1 Fonksiyon Dizilerinde Noktasal Yakınsaklık
Analiz 1’de terimleri reel sayı olan dizileri, Analiz 2’nin sonunda da terimleri sayı olan serileri inceledik. Şimdi bir adım yukarı çıkıyoruz: dizinin terimleri artık sayı değil, fonksiyon olacak. Örneğin \(x, x^2, x^3, \dots\) fonksiyonları bir dizi oluşturur ve doğal soru şudur: \(n\) büyüdükçe bu fonksiyonlar bir fonksiyona “yaklaşır” mı?
Bu sorunun en yalın yanıtı, her noktaya ayrı ayrı bakmaktır. \(x\) sabitlenince \(x, x^2, x^3, \dots\) sıradan bir sayı dizisi olur ve limitini Analiz 1’in araçlarıyla buluruz. Bu bakış noktasal yakınsaklık adını alır. Hesabı kolaydır, ama bir kusuru vardır: sürekli fonksiyonların noktasal limiti sürekli çıkmayabilir, integrallenebilir fonksiyonların noktasal limiti integrallenemeyebilir. Bu kusur, sonraki bölümün konusu olan düzgün yakınsaklığa duyulan ihtiyacı doğurur.
Bu bölümde fonksiyon dizisini ve noktasal yakınsaklığı tanımlıyor, noktasal limitin nasıl hesaplandığını örneklerle görüyor ve noktasal limitin hangi özellikleri koruyup hangilerini korumadığını inceliyoruz.
1.1 Fonksiyon Dizisi
Bir sayı dizisi, her doğal sayıya bir reel sayı karşılık getiren bir kuraldır. Fonksiyon dizisinde her doğal sayıya bir fonksiyon karşılık gelir.
Tanım 1.1 (Fonksiyon Dizisi) \(E \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun. Her \(n \in \mathbb{N}\) için bir \(f_n : E \to \mathbb{R}\) fonksiyonu verilmişse \(n \mapsto f_n\) eşlemesine \(E\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi denir ve \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ya da kısaca \((f_n)\) ile gösterilir.
Yani bir fonksiyon dizisi, hepsi aynı \(E\) kümesinde tanımlı \(f_1, f_2, f_3, \dots\) fonksiyonlarının sıralı bir listesidir. Önemli gözlem şudur: bir \(x \in E\) noktası sabitlenince
\[\big(f_n(x)\big)_{n \in \mathbb{N}} = \big(f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x),\ \dots\big)\]
bir reel sayı dizisi olur. Böylece bir fonksiyon dizisi, \(E\)’nin her noktası için bir tane olmak üzere, sayı dizilerinden oluşan bir aile gibi düşünülebilir. Sayı dizileri için bildiğimiz her kavram (yakınsaklık, sınırlılık, monotonluk) bu dizilere uygulanabilir.
Bölüm boyunca bize eşlik edecek temel örnek şudur: \(E = [0, 1]\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(f_n(x) = x^n\). Dizinin ilk terimleri \(f_1(x) = x\), \(f_2(x) = x^2\), \(f_3(x) = x^3\) fonksiyonlarıdır. \(x = \dfrac{1}{2}\) noktası sabitlenirse
\[\left(f_n\left(\tfrac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{2},\ \frac{1}{2^2},\ \frac{1}{2^3},\ \dots\right)\]
sayı dizisi elde edilir; bu dizi \(0\)’a yakınsar. \(x = 1\) sabitlenirse \((1, 1, 1, \dots)\) sabit dizisi çıkar; bu dizi \(1\)’e yakınsar.
Şekilde \(n\) büyüdükçe grafiklerin \([0, 1)\) üzerinde yatay eksene doğru çöktüğü, ama \((1, 1)\) noktasının hiç kıpırdamadığı görülür.
1.2 Noktasal Yakınsaklık
Her noktada ayrı ayrı limit alma fikrini tanıma dökelim.
Tanım 1.2 (Noktasal Yakınsaklık ve Noktasal Limit) \((f_n)\), \(E \subseteq \mathbb{R}\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi ve \(f : E \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon olsun. Her \(x \in E\) için
\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\]
ise \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\) fonksiyonuna noktasal yakınsar denir. \(f\) fonksiyonuna \((f_n)\) dizisinin noktasal limiti denir ve
\[f_n \to f \quad (\text{noktasal},\ E)\]
yazılır. Açık yazımıyla: her \(\varepsilon > 0\) ve her \(x \in E\) için öyle bir \(N = N(\varepsilon, x) \in \mathbb{N}\) vardır ki \(n \ge N\) olan her \(n\) için
\[|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\]
olur.
Yani noktasal yakınsaklık, \(E\)’nin her noktasında ayrı bir sayı dizisi limiti almaktır; fazladan hiçbir şey istemez. Tanımdaki \(N\) sayısının hem \(\varepsilon\)’a hem de \(x\)’e bağlı olduğuna dikkat edelim: aynı \(\varepsilon\) için bir noktada \(N = 5\) yeterken başka bir noktada \(N = 5000\) gerekebilir. Bu bağımlılık, sonraki bölümde düzgün yakınsaklıkla noktasal yakınsaklığı ayıran tek şey olacaktır.
Bir sayı dizisinin limiti tek olduğundan (bkz. Analiz 1) noktasal limit de varsa tektir.
Tanım 1.3 (Bir Noktada ve Bir Kümede Iraksaklık) \((f_n)\), \(E\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi ve \(a \in E\) olsun. \(\big(f_n(a)\big)\) sayı dizisi yakınsaksa \((f_n)\) dizisi \(a\) noktasında yakınsaktır, ıraksaksa \(a\) noktasında ıraksaktır denir. \((f_n)\) dizisi \(E\)’nin her noktasında ıraksaksa \(E\) üzerinde ıraksaktır denir.
Yani bir fonksiyon dizisi bazı noktalarda yakınsayıp bazılarında ıraksayabilir. \(E\) üzerinde noktasal yakınsak olması için \(E\)’nin her noktasında yakınsaması gerekir; tek bir noktada ıraksaması noktasal yakınsaklığı bozar.
- Noktayı sabitle. \(x \in E\) bir sabit gibi düşünülür; değişken yalnız \(n\)’dir.
- Özel noktaları ayır. Formülün davranışının değiştiği noktalar (\(x = 0\), \(x = 1\), payda sıfırları gibi) ayrı ayrı incelenir.
- Sayı dizisi limitini al. Her durumda \(\lim_{n \to \infty} f_n(x)\) hesaplanır; sonuçlar parçalı bir \(f\) fonksiyonunda toplanır.
Örnek 1.1 (Kuvvet Dizisinin Noktasal Limiti) \(E = [0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = x^n\) ile tanımlı \((f_n)\) dizisinin noktasal limitini bulunuz ve \(0 < x < 1\) için tanımdaki \(N(\varepsilon, x)\) sayısını açıkça yazınız.
Çözüm
Noktayı sabitleyip üç durumu ayıralım.
- \(x = 0\) için her \(n\)’de \(f_n(0) = 0\)’dır; dolayısıyla \(\lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0\).
- \(x = 1\) için her \(n\)’de \(f_n(1) = 1^n = 1\)’dir; dolayısıyla \(\lim_{n \to \infty} f_n(1) = 1\).
- \(0 < x < 1\) için \((x^n)\) ortak çarpanı \(1\)’den küçük bir geometrik dizidir ve \(\lim_{n \to \infty} x^n = 0\)’dır (bkz. Analiz 1).
Öyleyse dizi \([0, 1]\) üzerinde noktasal yakınsaktır ve noktasal limiti
\[f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}\]
fonksiyonudur.
\(N\) sayısı. \(0 < x < 1\) ve \(0 < \varepsilon < 1\) olsun. \(|x^n - 0| = x^n < \varepsilon\) eşitsizliğinin iki yanının logaritmasını alalım: \(n \ln x < \ln \varepsilon\). Burada \(\ln x < 0\) olduğundan bölünce eşitsizlik yön değiştirir:
\[n > \frac{\ln \varepsilon}{\ln x}.\]
Dolayısıyla
\[N(\varepsilon, x) = \left\lfloor \frac{\ln \varepsilon}{\ln x} \right\rfloor + 1\]
seçilebilir: \(n \ge N\) ise \(n > \dfrac{\ln \varepsilon}{\ln x}\) ve buradan \(x^n < \varepsilon\) olur. (\(\varepsilon \ge 1\) ise her \(n\) için \(x^n < 1 \le \varepsilon\) olduğundan \(N = 1\) yeter.)
Bu \(N\) gerçekten \(x\)’e bağlıdır. Örneğin \(\varepsilon = 0{,}01\) için \(x = 0{,}5\) noktasında \(N = 7\) yeterken \(x = 0{,}99\) noktasında \(N = 459\) gerekir. \(x\) sayısı \(1\)’e yaklaştıkça \(\ln x \to 0\) olur ve \(N\) sınırsız büyür. \(\blacksquare\)
Örnek 1.2 (Tepesi Sola Kayan Bir Dizi) \(E = [0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{2nx}{1 + n^2x^2}\) ile tanımlı \((f_n)\) dizisi noktasal yakınsak mıdır? Yakınsaksa limitini \(\varepsilon\)–\(N\) tanımıyla doğrulayınız.
Çözüm
Dizinin ilk terimleri
\[f_1(x) = \frac{2x}{1 + x^2}, \qquad f_2(x) = \frac{4x}{1 + 4x^2}, \qquad f_3(x) = \frac{6x}{1 + 9x^2}\]
fonksiyonlarıdır.
Limit adayı. \(x = 0\) için her \(n\)’de \(f_n(0) = 0\) olduğundan \(\lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0\)’dır. \(0 < x \le 1\) için pay ve paydayı \(n^2\) ile bölelim:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{2nx}{1 + n^2x^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{2x}{n}}{\dfrac{1}{n^2} + x^2} = \frac{0}{0 + x^2} = 0.\]
Öyleyse limit adayı \(f(x) = 0\) sabit fonksiyonudur.
Tanımla doğrulama. \(\varepsilon > 0\) ve \(x \in (0, 1]\) verilsin. Paydayı küçülterek kesri büyütelim: \(1 + n^2x^2 > n^2x^2\) olduğundan
\[\left| \frac{2nx}{1 + n^2x^2} - 0 \right| = \frac{2nx}{1 + n^2x^2} < \frac{2nx}{n^2x^2} = \frac{2}{nx}.\]
\(\dfrac{2}{nx} < \varepsilon\) olması için \(n > \dfrac{2}{\varepsilon x}\) yeter. Dolayısıyla
\[N(\varepsilon, x) = \left\lfloor \frac{2}{\varepsilon x} \right\rfloor + 1\]
seçilirse \(n \ge N\) için \(|f_n(x) - 0| < \varepsilon\) olur. \(x = 0\) noktasında her \(N\) işe yarar. Sonuç: \(f_n \to 0\) (noktasal, \([0, 1]\)).
Bir gözlem. \((1 - nx)^2 \ge 0\) eşitsizliği \(2nx \le 1 + n^2x^2\) demektir; yani her \(x\) için \(f_n(x) \le 1\)’dir ve eşitlik \(x = \dfrac{1}{n}\) noktasında sağlanır: \(f_n\left(\dfrac{1}{n}\right) = 1\). Her \(f_n\)’nin grafiğinde yüksekliği \(1\) olan bir tepe vardır; \(n\) büyüdükçe tepe sola kayar ama alçalmaz. Her sabit \(x\) noktasında değerler \(0\)’a gittiği hâlde grafikler bir bütün olarak \(0\) fonksiyonuna yaklaşmaz. Bu olguyu Düzgün Yakınsaklık bölümünde yeniden ele alacağız. \(\blacksquare\)
Noktasal yakınsamama
Bir dizinin verilen bir fonksiyona noktasal yakınsamadığını göstermek için tanımın olumsuzunu yazmak gerekir.
Önerme 1.1 (Noktasal Yakınsamamanın Sembolik İfadesi) \((f_n)\), \(E\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi ve \(f : E \to \mathbb{R}\) olsun. \((f_n)\) dizisinin \(E\) üzerinde \(f\)’ye noktasal yakınsamaması için gerek ve yeter koşul şudur: öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) ve öyle bir \(x_0 \in E\) vardır ki her \(N \in \mathbb{N}\) için
\[n_N \ge N \qquad \text{ve} \qquad |f_{n_N}(x_0) - f(x_0)| \ge \varepsilon_0\]
olacak biçimde bir \(n_N \in \mathbb{N}\) bulunur.
İspat
Noktasal yakınsaklık, “her \(x \in E\) için \(f_n(x) \to f(x)\)” önermesidir. Olumsuzu, “en az bir \(x_0 \in E\) için \(\big(f_n(x_0)\big)\) dizisi \(f(x_0)\)’a yakınsamaz” önermesidir. Bir sayı dizisinin verilen bir sayıya yakınsamaması ise tam olarak şu demektir (bkz. Analiz 1): öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(N\) için \(n_N \ge N\) ve \(|f_{n_N}(x_0) - f(x_0)| \ge \varepsilon_0\) olacak biçimde bir \(n_N\) bulunur. İki adım birleşince iddia çıkar. \(\blacksquare\)
Örnek 1.3 (Hiçbir Noktada Yakınsamayan Bir Dizi) \(E = (0, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = nx\) ile tanımlı \((f_n)\) dizisinin \(E\) üzerinde noktasal yakınsak olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(x \in E\) sabit olsun. \(x > 0\) olduğundan
\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} nx = +\infty\]
olur; \(\big(f_n(x)\big)\) dizisi sınırsızdır, dolayısıyla ıraksaktır (bkz. Analiz 1). Dizi \(E\)’nin her noktasında ıraksadığından \(E\) üzerinde ıraksaktır; hiçbir \(f\) fonksiyonuna noktasal yakınsamaz.
Aynı sonucu Önerme 1.1 ile de görelim. \(f : E \to \mathbb{R}\) herhangi bir fonksiyon olsun. \(x_0 = 1\) ve \(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{2}\) alalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin. Arşimet özelliğine göre \(n_N \ge N\) ve \(n_N \ge |f(1)| + 1\) olan bir \(n_N\) doğal sayısı vardır. Bu sayı için
\[|f_{n_N}(1) - f(1)| \ge n_N - |f(1)| \ge 1 > \frac{1}{2} = \varepsilon_0\]
olur. Dikkat edilirse \(\big(f_n(1)\big) = (1, 2, 3, 4, \dots)\) bir reel sayı dizisidir ve ıraksaklığı doğrudan görülür. \(\blacksquare\)
Örnek 1.4 (Yatıklaşan Doğrular) \(E = [0, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x}{n}\) ile tanımlı \((f_n)\) dizisi noktasal yakınsak mıdır?
Çözüm
\(x = 0\) için her \(n\)’de \(f_n(0) = 0\) olduğundan \(\lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0\)’dır. \(x > 0\) için
\[\lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} = x \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = x \cdot 0 = 0\]
olur. Limit adayı \(f(x) = 0\) fonksiyonudur. Tanımla doğrulayalım: \(\varepsilon > 0\) ve \(x > 0\) verilsin. \(n \ge N\) için
\[|f_n(x) - 0| = \frac{x}{n} \le \frac{x}{N}\]
olduğundan \(\dfrac{x}{N} < \varepsilon\), yani \(N > \dfrac{x}{\varepsilon}\) olması yeter. \(N(\varepsilon, x) = \left\lfloor \dfrac{x}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\) seçilir. Sonuç: \(f_n \to 0\) (noktasal, \([0, +\infty)\)).
Burada da \(N\) sayısı \(x\)’e bağlıdır ve \(x\) büyüdükçe sınırsız büyür. \(\blacksquare\)
1.3 Noktasal Limitin Cebirsel Özellikleri
Noktasal limit her noktada bir sayı dizisi limiti olduğundan, sayı dizilerindeki limit aritmetiği fonksiyon dizilerine aynen taşınır.
Teorem 1.1 (Noktasal Limitin Cebirsel Özellikleri) \(E \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme, \((f_n)\) ve \((g_n)\) dizileri \(E\) üzerinde tanımlı fonksiyon dizileri, \(c \in \mathbb{R}\) olsun. \(E\) üzerinde \(f_n \to f\) ve \(g_n \to g\) noktasal yakınsıyorsa:
\(f_n + g_n \to f + g\) (noktasal, \(E\)),
\(c \cdot f_n \to c \cdot f\) (noktasal, \(E\)),
\(f_n \cdot g_n \to f \cdot g\) (noktasal, \(E\)),
her \(x \in E\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(g_n(x) \ne 0\) ve \(g(x) \ne 0\) ise \(\dfrac{f_n}{g_n} \to \dfrac{f}{g}\) (noktasal, \(E\)).
İspat
(i) \(\varepsilon > 0\) ve \(x \in E\) verilsin. \(f_n(x) \to f(x)\) olduğundan öyle bir \(N_1 = N_1(\varepsilon, x)\) vardır ki \(n \ge N_1\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. \(g_n(x) \to g(x)\) olduğundan öyle bir \(N_2 = N_2(\varepsilon, x)\) vardır ki \(n \ge N_2\) için \(|g_n(x) - g(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. \(N = \max\{N_1, N_2\}\) alalım. \(n \ge N\) için üçgen eşitsizliğiyle
\[ \begin{aligned} \big|(f_n + g_n)(x) - (f + g)(x)\big| &= \big|\big(f_n(x) - f(x)\big) + \big(g_n(x) - g(x)\big)\big| \\[1mm] &\le |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| \\[1mm] &< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned} \]
bulunur. Öyleyse \(f_n + g_n \to f + g\) (noktasal).
(ii), (iii), (iv) \(x \in E\) sabit olsun. \(\big(f_n(x)\big)\) ve \(\big(g_n(x)\big)\) yakınsak sayı dizileridir; limitleri \(f(x)\) ve \(g(x)\)’tir. Sayı dizileri için limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği
\[c f_n(x) \to c f(x), \qquad f_n(x)\,g_n(x) \to f(x)\,g(x)\]
olur; ayrıca (iv)’ün koşulları altında \(g_n(x) \ne 0\) ve \(g(x) \ne 0\) olduğundan \(\dfrac{f_n(x)}{g_n(x)} \to \dfrac{f(x)}{g(x)}\) olur. \(x \in E\) keyfi olduğundan üç yakınsama da \(E\) üzerinde noktasaldır. \(\blacksquare\)
1.4 Noktasal Limit Neleri Korumaz?
Bir dizinin bütün terimleri iyi bir özelliğe sahipse limit fonksiyonunun da o özelliğe sahip olmasını bekleriz. Noktasal yakınsaklık bu beklentiyi karşılamaz. Üç temel özelliğe sırayla bakalım.
Örnek 1.5 (Sürekli Fonksiyonların Süreksiz Noktasal Limiti) Sürekli ve türevlenebilir fonksiyonlardan oluşan, ama noktasal limiti sürekli olmayan bir fonksiyon dizisi veriniz.
Çözüm
\([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = x^n\) alalım. Her \(f_n\) bir polinomdur; \([0, 1]\) üzerinde sürekli ve türevlenebilirdir. Örnek 1.1 gereği noktasal limit
\[f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}\]
fonksiyonudur. \(f\), \(x = 1\) noktasında sürekli değildir: \(x \to 1^-\) iken \(f(x) = 0 \to 0\) olur, ama \(f(1) = 1\)’dir. Bir noktada sürekli olmayan fonksiyon o noktada türevlenebilir de olamaz; dolayısıyla \(f\), \(x = 1\)’de türevlenebilir değildir.
Öyleyse sürekli fonksiyonların noktasal limiti sürekli olmayabilir; türevlenebilir fonksiyonların noktasal limiti türevlenebilir olmayabilir. \(\blacksquare\)
Örnek 1.6 (İntegrallenebilir Fonksiyonların İntegrallenemeyen Noktasal Limiti) \([0, 1]\) üzerinde Riemann integrallenebilir fonksiyonlardan oluşan, ama noktasal limiti integrallenebilir olmayan bir fonksiyon dizisi veriniz.
Çözüm
Her \(n \in \mathbb{N}\) için \([0, 1]\) aralığındaki, paydası en çok \(n\) olan kesirlerin kümesini
\[A_n = \left\{ \frac{p}{m} : m \in \{1, \dots, n\},\ p \in \{0, 1, \dots, m\} \right\}\]
ile gösterelim ve
\[f_n(x) = \begin{cases} 1, & x \in A_n \\ 0, & x \in [0, 1] \setminus A_n \end{cases}\]
tanımlayalım.
Her \(f_n\) integrallenebilirdir. \(A_n\) sonlu bir kümedir. \(f_n\) fonksiyonu, sıfır fonksiyonundan yalnız bu sonlu sayıda noktada ayrılır. Sonlu sayıda noktada değer değiştirmek integrallenebilirliği ve integrali etkilemediğinden (bkz. Analiz 2) \(f_n\) integrallenebilirdir ve \(\int_0^1 f_n(x)\,dx = 0\)’dır.
Noktasal limit. \(x \in [0, 1]\) rasyonel olsun; \(x = \dfrac{p}{m}\) yazalım. \(n \ge m\) olan her \(n\) için \(x \in A_n\), yani \(f_n(x) = 1\)’dir; dolayısıyla \(f_n(x) \to 1\). \(x\) irrasyonelse hiçbir \(A_n\)’ye ait değildir ve her \(n\) için \(f_n(x) = 0\)’dır; dolayısıyla \(f_n(x) \to 0\). Noktasal limit
\[f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \cap [0, 1] \\ 0, & x \in [0, 1] \setminus \mathbb{Q} \end{cases}\]
Dirichlet fonksiyonudur.
Limit integrallenemez. Dirichlet fonksiyonu \([0, 1]\) üzerinde Riemann integrallenebilir değildir (bkz. Analiz 2).
Öyleyse integrallenebilir fonksiyonların noktasal limiti integrallenebilir olmayabilir. \(\blacksquare\)
Örnek 1.7 (Sınırlı Fonksiyonların Sınırsız Noktasal Limiti) \((0, 1]\) üzerinde sınırlı fonksiyonlardan oluşan, ama noktasal limiti sınırlı olmayan bir fonksiyon dizisi veriniz.
Çözüm
\((0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{n}{1 + nx}\) alalım. \(x > 0\) için \(1 + nx > 1\) olduğundan
\[0 < f_n(x) = \frac{n}{1 + nx} < n\]
olur; her \(f_n\) sınırlıdır (sınır \(n\)’ye bağlıdır). Noktasal limit için pay ve paydayı \(n\) ile bölelim:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{n}{1 + nx} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\dfrac{1}{n} + x} = \frac{1}{x}.\]
Noktasal limit \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) fonksiyonudur ve \((0, 1]\) üzerinde sınırlı değildir: \(x \to 0^+\) iken \(\dfrac{1}{x} \to +\infty\) olur. \(\blacksquare\)
Üç örneğin ortak dersi şudur: noktasal yakınsaklık, limit fonksiyonu hakkında çok az bilgi taşır. Sorunun kaynağı, yakınsama hızının noktadan noktaya sınırsızca yavaşlayabilmesidir.
1.5 Alıştırmalar
Alıştırma 1.1 (Üç Parçalı Bir Noktasal Limit) \(E = [0, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}\) ile tanımlı dizinin noktasal limitini bulunuz.
Çözüm
\(x \ge 0\) sabit olsun. \((x^n)\) geometrik dizisinin davranışı \(x\)’in \(1\)’e göre konumuna bağlıdır; üç durumu ayıralım.
- \(0 \le x < 1\) ise \(x^n \to 0\) olur. Dolayısıyla \(f_n(x) \to \dfrac{0}{1 + 0} = 0\).
- \(x = 1\) ise her \(n\) için \(f_n(1) = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}\)’dir. Dolayısıyla \(f_n(1) \to \dfrac{1}{2}\).
- \(x > 1\) ise \(x^n \to +\infty\) olur. Pay ve paydayı \(x^n\) ile bölelim: \[f_n(x) = \frac{1}{\dfrac{1}{x^n} + 1} \to \frac{1}{0 + 1} = 1.\]
Dizi \([0, +\infty)\) üzerinde noktasal yakınsaktır ve limiti
\[f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\[1mm] \dfrac{1}{2}, & x = 1 \\[1mm] 1, & x > 1 \end{cases}\]
fonksiyonudur. Her \(f_n\) sürekli olduğu hâlde \(f\), \(x = 1\) noktasında süreksizdir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.2 (Sıfırda Sıçrayan Bir Limit) \(E = [0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{nx}{1 + nx}\) ile tanımlı dizinin noktasal limitini bulunuz ve \(0 < x \le 1\) için \(N(\varepsilon, x)\) sayısını belirleyiniz.
Çözüm
\(x = 0\) için her \(n\)’de \(f_n(0) = 0\)’dır; \(f_n(0) \to 0\). \(0 < x \le 1\) için pay ve paydayı \(n\) ile bölelim:
\[f_n(x) = \frac{x}{\dfrac{1}{n} + x} \to \frac{x}{x} = 1.\]
Noktasal limit
\[f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ 1, & 0 < x \le 1 \end{cases}\]
fonksiyonudur.
\(N\) sayısı. \(0 < x \le 1\) ve \(\varepsilon > 0\) verilsin.
\[|f_n(x) - 1| = \left| \frac{nx}{1 + nx} - 1 \right| = \frac{1}{1 + nx} < \frac{1}{nx}\]
olduğundan \(\dfrac{1}{nx} < \varepsilon\), yani \(n > \dfrac{1}{\varepsilon x}\) olması yeter. \(N(\varepsilon, x) = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon x} \right\rfloor + 1\) seçilir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.3 (Tek Noktada Yakınsayan Bir Dizi) \(E = \mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = (-1)^n x\) ile tanımlı dizinin hangi noktalarda yakınsadığını bulunuz.
Çözüm
\(x = 0\) için her \(n\)’de \(f_n(0) = 0\)’dır; dizi bu noktada \(0\)’a yakınsar.
\(x \ne 0\) olsun. \(\big(f_n(x)\big) = (-x,\ x,\ -x,\ x,\ \dots)\) dizisinin çift indisli terimleri \(x\), tek indisli terimleri \(-x\) sabitidir. İki alt dizi farklı limitlere (\(x \ne -x\)) yakınsadığından dizi ıraksaktır.
Öyleyse \((f_n)\) yalnız \(x = 0\) noktasında yakınsar; \(\mathbb{R}\) üzerinde noktasal yakınsak değildir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.4 (Arktanjantla İşaret Fonksiyonu) \(E = \mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \arctan(nx)\) ile tanımlı dizinin noktasal limitini bulunuz. Limit fonksiyonu sürekli midir?
Çözüm
\(x\) sabit olsun.
- \(x = 0\) için \(f_n(0) = \arctan 0 = 0\); limit \(0\)’dır.
- \(x > 0\) için \(n \to \infty\) iken \(nx \to +\infty\) olur ve \(\lim_{t \to +\infty} \arctan t = \dfrac{\pi}{2}\) olduğundan \(f_n(x) \to \dfrac{\pi}{2}\).
- \(x < 0\) için \(nx \to -\infty\) olur ve \(\lim_{t \to -\infty} \arctan t = -\dfrac{\pi}{2}\) olduğundan \(f_n(x) \to -\dfrac{\pi}{2}\).
Noktasal limit
\[f(x) = \begin{cases} -\dfrac{\pi}{2}, & x < 0 \\[1mm] 0, & x = 0 \\[1mm] \dfrac{\pi}{2}, & x > 0 \end{cases}\]
fonksiyonudur. Sağdan limit \(\dfrac{\pi}{2}\), soldan limit \(-\dfrac{\pi}{2}\) olduğundan \(f\), \(x = 0\) noktasında sürekli değildir; oysa her \(f_n\) bütün \(\mathbb{R}\)’de süreklidir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.5 (Parametreli Bir Rasyonel Dizi) \(a > 0\) olmak üzere \(E = [a, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{7n^3x}{3 + n^3x^2}\) ile tanımlı dizinin noktasal limitini bulunuz.
Çözüm
\(x \ge a > 0\) sabit olsun. Pay ve paydayı \(n^3\) ile bölelim:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{7n^3x}{3 + n^3x^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{7x}{\dfrac{3}{n^3} + x^2} = \frac{7x}{x^2} = \frac{7}{x}.\]
Öyleyse \(f_n \to f\) (noktasal, \([a, +\infty)\)) ve \(f(x) = \dfrac{7}{x}\)’tir. Bu yakınsamanın düzgün olup olmadığı Alıştırma 2.1 alıştırmasında incelenir. \(\blacksquare\)
Alıştırma 1.6 (Cebirsel Özelliklerle Limit) \(E = [0, 1)\) üzerinde \(h_n(x) = \left(x^n + \dfrac{x}{n}\right)\left(3 + \dfrac{nx}{1 + nx}\right)\) ile tanımlı dizinin noktasal limitini Teorem 1.1 yardımıyla bulunuz.
Çözüm
\([0, 1)\) üzerinde \(x^n \to 0\) (Örnek 1.1) ve \(\dfrac{x}{n} \to 0\) (Örnek 1.4) noktasal yakınsar. Teorem 1.1 (i) gereği birinci çarpan \(x^n + \dfrac{x}{n} \to 0\) noktasal yakınsar.
İkinci çarpanda \(\dfrac{nx}{1 + nx}\) dizisi, Alıştırma 1.2 gereği \(x = 0\)’da \(0\)’a, \(0 < x < 1\) için \(1\)’e yakınsar. Sabit \(3\) dizisiyle toplanınca ikinci çarpanın noktasal limiti
\[g(x) = \begin{cases} 3, & x = 0 \\ 4, & 0 < x < 1 \end{cases}\]
olur. Teorem 1.1 (iii) gereği çarpımın noktasal limiti, limitlerin çarpımıdır: \(h_n \to 0 \cdot g = 0\) (noktasal, \([0, 1)\)). \(\blacksquare\)
Noktasal yakınsaklığın sürekliliği, integrallenebilirliği ve sınırlılığı koruyamadığını gördük. Bu eksikliği gideren, \(N\) sayısının \(x\)’ten bağımsız seçilebilmesini isteyen daha güçlü kavramı Düzgün Yakınsaklık bölümünde tanımlıyoruz.