6  Düzgün Yakınsaklık ve Türev

Süreklilik ve integral için tablo yalındı: \(f_n \rightrightarrows f\) ise süreklilik de integral de limite geçer. Türev için aynı şeyi bekleyip

\[\Big( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \Big)' = \lim_{n \to \infty} f_n'(x)\]

eşitliğini yazmak isteriz. Ama bu beklenti boşa çıkar. Düzgün yakınsaklık grafiklerin birbirine yakın olmasını ölçer; türev ise grafiğin eğimidir ve birbirine çok yakın iki grafiğin eğimleri çok farklı olabilir. Küçük genlikli ama sık salınan bir dalga, yatay eksene ne kadar yakın olursa olsun dik eğimlere sahiptir.

Bu bölümde önce düzgün yakınsaklığın türev için neden yetmediğini üç örnekle görüyor, sonra doğru koşulu buluyoruz: düzgün yakınsaklık \(f_n\) dizisinden değil, türev dizisi \(f_n'\)’den istenmelidir.

6.1 Düzgün Yakınsaklık Türevi Korumaz

Sorunun üç ayrı biçimi vardır: türevlerin dizisi hiç yakınsamayabilir, limit fonksiyonu türevlenebilir olmayabilir ya da her ikisi de var olduğu hâlde eşit çıkmayabilir.

Örnek 6.1 (Türevleri Iraksayan Düzgün Yakınsak Dizi) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}\) dizisinin düzgün yakınsadığını, ama \((f_n')\) türev dizisinin \(x = 0\) noktasında ıraksadığını gösteriniz.

Çözüm

f_n(x) = sin(nx)/√n dizisinin n = 1, 4, 16 terimleri. Genlik 1/√n ile küçülür, ama salınım sıklaştığından eğimler √n ile büyür.

Örnek 2.1 gereği \(f_n \rightrightarrows 0\) (\(\mathbb{R}\)); limit fonksiyonu \(f = 0\) türevlenebilirdir ve \(f' = 0\)’dır. Öte yandan

\[f_n'(x) = \frac{n \cos(nx)}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}\,\cos(nx)\]

olur ve \(x = 0\) için \(f_n'(0) = \sqrt{n} \to +\infty\) bulunur. \(\big(f_n'(0)\big)\) dizisi ıraksaktır; \(\lim_{n \to \infty} f_n'(0)\) yoktur ve \(f'(0) = 0\) değerine eşit olamaz.

Şekil nedenini gösterir: \(n\) büyüdükçe dalganın yüksekliği \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) ile küçülür, ama dalga sayısı \(n\) ile arttığından eğimler \(\sqrt{n}\) ile büyür. \(\blacksquare\)

Örnek 6.2 (Türevlenebilir Fonksiyonların Köşeli Düzgün Limiti) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{n^2}}\) dizisinin düzgün limitinin \(x = 0\) noktasında türevlenebilir olmadığını gösteriniz ve \((f_n')\) dizisinin noktasal limitini bulunuz.

Çözüm

Alıştırma 2.4 gereği \(f_n \rightrightarrows |x|\) (\(\mathbb{R}\)). Her \(f_n\) türevlenebilirdir, çünkü kök içindeki ifade hep pozitiftir. Limit fonksiyonu \(f(x) = |x|\) ise \(x = 0\)’da türevlenebilir değildir: sağdan türev \(1\), soldan türev \(-1\)’dir.

Türev dizisi

\[f_n'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + \dfrac{1}{n^2}}}\]

olur. \(x = 0\) için \(f_n'(0) = 0 \to 0\); \(x \ne 0\) için \(\sqrt{x^2 + \dfrac{1}{n^2}} \to |x|\) olduğundan \(f_n'(x) \to \dfrac{x}{|x|}\). Noktasal limit

\[g(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}\]

fonksiyonudur. Her \(f_n'\) sürekli, \(g\) ise \(0\)’da süreksiz olduğundan \(f_n' \to g\) yakınsaması \(0\)’ı içeren hiçbir aralıkta düzgün değildir (Sonuç 4.2). \(\blacksquare\)

Örnek 6.3 (Türevlerin Limiti Limitin Türevine Eşit Olmayabilir) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x}{1 + nx^2}\) dizisi için \(f = \lim f_n\) ve \(g = \lim f_n'\) fonksiyonlarını bulunuz; \(f'(0)\) ile \(g(0)\) değerlerini karşılaştırınız.

Çözüm

Alıştırma 3.1 gereği \(f_n \rightrightarrows 0\) (\(\mathbb{R}\)); yani \(f = 0\) ve her \(x\) için \(f'(x) = 0\)’dır.

Aynı alıştırmada hesaplanan türev

\[f_n'(x) = \frac{1 - nx^2}{(1 + nx^2)^2}\]

idi. \(x = 0\) için \(f_n'(0) = 1 \to 1\). \(x \ne 0\) için pay ve paydayı \(n^2\) ile bölelim:

\[f_n'(x) = \frac{\dfrac{1}{n^2} - \dfrac{x^2}{n}}{\left( \dfrac{1}{n} + x^2 \right)^{2}} \to \frac{0}{x^4} = 0.\]

Öyleyse \(g(0) = 1\) ve \(x \ne 0\) için \(g(x) = 0\)’dır. \(x = 0\) noktasında

\[f'(0) = 0 \ne 1 = g(0) = \lim_{n \to \infty} f_n'(0)\]

olur. Dizi düzgün yakınsar, limit türevlenebilirdir, türevlerin dizisi her noktada yakınsar; buna rağmen limit ile türev \(x = 0\)’da yer değiştirmez. \(\blacksquare\)

6.2 Terim Terime Türev Teoremi

Üç örnekte de eksik olan şey, türev dizisinin düzgün yakınsamasıdır. Bu koşul sağlandığında dizinin kendisinden çok az şey istemek yeter: tek bir noktada yakınsaklık.

Teorem 6.1 (Terim Terime Türev Teoremi) \(a < b\) olsun ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(f_n : [a, b] \to \mathbb{R}\) türevlenebilir olsun. Aşağıdaki iki koşul sağlansın:

1. en az bir \(x_0 \in [a, b]\) için \(\big(f_n(x_0)\big)\) sayı dizisi yakınsaktır;

2. \((f_n')\) türev dizisi \([a, b]\) üzerinde bir \(g\) fonksiyonuna düzgün yakınsar.

O zaman \((f_n)\) dizisi \([a, b]\) üzerinde bir \(f\) fonksiyonuna düzgün yakınsar, \(f\) türevlenebilirdir ve her \(x \in [a, b]\) için

\[f'(x) = g(x), \qquad \text{yani} \qquad \Big( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \Big)' = \lim_{n \to \infty} f_n'(x)\]

olur. (Uç noktalarda türev tek yönlü türev olarak anlaşılır.)

İspat

Adım 1: Temel eşitsizlik. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \((f_n')\) düzgün yakınsak olduğundan düzgün Cauchy dizisidir (Teorem 3.4): öyle bir \(N_1\) vardır ki \(n, m \ge N_1\) ve her \(t \in [a, b]\) için

\[|f_n'(t) - f_m'(t)| < \frac{\varepsilon}{2(b - a)} \tag{1}\]

olur. \(n, m \ge N_1\) sabitlensin ve \(h = f_n - f_m\) yazılsın; \(h\) türevlenebilirdir. \(x, t \in [a, b]\), \(x \ne t\) için Lagrange ortalama değer teoremi (bkz. Analiz 2) \(x\) ile \(t\) arasında

\[h(x) - h(t) = h'(c)\,(x - t)\]

olacak biçimde bir \(c\) noktası verir. \((1)\) eşitsizliği \(|h'(c)| < \dfrac{\varepsilon}{2(b - a)}\) demektir; dolayısıyla \(n, m \ge N_1\) ve her \(x, t \in [a, b]\) için

\[\big|\big(f_n(x) - f_m(x)\big) - \big(f_n(t) - f_m(t)\big)\big| \le \frac{\varepsilon}{2(b - a)}\,|x - t| \le \frac{\varepsilon}{2} \tag{2}\]

bulunur (\(x = t\) için sol yan \(0\)’dır).

Adım 2: \((f_n)\) düzgün yakınsar. \(\big(f_n(x_0)\big)\) yakınsak olduğundan Cauchy dizisidir: öyle bir \(N_2\) vardır ki \(n, m \ge N_2\) için \(|f_n(x_0) - f_m(x_0)| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. \(N = \max\{N_1, N_2\}\) alalım. \(n, m \ge N\) ve \(x \in [a, b]\) için \((2)\) eşitsizliğini \(t = x_0\) ile kullanarak

\[ \begin{aligned} |f_n(x) - f_m(x)| &\le \big|\big(f_n(x) - f_m(x)\big) - \big(f_n(x_0) - f_m(x_0)\big)\big| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| \\[1mm] &< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned} \]

elde ederiz. \((f_n)\), \([a, b]\) üzerinde düzgün Cauchy dizisidir; Teorem 3.4 gereği bir \(f\) fonksiyonuna düzgün yakınsar.

Adım 3: Fark oranları. \(x \in [a, b]\) sabitlensin. \([a, b]\) üzerinde

\[\Phi_n(t) = \begin{cases} \dfrac{f_n(t) - f_n(x)}{t - x}, & t \ne x \\[3mm] f_n'(x), & t = x \end{cases} \qquad \Phi(t) = \begin{cases} \dfrac{f(t) - f(x)}{t - x}, & t \ne x \\[3mm] g(x), & t = x \end{cases}\]

fonksiyonlarını tanımlayalım. \(f_n\), \(x\) noktasında türevlenebilir olduğundan \(\lim_{t \to x} \Phi_n(t) = f_n'(x) = \Phi_n(x)\) olur; yani her \(\Phi_n\), \(x\) noktasında süreklidir.

\(\Phi_n \to \Phi\) noktasal yakınsar: \(t \ne x\) için \(f_n(t) \to f(t)\) ve \(f_n(x) \to f(x)\) olduğundan \(\Phi_n(t) \to \Phi(t)\); \(t = x\) için \(\Phi_n(x) = f_n'(x) \to g(x) = \Phi(x)\).

Adım 4: \((\Phi_n)\) düzgün yakınsar. \(n, m \ge N_1\) olsun. \(t \ne x\) için \((2)\) eşitsizliğinin ilk yarısını \(|t - x|\) ile bölersek

\[|\Phi_n(t) - \Phi_m(t)| = \frac{\big|\big(f_n(t) - f_m(t)\big) - \big(f_n(x) - f_m(x)\big)\big|}{|t - x|} \le \frac{\varepsilon}{2(b - a)}\]

olur. \(t = x\) için \(\Phi_n(x) - \Phi_m(x) = f_n'(x) - f_m'(x)\) olduğundan \((1)\) eşitsizliği aynı sınırı verir. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \((\Phi_n)\), \([a, b]\) üzerinde düzgün Cauchy dizisidir; Teorem 3.4 gereği düzgün yakınsaktır. Düzgün limit noktasal limite eşit olduğundan \(\Phi_n \rightrightarrows \Phi\) (\([a, b]\)).

Adım 5: Sonuç. Her \(\Phi_n\), \(x\) noktasında süreklidir ve \(\Phi_n \rightrightarrows \Phi\)’dir. Teorem 4.2 gereği \(\Phi\) de \(x\) noktasında süreklidir:

\[\lim_{t \to x} \frac{f(t) - f(x)}{t - x} = \lim_{t \to x} \Phi(t) = \Phi(x) = g(x).\]

Bu, \(f\)’nin \(x\) noktasında türevlenebilir olduğunu ve \(f'(x) = g(x)\) olduğunu söyler. \(x \in [a, b]\) keyfiydi. \(\blacksquare\)

Türevler sürekliyse kısa ispat

Her \(f_n'\) fonksiyonunun \([a, b]\) üzerinde sürekli olduğu durumda teorem integral teoreminden doğrudan çıkar.

\(f_n'\) sürekli olduğundan analizin temel teoremi (bkz. Analiz 2) her \(x \in [a, b]\) için

\[f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^{x} f_n'(t)\,dt \tag{3}\]

verir. \(L = \lim_{n \to \infty} f_n(x_0)\) olsun. \(f_n' \rightrightarrows g\) olduğundan \(g\) süreklidir (Teorem 4.2) ve Teorem 5.1 (iii) gereği \(\int_{a}^{x} f_n'(t)\,dt\) integralleri \(x\)’e göre düzgün olarak \(\int_{a}^{x} g(t)\,dt\)’ye yakınsar. \(\int_{x_0}^{x} = \int_{a}^{x} - \int_{a}^{x_0}\) olduğundan ve çıkarılan sayılar da yakınsadığından aynı şey \(\int_{x_0}^{x} f_n'(t)\,dt \rightrightarrows \int_{x_0}^{x} g(t)\,dt\) için geçerlidir. \(f_n(x_0) \to L\) sabit dizisi de düzgün yakınsak olduğundan Teorem 2.1 (i) ile \((3)\) eşitliğinden

\[f_n(x) \rightrightarrows f(x) = L + \int_{x_0}^{x} g(t)\,dt \qquad ([a, b])\]

bulunur. \(g\) sürekli olduğundan sağdaki integral fonksiyonu türevlenebilirdir ve türevi \(g\)’dir (bkz. Analiz 2). Öyleyse \(f' = g\). \(\blacksquare\)

Teoremin koşullarını yorumlayalım. (ii) koşulu asıl yükü taşır: eğimler düzgün yakınsar. (i) koşulu ise yalnız bir “çapa”dır. Türevler bir fonksiyonu ancak bir sabit farkıyla belirler; \(f_n(x) = n\) sabit fonksiyonlarında \(f_n' = 0\) düzgün yakınsar, ama dizinin kendisi hiçbir noktada yakınsamaz. Tek bir \(x_0\) noktasındaki yakınsaklık bu serbestliği ortadan kaldırır.

İpucuDört adımda terim terime türev

1. Çapa noktası. Bir \(x_0\) noktasında \(\big(f_n(x_0)\big)\) dizisinin yakınsadığı gösterilir (çoğu zaman noktasal limit zaten bulunmuştur).
2. Türev dizisi. \(f_n'\) hesaplanır ve noktasal limiti \(g\) bulunur.
3. Düzgün yakınsaklık. \(f_n' \rightrightarrows g\) olduğu bir ölçütle gösterilir.
4. Sonuç. \(f = \lim f_n\) türevlenebilirdir ve \(f' = g\)’dir.

Örnek 6.4 (Teoremin Doğrudan Uygulanması) \(\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\) üzerinde \(f_n(x) = x - \dfrac{x^n}{n}\) dizisinin terim terime türevlenebildiğini gösteriniz.

Çözüm

Çapa noktası. \(x_0 = 0\) için \(f_n(0) = 0 \to 0\).

Türev dizisi. \(f_n'(x) = 1 - x^{n-1}\). \(0 \le x \le \dfrac{1}{2}\) ve \(n \ge 2\) için \(x^{n-1} \to 0\) olduğundan noktasal limit \(g(x) = 1\)’dir.

Düzgün yakınsaklık. \(n \ge 2\) ve \(x \in \left[0, \dfrac{1}{2}\right]\) için

\[|f_n'(x) - 1| = x^{n-1} \le \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \to 0\]

olduğundan Teorem 3.1 gereği \(f_n' \rightrightarrows 1\) \(\left(\left[0, \tfrac{1}{2}\right]\right)\).

Sonuç. Teorem 6.1 gereği \((f_n)\) düzgün yakınsar, limiti \(f\) türevlenebilirdir ve \(f' = 1\)’dir. Gerçekten de \(\left| \dfrac{x^n}{n} \right| \le \dfrac{1}{n\,2^n} \to 0\) olduğundan \(f(x) = x\) ve \(f'(x) = 1\) olur. \(\blacksquare\)

Sınırsız aralıklar

Teorem 6.1 sınırlı bir \([a, b]\) aralığı için ifade edildi; ispatta \((2)\) eşitsizliğinde \(|x - t| \le b - a\) sınırı kullanıldı. Sınırsız bir aralıkta \(f_n\) dizisinin düzgün yakınsaklığı kaybolabilir, ama türev formülü geçerli kalır.

Sonuç 6.1 (Herhangi Bir Aralıkta Terim Terime Türev) \(I \subseteq \mathbb{R}\) birden çok nokta içeren bir aralık ve her \(n\) için \(f_n : I \to \mathbb{R}\) türevlenebilir olsun. Bir \(x_0 \in I\) için \(\big(f_n(x_0)\big)\) yakınsak ve \(f_n' \rightrightarrows g\) (\(I\)) ise \((f_n)\) dizisi \(I\) üzerinde bir \(f\) fonksiyonuna noktasal yakınsar, bu yakınsama \(I\)’nin kapalı ve sınırlı her alt aralığında düzgündür, \(f\) türevlenebilirdir ve \(I\) üzerinde \(f' = g\)’dir.

İspat

\(x \in I\) verilsin. \(x_0\) ve \(x\) noktalarını içeren, \(I\)’nin alt kümesi olan bir \([c, d]\) kapalı ve sınırlı aralığı seçelim (\(c < d\)); \(x\), \(I\)’nin bir uç noktası değilse \([c, d]\) aralığı \(x\)’i iç nokta olarak içerecek biçimde seçilir. Önerme 2.3 gereği \(f_n' \rightrightarrows g\) (\([c, d]\)) olur. Teorem 6.1, \([c, d]\) aralığına uygulanırsa \((f_n)\) dizisinin \([c, d]\) üzerinde düzgün yakınsadığını, limitin türevlenebilir olduğunu ve türevinin \(g\) olduğunu verir. Özel olarak \(\big(f_n(x)\big)\) yakınsaktır; limitine \(f(x)\) diyelim. Limit tek olduğundan farklı \([c, d]\) seçimleri aynı \(f(x)\) değerini verir. Böylece \(f\), \(I\) üzerinde tanımlanır ve \(f'(x) = g(x)\) olur.

Kapalı ve sınırlı herhangi bir \([\alpha, \beta] \subseteq I\) alt aralığı verildiğinde \([c, d]\), hem \(x_0\)’ı hem \([\alpha, \beta]\)’yı içerecek biçimde seçilebilir; \((f_n)\) dizisi \([c, d]\) üzerinde, dolayısıyla \([\alpha, \beta]\) üzerinde düzgün yakınsar. \(\blacksquare\)

Örnek 6.5 (Sınırsız Aralıkta Terim Terime Türev) \([0, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = x + \dfrac{1}{n} \cos \dfrac{x}{n}\) dizisi noktasal yakınsak mıdır? Türev dizisi düzgün yakınsak mıdır? Dizi terim terime türevlenebilir mi?

Çözüm

Noktasal limit. \(x \ge 0\) sabit olsun. \(\left| \cos \dfrac{x}{n} \right| \le 1\) olduğundan

\[0 \le \left| \frac{1}{n} \cos \frac{x}{n} \right| \le \frac{1}{n} \to 0\]

olur; sıkıştırma teoremiyle \(\dfrac{1}{n} \cos \dfrac{x}{n} \to 0\) ve \(f_n(x) \to x\). Noktasal limit \(f(x) = x\)’tir. (Sınır \(x\)’ten bağımsız olduğundan yakınsama aslında düzgündür.)

Türev dizisi. Zincir kuralıyla

\[f_n'(x) = 1 - \frac{1}{n^2} \sin \frac{x}{n}\]

olur. \(\dfrac{1}{n^2} \to 0\) ve \(\sin \dfrac{x}{n}\) sınırlı olduğundan noktasal limit \(g(x) = 1\)’dir.

Düzgün yakınsaklık. Her \(x \ge 0\) için

\[|f_n'(x) - 1| = \frac{1}{n^2} \left| \sin \frac{x}{n} \right| \le \frac{1}{n^2} = \alpha_n, \qquad \alpha_n \to 0\]

olduğundan Teorem 3.1 gereği \(f_n' \rightrightarrows 1\) (\([0, +\infty)\)).

Sonuç. \(x_0 = 0\) için \(f_n(0) = \dfrac{1}{n} \to 0\) yakınsaktır ve türev dizisi düzgün yakınsaktır. Sonuç 6.1 gereği dizi terim terime türevlenebilir:

\[\Big( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \Big)' = \lim_{n \to \infty} f_n'(x) = 1.\]

Gerçekten de \(f(x) = x\) için \(f'(x) = 1\)’dir. \(\blacksquare\)

Örnek 6.6 (Türevler Düzgün Yakınsar, Dizi Düzgün Yakınsamaz) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)x\) dizisi için \((f_n')\) dizisinin düzgün yakınsadığını, ama \((f_n)\) dizisinin \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsamadığını gösteriniz.

Çözüm

\(f_n'(x) = 1 + \dfrac{1}{n}\) sabit fonksiyondur ve \(|f_n'(x) - 1| = \dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan \(f_n' \rightrightarrows 1\) (\(\mathbb{R}\)). \(x_0 = 0\)’da \(f_n(0) = 0\) yakınsaktır. Sonuç 6.1 gereği \(f_n \to f\) noktasal yakınsar ve \(f' = 1\)’dir; gerçekten \(f(x) = x\).

Ancak \(|f_n(x) - x| = \dfrac{|x|}{n}\) olur ve \(x_n = n\) için bu fark \(1\)’dir. Teorem 3.2 gereği yakınsama \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün değildir. Her \([-R, R]\) aralığında ise \(\dfrac{|x|}{n} \le \dfrac{R}{n} \to 0\) olduğundan düzgündür; bu, sonucun söylediğiyle uyumludur. \(\blacksquare\)

6.3 Alıştırmalar

Alıştırma 6.1 (Uç Noktada Bozulan Türev Eşitliği) \([0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x^n}{n}\) dizisi için \(f = \lim f_n\) ve \(g = \lim f_n'\) fonksiyonlarını bulunuz. \(f' = g\) eşitliği hangi noktalarda sağlanır?

Çözüm

Dizinin limiti. \(x \in [0, 1]\) için \(\left| \dfrac{x^n}{n} \right| \le \dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan \(f_n \rightrightarrows 0\) (\([0, 1]\)); \(f = 0\) ve \(f' = 0\).

Türevlerin limiti. \(f_n'(x) = x^{n-1}\). \(0 \le x < 1\) için \(x^{n-1} \to 0\), \(x = 1\) için \(f_n'(1) = 1 \to 1\). Dolayısıyla

\[g(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}\]

olur.

Karşılaştırma. \([0, 1)\) üzerinde \(f'(x) = 0 = g(x)\) eşitliği sağlanır. \(x = 1\) noktasında \(f'(1) = 0 \ne 1 = g(1)\) olur. Teorem 6.1 ile çelişki yoktur: her \(f_n'\) sürekli, \(g\) ise \(x = 1\)’de süreksiz olduğundan \(f_n' \to g\) yakınsaması \([0, 1]\) üzerinde düzgün değildir (Sonuç 4.2). \(\blacksquare\)

Alıştırma 6.2 (Hızlı Sönen Salınım) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n^2}\) dizisinin terim terime türevlenebildiğini gösteriniz.

Çözüm

Çapa noktası. \(f_n(0) = 0 \to 0\).

Türev dizisi. \(f_n'(x) = \dfrac{n \cos(nx)}{n^2} = \dfrac{\cos(nx)}{n}\) ve her \(x\) için \(|f_n'(x)| \le \dfrac{1}{n} \to 0\). Teorem 3.1 gereği \(f_n' \rightrightarrows 0\) (\(\mathbb{R}\)).

Sonuç. Sonuç 6.1 gereği \(f = \lim f_n\) türevlenebilirdir ve \(f' = 0\)’dır. Doğrulama: \(|f_n(x)| \le \dfrac{1}{n^2} \to 0\) olduğundan \(f = 0\) ve \(f' = 0\).

Örnek 6.1 ile karşılaştıralım: orada payda \(\sqrt{n}\) idi ve türevler \(\sqrt{n}\) ile büyüyordu. Burada payda \(n^2\) olduğundan türev alınınca gelen \(n\) çarpanına rağmen \(\dfrac{1}{n}\) kalır. \(\blacksquare\)

Alıştırma 6.3 (Yumuşatılmış Köşe) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{1}{n} \ln\left(1 + e^{nx}\right)\) dizisinin \(f(x) = \max\{x, 0\}\) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösteriniz ve \((f_n')\) dizisinin noktasal limitini bulunuz.

Çözüm

Düzgün yakınsaklık. İki durumu ayıralım.

• \(x \le 0\) ise \(f(x) = 0\) ve \(0 < e^{nx} \le 1\) olduğundan \[0 < f_n(x) - f(x) = \frac{1}{n} \ln\left(1 + e^{nx}\right) \le \frac{\ln 2}{n}.\]
• \(x > 0\) ise \(f(x) = x\) olur. \(1 + e^{nx} = e^{nx}\left(1 + e^{-nx}\right)\) yazılırsa \(f_n(x) = x + \dfrac{1}{n} \ln\left(1 + e^{-nx}\right)\) bulunur ve \(0 < e^{-nx} < 1\) olduğundan \[0 < f_n(x) - f(x) = \frac{1}{n} \ln\left(1 + e^{-nx}\right) < \frac{\ln 2}{n}.\]

Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(|f_n(x) - f(x)| \le \dfrac{\ln 2}{n} \to 0\) olduğundan Teorem 3.1 gereği \(f_n \rightrightarrows \max\{x, 0\}\) (\(\mathbb{R}\)).

Türev dizisi. \(f_n'(x) = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{n e^{nx}}{1 + e^{nx}} = \dfrac{e^{nx}}{1 + e^{nx}}\).

• \(x < 0\) ise \(e^{nx} \to 0\) ve \(f_n'(x) \to 0\).
• \(x = 0\) ise \(f_n'(0) = \dfrac{1}{2}\).
• \(x > 0\) ise \(f_n'(x) = \dfrac{1}{e^{-nx} + 1} \to 1\).

Noktasal limit, \(x < 0\) için \(0\), \(x = 0\) için \(\dfrac{1}{2}\), \(x > 0\) için \(1\) değerini alan \(g\) fonksiyonudur. \(f\) fonksiyonu \(x = 0\)’da türevlenebilir değildir (soldan türev \(0\), sağdan türev \(1\)); \(x \ne 0\) için ise \(f'(x) = g(x)\) olur. \(g\) süreksiz olduğundan \(f_n' \to g\) yakınsaması \(0\)’ı içeren hiçbir aralıkta düzgün değildir. \(\blacksquare\)

Alıştırma 6.4 (Çapa Noktası Neden Gerekli?) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x}{n} + (-1)^n\) dizisi için \((f_n')\) dizisinin düzgün yakınsadığını, ama \((f_n)\) dizisinin hiçbir noktada yakınsamadığını gösteriniz.

Çözüm

\(f_n'(x) = \dfrac{1}{n}\) olur ve \(|f_n'(x) - 0| = \dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan \(f_n' \rightrightarrows 0\) (\(\mathbb{R}\)).

\(x \in \mathbb{R}\) sabit olsun. \(\dfrac{x}{n} \to 0\) olur. \(\big(f_n(x)\big)\) yakınsak olsaydı \((-1)^n = f_n(x) - \dfrac{x}{n}\) dizisi de iki yakınsak dizinin farkı olarak yakınsak olurdu; oysa \(\big((-1)^n\big)\) ıraksaktır (bkz. Analiz 1). Öyleyse \((f_n)\) hiçbir noktada yakınsamaz.

Terim terime türev teoreminin (Teorem 6.1) (i) koşulu sağlanmadığından teorem uygulanamaz; bu örnek o koşulun atılamayacağını gösterir. \(\blacksquare\)

Fonksiyon dizileri için düzgün yakınsaklığın üç büyük sonucunu tamamladık: süreklilik, integral ve türev. Bir fonksiyon serisi, kısmi toplamlarının dizisinden başka bir şey değildir; Fonksiyon Serileri bölümünde bütün bu sonuçları serilerin diline çeviriyoruz.