2 Düzgün Yakınsaklık
Noktasal yakınsaklık tanımında \(N\) sayısı hem \(\varepsilon\)’a hem de \(x\) noktasına bağlıydı ve bu bağımlılık yüzünden limit fonksiyonu sürekliliği, integrallenebilirliği, sınırlılığı yitirebiliyordu. Çare, bağımlılığın bir yarısını kaldırmaktır: verilen \(\varepsilon\) için tek bir \(N\) sayısının kümenin bütün noktalarına birden yetmesini isteyeceğiz.
Bu küçük değişiklik büyük bir fark yaratır. Noktasal yakınsaklıkta her nokta kendi hızında yakınsar; düzgün yakınsaklıkta ise bütün noktalar aynı anda, ortak bir hızla yakınsar. Geometrik olarak bu, \(f_n\) grafiğinin bir bütün olarak \(f\) grafiğinin üzerine oturması demektir.
Bu bölümde düzgün yakınsaklığı tanımlıyor, tanımın olumsuzunu yazıyor, ikisini de örnekler üzerinde çalıştırıyor ve düzgün limitin cebirsel işlemlerle nasıl davrandığını inceliyoruz.
2.1 Düzgün Yakınsaklığın Tanımı
Noktasal yakınsaklık tanımındaki niceleyicilerin sırasını değiştirerek başlıyoruz.
Tanım 2.1 (Düzgün Yakınsaklık) \(E \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme, \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi ve \(f : E \to \mathbb{R}\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}\) varsa ki \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için
\[|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\]
olsun, o zaman \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\) fonksiyonuna düzgün yakınsar denir ve
\[f_n \rightrightarrows f \quad (E)\]
yazılır. \(f\) fonksiyonuna \((f_n)\) dizisinin düzgün limiti denir.
Yani düzgün yakınsaklıkta \(N\) sayısı yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır; \(x\)’e bağlı değildir. İki tanımı yan yana yazınca fark görülür:
| Niceleyici sırası | |
|---|---|
| Noktasal | her \(\varepsilon > 0\) ve her \(x \in E\) için bir \(N(\varepsilon, x)\) vardır |
| Düzgün | her \(\varepsilon > 0\) için bir \(N(\varepsilon)\) vardır; bu \(N\) her \(x \in E\) için geçerlidir |
Tanımdaki eşitsizlik, \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için
\[f(x) - \varepsilon < f_n(x) < f(x) + \varepsilon\]
biçiminde de yazılabilir. Bunun geometrik anlamı şudur: \(y = f(x) - \varepsilon\) ve \(y = f(x) + \varepsilon\) eğrileri arasında kalan bölgeye \(f\)’nin çevresindeki \(\varepsilon\)-şeridi diyelim. Düzgün yakınsaklık, \(N\)’den sonraki bütün \(f_n\) grafiklerinin \(E\) üzerinde bu şeridin tamamen içinde kalması demektir.
Düzgün yakınsaklık noktasal yakınsaklıktan daha güçlü bir koşuldur.
Önerme 2.1 (Düzgün Yakınsak Dizi Noktasal Yakınsaktır) \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\) fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa \(E\) üzerinde \(f\)’ye noktasal da yakınsar.
İspat
\(\varepsilon > 0\) ve \(x \in E\) verilsin. Düzgün yakınsaklık gereği yalnız \(\varepsilon\)’a bağlı bir \(N = N(\varepsilon)\) vardır ve \(n \ge N\) olan her \(n\), her \(y \in E\) için \(|f_n(y) - f(y)| < \varepsilon\) sağlanır. Özel olarak \(y = x\) için de sağlanır. Öyleyse noktasal yakınsaklık tanımındaki \(N(\varepsilon, x)\) olarak bu \(N\) alınabilir; \(f_n(x) \to f(x)\) olur. \(x\) keyfi olduğundan \(f_n \to f\) (noktasal, \(E\)). \(\blacksquare\)
Bu önermenin iki kullanışlı sonucu vardır. Birincisi: bir dizi düzgün yakınsıyorsa düzgün limiti, noktasal limitinden başka bir fonksiyon olamaz. İkincisi: bir dizi \(E\) üzerinde noktasal yakınsamıyorsa düzgün de yakınsamaz. Önermenin tersi doğru değildir; noktasal yakınsak bir dizi düzgün yakınsak olmayabilir (Örnek 2.2).
- Noktasal limiti bul. Düzgün limit varsa noktasal limite eşittir; bu yüzden tek aday noktasal limit \(f\)’dir.
- Farkı \(x\)’ten bağımsız sınırla. \(|f_n(x) - f(x)|\) ifadesi, \(x\) içermeyen ve \(0\)’a giden bir sayıyla üstten sınırlanabiliyorsa yakınsama düzgündür. Sınırlanamıyorsa tanımın olumsuzu (Önerme 2.2) denenir.
Örnek 2.1 (Bütün Doğruda Düzgün Yakınsayan Bir Dizi) \(E = \mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}\) ile tanımlı \((f_n)\) dizisi \(\mathbb{R}\) üzerinde düzgün yakınsak mıdır?
Çözüm
Noktasal limit. \(x \in \mathbb{R}\) sabit olsun. Her \(n\) için \(|\sin(nx)| \le 1\) olduğundan
\[0 \le \left| \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} \right| \le \frac{1}{\sqrt{n}}\]
olur. \(\dfrac{1}{\sqrt{n}} \to 0\) olduğundan sıkıştırma teoremi (bkz. Analiz 1) gereği \(f_n(x) \to 0\)’dır. Noktasal limit \(f(x) = 0\) fonksiyonudur.
Düzgün yakınsaklık. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Her \(x \in \mathbb{R}\) ve \(n \ge N\) için
\[|f_n(x) - 0| = \frac{|\sin(nx)|}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{N}}\]
olur. \(\dfrac{1}{\sqrt{N}} < \varepsilon\) olması için \(N > \dfrac{1}{\varepsilon^2}\) yeter;
\[N(\varepsilon) = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon^2} \right\rfloor + 1\]
seçilir. Bu \(N\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır ve \(n \ge N\) olan her \(n\), her \(x \in \mathbb{R}\) için \(|f_n(x) - 0| < \varepsilon\) sağlanır. Öyleyse \(f_n \rightrightarrows 0\) (\(\mathbb{R}\)). \(\blacksquare\)
2.2 Düzgün Yakınsamama
Bir dizinin düzgün yakınsamadığını göstermek için tanımın olumsuzu gerekir.
Önerme 2.2 (Düzgün Yakınsamamanın Sembolik İfadesi) \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde tanımlı bir fonksiyon dizisi ve \(f : E \to \mathbb{R}\) olsun. \((f_n)\) dizisinin \(E\) üzerinde \(f\)’ye düzgün yakınsamaması için gerek ve yeter koşul şudur: öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(N \in \mathbb{N}\) için
\[n_N \ge N \qquad \text{ve} \qquad |f_{n_N}(x_N) - f(x_N)| \ge \varepsilon_0\]
olacak biçimde bir \(n_N \in \mathbb{N}\) ve bir \(x_N \in E\) bulunur.
İspat
Düzgün yakınsaklık tanımı şu önermedir: “her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N\) vardır ki her \(n \ge N\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\) olur.” Bir önermenin olumsuzu alınırken “her” ile “vardır” yer değiştirir ve sondaki koşul olumsuzlanır: “öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(N\) için \(|f_n(x) - f(x)| \ge \varepsilon_0\) olacak biçimde bir \(n \ge N\) ve bir \(x \in E\) bulunur.” Bulunan \(n\) ve \(x\), \(N\)’ye bağlı olduklarından \(n_N\) ve \(x_N\) ile gösterilir. \(\blacksquare\)
Noktasal yakınsamamada (Önerme 1.1) kötü davranan tek bir \(x_0\) noktası bulmak gerekiyordu. Burada ise \(x_N\) noktası \(N\) ile birlikte değişebilir: her \(N\) için, o anda hâlâ “geride kalmış” bir nokta göstermek yeterlidir.
Örnek 2.2 (Kuvvet Dizisi Birim Aralıkta Düzgün Yakınsamaz) \(E = [0, 1]\) üzerinde \(f_n(x) = x^n\) ile tanımlı \((f_n)\) dizisinin noktasal limitine düzgün yakınsamadığını gösteriniz.
Çözüm
Örnek 1.1 gereği noktasal limit, \(0 \le x < 1\) için \(f(x) = 0\) ve \(f(1) = 1\) olan fonksiyondur.
\(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{4}\) alalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin. \(n_N = N\) ve
\[x_N = \frac{1}{\sqrt[N]{2}} \in [0, 1)\]
seçelim. \(x_N < 1\) olduğundan \(f(x_N) = 0\)’dır ve
\[|f_N(x_N) - f(x_N)| = \left( \frac{1}{\sqrt[N]{2}} \right)^{N} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4} = \varepsilon_0\]
olur. Önerme 2.2 gereği \((f_n)\) dizisi \([0, 1]\) üzerinde \(f\)’ye düzgün yakınsamaz.
Şekil olup biteni gösterir: \(N\) ne kadar büyük olursa olsun \(y = x^N\) eğrisi, \(1\)’e yeterince yakın bir noktada \(\dfrac{1}{2}\) yüksekliğine ulaşır ve \(\varepsilon_0\)-şeridinin dışına çıkar. \(\blacksquare\)
Örnek 2.3 (Aynı Sonucun Çelişkiyle Elde Edilmesi) \(f_n(x) = x^n\) dizisinin \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamadığını, düzgün yakınsadığını varsayıp çelişkiye ulaşarak gösteriniz.
Çözüm
\((f_n)\) dizisinin \([0, 1]\) üzerinde noktasal limiti \(f\)’ye düzgün yakınsadığını varsayalım. Tanımı \(\varepsilon = \dfrac{1}{2}\) için uygulayalım: öyle bir \(N_1\) vardır ki \(n \ge N_1\) olan her \(n\) ve her \(x \in [0, 1]\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{1}{2}\) olur. Özel olarak \(n = N_1\) ve \(x \in [0, 1)\) için \(f(x) = 0\) olduğundan
\[x^{N_1} < \frac{1}{2} \qquad (0 \le x < 1) \tag{1}\]
elde edilir. Öte yandan \(x \mapsto x^{N_1}\) fonksiyonu süreklidir ve
\[\lim_{x \to 1^-} x^{N_1} = 1^{N_1} = 1\]
olur. \((1)\) eşitsizliğinde \(x \to 1^-\) limiti alınırsa limitlerde sıralama korunduğundan \(1 \le \dfrac{1}{2}\) çıkar. Bu bir çelişkidir. Öyleyse varsayım yanlıştır; dizi \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)
Örnek 2.4 (Sınırsız Kümede Düzgün Yakınsamayan Bir Dizi) \(E = [0, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{x}{n}\) ile tanımlı \((f_n)\) dizisinin düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Örnek 1.4 gereği dizi \([0, +\infty)\) üzerinde \(f(x) = 0\) fonksiyonuna noktasal yakınsar; düzgün limit varsa o da \(0\) olmalıdır.
\(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{3}\) alalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin. \(n_N = 2N \ge N\) ve \(x_N = N \in [0, +\infty)\) seçelim:
\[|f_{n_N}(x_N) - f(x_N)| = \left| \frac{x_N}{n_N} - 0 \right| = \frac{N}{2N} = \frac{1}{2} > \frac{1}{3} = \varepsilon_0.\]
Önerme 2.2 gereği dizi \([0, +\infty)\) üzerinde düzgün yakınsamaz. Geometrik olarak: \(y = \dfrac{x}{n}\) doğrusu ne kadar yatık olursa olsun, yeterince sağa gidildiğinde yatay eksenden istenildiği kadar uzaklaşır. \(\blacksquare\)
Örnek 2.5 (Yükselen ve Daralan Çadırlar) \([0, 2]\) üzerinde
\[f_n(x) = \begin{cases} n^3x, & 0 \le x \le \dfrac{1}{n} \\[2mm] -n^3x + 2n^2, & \dfrac{1}{n} \le x \le \dfrac{2}{n} \\[2mm] 0, & \dfrac{2}{n} \le x \le 2 \end{cases}\]
ile tanımlı \((f_n)\) dizisinin noktasal ve düzgün yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Her \(f_n\)’nin grafiği, tabanı \(\left[0, \dfrac{2}{n}\right]\) aralığı ve tepe noktası \(\left(\dfrac{1}{n},\ n^2\right)\) olan bir üçgendir; üçgenin dışında \(f_n = 0\)’dır.
Noktasal limit. \(x = 0\) için her \(n\)’de \(f_n(0) = 0\)’dır. \(0 < x \le 2\) olsun. Arşimet özelliğine göre \(N_x > \dfrac{2}{x}\) olan bir \(N_x \in \mathbb{N}\) vardır. \(n \ge N_x\) ise
\[\frac{2}{n} \le \frac{2}{N_x} < x \le 2\]
olur; yani \(x\) üçüncü parçadadır ve \(f_n(x) = 0\)’dır. Öyleyse \(\big(f_n(x)\big)\) dizisi \(N_x\)’ten sonra sabit \(0\)’dır ve \(f_n(x) \to 0\). Sonuç: \(f_n \to 0\) (noktasal, \([0, 2]\)).
Düzgün yakınsaklık. \(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{2}\) alalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin. \(n_N = N\) ve
\[x_N = \frac{3}{2N} \in \left[ \frac{1}{N},\ \frac{2}{N} \right] \subseteq [0, 2]\]
seçelim. \(x_N\) ikinci parçada olduğundan
\[|f_N(x_N) - 0| = \left| -N^3 \cdot \frac{3}{2N} + 2N^2 \right| = 2N^2 - \frac{3}{2}N^2 = \frac{N^2}{2} \ge \frac{1}{2} = \varepsilon_0\]
olur. Önerme 2.2 gereği dizi \([0, 2]\) üzerinde \(0\)’a düzgün yakınsamaz.
Bu örnekte düzgün yakınsamama çok çarpıcıdır: her noktada değerler sonunda tam olarak \(0\) olduğu hâlde tepe yükseklikleri \(n^2 \to +\infty\) olur. \(\blacksquare\)
2.3 Düzgün Yakınsaklık Kümeye Bağlıdır
Düzgün yakınsaklık yalnız diziye değil, üzerinde çalışılan kümeye de bağlıdır. Küme küçültülünce düzgün yakınsaklık bozulmaz.
Önerme 2.3 (Alt Kümeye Kısıtlama) \((f_n)\) dizisi \(E\) üzerinde \(f\)’ye düzgün yakınsıyorsa boş olmayan her \(A \subseteq E\) alt kümesi üzerinde de \(f\)’ye düzgün yakınsar.
İspat
\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(E\) üzerindeki düzgün yakınsaklıktan gelen \(N(\varepsilon)\) sayısı için \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\) olur. \(A \subseteq E\) olduğundan aynı eşitsizlik her \(x \in A\) için de sağlanır. Aynı \(N\), \(A\) üzerinde de iş görür. \(\blacksquare\)
Ters yönde ise bir sürpriz vardır: bir dizi büyük kümede düzgün yakınsamadığı hâlde daha küçük bir kümede düzgün yakınsayabilir.
Örnek 2.6 (Kuvvet Dizisi Küçük Aralıkta Düzgün Yakınsar) \(0 < b < 1\) olsun. \(f_n(x) = x^n\) dizisinin \([0, b]\) aralığında \(f(x) = 0\) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösteriniz.
Çözüm
\([0, b] \subseteq [0, 1)\) olduğundan noktasal limit bu aralıkta \(f(x) = 0\)’dır.
\(0 < \varepsilon < 1\) verilsin. \(x \mapsto x^n\) fonksiyonu \([0, b]\) üzerinde artan olduğundan her \(x \in [0, b]\) için
\[|x^n - 0| = x^n \le b^n\]
olur. Sağdaki sayı \(x\)’ten bağımsızdır. \(b^n < \varepsilon\) eşitsizliği, Örnek 1.1 çözümündeki hesapla, \(n > \dfrac{\ln \varepsilon}{\ln b}\) olduğunda sağlanır. Dolayısıyla
\[N(\varepsilon) = \left\lfloor \frac{\ln \varepsilon}{\ln b} \right\rfloor + 1\]
seçilirse \(n \ge N\) olan her \(n\) ve her \(x \in [0, b]\) için \(|x^n - 0| \le b^n < \varepsilon\) olur. (\(\varepsilon \ge 1\) için \(N = 1\) yeter.) Öyleyse \(x^n \rightrightarrows 0\) (\([0, b]\)).
Bu sonuç Örnek 2.2 ile çelişmez. Orada şeritten çıkan \(x_N = 2^{-1/N}\) noktaları \(1\)’e yaklaşıyordu; \([0, b]\) aralığı \(1\)’in bir komşuluğunu dışarıda bıraktığından bu noktalar bir süre sonra aralığın dışında kalır. \(\blacksquare\)
2.4 Düzgün Limitin Cebirsel Özellikleri
Toplam ve skaler kat düzgün yakınsaklığı her zaman korur. Çarpımda ise ek bir koşul gerekir.
Teorem 2.1 (Düzgün Limitin Cebirsel Özellikleri) \(E \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme, \(\alpha \in \mathbb{R}\) olsun ve \(E\) üzerinde \(f_n \rightrightarrows f\), \(g_n \rightrightarrows g\) olsun. O zaman:
\(f_n + g_n \rightrightarrows f + g\) (\(E\)),
\(\alpha f_n \rightrightarrows \alpha f\) (\(E\)),
ayrıca \(f\) ve \(g\) fonksiyonları \(E\) üzerinde sınırlıysa \(f_n g_n \rightrightarrows f g\) (\(E\)).
İspat
(i) \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(f_n \rightrightarrows f\) olduğundan öyle bir \(N_1 = N_1(\varepsilon)\) vardır ki \(n \ge N_1\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. \(g_n \rightrightarrows g\) olduğundan öyle bir \(N_2 = N_2(\varepsilon)\) vardır ki \(n \ge N_2\) ve her \(x \in E\) için \(|g_n(x) - g(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur. \(N = \max\{N_1, N_2\}\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır ve \(n \ge N\), \(x \in E\) için
\[\big|(f_n + g_n)(x) - (f + g)(x)\big| \le |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]
olur.
(ii) \(\alpha = 0\) ise iddia açıktır: her iki yan sıfır fonksiyonudur. \(\alpha \ne 0\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(f_n \rightrightarrows f\) olduğundan öyle bir \(N\) vardır ki \(n \ge N\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{|\alpha|}\) olur. Bu \(n\) ve \(x\)’ler için
\[|\alpha f_n(x) - \alpha f(x)| = |\alpha|\,|f_n(x) - f(x)| < |\alpha| \cdot \frac{\varepsilon}{|\alpha|} = \varepsilon.\]
(iii) \(f\) ve \(g\) sınırlı olduğundan öyle \(M_f, M_g > 0\) sayıları vardır ki her \(x \in E\) için \(|f(x)| \le M_f\) ve \(|g(x)| \le M_g\) olur.
Adım 1: \((g_n)\) bir yerden sonra ortak bir sayıyla sınırlıdır. \(g_n \rightrightarrows g\) tanımını \(\varepsilon = 1\) için uygulayalım: öyle bir \(N_0\) vardır ki \(n \ge N_0\) ve her \(x \in E\) için \(|g_n(x) - g(x)| < 1\) olur. Bu \(n\) ve \(x\)’ler için
\[|g_n(x)| \le |g_n(x) - g(x)| + |g(x)| < 1 + M_g.\]
Adım 2: Farkı iki parçaya ayıralım. Araya \(f(x)\,g_n(x)\) terimini ekleyip çıkaralım:
\[f_n g_n - f g = (f_n - f)\,g_n + f\,(g_n - g).\]
\(n \ge N_0\) ve \(x \in E\) için üçgen eşitsizliği ve Adım 1 ile
\[|f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| \le (1 + M_g)\,|f_n(x) - f(x)| + M_f\,|g_n(x) - g(x)| \tag{2}\]
bulunur.
Adım 3: \(N\) seçimi. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Öyle \(N_1\) ve \(N_2\) vardır ki \(n \ge N_1\) ve her \(x \in E\) için \(|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2(1 + M_g)}\), \(n \ge N_2\) ve her \(x \in E\) için \(|g_n(x) - g(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2M_f}\) olur. \(N = \max\{N_0, N_1, N_2\}\) alalım. \(n \ge N\) ve \(x \in E\) için \((2)\) eşitsizliği
\[|f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| < (1 + M_g) \cdot \frac{\varepsilon}{2(1 + M_g)} + M_f \cdot \frac{\varepsilon}{2M_f} = \varepsilon\]
verir. \(N\) yalnız \(\varepsilon\)’a bağlı olduğundan \(f_n g_n \rightrightarrows fg\) (\(E\)). \(\blacksquare\)
- şıkkındaki sınırlılık koşulu atılamaz.
Örnek 2.7 (Sınırlılık Olmadan Çarpım Düzgün Yakınsamayabilir) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = g_n(x) = x + \dfrac{1}{n}\) dizilerinin düzgün yakınsadığını, ama \(f_n g_n\) çarpım dizisinin düzgün yakınsamadığını gösteriniz.
Çözüm
\(f_n\) düzgün yakınsar. \(f(x) = x\) alalım. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(|f_n(x) - f(x)| = \dfrac{1}{n}\)’dir. \(\varepsilon > 0\) verilince \(N = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\) için \(n \ge N\) ve her \(x\) için \(|f_n(x) - x| = \dfrac{1}{n} < \varepsilon\) olur: \(f_n \rightrightarrows f\) (\(\mathbb{R}\)). Aynı şey \(g_n\) için de geçerlidir. Limit fonksiyonu \(f(x) = x\), \(\mathbb{R}\) üzerinde sınırlı değildir.
Çarpım düzgün yakınsamaz. Çarpım dizisi
\[f_n(x)\,g_n(x) = \left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2}\]
olur ve noktasal limiti \(x^2\)’dir. Fark
\[\left| f_n(x)g_n(x) - x^2 \right| = \left| \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \right|\]
olur. \(\varepsilon_0 = 1\) alalım; \(N \in \mathbb{N}\) verilince \(n_N = N\) ve \(x_N = N\) seçelim:
\[\left| \frac{2N}{N} + \frac{1}{N^2} \right| = 2 + \frac{1}{N^2} > 1 = \varepsilon_0.\]
Önerme 2.2 gereği \(f_n g_n\) dizisi \(\mathbb{R}\) üzerinde \(x^2\)’ye düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)
2.5 Alıştırmalar
Alıştırma 2.1 (Tanımla Düzgün Yakınsaklık) \(a > 0\) olmak üzere \([a, +\infty)\) üzerinde \(f_n(x) = \dfrac{7n^3x}{3 + n^3x^2}\) dizisinin noktasal limitine düzgün yakınsadığını tanımı kullanarak gösteriniz.
Çözüm
Alıştırma 1.5 gereği noktasal limit \(f(x) = \dfrac{7}{x}\)’tir. Farkı hesaplayalım:
\[ \begin{aligned} \left| \frac{7n^3x}{3 + n^3x^2} - \frac{7}{x} \right| &= \left| \frac{7n^3x^2 - 7(3 + n^3x^2)}{x\,(3 + n^3x^2)} \right| \\[1mm] &= \frac{21}{x\,(3 + n^3x^2)}. \end{aligned} \]
\(x \ge a > 0\) olduğundan \(\dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{a}\) ve \(3 + n^3x^2 > n^3x^2 \ge n^3a^2\) olur. Paydayı küçülterek
\[\frac{21}{x\,(3 + n^3x^2)} < \frac{21}{a \cdot n^3a^2} = \frac{21}{n^3a^3} \le \frac{21}{n\,a^3}\]
elde edilir. Sağdaki sayı \(x\)’ten bağımsızdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(\dfrac{21}{n a^3} < \varepsilon\) olması için \(n > \dfrac{21}{a^3 \varepsilon}\) yeter.
\[N(\varepsilon) = \left\lfloor \frac{21}{a^3 \varepsilon} \right\rfloor + 1\]
seçilirse \(n \ge N\) ve her \(x \in [a, +\infty)\) için \(\left| f_n(x) - \dfrac{7}{x} \right| < \varepsilon\) olur. Öyleyse \(f_n \rightrightarrows \dfrac{7}{x}\) (\([a, +\infty)\)). \(\blacksquare\)
Alıştırma 2.2 (Tepesi Alçalmayan Dizi Düzgün Yakınsamaz) \(f_n(x) = \dfrac{2nx}{1 + n^2x^2}\) dizisinin \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamadığını gösteriniz.
Çözüm
Örnek 1.2 gereği noktasal limit \(f(x) = 0\)’dır. \(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{2}\) alalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin; \(n_N = N\) ve \(x_N = \dfrac{1}{N} \in [0, 1]\) seçelim:
\[|f_N(x_N) - 0| = \frac{2N \cdot \dfrac{1}{N}}{1 + N^2 \cdot \dfrac{1}{N^2}} = \frac{2}{2} = 1 > \frac{1}{2} = \varepsilon_0.\]
Önerme 2.2 gereği dizi \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 2.3 (Aynı Dizi Sıfırdan Uzakta Düzgün Yakınsar) \(0 < a < 1\) olsun. \(f_n(x) = \dfrac{2nx}{1 + n^2x^2}\) dizisinin \([a, 1]\) üzerinde \(0\)’a düzgün yakınsadığını gösteriniz.
Çözüm
\(x \in [a, 1]\) için Örnek 1.2 çözümündeki eşitsizlik ve \(x \ge a\) ile
\[|f_n(x) - 0| < \frac{2}{nx} \le \frac{2}{na}\]
olur. Sağdaki sayı \(x\)’ten bağımsızdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(N(\varepsilon) = \left\lfloor \dfrac{2}{a\varepsilon} \right\rfloor + 1\) seçilirse \(n \ge N\) için \(\dfrac{2}{na} < \varepsilon\) olur. Öyleyse her \(x \in [a, 1]\) ve \(n \ge N\) için \(|f_n(x)| < \varepsilon\)’dur: \(f_n \rightrightarrows 0\) (\([a, 1]\)).
Alıştırma 2.2 ile karşılaştıralım: düzgün yakınsaklığı bozan tepe noktaları \(x = \dfrac{1}{n}\) sıfıra yaklaşır; \([a, 1]\) aralığı sıfırın bir komşuluğunu dışarıda bıraktığından tepeler bir süre sonra aralığın dışında kalır. \(\blacksquare\)
Alıştırma 2.4 (Mutlak Değere Düzgün Yaklaşım) \(\mathbb{R}\) üzerinde \(f_n(x) = \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{n^2}}\) dizisinin \(f(x) = |x|\) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösteriniz.
Çözüm
\(u, v \ge 0\) için \(\sqrt{u + v} \le \sqrt{u} + \sqrt{v}\) eşitsizliği geçerlidir; çünkü iki yanın karesi alınınca \(u + v \le u + v + 2\sqrt{uv}\) çıkar. \(u = x^2\) ve \(v = \dfrac{1}{n^2}\) için
\[|x| = \sqrt{x^2} \le \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} \le |x| + \frac{1}{n}\]
olur. Buradan her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[0 \le f_n(x) - |x| \le \frac{1}{n}\]
elde edilir. \(\varepsilon > 0\) verilince \(N = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1\) için \(n \ge N\) ve her \(x \in \mathbb{R}\) için \(\big|f_n(x) - |x|\big| \le \dfrac{1}{n} < \varepsilon\) olur. Öyleyse \(f_n \rightrightarrows |x|\) (\(\mathbb{R}\)).
Her \(f_n\) bütün \(\mathbb{R}\)’de türevlenebilirdir, ama düzgün limit \(|x|\), \(x = 0\) noktasında türevlenebilir değildir. Düzgün yakınsaklık türevlenebilirliği tek başına korumaz; bu konuya Düzgün Yakınsaklık ve Türev bölümünde döneceğiz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 2.5 (Sıfır Yakınında Bozulan Düzgünlük) \(f_n(x) = \dfrac{nx}{1 + nx}\) dizisinin \([0, 1]\) üzerinde noktasal limitine düzgün yakınsamadığını gösteriniz.
Çözüm
Alıştırma 1.2 gereği noktasal limit, \(f(0) = 0\) ve \(0 < x \le 1\) için \(f(x) = 1\) olan fonksiyondur. \(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{4}\) alalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin; \(n_N = N\) ve \(x_N = \dfrac{1}{N} \in (0, 1]\) seçelim. \(f(x_N) = 1\) olduğundan
\[|f_N(x_N) - f(x_N)| = \left| \frac{N \cdot \frac{1}{N}}{1 + N \cdot \frac{1}{N}} - 1 \right| = \left| \frac{1}{2} - 1 \right| = \frac{1}{2} > \frac{1}{4} = \varepsilon_0\]
olur. Önerme 2.2 gereği dizi \([0, 1]\) üzerinde düzgün yakınsamaz. \(\blacksquare\)
Alıştırma 2.6 (Sonlu Kümede İki Yakınsaklık Çakışır) \(E = \{x_1, x_2, \dots, x_k\}\) sonlu bir küme olsun. \(E\) üzerinde noktasal yakınsak her fonksiyon dizisinin düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(f_n \to f\) (noktasal, \(E\)) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Her \(i \in \{1, \dots, k\}\) için noktasal yakınsaklık bir \(N_i = N(\varepsilon, x_i)\) sayısı verir: \(n \ge N_i\) için \(|f_n(x_i) - f(x_i)| < \varepsilon\) olur.
\[N = \max\{N_1, N_2, \dots, N_k\}\]
alalım. Sonlu sayıda doğal sayının maksimumu vardır; bu yüzden \(N\) iyi tanımlıdır ve yalnız \(\varepsilon\)’a bağlıdır. \(n \ge N\) ise her \(i\) için \(n \ge N_i\) olduğundan \(|f_n(x_i) - f(x_i)| < \varepsilon\) sağlanır. Öyleyse \(f_n \rightrightarrows f\) (\(E\)).
Sonsuz kümede bu akıl yürütme çöker: sonsuz çoklukta \(N(\varepsilon, x)\) sayısının bir üst sınırı olmayabilir. Düzgün yakınsaklık tam olarak bu üst sınırın var olmasını ister. \(\blacksquare\)
Tanımla çalışmak her seferinde uygun bir \(N\) ya da uygun \(x_N\) noktaları bulmayı gerektirir. Düzgün Yakınsaklık Ölçütleri bölümünde bu işi kolaylaştıran ölçütleri, özellikle supremum ölçütünü ve Cauchy kriterini kuruyoruz.