10 Trigonometrik Seriler ve Fourier Katsayıları
Kuvvet serileri bir fonksiyonu \(1, x, x^2, x^3, \dots\) kuvvetlerinin sonsuz toplamı olarak yazar. Bu açılımın bedeli ağırdır: fonksiyon sonsuz kez türevlenebilir olmalıdır, o da yetmez. Periyodik olaylar (titreşen bir tel, dönen bir çark, yinelenen bir sinyal) için daha doğal yapı taşları vardır: \(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots\) fonksiyonları. Bunlarla kurulan serilere trigonometrik seri denir ve şaşırtıcı biçimde, köşeli hatta sıçramalı fonksiyonları bile temsil edebilirler.
Bu bölümde iki soruyu ele alıyoruz. Birincisi: bir fonksiyon trigonometrik bir seriyle yazılabiliyorsa serinin katsayıları ne olmalıdır? Yanıt, sinüs ve kosinüslerin birbirine “dik” olmasından çıkan integral formülleridir. İkincisi: verilen bir fonksiyon için bu formüllerle katsayıları hesaplayıp seriyi nasıl kurarız? Serinin fonksiyona yakınsayıp yakınsamadığı sorusu sonraki bölümlerin konusudur.
10.1 Trigonometrik Seriler ve Periyodiklik
Önce inceleyeceğimiz serilerin biçimini sabitleyelim.
Tanım 10.1 (Trigonometrik Seri ve Trigonometrik Polinom) \(a_0, a_1, a_2, \dots\) ve \(b_1, b_2, \dots\) reel sayılar olmak üzere
\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big)\]
biçimindeki fonksiyon serisine trigonometrik seri, sayılara serinin katsayıları denir. Serinin
\[T_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big)\]
kısmi toplamı biçimindeki sonlu toplamlara trigonometrik polinom, \(T_N\)’ye de derecesi en çok \(N\) olan trigonometrik polinom denir.
Yani trigonometrik seri, terimleri \(\cos(nx)\) ve \(\sin(nx)\) fonksiyonlarının katları olan bir fonksiyon serisidir. Sabit terimin \(a_0\) değil \(\dfrac{a_0}{2}\) yazılması bir alışkanlıktır; katsayı formüllerinin \(n = 0\) için de aynı biçimde kalmasını sağlar.
Serinin her terimi \(2\pi\) periyotludur: \(\cos(n(x + 2\pi)) = \cos(nx)\) ve \(\sin(n(x + 2\pi)) = \sin(nx)\). Bu yüzden seri bir \(x_0\) noktasında yakınsıyorsa her \(k \in \mathbb{Z}\) için \(x_0 + 2k\pi\) noktasında da yakınsar ve toplamı aynıdır; ıraksıyorsa orada da ıraksar. Dolayısıyla bir trigonometrik serinin toplamı, tanımlı olduğu yerde, \(2\pi\) periyotlu bir fonksiyondur. Trigonometrik seriyle temsil edilmek istenen fonksiyon da \(2\pi\) periyotlu olmalıdır.
Bu, ilk bakışta ağır bir kısıtlama gibi görünür; ama uzunluğu \(2\pi\) olan bir aralıkta tanımlı her fonksiyon periyodik hâle getirilebilir.
Tanım 10.2 (Periyodik Genişleme) \(f : (-\pi, \pi] \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon olsun. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(x - 2k\pi \in (-\pi, \pi]\) olacak biçimde tek bir \(k \in \mathbb{Z}\) vardır.
\[\tilde{f}(x) = f(x - 2k\pi)\]
ile tanımlı \(\tilde{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna \(f\)’nin \(2\pi\) periyotlu periyodik genişlemesi denir.
Yani \(f\)’nin \((-\pi, \pi]\) üzerindeki grafiği, \(2\pi\) uzunluğunda adımlarla sağa ve sola kopyalanır: \(\pi < x \le 3\pi\) için \(\tilde{f}(x) = f(x - 2\pi)\), \(-3\pi < x \le -\pi\) için \(\tilde{f}(x) = f(x + 2\pi)\) olur ve böyle devam eder. Genişleme \((-\pi, \pi]\) üzerinde \(f\) ile çakışır ve her \(x\) için \(\tilde{f}(x + 2\pi) = \tilde{f}(x)\) sağlar. Çoğu zaman genişlemeyi de \(f\) ile gösteririz.
Şekilde \(f(x) = x\) fonksiyonunun periyodik genişlemesi görülür. \(f(-\pi^+) \ne f(\pi)\) olduğundan genişleme \(\pi\)’nin tek katlarında sıçrar: bir aralıkta sürekli olan fonksiyonun periyodik genişlemesi sürekli olmayabilir. Genişlemenin sürekli olması için \(f\)’nin sürekli olması ve \(\lim_{x \to -\pi^+} f(x) = f(\pi)\) sağlaması gerekir.
Periyodik fonksiyonların integralleri için sık kullanacağımız bir özellik vardır: bir periyot boyunca alınan integral, periyodun nereden başladığına bağlı değildir.
Önerme 10.1 (Bir Periyot Üzerinde İntegral) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(2\pi\) periyotlu ve \([-\pi, \pi]\) üzerinde integrallenebilir olsun. O zaman her \(a \in \mathbb{R}\) için \(f\), \([a, a + 2\pi]\) üzerinde integrallenebilirdir ve
\[\int_a^{a + 2\pi} f(x)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx\]
olur.
İspat
Adım 1: Öteleme. \(k \in \mathbb{Z}\) ve \([c, d] \subseteq [-\pi, \pi]\) olsun. \(x = t + 2k\pi\) değişken değiştirmesi ve \(f(t + 2k\pi) = f(t)\) ile
\[\int_{c + 2k\pi}^{d + 2k\pi} f(x)\,dx = \int_c^d f(t + 2k\pi)\,dt = \int_c^d f(t)\,dt \tag{1}\]
olur; özel olarak \(f\), \([-\pi, \pi]\) aralığının her ötelemesinde, dolayısıyla sınırlı her aralıkta integrallenebilirdir. Aynı değişken değiştirmesi \((1)\) eşitliğini artık her \([c, d]\) aralığı için verir.
Adım 2: Aralığı parçala. \(a \in \mathbb{R}\) verilsin. \(a \in (-\pi + 2k\pi,\ \pi + 2k\pi]\) olacak biçimde bir \(k \in \mathbb{Z}\) vardır; \(c = a - 2k\pi \in (-\pi, \pi]\) yazalım. \((1)\) ile
\[\int_a^{a + 2\pi} f(x)\,dx = \int_c^{c + 2\pi} f(t)\,dt = \int_c^{\pi} f(t)\,dt + \int_{\pi}^{c + 2\pi} f(t)\,dt\]
olur. Son integralde \(t = s + 2\pi\) yazılırsa \(s\), \(-\pi\)’den \(c\)’ye değişir ve periyodiklikle \(\int_{\pi}^{c + 2\pi} f(t)\,dt = \int_{-\pi}^{c} f(s)\,ds\) bulunur. Öyleyse
\[\int_a^{a + 2\pi} f(x)\,dx = \int_c^{\pi} f(t)\,dt + \int_{-\pi}^{c} f(s)\,ds = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.\]
\(\blacksquare\)
10.2 Ortogonallik Bağıntıları
Katsayı formüllerinin arkasındaki bütün mekanizma, aşağıdaki integrallerdir. Hesaplarında çarpımı toplama çeviren üç özdeşlik kullanılır:
\[ \begin{aligned} \sin\alpha \cos\beta &= \tfrac{1}{2}\big[ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \big], \\[1mm] \cos\alpha \cos\beta &= \tfrac{1}{2}\big[ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) \big], \\[1mm] \sin\alpha \sin\beta &= \tfrac{1}{2}\big[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \big]. \end{aligned} \]
Lemma 10.1 (Ortogonallik Bağıntıları) \(m, n \in \{0, 1, 2, \dots\}\) olsun. O zaman:
\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \cos(nx)\,dx = 0\);
kosinüslerin çarpımı için
\[\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx)\,dx = \begin{cases} 0, & m \ne n \\ \pi, & m = n \ge 1 \\ 2\pi, & m = n = 0 \end{cases}\]
- sinüslerin çarpımı için
\[\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx)\,dx = \begin{cases} 0, & m \ne n \\ \pi, & m = n \ge 1 \\ 0, & m = n = 0 \end{cases}\]
İspat
Önce iki temel integrali hesaplayalım. \(k\) sıfırdan farklı bir tam sayı olsun:
\[\int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx)\,dx = \left[ \frac{\sin(kx)}{k} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(k\pi) - \sin(-k\pi)}{k} = 0, \tag{2}\]
\[\int_{-\pi}^{\pi} \sin(kx)\,dx = \left[ -\frac{\cos(kx)}{k} \right]_{-\pi}^{\pi} = -\frac{\cos(k\pi) - \cos(-k\pi)}{k} = 0. \tag{3}\]
\(k = 0\) için \(\int_{-\pi}^{\pi} \cos(0)\,dx = 2\pi\) ve \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(0)\,dx = 0\)’dır.
(i) Birinci özdeşlik \(\sin(mx)\cos(nx)\) çarpımını \(\sin((m+n)x)\) ve \(\sin((m-n)x)\) fonksiyonlarının toplamının yarısı olarak yazar. \((3)\) ve \(\sin 0 = 0\) gereği iki terimin de integrali \(0\)’dır.
(ii) İkinci özdeşlik \(\cos(mx)\cos(nx)\) çarpımını \(\cos((m+n)x)\) ve \(\cos((m-n)x)\) fonksiyonlarının toplamının yarısı olarak yazar. \(m \ne n\) ise \(m + n \ne 0\) ve \(m - n \ne 0\) olduğundan \((2)\) gereği integral \(0\)’dır. \(m = n \ge 1\) ise birinci terimin integrali \(0\), ikinci terim \(\cos 0 = 1\) olur ve integral \(\tfrac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi\) bulunur. \(m = n = 0\) ise integrand \(1\)’dir ve integral \(2\pi\)’dir.
(iii) Üçüncü özdeşlik \(\sin(mx)\sin(nx)\) çarpımını \(\cos((m-n)x)\) ile \(\cos((m+n)x)\) fonksiyonlarının farkının yarısı olarak yazar. \(m \ne n\) ise iki terimin integrali de \(0\)’dır. \(m = n \ge 1\) ise birinci terim \(1\)’dir, ikincinin integrali \(0\)’dır ve integral \(\pi\) bulunur. \(m = n = 0\) ise integrand \(0\)’dır. \(\blacksquare\)
Bu bağıntılar, vektörlerin dikliğine benzetilerek okunur: \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,g(x)\,dx\) sayısı iki fonksiyonun “iç çarpımı” gibi düşünülürse \(1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots\) fonksiyonlarından farklı herhangi ikisinin iç çarpımı sıfırdır. Bu yüzden bu fonksiyon ailesine ortogonal sistem denir.
10.3 Katsayı Formülleri
Bir \(f\) fonksiyonu trigonometrik bir serinin toplamı olsun. Katsayıları \(f\) cinsinden bulmak için seriyi \(\cos(kx)\) ya da \(\sin(kx)\) ile çarpıp \([-\pi, \pi]\) üzerinde integralleyeceğiz; ortogonallik, sonsuz toplamdan tek bir terim bırakır. İntegrali toplamın içine alabilmek için düzgün yakınsaklık yeterlidir.
Teorem 10.1 (Düzgün Yakınsak Trigonometrik Serinin Katsayıları) \[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big)\]
trigonometrik serisi \([-\pi, \pi]\) üzerinde bir \(f\) fonksiyonuna düzgün yakınsasın. O zaman \(f\) süreklidir ve
\[ \begin{aligned} a_k &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(kx)\,dx \qquad (k \ge 0), \\[1mm] b_k &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(kx)\,dx \qquad (k \ge 1) \end{aligned} \]
olur.
İspat
Terimler sürekli ve seri düzgün yakınsak olduğundan \(f\) süreklidir (Teorem 8.1); özel olarak integrallenebilirdir.
Adım 1: Çarpım serisi de düzgün yakınsar. \(k \ge 0\) sabit olsun ve \(T_N\), serinin kısmi toplamı olsun. \(|\cos(kx)| \le 1\) olduğundan her \(x \in [-\pi, \pi]\) için
\[|T_N(x)\cos(kx) - f(x)\cos(kx)| \le |T_N(x) - f(x)|\]
olur. Sağ yanın supremumu \(0\)’a gittiğinden \(T_N \cos(kx) \rightrightarrows f \cos(kx)\) (\([-\pi, \pi]\)); yani
\[f(x)\cos(kx) = \frac{a_0}{2}\cos(kx) + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(nx)\cos(kx) + b_n \sin(nx)\cos(kx) \big)\]
serisi düzgün yakınsaktır.
Adım 2: Terim terime integral. Teorem 8.2 gereği
\[ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx)\,dx &= \frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx)\,dx \\[1mm] &\quad + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(kx)\,dx + b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\cos(kx)\,dx \right) \end{aligned} \]
olur.
Adım 3: Ortogonallik. \(k = 0\) ise Lemma 10.1 gereği toplamdaki bütün integraller \(0\)’dır ve ilk terim \(\dfrac{a_0}{2} \cdot 2\pi = a_0 \pi\) verir. \(k \ge 1\) ise ilk terim ve sinüslü bütün integraller \(0\)’dır; kosinüslü integrallerden yalnız \(n = k\) olanı sıfırdan farklıdır ve \(\pi\)’ye eşittir. Her iki durumda
\[\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx)\,dx = a_k \pi\]
bulunur; bu, \(a_k\) formülüdür.
Adım 4: \(b_k\). Aynı işlemler \(\sin(kx)\) ile yinelenir (\(k \ge 1\)): \(|\sin(kx)| \le 1\) olduğundan çarpım serisi düzgün yakınsar, terim terime integralde Lemma 10.1 gereği yalnız \(b_k \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(kx)\,dx = b_k \pi\) terimi kalır. \(\blacksquare\)
Teorem, katsayıların nasıl seçilmesi gerektiğini söyler: bir fonksiyon (düzgün yakınsak) bir trigonometrik seriyle temsil edilecekse katsayılar yukarıdaki integrallerden başka bir şey olamaz. Bu gözlem tanımı tersine çevirmeyi önerir: sağdaki integraller yalnız \(f\)’nin integrallenebilir olmasını gerektirir; o hâlde integrallenebilir her fonksiyon için bu sayıları hesaplayıp seriyi kurabiliriz.
Tanım 10.3 (Fourier Katsayıları ve Fourier Serisi) \(f\), \([-\pi, \pi]\) üzerinde integrallenebilir bir fonksiyon olsun.
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\,dx \qquad (n \ge 0), \\[1mm] b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\,dx \qquad (n \ge 1) \end{aligned} \]
sayılarına \(f\)’nin Fourier katsayıları, bu katsayılarla kurulan
\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big)\]
trigonometrik serisine \(f\)’nin Fourier serisi denir. Bu ilişki
\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big)\]
biçiminde yazılır. Serinin \(N\)’inci kısmi toplamı \(S_N\) ile gösterilir:
\[S_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big).\]
Yani Fourier serisi, katsayıları \(f\)’den integral formülleriyle üretilen trigonometrik seridir. Sabit terim \(\dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx\), \(f\)’nin bir periyot üzerindeki ortalama değeridir.
\(\sim\) işareti bilerek seçilmiştir ve eşitlik anlamına gelmez. Tanım yalnız katsayıların nasıl hesaplandığını söyler; serinin yakınsak olduğunu ya da \(f(x)\)’e yakınsadığını söylemez. Bir fonksiyonun Fourier serisi bazı noktalarda ıraksayabilir, yakınsadığı noktalarda da \(f(x)\)’ten farklı bir değere yakınsayabilir. Eşitliğin hangi koşullarda geçerli olduğu noktasal yakınsaklık bölümünde incelenir.
\(f\), \(2\pi\) periyotlu ise Önerme 10.1 gereği katsayı integralleri \([-\pi, \pi]\) yerine uzunluğu \(2\pi\) olan herhangi bir aralıkta, örneğin \([0, 2\pi]\) üzerinde alınabilir.
Teorem 10.1 bu dille şunu söyler: düzgün yakınsak her trigonometrik seri, toplamının Fourier serisidir. Özel olarak bir trigonometrik polinomun Fourier serisi kendisidir.
- Simetriye bak. \(f\) tek mi, çift mi? Tekse bütün \(a_n\), çiftse bütün \(b_n\) sıfırdır (Önerme 10.2).
- \(a_0\)’ı hesapla. \(a_0 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx\); bu integral \(a_n\) formülünden ayrı hesaplanır, çünkü \(n\)’ye bölme içeren genel formül \(n = 0\) için geçersizdir.
- \(a_n\) ve \(b_n\)’yi hesapla. Çoğunlukla kısmi integrasyon gerekir; sonuçta \(\sin(n\pi) = 0\) ve \(\cos(n\pi) = (-1)^n\) kullanılır.
- Seriyi yaz. Katsayılar \(n\)’nin tek ya da çift olmasına göre sadeleşiyorsa seri \(n = 2k - 1\) ya da \(n = 2k\) indisleriyle yeniden yazılır.
Örnek 10.1 (Birim Eğimli Doğrunun Fourier Serisi) \(f(x) = x\) fonksiyonunun \((-\pi, \pi]\) aralığındaki Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
\(a_0\).
\[a_0 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x\,dx = \dfrac{1}{\pi}\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = 0.\]
\(a_n\). \(n \ge 1\) için \(x\cos(nx)\) tek fonksiyondur: \((-x)\cos(-nx) = -x\cos(nx)\). Tek bir fonksiyonun \([-\pi, \pi]\) üzerindeki integrali \(0\)’dır; çünkü \(x = -t\) değişken değiştirmesiyle
\[\int_{-\pi}^{0} x\cos(nx)\,dx = \int_{\pi}^{0} (-t)\cos(-nt)\,(-dt) = -\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt\]
olur ve iki yarının integralleri birbirini götürür. Öyleyse her \(n \ge 0\) için \(a_n = 0\).
\(b_n\). Kısmi integrasyonla (\(u = x\), \(dv = \sin(nx)\,dx\); \(du = dx\), \(v = -\dfrac{\cos(nx)}{n}\)):
\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\left( \left[ -\frac{x\cos(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\,dx \right) \\[1mm] &= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-\pi\cos(n\pi) - \pi\cos(n\pi)}{n} + 0 = -\frac{2\cos(n\pi)}{n} = \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n}. \end{aligned} \]
Seri.
\[x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) = 2\left( \sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots \right).\]
\(x = \pi\) ve \(x = -\pi\) noktalarında serinin bütün terimleri \(0\)’dır; toplam \(0\) olur, oysa \(f(\pi) = \pi\)’dir. Bu, \(\sim\) işaretinin neden eşitlik olmadığının ilk örneğidir. \(\blacksquare\)
Örnek 10.2 (Mutlak Değerin Fourier Serisi) \(f(x) = |x|\) fonksiyonunun \([-\pi, \pi]\) aralığındaki Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
\(|x|\) çift fonksiyondur. \(|x|\sin(nx)\) tek olduğundan \(b_n = 0\); \(|x|\cos(nx)\) çift olduğundan integraller \([0, \pi]\) üzerindeki integralin iki katıdır.
\(a_0\). \(a_0 = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} x\,dx = \dfrac{2}{\pi} \cdot \dfrac{\pi^2}{2} = \pi\).
\(a_n\). \(n \ge 1\) için kısmi integrasyonla (\(u = x\), \(dv = \cos(nx)\,dx\)):
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left( \left[ \frac{x\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx \right) \\[1mm] &= \frac{2}{\pi}\left( 0 + \left[ \frac{\cos(nx)}{n^2} \right]_0^{\pi} \right) = \frac{2}{\pi n^2}\big( (-1)^n - 1 \big). \end{aligned} \]
\(n\) çiftse \((-1)^n - 1 = 0\), \(n\) tekse \((-1)^n - 1 = -2\) olur:
\[a_n = \begin{cases} 0, & n \text{ çift} \\[1mm] -\dfrac{4}{\pi n^2}, & n \text{ tek} \end{cases}\]
Seri. Yalnız tek indisler kalır; \(n = 2k - 1\) yazalım:
\[|x| \sim \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2} = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left( \cos x + \frac{\cos 3x}{3^2} + \frac{\cos 5x}{5^2} + \cdots \right).\]
Katsayılar \(\dfrac{1}{n^2}\) hızıyla küçülür; M-testi gereği bu seri \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Bir önceki örnekteki (Örnek 10.1) katsayılar ise yalnız \(\dfrac{1}{n}\) hızıyla küçülüyordu. Farkın nedeni, \(|x|\)’in periyodik genişlemesinin sürekli, \(x\)’inkinin sıçramalı olmasıdır. \(\blacksquare\)
10.4 Tek ve Çift Fonksiyonlar
İki örnekte de simetri hesabın yarısını ortadan kaldırdı. Bunu genel bir kural olarak kaydedelim.
Önerme 10.2 (Tek ve Çift Fonksiyonların Fourier Katsayıları) \(f\), \([-\pi, \pi]\) üzerinde integrallenebilir olsun.
- \(f\) çift ise, yani her \(x\) için \(f(-x) = f(x)\) ise, bütün \(b_n\) katsayıları sıfırdır ve
\[a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx \quad (n \ge 0), \qquad f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx).\]
- \(f\) tek ise, yani her \(x\) için \(f(-x) = -f(x)\) ise, bütün \(a_n\) katsayıları sıfırdır ve
\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx \quad (n \ge 1), \qquad f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx).\]
İspat
\(g\), \([-\pi, \pi]\) üzerinde integrallenebilir olsun. \(x = -t\) değişken değiştirmesiyle
\[\int_{-\pi}^{0} g(x)\,dx = \int_{\pi}^{0} g(-t)\,(-dt) = \int_0^{\pi} g(-t)\,dt\]
olur. Dolayısıyla
\[\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\,dx = \int_0^{\pi} \big( g(-t) + g(t) \big)\,dt \tag{4}\]
bulunur: \(g\) tek ise integral \(0\), \(g\) çift ise \(2\displaystyle\int_0^{\pi} g(t)\,dt\)’dir.
(i) \(f\) çift olsun. \(\cos(nx)\) çift olduğundan \(f(x)\cos(nx)\) çifttir; \(\sin(nx)\) tek olduğundan \(f(x)\sin(nx)\) tektir. \((4)\) gereği \(b_n = 0\) ve \(a_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\).
(ii) \(f\) tek olsun. Bu kez \(f(x)\cos(nx)\) tek, \(f(x)\sin(nx)\) çifttir (iki tek fonksiyonun çarpımı çifttir). \((4)\) gereği \(a_n = 0\) ve \(b_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\). \(\blacksquare\)
Örnek 10.3 (Basamak Fonksiyonunun Fourier Serisi) \([-\pi, \pi]\) üzerinde \(f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi \le x < 0 \\ 2, & 0 \le x \le \pi \end{cases}\) fonksiyonunun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
\(f\) ne tek ne çifttir; üç katsayı ailesini de hesaplayalım. \(f\), \([-\pi, 0)\) üzerinde \(0\) olduğundan integraller yalnız \([0, \pi]\) üzerinde alınır.
\(a_0\). \(a_0 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} 2\,dx = 2\).
\(a_n\). \(n \ge 1\) için
\[a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} 2\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} = 0.\]
\(b_n\).
\[b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} 2\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} = \frac{2}{n\pi}\big( 1 - (-1)^n \big).\]
\(n\) çiftse \(b_n = 0\), \(n\) tekse \(b_n = \dfrac{4}{n\pi}\) olur.
Seri.
\[f(x) \sim 1 + \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1} = 1 + \frac{4}{\pi}\left( \sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots \right).\]
Sabit terim \(1\), fonksiyonun ortalama değeridir. \(f - 1\) fonksiyonu \(x \ne 0\) için tektir (\(-1\) ile \(1\) arasında sıçrar); serinin sabit terim dışında yalnız sinüs içermesinin nedeni budur. \(\blacksquare\)
10.5 Periyodu \(2L\) Olan Fonksiyonlar
Periyot \(2\pi\) olmak zorunda değildir. \(L > 0\) olmak üzere \(2L\) periyotlu bir \(f\) fonksiyonu, değişkeni ölçekleyerek \(2\pi\) periyotlu hâle getirilir: \(g(t) = f\left( \dfrac{Lt}{\pi} \right)\) fonksiyonu \(2\pi\) periyotludur, çünkü
\[g(t + 2\pi) = f\left( \frac{Lt}{\pi} + 2L \right) = f\left( \frac{Lt}{\pi} \right) = g(t).\]
\(g\)’nin Fourier katsayılarında \(x = \dfrac{Lt}{\pi}\) değişken değiştirmesi yapılırsa (\(dt = \dfrac{\pi}{L}\,dx\); \(t = \pm\pi\) için \(x = \pm L\))
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\cos(nt)\,dt = \frac{1}{\pi}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L} \cdot \frac{\pi}{L}\,dx \\[1mm] &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx \end{aligned} \]
bulunur; \(b_n\) için de aynı hesap geçerlidir. \(g\)’nin Fourier serisinde \(t = \dfrac{\pi x}{L}\) yazılınca \(\cos(nt)\) ve \(\sin(nt)\) yerine \(\cos\dfrac{n\pi x}{L}\) ve \(\sin\dfrac{n\pi x}{L}\) gelir; böylece aşağıdaki tanıma ulaşılır.
Tanım 10.4 (Periyodu 2L Olan Fonksiyonun Fourier Serisi) \(L > 0\) ve \(f\), \([-L, L]\) üzerinde integrallenebilir olsun.
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx \qquad (n \ge 0), \\[1mm] b_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx \qquad (n \ge 1) \end{aligned} \]
olmak üzere
\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L} \right)\]
serisine \(f\)’nin \([-L, L]\) aralığındaki Fourier serisi denir.
Yani \(2\pi\) periyotlu durumdaki bütün formüllerde \(\pi\) yerine \(L\), \(nx\) yerine \(\dfrac{n\pi x}{L}\) gelir; \(L = \pi\) için eski tanım geri elde edilir. Tek ve çift fonksiyon kuralları da aynen geçerlidir: \(f\) çiftse \(b_n = 0\) ve \(a_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^{L} f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx\); \(f\) tekse \(a_n = 0\) ve \(b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^{L} f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{L}\,dx\). Periyot \(T\) ile verildiğinde \(L = \dfrac{T}{2}\) alınır.
Örnek 10.4 (Periyodu 2 Olan Testere Dişi) \(-1 < t \le 1\) için \(f(t) = t\) ve \(f(t + 2) = f(t)\) ile verilen fonksiyonun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
Periyot \(T = 2\) olduğundan \(L = 1\)’dir. \(f\) tek fonksiyondur; dolayısıyla \(a_0 = 0\) ve \(n \ge 1\) için \(a_n = 0\) olur.
\(b_n\). \(u = t\), \(dv = \sin(n\pi t)\,dt\) ile kısmi integrasyon (\(v = -\dfrac{\cos(n\pi t)}{n\pi}\)):
\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{1}\int_0^1 t\sin(n\pi t)\,dt = 2\left( \left[ -\frac{t\cos(n\pi t)}{n\pi} \right]_0^1 + \frac{1}{n\pi}\int_0^1 \cos(n\pi t)\,dt \right) \\[1mm] &= 2\left( -\frac{\cos(n\pi)}{n\pi} + \left[ \frac{\sin(n\pi t)}{n^2\pi^2} \right]_0^1 \right) = -\frac{2\,(-1)^n}{n\pi} = \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n\pi}. \end{aligned} \]
Seri.
\[f(t) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin(n\pi t).\]
Bu, Örnek 10.1 serisinin ölçeklenmiş hâlidir: orada \(x = \pi t\) yazılıp iki yan \(\pi\)’ye bölünürse aynı seri çıkar. \(\blacksquare\)
Örnek 10.5 (Dar Bir Darbenin Fourier Katsayıları) \([-2, 2]\) aralığında \(f(x) = \begin{cases} 1, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}\) fonksiyonunun Fourier katsayılarını bulunuz.
Çözüm
\(L = 2\)’dir ve integraller yalnız \([0, 1]\) üzerinde alınır.
\(a_0\). \(a_0 = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 dx = \dfrac{1}{2}\).
\(a_n\). \(n \ge 1\) için
\[a_n = \frac{1}{2}\int_0^1 \cos\frac{n\pi x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[ \frac{2}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2}.\]
\(\sin\dfrac{n\pi}{2}\) sayısı \(n\) çiftse \(0\), \(n = 4k + 1\) ise \(1\), \(n = 4k + 3\) ise \(-1\)’dir:
\[a_n = \begin{cases} 0, & n \text{ çift} \\[1mm] \dfrac{1}{n\pi}, & n = 4k + 1 \\[1mm] -\dfrac{1}{n\pi}, & n = 4k + 3 \end{cases}\]
\(b_n\).
\[b_n = \frac{1}{2}\int_0^1 \sin\frac{n\pi x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[ -\frac{2}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{n\pi}\left( 1 - \cos\frac{n\pi}{2} \right).\]
\(\cos\dfrac{n\pi}{2}\) sayısı \(n\) tekse \(0\), \(n = 4k\) ise \(1\), \(n = 4k + 2\) ise \(-1\)’dir:
\[b_n = \begin{cases} 0, & n = 4k \\[1mm] \dfrac{1}{n\pi}, & n \text{ tek} \\[1mm] \dfrac{2}{n\pi}, & n = 4k + 2 \end{cases}\]
İlk katsayılar: \(a_1 = \dfrac{1}{\pi}\), \(a_2 = 0\), \(a_3 = -\dfrac{1}{3\pi}\); \(b_1 = \dfrac{1}{\pi}\), \(b_2 = \dfrac{1}{\pi}\), \(b_3 = \dfrac{1}{3\pi}\), \(b_4 = 0\). \(\blacksquare\)
10.6 Alıştırmalar
Alıştırma 10.1 (Yarım Rampa) \(2\pi\) periyotlu ve \((-\pi, \pi]\) üzerinde \(f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0 \\ x, & 0 \le x \le \pi \end{cases}\) ile verilen fonksiyonun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
\(a_0\). \(a_0 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} x\,dx = \dfrac{1}{\pi} \cdot \dfrac{\pi^2}{2} = \dfrac{\pi}{2}\).
\(a_n\). Örnek 10.2 çözümündeki integral burada yarı çarpanla gelir:
\[a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\left[ \frac{\cos(nx)}{n^2} \right]_0^{\pi} = \frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2}.\]
\(b_n\). \(u = x\), \(dv = \sin(nx)\,dx\) ile
\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\left( \left[ -\frac{x\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \cos(nx)\,dx \right) \\[1mm] &= -\frac{\cos(n\pi)}{n} = \frac{(-1)^{n+1}}{n}. \end{aligned} \]
Seri.
\[f(x) \sim \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) \right).\]
Bu fonksiyon \(\dfrac{|x| + x}{2}\)’dir; katsayıları da Örnek 10.2 ile Örnek 10.1 katsayılarının toplamının yarısıdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 10.2 (Trigonometrik Polinomun Fourier Serisi) \(f(x) = \cos(3x)\) fonksiyonunun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
\(f\) çifttir; \(b_n = 0\). Lemma 10.1 (ii) gereği
\[a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(3x)\cos(nx)\,dx = \begin{cases} 1, & n = 3 \\ 0, & n \ne 3 \end{cases}\]
olur (\(n = 0\) dahil). Fourier serisinde tek bir terim kalır:
\[\cos(3x) \sim \cos(3x).\]
Bir trigonometrik polinomun Fourier serisi kendisidir; katsayı formülleri, polinomda zaten yazılı olan katsayıları geri verir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 10.3 (Özdeşlikle Fourier Serisi) \(f(x) = \sin^2 x\) fonksiyonunun Fourier serisini integral hesaplamadan bulunuz.
Çözüm
Yarım açı özdeşliği \(\sin^2 x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(2x)\) verir. Sağ yan bir trigonometrik polinomdur; Teorem 10.1 gereği kendi Fourier serisidir. Katsayılar \(a_0 = 1\), \(a_2 = -\dfrac{1}{2}\) ve öbürleri \(0\)’dır:
\[\sin^2 x \sim \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x).\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.4 (Çarpım Biçiminde Çift Fonksiyon) \((-\pi, \pi]\) üzerinde \(f(x) = x\sin x\) ve \(f(x + 2\pi) = f(x)\) ile verilen fonksiyonun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
\((-x)\sin(-x) = x\sin x\) olduğundan \(f\) çifttir; \(b_n = 0\).
\(a_0\). \(u = x\), \(dv = \sin x\,dx\) ile
\[a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \frac{2}{\pi}\left( \Big[ -x\cos x \Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx \right) = \frac{2}{\pi}\,(\pi + 0) = 2.\]
\(a_n\). Çarpımı farka çeviren
\[\sin x\cos(nx) = \tfrac{1}{2}\big[ \sin((n+1)x) - \sin((n-1)x) \big]\]
özdeşliğiyle
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin x\cos(nx)\,dx \\[1mm] &= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin((n+1)x)\,dx - \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin((n-1)x)\,dx \end{aligned} \]
olur. \(m \ge 1\) için kısmi integrasyonla
\[\int_0^{\pi} x\sin(mx)\,dx = -\frac{\pi\cos(m\pi)}{m} = \frac{\pi\,(-1)^{m+1}}{m}\]
bulunur.
- \(n = 1\) için ikinci integral \(\sin 0 = 0\) nedeniyle \(0\)’dır: \(a_1 = \dfrac{1}{\pi} \cdot \dfrac{\pi\,(-1)^{3}}{2} = -\dfrac{1}{2}\).
- \(n \ge 2\) için \[a_n = \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} - \frac{(-1)^{n}}{n-1} = (-1)^n\left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right) = \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n^2 - 1}.\]
Seri.
\[ \begin{aligned} x\sin x &\sim 1 - \frac{1}{2}\cos x + 2\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 - 1}\cos(nx) \\[1mm] &= 1 - \frac{\cos x}{2} - \frac{2\cos 2x}{3} + \frac{\cos 3x}{4} - \cdots \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.5 (Doğrultulmuş Sinüs) \(f(x) = |\sin x|\) fonksiyonunun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
\(|\sin(-x)| = |\sin x|\) olduğundan \(f\) çifttir; \(b_n = 0\). \([0, \pi]\) üzerinde \(|\sin x| = \sin x\)’tir.
\(a_0\).
\[a_0 = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \dfrac{2}{\pi}\Big[ -\cos x \Big]_0^{\pi} = \dfrac{4}{\pi}.\]
\(a_1\).
\[a_1 = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\cos x\,dx = \dfrac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \sin(2x)\,dx = \dfrac{1}{\pi}\left[ -\dfrac{\cos(2x)}{2} \right]_0^{\pi} = 0.\]
\(a_n\), \(n \ge 2\). Alıştırma 10.4 çözümündeki çarpım özdeşliğiyle
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \big[ \sin((n+1)x) - \sin((n-1)x) \big]\,dx \\[1mm] &= \frac{1}{\pi}\left( \frac{1 - \cos((n+1)\pi)}{n+1} - \frac{1 - \cos((n-1)\pi)}{n-1} \right). \end{aligned} \]
\(\cos((n \pm 1)\pi) = (-1)^{n+1}\) olduğundan
\[a_n = \frac{1 - (-1)^{n+1}}{\pi}\left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right) = -\frac{2\big( 1 + (-1)^n \big)}{\pi\,(n^2 - 1)}\]
olur. \(n\) tekse \(a_n = 0\); \(n = 2k\) ise \(a_{2k} = -\dfrac{4}{\pi\,(4k^2 - 1)}\).
Seri.
\[|\sin x| \sim \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2kx)}{4k^2 - 1}.\]
Seride yalnız çift katlı kosinüsler vardır; bunun nedeni \(|\sin x|\) fonksiyonunun periyodunun aslında \(\pi\) olmasıdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 10.6 (Periyodu 4 Olan Yarım Rampa) \(f(x) = \begin{cases} 0, & -2 < x < 0 \\ x, & 0 \le x \le 2 \end{cases}\) ve \(f(x + 4) = f(x)\) ile verilen fonksiyonun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
Periyot \(4\) olduğundan \(L = 2\)’dir; integraller \([0, 2]\) üzerinde alınır.
\(a_0\). \(a_0 = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 x\,dx = \dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1\).
\(a_n\). \(u = x\), \(dv = \cos\dfrac{n\pi x}{2}\,dx\) ile (\(v = \dfrac{2}{n\pi}\sin\dfrac{n\pi x}{2}\))
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{2}\int_0^2 x\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left( \left[ \frac{2x}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{2} \right]_0^2 - \frac{2}{n\pi}\int_0^2 \sin\frac{n\pi x}{2}\,dx \right) \\[1mm] &= \frac{1}{2}\left( 0 + \frac{4}{n^2\pi^2}\left[ \cos\frac{n\pi x}{2} \right]_0^2 \right) = \frac{2}{n^2\pi^2}\big( (-1)^n - 1 \big). \end{aligned} \]
\(b_n\). \(u = x\), \(dv = \sin\dfrac{n\pi x}{2}\,dx\) ile (\(v = -\dfrac{2}{n\pi}\cos\dfrac{n\pi x}{2}\))
\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{2}\int_0^2 x\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left( \left[ -\frac{2x}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{2} \right]_0^2 + \frac{2}{n\pi}\int_0^2 \cos\frac{n\pi x}{2}\,dx \right) \\[1mm] &= \frac{1}{2}\left( -\frac{4\cos(n\pi)}{n\pi} + 0 \right) = \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n\pi}. \end{aligned} \]
Seri.
\[f(x) \sim \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2\big( (-1)^n - 1 \big)}{n^2\pi^2}\cos\frac{n\pi x}{2} + \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{2} \right).\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.7 (Kırpılmış Testere Dişi) \(f(t) = \begin{cases} -1, & -2 < t < -1 \\ t, & -1 \le t \le 1 \\ 1, & 1 < t < 2 \end{cases}\) ve \(f(t + 4) = f(t)\) ile verilen fonksiyonun Fourier serisini bulunuz.
Çözüm
Her parçada \(f(-t) = -f(t)\) olduğu doğrudan görülür: \(1 < t < 2\) için \(f(-t) = -1 = -f(t)\) ve \(|t| \le 1\) için \(f(-t) = -t\). \(f\) tektir; \(a_n = 0\) (\(n \ge 0\)). Periyot \(4\) olduğundan \(L = 2\)’dir ve
\[b_n = \frac{2}{2}\int_0^2 f(t)\sin\frac{n\pi t}{2}\,dt = \int_0^1 t\sin\frac{n\pi t}{2}\,dt + \int_1^2 \sin\frac{n\pi t}{2}\,dt\]
olur.
Birinci integral. \(u = t\), \(dv = \sin\dfrac{n\pi t}{2}\,dt\) ile
\[ \begin{aligned} \int_0^1 t\sin\frac{n\pi t}{2}\,dt &= \left[ -\frac{2t}{n\pi}\cos\frac{n\pi t}{2} \right]_0^1 + \frac{2}{n\pi}\int_0^1 \cos\frac{n\pi t}{2}\,dt \\[1mm] &= -\frac{2}{n\pi}\cos\frac{n\pi}{2} + \frac{4}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}. \end{aligned} \]
İkinci integral.
\[\int_1^2 \sin\frac{n\pi t}{2}\,dt = \left[ -\frac{2}{n\pi}\cos\frac{n\pi t}{2} \right]_1^2 = -\frac{2}{n\pi}\cos(n\pi) + \frac{2}{n\pi}\cos\frac{n\pi}{2}.\]
Toplam. \(\cos\dfrac{n\pi}{2}\) terimleri birbirini götürür:
\[b_n = \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n\pi} + \frac{4}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}.\]
Seri.
\[f(t) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n\pi} + \frac{4}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2} \right)\sin\frac{n\pi t}{2}.\]
İlk katsayılar \(b_1 = \dfrac{2}{\pi} + \dfrac{4}{\pi^2}\), \(b_2 = -\dfrac{1}{\pi}\), \(b_3 = \dfrac{2}{3\pi} - \dfrac{4}{9\pi^2}\) olur. \(\blacksquare\)
Katsayıları hesaplamayı öğrendik, ama serinin fonksiyonla ilişkisi hâlâ belirsiz. İlk adım olarak En İyi Yaklaşım ve Bessel Eşitsizliği bölümünde Fourier kısmi toplamlarının hangi anlamda “en iyi” trigonometrik polinomlar olduğunu ve katsayıların neden sıfıra gitmek zorunda olduğunu görüyoruz.