14 Fourier Sinüs ve Kosinüs Serileri
Şimdiye kadar fonksiyonlar bütün bir periyot üzerinde, \([-\pi, \pi]\) aralığında verilmişti. Uygulamada ise fonksiyon çoğu zaman yalnız \([0, \pi]\) gibi yarım bir aralıkta tanımlıdır: bir telin \(0\) ile \(\pi\) arasındaki biçimi, bir çubuğun bir ucundan öbür ucuna sıcaklığı. Böyle bir fonksiyonu trigonometrik seriyle açmak için önce onu \([-\pi, 0)\) aralığına genişletmek gerekir ve bunu yapmanın iki doğal yolu vardır: grafiği düşey eksene göre yansıtmak ya da orijine göre yansıtmak.
Birinci yol çift bir fonksiyon verir; Fourier serisinde yalnız kosinüsler kalır. İkinci yol tek bir fonksiyon verir; seride yalnız sinüsler kalır. Böylece aynı fonksiyon \([0, \pi]\) üzerinde iki farklı seriyle temsil edilir. Bu bölümde iki seriyi tanımlıyor, uç noktalardaki davranışlarını belirliyor ve örneklerle karşılaştırıyoruz.
14.1 Çift ve Tek Genişleme
Genişlemeleri tanımlayarak başlayalım.
Tanım 14.1 (Çift Genişleme ve Tek Genişleme) \(f : [0, \pi] \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon olsun.
\[f_{\text{ç}}(x) = \begin{cases} f(x), & 0 \le x \le \pi \\ f(-x), & -\pi \le x < 0 \end{cases} \qquad\qquad f_{\text{t}}(x) = \begin{cases} f(x), & 0 < x < \pi \\ 0, & x \in \{0, \pm\pi\} \\ -f(-x), & -\pi < x < 0 \end{cases}\]
fonksiyonlarına sırasıyla \(f\)’nin çift genişlemesi ve tek genişlemesi denir.
Yani \(f_{\text{ç}}\), \(f\)’nin grafiğinin düşey eksene göre yansımasıyla; \(f_{\text{t}}\) ise orijine göre yansımasıyla elde edilir. \(f_{\text{ç}}(-x) = f_{\text{ç}}(x)\) ve \(f_{\text{t}}(-x) = -f_{\text{t}}(x)\) olduğu tanımdan görülür. Tek bir fonksiyon \(0\)’da \(0\) değerini almak zorunda olduğundan \(f_{\text{t}}(0) = 0\) konmuştur; \(\pm\pi\) noktalarındaki değer integralleri etkilemez. İki genişleme de \((0, \pi)\) üzerinde \(f\) ile çakışır ve \(f\) integrallenebilirse onlar da integrallenebilirdir.
Genişlemeler sürekliliği farklı biçimde etkiler. \(f\) sürekliyse \(f_{\text{ç}}\) her zaman süreklidir ve periyodik genişlemesi de süreklidir (\(f_{\text{ç}}(-\pi) = f(\pi) = f_{\text{ç}}(\pi)\)). \(f_{\text{t}}\) ise ancak \(f(0) = 0\) ise \(0\) noktasında, ancak \(f(\pi) = 0\) ise \(\pm\pi\) noktalarında (periyodik anlamda) süreklidir.
14.2 Kosinüs ve Sinüs Serileri
Genişlemelerin Fourier serilerini Önerme 10.2 ile yazalım. \(f_{\text{ç}}\) çift olduğundan \(b_n = 0\) ve \(a_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f_{\text{ç}}(x)\cos(nx)\,dx\) olur; \([0, \pi]\) üzerinde \(f_{\text{ç}} = f\) olduğundan integral doğrudan \(f\) ile yazılır. \(f_{\text{t}}\) için durum benzerdir.
Tanım 14.2 (Fourier Kosinüs Serisi ve Fourier Sinüs Serisi) \(f\), \([0, \pi]\) üzerinde integrallenebilir olsun.
\[a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx \quad (n \ge 0), \qquad f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx)\]
serisine \(f\)’nin Fourier kosinüs serisi,
\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx \quad (n \ge 1), \qquad f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx)\]
serisine \(f\)’nin Fourier sinüs serisi denir.
Yani kosinüs serisi çift genişlemenin, sinüs serisi tek genişlemenin Fourier serisidir. İki seri de yalnız \(f\)’nin \([0, \pi]\) üzerindeki değerlerinden hesaplanır. \([0, \pi]\) dışında ise farklı fonksiyonları temsil ederler: kosinüs serisinin toplamı çift, sinüs serisinin toplamı tektir.
Yakınsaklık, genişlemelere Sonuç 12.2 uygulanarak elde edilir; yeni olan yalnız uç noktalardaki değerlerdir.
Teorem 14.1 (Kosinüs ve Sinüs Serilerinin Yakınsaklığı) \(f\), \([0, \pi]\) üzerinde parçalı düzgün olsun.
Her \(x \in (0, \pi)\) için iki seri de \(\dfrac{f(x + 0) + f(x - 0)}{2}\) değerine, özel olarak süreklilik noktalarında \(f(x)\)’e yakınsar.
Kosinüs serisi \(x = 0\)’da \(f(0 + 0)\) değerine, \(x = \pi\)’de \(f(\pi - 0)\) değerine yakınsar.
Sinüs serisi \(x = 0\) ve \(x = \pi\) noktalarında \(0\)’a yakınsar.
İspat
\(f\) parçalı düzgün olduğundan \(f_{\text{ç}}\) ve \(f_{\text{t}}\), \([-\pi, \pi]\) üzerinde parçalı düzgündür: yansıma, sürekli parçaları sürekli parçalara ve tek yönlü limitleri tek yönlü limitlere götürür; istisna noktaları dışında \(-\pi < x < 0\) için \(f_{\text{ç}}'(x) = -f'(-x)\) ve \(f_{\text{t}}'(x) = f'(-x)\) olduğundan türevler de parçalı süreklidir ve tek yönlü limitleri sonludur. Sonuç 12.2 gereği periyodik genişlemelerin Fourier serileri her noktada sağ ve sol limitlerin ortalamasına yakınsar.
(i) \(x \in (0, \pi)\) için iki genişleme de \(x\)’in bir komşuluğunda \(f\) ile çakışır; tek yönlü limitler \(f(x + 0)\) ve \(f(x - 0)\)’dır.
(ii) \(x = 0\)’da \(f_{\text{ç}}(0 + 0) = f(0 + 0)\) olur. Yansıma nedeniyle soldan limit de aynıdır: \(f_{\text{ç}}(-h) = f(h)\) olduğundan \(f_{\text{ç}}(0 - 0) = f(0 + 0)\). Ortalama \(f(0 + 0)\)’dır. \(x = \pi\)’de toplam \(\dfrac{f_{\text{ç}}(-\pi + 0) + f_{\text{ç}}(\pi - 0)}{2}\)’dir ve iki limit de \(f(\pi - 0)\)’a eşittir.
(iii) \(x = 0\)’da \(f_{\text{t}}(0 + 0) = f(0 + 0)\) ve \(f_{\text{t}}(0 - 0) = -f(0 + 0)\) olur; ortalama \(0\)’dır. \(x = \pi\)’de \(f_{\text{t}}(\pi - 0) = f(\pi - 0)\) ve \(f_{\text{t}}(-\pi + 0) = -f(\pi - 0)\) olur; ortalama yine \(0\)’dır. (Zaten \(\sin(n \cdot 0) = \sin(n\pi) = 0\) olduğundan sinüs serisinin bütün terimleri bu noktalarda \(0\)’dır.) \(\blacksquare\)
Uç noktalardaki fark, hangi serinin seçileceğini de belirler. Kosinüs serisi uçlarda \(f\)’nin limit değerlerini verir; \(f\), \([0, \pi]\) üzerinde sürekli ve parçalı düzgünse bütün \([0, \pi]\) üzerinde \(f\)’ye düzgün yakınsar (Teorem 13.2, \(f_{\text{ç}}\) için). Sinüs serisi uçlarda \(0\) verir; \(f(0 + 0) \ne 0\) ya da \(f(\pi - 0) \ne 0\) ise toplam fonksiyonu ilgili uçta süreksizdir ve yakınsama \([0, \pi]\) üzerinde düzgün olamaz.
- Seriyi seç. Kosinüs serisi istenmişse çift genişleme, sinüs serisi istenmişse tek genişleme düşünülür; genişlemeyi açıkça yazmak gerekmez.
- Katsayıları hesapla. \(a_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\) ya da \(b_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\); \(a_0\) ayrı hesaplanır.
- Toplamı yorumla. \((0, \pi)\) içinde seri \(f\)’ye (sıçramada ortalamaya) yakınsar; uçlarda Teorem 14.1 uygulanır.
Örnek 14.1 (Bir Parabol Yayının Kosinüs Serisi) \([0, \pi]\) üzerinde \(f(x) = x(\pi - x)\) fonksiyonunun Fourier kosinüs serisini bulunuz.
Çözüm
Çift genişleme şeklin sol panelindeki fonksiyondur: \(x = 0\)’da bir köşesi vardır, ama süreklidir.
\(a_0\).
\[a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} (\pi x - x^2)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[ \frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{6} = \frac{\pi^2}{3}.\]
\(a_n\). \(n \ge 1\) için iki kez kısmi integrasyon yapalım. \(u = \pi x - x^2\), \(dv = \cos(nx)\,dx\):
\[\int_0^{\pi} (\pi x - x^2)\cos(nx)\,dx = \left[ \frac{(\pi x - x^2)\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \frac{1}{n}\int_0^{\pi} (\pi - 2x)\sin(nx)\,dx.\]
Sınır terimi \(0\)’dır. Kalan integralde \(u = \pi - 2x\), \(dv = \sin(nx)\,dx\):
\[ \begin{aligned} \int_0^{\pi} (\pi - 2x)\sin(nx)\,dx &= \left[ -\frac{(\pi - 2x)\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \frac{2}{n}\int_0^{\pi} \cos(nx)\,dx \\[1mm] &= \frac{\pi\cos(n\pi)}{n} + \frac{\pi}{n} - 0 = \frac{\pi\big( 1 + (-1)^n \big)}{n}. \end{aligned} \]
Öyleyse
\[a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \left( -\frac{1}{n} \right) \cdot \frac{\pi\big( 1 + (-1)^n \big)}{n} = -\frac{2\big( 1 + (-1)^n \big)}{n^2} = \begin{cases} 0, & n \text{ tek} \\[1mm] -\dfrac{4}{n^2}, & n \text{ çift} \end{cases}\]
Seri. \(n = 2k\) için \(a_{2k} = -\dfrac{4}{4k^2} = -\dfrac{1}{k^2}\) olur. \(f\) sürekli ve parçalı düzgün olduğundan Teorem 14.1 gereği bütün \([0, \pi]\) üzerinde eşitlik geçerlidir:
\[ \begin{aligned} x(\pi - x) &= \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2kx)}{k^2} \\[1mm] &= \frac{\pi^2}{6} - \left( \cos 2x + \frac{\cos 4x}{2^2} + \frac{\cos 6x}{3^2} + \cdots \right) \qquad (0 \le x \le \pi). \end{aligned} \]
\(x = 0\) alınırsa \(0 = \dfrac{\pi^2}{6} - \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\) bulunur; Basel toplamı bir kez daha elde edilir. \(\blacksquare\)
Örnek 14.2 (Aynı Parabol Yayının Sinüs Serisi) \([0, \pi]\) üzerinde \(f(x) = x(\pi - x)\) fonksiyonunun Fourier sinüs serisini bulunuz ve \(x = \dfrac{\pi}{2}\) alarak bir sayı serisinin toplamını hesaplayınız.
Çözüm
\(b_n\). İki kez kısmi integrasyon. \(u = \pi x - x^2\), \(dv = \sin(nx)\,dx\):
\[ \begin{aligned} \int_0^{\pi} (\pi x - x^2)\sin(nx)\,dx &= \left[ -\frac{(\pi x - x^2)\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} \\[1mm] &\quad + \frac{1}{n}\int_0^{\pi} (\pi - 2x)\cos(nx)\,dx. \end{aligned} \]
Sınır terimi \(0\)’dır. Kalan integralde \(u = \pi - 2x\), \(dv = \cos(nx)\,dx\):
\[ \begin{aligned} \int_0^{\pi} (\pi - 2x)\cos(nx)\,dx &= \left[ \frac{(\pi - 2x)\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} + \frac{2}{n}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx \\[1mm] &= 0 + \frac{2}{n}\left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} = \frac{2\big( 1 - (-1)^n \big)}{n^2}. \end{aligned} \]
Öyleyse
\[b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{2\big( 1 - (-1)^n \big)}{n^2} = \frac{4\big( 1 - (-1)^n \big)}{\pi n^3} = \begin{cases} \dfrac{8}{\pi n^3}, & n \text{ tek} \\[1mm] 0, & n \text{ çift} \end{cases}\]
Seri. \(f\) sürekli ve parçalı düzgündür; ayrıca \(f(0) = f(\pi) = 0\) olduğundan uçlarda da seri \(f\) ile çakışır:
\[ \begin{aligned} x(\pi - x) &= \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin((2k-1)x)}{(2k-1)^3} \\[1mm] &= \frac{8}{\pi}\left( \sin x + \frac{\sin 3x}{3^3} + \frac{\sin 5x}{5^3} + \cdots \right) \qquad (0 \le x \le \pi). \end{aligned} \]
Sayı serisi. \(x = \dfrac{\pi}{2}\) için \(f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\pi^2}{4}\) ve \(\sin\dfrac{(2k-1)\pi}{2} = (-1)^{k+1}\) olduğundan
\[\frac{\pi^2}{4} = \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^3}\]
olur. Buradan
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^3} = 1 - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \cdots = \frac{\pi^3}{32}.\]
Karşılaştırma. Aynı fonksiyon için kosinüs serisinin katsayıları \(\dfrac{1}{k^2}\), sinüs serisininkiler \(\dfrac{1}{n^3}\) hızıyla küçülür. Nedeni şeklin sağ panelinde görülür: tek genişleme \(x = 0\)’da köşe yapmaz (türevi de süreklidir), çift genişleme ise köşelidir. Genişleme ne kadar düzgünse katsayılar o kadar hızlı küçülür. \(\blacksquare\)
Aşağıdaki dört örnek tek bir fonksiyonu, \((0, \pi)\) üzerinde \(f(x) = \pi - x\) fonksiyonunu ele alır: önce iki serisi bulunur, sonra her seriden bir sayı serisi çıkarılır.
Örnek 14.3 (Azalan Doğrunun Sinüs Serisi) \((0, \pi)\) üzerinde \(f(x) = \pi - x\) fonksiyonunun Fourier sinüs serisini bulunuz.
Çözüm
\(u = \pi - x\), \(dv = \sin(nx)\,dx\) ile kısmi integrasyon (\(du = -dx\), \(v = -\dfrac{\cos(nx)}{n}\)):
\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} (\pi - x)\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left( \left[ -\frac{(\pi - x)\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \cos(nx)\,dx \right) \\[1mm] &= \frac{2}{\pi}\left( \frac{\pi}{n} - 0 \right) = \frac{2}{n}. \end{aligned} \]
Sinüs serisi
\[\pi - x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} \qquad (0 < x < \pi)\]
olur; eşitlik Teorem 14.1 (i) gereği \((0, \pi)\) üzerinde geçerlidir. \(x = 0\)’da seri \(0\) verir, oysa \(f(0 + 0) = \pi\)’dir. Tek genişleme \(0\)’da \(-\pi\)’den \(\pi\)’ye sıçrar; serinin toplamı bu sıçramanın ortasıdır. \(\blacksquare\)
Örnek 14.4 (Azalan Doğrunun Kosinüs Serisi) \((0, \pi)\) üzerinde \(f(x) = \pi - x\) fonksiyonunun Fourier kosinüs serisini bulunuz.
Çözüm
\(a_0\).
\[a_0 = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} (\pi - x)\,dx = \dfrac{2}{\pi}\left[ \pi x - \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{\pi} = \dfrac{2}{\pi} \cdot \dfrac{\pi^2}{2} = \pi.\]
\(a_n\). \(u = \pi - x\), \(dv = \cos(nx)\,dx\) ile
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{2}{\pi}\left( \left[ \frac{(\pi - x)\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx \right) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n}\left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} \\[1mm] &= \frac{2\big( 1 - (-1)^n \big)}{\pi n^2}. \end{aligned} \]
\(n\) çiftse \(a_n = 0\), \(n\) tekse \(a_n = \dfrac{4}{\pi n^2}\) olur.
Seri. Çift genişleme \(\pi - |x|\) fonksiyonudur; süreklidir. Teorem 14.1 gereği
\[\pi - x = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2} \qquad (0 \le x \le \pi)\]
olur; bu seriyle Parseval eşitliğini uygularken karşılaşmıştık (Örnek 13.4). \(\blacksquare\)
Örnek 14.5 (Kosinüs Serisinden Bir Toplam) \(\pi - x\) fonksiyonunun kosinüs serisinden yararlanarak \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kosinüs serisi \(x = 0\)’da \(f(0 + 0) = \pi\) değerine yakınsar (Teorem 14.1 (ii)). Örnek 14.4 serisinde \(x = 0\) alınırsa \(\cos 0 = 1\) ile
\[\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{8}.\]
\(\blacksquare\)
Örnek 14.6 (Sinüs Serisinden Bir Toplam) \(\pi - x\) fonksiyonunun sinüs serisinden yararlanarak \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} = \frac{\pi}{4}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(x = \dfrac{\pi}{2} \in (0, \pi)\) bir süreklilik noktasıdır; Örnek 14.3 serisi bu noktada \(f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\pi}{2}\) değerine yakınsar. \(\sin\dfrac{n\pi}{2}\) sayısı çift \(n\) için \(0\), \(n = 2k - 1\) için \((-1)^{k+1}\) olduğundan
\[\frac{\pi}{2} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\frac{n\pi}{2}}{n} = 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} = \frac{\pi}{4}.\]
\(\blacksquare\)
14.3 \([0, L]\) Aralığında Sinüs ve Kosinüs Serileri
Aralık \([0, L]\) ise ölçekleme (Tanım 10.4) aynı formülleri \(\pi\) yerine \(L\) ile verir.
Tanım 14.3 (Genel Yarım Aralıkta Kosinüs ve Sinüs Serileri) \(L > 0\) ve \(f\), \([0, L]\) üzerinde integrallenebilir olsun. \(f\)’nin \([0, L]\) üzerindeki Fourier kosinüs serisi
\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{n\pi x}{L}, \qquad a_n = \frac{2}{L}\int_0^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\]
Fourier sinüs serisi
\[f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx\]
serisidir.
Yani bunlar, \(f\)’nin \([-L, L]\) aralığına çift ve tek genişlemelerinin \(2L\) periyotlu Fourier serileridir. Teorem 14.1, \(\pi\) yerine \(L\) yazılarak aynen geçerlidir.
Örnek 14.7 (Uzunluğu 2 Olan Aralıkta Sinüs Serisi) \([0, 2]\) üzerinde \(f(x) = x\) fonksiyonunun Fourier sinüs serisini bulunuz.
Çözüm
\(L = 2\)’dir. \(u = x\), \(dv = \sin\dfrac{n\pi x}{2}\,dx\) ile (\(v = -\dfrac{2}{n\pi}\cos\dfrac{n\pi x}{2}\))
\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{2}\int_0^2 x\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx = \left[ -\frac{2x}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{2} \right]_0^2 + \frac{2}{n\pi}\int_0^2 \cos\frac{n\pi x}{2}\,dx \\[1mm] &= -\frac{4\cos(n\pi)}{n\pi} + 0 = \frac{4\,(-1)^{n+1}}{n\pi}. \end{aligned} \]
Sinüs serisi
\[x = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{n\pi x}{2} \qquad (0 \le x < 2)\]
olur. \(x = 0\)’da iki yan da \(0\)’dır; \(x = 2\)’de seri \(0\) verir, oysa \(f(2) = 2\)’dir. \(\blacksquare\)
14.4 Alıştırmalar
Alıştırma 14.1 (Sabit Fonksiyonun İki Serisi) \([0, \pi]\) üzerinde \(f(x) = 1\) fonksiyonunun Fourier kosinüs serisini ve Fourier sinüs serisini bulunuz.
Çözüm
Kosinüs serisi. \(a_0 = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} dx = 2\) ve \(n \ge 1\) için \(a_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} \cos(nx)\,dx = 0\). Seri tek terimden oluşur: \(1 \sim 1\). Çift genişleme sabit \(1\) fonksiyonudur; serisi kendisidir.
Sinüs serisi.
\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx = \frac{2}{n\pi}\big( 1 - (-1)^n \big)\]
olur; bu sayı tek \(n\) için \(\dfrac{4}{n\pi}\), çift \(n\) için \(0\)’dır. Dolayısıyla
\[1 = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1} \qquad (0 < x < \pi).\]
Tek genişleme kare dalgadır (Alıştırma 12.2). Uçlarda seri \(0\) verir. Aynı fonksiyonun iki serisi bundan daha farklı olamazdı: biri tek terimli, öbürü sonsuz ve yavaş yakınsayan bir seridir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 14.2 (Basamak Fonksiyonunun Sinüs Serisi) \(f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x \le \dfrac{\pi}{2} \\[1mm] 1, & \dfrac{\pi}{2} < x \le \pi \end{cases}\) fonksiyonunun \((0, \pi)\) aralığındaki Fourier sinüs serisini bulunuz ve \(x = \dfrac{\pi}{2}\) noktasındaki toplamını belirleyiniz.
Çözüm
\(f\), \(\left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right]\) üzerinde \(0\) olduğundan
\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi} \sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{2}{n\pi}\left( \cos\frac{n\pi}{2} - (-1)^n \right)\]
olur. İlk katsayılar: \(b_1 = \dfrac{2}{\pi}\), \(b_2 = \dfrac{2}{2\pi}(-1 - 1) = -\dfrac{2}{\pi}\), \(b_3 = \dfrac{2}{3\pi}\), \(b_4 = \dfrac{2}{4\pi}(1 - 1) = 0\). Sinüs serisi
\[ \begin{aligned} f(x) &\sim \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left( \cos\frac{n\pi}{2} - (-1)^n \right)\sin(nx) \\[1mm] &= \frac{2}{\pi}\left( \sin x - \sin 2x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} - \cdots \right) \end{aligned} \]
olur.
\(x = \dfrac{\pi}{2}\). \(f\) bu noktada \(0\)’dan \(1\)’e sıçrar; Teorem 14.1 (i) gereği seri \(\dfrac{0 + 1}{2} = \dfrac{1}{2}\) değerine yakınsar. \(\blacksquare\)
Alıştırma 14.3 (Kosinüsün Sinüs Serisi) \((0, \pi)\) üzerinde \(f(x) = \cos x\) fonksiyonunun Fourier sinüs serisini bulunuz.
Çözüm
\[\cos x\,\sin(nx) = \tfrac{1}{2}\big[ \sin((n+1)x) + \sin((n-1)x) \big]\]
özdeşliğiyle
\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \cos x\,\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \big[ \sin((n+1)x) + \sin((n-1)x) \big]\,dx\]
olur.
\(n = 1\).
\[b_1 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(2x)\,dx = \dfrac{1}{\pi}\left[ -\dfrac{\cos(2x)}{2} \right]_0^{\pi} = 0.\]
\(n \ge 2\). \(m \ge 1\) için \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(mx)\,dx = \frac{1 - (-1)^m}{m}\) ve \((-1)^{n+1} = (-1)^{n-1}\) olduğundan
\[b_n = \frac{1 - (-1)^{n+1}}{\pi}\left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1} \right) = \frac{1 + (-1)^n}{\pi} \cdot \frac{2n}{n^2 - 1}.\]
\(n\) tekse \(b_n = 0\); \(n = 2k\) ise \(b_{2k} = \dfrac{2}{\pi} \cdot \dfrac{4k}{4k^2 - 1} = \dfrac{8k}{\pi(4k^2 - 1)}\).
Seri.
\[\cos x = \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k\,\sin(2kx)}{4k^2 - 1} \qquad (0 < x < \pi).\]
Bir kosinüsün sinüslerle yazılabilmesi şaşırtıcı görünebilir; ama eşitlik yalnız \((0, \pi)\) üzerindedir. \((-\pi, 0)\) üzerinde seri, tek genişlemeyi, yani \(-\cos x\) fonksiyonunu verir. Katsayılar yalnız \(\dfrac{1}{k}\) hızıyla küçülür, çünkü tek genişleme \(0\) ve \(\pm\pi\) noktalarında sıçrar. \(\blacksquare\)
Alıştırma 14.4 (Sinüsün Kosinüs Serisi) \([0, \pi]\) üzerinde \(f(x) = \sin x\) fonksiyonunun Fourier kosinüs serisini bulunuz.
Çözüm
\(\sin x\)’in \([-\pi, \pi]\) aralığına çift genişlemesi \(|\sin x|\) fonksiyonudur: \(-\pi \le x < 0\) için \(\sin(-x) = -\sin x = |\sin x|\). Kosinüs serisi, çift genişlemenin Fourier serisidir; Alıştırma 10.5 ve Alıştırma 12.3 gereği
\[\sin x = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2kx)}{4k^2 - 1} \qquad (0 \le x \le \pi)\]
olur. Çift genişleme sürekli olduğundan eşitlik uçlarda da geçerlidir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 14.5 (Aynı Fonksiyon, İki Seri, İki Hız) \([0, \pi]\) üzerinde \(f(x) = x\) fonksiyonunun kosinüs ve sinüs serilerini önceki bölümlerin sonuçlarından yazınız; hangisinin \([0, \pi]\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu belirleyiniz.
Çözüm
Kosinüs serisi. Çift genişleme \(|x|\)’tir; Örnek 12.3 gereği
\[x = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2} \qquad (0 \le x \le \pi).\]
Sinüs serisi. Tek genişleme \((-\pi, \pi)\) üzerinde \(x\)’in kendisidir; Örnek 12.1 gereği
\[x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) \qquad (0 \le x < \pi).\]
Düzgün yakınsaklık. \(|x|\) sürekli, parçalı düzgün ve \(|{-\pi}| = |\pi|\) olduğundan kosinüs serisi \(\mathbb{R}\) üzerinde, dolayısıyla \([0, \pi]\) üzerinde düzgün yakınsaktır (Teorem 13.2). Sinüs serisi \(x = \pi\)’de \(0\)’a yakınsar, oysa \(f(\pi) = \pi\)’dir; toplam fonksiyonu \([0, \pi]\) üzerinde \(x = \pi\)’de süreksizdir ve sürekli kısmi toplamların düzgün limiti olamaz. Sinüs serisi \([0, \pi]\) üzerinde düzgün yakınsak değildir. \(\blacksquare\)
Fourier serileri kısmını burada tamamlıyoruz. Dini koşulunda karşımıza çıkan \(\lim_{\eta \to 0^+} \int_{\eta}^{\delta}\) türü limitler, integrasyon aralığının ucunda sınırsız olan fonksiyonların integralleridir; sıradaki kısım bu genelleştirilmiş integralleri sistemli olarak ele alır.