8 Fonksiyon Serilerinin Özellikleri
Sonlu bir toplamda her şey yolundadır: sürekli fonksiyonların sonlu toplamı süreklidir, toplamın integrali integrallerin toplamıdır, toplamın türevi türevlerin toplamıdır. Sonsuz toplamda aynı kuralların geçerli olup olmadığı, analizin en sık sorulan sorularındandır:
\[\int_a^b \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\,dx \overset{?}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx,\]
\[\Big( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \Big)' \overset{?}{=} \sum_{n=1}^{\infty} f_n'(x).\]
Yanıtlar hazırdır. Bir serinin toplamı, kısmi toplamlar dizisinin limitidir; diziler için kanıtladığımız süreklilik, integral ve türev teoremlerini \(S_n = f_1 + \dots + f_n\) dizisine uygulamak yeter. Bu bölümde bu çeviriyi yapıyor ve sonuçları örneklerle kullanıyoruz.
8.1 Toplamın Sürekliliği
İlk sonuç, düzgün limitin sürekliliği koruması teoreminin seri biçimidir.
Teorem 8.1 (Düzgün Yakınsak Serinin Toplamı Süreklidir) \(\sum f_n\) serisi \(E \subseteq \mathbb{R}\) üzerinde \(S\) fonksiyonuna düzgün yakınsasın. Her \(f_n\) fonksiyonu bir \(a \in E\) noktasında sürekliyse \(S\) de \(a\) noktasında süreklidir. Özel olarak her \(f_n\), \(E\) üzerinde sürekliyse \(S\) de \(E\) üzerinde süreklidir.
İspat
\(S_n = f_1 + f_2 + \dots + f_n\) kısmi toplamı, \(a\) noktasında sürekli sonlu sayıda fonksiyonun toplamı olduğundan \(a\) noktasında süreklidir. Serinin düzgün yakınsaklığı \(S_n \rightrightarrows S\) (\(E\)) demektir (Tanım 7.4). Teorem 4.2 gereği \(S\), \(a\) noktasında süreklidir. \(\blacksquare\)
\(a\) noktası \(E\)’nin bir yığılma noktasıysa teorem, limit ile sonsuz toplamın yer değiştirmesi olarak da okunur:
\[\lim_{x \to a} \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) = S(a) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(a) = \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{x \to a} f_n(x).\]
Örnek 8.1 (Sürekli Bir Toplam Fonksiyonu) \(S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}\) üzerinde sürekli olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Örnek 7.2 gereği seri \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Her terim \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n^2}\) bütün \(\mathbb{R}\)’de süreklidir. Teorem 8.1 gereği \(S\), \(\mathbb{R}\) üzerinde süreklidir.
\(S\) için kapalı bir formül bilmiyoruz; yine de sürekli olduğunu söyleyebiliyoruz. \(\blacksquare\)
Yerel düzgün yakınsaklık yeter
Süreklilik yerel bir özelliktir: bir noktadaki süreklilik yalnız o noktanın çevresindeki değerlere bağlıdır. Bu yüzden serinin bütün kümede düzgün yakınsaması gerekmez; her noktanın, üzerinde düzgün yakınsaklık olan bir komşuluğunun bulunması yeter.
Sonuç 8.1 (Yerel Düzgün Yakınsaklıkla Süreklilik) \(I \subseteq \mathbb{R}\) birden çok nokta içeren bir aralık ve her \(f_n\), \(I\) üzerinde sürekli olsun. \(\sum f_n\) serisi \(I\)’nin kapalı ve sınırlı her \([c, d] \subseteq I\) alt aralığında düzgün yakınsıyorsa toplam fonksiyonu \(S\), \(I\) üzerinde süreklidir.
İspat
\(x_0 \in I\) verilsin. \(x_0\) noktasını içeren ve \(x_0\)’ın \(I\) içindeki bir komşuluğunu kapsayan bir \([c, d] \subseteq I\) aralığı seçelim: \(x_0\), \(I\)’nin bir iç noktasıysa \(c < x_0 < d\) alınır; \(x_0\), \(I\)’nin bir uç noktasıysa \([c, d]\)’nin aynı ucu \(x_0\) alınır. Seri \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsak olduğundan Teorem 8.1 gereği \(S\)’nin \([c, d]\)’ye kısıtlaması \(x_0\)’da süreklidir. \([c, d]\) aralığı \(x_0\)’ın \(I\) içindeki bir komşuluğunu kapsadığından \(S\), \(I\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon olarak da \(x_0\)’da süreklidir. \(\blacksquare\)
Örnek 8.2 (Bütün Kümede Düzgün Yakınsamayan Serinin Sürekli Toplamı) \(\zeta(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}\) fonksiyonunun \((1, +\infty)\) üzerinde sürekli olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Seri \((1, +\infty)\) üzerinde noktasal yakınsaktır, ama düzgün yakınsak değildir (Alıştırma 7.8); Teorem 8.1 doğrudan uygulanamaz.
\([c, d] \subseteq (1, +\infty)\) kapalı ve sınırlı bir alt aralık olsun; \(c > 1\)’dir. Alıştırma 7.7 gereği seri \([c, +\infty)\) üzerinde, dolayısıyla \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır (Önerme 2.3). Her terim \(\dfrac{1}{n^x} = e^{-x \ln n}\) süreklidir. Sonuç 8.1 gereği \(\zeta\), \((1, +\infty)\) üzerinde süreklidir. \(\blacksquare\)
Süreklilik teoremi, toplamı süreksiz çıkan bir serinin düzgün yakınsak olamayacağını da söyler.
Örnek 8.3 (Süreksiz Toplamla Düzgün Yakınsamama) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} x e^{-nx}\) serisinin \([0, +\infty)\) üzerindeki toplamını bulunuz ve serinin bu aralıkta düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(x = 0\) için bütün terimler \(0\)’dır; \(S(0) = 0\). \(x > 0\) için \(q = e^{-x} \in (0, 1)\) yazılırsa seri \(x \sum_{n \ge 1} q^n\) olur ve geometrik seri toplamıyla
\[S(x) = x \cdot \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \frac{x}{e^x - 1} \qquad (x > 0)\]
bulunur. \(x \to 0^+\) iken \(\dfrac{e^x - 1}{x} \to 1\) olduğundan
\[\lim_{x \to 0^+} S(x) = 1 \ne 0 = S(0)\]
olur; \(S\), \(x = 0\) noktasında sürekli değildir. Her terim sürekli olduğundan, seri \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak olsaydı Teorem 8.1 gereği \(S\) sürekli olurdu. Öyleyse seri \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsak değildir.
Bu seride genel terim \(0\)’a düzgün yakınsar (Örnek 3.3: \(\sup x e^{-nx} = \dfrac{1}{en}\)); ama \(\sum \dfrac{1}{en}\) ıraksak olduğundan M-testi sonuç vermez ve gerçekten de düzgün yakınsaklık yoktur. \(\blacksquare\)
8.2 Terim Terime İntegral
İkinci sonuç, integral ile sonsuz toplamın yer değiştirmesidir.
Teorem 8.2 (Serilerde Terim Terime İntegral) \(a < b\) olsun, her \(n\) için \(f_n \in \mathcal{R}[a, b]\) olsun ve \(\sum f_n\) serisi \([a, b]\) üzerinde \(S\) fonksiyonuna düzgün yakınsasın. O zaman \(S \in \mathcal{R}[a, b]\) olur ve
\[\int_a^b \Big( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \Big)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx\]
eşitliği sağlanır; sağdaki sayı serisi yakınsaktır. Ayrıca \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \int_a^x f_n(t)\,dt\) serisi \([a, b]\) üzerinde \(\displaystyle\int_a^x S(t)\,dt\) fonksiyonuna düzgün yakınsar.
İspat
\(S_n = f_1 + \dots + f_n\) kısmi toplamı, integrallenebilir sonlu sayıda fonksiyonun toplamı olduğundan integrallenebilirdir ve integralin lineerliğiyle
\[\int_a^b S_n(x)\,dx = \sum_{k=1}^{n} \int_a^b f_k(x)\,dx \tag{1}\]
olur. \(S_n \rightrightarrows S\) (\([a, b]\)) olduğundan Teorem 5.1 gereği \(S \in \mathcal{R}[a, b]\) ve
\[\lim_{n \to \infty} \int_a^b S_n(x)\,dx = \int_a^b S(x)\,dx\]
sağlanır. \((1)\) eşitliğinin sağ yanı \(\sum \int_a^b f_k\) sayı serisinin \(n\)’inci kısmi toplamıdır; limitinin var olması bu serinin yakınsak olduğunu ve toplamının \(\int_a^b S\) olduğunu söyler. Son iddia, Teorem 5.1 (iii)’ün \((S_n)\) dizisine uygulanmasıdır: \(\sum_{k=1}^{n} \int_a^x f_k(t)\,dt\) kısmi toplamları \(\int_a^x S_n(t)\,dt\) integraline eşittir ve \(\int_a^x S(t)\,dt\)’ye düzgün yakınsar. \(\blacksquare\)
Örnek 8.4 (Bir Serinin Terim Terime İntegrali) \(x > 1\) olsun. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \int_1^x \frac{2^n}{e^{nt}}\,dt\) toplamını hesaplayınız.
Çözüm
Örnek 7.3 gereği \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{e^{nt}}\) serisi \([1, +\infty)\) üzerinde, dolayısıyla \([1, x]\) üzerinde düzgün yakınsaktır ve toplamı \(\dfrac{e^t}{e^t - 2}\)’dir. Terimler süreklidir. Teorem 8.2 gereği toplam ile integral yer değiştirir:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \int_1^x \frac{2^n}{e^{nt}}\,dt = \int_1^x \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{2}{e^t} \right)^{n} dt = \int_1^x \frac{e^t}{e^t - 2}\,dt.\]
\(u = e^t - 2\) değişken değiştirmesiyle (\(du = e^t\,dt\); \(t \ge 1\) için \(u \ge e - 2 > 0\))
\[\int_1^x \frac{e^t}{e^t - 2}\,dt = \Big[ \ln(e^t - 2) \Big]_1^x = \ln \frac{e^x - 2}{e - 2}\]
bulunur.
Denetim. Sol yanı terim terim hesaplayalım. \(n = 0\) terimi \(\int_1^x 1\,dt = x - 1\)’dir; \(n \ge 1\) için
\[\int_1^x 2^n e^{-nt}\,dt = \frac{2^n}{n}\big( e^{-n} - e^{-nx} \big) = \frac{1}{n}\left( \frac{2}{e} \right)^{n} - \frac{1}{n}\left( \frac{2}{e^x} \right)^{n}\]
olur. \(|q| < 1\) için \(\sum_{n \ge 1} \dfrac{q^n}{n} = -\ln(1 - q)\) olduğundan (bkz. Analiz 2)
\[ \begin{aligned} (x - 1) - \ln\left( 1 - \frac{2}{e} \right) + \ln\left( 1 - \frac{2}{e^x} \right) &= (x - 1) + \ln \frac{(e^x - 2)\,e}{e^x\,(e - 2)} \\[1mm] &= (x - 1) + \ln \frac{e^x - 2}{e - 2} + 1 - x = \ln \frac{e^x - 2}{e - 2} \end{aligned} \]
çıkar; iki yol aynı sonucu verir. \(\blacksquare\)
Örnek 8.5 (Trigonometrik Serinin İntegrali) \(S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) için \(\displaystyle\int_0^{\pi} S(x)\,dx\) integralini bir sayı serisi olarak yazınız.
Çözüm
Seri \(\mathbb{R}\) üzerinde, dolayısıyla \([0, \pi]\) üzerinde düzgün yakınsaktır (Örnek 7.2) ve terimleri süreklidir. Teorem 8.2 gereği
\[\int_0^{\pi} S(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx.\]
İçteki integral
\[\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx = \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} = \frac{1 - \cos(n\pi)}{n} = \frac{1 - (-1)^n}{n}\]
olur; bu sayı \(n\) çiftse \(0\), \(n\) tekse \(\dfrac{2}{n}\)’dir. Yalnız tek indisler (\(n = 2k - 1\)) katkı verir:
\[\int_0^{\pi} S(x)\,dx = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{(2k - 1)^3} = 2\left( 1 + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} + \cdots \right).\]
\(\blacksquare\)
8.3 Terim Terime Türev
Türev için koşul, dizilerde olduğu gibi, türevlerin serisinden istenir.
Teorem 8.3 (Serilerde Terim Terime Türev) \(a < b\) olsun ve her \(n\) için \(f_n : [a, b] \to \mathbb{R}\) türevlenebilir olsun. Aşağıdaki iki koşul sağlansın:
en az bir \(x_0 \in [a, b]\) için \(\sum f_n(x_0)\) sayı serisi yakınsaktır;
\(\sum f_n'\) türev serisi \([a, b]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
O zaman \(\sum f_n\) serisi \([a, b]\) üzerinde düzgün yakınsar, toplamı \(S\) türevlenebilirdir ve her \(x \in [a, b]\) için
\[S'(x) = \Big( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \Big)' = \sum_{n=1}^{\infty} f_n'(x)\]
olur.
İspat
\(S_n = f_1 + \dots + f_n\) türevlenebilirdir ve \(S_n' = f_1' + \dots + f_n'\), türev serisinin \(n\)’inci kısmi toplamıdır. (i) koşulu \(\big(S_n(x_0)\big)\) sayı dizisinin yakınsak olduğunu, (ii) koşulu \((S_n')\) dizisinin \([a, b]\) üzerinde bir \(G\) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını söyler; burada \(G(x) = \sum f_n'(x)\)’tir. Teorem 6.1, \((S_n)\) dizisine uygulanırsa \(S_n \rightrightarrows S\) (\([a, b]\)), \(S\) türevlenebilir ve \(S' = G\) bulunur. \(\blacksquare\)
Sonuç 8.2 (Herhangi Bir Aralıkta Terim Terime Türev) \(I \subseteq \mathbb{R}\) birden çok nokta içeren bir aralık ve her \(f_n\), \(I\) üzerinde türevlenebilir olsun. Bir \(x_0 \in I\) için \(\sum f_n(x_0)\) yakınsak olsun ve \(\sum f_n'\) serisi \(I\)’nin kapalı ve sınırlı her alt aralığında düzgün yakınsasın. O zaman \(\sum f_n\) serisi \(I\) üzerinde noktasal yakınsar, toplamı \(S\) türevlenebilirdir ve \(I\) üzerinde \(S' = \sum f_n'\) olur.
İspat
\(x \in I\) verilsin. \(x_0\) ve \(x\) noktalarını içeren, \(x\)’in \(I\) içindeki bir komşuluğunu kapsayan kapalı ve sınırlı bir \([c, d] \subseteq I\) aralığı seçelim (\(c < d\)). Varsayım gereği \(\sum f_n'\), \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Teorem 8.3, \([c, d]\) aralığına uygulanırsa \(\sum f_n\) serisinin \([c, d]\) üzerinde yakınsadığı, toplamının \(x\) noktasında türevlenebilir olduğu ve türevinin \(\sum f_n'(x)\) olduğu bulunur. Serinin \(x\) noktasındaki toplamı \([c, d]\) seçimine bağlı olmadığından \(S\), \(I\) üzerinde iyi tanımlıdır; \([c, d]\) aralığı \(x\)’in \(I\) içindeki bir komşuluğunu kapsadığından \(S'(x) = \sum f_n'(x)\) olur. \(\blacksquare\)
- Bir noktada yakınsaklık. \(\sum f_n(x_0)\) serisinin yakınsadığı bir \(x_0\) bulunur.
- Türev serisi. \(\sum f_n'\) yazılır.
- Düzgün yakınsaklık. Türev serisinin ilgili aralıkta (ya da kapalı ve sınırlı her alt aralıkta) düzgün yakınsadığı, çoğunlukla M-testiyle, gösterilir.
- Sonuç. \(S' = \sum f_n'\).
Örnek 8.6 (Türevlenebilir Bir Trigonometrik Toplam) \(S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3}\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}\) üzerinde türevlenebilir olduğunu gösteriniz ve türevini bulunuz.
Çözüm
Bir noktada yakınsaklık. \(x_0 = 0\) için bütün terimler \(0\)’dır; seri yakınsaktır.
Türev serisi. \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n^3}\) için \(f_n'(x) = \dfrac{\cos(nx)}{n^2}\).
Düzgün yakınsaklık. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(\left| \dfrac{\cos(nx)}{n^2} \right| \le \dfrac{1}{n^2}\) ve \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) yakınsaktır. Teorem 7.2 gereği türev serisi \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
Sonuç. Sonuç 8.2 gereği \(S\), \(\mathbb{R}\) üzerinde türevlenebilirdir ve
\[S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2}\]
olur. Türev serisi sürekli terimli ve düzgün yakınsak olduğundan \(S'\) süreklidir (Teorem 8.1). \(\blacksquare\)
Örnek 8.7 (Terim Terime Türevlenemeyen Düzgün Yakınsak Seri) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n^2x)}{n^2}\) serisinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak olduğunu, ama terim terime türev serisinin \(x = 0\) noktasında ıraksadığını gösteriniz.
Çözüm
\(\left| \dfrac{\sin(n^2x)}{n^2} \right| \le \dfrac{1}{n^2}\) olduğundan Teorem 7.2 gereği seri \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır; toplamı süreklidir.
Terimlerin türevi \(\left( \dfrac{\sin(n^2x)}{n^2} \right)' = \cos(n^2x)\) olur. \(x = 0\) için türev serisi
\[\sum_{n=1}^{\infty} \cos(0) = \sum_{n=1}^{\infty} 1\]
olur; genel terimi \(0\)’a gitmediğinden ıraksaktır. Serinin kendisinin düzgün yakınsaması, terim terime türev almaya izin vermez; terim terime türev teoreminde (Teorem 8.3) koşul türev serisine konmuştur. \(\blacksquare\)
Örnek 8.8 (Yerel Düzgün Yakınsaklıkla Türev) \(\zeta(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}\) fonksiyonunun \((1, +\infty)\) üzerinde türevlenebilir olduğunu ve \(\zeta'(x) = -\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln n}{n^x}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Bir noktada yakınsaklık. \(x_0 = 2\) için \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) yakınsaktır.
Türev serisi. \(f_n(x) = n^{-x} = e^{-x \ln n}\) için zincir kuralıyla \(f_n'(x) = -\dfrac{\ln n}{n^x}\) olur (\(n = 1\) terimi sabit olduğundan türevi \(0\)’dır).
Düzgün yakınsaklık. \([c, d] \subseteq (1, +\infty)\) olsun; \(c > 1\)’dir. \(x \in [c, d]\) için
\[|f_n'(x)| = \frac{\ln n}{n^x} \le \frac{\ln n}{n^c} = M_n\]
olur. \(\sum M_n\) serisinin yakınsadığını görmek için \(s = \dfrac{1 + c}{2}\) alalım; \(1 < s < c\)’dir. \(\dfrac{M_n}{1/n^s} = \dfrac{\ln n}{n^{c - s}} \to 0\) olduğundan (logaritma her pozitif kuvvetten yavaş büyür) bir \(n_0\)’dan sonra \(M_n \le \dfrac{1}{n^s}\) olur. \(\sum \dfrac{1}{n^s}\) yakınsak olduğundan karşılaştırma testiyle \(\sum M_n\) yakınsaktır. Teorem 7.2 gereği türev serisi \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
Sonuç. Sonuç 8.2 gereği \(\zeta\), \((1, +\infty)\) üzerinde türevlenebilirdir ve \(\zeta'(x) = -\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln n}{n^x}\) olur. \(\blacksquare\)
8.4 Alıştırmalar
Alıştırma 8.1 (Limit ile Toplamın Yer Değiştirmesi) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + x^2}\) limitinin \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) sayısına eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Alıştırma 7.1 gereği seri \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır. Her terim \(\dfrac{1}{n^2 + x^2}\), \(x = 0\) noktasında süreklidir. Teorem 8.1 gereği toplam fonksiyonu \(S\), \(x = 0\)’da süreklidir:
\[\lim_{x \to 0} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} S(x) = S(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.2 (Sonsuzda Limit) \(S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + x^2}\) için \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} S(x) = 0\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) yakınsak olduğundan kalanı \(0\)’a gider: öyle bir \(N\) vardır ki \(\displaystyle\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \frac{\varepsilon}{2}\) olur. Toplamı iki parçaya ayıralım. Her \(x > 0\) için
\[ \begin{aligned} 0 < S(x) &= \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2 + x^2} + \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + x^2} \\[1mm] &\le \frac{N}{x^2} + \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \frac{N}{x^2} + \frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} \]
olur; birinci parçada \(\dfrac{1}{n^2 + x^2} \le \dfrac{1}{x^2}\), ikinci parçada \(\dfrac{1}{n^2 + x^2} \le \dfrac{1}{n^2}\) kullanıldı. \(x > \sqrt{\dfrac{2N}{\varepsilon}}\) ise \(\dfrac{N}{x^2} < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur ve \(0 < S(x) < \varepsilon\) bulunur. Öyleyse \(\lim_{x \to +\infty} S(x) = 0\).
Her terimin \(x \to +\infty\) limiti \(0\)’dır; sonuç, limitin yine toplamın içine alınabildiğini gösterir. Bunu sağlayan, kalanın \(x\)’ten bağımsız bir sayıyla sınırlanması, yani düzgün yakınsaklıktır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 8.3 (Terim Terime İntegral Hesabı) Aşağıdaki eşitliği gösteriniz:
\[\int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - 1.\]
Çözüm
Alıştırma 7.2 gereği seri \([-1, 1]\) üzerinde, dolayısıyla \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsaktır; terimleri süreklidir. Teorem 8.2 gereği
\[\int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \int_0^1 x^n\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n+1)}.\]
Genel terimi basit kesirlere ayıralım:
\[\frac{1}{n^2(n+1)} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}.\]
(Sağ yanın paydaları eşitlenirse pay \((n+1) - n(n+1) + n^2 = 1\) çıkar.) \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) yakınsaktır; \(\sum \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right)\) teleskopik serisinin kısmi toplamı \(1 - \dfrac{1}{N+1} \to 1\) olur. İki yakınsak serinin farkı terim terim alınabildiğinden
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - 1.\]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.4 (Türevle Toplam Bulma) \((0, +\infty)\) üzerinde \(S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-nx}}{n}\) fonksiyonunun türevlenebilir olduğunu gösteriniz ve \(S'(x)\) için kapalı bir formül bulunuz.
Çözüm
Bir noktada yakınsaklık. \(x_0 = 1\) için \(\dfrac{e^{-n}}{n} \le e^{-n}\) ve \(\sum e^{-n}\) yakınsak geometrik seridir; karşılaştırma testiyle \(\sum \dfrac{e^{-n}}{n}\) yakınsaktır.
Türev serisi. \(f_n(x) = \dfrac{e^{-nx}}{n}\) için \(f_n'(x) = -e^{-nx}\).
Düzgün yakınsaklık. \([c, d] \subseteq (0, +\infty)\) olsun; \(c > 0\). \(x \in [c, d]\) için \(|f_n'(x)| = e^{-nx} \le e^{-nc} = M_n\) ve \(\sum (e^{-c})^n\), \(0 < e^{-c} < 1\) olduğundan yakınsaktır. Teorem 7.2 gereği türev serisi \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
Sonuç. Sonuç 8.2 gereği \(S\) türevlenebilirdir ve \(x > 0\) için geometrik seri toplamıyla
\[S'(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} = -\frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = -\frac{1}{e^x - 1}\]
olur. \(\blacksquare\)
Alıştırma 8.5 (Arktanjant Terimli Seri) \(S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{x}{n^2}\) serisinin \(\mathbb{R}\) üzerinde yakınsadığını ve toplamının türevlenebilir olduğunu gösteriniz; \(S'(0)\) değerini bir sayı serisi olarak yazınız.
Çözüm
Bir noktada yakınsaklık. \(x_0 = 0\) için bütün terimler \(\arctan 0 = 0\)’dır.
Türev serisi. \(f_n(x) = \arctan \dfrac{x}{n^2}\) için zincir kuralıyla
\[f_n'(x) = \frac{1}{1 + \dfrac{x^2}{n^4}} \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{n^2}{n^4 + x^2}.\]
Düzgün yakınsaklık. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(n^4 + x^2 \ge n^4\) olduğundan \(0 < f_n'(x) \le \dfrac{n^2}{n^4} = \dfrac{1}{n^2}\) olur. Teorem 7.2 gereği türev serisi \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsaktır.
Sonuç. Sonuç 8.2 gereği seri \(\mathbb{R}\) üzerinde yakınsar, \(S\) türevlenebilirdir ve
\[S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + x^2}, \qquad S'(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]
olur. \(\blacksquare\)
Fonksiyon serilerinin en düzenli sınıfı, terimleri \(a_n x^n\) biçiminde olan kuvvet serileridir. Kuvvet Serilerinde Düzgün Yakınsaklık ve Analitik Fonksiyonlar bölümünde bu bölümün teoremlerini kuvvet serilerine uyguluyor ve uç noktalardaki davranışı inceliyoruz.