20 Parametreye Bağlı Genelleştirilmiş İntegraller

Parametreye Bağlı İntegraller bölümünde \(F(y) = \displaystyle\int_a^b f(x, y)\,dx\) fonksiyonunu sınırlı bir \([a, b]\) aralığında inceledik: \(f\) sürekli olduğunda \(F\) de sürekliydi ve iki integralin sırası değiştirilebiliyordu; \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) de sürekliyse türev integral işaretinin altında alınabiliyordu. İntegrasyon aralığı sınırsız olduğunda ya da integrali alınan fonksiyon bir uç yakınında sınırsız kaldığında \(F(y)\) bir genelleştirilmiş integrale dönüşür ve \(f\)’nin sürekliliği artık tek başına yetmez. Örneğin

\[F(t) = \int_0^{+\infty} t e^{-tx}\,dx \qquad (t \ge 0)\]

integralinde \(t e^{-tx}\) fonksiyonu her yerde süreklidir; buna karşın birazdan göreceğimiz gibi \(F(0) = 0\) ve \(t > 0\) için \(F(t) = 1\) olur: \(F\), \(t = 0\) noktasında süreksizdir.

Bu tablo tanıdıktır. Sürekli fonksiyonların noktasal limiti süreksiz olabiliyordu ve çare düzgün yakınsaklıktı. Genelleştirilmiş integral de bir limittir; dolayısıyla aynı çare burada da işe yarar. Fonksiyon serileriyle parametreye bağlı genelleştirilmiş integraller arasındaki sözlük şöyledir:

Tablo 20.1: Fonksiyon serileri ile parametreye bağlı genelleştirilmiş integraller arasındaki sözlük

Fonksiyon serisi	Parametreye bağlı integral
toplam indisi \(n\)	integrasyon değişkeni \(x\)
değişken \(x \in E\)	parametre \(y \in Y\)
kısmi toplam \(S_n(x)\)	\(\displaystyle\int_a^b f(x, y)\,dx\)
toplam \(S(x)\)	\(F(y)\)
kalan \(S(x) - S_n(x)\)	\(\displaystyle\int_b^{+\infty} f(x, y)\,dx\)

Bu bölümde önce düzgün yakınsaklığı tanımlıyor, sonra onu göstermenin yollarını (Cauchy kriteri, Weierstrass M-testi, Dirichlet ve Abel testleri) kuruyoruz. Ardından düzgün yakınsaklığın sağladıklarını sırayla ispatlıyoruz: \(F\) süreklidir, parametreye göre integrali ve türevi integral işaretinin altında alınabilir. Gamma fonksiyonunun sürekliliği bu sonuçların ilk uygulamasıdır. Bölümün sonunda bu araçlarla \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx\) integralinin değerini buluyoruz.

20.1 Noktasal ve Düzgün Yakınsaklık

Parametrenin her değeri için ayrı bir genelleştirilmiş integral vardır; önce bunların hepsinin yakınsak olmasını, sonra yakınsamanın parametreden bağımsız bir hızla gerçekleşmesini tanımlıyoruz. Bölüm boyunca \(Y \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan bir kümedir; en sık karşılaşılan durum \(Y = [c, d]\) aralığıdır.

Tanım 20.1 (Parametreye Bağlı Genelleştirilmiş İntegral) \(a \in \mathbb{R}\) ve \(f : [a, +\infty) \times Y \to \mathbb{R}\) olsun; her \(y \in Y\) ve her \(b > a\) için \(x \mapsto f(x, y)\) fonksiyonu \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir olsun. Her \(y \in Y\) için \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) genelleştirilmiş integrali (Tanım 15.1) yakınsaksa bu integrale \(Y\) üzerinde noktasal yakınsaktır denir. Bu durumda

\[F(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x, y)\,dx\]

ile tanımlanan \(F : Y \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna parametreye bağlı genelleştirilmiş integral, \(y\) değişkenine parametre denir.

Yani \(y\) sabitlenir ve \(x\)’e göre sıradan bir genelleştirilmiş integral hesaplanır; sonuç \(y\)’ye bağlı bir sayıdır. Limit tanımıyla yazarsak: her \(y \in Y\) ve her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(B > a\) vardır ki \(b \ge B\) olduğunda \(\left| F(y) - \displaystyle\int_a^b f(x, y)\,dx \right| < \varepsilon\) olur. Buradaki \(B\) sayısı hem \(\varepsilon\)’a hem \(y\)’ye bağlıdır. Düzgün yakınsaklık, tek bir \(B\)’nin bütün parametre değerleri için yetmesidir.

Tanım 20.2 (Genelleştirilmiş İntegralin Düzgün Yakınsaklığı) \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali \(Y\) üzerinde \(F\) fonksiyonuna noktasal yakınsasın. Her \(\varepsilon > 0\) için yalnız \(\varepsilon\)’a bağlı öyle bir \(B = B(\varepsilon) > a\) sayısı varsa ki \(b \ge B\) olan her \(b\) ve her \(y \in Y\) için

\[\left| F(y) - \int_a^b f(x, y)\,dx \right| < \varepsilon\]

olsun, o zaman integrale \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır denir. Sol yandaki fark integralin kalanıdır:

\[F(y) - \int_a^b f(x, y)\,dx = \int_b^{+\infty} f(x, y)\,dx.\]

Dolayısıyla düzgün yakınsaklık

\[\lim_{b \to +\infty}\ \sup_{y \in Y} \left| \int_b^{+\infty} f(x, y)\,dx \right| = 0\]

koşuluna denktir.

Yani \(b\) yeterince büyük seçildiğinde \([a, b]\) üzerindeki integral, \(F(y)\) değerine bütün \(y \in Y\) noktalarında aynı anda \(\varepsilon\)’dan daha yakındır. Tanımdaki iki eşitliği gerekçelendirelim. \(b < b'\) için integralin aralık üzerinde toplamsallığı (bkz. Analiz 2)

\[\int_a^{b'} f(x, y)\,dx = \int_a^{b} f(x, y)\,dx + \int_b^{b'} f(x, y)\,dx\]

verir. \(b' \to +\infty\) iken sol yan \(F(y)\)’ye yakınsar; öyleyse sağdaki son integralin de limiti vardır ve bu limit \(F(y) - \displaystyle\int_a^b f(x, y)\,dx\) sayısıdır. Kalan için yazılan eşitlik budur. Supremumlu koşula gelince: tanımdaki eşitsizlik her \(y \in Y\) için sağlanıyorsa \(b \ge B\) iken kalanların mutlak değerlerinin supremumu en çok \(\varepsilon\)’dur; tersine, supremum \(0\)’a gidiyorsa bir \(B\)’den sonra \(\varepsilon\)’dan küçüktür ve her \(y\) için kalan da öyledir.

Tanımdan iki basit sonuç çıkar. İntegral \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaksa \(Y\)’nin her alt kümesinde de düzgün yakınsaktır; aynı \(B\) sayısı iş görür. İntegral \(Y_1\) ve \(Y_2\) kümelerinin her birinde düzgün yakınsaksa \(Y_1 \cup Y_2\) üzerinde de düzgün yakınsaktır; iki \(B\) sayısının büyüğü alınır.

Örnek 20.1 (Noktasal Yakınsak Bir İntegral) \(F(t) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t e^{-tx}\,dx\) integralinin \([0, +\infty)\) üzerinde noktasal yakınsak olduğunu gösteriniz ve \(F\) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm

\(t = 0\). İntegrali alınan fonksiyon özdeş olarak sıfırdır: her \(b > 0\) için \(\displaystyle\int_0^b 0\,dx = 0\) ve \(F(0) = 0\).

\(t > 0\). \(\left( -e^{-tx} \right)' = t e^{-tx}\) olduğundan

\[\int_0^b t e^{-tx}\,dx = \Big[ -e^{-tx} \Big]_0^b = 1 - e^{-bt}\]

olur. \(b \to +\infty\) iken \(e^{-bt} \to 0\) olduğundan \(F(t) = 1\)’dir.

İntegral her \(t \ge 0\) için yakınsaktır ve

\[F(t) = \begin{cases} 0, & t = 0 \\ 1, & t > 0 \end{cases}\]

olur. \(\blacksquare\)

Örnek 20.2 (Düzgün Yakınsamayan Bir İntegral) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t e^{-tx}\,dx\) integralinin \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Örnek 20.1 çözümündeki hesaptan kalanı yazalım. \(t > 0\) için

\[\int_b^{+\infty} t e^{-tx}\,dx = F(t) - \int_0^b t e^{-tx}\,dx = 1 - \left( 1 - e^{-bt} \right) = e^{-bt}\]

olur; \(t = 0\) için kalan \(0\)’dır. Herhangi bir \(b > 0\) verilsin ve \(t_b = \dfrac{1}{b}\) alınsın. Bu parametre değerinde kalan

\[e^{-b \cdot \frac{1}{b}} = e^{-1}\]

sayısıdır. Öyleyse her \(b > 0\) için

\[\sup_{t \ge 0} \left| \int_b^{+\infty} t e^{-tx}\,dx \right| \ge \frac{1}{e}\]

olur ve bu supremum \(b \to +\infty\) iken \(0\)’a gitmez. Tanım 20.2 gereği integral \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. (\(\varepsilon = \dfrac{1}{3}\) için hiçbir \(B\) sayısı tanımdaki koşulu sağlamaz, çünkü \(\dfrac{1}{e} > \dfrac{1}{3}\)’tür.) \(\blacksquare\)

Örnek 20.3 (Sıfırdan Uzakta Düzgün Yakınsaklık) \(\delta > 0\) olsun. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t e^{-tx}\,dx\) integralinin \([\delta, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(t \ge \delta\) ve \(b > 0\) için \(bt \ge b\delta\) olduğundan kalan

\[0 < \int_b^{+\infty} t e^{-tx}\,dx = e^{-bt} \le e^{-b\delta}\]

eşitsizliğini sağlar. Sağdaki sayı \(t\)’den bağımsızdır; dolayısıyla

\[\sup_{t \ge \delta} \left| \int_b^{+\infty} t e^{-tx}\,dx \right| \le e^{-b\delta}\]

olur. \(\delta > 0\) sabit olduğundan \(b \to +\infty\) iken \(e^{-b\delta} \to 0\)’dır. Kalanların supremumu \(0\)’a gider; integral \([\delta, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Üç örnek birlikte okunmalıdır. \(t\) küçüldükçe \(e^{-bt}\) kalanını küçültmek için gereken \(b\) büyür; \(t \to 0^+\) iken bu \(b\) sınırsız büyür ve ortak bir \(B\) bulunamaz. Parametre \(0\)’dan \(\delta\) kadar uzak tutulduğunda sorun ortadan kalkar. \(F\)’nin \(t = 0\)’daki süreksizliği ile düzgün yakınsaklığın \(0\) yakınında bozulması arasındaki bağ rastlantı değildir; bunu Teorem 20.6 açıklayacak.

Aynı kavramlar II. tip integraller için de tanımlanır.

Tanım 20.3 (İkinci Tip İntegralde Düzgün Yakınsaklık) \(a < b\) reel sayılar ve \(f : [a, b) \times Y \to \mathbb{R}\) olsun; her \(y \in Y\) ve her \(a < t < b\) için \(x \mapsto f(x, y)\) fonksiyonu \([a, t]\) üzerinde integrallenebilir olsun (tekil nokta \(b\); Tanım 17.1). Her \(y \in Y\) için

\[F(y) = \int_a^{b} f(x, y)\,dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x, y)\,dx\]

limiti var ve sonluysa integrale \(Y\) üzerinde noktasal yakınsaktır denir. Buna ek olarak her \(\varepsilon > 0\) için yalnız \(\varepsilon\)’a bağlı öyle bir \(\delta \in (0, b - a)\) varsa ki \(b - \delta < t < b\) olan her \(t\) ve her \(y \in Y\) için

\[\left| F(y) - \int_a^t f(x, y)\,dx \right| = \left| \int_t^{b} f(x, y)\,dx \right| < \varepsilon\]

olsun, o zaman integrale \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır denir.

Yani I. tipteki “\(b\) yeterince büyük” koşulunun yerini “\(t\), tekil noktaya yeterince yakın” koşulu alır; düzgünlük yine \(\delta\)’nın \(y\)’ye bağlı olmamasıdır. Tekil nokta sol uçsa ya da integral \((-\infty, b]\) üzerindeyse tanım aynı biçimde yazılır. Bu bölümdeki teoremleri I. tip integraller için ifade ve ispat ediyoruz; II. tip için ifadeler ve ispatlar, “\(b \ge B\)” yerine “\(b - \delta < t < b\)” yazılarak aynen yinelenir.

20.2 Dizi Ölçütü ve Cauchy Kriteri

Düzgün yakınsaklığı fonksiyon dizilerinin diline çeviren bir ölçütle başlıyoruz; önceki bölümlerin teoremlerini integrallere taşıyan köprü budur.

Teorem 20.1 (Düzgün Yakınsaklık için Dizi Ölçütü) \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali \(Y\) üzerinde \(F\) fonksiyonuna noktasal yakınsasın. İntegralin \(Y\) üzerinde düzgün yakınsak olması için gerek ve yeter koşul şudur: \(u_k \ge a\) ve \(u_k \to +\infty\) olan her \((u_k)\) sayı dizisi için

\[F_k(y) = \int_a^{u_k} f(x, y)\,dx \qquad (y \in Y)\]

fonksiyon dizisi \(Y\) üzerinde \(F\)’ye düzgün yakınsar: \(F_k \rightrightarrows F\) (\(Y\)).

İspat

(\(\Rightarrow\)) İntegral düzgün yakınsak olsun, \(u_k \to +\infty\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Tanım 20.2 gereği öyle bir \(B > a\) vardır ki \(b \ge B\) ve her \(y \in Y\) için \(\left| F(y) - \displaystyle\int_a^b f(x, y)\,dx \right| < \varepsilon\) olur. \(u_k \to +\infty\) olduğundan öyle bir \(K \in \mathbb{N}\) vardır ki \(k \ge K\) için \(u_k \ge B\) olur. Öyleyse \(k \ge K\) ve her \(y \in Y\) için

\[|F(y) - F_k(y)| = \left| F(y) - \int_a^{u_k} f(x, y)\,dx \right| < \varepsilon\]

bulunur. \(K\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır; \(F_k \rightrightarrows F\) (\(Y\)).

(\(\Leftarrow\)) Karşıt tersini gösterelim: integral \(Y\) üzerinde düzgün yakınsak olmasın. Tanımın olumsuzu gereği öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(B > a\) için

\[b \ge B \qquad \text{ve} \qquad \left| F(y) - \int_a^{b} f(x, y)\,dx \right| \ge \varepsilon_0\]

olacak biçimde bir \(b\) sayısı ve bir \(y \in Y\) noktası bulunur. Her \(k \in \mathbb{N}\) için bunu \(B = a + k\) ile uygulayalım ve bulunan sayıya \(u_k\), bulunan noktaya \(y_k\) diyelim. \(u_k \ge a + k\) olduğundan \(u_k \ge a\) ve \(u_k \to +\infty\) olur. Öte yandan bu dizi için her \(k\)’de

\[|F(y_k) - F_k(y_k)| \ge \varepsilon_0\]

sağlanır. Öyleyse \(\varepsilon = \varepsilon_0\) için hiçbir indisten sonra \(|F(y) - F_k(y)| < \varepsilon_0\) eşitsizliği bütün \(y \in Y\) noktalarında birden geçerli olamaz; \((F_k)\) dizisi \(F\)’ye düzgün yakınsamaz. Böylece koşul sağlanıyorsa integral düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Ölçüt çoğu zaman \(u_k = a + k\) dizisiyle kullanılır: integral düzgün yakınsaksa \(F_k(y) = \displaystyle\int_a^{a+k} f(x, y)\,dx\) fonksiyonları \(F\)’ye düzgün yakınsar. Her \(F_k\) sınırlı bir aralıktaki parametreye bağlı integraldir ve bir önceki bölümün teoremleri ona uygulanır; düzgün yakınsaklık da bu özellikleri \(F\)’ye taşır.

Limit fonksiyonu \(F\)’yi bilmeden düzgün yakınsaklığa karar vermek için yine Cauchy kriterine başvurulur.

Teorem 20.2 (Parametreye Bağlı İntegraller için Cauchy Kriteri) \(f : [a, +\infty) \times Y \to \mathbb{R}\) olsun ve her \(y \in Y\), her \(b > a\) için \(x \mapsto f(x, y)\) fonksiyonu \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir olsun. \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integralinin \(Y\) üzerinde düzgün yakınsak olması için gerek ve yeter koşul şudur: her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(B > a\) vardır ki \(b_2 > b_1 \ge B\) olan her \(b_1, b_2\) ve her \(y \in Y\) için

\[\left| \int_{b_1}^{b_2} f(x, y)\,dx \right| < \varepsilon\]

olur.

İspat

(\(\Rightarrow\)) İntegral \(Y\) üzerinde \(F\)’ye düzgün yakınsasın ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Öyle bir \(B > a\) vardır ki \(b \ge B\) ve her \(y \in Y\) için \(\left| F(y) - \displaystyle\int_a^b f(x, y)\,dx \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. \(b_2 > b_1 \ge B\) ve \(y \in Y\) için araya \(F(y)\) ekleyip çıkaralım:

\[ \begin{aligned} \left| \int_{b_1}^{b_2} f(x, y)\,dx \right| &= \left| \int_a^{b_2} f(x, y)\,dx - \int_a^{b_1} f(x, y)\,dx \right| \\[1mm] &\le \left| \int_a^{b_2} f(x, y)\,dx - F(y) \right| + \left| F(y) - \int_a^{b_1} f(x, y)\,dx \right| \\[1mm] &< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \end{aligned} \]

(\(\Leftarrow\)) Koşul sağlansın.

Adım 1: Noktasal yakınsaklık. \(y \in Y\) sabit olsun. Koşul, bu \(y\) için tek değişkenli \(x \mapsto f(x, y)\) fonksiyonunun genelleştirilmiş integraller için Cauchy kriterini (Teorem 16.1) sağladığını söyler. Öyleyse \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) yakınsaktır; değerine \(F(y)\) diyelim.

Adım 2: Yakınsama düzgündür. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve koşuldaki \(B\) sayısı \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) için seçilsin. \(b_1 \ge B\) ve \(y \in Y\) sabitlensin. \(b_2 > b_1\) olan her \(b_2\) için

\[\left| \int_a^{b_2} f(x, y)\,dx - \int_a^{b_1} f(x, y)\,dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}\]

olur. \(b_2 \to +\infty\) iken ilk integral \(F(y)\)’ye yakınsar; limitte kesin olmayan eşitsizlik korunduğundan

\[\left| F(y) - \int_a^{b_1} f(x, y)\,dx \right| \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\]

bulunur. Bu, \(b_1 \ge B\) olan her \(b_1\) ve her \(y \in Y\) için geçerlidir ve \(B\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. İntegral \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Kriterin olumsuzu, düzgün yakınsamamayı göstermenin elverişli bir yoludur: integralin \(Y\) üzerinde düzgün yakınsak olmaması için gerek ve yeter koşul, öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) bulunmasıdır ki her \(B > a\) için \(b_2 > b_1 \ge B\) olan \(b_1, b_2\) sayıları ve bir \(y \in Y\) noktası

\[\left| \int_{b_1}^{b_2} f(x, y)\,dx \right| \ge \varepsilon_0\]

eşitsizliğini sağlasın. Bu biçimi Örnek 20.10 çözümünde kullanacağız.

20.3 Weierstrass M-Testi

Düzgün yakınsaklığı göstermenin en kısa yolu, serilerdeki gibi (Teorem 7.2), integrali alınan fonksiyonu parametreden bağımsız ve integrali yakınsak bir fonksiyonla sınırlamaktır.

Teorem 20.3 (İntegraller için Weierstrass M-Testi) \(f : [a, +\infty) \times Y \to \mathbb{R}\) olsun ve her \(y \in Y\), her \(b > a\) için \(x \mapsto f(x, y)\) fonksiyonu \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir olsun. Her \(b > a\) için \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir öyle bir \(M : [a, +\infty) \to \mathbb{R}\) fonksiyonu bulunsun ki

\[|f(x, y)| \le M(x) \qquad (\text{her } x \ge a,\ \text{her } y \in Y)\]

olsun ve \(\displaystyle\int_a^{+\infty} M(x)\,dx\) yakınsak olsun. O zaman \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali her \(y \in Y\) için mutlak yakınsaktır ve \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat

\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\displaystyle\int_a^{+\infty} M(x)\,dx\) yakınsak olduğundan Cauchy kriteri (Teorem 16.1) gereği öyle bir \(B > a\) vardır ki \(b_2 > b_1 \ge B\) için

\[\int_{b_1}^{b_2} M(x)\,dx < \varepsilon\]

olur (\(M \ge 0\) olduğundan mutlak değere gerek yoktur). Bu \(B\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. \(b_2 > b_1 \ge B\) ve \(y \in Y\) için integraller için üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 2) ve sıralama özelliğiyle

\[\left| \int_{b_1}^{b_2} f(x, y)\,dx \right| \le \int_{b_1}^{b_2} |f(x, y)|\,dx \le \int_{b_1}^{b_2} M(x)\,dx < \varepsilon \tag{1}\]

bulunur.

Mutlak yakınsaklık. \(y \in Y\) sabitken \((1)\) zincirinin son iki halkası, \(x \mapsto |f(x, y)|\) fonksiyonunun Cauchy kriterini sağladığını gösterir; \(\displaystyle\int_a^{+\infty} |f(x, y)|\,dx\) yakınsaktır (Tanım 16.1).

Düzgün yakınsaklık. \((1)\) zincirinin ilk ve son halkası, Teorem 20.2 koşulunun sağlandığını gösterir; integral \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Eşitsizliğin bir \(x_0 \ge a\) sayısından sonra sağlanması da yeter: \([a, x_0]\) üzerindeki integral kalanı etkilemez.

Üç adımda integraller için M-testi

Parametreyi yok et. \(|f(x, y)|\) için bütün \(y \in Y\) değerlerinde geçerli, \(y\) içermeyen bir \(M(x)\) üst sınırı bulunur.
Tek değişkenli integrali incele. \(\displaystyle\int_a^{+\infty} M(x)\,dx\) integralinin yakınsaklığı tanımla ya da bir testle gösterilir.
Sonuç. İntegral \(Y\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır.

Örnek 20.4 (Bütün Doğruda Düzgün Yakınsak İntegral) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{1 + x^2}\,dx\) integralinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Sınır. Her \(x \ge 0\) ve her \(y \in \mathbb{R}\) için \(|\sin(xy)| \le 1\) olduğundan

\[\left| \frac{\sin(xy)}{1 + x^2} \right| \le \frac{1}{1 + x^2} = M(x)\]

olur.

Tek değişkenli integral. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{\pi}{2}\) yakınsaktır (Örnek 15.2).

Sonuç. Teorem 20.3 gereği integral \(\mathbb{R}\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Örnek 20.5 (Üstel Çarpanla Sınırlama) \(\displaystyle\int_1^{+\infty} e^{-x}\,\frac{\sin(xy)}{x}\,dx\) integralinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(x \ge 1\) için \(\dfrac{1}{x} \le 1\) ve her \(y \in \mathbb{R}\) için \(|\sin(xy)| \le 1\) olduğundan

\[\left| e^{-x}\,\frac{\sin(xy)}{x} \right| \le e^{-x} = M(x)\]

olur. \(\displaystyle\int_1^{+\infty} e^{-x}\,dx = e^{-1}\) yakınsaktır (Örnek 15.6, \(t = 1\) ve \(a = 1\)). Teorem 20.3 gereği integral \(\mathbb{R}\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Test II. tip integrallere de aynen uygulanır.

Sonuç 20.1 (İkinci Tip İntegraller için M-Testi) \(f : [a, b) \times Y \to \mathbb{R}\), Tanım 20.3 koşullarını sağlasın. Her \(a < t < b\) için \([a, t]\) üzerinde integrallenebilir öyle bir \(M : [a, b) \to \mathbb{R}\) fonksiyonu bulunsun ki her \(x \in [a, b)\) ve her \(y \in Y\) için \(|f(x, y)| \le M(x)\) olsun ve \(\displaystyle\int_a^{b} M(x)\,dx\) integrali (tekil nokta \(b\)) yakınsak olsun. O zaman \(\displaystyle\int_a^{b} f(x, y)\,dx\) integrali her \(y \in Y\) için mutlak yakınsaktır ve \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat

Noktasal yakınsaklık. \(y \in Y\) sabit olsun. \(0 \le |f(x, y)| \le M(x)\) olduğundan karşılaştırma testi (Teorem 17.4) gereği \(\displaystyle\int_a^{b} |f(x, y)|\,dx\) yakınsaktır; mutlak yakınsak integral yakınsak olduğundan (Teorem 17.6) \(\displaystyle\int_a^{b} f(x, y)\,dx\) de yakınsaktır. Değerine \(F(y)\) diyelim. (Anılan iki teorem tekil nokta sağ uçta olduğunda da aynı ispatla geçerlidir; ispatlar \(f(\cdot, y)\) fonksiyonunun sınırsız olmasını kullanmaz.)

Düzgün yakınsaklık. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\displaystyle\int_a^{b} M(x)\,dx\) yakınsak olduğundan kalanı \(0\)’a gider: öyle bir \(\delta \in (0, b - a)\) vardır ki \(b - \delta < t < b\) için \(\displaystyle\int_t^{b} M(x)\,dx < \varepsilon\) olur. Böyle bir \(t\), bir \(y \in Y\) ve \(t < s < b\) için

\[\left| \int_t^{s} f(x, y)\,dx \right| \le \int_t^{s} |f(x, y)|\,dx \le \int_t^{s} M(x)\,dx \le \int_t^{b} M(x)\,dx\]

olur; son adımda \(M \ge 0\) kullanıldı. \(s \to b^-\) iken sol yan \(\left| \displaystyle\int_t^{b} f(x, y)\,dx \right|\) sayısına yakınsar; öyleyse

\[\left| F(y) - \int_a^t f(x, y)\,dx \right| = \left| \int_t^{b} f(x, y)\,dx \right| \le \int_t^{b} M(x)\,dx < \varepsilon\]

bulunur. \(\delta\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır; integral \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Örnek 20.6 (İkinci Tip Bir İntegralde M-Testi) \(c \in \mathbb{R}\) olsun. \(\displaystyle\int_0^1 \frac{e^{xy}}{\sqrt{1 - x}}\,dx\) integralinin \((-\infty, c]\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

İntegrali alınan fonksiyon \(x \to 1^-\) iken sınırsızdır; integral II. tiptir ve tekil nokta \(x = 1\)’dir.

Sınır. \(0 \le x < 1\) ve \(y \le c\) olsun. \(y \le 0\) ise \(xy \le 0 \le |c|\) olur. \(y > 0\) ise \(xy \le y \le c = |c|\) olur. İki durumda da \(xy \le |c|\)’dir; üstel fonksiyon artan olduğundan \(e^{xy} \le e^{|c|}\) ve

\[\left| \frac{e^{xy}}{\sqrt{1 - x}} \right| \le \frac{e^{|c|}}{\sqrt{1 - x}} = M(x)\]

bulunur. \(M\), \(y\)’ye bağlı değildir.

Tek değişkenli integral. \(\left( -2\sqrt{1 - x} \right)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x}}\) olduğundan \(0 < t < 1\) için

\[\int_0^t \frac{dx}{\sqrt{1 - x}} = \Big[ -2\sqrt{1 - x} \Big]_0^t = 2 - 2\sqrt{1 - t}\]

olur ve \(t \to 1^-\) iken bu ifade \(2\)’ye yakınsar. Dolayısıyla \(\displaystyle\int_0^1 M(x)\,dx = 2e^{|c|}\) yakınsaktır.

Sonuç. Sonuç 20.1 gereği integral \((-\infty, c]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

M-testi bir yeter koşuldur ve her zaman mutlak yakınsaklık da verir. Şartlı yakınsak integrallerde, örneğin \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx\) türünden integrallerde (Örnek 16.8) hiçbir zaman işe yaramaz; böyle integraller için daha ince testler gerekir.

20.4 Dirichlet ve Abel Testleri

Mutlak yakınsamayan integrallerde, integrali alınan fonksiyon \(f \cdot g\) biçiminde iki çarpana ayrılır: \(f\) salınan, \(g\) ise monoton çarpandır. Tek değişkenli testlerin (Teorem 16.6, Teorem 16.7) ve serilerdeki karşılıklarının (Teorem 7.3, Teorem 7.4) düzgün sürümlerini kuracağız. Serilerde Abel’in toplama formülünün oynadığı rolü burada ikinci ortalama değer teoremi oynar (bkz. Analiz 2): \(\varphi\), \([p, q]\) üzerinde integrallenebilir ve \(\psi\) monoton ise

\[\int_p^q \varphi(x)\,\psi(x)\,dx = \psi(p) \int_p^{\xi} \varphi(x)\,dx + \psi(q) \int_{\xi}^{q} \varphi(x)\,dx \tag{2}\]

olacak biçimde bir \(\xi \in [p, q]\) vardır.

Teorem 20.4 (Parametreye Bağlı İntegraller için Dirichlet Testi) \(f, g : [a, +\infty) \times Y \to \mathbb{R}\) olsun ve her \(y \in Y\), her \(b > a\) için \(x \mapsto f(x, y)\) fonksiyonu \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir olsun. Aşağıdaki koşullar sağlansın:

\(f\)’nin integralleri düzgün sınırlıdır: öyle bir \(M > 0\) vardır ki her \(\tau \ge a\) ve her \(y \in Y\) için \(\left| \displaystyle\int_a^{\tau} f(x, y)\,dx \right| \le M\) olur;
her \(y \in Y\) için \(x \mapsto g(x, y)\) fonksiyonu \([a, +\infty)\) üzerinde monotondur;
\(x \to +\infty\) iken \(g(x, y)\), \(y\)’ye göre düzgün olarak \(0\)’a gider: her \(\eta > 0\) için öyle bir \(B > a\) vardır ki \(x \ge B\) ve her \(y \in Y\) için \(|g(x, y)| < \eta\) olur.

O zaman \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,g(x, y)\,dx\) integrali \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat

\(y\) sabitken \(x \mapsto g(x, y)\) monoton olduğundan sınırlı her aralıkta integrallenebilirdir (bkz. Analiz 2); integrallenebilir iki fonksiyonun çarpımı olan \(x \mapsto f(x, y)\,g(x, y)\) de öyledir (bkz. Analiz 2).

Adım 1: \(f\)’nin her aralıktaki integrali sınırlıdır. \(a \le p \le q\) ve \(y \in Y\) için (i) koşulu

\[\left| \int_p^q f(x, y)\,dx \right| = \left| \int_a^q f(x, y)\,dx - \int_a^p f(x, y)\,dx \right| \le 2M \tag{3}\]

verir.

Adım 2: Cauchy kriteri. \(\varepsilon > 0\) verilsin. (iii) koşulunu \(\eta = \dfrac{\varepsilon}{4M}\) ile uygulayalım: öyle bir \(B > a\) vardır ki \(x \ge B\) ve her \(y \in Y\) için \(|g(x, y)| < \dfrac{\varepsilon}{4M}\) olur. \(b_2 > b_1 \ge B\) ve \(y \in Y\) sabitlensin. \((2)\) eşitliğini \([b_1, b_2]\) aralığında \(\varphi = f(\cdot, y)\) ve \(\psi = g(\cdot, y)\) ile yazalım: öyle bir \(\xi \in [b_1, b_2]\) vardır ki

\[ \begin{aligned} \int_{b_1}^{b_2} f(x, y)\,g(x, y)\,dx &= g(b_1, y) \int_{b_1}^{\xi} f(x, y)\,dx \\[1mm] &\quad + g(b_2, y) \int_{\xi}^{b_2} f(x, y)\,dx \end{aligned} \]

olur. Mutlak değer alıp \((3)\) sınırını kullanalım:

\[ \begin{aligned} \left| \int_{b_1}^{b_2} f(x, y)\,g(x, y)\,dx \right| &\le 2M\,\big( |g(b_1, y)| + |g(b_2, y)| \big) \\[1mm] &< 2M \left( \frac{\varepsilon}{4M} + \frac{\varepsilon}{4M} \right) = \varepsilon. \end{aligned} \]

\(B\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. Teorem 20.2 gereği integral \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Teorem 20.5 (Parametreye Bağlı İntegraller için Abel Testi) \(f, g : [a, +\infty) \times Y \to \mathbb{R}\) olsun ve her \(y \in Y\), her \(b > a\) için \(x \mapsto f(x, y)\) fonksiyonu \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir olsun. Aşağıdaki koşullar sağlansın:

\(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır;
her \(y \in Y\) için \(x \mapsto g(x, y)\) fonksiyonu \([a, +\infty)\) üzerinde monotondur;
\(g\) düzgün sınırlıdır: öyle bir \(K > 0\) vardır ki her \(x \ge a\) ve her \(y \in Y\) için \(|g(x, y)| \le K\) olur.

O zaman \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,g(x, y)\,dx\) integrali \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat

Çarpımın sınırlı aralıklarda integrallenebilirliği Dirichlet testinin ispatındaki gibidir. \(\varepsilon > 0\) verilsin. (i) koşulu ve Teorem 20.2 gereği öyle bir \(B > a\) vardır ki \(q > p \ge B\) ve her \(y \in Y\) için

\[\left| \int_p^q f(x, y)\,dx \right| < \frac{\varepsilon}{3K} \tag{4}\]

olur; \(p = q\) için integral \(0\) olduğundan eşitsizlik \(q \ge p \ge B\) için de geçerlidir. \(b_2 > b_1 \ge B\) ve \(y \in Y\) sabitlensin. \((2)\) eşitliği, \([b_1, b_2]\) aralığında \(\varphi = f(\cdot, y)\) ve \(\psi = g(\cdot, y)\) için bir \(\xi \in [b_1, b_2]\) verir. \(b_1 \le \xi \le b_2\) olduğundan \((4)\) eşitsizliği iki integrale de uygulanır; (iii) ile birlikte

\[ \begin{aligned} \left| \int_{b_1}^{b_2} f(x, y)\,g(x, y)\,dx \right| &\le |g(b_1, y)| \left| \int_{b_1}^{\xi} f(x, y)\,dx \right| \\[1mm] &\quad + |g(b_2, y)| \left| \int_{\xi}^{b_2} f(x, y)\,dx \right| \\[1mm] &< K \cdot \frac{\varepsilon}{3K} + K \cdot \frac{\varepsilon}{3K} = \frac{2\varepsilon}{3} < \varepsilon \end{aligned} \]

bulunur. Teorem 20.2 gereği integral \(Y\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

İki testin koşullarını karşılaştıralım:

Tablo 20.2: Parametreye bağlı integraller için Dirichlet ve Abel testlerinin koşulları

	\(f\)	\(g\)
Dirichlet	\(\int_a^{\tau} f\,dx\) integralleri düzgün sınırlı	\(x\)’e göre monoton, düzgün olarak \(0\)’a gider
Abel	\(\int_a^{+\infty} f\,dx\) düzgün yakınsak	\(x\)’e göre monoton, düzgün sınırlı

Dirichlet testi \(f\)’den daha azını, \(g\)’den daha çoğunu ister; Abel testinde denge tersinedir. Çarpanlardan biri parametreye bağlı değilse o çarpanla ilgili düzgünlük koşulu kendiliğinden sağlanır: tek bir \(B\) zaten bütün \(y\) değerleri için aynıdır.

Örnek 20.7 (Abel Testiyle Düzgün Yakınsaklık) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy}\,\frac{\sin x}{x}\,dx\) integralinin \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\) olduğundan

\[s(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x > 0 \\[2mm] 1, & x = 0 \end{cases}\]

fonksiyonu \([0, +\infty)\) üzerinde süreklidir; \(x = 0\) bir tekil nokta değildir ve integral I. tiptir. \(f(x, y) = s(x)\) ve \(g(x, y) = e^{-xy}\) alalım; \(Y = [0, +\infty)\).

(i) \(\int f\) düzgün yakınsaktır. \(\displaystyle\int_0^{1} s(x)\,dx\) sürekli bir fonksiyonun sıradan integralidir; \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx\) ise yakınsaktır (Örnek 16.9). Dolayısıyla \(\displaystyle\int_0^{+\infty} s(x)\,dx\) yakınsaktır. \(f\), \(y\)’ye bağlı olmadığından tanımdaki \(B\) sayısı her \(y\) için aynıdır; yakınsama \(Y\) üzerinde düzgündür.

(ii) Monotonluk. \(y \ge 0\) sabitken \(x \mapsto e^{-xy}\) azalandır (\(y = 0\) için sabittir).

(iii) Düzgün sınırlılık. \(x \ge 0\) ve \(y \ge 0\) için \(xy \ge 0\) olduğundan \(0 < e^{-xy} \le 1\); \(K = 1\) alınır.

Teorem 20.5 gereği integral \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

M-testi burada kullanılamaz: \(y = 0\) için integral şartlı yakınsaktır, mutlak yakınsak değildir (Örnek 16.8); oysa M-testi her parametre değerinde mutlak yakınsaklık verir. \(\blacksquare\)

Örnek 20.8 (Abel Testinde Çarpanları Seçmek) \(\displaystyle\int_1^{+\infty} e^{-x}\,\frac{\sin(xy)}{x}\,dx\) integralinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu Abel testiyle gösteriniz.

Çözüm

İntegrali alınan fonksiyonu

\[e^{-x}\,\frac{\sin(xy)}{x} = \underbrace{x e^{-x} \sin(xy)}_{f(x, y)} \cdot \underbrace{\frac{1}{x^2}}_{g(x, y)}\]

biçiminde ayıralım.

(i) \(\int f\) düzgün yakınsaktır. Her \(x \ge 1\) ve \(y \in \mathbb{R}\) için \(|x e^{-x} \sin(xy)| \le x e^{-x}\) olur. Kısmi integrasyonla

\[\int_1^{b} x e^{-x}\,dx = \Big[ -x e^{-x} - e^{-x} \Big]_1^{b} = \frac{2}{e} - \frac{b + 1}{e^{b}}\]

bulunur; \(b \to +\infty\) iken bu ifade \(\dfrac{2}{e}\) sayısına yakınsar. Teorem 20.3 gereği \(\displaystyle\int_1^{+\infty} x e^{-x} \sin(xy)\,dx\) integrali \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

(ii) Monotonluk. \(x \mapsto \dfrac{1}{x^2}\) fonksiyonu \([1, +\infty)\) üzerinde azalandır.

(iii) Düzgün sınırlılık. \(x \ge 1\) için \(0 < \dfrac{1}{x^2} \le 1\); \(K = 1\) alınır.

Teorem 20.5 gereği integral \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Aynı sonucu Örnek 20.5 çözümünde doğrudan M-testiyle elde etmiştik; bu örnek, Abel testinde çarpanların nasıl seçildiğini göstermektedir. \(\blacksquare\)

Örnek 20.9 (Dirichlet Testiyle Düzgün Yakınsaklık) \(\delta > 0\) olsun. \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x}\,dx\) integralinin \([\delta, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(f(x, y) = \sin(xy)\) ve \(g(x, y) = \dfrac{1}{x}\) alalım; \(Y = [\delta, +\infty)\).

(i) İntegraller düzgün sınırlıdır. \(y \ge \delta\) ve \(\tau \ge 1\) için

\[\left| \int_1^{\tau} \sin(xy)\,dx \right| = \left| \left[ -\frac{\cos(xy)}{y} \right]_1^{\tau} \right| = \frac{|\cos y - \cos(\tau y)|}{y} \le \frac{2}{y} \le \frac{2}{\delta}\]

olur; \(M = \dfrac{2}{\delta}\) alınır.

(ii) Monotonluk. \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) fonksiyonu \([1, +\infty)\) üzerinde azalandır.

(iii) Düzgün olarak sıfıra gitme. \(\dfrac{1}{x} \to 0\) olur ve \(g\), \(y\)’ye bağlı olmadığından bu yakınsama \(y\)’ye göre düzgündür.

Teorem 20.4 gereği integral \([\delta, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Örnek 20.10 (Sıfır Yakınında Düzgünlüğün Bozulması) \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x}\,dx\) integralinin \((0, +\infty)\) üzerinde noktasal yakınsak olduğunu, ama düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Noktasal yakınsaklık. \(y_0 > 0\) verilsin. Örnek 20.9 sonucu \(\delta = y_0\) ile uygulanırsa integral \([y_0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır; özel olarak \(y = y_0\) için yakınsaktır.

Düzgün yakınsamama. Cauchy kriterinin olumsuzunu kullanacağız. \(B > 1\) verilsin; \(b_1 = B\), \(b_2 = 2B\) ve \(y_B = \dfrac{\pi}{4B} > 0\) alalım. \(u = x y_B\) değişken değiştirmesiyle \(\dfrac{dx}{x} = \dfrac{du}{u}\) olur; \(x = B\) için \(u = \dfrac{\pi}{4}\), \(x = 2B\) için \(u = \dfrac{\pi}{2}\)’dir:

\[\int_{B}^{2B} \frac{\sin(x y_B)}{x}\,dx = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{\sin u}{u}\,du.\]

\(\left[ \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \right]\) aralığında sinüs artandır; dolayısıyla \(\sin u \ge \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) olur ve

\[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{\sin u}{u}\,du \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{du}{u} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,\ln 2\]

bulunur. \(\varepsilon_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ln 2 \approx 0{,}49\) sayısı \(B\)’den bağımsızdır. Her \(B > 1\) için \(b_2 > b_1 \ge B\) olan \(b_1, b_2\) sayıları ve bir \(y_B \in (0, +\infty)\) noktası

\[\left| \int_{b_1}^{b_2} \frac{\sin(x y_B)}{x}\,dx \right| \ge \varepsilon_0\]

eşitsizliğini sağlamaktadır. Teorem 20.2 gereği integral \((0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir.

Dirichlet testi açısından bozulan koşul (i)’dir: \(\dfrac{2}{y}\) sınırı \(y \to 0^+\) iken sınırsız büyür. \(\blacksquare\)

20.5 Süreklilik ve Dini Teoremi

Düzgün yakınsaklığın ilk ödülü sürekliliktir. İki değişkenli \(f\) fonksiyonunun sürekliliğini Parametreye Bağlı İntegraller bölümündeki anlamda kullanıyoruz.

Teorem 20.6 (Düzgün Yakınsak İntegral Süreklidir) \(c < d\) olsun ve \(f\), \([a, +\infty) \times [c, d]\) üzerinde sürekli olsun. \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaksa

\[F(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\]

fonksiyonu \([c, d]\) üzerinde süreklidir.

İspat

Her \(n \in \mathbb{N}\) için

\[F_n(y) = \int_a^{a+n} f(x, y)\,dx \qquad (y \in [c, d])\]

tanımlayalım. \(f\), \([a, a+n] \times [c, d]\) dikdörtgeninde sürekli olduğundan Teorem 19.2 gereği her \(F_n\), \([c, d]\) üzerinde süreklidir. \(u_n = a + n \to +\infty\) ve integral düzgün yakınsak olduğundan Teorem 20.1 gereği \(F_n \rightrightarrows F\) (\([c, d]\)) olur. Sürekli fonksiyonların düzgün limiti süreklidir (Teorem 4.2); öyleyse \(F\), \([c, d]\) üzerinde süreklidir. \(\blacksquare\)

Süreklilik yerel bir özellik olduğundan düzgün yakınsaklığın bütün parametre kümesinde değil, her kapalı ve sınırlı alt aralıkta sağlanması yeter.

Sonuç 20.2 (Yerel Düzgün Yakınsaklıkla Süreklilik) \(J \subseteq \mathbb{R}\) birden çok nokta içeren bir aralık ve \(f\), \([a, +\infty) \times J\) üzerinde sürekli olsun. \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali \(J\)’nin kapalı ve sınırlı her \([c, d]\) alt aralığında düzgün yakınsaksa \(F\), \(J\) üzerinde süreklidir.

İspat

\(y_0 \in J\) verilsin. \(y_0\) noktasını içeren bir \([c, d] \subseteq J\) aralığı (\(c < d\)) seçelim; \(y_0\), \(J\)’nin bir uç noktası değilse \([c, d]\) aralığı \(y_0\)’ı iç nokta olarak içerecek biçimde seçilir. Teorem 20.6 gereği \(F\)’nin \([c, d]\)’ye kısıtlaması \(y_0\)’da süreklidir. \(J\)’nin \(y_0\)’a yeterince yakın bütün noktaları \([c, d]\) aralığında olduğundan bu, \(F\)’nin \(J\) üzerinde \(y_0\) noktasında sürekli olması demektir. \(\blacksquare\)

Teoremin koşulları altında \(y_0 \in [c, d]\) için \(\lim_{y \to y_0} F(y) = F(y_0)\) olur. \(f\) sürekli olduğundan \(f(x, y_0) = \lim_{y \to y_0} f(x, y)\)’dir; dolayısıyla bu eşitlik

\[\lim_{y \to y_0} \int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx = \int_a^{+\infty} \Big( \lim_{y \to y_0} f(x, y) \Big)\,dx\]

biçiminde yazılabilir: limit ile genelleştirilmiş integral yer değiştirir.

Teoremin karşıt tersi, serilerdeki gibi, düzgün yakınsamamayı hesapsız göstermeye yarar: \(f\) sürekli olduğu hâlde \(F\) sürekli değilse yakınsama düzgün olamaz. Bölümün başındaki \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t e^{-tx}\,dx\) integralinde \(t e^{-tx}\) fonksiyonu \([0, +\infty) \times [0, +\infty)\) üzerinde süreklidir, ama \(F\), \(t = 0\)’da süreksizdir (Örnek 20.1). Öyleyse hiçbir \(d > 0\) için integral \([0, d]\) üzerinde düzgün yakınsak değildir; Örnek 20.2 çözümündeki hesap da bunu verir: oradaki \(t_b = \dfrac{1}{b}\) noktası \(b \ge \dfrac{1}{d}\) için \([0, d]\) içindedir.

Süreklilik teoreminin ilk uygulaması olarak, Euler İntegralleri bölümünde tanımlanan Gamma fonksiyonunun (Tanım 18.1) sürekli olduğunu gösterelim.

Örnek 20.11 (Gamma Fonksiyonunun Sürekliliği) \(\Gamma(\alpha) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha - 1}\,dx\) fonksiyonunun \((0, +\infty)\) üzerinde sürekli olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Süreklilik yerel olduğundan, \(0 < c < d\) olan her \([c, d]\) aralığında sürekliliği göstermek yeter. İntegral \(\alpha < 1\) için \(x = 0\)’da tekildir; Teorem 18.1 ispatındaki gibi ikiye ayıralım:

\[ \begin{aligned} \Gamma_1(\alpha) &= \int_0^{1} e^{-x} x^{\alpha - 1}\,dx, \\[1mm] \Gamma_2(\alpha) &= \int_1^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha - 1}\,dx. \end{aligned} \]

\(\Gamma_2\) süreklidir. \(e^{-x} x^{\alpha - 1}\) fonksiyonu \([1, +\infty) \times [c, d]\) üzerinde süreklidir. \(x \ge 1\) ve \(\alpha \le d\) için \(x^{\alpha - 1} \le x^{d - 1}\) olduğundan

\[0 < e^{-x} x^{\alpha - 1} \le e^{-x} x^{d - 1} = M(x)\]

olur. \(\displaystyle\int_1^{+\infty} e^{-x} x^{d - 1}\,dx\) yakınsaktır (Teorem 18.1). Teorem 20.3 gereği \(\Gamma_2(\alpha)\) integrali \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır; Teorem 20.6 gereği \(\Gamma_2\), \([c, d]\) üzerinde süreklidir.

\(\Gamma_1\) süreklidir. Her \(n \ge 2\) için

\[G_n(\alpha) = \int_{1/n}^{1} e^{-x} x^{\alpha - 1}\,dx\]

tanımlayalım. İntegrali alınan fonksiyon \(\left[ \dfrac{1}{n}, 1 \right] \times [c, d]\) dikdörtgeninde sürekli olduğundan Teorem 19.2 gereği her \(G_n\), \([c, d]\) üzerinde süreklidir. \(0 < x \le 1\) ve \(\alpha \ge c\) için \(e^{-x} \le 1\) ve \(x^{\alpha - 1} \le x^{c - 1}\) olduğundan karşılaştırma testiyle (Teorem 17.4)

\[ \begin{aligned} 0 \le \Gamma_1(\alpha) - G_n(\alpha) &= \int_0^{1/n} e^{-x} x^{\alpha - 1}\,dx \\[1mm] &\le \int_0^{1/n} x^{c - 1}\,dx = \frac{1}{c\,n^{c}} \end{aligned} \]

bulunur. Sağdaki sayı \(\alpha\)’dan bağımsızdır ve \(c > 0\) olduğundan \(n \to \infty\) iken \(0\)’a gider. Teorem 3.1 gereği \(G_n \rightrightarrows \Gamma_1\) (\([c, d]\)) olur; sürekli fonksiyonların düzgün limiti olarak \(\Gamma_1\) süreklidir (Teorem 4.2).

Sonuç. \(\Gamma = \Gamma_1 + \Gamma_2\), \([c, d]\) üzerinde süreklidir. \(c\) ve \(d\) keyfi olduğundan \(\Gamma\), \((0, +\infty)\) üzerinde süreklidir. \(\blacksquare\)

\(\Gamma_1\) için yapılan hesap \(\dfrac{1}{n}\) yerine herhangi bir \(0 < t \le 1\) ile yinelenirse her \(\alpha \in [c, d]\) için

\[0 \le \int_0^{t} e^{-x} x^{\alpha - 1}\,dx \le \frac{t^{c}}{c}\]

bulunur. Sağ yan \(\alpha\)’dan bağımsızdır ve \(t \to 0^+\) iken \(0\)’a gider; yani tekil noktası \(0\) olan integral \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır (Tanım 20.3). Öte yandan yakınsama \((0, d]\) üzerinde düzgün değildir: \(0 < t \le 1\) sabitken \([0, t]\) üzerinde \(e^{-x} \ge e^{-1}\) olduğundan kalan

\[\int_0^{t} e^{-x} x^{\alpha - 1}\,dx \ge \frac{1}{e} \int_0^{t} x^{\alpha - 1}\,dx = \frac{t^{\alpha}}{e\,\alpha}\]

eşitsizliğini sağlar ve sağ yan \(\alpha \to 0^+\) iken sınırsız büyür.

Teorem 20.6 ifadesinin tersi ise doğru değildir: \(f\) ve \(F\) sürekli olduğu hâlde yakınsama düzgün olmayabilir.

Örnek 20.12 (Sürekli Limite Düzgün Olmayan Yakınsama) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} y\,(xy - 1)\,e^{-xy}\,dx\) integralinin \([0, 1]\) üzerinde sürekli bir fonksiyona noktasal yakınsadığını, ama yakınsamanın düzgün olmadığını gösteriniz.

Çözüm

\(f(x, y) = y\,(xy - 1)\,e^{-xy}\) fonksiyonu \([0, +\infty) \times [0, 1]\) üzerinde süreklidir.

Sınırlı aralıkta integral. Çarpım kuralıyla

\[\frac{\partial}{\partial x}\left( -xy\,e^{-xy} \right) = -y\,e^{-xy} + xy^2 e^{-xy} = y\,(xy - 1)\,e^{-xy}\]

olduğundan her \(b > 0\) için

\[\int_0^b y\,(xy - 1)\,e^{-xy}\,dx = \Big[ -xy\,e^{-xy} \Big]_0^b = -by\,e^{-by}\]

bulunur.

Noktasal limit. \(y = 0\) için bu ifade \(0\)’dır. \(y > 0\) için \(b \to +\infty\) iken \(by \to +\infty\) olur ve üstel fonksiyon her kuvvetten hızlı büyüdüğünden \(by\,e^{-by} \to 0\)’dır. Öyleyse her \(y \in [0, 1]\) için \(F(y) = 0\) olur; \(F\) süreklidir.

Düzgün yakınsamama. Kalan

\[F(y) - \int_0^b f(x, y)\,dx = by\,e^{-by}\]

sayısıdır. \(b \ge 1\) için \(y_b = \dfrac{1}{b} \in [0, 1]\) noktasında kalan \(1 \cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e}\) olur. Öyleyse her \(b \ge 1\) için kalanların \([0, 1]\) üzerindeki supremumu en az \(\dfrac{1}{e}\)’dir ve \(0\)’a gitmez; integral \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. \(\blacksquare\)

Bu örnekte \(f\) işaret değiştirmektedir: \(xy < 1\) iken negatif, \(xy > 1\) iken pozitiftir. Bu bir zorunluluktur. Fonksiyon dizilerinde olduğu gibi (Teorem 4.3), işaret değiştirmeyen integrallerde limitin sürekliliği düzgün yakınsaklığı kendiliğinden getirir.

Teorem 20.7 (Parametreye Bağlı İntegraller için Dini Teoremi) \(c < d\) olsun ve \(f\), \([a, +\infty) \times [c, d]\) üzerinde sürekli olsun. Aşağıdaki koşullar sağlansın:

her \((x, y)\) için \(f(x, y) \ge 0\);
\(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali \([c, d]\) üzerinde noktasal yakınsaktır;
\(F(y) = \displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) fonksiyonu \([c, d]\) üzerinde süreklidir.

O zaman integral \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

İspat

\(F_n(y) = \displaystyle\int_a^{a+n} f(x, y)\,dx\) dizisini ele alalım ve fonksiyon dizileri için Dini teoreminin (Teorem 4.3) koşullarını denetleyelim.

Her \(F_n\), \([c, d]\) üzerinde süreklidir (Teorem 19.2). \(f \ge 0\) olduğundan her \(y \in [c, d]\) için

\[F_{n+1}(y) - F_n(y) = \int_{a+n}^{a+n+1} f(x, y)\,dx \ge 0\]

olur; \(\big(F_n(y)\big)\) sayı dizisi artandır. (iii) gereği \(F\) süreklidir ve (ii) gereği \(F_n \to F\) (noktasal, \([c, d]\)) olur. Dört koşul da sağlandığından Teorem 4.3 gereği \(F_n \rightrightarrows F\) (\([c, d]\)) olur. Geriye tam sayı olmayan üst sınırlara geçmek kalıyor. \(\varepsilon > 0\) verilsin; öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(y \in [c, d]\) için \(0 \le F(y) - F_N(y) < \varepsilon\) olur. \(b \ge a + N\) ve \(y \in [c, d]\) olsun. \(f \ge 0\) olduğundan \(b \mapsto \displaystyle\int_a^b f(x, y)\,dx\) fonksiyonu artandır ve limiti \(F(y)\)’dir; dolayısıyla

\[F_N(y) = \int_a^{a+N} f(x, y)\,dx \le \int_a^{b} f(x, y)\,dx \le F(y)\]

sağlanır. Buradan

\[0 \le F(y) - \int_a^{b} f(x, y)\,dx \le F(y) - F_N(y) < \varepsilon\]

bulunur. \(B = a + N\) sayısı yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır; integral \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Teorem \(f \le 0\) için de geçerlidir; \(-f\) fonksiyonuna uygulanır.

Örnek 20.13 (Dini Teoremiyle Düzgün Yakınsaklık) \(0 < c < d\) olsun. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{y}{1 + x^2y^2}\,dx\) integralinin \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu Dini teoremiyle gösteriniz.

Çözüm

\(f(x, y) = \dfrac{y}{1 + x^2y^2}\) fonksiyonu \([0, +\infty) \times [c, d]\) üzerinde süreklidir (payda hiç sıfır olmaz) ve \(y > 0\) olduğundan pozitiftir.

Noktasal limit. \(\dfrac{\partial}{\partial x} \arctan(xy) = \dfrac{y}{1 + x^2y^2}\) olduğundan

\[\int_0^{b} \frac{y}{1 + x^2y^2}\,dx = \Big[ \arctan(xy) \Big]_0^{b} = \arctan(by)\]

olur. \(y > 0\) sabitken \(b \to +\infty\) için \(by \to +\infty\) ve \(\arctan(by) \to \dfrac{\pi}{2}\)’dir. Öyleyse her \(y \in [c, d]\) için \(F(y) = \dfrac{\pi}{2}\) olur.

Sonuç. \(F\) sabit fonksiyondur ve süreklidir. Teorem 20.7 gereği integral \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

Doğrulama. Kalan \(\dfrac{\pi}{2} - \arctan(by)\) sayısıdır. Arktanjant artan olduğundan \(y \ge c\) için kalan en çok \(\dfrac{\pi}{2} - \arctan(bc)\) olur; bu sayı \(y\)’den bağımsızdır ve \(b \to +\infty\) iken \(0\)’a gider. \(\blacksquare\)

Aynı integral \([0, d]\) üzerinde düzgün yakınsak değildir: \(y = 0\) için integral \(0\)’dır, yani \(F(0) = 0 \ne \dfrac{\pi}{2}\) olur ve \(F\), \(0\)’da süreksizdir. Dini teoreminin (iii) koşulu bozulmuştur.

20.6 Parametreye Göre İntegral ve Türev

Sınırlı aralıkta sürekli \(f\) için geçerli olan iki işlem, integral sırasının değiştirilmesi (Teorem 19.4) ve integral işareti altında türev (Teorem 19.3), düzgün yakınsaklık eklendiğinde genelleştirilmiş integrallere taşınır. Bu sonuçlar fonksiyon dizilerindeki limit–integral (Teorem 5.1) ve limit–türev (Teorem 6.1) teoremlerinin karşılıklarıdır.

Teorem 20.8 (Genelleştirilmiş İntegralin Parametreye Göre İntegrali) \(c < d\) olsun ve \(f\), \([a, +\infty) \times [c, d]\) üzerinde sürekli olsun. \(F(y) = \displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaksa \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \left( \int_c^d f(x, y)\,dy \right) dx\) genelleştirilmiş integrali yakınsaktır ve

\[\int_c^d \left( \int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx \right) dy = \int_a^{+\infty} \left( \int_c^d f(x, y)\,dy \right) dx\]

olur.

İspat

Teorem 20.6 gereği \(F\), \([c, d]\) üzerinde süreklidir; dolayısıyla sol yandaki \(\displaystyle\int_c^d F(y)\,dy\) integrali vardır. \(b > a\) için

\[F_b(y) = \int_a^{b} f(x, y)\,dx, \qquad \varphi(x) = \int_c^d f(x, y)\,dy\]

yazalım. \(f\), \([a, b] \times [c, d]\) dikdörtgeninde sürekli olduğundan \(F_b\), \([c, d]\) üzerinde ve \(\varphi\), \([a, b]\) üzerinde süreklidir (Teorem 19.2); integral sırası da değiştirilebilir (Teorem 19.4):

\[\int_a^{b} \varphi(x)\,dx = \int_c^d F_b(y)\,dy. \tag{5}\]

\(\rho(b) = \sup_{y \in [c, d]} |F(y) - F_b(y)|\) yazalım; düzgün yakınsaklık \(b \to +\infty\) iken \(\rho(b) \to 0\) demektir. \((5)\) eşitliği, integralin lineerliği ve integraller için üçgen eşitsizliğiyle

\[ \begin{aligned} \left| \int_c^d F(y)\,dy - \int_a^{b} \varphi(x)\,dx \right| &= \left| \int_c^d \big( F(y) - F_b(y) \big)\,dy \right| \\[1mm] &\le \int_c^d |F(y) - F_b(y)|\,dy \le \rho(b)\,(d - c) \end{aligned} \]

bulunur. Sağ yan \(b \to +\infty\) iken \(0\)’a gider. Öyleyse \(\displaystyle\lim_{b \to +\infty} \int_a^{b} \varphi(x)\,dx\) limiti vardır ve \(\displaystyle\int_c^d F(y)\,dy\) sayısına eşittir. \(\blacksquare\)

Yani biri genelleştirilmiş olan iki integralin sırası, düzgün yakınsaklık altında değiştirilebilir. Bu, ilkeli bulunamayan bazı integralleri hesaplamanın yoludur.

Örnek 20.14 (İntegral Sırasını Değiştirerek Hesap) \(0 < c < d\) olsun. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-cx} - e^{-dx}}{x}\,dx\) integralini hesaplayınız.

Çözüm

Parametreli integral olarak yazma. \(x > 0\) için

\[\int_c^d e^{-xy}\,dy = \left[ -\frac{e^{-xy}}{x} \right]_{y=c}^{y=d} = \frac{e^{-cx} - e^{-dx}}{x}\]

olur. \(x = 0\) için aynı integral \(\displaystyle\int_c^d dy = d - c\) sayısıdır; bu, sağdaki kesrin \(x \to 0^+\) limitidir. Öyleyse hesaplanacak integral, \(f(x, y) = e^{-xy}\) olmak üzere \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \left( \int_c^d f(x, y)\,dy \right) dx\) integralidir ve \(x = 0\) bir tekil nokta değildir.

Düzgün yakınsaklık. \(f\), \([0, +\infty) \times [c, d]\) üzerinde süreklidir. \(y \ge c\) ve \(x \ge 0\) için \(e^{-xy} \le e^{-cx}\) olur ve \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-cx}\,dx = \frac{1}{c}\) yakınsaktır (Örnek 15.6). Teorem 20.3 gereği \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy}\,dx\) integrali \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır; değeri \(F(y) = \dfrac{1}{y}\)’dir.

Sıra değişimi. Teorem 20.8 gereği

\[\int_0^{+\infty} \frac{e^{-cx} - e^{-dx}}{x}\,dx = \int_c^d \frac{dy}{y} = \ln d - \ln c = \ln\frac{d}{c}\]

bulunur. \(\blacksquare\)

Türev teoreminde, fonksiyon dizilerindeki gibi, asıl koşul türevin integralinin düzgün yakınsamasıdır; integralin kendisinden yalnız bir noktada yakınsaklık istenir.

Teorem 20.9 (Genelleştirilmiş İntegralin Parametreye Göre Türevi) \(c < d\) olsun; \(f\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\), \([a, +\infty) \times [c, d]\) üzerinde sürekli olsun. Aşağıdaki iki koşul sağlansın:

en az bir \(y_0 \in [c, d]\) için \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y_0)\,dx\) yakınsaktır;
\(\displaystyle\int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\,dx\) integrali \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

O zaman \(F(y) = \displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integrali \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır, \(F\) türevlenebilirdir ve her \(y \in [c, d]\) için

\[F'(y) = \int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\,dx\]

olur. (Uç noktalarda türev tek yönlü türev olarak anlaşılır.)

İspat

\(b > a\) ve \(t \in [c, d]\) için

\[G(t) = \int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial y}(x, t)\,dx, \qquad G_b(t) = \int_a^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, t)\,dx\]

yazalım. (ii) ve Teorem 20.6 gereği \(G\), \([c, d]\) üzerinde süreklidir; \(G_b\) de süreklidir (Teorem 19.2). \(\rho(b) = \sup_{t \in [c, d]} |G(t) - G_b(t)|\) olsun; (ii) gereği \(b \to +\infty\) iken \(\rho(b) \to 0\)’dır.

Adım 1: Sınırlı aralıkta bir eşitlik. \(x \ge a\) sabitken \(t \mapsto f(x, t)\) fonksiyonunun türevi \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, t)\) süreklidir; analizin temel teoremi (bkz. Analiz 2) her \(y \in [c, d]\) için

\[f(x, y) - f(x, y_0) = \int_{y_0}^{y} \frac{\partial f}{\partial y}(x, t)\,dt\]

verir. İki yanı \(x\)’e göre \([a, b]\) üzerinde integralleyip sağ yanda integral sırasını değiştirelim (Teorem 19.4; \(y < y_0\) ise \([y, y_0]\) aralığında uygulanır ve iki yanın işareti birlikte değişir):

\[\int_a^{b} f(x, y)\,dx - \int_a^{b} f(x, y_0)\,dx = \int_{y_0}^{y} G_b(t)\,dt. \tag{6}\]

Adım 2: Limit adayı. \(A = \displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y_0)\,dx\) olsun ve

\[\Phi(y) = A + \int_{y_0}^{y} G(t)\,dt \qquad (y \in [c, d])\]

tanımlayalım. \((6)\) eşitliğinden

\[\Phi(y) - \int_a^{b} f(x, y)\,dx = \left( A - \int_a^{b} f(x, y_0)\,dx \right) + \int_{y_0}^{y} \big( G(t) - G_b(t) \big)\,dt\]

olur. \(y_0\) ile \(y\) arasındaki aralığın uzunluğu en çok \(d - c\) olduğundan son integralin mutlak değeri en çok \(\rho(b)\,(d - c)\)’dir. Dolayısıyla her \(y \in [c, d]\) için

\[\left| \Phi(y) - \int_a^{b} f(x, y)\,dx \right| \le \left| A - \int_a^{b} f(x, y_0)\,dx \right| + \rho(b)\,(d - c) \tag{7}\]

bulunur.

Adım 3: Düzgün yakınsaklık. \((7)\) eşitsizliğinin sağ yanı \(y\)’ye bağlı değildir ve \(b \to +\infty\) iken \(0\)’a gider: ilk terim (i) gereği, ikinci terim (ii) gereği. Öyleyse her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(B > a\) vardır ki \(b \ge B\) ve her \(y \in [c, d]\) için sol yan \(\varepsilon\)’dan küçüktür. Bu, \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, y)\,dx\) integralinin her \(y\) için yakınsak olduğunu, değerinin \(\Phi(y)\) olduğunu ve yakınsamanın \([c, d]\) üzerinde düzgün olduğunu söyler: \(F = \Phi\).

Adım 4: Türev. \(G\) sürekli olduğundan \(y \mapsto \displaystyle\int_{y_0}^{y} G(t)\,dt\) fonksiyonu türevlenebilirdir ve türevi \(G(y)\)’dir (bkz. Analiz 2). Öyleyse \(F(y) = A + \displaystyle\int_{y_0}^{y} G(t)\,dt\) türevlenebilirdir ve \(F'(y) = G(y)\) olur. \(\blacksquare\)

Teoremi Teorem 6.1 ile karşılaştıralım: \(y_0\) noktası oradaki “çapa” noktasının, \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial y}\,dx\) integralinin düzgün yakınsaklığı da türev dizisinin düzgün yakınsaklığının karşılığıdır. Türevlenebilirlik de yerel bir özelliktir: koşullar bir \(J\) aralığının kapalı ve sınırlı her alt aralığında sağlanıyorsa türev formülü bütün \(J\) üzerinde geçerlidir.

20.7 Dirichlet İntegrali

Bölümün bütün araçlarını tek bir hesapta bir araya getiriyoruz. \(\dfrac{\sin x}{x}\) fonksiyonunun ilkeli temel fonksiyonlarla yazılamaz; yine de \([0, +\infty)\) üzerindeki integrali, integrale bir parametre eklenerek bulunabilir.

Beş adımda integral işareti altında türevle hesap

Parametre ekle. Hesaplanacak integral, bir \(I(y)\) ailesinin özel bir değeri olacak biçimde parametreye bağlanır.
Düzgün yakınsaklığı göster. \(I(y)\) integralinin ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) integralinin hangi kümelerde düzgün yakınsadığı bir testle belirlenir.
Türev al. Teorem 20.9 ile \(I'(y)\) yazılır; bu integralin çoğu zaman ilkeli bulunur.
Geri integralle. \(I'(y)\) bilindiğinde \(I(y)\) bir sabit farkıyla belirlenir.
Sabiti bul. \(I\)’nin bilinen bir değeri ya da bir limiti kullanılır; aranan değere gerekiyorsa süreklilikle (Teorem 20.6) geçilir.

Örnek 20.15 (Dirichlet İntegralinin Değeri) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Adım 1: Parametre. Örnek 20.7 çözümündeki sürekli \(s\) fonksiyonuyla (\(x > 0\) için \(s(x) = \dfrac{\sin x}{x}\), \(s(0) = 1\))

\[I(y) = \int_0^{+\infty} e^{-xy}\,s(x)\,dx \qquad (y \ge 0)\]

tanımlayalım; aranan sayı \(I(0)\)’dır. \(f(x, y) = e^{-xy}\,s(x)\) fonksiyonu \([0, +\infty) \times [0, +\infty)\) üzerinde süreklidir. \(x\,s(x) = \sin x\) eşitliği \(x = 0\) için de doğru olduğundan

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = -x\,e^{-xy}\,s(x) = -e^{-xy} \sin x\]

olur ve bu fonksiyon da süreklidir.

Adım 2: Düzgün yakınsaklık. Örnek 20.7 gereği \(I(y)\) integrali \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Sonuç 20.2 gereği \(I\), \([0, +\infty)\) üzerinde süreklidir; özel olarak

\[I(0) = \lim_{y \to 0^+} I(y) \tag{8}\]

olur. Türevin integrali için \(0 < \delta < d\) alalım. \(y \in [\delta, d]\) ve \(x \ge 0\) için

\[\left| -e^{-xy} \sin x \right| \le e^{-xy} \le e^{-\delta x}\]

olur ve \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\delta x}\,dx = \frac{1}{\delta}\) yakınsaktır (Örnek 15.6). Teorem 20.3 gereği \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial y}\,dx\) integrali \([\delta, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

Adım 3: Türev. \(f\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) süreklidir, \(I(y)\) her \(y \ge 0\) için yakınsaktır ve türevin integrali \([\delta, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Teorem 20.9, \([\delta, d]\) aralığında uygulanır: \(I\) bu aralıkta türevlenebilirdir ve

\[I'(y) = -\int_0^{+\infty} e^{-xy} \sin x\,dx\]

olur. Her \(y > 0\) sayısı \(\delta < y < d\) olan bir \([\delta, d]\) aralığının iç noktası olduğundan bu formül her \(y > 0\) için geçerlidir. Sağdaki integrali hesaplayalım. Çarpım kuralıyla

\[ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} \Big( e^{-xy}\,(y \sin x + \cos x) \Big) &= -y\,e^{-xy}\,(y \sin x + \cos x) \\[1mm] &\quad + e^{-xy}\,(y \cos x - \sin x) \\[1mm] &= -(1 + y^2)\,e^{-xy} \sin x \end{aligned} \]

olduğundan

\[\int_0^{b} e^{-xy} \sin x\,dx = \left[ -\frac{e^{-xy}\,(y \sin x + \cos x)}{1 + y^2} \right]_0^{b} = \frac{1 - e^{-by}\,(y \sin b + \cos b)}{1 + y^2}\]

bulunur. Paydaki ikinci terim için

\[\left| e^{-by}\,(y \sin b + \cos b) \right| \le (y + 1)\,e^{-by}\]

olur ve \(y > 0\) olduğundan \(b \to +\infty\) iken bu terim \(0\)’a gider. Öyleyse

\[I'(y) = -\frac{1}{1 + y^2} \qquad (y > 0)\]

olur.

Adım 4: Geri integralleme. \((\arctan y)' = \dfrac{1}{1 + y^2}\) olduğundan \(I(y) + \arctan y\) fonksiyonunun \((0, +\infty)\) aralığındaki türevi özdeş olarak sıfırdır; bu fonksiyon sabittir (bkz. Analiz 2). Bir \(C\) sabiti için

\[I(y) = C - \arctan y \qquad (y > 0)\]

olur.

Adım 5: Sabit. \(x \ge 0\) için \(|\sin x| \le x\) olduğundan \(|s(x)| \le 1\)’dir. \(y > 0\) ve \(b > 0\) için

\[\left| \int_0^{b} e^{-xy}\,s(x)\,dx \right| \le \int_0^{b} e^{-xy}\,dx = \frac{1 - e^{-by}}{y} \le \frac{1}{y}\]

olur; \(b \to +\infty\) iken \(|I(y)| \le \dfrac{1}{y}\) bulunur. Dolayısıyla \(\lim_{y \to +\infty} I(y) = 0\)’dır. Öte yandan \(\lim_{y \to +\infty} \arctan y = \dfrac{\pi}{2}\) olduğundan

\[0 = \lim_{y \to +\infty} I(y) = C - \frac{\pi}{2}\]

ve \(C = \dfrac{\pi}{2}\) çıkar:

\[I(y) = \frac{\pi}{2} - \arctan y \qquad (y > 0).\]

Sonuç. \((8)\) eşitliği ve arktanjantın \(0\)’daki sürekliliğiyle

\[\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = I(0) = \lim_{y \to 0^+} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan y \right) = \frac{\pi}{2}\]

bulunur. \(\blacksquare\)

Hesabın her adımı bir teoreme yaslanır ve hiçbiri atlanamaz. \(I'(y)\) formülü yalnız \(y > 0\) için elde edildi, çünkü türevin integrali \(y = 0\) yakınında düzgün yakınsamaz; \(y = 0\)’a ancak \(I\)’nin sürekliliğiyle, yani Abel testinin verdiği düzgün yakınsaklıkla inilebildi.

Bu sonuç, Örnek 20.10 ile ilgili de bir şey söyler. \(y > 0\) için \(u = xy\) değişken değiştirmesi

\[\int_1^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x}\,dx = \int_y^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\,du\]

verir ve \(y \to 0^+\) iken sağ yan \(\dfrac{\pi}{2}\) sayısına yakınsar. Oysa \(y = 0\) için integral \(0\)’dır. Parametreye \(0\) eklendiğinde limit fonksiyonu süreksiz olur; \(0\) yakınında düzgün yakınsaklığın bozulması bir kez daha kendini göstermiştir.

20.8 Alıştırmalar

İlk üç alıştırma, sınırlı aralıktaki parametreye bağlı integraller için Leibniz formülünü (Sonuç 19.1) yineler; kalanlar bu bölümün konusudur.

Alıştırma 20.1 (Sınırları Parametreye Bağlı İntegral) \(0 < y \le \pi\) için \(F(y) = \displaystyle\int_{\sin y}^{y} (\ln 2 + xy)\,dx\) olsun. \(F'(y)\) türevini Leibniz formülüyle hesaplayınız.

Çözüm

\(f(x, y) = \ln 2 + xy\), alt sınır \(u(y) = \sin y\) ve üst sınır \(v(y) = y\) olsun. \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = x\), \(u'(y) = \cos y\) ve \(v'(y) = 1\)’dir. \(f\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) bütün düzlemde süreklidir; \(0 < y \le \pi\) için \(\sin y\) ve \(y\) sayıları \([0, \pi]\) aralığındadır. Öyleyse her \(0 < c < \pi\) için koşullar \([0, \pi] \times [c, \pi]\) dikdörtgeninde sağlanır. Sonuç 19.1 gereği

\[F'(y) = \int_{\sin y}^{y} x\,dx + f(y, y) \cdot 1 - f(\sin y, y) \cdot \cos y\]

olur. Üç terimi ayrı ayrı yazalım:

\[ \begin{aligned} \int_{\sin y}^{y} x\,dx &= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\sin y}^{y} = \frac{y^2 - \sin^2 y}{2}, \\[1mm] f(y, y) &= \ln 2 + y^2, \\[1mm] f(\sin y, y) \cos y &= \ln 2 \cdot \cos y + y \sin y \cos y. \end{aligned} \]

Toplayarak

\[F'(y) = \frac{3y^2 - \sin^2 y}{2} + (1 - \cos y) \ln 2 - y \sin y \cos y\]

bulunur.

Doğrulama. İntegral doğrudan alınabilir:

\[F(y) = (y - \sin y) \ln 2 + \frac{y\,(y^2 - \sin^2 y)}{2}.\]

Çarpım kuralıyla türevi

\[F'(y) = (1 - \cos y) \ln 2 + \frac{y^2 - \sin^2 y}{2} + y\,(y - \sin y \cos y)\]

olur; \(\dfrac{y^2}{2} + y^2 = \dfrac{3y^2}{2}\) olduğundan bu, yukarıdaki ifadeyle aynıdır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.2 (Leibniz Formülü ve Üstel Fonksiyon) \(y > 0\) için \(F(y) = \displaystyle\int_{y}^{y^2} \frac{e^{-xy}}{x}\,dx\) olsun. \(F'(y)\) türevini hesaplayınız.

Çözüm

\(f(x, y) = \dfrac{e^{-xy}}{x}\), \(u(y) = y\) ve \(v(y) = y^2\) olsun. \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = -e^{-xy}\), \(u'(y) = 1\) ve \(v'(y) = 2y\)’dir. \(y\) pozitif sayılardan oluşan kapalı ve sınırlı bir aralıkta değişirken \(u(y)\) ve \(v(y)\) de pozitif sayılardan oluşan kapalı ve sınırlı bir aralıkta kalır; \(f\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) bu dikdörtgende süreklidir. Sonuç 19.1 gereği

\[F'(y) = \int_{y}^{y^2} \left( -e^{-xy} \right) dx + f(y^2, y) \cdot 2y - f(y, y) \cdot 1\]

olur. \(\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{e^{-xy}}{y} \right) = -e^{-xy}\) olduğundan

\[\int_{y}^{y^2} \left( -e^{-xy} \right) dx = \left[ \frac{e^{-xy}}{y} \right]_{x=y}^{x=y^2} = \frac{e^{-y^3} - e^{-y^2}}{y}\]

bulunur. Sınır terimleri

\[f(y^2, y) \cdot 2y = \frac{e^{-y^3}}{y^2} \cdot 2y = \frac{2e^{-y^3}}{y}, \qquad f(y, y) = \frac{e^{-y^2}}{y}\]

olur. Toplayarak

\[F'(y) = \frac{e^{-y^3} - e^{-y^2}}{y} + \frac{2e^{-y^3}}{y} - \frac{e^{-y^2}}{y} = \frac{3e^{-y^3} - 2e^{-y^2}}{y}\]

elde edilir. (\(0 < y < 1\) için \(y^2 < y\) olur; \(\displaystyle\int_{y}^{y^2} = -\int_{y^2}^{y}\) anlaşmasıyla formül aynen geçerlidir.) \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.3 (İntegrasyon Değişkenini İçermeyen İntegrand) \(y > 0\) için \(F(y) = \displaystyle\int_{y}^{y^2} \frac{dx}{\ln(1 + y)}\) olsun. \(F'(y)\) türevini Leibniz formülüyle hesaplayınız.

Çözüm

\(f(x, y) = \dfrac{1}{\ln(1 + y)}\) fonksiyonu \(x\)’e bağlı değildir; \(u(y) = y\), \(v(y) = y^2\). \(y > 0\) için \(\ln(1 + y) \ne 0\) olduğundan \(f\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\), \(0 < c \le y \le d\) olan her şeritte süreklidir; \(u\) ve \(v\) türevlenebilirdir ve bu \(y\)’ler için değerleri sınırlı bir aralıkta kalır. Zincir kuralıyla

\[\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{(1 + y)\,\ln^2(1 + y)}\]

olur. Sonuç 19.1 gereği

\[F'(y) = \int_{y}^{y^2} \frac{\partial f}{\partial y}\,dx + \frac{2y}{\ln(1 + y)} - \frac{1}{\ln(1 + y)}\]

yazılır. İlk integralde integrali alınan fonksiyon \(x\)’e göre sabittir; integral, bu sabit ile aralığın uzunluğu \(y^2 - y\) sayısının çarpımıdır. Öyleyse

\[F'(y) = -\frac{y^2 - y}{(1 + y)\,\ln^2(1 + y)} + \frac{2y - 1}{\ln(1 + y)}\]

bulunur.

Doğrulama. \(F(y) = \dfrac{y^2 - y}{\ln(1 + y)}\) olduğundan bölüm kuralı aynı sonucu verir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.4 (M-Testiyle Düzgün Yakınsaklık) \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\cos(xy)}{1 + x^4}\,dx\) integralinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Her \(x \ge 1\) ve her \(y \in \mathbb{R}\) için \(|\cos(xy)| \le 1\) ve \(1 + x^4 > x^4\) olduğundan

\[\left| \frac{\cos(xy)}{1 + x^4} \right| \le \frac{1}{1 + x^4} < \frac{1}{x^4} = M(x)\]

olur. \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^4}\) integrali \(p = 4 > 1\) olduğundan yakınsaktır ve değeri \(\dfrac{1}{3}\)’tür (Teorem 15.2). Teorem 20.3 gereği integral \(\mathbb{R}\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır.

İntegrali alınan fonksiyon \([1, +\infty) \times \mathbb{R}\) üzerinde sürekli olduğundan, Sonuç 20.2 gereği integralin tanımladığı fonksiyon \(\mathbb{R}\) üzerinde süreklidir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.5 (Üstel Çarpanlı Kosinüs: Düzgün Yakınsaklık) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy} \cos x\,dx\) integralinin \([1, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(y \ge 1\) ve \(x \ge 0\) için \(xy \ge x\), dolayısıyla \(e^{-xy} \le e^{-x}\) olur. \(|\cos x| \le 1\) ile birlikte

\[\left| e^{-xy} \cos x \right| \le e^{-x} = M(x)\]

bulunur. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx = 1\) yakınsaktır (Örnek 15.6, \(t = 1\) ve \(a = 0\)). Teorem 20.3 gereği integral \([1, +\infty)\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.6 (Üstel Çarpanlı Kosinüs: Değer) \(y > 0\) için \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy} \cos x\,dx\) integralini hesaplayınız.

Çözüm

\(b > 0\) için

\[K = \int_0^{b} e^{-xy} \cos x\,dx, \qquad L = \int_0^{b} e^{-xy} \sin x\,dx\]

yazalım ve iki kez kısmi integrasyon uygulayalım.

Birinci kısmi integrasyon. \(u = \cos x\), \(dv = e^{-xy}\,dx\) ile \(du = -\sin x\,dx\) ve \(v = -\dfrac{e^{-xy}}{y}\) olur:

\[K = \left[ -\frac{e^{-xy} \cos x}{y} \right]_0^{b} - \frac{1}{y}\,L = \frac{1 - e^{-by} \cos b}{y} - \frac{L}{y}.\]

İkinci kısmi integrasyon. \(u = \sin x\), \(dv = e^{-xy}\,dx\) ile

\[L = \left[ -\frac{e^{-xy} \sin x}{y} \right]_0^{b} + \frac{1}{y}\,K = -\frac{e^{-by} \sin b}{y} + \frac{K}{y}.\]

\(K\)’yi çözme. İkinci eşitliği birincide yerine koyalım:

\[K = \frac{1 - e^{-by} \cos b}{y} + \frac{e^{-by} \sin b}{y^2} - \frac{K}{y^2}.\]

\(\dfrac{K}{y^2}\) terimini sola alıp iki yanı \(y^2\) ile çarpalım:

\[(y^2 + 1)\,K = y - y\,e^{-by} \cos b + e^{-by} \sin b.\]

Buradan

\[K = \frac{y + e^{-by}\,(\sin b - y \cos b)}{1 + y^2}\]

bulunur.

Limit. Paydaki ikinci terim için

\[\left| e^{-by}\,(\sin b - y \cos b) \right| \le (1 + y)\,e^{-by}\]

olur ve \(y > 0\) olduğundan \(b \to +\infty\) iken bu terim \(0\)’a gider (sıkıştırma teoremi). Öyleyse

\[\int_0^{+\infty} e^{-xy} \cos x\,dx = \frac{y}{1 + y^2} \qquad (y > 0)\]

olur. \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.7 (Üstel Çarpanlı Kosinüs: Sıfır Yakını) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xy} \cos x\,dx\) integralinin \((0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Alıştırma 20.6 çözümündeki iki sonuçtan kalan

\[\int_b^{+\infty} e^{-xy} \cos x\,dx = \frac{y}{1 + y^2} - K = -\frac{e^{-by}\,(\sin b - y \cos b)}{1 + y^2}\]

olarak bulunur. \(k \in \mathbb{N}\) için \(b_k = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) alalım; \(\sin b_k = 1\) ve \(\cos b_k = 0\) olduğundan bu \(b\) değerlerinde kalanın mutlak değeri \(\dfrac{e^{-b_k y}}{1 + y^2}\) olur. \(y_k = \dfrac{1}{b_k} \in (0, 1)\) noktasında

\[\frac{e^{-b_k y_k}}{1 + y_k^2} = \frac{e^{-1}}{1 + y_k^2} > \frac{1}{2e}\]

sağlanır, çünkü \(y_k^2 < 1\)’dir. \(b_k \to +\infty\) olduğundan, ne kadar büyük bir \(B\) seçilirse seçilsin \(b_k \ge B\) olan bir \(b_k\) ve kalanın \(\dfrac{1}{2e}\)’den büyük olduğu bir \(y_k\) noktası vardır. \(\varepsilon = \dfrac{1}{2e}\) için tanımdaki koşul sağlanamaz; integral \((0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.8 (Gauss Çarpanlı Kosinüs: Düzgün Yakınsaklık) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \cos(xy)\,dx\) integralinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Her \(x \ge 0\) ve \(y \in \mathbb{R}\) için

\[\left| e^{-x^2} \cos(xy) \right| \le e^{-x^2} = M(x)\]

olur. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx\) Gauss integrali yakınsaktır ve değeri \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\)’dir (Sonuç 18.3). Teorem 20.3 gereği integral \(\mathbb{R}\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.9 (Gauss Çarpanlı Kosinüs: Değer) Gauss integralinden (Sonuç 18.3) yararlanarak her \(y \in \mathbb{R}\) için \(J(y) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \cos(xy)\,dx\) integralini hesaplayınız.

Çözüm

\(f(x, y) = e^{-x^2} \cos(xy)\) ve \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = -x\,e^{-x^2} \sin(xy)\) fonksiyonları \([0, +\infty) \times \mathbb{R}\) üzerinde süreklidir.

Düzgün yakınsaklık. \(J(y)\) her \(y\) için yakınsaktır (Alıştırma 20.8). Türev için

\[\left| -x\,e^{-x^2} \sin(xy) \right| \le x\,e^{-x^2}\]

olur ve \(\displaystyle\int_0^{+\infty} x\,e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\) yakınsaktır (Alıştırma 15.1). Teorem 20.3 gereği \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial y}\,dx\) integrali \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır.

Türev. Herhangi bir \(d > 0\) için Teorem 20.9, \([-d, d]\) aralığında uygulanır; \(d\) keyfi olduğundan her \(y \in \mathbb{R}\) için

\[J'(y) = -\int_0^{+\infty} x\,e^{-x^2} \sin(xy)\,dx\]

olur. Sağdaki integrale kısmi integrasyon uygulayalım: \(u = \sin(xy)\), \(dv = x\,e^{-x^2}\,dx\) ile \(du = y \cos(xy)\,dx\) ve \(v = -\dfrac{e^{-x^2}}{2}\) olur:

\[\int_0^{b} x\,e^{-x^2} \sin(xy)\,dx = \left[ -\frac{e^{-x^2} \sin(xy)}{2} \right]_0^{b} + \frac{y}{2} \int_0^{b} e^{-x^2} \cos(xy)\,dx.\]

\(b \to +\infty\) iken köşeli parantezli terim \(-\dfrac{e^{-b^2} \sin(by)}{2} \to 0\) olur ve son integral \(J(y)\)’ye yakınsar. Öyleyse

\[J'(y) = -\frac{y}{2}\,J(y) \qquad (y \in \mathbb{R})\]

bulunur.

Geri integralleme. \(h(y) = J(y)\,e^{y^2/4}\) tanımlayalım. Çarpım kuralıyla

\[h'(y) = J'(y)\,e^{y^2/4} + J(y) \cdot \frac{y}{2}\,e^{y^2/4} = \left( J'(y) + \frac{y}{2}\,J(y) \right) e^{y^2/4} = 0\]

olur; \(h\) sabittir (bkz. Analiz 2).

Sabit. \(\cos 0 = 1\) olduğundan \(J(0)\), Gauss integralidir: \(h(0) = J(0) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\). Öyleyse her \(y\) için \(h(y) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\), yani

\[\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \cos(xy)\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,e^{-y^2/4}\]

bulunur. İntegrali alınan fonksiyon \(x\)’e göre çift olduğundan bütün doğru üzerindeki integral bunun iki katıdır: \(\sqrt{\pi}\,e^{-y^2/4}\). \(\blacksquare\)

Alıştırma 20.10 (Türevle Hesaplanan Bir İntegral) Her \(y \in \mathbb{R}\) için \(G(y) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x}\,\frac{\sin(xy)}{x}\,dx\) integralini, integral işareti altında türev alarak hesaplayınız.

Çözüm

Süreklilik. Örnek 20.7 çözümündeki \(s\) fonksiyonunu \(s(-u) = s(u)\) ile bütün doğruya genişletelim; \(s\), \(\mathbb{R}\) üzerinde süreklidir ve her \(u\) için \(u\,s(u) = \sin u\) olur. \(x > 0\) için \(\dfrac{\sin(xy)}{x} = y\,s(xy)\) olduğundan integrali alınan fonksiyon

\[g(x, y) = y\,e^{-x}\,s(xy)\]

biçiminde yazılır; \(x = 0\)’daki değeri \(y\)’dir ve \(g\), \([0, +\infty) \times \mathbb{R}\) üzerinde süreklidir. \(x > 0\) için \(\dfrac{\partial g}{\partial y} = e^{-x} \cos(xy)\) olur; \(x = 0\) için \(g(0, y) = y\) ve türev \(1 = e^{0} \cos 0\)’dır. Öyleyse her yerde

\[\frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = e^{-x} \cos(xy)\]

olur ve bu fonksiyon süreklidir.

Düzgün yakınsaklık. \(|e^{-x} \cos(xy)| \le e^{-x}\) ve \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx = 1\) olduğundan Teorem 20.3 gereği \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\partial g}{\partial y}\,dx\) integrali \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Çapa noktası \(y_0 = 0\)’dır: \(g(x, 0) = 0\) olduğundan \(G(0) = 0\).

Türev. Herhangi bir \(d > 0\) için Teorem 20.9, \([-d, d]\) aralığında uygulanır: \(G(y)\) yakınsaktır, \(G\) türevlenebilirdir ve

\[G'(y) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(xy)\,dx\]

olur. Bu integrali hesaplayalım. Çarpım kuralıyla

\[ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} \Big( e^{-x}\,\big( y \sin(xy) - \cos(xy) \big) \Big) &= -e^{-x}\,\big( y \sin(xy) - \cos(xy) \big) \\[1mm] &\quad + e^{-x}\,\big( y^2 \cos(xy) + y \sin(xy) \big) \\[1mm] &= (1 + y^2)\,e^{-x} \cos(xy) \end{aligned} \]

olduğundan

\[\int_0^{b} e^{-x} \cos(xy)\,dx = \frac{e^{-b}\,\big( y \sin(by) - \cos(by) \big) + 1}{1 + y^2}\]

bulunur. Paydaki ilk terim için

\[\left| e^{-b}\,\big( y \sin(by) - \cos(by) \big) \right| \le (|y| + 1)\,e^{-b}\]

olur ve sağ yan \(b \to +\infty\) iken \(0\)’a gider. Öyleyse

\[G'(y) = \frac{1}{1 + y^2} \qquad (y \in \mathbb{R})\]

olur.

Geri integralleme ve sabit. \(G(y) - \arctan y\) fonksiyonunun türevi özdeş olarak sıfırdır; bu fonksiyon sabittir ve \(y = 0\)’daki değeri \(G(0) - \arctan 0 = 0\)’dır. Öyleyse

\[\int_0^{+\infty} e^{-x}\,\frac{\sin(xy)}{x}\,dx = \arctan y \qquad (y \in \mathbb{R})\]

bulunur. \(\blacksquare\)

Bu bölümle birlikte kitabın izlediği yol tamamlanıyor. Fonksiyon dizilerinde, fonksiyon serilerinde, Fourier serilerinde ve parametreye bağlı integrallerde hep aynı soruyu sorduk: iki limit işleminin sırası ne zaman değiştirilebilir? Yanıt her seferinde aynı kavrama, düzgün yakınsaklığa dayandı. Son iki bölümde iki değişkenli \(f(x, y)\) fonksiyonlarıyla karşılaştık, ama her seferinde değişkenlerden birini sabit tutarak çalıştık. Çok değişkenli fonksiyonların limiti, sürekliliği ve türevi kendi başına bir konudur; bu konuyu Analiz 4 kitabında ele alıyoruz.