15 Genelleştirilmiş İntegraller: Sınırsız Aralıklar
Riemann integrali iki koşul altında tanımlanmıştı: integrasyon aralığı sınırlı bir \([a, b]\) aralığıdır ve integrali alınan fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır. Oysa \(\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}\) ya da \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}\) gibi ifadeler bu iki koşuldan birini çiğnediği hâlde anlamlı bir alan sorusu sorar. Bu tür integrallere genelleştirilmiş integral denir ve hepsi aynı fikirle tanımlanır: önce sorunsuz bir aralıkta sıradan integral alınır, sonra aralığın ucu sorunlu noktaya doğru götürülerek limit alınır.
Genelleştirilmiş integraller üç tipe ayrılır.
| Tip | Sorun | Örnek |
|---|---|---|
| I. tip | integrasyon aralığı sınırsız | \(\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}\) |
| II. tip | aralık sınırlı, fonksiyon bir ya da birkaç nokta yakınında sınırsız | \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}\) |
| III. tip | ikisi birden | \(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}\,(1 + x)}\) |
Bu bölümde I. tipi tanımlıyor ve tanımdan doğrudan hesaplanabilen örnekleri inceliyoruz. İlkeli bulunamayan integrallerin yakınsaklığına karar vermeyi sağlayan testler bir sonraki bölümün konusudur.
15.1 Sınırsız Aralıkta İntegral
\([a, +\infty)\) üzerindeki genelleştirilmiş integralle Analiz 2’de integral testini kurarken karşılaşmıştık (bkz. Analiz 2). Tanımı, öbür sınırsız aralıkları da kapsayacak biçimde yeniden yazalım.
Tanım 15.1 (Birinci Tip Genelleştirilmiş İntegral) \(a \in \mathbb{R}\) ve \(f : [a, +\infty) \to \mathbb{R}\) fonksiyonu her \(b > a\) için \([a, b]\) üzerinde integrallenebilir olsun.
\[\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,dx\]
limiti var ve sonluysa \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)\,dx\) genelleştirilmiş integrali yakınsaktır denir ve değeri bu limittir. Limit yoksa ya da sonsuzsa integral ıraksaktır denir.
Aynı biçimde, \(f : (-\infty, b] \to \mathbb{R}\) her \(a < b\) için \([a, b]\) üzerinde integrallenebilirse
\[\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx\]
tanımlanır; limit var ve sonluysa integral yakınsak, değilse ıraksaktır.
Yani sınırsız aralıktaki integral, gittikçe uzayan sınırlı aralıklardaki integrallerin limitidir. \(F(b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) yazılırsa yakınsaklık, \(F\) fonksiyonunun \(b \to +\infty\) iken sonlu bir limite sahip olmasıdır. Limit tanımıyla: integralin \(A\) sayısına yakınsaması, her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(B > a\) bulunması demektir ki \(b \ge B\) olduğunda
\[\left| \int_a^b f(x)\,dx - A \right| < \varepsilon\]
olsun. “Yakınsak” ve “ıraksak” sözcükleri serilerden ödünç alınmıştır ve benzerlik rastlantı değildir: \(F(b)\), serilerdeki kısmi toplamın rolünü oynar.
- Sınırlı aralıkta integralle. \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) integrali bir ilkel yardımıyla \(b\) cinsinden hesaplanır.
- Limit al. \(b \to +\infty\) (ya da \(a \to -\infty\)) limiti incelenir.
- Karar ver. Limit sonluysa integral yakınsaktır ve değeri bu limittir; limit sonsuzsa ya da yoksa ıraksaktır.
Örnek 15.1 (Yakınsak Bir İntegral) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} x e^{-4x}\,dx\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
Sınırlı aralık. \(u = x\), \(dv = e^{-4x}\,dx\) ile kısmi integrasyon (\(v = -\dfrac{e^{-4x}}{4}\)):
\[ \begin{aligned} \int_0^b x e^{-4x}\,dx &= \left[ -\frac{x e^{-4x}}{4} \right]_0^b + \frac{1}{4}\int_0^b e^{-4x}\,dx \\[1mm] &= -\frac{b\,e^{-4b}}{4} - \frac{e^{-4b}}{16} + \frac{1}{16}. \end{aligned} \]
Limit. \(b \to +\infty\) iken \(e^{-4b} \to 0\) ve üstel fonksiyon her kuvvetten hızlı büyüdüğünden \(b\,e^{-4b} \to 0\) olur. Dolayısıyla
\[\int_0^{+\infty} x e^{-4x}\,dx = \lim_{b \to +\infty}\left( \frac{1}{16} - \frac{4b + 1}{16\,e^{4b}} \right) = \frac{1}{16}.\]
İntegral yakınsaktır ve değeri \(\dfrac{1}{16}\)’dır. \(\blacksquare\)
Örnek 15.2 (Arktanjantla Hesaplanan İntegral) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 1}\) integralinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
\[\int_0^b \frac{dx}{x^2 + 1} = \Big[ \arctan x \Big]_0^b = \arctan b\]
olur ve \(\lim_{b \to +\infty} \arctan b = \dfrac{\pi}{2}\)’dir. İntegral yakınsaktır:
\[\int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 1} = \frac{\pi}{2}.\]
Sınırsız bir bölgenin alanı sonlu çıkmıştır; eğri yatay eksene yeterince hızlı yaklaşmaktadır. \(\blacksquare\)
Örnek 15.3 (Sonsuza Iraksayan İntegral) \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x}\,dx\) integralinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(u = \ln x\) değişken değiştirmesiyle (\(du = \dfrac{dx}{x}\))
\[\int_1^b \frac{\ln x}{x}\,dx = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_1^b = \frac{(\ln b)^2}{2}\]
olur. \(b \to +\infty\) iken \(\ln b \to +\infty\) olduğundan limit \(+\infty\)’dur; integral ıraksaktır. \(\blacksquare\)
Örnek 15.4 (Sol Ucu Sonsuz Olan İntegral) \(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \frac{dx}{\sqrt{2 - x}}\) integralinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(\left( -2\sqrt{2 - x} \right)' = \dfrac{1}{\sqrt{2 - x}}\) olduğundan \(a < 0\) için
\[\int_a^0 \frac{dx}{\sqrt{2 - x}} = \Big[ -2\sqrt{2 - x} \Big]_a^0 = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2 - a}\]
olur. \(a \to -\infty\) iken \(2 - a \to +\infty\) ve \(2\sqrt{2 - a} \to +\infty\) olduğundan limit \(+\infty\)’dur; integral ıraksaktır. \(\blacksquare\)
Örnek 15.5 (Limiti Olmayan İntegral) \(\displaystyle\int_{-2}^{+\infty} \sin x\,dx\) integralinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\[\int_{-2}^{b} \sin x\,dx = \Big[ -\cos x \Big]_{-2}^{b} = \cos 2 - \cos b\]
olur (\(\cos(-2) = \cos 2\)). \(\lim_{b \to +\infty} \cos b\) limiti yoktur: \(b_k = 2k\pi\) dizisi boyunca \(\cos b_k = 1\), \(b_k = (2k + 1)\pi\) dizisi boyunca \(\cos b_k = -1\) olur ve dizisel ölçüt gereği limit olamaz. Öyleyse integral ıraksaktır.
Bu örnekte integral sonsuza gitmez; \(\cos 2 - 1\) ile \(\cos 2 + 1\) arasında salınır. Iraksaklık “sonsuz olmak” demek değildir, “sonlu bir limitin olmaması” demektir. \(\blacksquare\)
15.2 Lineerlik
Limitin toplam ve skaler katla uyumu, genelleştirilmiş integrale aynen geçer.
Teorem 15.1 (Genelleştirilmiş İntegralin Lineerliği) \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)\,dx\) ve \(\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)\,dx\) yakınsak ve \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) olsun. O zaman \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \big( \alpha f(x) + \beta g(x) \big)\,dx\) integrali yakınsaktır ve
\[\int_a^{+\infty} \big( \alpha f + \beta g \big)\,dx = \alpha\int_a^{+\infty} f\,dx + \beta\int_a^{+\infty} g\,dx\]
olur. Aynı sonuç \((-\infty, b]\) üzerindeki integraller için de geçerlidir.
İspat
Her \(b > a\) için Riemann integralinin lineerliği (bkz. Analiz 2)
\[\int_a^b \big( \alpha f + \beta g \big)\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx\]
verir. Sağ yandaki iki integralin \(b \to +\infty\) iken sonlu limitleri vardır; limitin toplam ve sabitle çarpım kuralları gereği sol yanın da limiti vardır ve limitlerin aynı birleşimine eşittir. \(\blacksquare\)
Teoremin ters yönde kullanımına dikkat etmek gerekir: \(\int (f + g)\) yakınsak olduğu hâlde \(\int f\) ve \(\int g\) ayrı ayrı ıraksak olabilir (örneğin \(g = -f\)). Bir integrali parçalara ayırmadan önce parçaların yakınsak olduğundan emin olunmalıdır. Öte yandan \(\int f\) yakınsak ve \(\int g\) ıraksak ise \(\int (f + g)\) ıraksaktır; yakınsak olsaydı \(g = (f + g) - f\) integrali de yakınsak olurdu.
Başlangıç noktası da yakınsaklığı etkilemez: \(a < a'\) ise \(\displaystyle\int_a^b f = \int_a^{a'} f + \int_{a'}^{b} f\) olduğundan \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f\) ile \(\displaystyle\int_{a'}^{+\infty} f\) aynı anda yakınsar ya da ıraksar; yakınsaklık yalnız fonksiyonun sonsuzdaki davranışına bağlıdır.
15.3 İki Temel Aile
Karşılaştırma testlerinde ölçü olarak kullanılacak iki integral ailesini şimdi hesaplayalım.
Örnek 15.6 (Üstel İntegral) \(a \in \mathbb{R}\) olsun. \(\displaystyle\int_a^{+\infty} e^{-tx}\,dx\) integrali \(t\)’nin hangi değerleri için yakınsaktır?
Çözüm
\(t = 0\). \(\displaystyle\int_a^b dx = b - a \to +\infty\); integral ıraksaktır.
\(t \ne 0\).
\[F(b) = \int_a^b e^{-tx}\,dx = \left[ -\frac{e^{-tx}}{t} \right]_a^b = \frac{1}{t}\left( e^{-at} - e^{-bt} \right).\]
\(t > 0\) ise \(b \to +\infty\) iken \(e^{-bt} \to 0\) olur ve \(F(b) \to \dfrac{e^{-at}}{t}\). \(t < 0\) ise \(e^{-bt} \to +\infty\) ve \(\dfrac{1}{t} < 0\) olduğundan \(F(b) \to +\infty\) olur.
Sonuç.
\[\int_a^{+\infty} e^{-tx}\,dx = \frac{e^{-at}}{t} \quad (t > 0); \qquad t \le 0 \text{ için integral ıraksaktır.}\]
\(\blacksquare\)
Teorem 15.2 (Sonsuzda Kuvvet İntegrali) \(a > 0\) olsun. \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}\) integrali \(p > 1\) için yakınsak, \(p \le 1\) için ıraksaktır; \(p > 1\) iken
\[\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p} = \frac{a^{1-p}}{p - 1}\]
olur.
İspat
\(p = 1\). \(\displaystyle\int_a^b \frac{dx}{x} = \ln b - \ln a \to +\infty\); integral ıraksaktır.
\(p \ne 1\).
\[\int_a^b \frac{dx}{x^p} = \left[ \frac{x^{1-p}}{1 - p} \right]_a^b = \frac{b^{1-p} - a^{1-p}}{1 - p}.\]
\(p > 1\) ise \(1 - p < 0\) olduğundan \(b^{1-p} \to 0\) ve limit \(\dfrac{-a^{1-p}}{1 - p} = \dfrac{a^{1-p}}{p - 1}\) olur. \(p < 1\) ise \(1 - p > 0\) olduğundan \(b^{1-p} \to +\infty\) ve limit \(+\infty\)’dur. \(\blacksquare\)
Sonuç, p-serisi ölçütünün (bkz. Analiz 2) integral karşılığıdır ve aynı eşiğe sahiptir: \(\dfrac{1}{x}\) sınırdadır ve ıraksar; ondan biraz daha hızlı sönen her kuvvet yakınsar.
15.4 Bütün Doğru Üzerinde İntegral
İki ucu da sonsuz olan integral, tek bir limitle değil, iki ayrı genelleştirilmiş integralle tanımlanır.
Tanım 15.2 (Bütün Doğru Üzerinde Genelleştirilmiş İntegral) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) her sınırlı kapalı aralıkta integrallenebilir ve \(c \in \mathbb{R}\) olsun. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx\) ve \(\displaystyle\int_c^{+\infty} f(x)\,dx\) integrallerinin ikisi de yakınsaksa \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx\) integrali yakınsaktır denir ve
\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx + \int_c^{+\infty} f(x)\,dx\]
tanımlanır. İki integralden en az biri ıraksaksa \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx\) ıraksaktır denir.
Yani iki uç birbirinden bağımsız olarak sonsuza götürülür. Tanım \(c\) seçimine bağlı değildir: \(c < c'\) ise \(\displaystyle\int_{-\infty}^{c'} f = \int_{-\infty}^{c} f + \int_c^{c'} f\) ve \(\displaystyle\int_c^{+\infty} f = \int_c^{c'} f + \int_{c'}^{+\infty} f\) olduğundan yakınsaklık da toplam da aynı kalır.
Örnek 15.7 (Bütün Doğruda Yakınsak İntegral) \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2}\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
\(c = 0\) alalım.
\[ \begin{aligned} \int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2} &= \lim_{b \to +\infty} \arctan b = \frac{\pi}{2}, \\[1mm] \int_{-\infty}^{0} \frac{dx}{1 + x^2} &= \lim_{a \to -\infty} \big( -\arctan a \big) = \frac{\pi}{2}. \end{aligned} \]
İki integral de yakınsaktır; dolayısıyla
\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.\]
\(\blacksquare\)
İki ucu aynı hızla, simetrik olarak sonsuza götürmek daha zayıf bir kavram verir.
Tanım 15.3 (Cauchy Temel Değeri) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) her sınırlı kapalı aralıkta integrallenebilir olsun.
\[\text{p.v.}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{c \to +\infty} \int_{-c}^{c} f(x)\,dx\]
limiti var ve sonluysa bu sayıya \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx\) integralinin Cauchy temel değeri denir.
Yani temel değerde iki uç birbirine bağlıdır: soldaki \(-c\), sağdaki \(c\) ile aynı anda uzaklaşır. Bu, soldaki ve sağdaki sonsuz alanların birbirini götürmesine izin verir.
Önerme 15.1 (Yakınsak İntegralin Temel Değeri) \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx\) yakınsaksa Cauchy temel değeri de vardır ve integralin değerine eşittir.
İspat
\(c > 0\) için \(\displaystyle\int_{-c}^{c} f = \int_{-c}^{0} f + \int_0^{c} f\) olur. \(c \to +\infty\) iken birinci integral \(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} f\) sayısına, ikinci integral \(\displaystyle\int_0^{+\infty} f\) sayısına yakınsar; toplamın limiti, limitlerin toplamıdır. \(\blacksquare\)
Önermenin tersi doğru değildir.
Örnek 15.8 (Temel Değeri Olan Iraksak İntegral) \(\text{p.v.}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx\) değerini bulunuz. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx\) integrali yakınsak mıdır?
Çözüm
Temel değer. Her \(c > 0\) için
\[\int_{-c}^{c} x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-c}^{c} = \frac{c^2 - c^2}{2} = 0\]
olduğundan \(\text{p.v.}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx = 0\)’dır.
İntegral. \(\displaystyle\int_0^{b} x\,dx = \frac{b^2}{2} \to +\infty\) olduğundan \(\displaystyle\int_0^{+\infty} x\,dx\) ıraksaktır. İki parçadan biri ıraksak olduğundan \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx\) ıraksaktır.
Temel değerin \(0\) çıkması, sağdaki sonsuz pozitif alan ile soldaki sonsuz negatif alanın simetrik kesimde birbirini götürmesindendir. Uçlar farklı hızla götürülürse sonuç değişir: \(\displaystyle\int_{-c}^{2c} x\,dx = \frac{3c^2}{2} \to +\infty\). \(\blacksquare\)
15.5 Alıştırmalar
Alıştırma 15.1 (Değişken Değiştirmeyle Hesap) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} x e^{-x^2}\,dx\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
\(u = x^2\) ile \(du = 2x\,dx\) olur:
\[\int_0^b x e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_0^{b^2} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\left( 1 - e^{-b^2} \right).\]
\(b \to +\infty\) iken \(e^{-b^2} \to 0\) olduğundan integral yakınsaktır ve değeri \(\dfrac{1}{2}\)’dir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.2 (Logaritmalı Kuvvet İntegrali) \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\,(\ln x)^2}\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
\(u = \ln x\) ile \(du = \dfrac{dx}{x}\) olur:
\[\int_2^b \frac{dx}{x\,(\ln x)^2} = \int_{\ln 2}^{\ln b} \frac{du}{u^2} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{\ln 2}^{\ln b} = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln b}.\]
\(b \to +\infty\) iken \(\dfrac{1}{\ln b} \to 0\) olduğundan integral yakınsaktır ve değeri \(\dfrac{1}{\ln 2}\)’dir.
Karşılaştırma için: \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x}\) ıraksaktır; paydaya eklenen \((\ln x)^2\) çarpanı integrali yakınsak yapmaya yetmiştir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.3 (Basit Kesirlerle Hesap) \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x(x + 1)}\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
\(\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}\) olduğundan
\[\int_1^b \frac{dx}{x(x + 1)} = \Big[ \ln x - \ln(x + 1) \Big]_1^b = \ln\frac{b}{b + 1} + \ln 2\]
olur. \(b \to +\infty\) iken \(\dfrac{b}{b + 1} \to 1\) ve \(\ln\dfrac{b}{b + 1} \to 0\); integral yakınsaktır ve değeri \(\ln 2\)’dir.
İntegrali \(\displaystyle\int \frac{dx}{x} - \int \frac{dx}{x + 1}\) biçiminde iki genelleştirilmiş integrale ayırmak yanlış olurdu: ikisi de ıraksaktır. Fark, limit alınmadan önce, sınırlı aralıkta alınmalıdır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.4 (Çift Üstel Fonksiyon) \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\,dx\) integralini hesaplayınız.
Çözüm
\(c = 0\) ile ikiye ayıralım. \(x \ge 0\) için \(e^{-|x|} = e^{-x}\), \(x < 0\) için \(e^{-|x|} = e^{x}\) olur.
\[ \begin{aligned} \int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx &= \lim_{b \to +\infty}\big( 1 - e^{-b} \big) = 1, \\[1mm] \int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx &= \lim_{a \to -\infty}\big( 1 - e^{a} \big) = 1. \end{aligned} \]
İki parça da yakınsaktır; \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\,dx = 2\). \(\blacksquare\)
Alıştırma 15.5 (Tek Fonksiyonun Temel Değeri) \(\text{p.v.}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1 + x^2}\,dx\) değerini bulunuz ve integralin yakınsak olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm
\(\dfrac{x}{1 + x^2}\) tek fonksiyondur; her \(c > 0\) için \(\displaystyle\int_{-c}^{c} \frac{x}{1 + x^2}\,dx = 0\) olur ve temel değer \(0\)’dır.
Öte yandan
\[\int_0^{b} \frac{x}{1 + x^2}\,dx = \left[ \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) \right]_0^b = \frac{1}{2}\ln(1 + b^2) \to +\infty\]
olduğundan \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{x}{1 + x^2}\,dx\) ıraksaktır; bütün doğru üzerindeki integral ıraksaktır. \(\blacksquare\)
Tanımla hesap, integralin ilkeli bulunabildiği sürece işe yarar. \(\displaystyle\int_1^{+\infty} e^{-x^2}\,dx\) gibi ilkeli temel fonksiyonlarla yazılamayan integrallerde yakınsaklığa, değeri hesaplamadan karar vermek gerekir. Bunun araçlarını Birinci Tip İntegraller için Yakınsaklık Testleri bölümünde kuruyoruz.