha y + \beta z, x \rangle = \alpha \langle y, x \rangle + \beta \langle z, x \rangle \\[1mm] &= \alpha \langle x, y \rangle + \beta \langle x, z \rangle. \end{aligned} \]

(İ4)’te \(\alpha = 0\) ve \(\beta = 0\) alınırsa \(\langle 0, z \rangle = 0\) bulunur; simetriyle \(\langle z, 0 \rangle = 0\) olur.

Tanım 1.6 (Standart İç Çarpım) \(x = (x_1, \dots, x_n)\) ve \(y = (y_1, \dots, y_n)\) için

\[\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^{n} x_k y_k = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n\]

ile tanımlanan \(\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna \(\mathbb{R}^n\)’nin standart iç çarpımı denir. Sonuç bir skaler olduğundan buna skaler çarpım da denir ve \(x \cdot y\) biçiminde de yazılır.

Yani karşılıklı bileşenler çarpılıp toplanır. Örneğin \(\mathbb{R}^3\)’te

\[ \begin{aligned} \langle (3, 1, 1), (1, 2, 5) \rangle &= 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 5 = 10, \\[1mm] \langle (1, 3, 2), (0, 1, 4) \rangle &= 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 11 \end{aligned} \]

olur. Bundan sonra aksi söylenmedikçe \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) hep standart iç çarpımı gösterecektir. Önce onun gerçekten bir iç çarpım olduğunu gösterelim.

Önerme 1.2 (Standart İç Çarpımın Özellikleri) Standart iç çarpım \(\mathbb{R}^n\) üzerinde bir iç çarpımdır; yani her \(x, y, z \in \mathbb{R}^n\) ve her \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) için (İ1)–(İ4) koşulları sağlanır. Özel olarak her \(x, y, z \in \mathbb{R}^n\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) için

\[ \begin{aligned} \langle x, y + z \rangle &= \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle, \\[1mm] \langle \lambda x, y \rangle &= \lambda \langle x, y \rangle = \langle x, \lambda y \rangle \end{aligned} \]

olur.

İspat

Önce tanımın anlamlı olduğunu görelim: \(x_k, y_k \in \mathbb{R}\) olduğundan her \(x_k y_k\) bir reel sayıdır ve sonlu sayıda reel sayının toplamı olan \(\langle x, y \rangle\) de bir reel sayıdır. Her \((x, y)\) ikilisine tek bir sayı karşılık geldiğinden \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) bir fonksiyondur. Şimdi dört koşulu denetleyelim.

(İ1) \(\langle x, x \rangle = \sum_{k=1}^{n} x_k^2\)’dir. Her \(x_k^2 \ge 0\) olduğundan toplam da negatif değildir.

(İ2) \(x = 0\) ise her bileşen \(0\) olduğundan \(\langle x, x \rangle = 0\)’dır. Tersine \(x_1^2 + \dots + x_n^2 = 0\) olsun. Negatif olmayan sayıların toplamı \(0\) ise her biri \(0\)’dır: bir \(x_j^2\) pozitif olsaydı toplam en az \(x_j^2 > 0\) olurdu. Öyleyse her \(k\) için \(x_k^2 = 0\), yani \(x_k = 0\) ve \(x = 0\)’dır.

(İ3) \(\mathbb{R}\)’de çarpma değişmeli olduğundan

\[\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^{n} x_k y_k = \sum_{k=1}^{n} y_k x_k = \langle y, x \rangle.\]

(İ4) \(\alpha x + \beta y\)’nin \(k\). bileşeni \(\alpha x_k + \beta y_k\)’dir. Dağılma özelliği ve sonlu toplamların lineerliğiyle

\[ \begin{aligned} \langle \alpha x + \beta y, z \rangle &= \sum_{k=1}^{n} (\alpha x_k + \beta y_k) z_k \\[1mm] &= \alpha \sum_{k=1}^{n} x_k z_k + \beta \sum_{k=1}^{n} y_k z_k \\[1mm] &= \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle. \end{aligned} \]

“Özel olarak” diye verilen eşitlikler de buradan çıkar. İç çarpım tanımından sonra, (İ3) ile (İ4)’ün ikinci bileşende de lineerlik verdiğini her iç çarpım için göstermiştik. Bu lineerlikte \(\alpha = 1\), \(\beta = 1\) alınırsa \(\langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle\); \(\alpha = \lambda\), \(\beta = 0\) alınırsa \(\langle x, \lambda y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle\) bulunur. \(\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle\) eşitliği ise (İ4)’te \(\alpha = \lambda\), \(\beta = 0\) alınarak elde edilir. \(\blacksquare\)

Standart iç çarpımıyla birlikte düşünülen \(\mathbb{R}^n\)’ye \(n\) boyutlu Öklid uzayı ya da kısaca Öklid uzayı denir. Standart iç çarpım \(\mathbb{R}^n\) üzerindeki tek iç çarpım değildir; alıştırmalarda başka bir iç çarpım göreceğiz (Alıştırma 1.6). Öte yandan iç çarpıma benzeyen her formül bir iç çarpım olmaz. Bir fonksiyonun iç çarpım olup olmadığını denetlemek bu bölümde birkaç kez yapacağımız bir iştir.

İpucuDört adımda iç çarpım denetimi

1. Fonksiyon mu? Formülün her \((x, y)\) ikilisine tek bir reel sayı karşılık getirdiği denetlenir.
2. Pozitiflik ve belirlilik. (İ1) ve (İ2) tanımdan denetlenir; çoğu zaman “negatif olmayan sayıların toplamı ya da en büyüğü \(0\) ise her biri \(0\)’dır” gözlemi yeter.
3. Simetri ve lineerlik. (İ3) ve (İ4) bileşen bileşen hesapla denetlenir.
4. Karar. Dört koşul da sağlanıyorsa fonksiyon bir iç çarpımdır. Bir koşul bozuluyorsa bunu somut vektörler ve sayılarla gösteren bir karşı örnek verilir.

Örnek 1.2 (İç Çarpım Olmayan Bir Fonksiyon) \(\varphi : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) fonksiyonu

\[\varphi(x, y) = \max\{ |x_k y_k| : 1 \le k \le n \}\]

ile tanımlansın. \(\varphi\), \(\mathbb{R}^n\) üzerinde bir iç çarpım mıdır?

Çözüm

Fonksiyon mu? Her \(|x_k y_k|\) bir reel sayıdır ve \(n\) elemanlı sonlu bir kümenin en büyük elemanı vardır. Her \((x, y)\) ikilisine tek bir sayı karşılık gelir; \(\varphi\) bir fonksiyondur.

(İ1) \(|x_k x_k| = x_k^2\) olduğundan \(\varphi(x, x) = \max\{ x_k^2 : 1 \le k \le n \}\)’dir. Negatif olmayan sayıların en büyüğü negatif olamaz; \(\varphi(x, x) \ge 0\).

(İ2) \(x = 0\) ise her \(x_k^2 = 0\) ve \(\varphi(x, x) = 0\)’dır. Tersine \(\varphi(x, x) = 0\) ise her \(k\) için \(0 \le x_k^2 \le \varphi(x, x) = 0\) olur; buradan \(x_k = 0\) ve \(x = 0\) çıkar.

(İ3) \(|x_k y_k| = |y_k x_k|\) olduğundan iki küme aynıdır ve \(\varphi(x, y) = \varphi(y, x)\)’tir.

(İ4) Bu koşul sağlanmaz. \(\varphi\) hiç negatif değer almaz; oysa lineerlik, vektör \(-1\) ile çarpılınca değerin işaret değiştirmesini gerektirir. Somut olarak \(x = e_1\), \(z = e_1\), \(\alpha = -1\), \(\beta = 0\) alalım (\(y\) keyfi):

\[ \begin{aligned} \varphi(-e_1, e_1) &= \max\{ |(-1) \cdot 1|, 0, \dots, 0 \} = 1, \\[1mm] -\varphi(e_1, e_1) &= -1. \end{aligned} \]

\(1 \ne -1\) olduğundan (İ4) bozulur. \(n \ge 2\) ise toplamaya uyum da bozulur; yani skalerler pozitifken bile sorun vardır. \(x = e_1\), \(y = e_2\) ve \(z = e_1 + e_2\) alalım. \(x + y = (1, 1, 0, \dots, 0)\) ve \(z = (1, 1, 0, \dots, 0)\) olduğundan (\(\alpha = 1\), \(\beta = 1\))

\[ \begin{aligned} \varphi(x + y, z) &= \max\{1, 1, 0, \dots, 0\} = 1, \\[1mm] \varphi(x, z) + \varphi(y, z) &= 1 + 1 = 2 \end{aligned} \]

bulunur. Aynı vektörlerle \(\alpha = -1\), \(\beta = 2\) alınırsa \(\alpha x + \beta y = (-1, 2, 0, \dots, 0)\) olur; sol yan \(\max\{1, 2\} = 2\), sağ yan \(-1 + 2 = 1\) çıkar. Doğru olan yalnız bir eşitsizliktir: her \(k\) için üçgen eşitsizliği gereği

\[|(\alpha x_k + \beta y_k) z_k| \le |\alpha| \, |x_k z_k| + |\beta| \, |y_k z_k| \le |\alpha| \varphi(x, z) + |\beta| \varphi(y, z)\]

olur ve sağ yan \(k\)’ye bağlı olmadığından

\[\varphi(\alpha x + \beta y, z) \le |\alpha| \varphi(x, z) + |\beta| \varphi(y, z)\]

elde edilir. Bu eşitsizlik (İ4)’ün istediği eşitliğin yerini tutmaz.

Sonuç olarak \(\varphi\) (İ1)–(İ3) koşullarını sağlar ama (İ4)’ü sağlamaz; bir iç çarpım değildir. \(\blacksquare\)

1.4 Öklid Normu

Bir vektörün kendisiyle iç çarpımı negatif olmadığından karekökü alınabilir; bu karekök vektörün uzunluğudur.

Tanım 1.7 (Öklid Normu) \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) için

\[\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} = \left( \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \right)^{1/2}\]

sayısına \(x\)’in Öklid normu (uzunluğu) denir. Böylece \(x \mapsto \|x\|\) kuralıyla bir \(\|\cdot\| : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) fonksiyonu tanımlanmış olur.

Yani \(\|x\|\) negatif olmayan bir reel sayıdır ve karesi \(\|x\|^2 = x_1^2 + \dots + x_n^2\)’dir. Geometrik olarak \(\|x\|\), \(x\) noktasının orijine uzaklığıdır. \(n = 1\) için \(\|x\| = \sqrt{x^2}\) ifadesi \(|x|\)’e eşittir; Öklid normu mutlak değerin \(\mathbb{R}^n\)’deki karşılığıdır. \(n = 2\) ve \(n = 3\) için \(\|x\|\), Pisagor teoremiyle bulunan vektör uzunluğudur (boyudur). Örneğin

\[ \begin{aligned} \|(2, 3)\| &= \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}, \\[1mm] \|(1, 5)\| &= \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}, \\[1mm] \|(1, -2, 2)\| &= \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \end{aligned} \]

olur. İç çarpımla norm arasındaki ilk bağıntı, bir toplamın normunun karesini açmaktır.

Lemma 1.1 (Toplamın ve Farkın Normunun Karesi) Her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için

\[ \begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2, \\[1mm] \|x - y\|^2 &= \|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \end{aligned} \]

olur.

İspat

(İ4), ikinci bileşendeki lineerlik ve (İ3) ile

\[ \begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x + y \rangle + \langle y, x + y \rangle \\[1mm] &= \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle \\[1mm] &= \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2. \end{aligned} \]

İkinci eşitlik, birincide \(y\) yerine \(-y\) yazılarak elde edilir, çünkü \(\langle x, -y \rangle = -\langle x, y \rangle\) ve \(\langle -y, -y \rangle = \langle y, y \rangle\)’dir. \(\blacksquare\)

İspatta bileşenler hiç kullanılmadı; yalnız (İ3), (İ4) ve bunlardan çıkan ikinci bileşendeki lineerlik kullanıldı. Bu yüzden aynı iki eşitlik, \(\mathbb{R}^n\) üzerindeki herhangi bir iç çarpım için, \(\|x\|\) yerine \(\sqrt{\langle x, x \rangle}\) yazılarak da geçerlidir. Bu gözlem bölümün sonunda işe yarayacak.

1.5 Cauchy–Schwarz Eşitsizliği

İç çarpım ile norm arasındaki en önemli bağıntı, iç çarpımın mutlak değerinin normların çarpımını aşamayacağını söyler.

Teorem 1.1 (Cauchy–Schwarz Eşitsizliği) Her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için

\[|\langle x, y \rangle| \le \sum_{k=1}^{n} |x_k y_k| \le \|x\| \, \|y\|\]

olur. Özel olarak \(|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \, \|y\|\)’dir.

İspat

Birinci eşitsizlik. Sonlu toplamlar için üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1) gereği

\[|\langle x, y \rangle| = \left| \sum_{k=1}^{n} x_k y_k \right| \le \sum_{k=1}^{n} |x_k y_k|.\]

İkinci eşitsizlik, vektörlerden biri sıfırken. \(\|x\| = 0\) ise \(x_1^2 + \dots + x_n^2 = 0\)’dır ve (İ2)’nin ispatındaki gibi her \(x_k = 0\) olur. Bu durumda \(\sum_{k} |x_k y_k| = 0\) olur ve eşitsizlik \(0 \le 0\) biçiminde sağlanır. \(\|y\| = 0\) durumu aynıdır.

İkinci eşitsizlik, \(\|x\| \ne 0\) ve \(\|y\| \ne 0\) iken. Her \(k\) için \(a_k = \dfrac{|x_k|}{\|x\|}\) ve \(b_k = \dfrac{|y_k|}{\|y\|}\) yazalım. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği (bkz. Analiz 1) her \(a, b \in \mathbb{R}\) için \(ab \le \dfrac{a^2 + b^2}{2}\) verir. Bunu her \(k\) için \(a_k\) ve \(b_k\)’ye uygulayıp \(k\) üzerinden toplayalım. \(|x_k|^2 = x_k^2\) olduğundan

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\|x\| \, \|y\|} \sum_{k=1}^{n} |x_k| \, |y_k| &= \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \le \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \big( a_k^2 + b_k^2 \big) \\[1mm] &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\|x\|^2} \sum_{k=1}^{n} x_k^2 + \frac{1}{\|y\|^2} \sum_{k=1}^{n} y_k^2 \right) \\[1mm] &= \frac{1}{2} \left( \frac{\|x\|^2}{\|x\|^2} + \frac{\|y\|^2}{\|y\|^2} \right) = 1 \end{aligned} \]

olur. \(|x_k y_k| = |x_k| \, |y_k|\) olduğundan, iki yanı pozitif \(\|x\| \, \|y\|\) sayısıyla çarparak \(\sum_{k} |x_k y_k| \le \|x\| \, \|y\|\) elde ederiz. \(\blacksquare\)

Koordinatlarla yazıldığında eşitsizlik

\[\left( \sum_{k=1}^{n} x_k y_k \right)^2 \le \left( \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^{n} y_k^2 \right)\]

biçimini alır. Analiz 2’de gördüğümüz integraller için Cauchy–Schwarz eşitsizliği (bkz. Analiz 2), toplamların yerine integraller konmuş karşılığıdır. Eşitliğin ne zaman sağlandığını bir alıştırmada göreceğiz (Alıştırma 1.3).

Örnek 1.3 (Cauchy–Schwarz Eşitsizliğinin Üç Niceliği) \(x = (1, 2, 3)\) ve \(y = (4, -5, 6)\) için Teorem 1.1 içindeki \(|\langle x, y \rangle|\), \(\sum_{k} |x_k y_k|\) ve \(\|x\| \, \|y\|\) sayılarını hesaplayıp karşılaştırınız.

Çözüm

Üç niceliği sırayla hesaplayalım:

\[ \begin{aligned} \langle x, y \rangle &= 4 - 10 + 18 = 12, \\[1mm] \sum_{k=1}^{3} |x_k y_k| &= 4 + 10 + 18 = 32, \\[1mm] \|x\| \, \|y\| &= \sqrt{1 + 4 + 9} \, \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{14 \cdot 77} = 7\sqrt{22}. \end{aligned} \]

\(7\sqrt{22} \approx 32{,}83\) olduğundan \(12 \le 32 \le 32{,}83\) bulunur. Birinci eşitsizlikte çok şey kaybedildi, çünkü \(-10\) terimi öbür terimlerin bir kısmını götürdü. İkinci eşitsizlik ise neredeyse eşitliktir, çünkü \((|x_1|, |x_2|, |x_3|) = (1, 2, 3)\) ile \((|y_1|, |y_2|, |y_3|) = (4, 5, 6)\) neredeyse aynı doğrultudadır. \(\blacksquare\)

1.6 İki Vektör Arasındaki Açı

Cauchy–Schwarz eşitsizliği, düzlemden bildiğimiz açı kavramını her boyuta taşımamızı sağlar.

\(x\) ve \(y\), \(\mathbb{R}^n\)’nin sıfırdan farklı iki vektörü olsun. Teorem 1.1 gereği \(|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \, \|y\|\), yani

\[-1 \le \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \, \|y\|} \le 1\]

olur. Düzlemde bu oranın anlamını kosinüs teoremi verir. Kenarları \(x\), \(y\) ve \(x - y\) olan üçgende \(x\) ile \(y\) arasındaki açı \(\theta\) ise kosinüs teoremi

\[\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\|x\| \, \|y\| \cos\theta\]

eşitliğini verir. Öte yandan Lemma 1.1 gereği

\[\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\langle x, y \rangle\]

olur. İkisini karşılaştırınca

\[\langle x, y \rangle = \|x\| \, \|y\| \cos\theta\]

bulunur. \(n \ge 4\) için açıyı çizemeyiz; bu eşitliği tanım olarak alırız.

Tanım 1.8 (İki Vektör Arasındaki Açı) \(x, y \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}\) olsun.

\[\cos\theta = \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \, \|y\|}\]

eşitliğini sağlayan tek \(\theta \in [0, \pi]\) sayısına \(x\) ile \(y\) arasındaki açı denir; yani \(\theta = \arccos \dfrac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \, \|y\|}\)’dir.

Yani açının kosinüsü, iç çarpımın normların çarpımına oranıdır. Tanım anlamlıdır: oran \([-1, 1]\) aralığındadır ve \(\cos\) fonksiyonu \([0, \pi]\) aralığını \([-1, 1]\) aralığına birebir ve örten götürdüğünden bu aralıkta tek bir \(\theta\) vardır, o da \(\arccos\) değeridir (bkz. Analiz 2). İç çarpımın işareti açının türünü belirler: \(\langle x, y \rangle > 0\) ise \(\theta\) dar açıdır, \(\langle x, y \rangle < 0\) ise geniş açıdır, \(\langle x, y \rangle = 0\) ise \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\)’dir. İç çarpımın “iki vektör arasındaki açıyı ölçtüğü” söylenir.

Örnek 1.4 (Düzlemde İki Vektör Arasındaki Açı) \(\mathbb{R}^2\)’de \(x = (3, 1)\) ile \(y = (1, 2)\) arasındaki açıyı bulunuz.

Çözüm

İç çarpım ve normlar:

\[ \begin{aligned} \langle x, y \rangle &= 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5, \\[1mm] \|x\| &= \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}, \\[1mm] \|y\| &= \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}. \end{aligned} \]

Buradan

\[\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{10} \, \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

olur. \([0, \pi]\) aralığında kosinüsü \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) olan tek sayı \(\dfrac{\pi}{4}\) olduğundan \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\)’tür.

x = (3, 1) ile y = (1, 2) arasındaki açı θ = π/4'tür. Kesikli kenar, kosinüs teoreminin kullandığı üçgenin üçüncü kenarıdır; uzunluğu ‖x − y‖ = √5'tir.

\(\blacksquare\)

Örnek 1.5 (Uzayda İki Vektör Arasındaki Açı) \(\mathbb{R}^3\)’te \(x = (1, 0, 1)\) ile \(y = (0, 1, 1)\) arasındaki açıyı bulunuz.

Çözüm

\(\langle x, y \rangle = 1\), \(\|x\| = \sqrt{2}\) ve \(\|y\| = \sqrt{2}\) olduğundan

\[\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2} \, \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\]

olur. \([0, \pi]\) aralığında kosinüsü \(\dfrac{1}{2}\) olan tek sayı \(\dfrac{\pi}{3}\)’tür; \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).

Sonuç geometrik olarak da görülür: \(x - y = (1, -1, 0)\) ve \(\|x - y\| = \sqrt{2}\) olduğundan orijin, \(x\) ve \(y\) noktalarının oluşturduğu üçgenin üç kenarı da \(\sqrt{2}\) uzunluğundadır. Eşkenar üçgenin her açısı \(\dfrac{\pi}{3}\)’tür. \(\blacksquare\)

Açının \(\dfrac{\pi}{2}\) olduğu durum özel bir ad alır.

Tanım 1.9 (Diklik) \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için \(\langle x, y \rangle = 0\) ise \(x\) ile \(y\) diktir denir ve \(x \perp y\) yazılır.

Yani sıfırdan farklı iki vektör için diklik, aralarındaki açının \(\dfrac{\pi}{2}\) olmasıdır: \(\cos\theta = 0\) ve \(\theta \in [0, \pi]\) olması \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) demektir. \(\langle 0, y \rangle = 0\) olduğundan sıfır vektörü her vektöre diktir. Doğal tabanın vektörleri birbirine diktir: \(i \ne j\) ise \(\langle e_i, e_j \rangle = 0\)’dır. Örneğin \(\mathbb{R}^3\)’te

\[\langle (1, 2, -1), (3, -1, 1) \rangle = 3 - 2 - 1 = 0\]

olduğundan bu iki vektör diktir.

Sonuç 1.1 (Pisagor Teoremi) \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için \(x \perp y\) olması, \(\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2\) olmasına denktir.

İspat

Lemma 1.1 gereği

\[\|x + y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2 = 2\langle x, y \rangle\]

olur. Sol yanın \(0\) olması, \(\langle x, y \rangle = 0\) olmasına denktir. \(\blacksquare\)

1.7 Normun Temel Özellikleri

Mutlak değerin analizde en çok kullandığımız dört özelliği Öklid normunda da aynen geçerlidir.

Teorem 1.2 (Öklid Normunun Özellikleri) Her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) ve her \(\lambda \in \mathbb{R}\) için aşağıdakiler geçerlidir.

1. \(\|x\| \ge 0\).
2. \(\|x\| = 0 \iff x = 0\).
3. \(\|\lambda x\| = |\lambda| \, \|x\|\).
4. \(\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|\) (üçgen eşitsizliği).

İspat

(1) \(\|x\|\), negatif olmayan bir sayının negatif olmayan kareköküdür.

(2) \(\|x\| = 0\) olması \(\langle x, x \rangle = 0\) olmasına denktir; (İ2) gereği bu da \(x = 0\) olmasına denktir.

(3) \(\lambda x = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)\) olduğundan

\[ \begin{aligned} \|\lambda x\| &= \sqrt{\lambda^2 x_1^2 + \dots + \lambda^2 x_n^2} = \sqrt{\lambda^2} \, \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2} \\[1mm] &= |\lambda| \, \|x\|. \end{aligned} \]

(4) Lemma 1.1, \(\langle x, y \rangle \le |\langle x, y \rangle|\) ve Cauchy–Schwarz eşitsizliği (Teorem 1.1) ile

\[ \begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \le \|x\|^2 + 2\,|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2 \\[1mm] &\le \|x\|^2 + 2\|x\| \, \|y\| + \|y\|^2 = \big( \|x\| + \|y\| \big)^2 \end{aligned} \]

olur. İki yan negatif olmayan sayıların kareleridir ve karekök fonksiyonu \([0, \infty)\) üzerinde artandır; öyleyse \(\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|\)’dir. \(\blacksquare\)

Üçgen eşitsizliğinin adı geometrisinden gelir: kenarları \(x\), \(y\) ve \(x + y\) olan üçgende bir kenarın uzunluğu, öbür iki kenarın uzunlukları toplamını aşamaz. Mutlak değerde olduğu gibi üçgen eşitsizliğinden ters yönde bir eşitsizlik de çıkar (bkz. Analiz 1).

Sonuç 1.2 (Ters Üçgen Eşitsizliği) Her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için \(\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|\) olur.

İspat

\(x = (x - y) + y\) yazıp üçgen eşitsizliğini uygulayalım:

\[\|x\| = \|(x - y) + y\| \le \|x - y\| + \|y\|.\]

Buradan

\[\|x\| - \|y\| \le \|x - y\| \tag{1}\]

çıkar. Aynı şeyi \(y = (y - x) + x\) için yapalım. Teorem 1.2 (3) gereği

\[\|y - x\| = \|(-1)(x - y)\| = \|x - y\|\]

olduğundan \(\|y\| \le \|x - y\| + \|x\|\), yani \(\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|\) olur. Bu eşitsizliği \(-1\) ile çarparsak

\[-\|x - y\| \le \|x\| - \|y\| \tag{2}\]

elde ederiz. (1) ve (2) birlikte

\[-\|x - y\| \le \|x\| - \|y\| \le \|x - y\|\]

demektir; mutlak değerin özellikleri (bkz. Analiz 1) gereği bu, \(\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|\) ile aynıdır. \(\blacksquare\)

Yani iki noktanın orijine uzaklıkları arasındaki fark, bu iki noktayı birleştiren vektörün uzunluğunu aşamaz.

Norm yalnız uzunluk taşıdığından, uzunluğu \(1\) olan vektörler doğrultu belirtmek için elverişlidir.

Tanım 1.10 (Birim Vektör) Normu \(1\) olan vektöre birim vektör denir.

Yani birim vektör yalnız bir doğrultu taşır. Sıfırdan farklı her \(x\)’ten, doğrultusunu koruyarak bir birim vektör elde edilir: \(\dfrac{x}{\|x\|}\) vektörü \(x\)’in \(\dfrac{1}{\|x\|}\) ile çarpımıdır ve Teorem 1.2 (3) gereği

\[\left\| \frac{x}{\|x\|} \right\| = \frac{1}{\|x\|} \, \|x\| = 1\]

olur. Örneğin \((3, 4)\)’ün doğrultusundaki birim vektör \(\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)\), \((1, -2, 2)\)’ninki ise \(\left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)\)’dir. Doğal tabanın vektörleri birim vektörlerdir.

1.8 Genel Norm ve Başka Normlar

Öklid normunun kanıtladığımız dört özelliği, bir “uzunluk” kavramından beklediğimiz her şeyi içerir. Bu özellikleri aksiyom olarak alırsak genel norm kavramına ulaşırız.

Tanım 1.11 (Norm) \(N : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon olsun. Her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) ve her \(\lambda \in \mathbb{R}\) için

\[ \begin{aligned} &\text{(N1)} \quad N(x) \ge 0, \\[1mm] &\text{(N2)} \quad N(x) = 0 \iff x = 0, \\[1mm] &\text{(N3)} \quad N(\lambda x) = |\lambda| \, N(x), \\[1mm] &\text{(N4)} \quad N(x + y) \le N(x) + N(y) \end{aligned} \]

koşulları sağlanıyorsa \(N\)’ye \(\mathbb{R}^n\) üzerinde bir norm, \((\mathbb{R}^n, N)\) ikilisine bir normlu uzay denir. (N4)’e üçgen eşitsizliği denir.

Yani norm, her vektöre negatif olmayan bir “uzunluk” atayan, yalnız sıfır vektörüne sıfır uzunluk veren, vektör \(\lambda\) ile çarpılınca uzunluğu \(|\lambda|\) ile çarpılan ve üçgen eşitsizliğine uyan bir fonksiyondur. Teorem 1.2 gereği Öklid normu bir normdur ve \((\mathbb{R}^n, \|\cdot\|)\) bir normlu uzaydır. Ters üçgen eşitsizliğinin ispatında (Sonuç 1.2) yalnız (N3) ve (N4) kullanıldığından, her \(N\) normu için de \(|N(x) - N(y)| \le N(x - y)\) geçerlidir. Normları çoğunlukla \(\|\cdot\|\) simgesine bir alt indis ekleyerek gösteririz. Kısaca söylersek, iç çarpım vektörler arasındaki açıyı, norm ise bir vektörün boyunu ölçer.

\(\mathbb{R}^n\)’de Öklid normu dışında iki standart norm daha vardır.

Tanım 1.12 (Mutlak Değerler Toplamı: 1-Normu) \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) için

\[\|x\|_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k| = |x_1| + |x_2| + \dots + |x_n|\]

sayısına \(x\)’in 1-normu denir.

Yani 1-normu bileşenlerin mutlak değerlerini toplar. Düzlemde \(\|x\|_1\), orijinden \(x\)’e yalnız eksenlere paralel adımlarla (dik kesişen sokaklarda yürür gibi) gidilen en kısa yolun uzunluğudur.

Tanım 1.13 (Maksimum Normu) \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) için

\[\|x\|_\infty = \max\{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_n| \} = \max_{1 \le k \le n} |x_k|\]

sayısına \(x\)’in maksimum normu (supremum normu ya da \(\infty\)-normu) denir.

Yani maksimum normu, bileşenlerin mutlak değerlerinden en büyüğünü seçer. Örneğin \(x = (3, -4, 1)\) için \(\|x\|_1 = 8\), \(\|x\| = \sqrt{26} \approx 5{,}10\) ve \(\|x\|_\infty = 4\)’tür: aynı vektörün üç normu üç farklı sayıdır. Bu iki fonksiyonun da norm olduğunu gösterelim.

Önerme 1.3 (Maksimum Normu ve 1-Normu Birer Normdur) \(\|\cdot\|_1\) ve \(\|\cdot\|_\infty\), \(\mathbb{R}^n\) üzerinde birer normdur.

İspat

\(x, y \in \mathbb{R}^n\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) keyfi olsun. İki fonksiyon da iyi tanımlıdır, çünkü sonlu sayıda reel sayının toplamı ve en büyüğü birer reel sayıdır.

1-normu.

(N1) Her \(|x_k| \ge 0\) olduğundan \(\|x\|_1 \ge 0\)’dır.

(N2) \(x = 0\) ise \(\|x\|_1 = 0\)’dır. Tersine \(\|x\|_1 = 0\) ise negatif olmayan \(|x_k|\) sayılarının toplamı \(0\) olduğundan her \(|x_k| = 0\), yani \(x = 0\)’dır.

(N3) \(|\lambda x_k| = |\lambda| \, |x_k|\) olduğundan

\[\|\lambda x\|_1 = \sum_{k=1}^{n} |\lambda| \, |x_k| = |\lambda| \sum_{k=1}^{n} |x_k| = |\lambda| \, \|x\|_1.\]

(N4) Her \(k\) için üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1) \(|x_k + y_k| \le |x_k| + |y_k|\) verir. Bu \(n\) eşitsizliği toplarsak \(\|x + y\|_1 \le \|x\|_1 + \|y\|_1\) olur.

Maksimum normu.

(N1) \(\|x\|_\infty\), negatif olmayan sayıların en büyüğüdür; negatif olamaz.

(N2) \(x = 0\) ise \(\|x\|_\infty = 0\)’dır. Tersine \(\|x\|_\infty = 0\) ise her \(k\) için \(0 \le |x_k| \le \|x\|_\infty = 0\) olur; buradan \(x = 0\) çıkar.

(N3) \(|\lambda x_k| = |\lambda| \, |x_k|\)’dir ve negatif olmayan \(|\lambda|\) ile çarpmak sıralamayı korur. En büyük \(|x_k|\) hangi indisteyse en büyük \(|\lambda x_k|\) de o indistedir; dolayısıyla \(\|\lambda x\|_\infty = |\lambda| \, \|x\|_\infty\)’dur.

(N4) Her \(k\) için

\[|x_k + y_k| \le |x_k| + |y_k| \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty\]

olur. Sağ yan \(k\)’ye bağlı olmayan bir üst sınırdır; en büyük eleman da bu sınırı aşamaz. Öyleyse \(\|x + y\|_\infty \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty\)’dur. \(\blacksquare\)

1.9 p-Normu, Hölder ve Minkowski Eşitsizlikleri

1-normu ile Öklid normu, tek bir norm ailesinin iki üyesidir.

Tanım 1.14 (p-Normu) \(1 \le p < \infty\) ve \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) için

\[\|x\|_p = \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k|^p \right)^{1/p}\]

sayısına \(x\)’in \(p\)-normu denir.

Yani bileşenlerin mutlak değerlerinin \(p\). kuvvetleri toplanır ve toplamın \(p\). kökü alınır. \(p = 1\) için 1-normu, \(p = 2\) için Öklid normu elde edilir: \(\|x\|_2 = \|x\|\). Örneğin \(x = (3, -4, 1)\) için

\[\|x\|_3 = \big( 27 + 64 + 1 \big)^{1/3} = \sqrt[3]{92} \approx 4{,}51\]

olur. \(\|\cdot\|_p\)’nin (N1)–(N3) koşullarını sağladığını görmek kolaydır; asıl iş üçgen eşitsizliğidir. Bunun için önce Cauchy–Schwarz eşitsizliğinin bir genellemesine ihtiyacımız var. Analiz 2’de integraller için gördüğümüz Hölder eşitsizliğinin (bkz. Analiz 2) toplamlar için karşılığı şudur.

Teorem 1.3 (Hölder Eşitsizliği) \(p, q > 1\) sayıları \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\) bağıntısını sağlasın. Her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için

\[\sum_{k=1}^{n} |x_k y_k| \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^{n} |y_k|^q \right)^{1/q}\]

olur. Kısaca \(\sum_{k} |x_k y_k| \le \|x\|_p \, \|y\|_q\) yazılır.

İspat

Vektörlerden biri sıfırken. \(\|x\|_p = 0\) ise negatif olmayan \(|x_k|^p\) sayılarının toplamı \(0\) olduğundan her \(x_k = 0\)’dır. Sol yan \(0\) olur ve eşitsizlik \(0 \le 0\) biçiminde sağlanır. \(\|y\|_q = 0\) durumu aynıdır.

İkisi de sıfırdan farklıyken. Her \(k\) için \(a_k = \dfrac{|x_k|}{\|x\|_p}\) ve \(b_k = \dfrac{|y_k|}{\|y\|_q}\) yazalım. Young eşitsizliği (bkz. Analiz 2) her \(a, b \ge 0\) için \(ab \le \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\) verir. Bunu her \(k\) için \(a_k\), \(b_k\) çiftine uygulayıp toplayalım:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\|x\|_p \, \|y\|_q} \sum_{k=1}^{n} |x_k y_k| &= \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \le \frac{1}{p} \sum_{k=1}^{n} a_k^p + \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{n} b_k^q \\[1mm] &= \frac{1}{p} \cdot \frac{\sum_{k} |x_k|^p}{\|x\|_p^p} + \frac{1}{q} \cdot \frac{\sum_{k} |y_k|^q}{\|y\|_q^q} \\[1mm] &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. \end{aligned} \]

Son adımda \(\|x\|_p^p = \sum_{k} |x_k|^p\) ve \(\|y\|_q^q = \sum_{k} |y_k|^q\) olduğu kullanıldı. İki yanı pozitif \(\|x\|_p \, \|y\|_q\) sayısıyla çarparak istenen eşitsizliği buluruz. \(\blacksquare\)

\(p = 2\) ve \(q = 2\) için Hölder eşitsizliği, Cauchy–Schwarz eşitsizliğinin (Teorem 1.1) ikinci kısmıdır. \(p = 1\) ile \(q = \infty\) uç ikilisi için de benzer bir eşitsizlik vardır ve ispatı tek satırdır: her \(k\) için \(|x_k y_k| = |x_k| \, |y_k| \le |x_k| \, \|y\|_\infty\) olduğundan, toplayınca \(\sum_{k} |x_k y_k| \le \|x\|_1 \, \|y\|_\infty\) bulunur.

Teorem 1.4 (Minkowski Eşitsizliği) \(1 \le p < \infty\) olsun. Her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için \(\|x + y\|_p \le \|x\|_p + \|y\|_p\), yani

\[ \begin{aligned} \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} &\le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k|^p \right)^{1/p} \\[1mm] &\quad + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_k|^p \right)^{1/p} \end{aligned} \]

olur.

İspat

\(p = 1\). Bu, 1-normunun üçgen eşitsizliğidir (Önerme 1.3).

\(p > 1\). \(q = \dfrac{p}{p - 1}\) alalım. \(q > 1\) ve \((p - 1)q = p\)’dir; ayrıca

\[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{p - 1}{p} = 1\]

olduğundan \(p\) ile \(q\) Hölder eşitsizliğinin koşulunu sağlar. Kısaltma olarak

\[S = \sum_{k=1}^{n} |x_k + y_k|^p\]

yazalım; \(S = \|x + y\|_p^p\)’dir. \(S = 0\) ise sol yan \(0\)’dır ve eşitsizlik açıktır. Bundan sonra \(S > 0\) olsun.

Adım 1: Terimleri ikiye ayıralım. \(p - 1 > 0\) olduğundan \(|x_k + y_k|^{p-1} \ge 0\)’dır ve bu sayıyla çarpmak eşitsizliğin yönünü korur. Üçgen eşitsizliğiyle her \(k\) için

\[ \begin{aligned} |x_k + y_k|^p &= |x_k + y_k| \, |x_k + y_k|^{p-1} \\[1mm] &\le |x_k| \, |x_k + y_k|^{p-1} + |y_k| \, |x_k + y_k|^{p-1} \end{aligned} \]

olur. \(k\) üzerinden toplarsak

\[S \le \sum_{k=1}^{n} |x_k| \, |x_k + y_k|^{p-1} + \sum_{k=1}^{n} |y_k| \, |x_k + y_k|^{p-1} \tag{3}\]

bulunur.

Adım 2: Hölder eşitsizliğini uygulayalım. Bileşenleri \(w_k = |x_k + y_k|^{p-1}\) olan \(w = (w_1, \dots, w_n)\) vektörünü düşünelim. \((p - 1)q = p\) olduğundan

\[\|w\|_q = \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k + y_k|^{(p-1)q} \right)^{1/q} = S^{1/q}\]

olur. Hölder eşitsizliği (Teorem 1.3) \(x\) ile \(w\)’ye ve \(y\) ile \(w\)’ye uygulanınca (3)’teki iki toplam sırasıyla \(\|x\|_p \, S^{1/q}\) ve \(\|y\|_p \, S^{1/q}\) ile sınırlanır:

\[S \le \big( \|x\|_p + \|y\|_p \big) \, S^{1/q}.\]

Adım 3: Sadeleştirelim. \(S > 0\) olduğundan iki yanı \(S^{1/q} > 0\) sayısına bölebiliriz: \(S^{1 - 1/q} \le \|x\|_p + \|y\|_p\). \(1 - \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{p}\) ve \(S^{1/p} = \|x + y\|_p\) olduğundan istenen eşitsizlik çıkar. \(\blacksquare\)

Minkowski eşitsizliğinin integraller için \(p = 2\) biçimini Analiz 2’de görmüştük (bkz. Analiz 2).

Önerme 1.4 (p-Normu Bir Normdur) Her \(1 \le p < \infty\) için \(\|\cdot\|_p\), \(\mathbb{R}^n\) üzerinde bir normdur.

İspat

\(x \in \mathbb{R}^n\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) keyfi olsun.

(N1) Negatif olmayan bir sayının \(\dfrac{1}{p}\). kuvveti negatif değildir.

(N2) \(x = 0\) ise \(\|x\|_p = 0\)’dır. Tersine \(\|x\|_p = 0\) ise \(\sum_{k} |x_k|^p = 0\) olur; negatif olmayan terimlerin her biri \(0\) olduğundan her \(x_k = 0\)’dır.

(N3) \(|\lambda x_k|^p = |\lambda|^p \, |x_k|^p\) olduğundan

\[\|\lambda x\|_p = \left( |\lambda|^p \sum_{k=1}^{n} |x_k|^p \right)^{1/p} = |\lambda| \, \|x\|_p\]

olur; burada negatif olmayan \(a, b\) için \((ab)^{1/p} = a^{1/p} b^{1/p}\) kuralı kullanıldı.

(N4) Bu, Minkowski eşitsizliğidir (Teorem 1.4). \(\blacksquare\)

\(n \ge 2\) iken \(p \ge 1\) koşulu gereklidir (\(n = 1\)’de formül her \(p > 0\) için \(|x|\) değerini verir). Aynı formülü \(p = \dfrac{1}{2}\) için yazarsak \(\mathbb{R}^2\)’de (N4) bozulur: \(e_1 + e_2 = (1, 1)\) için formül \(\big( 1^{1/2} + 1^{1/2} \big)^2 = 4\) değerini, \(e_1\) ve \(e_2\) için ise \(1\) değerini verir; \(4 > 1 + 1\)’dir.

1.10 Denk Normlar

Aynı vektörün farklı normları farklı sayılar verse de, bu sayılar birbirinden çok uzaklaşamaz.

Tanım 1.15 (Denk Normlar) \(\|\cdot\|_a\) ve \(\|\cdot\|_b\), \(\mathbb{R}^n\) üzerinde iki norm olsun. Her \(x \in \mathbb{R}^n\) için

\[c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a\]

olacak biçimde \(c_1, c_2 > 0\) sabitleri varsa bu iki norma denk normlar denir.

Yani denk iki normdan biri küçükse öbürü de küçüktür, biri büyükse öbürü de büyüktür; aralarındaki oran, \(x\)’ten bağımsız iki pozitif sayı arasında kalır. Tanım iki norma göre simetriktir: eşitsizlikleri düzenlersek

\[\frac{1}{c_2} \|x\|_b \le \|x\|_a \le \frac{1}{c_1} \|x\|_b\]

olur. Denklik geçişlidir de: \(c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a\) ve \(d_1 \|x\|_b \le \|x\|_c \le d_2 \|x\|_b\) ise

\[c_1 d_1 \|x\|_a \le \|x\|_c \le c_2 d_2 \|x\|_a\]

bulunur. İleride tanımlayacağımız yakınsaklık, açık küme ve kapalı küme gibi kavramlar “küçüklük” üzerine kurulduğundan, denk normlardan birine göre sağlanan bu türden bir özellik öbürüne göre de sağlanacaktır.

Teorem 1.5 (Üç Normun Denkliği) Her \(x \in \mathbb{R}^n\) için

\[ \begin{aligned} \|x\|_\infty &\le \|x\| \le \sqrt{n} \, \|x\|_\infty, \\[1mm] \|x\| &\le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \, \|x\|, \\[1mm] \|x\|_\infty &\le \|x\|_1 \le n \, \|x\|_\infty \end{aligned} \]

olur. Dolayısıyla \(\|\cdot\|\), \(\|\cdot\|_1\) ve \(\|\cdot\|_\infty\) normları \(\mathbb{R}^n\) üzerinde ikişer ikişer denktir.

İspat

\(x \in \mathbb{R}^n\) keyfi olsun ve \(\|x\|_\infty = |x_j|\) olacak biçimde bir \(j\) indisi seçelim.

Birinci satır. Öbür terimler negatif olmadığından

\[\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \ge x_j^2 = \|x\|_\infty^2\]

olur; karekök alınınca \(\|x\|_\infty \le \|x\|\) bulunur. Öte yandan her \(k\) için \(x_k^2 = |x_k|^2 \le \|x\|_\infty^2\) olduğundan

\[\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \le \sum_{k=1}^{n} \|x\|_\infty^2 = n \, \|x\|_\infty^2,\]

yani \(\|x\| \le \sqrt{n} \, \|x\|_\infty\)’dur.

İkinci satır. Toplamın karesini açarsak

\[ \begin{aligned} \|x\|_1^2 &= \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k| \right)^2 = \sum_{k=1}^{n} |x_k|^2 + 2 \sum_{i < j} |x_i| \, |x_j| \\[1mm] &\ge \sum_{k=1}^{n} x_k^2 = \|x\|^2 \end{aligned} \]

olur, çünkü karma terimler negatif değildir; karekök alınınca \(\|x\| \le \|x\|_1\) bulunur. Sağdaki eşitsizlik için Cauchy–Schwarz eşitsizliğini (Teorem 1.1)

\[ \begin{aligned} u &= \big( |x_1|, \dots, |x_n| \big), \\[1mm] v &= (1, 1, \dots, 1) \end{aligned} \]

vektörlerine uygulayalım. \(\|u\| = \|x\|\) ve \(\|v\| = \sqrt{n}\) olduğundan

\[\|x\|_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k| \cdot 1 = \langle u, v \rangle \le \|u\| \, \|v\| = \sqrt{n} \, \|x\|\]

olur.

Üçüncü satır. \(\|x\|_\infty = |x_j|\) sayısı, \(\|x\|_1\) toplamının terimlerinden biridir ve öbür terimler negatif değildir; öyleyse \(\|x\|_\infty \le \|x\|_1\)’dir. Her \(k\) için \(|x_k| \le \|x\|_\infty\) olduğundan bu \(n\) eşitsizliği toplayınca \(\|x\|_1 \le n \, \|x\|_\infty\) bulunur.

Her satır, Tanım 1.15 koşulunu uygun sabitlerle verir; örneğin birinci satırda \(c_1 = 1\) ve \(c_2 = \sqrt{n}\)’dir.

Satırların sol yanları geometrik olarak da okunabilir. \(\mathbb{R}^2\)’de \(\|x\|_1 = 1\) eşitliğini sağlayan noktalar köşeleri \((\pm 1, 0)\) ve \((0, \pm 1)\) olan bir kare, \(\|x\| = 1\) eşitliğini sağlayanlar birim çember, \(\|x\|_\infty = 1\) eşitliğini sağlayanlar ise köşeleri \((\pm 1, \pm 1)\) olan bir karedir. \(\|x\|_\infty \le \|x\| \le \|x\|_1\) eşitsizlikleri bu üç eğrinin iç içe durduğunu söyler: en içte köşeleri eksenler üzerindeki kare, ortada çember, en dışta kenarları eksenlere paralel kare vardır.

En içte ‖x‖₁ = 1 karesi, ortada ‖x‖ = 1 birim çemberi, en dışta ‖x‖_∞ = 1 karesi vardır; üçü (±1, 0) ve (0, ±1) noktalarında birbirine değer. Kesikli ‖x‖ = √2 çemberi dış karenin köşelerinden geçer.

\(\blacksquare\)

Sabitler iyileştirilemez. \(x = e_1\) için üç norm da \(1\)’dir; bu, bütün sol eşitsizliklerin eşitlikle sağlanabildiğini gösterir. \(x = (1, 1, \dots, 1)\) için ise \(\|x\|_\infty = 1\), \(\|x\| = \sqrt{n}\) ve \(\|x\|_1 = n\) olur; bütün sağ eşitsizlikler de eşitlikle sağlanabilir. Sayısal bir örnek olarak \(x = (3, -4, 1)\) (\(n = 3\)) için üç satır

\[ \begin{aligned} 4 &\le \sqrt{26} \le 4\sqrt{3}, \\[1mm] \sqrt{26} &\le 8 \le \sqrt{78}, \\[1mm] 4 &\le 8 \le 12 \end{aligned} \]

biçimini alır (\(\sqrt{26} \approx 5{,}10\), \(4\sqrt{3} \approx 6{,}93\), \(\sqrt{78} \approx 8{,}83\)).

1.11 Paralelkenar ve Kutuplama Özdeşlikleri

Her iç çarpımın bir uzunluk ürettiğini gördük; peki her norm bir iç çarpımdan mı gelir? Yanıtı, iç çarpımdan gelen uzunlukların sağlamak zorunda olduğu bir özdeşlik verir.

Önerme 1.5 (Paralelkenar ve Kutuplama Özdeşlikleri) \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), \(\mathbb{R}^n\) üzerinde bir iç çarpım ve \(N(x) = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) olsun. Her \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için

\[N(x + y)^2 + N(x - y)^2 = 2\big( N(x)^2 + N(y)^2 \big) \tag{4}\]

(paralelkenar özdeşliği) ve

\[\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \big( N(x + y)^2 - N(x - y)^2 \big) \tag{5}\]

(kutuplama özdeşliği) geçerlidir. Özel olarak standart iç çarpım ve Öklid normu için

\[ \begin{aligned} \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 &= 2\big( \|x\|^2 + \|y\|^2 \big), \\[1mm] \langle x, y \rangle &= \frac{1}{4} \big( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 \big) \end{aligned} \]

olur.

İspat

Lemma 1.1 ispatının yalnız (İ3) ve (İ4)’e dayandığını belirtmiştik; aynı hesap herhangi bir iç çarpım için

\[ \begin{aligned} N(x + y)^2 &= N(x)^2 + 2\langle x, y \rangle + N(y)^2, \\[1mm] N(x - y)^2 &= N(x)^2 - 2\langle x, y \rangle + N(y)^2 \end{aligned} \]

verir. Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak \(\langle x, y \rangle\) terimleri birbirini götürür ve (4) elde edilir. Taraf tarafa çıkarırsak \(N(x + y)^2 - N(x - y)^2 = 4\langle x, y \rangle\) bulunur; iki yanı \(4\)’e bölmek (5)’i verir. Standart iç çarpım için \(N(x) = \|x\|\)’dir. \(\blacksquare\)

Paralelkenar özdeşliğinin adı geometrisinden gelir: kenarları \(x\) ve \(y\) olan paralelkenarın köşegenleri \(x + y\) ve \(x - y\)’dir. Özdeşlik, iki köşegenin uzunluklarının kareleri toplamının dört kenarın uzunluklarının kareleri toplamına eşit olduğunu söyler.

Örnek 1.6 (İki Özdeşliğin Sayısal Denetimi) \(x = (1, 2)\) ve \(y = (3, -1)\) için paralelkenar ve kutuplama özdeşliklerinin sağlandığını doğrulayınız.

Çözüm

\(x + y = (4, 1)\) ve \(x - y = (-2, 3)\)’tür. Normların kareleri

\[ \begin{aligned} \|x + y\|^2 &= 16 + 1 = 17, \\[1mm] \|x - y\|^2 &= 4 + 9 = 13, \\[1mm] \|x\|^2 &= 1 + 4 = 5, \\[1mm] \|y\|^2 &= 9 + 1 = 10 \end{aligned} \]

olur. Paralelkenar özdeşliğinin iki yanı \(17 + 13 = 30\) ve \(2(5 + 10) = 30\)’dur; eşittir. Kutuplama özdeşliğinin sağ yanı \(\dfrac{1}{4}(17 - 13) = 1\)’dir; sol yan da \(\langle x, y \rangle = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1)\), yani \(1\)’dir.

x = (1, 2) ve y = (3, −1) üzerine kurulan paralelkenar. Kenar uzunlukları √5 ve √10, köşegenler x + y (√17) ve x − y (√13) uzunluğundadır: 17 + 13 = 2(5 + 10).

\(\blacksquare\)

Kutuplama özdeşliği, iç çarpımın normdan geri elde edilebileceğini söyler: bir norm bir iç çarpımdan geliyorsa, o iç çarpım yalnız normla belirlenir ve \(\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\big( N(x + y)^2 - N(x - y)^2 \big)\) formülüyle üretilir. Paralelkenar özdeşliği ise bir normun iç çarpımdan gelmesi için gerek koşuldur: bir norm paralelkenar özdeşliğini sağlamıyorsa, her \(x\) için \(N(x) = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) olacak biçimde hiçbir iç çarpım bulunamaz. Tersinin de doğru olduğu bilinmektedir: paralelkenar özdeşliğini sağlayan bir normda kutuplama formülüyle tanımlanan fonksiyon bir iç çarpımdır (Jordan–von Neumann teoremi). Bu yönün ispatı uzundur ve kitapta kullanılmayacaktır.

Örnek 1.7 (İç Çarpımdan Gelmeyen Bir Norm) \(n \ge 2\) olsun. \(\mathbb{R}^n\) üzerinde, her \(x\) için \(\|x\|_1 = \sqrt{\langle x, x \rangle_*}\) olacak biçimde bir \(\langle \cdot, \cdot \rangle_*\) iç çarpımının bulunmadığını gösteriniz.

Çözüm

Böyle bir iç çarpım olsaydı Önerme 1.5 gereği 1-normu paralelkenar özdeşliğini sağlardı. \(x = e_1\) ve \(y = e_2\) alalım. \(x + y = (1, 1, 0, \dots, 0)\) ve \(x - y = (1, -1, 0, \dots, 0)\) olduğundan

\[ \begin{aligned} \|x + y\|_1^2 + \|x - y\|_1^2 &= 2^2 + 2^2 = 8, \\[1mm] 2\big( \|x\|_1^2 + \|y\|_1^2 \big) &= 2(1 + 1) = 4 \end{aligned} \]

bulunur. \(8 \ne 4\) olduğundan özdeşlik bozulur; demek ki 1-normu hiçbir iç çarpımdan gelmez.

\(n = 1\) durumu farklıdır: orada \(\|x\|_1 = |x|\) ve \(|x| = \sqrt{x \cdot x}\) olduğundan 1-normu, \(\mathbb{R}\)’nin standart iç çarpımından gelir. Paralelkenar özdeşliğinin bozulması için en az iki bağımsız doğrultu gerekir. \(\blacksquare\)

1.12 Alıştırmalar

Alıştırma 1.1 (Uzayda Açının Kosinüsü) \(\mathbb{R}^3\)’te \(x = (2, -1, 3)\) ile \(y = (1, 4, -2)\) arasındaki \(\theta\) açısının kosinüsünü bulunuz.

Çözüm

İç çarpım ve normlar.

\[ \begin{aligned} \langle x, y \rangle &= 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 2 - 4 - 6 = -8, \\[1mm] \|x\| &= \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}, \\[1mm] \|y\| &= \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}. \end{aligned} \]

Kosinüs. \(\sqrt{14} \, \sqrt{21} = \sqrt{294}\) ve \(294 = 49 \cdot 6\) olduğundan normların çarpımı \(7\sqrt{6}\)’dır. Öyleyse

\[\cos\theta = \frac{-8}{7\sqrt{6}} = -\frac{8\sqrt{6}}{42} = -\frac{4\sqrt{6}}{21} \approx -0{,}467\]

olur. Kosinüs negatif olduğundan \(\theta\) geniş bir açıdır:

\[\theta = \arccos\left( -\frac{4\sqrt{6}}{21} \right) \approx 2{,}06 \text{ radyan},\]

yani yaklaşık \(117{,}8^\circ\)’dir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 1.2 (Diklik Koşulundan Parametre) \(a \in \mathbb{R}\) sayısının hangi değeri için \((a, 2, -1)\) ile \((3, a, 4)\) vektörleri diktir?

Çözüm

Diklik, iç çarpımın \(0\) olmasıdır (Tanım 1.9):

\[\langle (a, 2, -1), (3, a, 4) \rangle = 3a + 2a - 4 = 5a - 4.\]

\(5a - 4 = 0\) denkleminin tek çözümü \(a = \dfrac{4}{5}\)’tir. Denetleyelim: \(a = \dfrac{4}{5}\) için iç çarpım \(\dfrac{12}{5} + \dfrac{8}{5} - 4 = 0\)’dır. İki vektör yalnız \(a = \dfrac{4}{5}\) için diktir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 1.3 (Cauchy–Schwarz Eşitsizliğinde Eşitlik) \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için \(|\langle x, y \rangle| = \|x\| \, \|y\|\) olmasının gerek ve yeter koşulunun, \(x\) ile \(y\)’den birinin öbürünün skaler katı olması olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Yeter koşul. \(y = \lambda x\) olsun. Önerme 1.2 ve Teorem 1.2 (3) gereği

\[|\langle x, \lambda x \rangle| = |\lambda| \, \|x\|^2 = \|x\| \, \big( |\lambda| \, \|x\| \big) = \|x\| \, \|\lambda x\|\]

olur. \(x = \lambda y\) durumu, \(x\) ile \(y\)’nin rolleri değiştirilerek aynı biçimde görülür.

Gerek koşul. \(|\langle x, y \rangle| = \|x\| \, \|y\|\) olsun. \(x = 0\) ise \(x = 0 \cdot y\), \(y = 0\) ise \(y = 0 \cdot x\)’tir ve söylenecek bir şey yoktur. Şimdi \(x \ne 0\) ve \(y \ne 0\) olsun. Varsayım gereği \(\langle x, y \rangle = s \, \|x\| \, \|y\|\) olacak biçimde bir \(s \in \{1, -1\}\) vardır. \(w = \|y\| \, x - s \, \|x\| \, y\) vektörünün normunun karesini Lemma 1.1 ile hesaplayalım (\(s^2 = 1\)):

\[ \begin{aligned} \|w\|^2 &= \|y\|^2 \|x\|^2 - 2 s \, \|x\| \, \|y\| \, \langle x, y \rangle + s^2 \|x\|^2 \|y\|^2 \\[1mm] &= 2 \|x\|^2 \|y\|^2 - 2 s^2 \|x\|^2 \|y\|^2 = 0. \end{aligned} \]

Teorem 1.2 (2) gereği \(w = 0\), yani \(\|y\| \, x = s \, \|x\| \, y\)’dir. \(\|x\| > 0\) olduğundan

\[y = \frac{s \, \|y\|}{\|x\|} \, x\]

bulunur; \(y\), \(x\)’in bir skaler katıdır.

Açı diliyle: sıfırdan farklı \(x\) ve \(y\) için \(\theta = 0\) olması (\(s = 1\)) \(y\)’nin \(x\)’in pozitif bir katı olmasına, \(\theta = \pi\) olması (\(s = -1\)) negatif bir katı olmasına denktir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 1.4 (Cauchy–Schwarz Eşitsizliğiyle En Büyük Değer) \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) koşulunu sağlayan \((x, y, z)\) noktaları üzerinde \(2x + 3y - z\) ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Çözüm

Üst sınır. \(u = (x, y, z)\) ve \(v = (2, 3, -1)\) yazalım. O zaman \(2x + 3y - z = \langle u, v \rangle\) ve \(\|u\| = 1\) olur; ayrıca \(\|v\|^2 = 4 + 9 + 1\) olduğundan \(\|v\| = \sqrt{14}\)’tür. Cauchy–Schwarz eşitsizliği (Teorem 1.1) gereği

\[2x + 3y - z = \langle u, v \rangle \le |\langle u, v \rangle| \le \|u\| \, \|v\| = \sqrt{14}\]

olur.

Sınıra ulaşılır. Alıştırma 1.3 gereği eşitlik ancak \(u\), \(v\)’nin pozitif bir katıyken olabilir; \(\|u\| = 1\) koşulu \(u = \dfrac{v}{\|v\|}\) seçimini verir:

\[u = \frac{1}{\sqrt{14}} (2, 3, -1).\]

Bu nokta koşulu sağlar, çünkü \(\|u\| = 1\)’dir. Bu noktada

\[\langle u, v \rangle = \frac{\langle v, v \rangle}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}\]

olur. Öyleyse aranan en büyük değer \(\sqrt{14}\)’tür. \(\blacksquare\)

Alıştırma 1.5 (Eşit Köşegenli Paralelkenar) \(x, y \in \mathbb{R}^n\) için \(\|x + y\| = \|x - y\|\) olmasının \(x \perp y\) olmasına denk olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Lemma 1.1 içindeki iki eşitliği taraf tarafa çıkaralım:

\[\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 = 4 \langle x, y \rangle.\]

Normlar negatif olmadığından \(\|x + y\| = \|x - y\|\) olması, kareleri \(\|x + y\|^2 = \|x - y\|^2\) olmasına denktir. Yukarıdaki eşitlik gereği bu da \(\langle x, y \rangle = 0\), yani \(x \perp y\) olmasına denktir.

Geometrik olarak: bir paralelkenarın köşegenleri ancak ve ancak kenarları dikken, yani paralelkenar bir dikdörtgenken eşit uzunluktadır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 1.6 (Standart Olmayan Bir İç Çarpım) \(x = (x_1, x_2)\) ve \(y = (y_1, y_2)\) için

\[\langle x, y \rangle_* = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + 2 x_2 y_2\]

ile tanımlanan fonksiyonun \(\mathbb{R}^2\) üzerinde bir iç çarpım olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Fonksiyon mu? Sağ yan, reel sayıların sonlu sayıda çarpım ve toplamıdır; her \((x, y)\) ikilisine tek bir reel sayı karşılık gelir.

(İ1) ve (İ2). Tam kareye tamamlayalım:

\[\langle x, x \rangle_* = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + 2 x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 + x_2^2 \ge 0.\]

İki karenin toplamı ancak ikisi de \(0\) iken \(0\)’dır: \(\langle x, x \rangle_* = 0\) ise \(x_2 = 0\) ve \(x_1 + x_2 = 0\), dolayısıyla \(x_1 = 0\) ve \(x = 0\)’dır. Tersine \(x = 0\) ise açıkça \(\langle x, x \rangle_* = 0\)’dır.

(İ3). Tanımda \(x\) ile \(y\)’nin yerini değiştirirsek

\[\langle y, x \rangle_* = y_1 x_1 + y_1 x_2 + y_2 x_1 + 2 y_2 x_2\]

olur. Buradaki \(y_1 x_2\) ve \(y_2 x_1\) terimleri, \(\langle x, y \rangle_*\) tanımındaki \(x_2 y_1\) ve \(x_1 y_2\) terimleridir; öbür iki terim zaten aynıdır. Öyleyse iki değer eşittir ve (İ3) sağlanır.

(İ4). Tanımdaki terimleri \(z\)’nin bileşenlerine göre gruplarsak her \(x\) ve \(z = (z_1, z_2)\) için

\[\langle x, z \rangle_* = x_1 (z_1 + z_2) + x_2 (z_1 + 2 z_2)\]

yazılabilir. \(\alpha x + \beta y\)’nin bileşenleri \(\alpha x_1 + \beta y_1\) ve \(\alpha x_2 + \beta y_2\) olduğundan dağılma özelliğiyle

\[ \begin{aligned} \langle \alpha x + \beta y, z \rangle_* &= (\alpha x_1 + \beta y_1)(z_1 + z_2) + (\alpha x_2 + \beta y_2)(z_1 + 2 z_2) \\[1mm] &= \alpha \big[ x_1 (z_1 + z_2) + x_2 (z_1 + 2 z_2) \big] \\[1mm] &\quad + \beta \big[ y_1 (z_1 + z_2) + y_2 (z_1 + 2 z_2) \big] \\[1mm] &= \alpha \langle x, z \rangle_* + \beta \langle y, z \rangle_* \end{aligned} \]

olur.

Dört koşul da sağlandığından \(\langle \cdot, \cdot \rangle_*\) bir iç çarpımdır. Diklik ve uzunluk seçilen iç çarpıma bağlıdır: \(\langle e_1, e_2 \rangle_* = 1 \ne 0\) olduğundan \(e_1\) ile \(e_2\) bu iç çarpıma göre dik değildir ve \(e_2\)’nin bu iç çarpımdan gelen uzunluğu \(\sqrt{\langle e_2, e_2 \rangle_*} = \sqrt{2}\)’dir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 1.7 (Her İç Çarpım Bir Norm Üretir) \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), \(\mathbb{R}^n\) üzerinde herhangi bir iç çarpım olsun. \(N(x) = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) ile tanımlanan \(N\) fonksiyonunun bir norm olduğunu gösteriniz.

Çözüm

(İ1) gereği karekök tanımlıdır. Bileşenleri kullanamayacağımız için önce Cauchy–Schwarz eşitsizliğini yalnız aksiyomlarla kanıtlayacağız. Lemma 1.1 ispatındaki hesap yalnız (İ3) ve (İ4)’e dayandığından her \(x, y\) için

\[N(x + y)^2 = N(x)^2 + 2 \langle x, y \rangle + N(y)^2\]

geçerlidir.

Adım 1: Cauchy–Schwarz eşitsizliği. \(|\langle x, y \rangle| \le N(x) \, N(y)\) olduğunu gösterelim. \(y = 0\) ise \(\langle x, 0 \rangle = 0\) olduğundan eşitsizlik \(0 \le 0\)’dır. \(y \ne 0\) olsun; (İ1) ve (İ2) gereği \(\langle y, y \rangle > 0\)’dır. Her \(t \in \mathbb{R}\) için yukarıdaki açılım \(y\) yerine \(t y\) ile uygulanırsa

\[0 \le N(x + t y)^2 = \langle x, x \rangle + 2 t \langle x, y \rangle + t^2 \langle y, y \rangle\]

olur. \(t = -\dfrac{\langle x, y \rangle}{\langle y, y \rangle}\) seçelim:

\[0 \le \langle x, x \rangle - 2 \frac{\langle x, y \rangle^2}{\langle y, y \rangle} + \frac{\langle x, y \rangle^2}{\langle y, y \rangle} = \langle x, x \rangle - \frac{\langle x, y \rangle^2}{\langle y, y \rangle}.\]

İki yanı pozitif \(\langle y, y \rangle\) ile çarparsak \(\langle x, y \rangle^2 \le \langle x, x \rangle \, \langle y, y \rangle\) olur; karekök alınınca \(|\langle x, y \rangle| \le N(x) \, N(y)\) bulunur.

Adım 2: Norm koşulları.

(N1) \(N(x)\), negatif olmayan bir sayının kareköküdür.

(N2) \(N(x) = 0\) olması \(\langle x, x \rangle = 0\) olmasına, bu da (İ2) gereği \(x = 0\) olmasına denktir.

(N3) (İ4) ve ikinci bileşendeki lineerlik gereği \(\langle \lambda x, \lambda x \rangle = \lambda^2 \langle x, x \rangle\)’tir; karekök alınınca \(N(\lambda x) = |\lambda| \, N(x)\) olur.

(N4) Adım 1 ile

\[ \begin{aligned} N(x + y)^2 &= N(x)^2 + 2 \langle x, y \rangle + N(y)^2 \\[1mm] &\le N(x)^2 + 2 N(x) \, N(y) + N(y)^2 = \big( N(x) + N(y) \big)^2 \end{aligned} \]

olur; iki yan negatif olmayan sayıların kareleri olduğundan \(N(x + y) \le N(x) + N(y)\)’dir.

Adım 1’deki ispat bileşen kullanmadığından, standart iç çarpım için Teorem 1.1 içindeki \(|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \, \|y\|\) eşitsizliğinin ikinci bir ispatını da vermiş olduk. \(\blacksquare\)

Alıştırma 1.8 (Maksimum Normu İç Çarpımdan Gelmez) \(n \ge 2\) olsun. \(\mathbb{R}^n\) üzerinde, her \(x\) için \(\|x\|_\infty = \sqrt{\langle x, x \rangle_*}\) olacak biçimde bir \(\langle \cdot, \cdot \rangle_*\) iç çarpımının bulunmadığını gösteriniz.

Çözüm

Önerme 1.5 gereği böyle bir iç çarpım varsa maksimum normu paralelkenar özdeşliğini sağlamalıdır. \(x = e_1\) ve \(y = e_2\) alalım. \(x + y = (1, 1, 0, \dots, 0)\) ve \(x - y = (1, -1, 0, \dots, 0)\) olduğundan

\[ \begin{aligned} \|x + y\|_\infty^2 + \|x - y\|_\infty^2 &= 1 + 1 = 2, \\[1mm] 2\big( \|x\|_\infty^2 + \|y\|_\infty^2 \big) &= 2(1 + 1) = 4 \end{aligned} \]

bulunur. \(2 \ne 4\) olduğundan özdeşlik bozulur; maksimum normu hiçbir iç çarpımdan gelmez.

Aynı vektörler \(p\)-normları için de bilgi verir. \(\|e_1 + e_2\|_p\) ve \(\|e_1 - e_2\|_p\) normlarının ikisi de \(2^{1/p}\), \(\|e_1\|_p\) ve \(\|e_2\|_p\) normlarının ikisi de \(1\)’dir. Özdeşliğin sol yanı \(2 \cdot 2^{2/p} = 2^{1 + 2/p}\), sağ yanı \(2(1 + 1) = 2^2\) olur. İki yan ancak \(1 + \dfrac{2}{p} = 2\), yani \(p = 2\) iken eşittir. Demek ki \(n \ge 2\) iken \(p\)-normları arasında bir iç çarpımdan gelebilen tek norm Öklid normudur. \(\blacksquare\)

Alıştırma 1.9 (p-Normu ile Maksimum Normunun Denkliği) \(1 \le p < \infty\) olsun. Her \(x \in \mathbb{R}^n\) için \(\|x\|_\infty \le \|x\|_p \le n^{1/p} \, \|x\|_\infty\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(\|x\|_\infty = |x_j|\) olacak biçimde bir \(j\) indisi seçelim.

Sol eşitsizlik. Toplamın öbür terimleri negatif olmadığından

\[\|x\|_p^p = \sum_{k=1}^{n} |x_k|^p \ge |x_j|^p = \|x\|_\infty^p\]

olur. \(t \mapsto t^{1/p}\) fonksiyonu \([0, \infty)\) üzerinde artan olduğundan \(\|x\|_p \ge \|x\|_\infty\)’dur.

Sağ eşitsizlik. Her \(k\) için \(|x_k| \le \|x\|_\infty\), dolayısıyla \(|x_k|^p \le \|x\|_\infty^p\)’dir. Bu \(n\) eşitsizliği toplarsak

\[\|x\|_p^p \le n \, \|x\|_\infty^p\]

olur; \(\dfrac{1}{p}\). kuvvet alınınca \(\|x\|_p \le n^{1/p} \, \|x\|_\infty\) bulunur.

Bu eşitsizlikler \(\|\cdot\|_p\) ile \(\|\cdot\|_\infty\)’un denk olduğunu söyler; denkliğin geçişliliği ve Teorem 1.5 gereği her \(p\)-normu, Öklid normuna ve 1-normuna da denktir. Ayrıca üstel fonksiyon sürekli olduğundan \(p \to \infty\) iken

\[n^{1/p} = e^{(\ln n)/p} \to e^0 = 1\]

olur ve sıkıştırma ile \(\|x\|_p \to \|x\|_\infty\) bulunur; maksimum normuna \(\infty\)-normu denmesinin nedeni budur. \(\blacksquare\)

Bu bölümde \(\mathbb{R}^n\)’ye iç çarpım yoluyla açı, norm yoluyla uzunluk kavramı kazandırdık. Bir sonraki adım, normdan iki nokta arasındaki uzaklığı, yani metriği elde etmek ve \(\mathbb{R}^n\)’de doğruları, doğru parçalarını ve konveks kümeleri tanımlamaktır: Metrik, Doğrular ve Konveks Kümeler.