7 Vektörler
Hız, kuvvet ya da bir yerden bir yere yer değiştirme gibi nicelikleri tek bir sayıyla anlatamayız: “5 birim” demek yetmez, “hangi yöne?” sorusunun da yanıtı gerekir. Vektör, büyüklük ile yönü tek bir nesnede birleştirir. Bu bölümde vektörü önce geometrik olarak, oklar yardımıyla kuracağız; sonra uzayın dik koordinat sistemini kullanarak her vektörü üç sayıyla yazacağız. Böylece vektörlerle toplama, çıkarma ve bir sayıyla çarpma gibi işlemleri koordinatlar üzerinden yapabileceğiz. Bölümün sonunda lineer bağımlılık ve baz kavramlarıyla uzayın neden “üç boyutlu” olduğunu kesin bir dille ifade edeceğiz.
Uzayda noktaların koordinatlarını ve iki nokta arasındaki uzaklığı Uzayda Dik Koordinat Sistemi bölümünde görmüştük; burada bu araçları doğrudan kullanacağız.
7.1 Yönlü Doğru Parçaları
Bir oku düşünelim: bir kuyruğu, bir de ucu vardır. Vektör kavramının ilk adımı, doğru parçalarına böyle bir yön kazandırmaktır.
Tanım 7.1 (Yönlü doğru parçası) \(A\) ve \(B\), düzlemde ya da uzayda birbirinden farklı iki nokta olsun. \(A\)’dan başlayıp \(B\)’de biten, yani \(A\)’dan \(B\)’ye yönlendirilmiş doğru parçasına yönlü doğru parçası denir ve \(\overrightarrow{AB}\) ile gösterilir. \(A\)’ya başlangıç noktası, \(B\)’ye bitiş noktası denir.
Yani \(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{BA}\) aynı doğru parçası üzerinde durur ama farklı nesnelerdir: \(\overrightarrow{AB}\)’nin oku \(B\)’yi, \(\overrightarrow{BA}\)’nın oku \(A\)’yı gösterir.
Tanım 7.2 (Aynı doğrultulu yönlü doğru parçaları) \(\overrightarrow{AB}\) ve \(\overrightarrow{CD}\) yönlü doğru parçalarının üzerinde bulundukları \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları paralelse (ya da çakışıksa), bu iki yönlü doğru parçasına aynı doğrultulu denir.
Yani doğrultu, okun üzerinde durduğu doğrunun “eğimini” anlatır; okun hangi tarafı gösterdiği bu tanıma girmez. \(d_1 \parallel d_2\) ise \(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{CD}\) aynı doğrultuludur.
Aynı doğrultudaki iki okun gösterdiği taraf aynıysa bu yönlü doğru parçalarına aynı yönlü, zıt taraflarsa zıt (ters) yönlü deriz.
İki yönlü doğru parçasının doğrultuları aynı olduğu hâlde yönleri farklı olabilir. Buna karşılık iki yönlü doğru parçası aynı yönlüyse, aynı doğrultulu olmaları zaten gereklidir: yön karşılaştırması ancak paralel doğrular üzerindeki oklar arasında yapılır. Aşağıdaki şekilde \(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{CD}\) aynı doğrultuludur ama ters yönlüdür.
7.2 Vektör Kavramı
Bir kuvveti anlatırken okun nereden başladığı çoğu zaman önemsizdir; önemli olan okun yönü ve uzunluğudur. Bu sezgiyi, yönü ve uzunluğu aynı olan okları “aynı” saymak için bir bağıntı kurarak kesinleştireceğiz.
Bundan sonra uzunluğu sıfır olan \(\overrightarrow{AA}\) biçimindeki “yozlaşmış” yönlü doğru parçalarını da kümeye katıyoruz; bunların belirli bir yönü yoktur ve hepsini birbirine denk sayıyoruz.
Tanım 7.3 (Yön ve uzunluk bağıntısı) Yönlü doğru parçaları kümesinde \(\sim\) bağıntısı şöyle tanımlanır:
\[ \overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD} \iff \begin{cases} \overrightarrow{AB} \text{ ile } \overrightarrow{CD} \text{ aynı yönlü},\\[1mm] |AB| = |CD|. \end{cases} \]
Yani iki ok, aynı tarafı gösteriyor ve boyları eşitse \(\sim\) bağıntısındadır; başlangıç noktalarının nerede olduğuna bakılmaz.
Önerme 7.1 (Yön ve uzunluk bağıntısı bir denklik bağıntısıdır) \(\sim\) bağıntısı yönlü doğru parçaları kümesinde bir denklik bağıntısıdır:
- (i) \(\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{AB}\) (yansıma),
- (ii) \(\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD} \Rightarrow \overrightarrow{CD} \sim \overrightarrow{AB}\) (simetri),
- (iii) \(\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD}\) ve \(\overrightarrow{CD} \sim \overrightarrow{EF} \Rightarrow \overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{EF}\) (geçişme).
İspat
\(\sim\) bağıntısı iki koşulun birlikte sağlanmasıdır: aynı yönlü olmak ve uzunlukların eşit olması. Her iki koşulun da yansıyan, simetrik ve geçişken olduğunu göstermek yeter.
Yansıma. Bir ok kendisiyle aynı tarafı gösterir ve \(|AB| = |AB|\) olur. Böylece \(\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{AB}\).
Simetri. \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) ile aynı tarafı gösteriyorsa \(\overrightarrow{CD}\) de \(\overrightarrow{AB}\) ile aynı tarafı gösterir. Ayrıca \(|AB| = |CD|\) ise \(|CD| = |AB|\) olur. Böylece \(\overrightarrow{CD} \sim \overrightarrow{AB}\).
Geçişme. \(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{CD}\) aynı yönlü, \(\overrightarrow{CD}\) ile \(\overrightarrow{EF}\) aynı yönlü olsun. Üç okun doğrultusu aynıdır ve \(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{EF}\) ikisi de \(\overrightarrow{CD}\)’nin gösterdiği tarafı gösterir; dolayısıyla birbirleriyle aynı yönlüdür. Uzunluklar için de \(|AB| = |CD|\) ve \(|CD| = |EF|\) eşitliklerinden \(|AB| = |EF|\) çıkar. Böylece \(\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{EF}\).
Yozlaşmış parçalar için üç özellik de doğrudan sağlanır, çünkü hepsi birbirine denktir ve yozlaşmamış hiçbir parçaya denk değildir (uzunlukları farklıdır).
\(\blacksquare\)
Bir kümede tanımlı her denklik bağıntısı, o kümeyi birbirini kesmeyen denklik sınıflarına ayırır: her eleman tam bir sınıfa düşer ve aynı sınıftaki elemanlar birbirine denktir. Vektörü tam olarak bu sınıflar üzerinden tanımlayacağız.
Tanım 7.4 (Vektör) \(\sim\) denklik bağıntısının yönlü doğru parçaları kümesinde belirlediği denklik sınıflarının her birine bir vektör denir. Bir sınıfın içindeki her yönlü doğru parçasına o vektörün bir temsilcisi denir.
Yani bir vektör tek bir ok değil, yönü ve uzunluğu aynı olan bütün okların oluşturduğu ailedir. Bu ailenin herhangi bir üyesini çizmek, vektörü çizmek demektir. Aşağıdaki üç ok aynı vektörün üç temsilcisidir.
Tanım 7.5 (Sıfır vektörü) \(A\) herhangi bir nokta olmak üzere, \(\overrightarrow{AA}\) ile temsil edilen vektöre sıfır vektörü denir ve \(0\) ile gösterilir.
Yani sıfır vektörü, uzunluğu sıfır olan “okların” sınıfıdır; \(\overrightarrow{AA}\), \(\overrightarrow{BB}\), \(\overrightarrow{CC}\), … hepsi aynı vektörü, \(0\)’ı temsil eder.
Bu tanımların vardığı sonuç şudur: bir vektörü belirleyen şey, temsilcisinin başlangıç ve bitiş noktaları değil, yönü ve uzunluğudur.
7.3 Vektörlerin Koordinatları
Vektörleri hesaplarda kullanabilmek için onları sayılarla ifade etmemiz gerekir. Bunun için dik koordinat sistemiyle donatılmış uzaydan noktalar alacağız.
\(A(a_1, a_2, a_3)\) ve \(B(b_1, b_2, b_3)\) uzayda iki nokta olsun. \(\overrightarrow{AB}\) yönlü doğru parçasını
\[ (b_1 - a_1,\ b_2 - a_2,\ b_3 - a_3) \]
sıralı üçlüsüyle eşleyelim; bu üçlü, \(A\)’dan \(B\)’ye giderken her koordinatta ne kadar ilerlediğimizi söyler. Bu eşleme bire bir değildir: birçok farklı yönlü doğru parçası aynı üçlüye karşılık gelebilir.
Örnek 7.1 (Aynı üçlüye giden iki yönlü doğru parçası) \(A(0,0,1)\), \(B(0,1,3)\), \(C(1,0,0)\) ve \(D(1,1,2)\) noktaları veriliyor. \(\overrightarrow{AB}\) ve \(\overrightarrow{CD}\) yönlü doğru parçalarının aynı \((0,1,2)\) üçlüsüyle eşlendiğini gösterin.
Çözüm
Bitiş noktasının koordinatlarından başlangıç noktasınınkileri çıkaralım:
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &\longmapsto (0-0,\ 1-0,\ 3-1) = (0,1,2),\\[1mm] \overrightarrow{CD} &\longmapsto (1-1,\ 1-0,\ 2-0) = (0,1,2). \end{aligned} \]
Başlangıç noktaları farklı olduğu hâlde iki yönlü doğru parçası da \((0,1,2)\)’ye gider. Şekilde görüldüğü gibi bu iki ok paraleldir, aynı yönlüdür ve boyları eşittir.
\(\blacksquare\)
Bu gözlem, koordinat farklarının eşitliğine dayanan ikinci bir bağıntı kurmayı önerir.
Tanım 7.6 (Koordinat farkı bağıntısı) \(A(a_1,a_2,a_3)\), \(B(b_1,b_2,b_3)\), \(C(c_1,c_2,c_3)\) ve \(D(d_1,d_2,d_3)\) olmak üzere
\[ \overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{CD} \iff b_i - a_i = d_i - c_i, \quad i = 1,2,3 \]
biçiminde tanımlanan bağıntıya koordinat farkı bağıntısı diyelim.
Yani iki yönlü doğru parçası, bitiş ile başlangıç noktalarının koordinat farkları tek tek eşitse \(\approx\) bağıntısındadır.
Önerme 7.2 (Koordinat farkı bağıntısı bir denklik bağıntısıdır) \(\approx\) bağıntısı yönlü doğru parçaları kümesinde bir denklik bağıntısıdır.
İspat
Aşağıda her eşitlik \(i = 1, 2, 3\) için ayrı ayrı yazılmıştır; her adımda yalnız reel sayıların eşitliğinin özellikleri kullanılır.
Yansıma. \(b_i - a_i = b_i - a_i\) her zaman doğrudur. Böylece \(\overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{AB}\).
Simetri. \(\overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{CD}\) ise \(b_i - a_i = d_i - c_i\) olur. Eşitliğin iki yanını yer değiştirirsek \(d_i - c_i = b_i - a_i\), yani \(\overrightarrow{CD} \approx \overrightarrow{AB}\) elde edilir.
Geçişme. \(E(e_1,e_2,e_3)\) ve \(F(f_1,f_2,f_3)\) olmak üzere \(\overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{CD}\) ve \(\overrightarrow{CD} \approx \overrightarrow{EF}\) olsun. O zaman
\[ b_i - a_i = d_i - c_i \quad\text{ve}\quad d_i - c_i = f_i - e_i \]
olur. Buradan \(b_i - a_i = f_i - e_i\), yani \(\overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{EF}\) çıkar.
\(\blacksquare\)
Tanım 7.7 (Vektör (koordinat tanımı)) \(\approx\) denklik bağıntısının belirlediği denklik sınıflarının her birine bir vektör denir. \(\overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{CD}\) ise bu iki yönlü doğru parçası aynı vektörü temsil eder.
Yani artık “aynı vektör” demek, “koordinat farkları aynı” demektir. Bu tanım Tanım 7.4 ile aynı sınıfları verir. Bunu görmek için her noktayı aynı \((t_1, t_2, t_3)\) kadar kaydıran ötelemeyi kullanalım: öteleme \(A\)’yı \((a_i + t_i)\)’ye, \(B\)’yi \((b_i + t_i)\)’ye götürür ve \((b_i + t_i) - (a_i + t_i) = b_i - a_i\) olduğundan koordinat farklarını korur. Ötelemenin her oku kendisine paralel, aynı yönlü ve aynı boylu bir oka taşıdığını, ayrıca bir noktadan başlayan, yönü ve boyu verilmiş tek bir ok bulunduğunu geometrik gerçekler olarak kabul ediyoruz.
- \(\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD}\) olsun (iki ok aynı doğru üzerinde değilse \(ABDC\) bir paralelkenardır). \(A\)’yı \(C\)’ye götüren öteleme \(\overrightarrow{AB}\)’yi \(C\)’den başlayan, aynı yönlü ve aynı boylu bir oka taşır; böyle tek ok \(\overrightarrow{CD}\) olduğundan \(B\)’yi \(D\)’ye götürür. Öteleme koordinat farklarını koruduğundan \(\overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{CD}\) olur.
- \(\overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{CD}\) olsun. Koordinat farkları aynı olduğundan uzaklık formülü \(|AB| = |CD|\) verir. \(t_i = c_i - a_i\) ötelemesi \(A\)’yı \(C\)’ye, \(B\)’yi de \(b_i + c_i - a_i = d_i\) koordinatlı \(D\)’ye götürür; demek ki \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{AB}\)’nin ötelenmişidir ve onunla paralel ve aynı yönlüdür. Böylece \(\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD}\).
Bundan sonra hesaplarda koordinat tanımını kullanacağız.
Tanım 7.8 (Bir vektörün koordinatları) \(A(a_1,a_2,a_3)\) ve \(B(b_1,b_2,b_3)\) noktaları için \(\overrightarrow{AB}\) vektörü
\[ \overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1,\ b_2 - a_2,\ b_3 - a_3) \]
üçlüsüyle temsil edilir. \(b_i - a_i\) \((i = 1,2,3)\) sayılarına \(\overrightarrow{AB}\) vektörünün koordinatları denir.
Yani bir vektörün koordinatlarını bulmak için “bitiş eksi başlangıç” hesabı yapılır. Aynı vektörü temsil eden bütün yönlü doğru parçaları aynı koordinatları verir.
Örnek 7.2 (Sıfır vektörünün temsilcileri) \(A(a_1,a_2,a_3)\), \(X(x_1,x_2,x_3)\) ve \(Y(y_1,y_2,y_3)\) uzayda üç nokta olsun. \(\overrightarrow{AA}\) ile \(\overrightarrow{XY}\)’nin aynı vektörü temsil etmesi için \(X = Y\) olması gerektiğini gösterin.
Çözüm
İki yönlü doğru parçasının aynı vektörü temsil etmesi, koordinat farklarının eşit olması demektir:
\[ \overrightarrow{AA} \approx \overrightarrow{XY} \iff a_i - a_i = y_i - x_i, \quad i = 1,2,3. \]
Sol taraf her \(i\) için \(0\)’dır. Demek ki \(y_i - x_i = 0\), yani \(x_1 = y_1\), \(x_2 = y_2\) ve \(x_3 = y_3\) olmalıdır. Bu da \(X = Y\) demektir. Sonuç olarak sıfır vektörünün temsilcileri yalnızca \(\overrightarrow{XX}\) biçimindeki yönlü doğru parçalarıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.3 (Aynı vektörü temsil edecek noktayı bulmak) \(A(1,2,3)\), \(B(6,4,2)\) ve \(D(1,0,-2)\) noktaları veriliyor. \(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{CD}\) aynı vektörü temsil edecek biçimde \(C\) noktasını bulun.
Çözüm
\(C(c_1,c_2,c_3)\) diyelim. \(\overrightarrow{AB}\) ile \(\overrightarrow{CD}\)’nin aynı vektörü temsil etmesi \(\overrightarrow{AB} \approx \overrightarrow{CD}\) demektir; yani koordinat farkları tek tek eşit olmalıdır:
\[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 1 - c_1,\\ 4 - 2 &= 0 - c_2,\\ 2 - 3 &= -2 - c_3. \end{aligned} \]
Birinci denklemden \(5 = 1 - c_1\), yani \(c_1 = -4\). İkinciden \(2 = -c_2\), yani \(c_2 = -2\). Üçüncüden \(-1 = -2 - c_3\), yani \(c_3 = -1\). Buna göre
\[ C = C(-4,-2,-1) \]
olmalıdır. Kontrol edelim: \(\overrightarrow{AB} = (5,2,-1)\) ve
\[ \overrightarrow{CD} = \big(1-(-4),\ 0-(-2),\ -2-(-1)\big) = (5,2,-1). \]
\(\blacksquare\)
Uzayda başlangıç noktası \(O\) özel bir rol oynar: her vektörün \(O\)’dan başlayan tek bir temsilcisi vardır.
Tanım 7.9 (Konum vektörü) \(\mathbb{R}^3\)’te \(O = O(0,0,0)\) başlangıç noktası ve \(P = P(p_1,p_2,p_3)\) herhangi bir nokta olsun.
\[ \overrightarrow{OP} = (p_1 - 0,\ p_2 - 0,\ p_3 - 0) = (p_1, p_2, p_3) \]
vektörüne \(P\) noktasının konum vektörü (yer vektörü) denir.
Yani bir noktanın konum vektörü, başlangıç noktasından o noktaya çizilen oktur ve koordinatları noktanın koordinatlarıyla aynıdır.
\(\mathbb{R}^3\)’te bir \(P\) noktası ile onun \(\overrightarrow{OP}\) konum vektörü aynı koordinatlara sahip olduğundan, noktalar ile vektörler arasında doğal bir eşleme vardır.
Önerme 7.3 (Noktalar ile vektörler arasındaki eşleme) \(\mathbb{R}^3\)’teki bütün noktaların kümesinden bütün vektörlerin kümesine giden
\[ P \longmapsto \overrightarrow{OP} \]
eşlemesi bire bir ve örtendir.
İspat
Bire bir. \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ}\) olsun. Konum vektörlerinin koordinatları noktaların koordinatlarıdır; demek ki \(P\) ile \(Q\)’nun karşılıklı koordinatları eşittir ve \(P = Q\) olur.
Örten. \((u_1,u_2,u_3)\) koordinatlı herhangi bir vektör verilsin. \(P(u_1,u_2,u_3)\) noktasını alırsak \(\overrightarrow{OP} = (u_1,u_2,u_3)\) olur. Böylece her vektör bir noktanın konum vektörüdür.
\(\blacksquare\)
Başlangıç ve bitiş noktalarını belirtmemiz gerekmediğinde vektörleri \(a, b, c, \dots, u, v, w, \dots\) gibi küçük harflerle göstereceğiz. Koordinatları \((u_1, u_2, u_3)\) olan vektörü kısaca \(u = (u_1, u_2, u_3) \in \mathbb{R}^3\) diye yazacağız; burada \(\mathbb{R}^3\), noktaların olduğu kadar vektörlerin de kümesini anlatır.
7.4 Bir Vektörün Uzunluğu
Vektörün iki belirleyicisinden biri uzunluğudur. Bir temsilcinin uçları arasındaki uzaklığı ölçerek bu uzunluğu koordinatlarla hesaplayabiliriz.
Tanım 7.10 (Bir vektörün uzunluğu) \(\mathbb{R}^3\)’te bir yönlü doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki uzaklığa, temsil ettiği vektörün uzunluğu (boyu, büyüklüğü, normu) denir. \(u\) vektörünün uzunluğu \(\|u\|\) ile gösterilir.
Yani \(A(a_1,a_2,a_3)\) ve \(B(b_1,b_2,b_3)\) için uzaydaki uzaklık formülü
\[ \big\|\overrightarrow{AB}\big\| = |AB| = \sqrt{\sum_{i=1}^{3} (b_i - a_i)^2} \]
verir; açık yazılışı
\[ \big\|\overrightarrow{AB}\big\| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} \]
biçimindedir. Aynı vektörün bütün temsilcileri aynı koordinat farklarını verdiğinden bu sayı temsilci seçimine bağlı değildir.
Bazı kitaplarda vektörün uzunluğu \(|u|\) ile de gösterilir. Biz \(|AB|\) gösterimini iki nokta arasındaki uzaklık, \(\|u\|\) gösterimini vektörün uzunluğu için kullanacağız.
Koordinatları \(u = (u_1,u_2,u_3)\) olan bir vektörün temsilcisi \(\overrightarrow{OP}\), \(P(u_1,u_2,u_3)\) alınırsa
\[ \|u\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} = \Big(\sum_{i=1}^{3} u_i^2\Big)^{1/2} \]
bulunur.
Önerme 7.4 (Uzunluğu sıfır olan tek vektör) Her \(u \in \mathbb{R}^3\) için \(\|u\| \geq 0\)’dır ve
\[ \|u\| = 0 \iff u = 0. \]
İspat
Karekök negatif olmayan bir sayı olduğundan \(\|u\| \geq 0\)’dır. Eşitlik durumunu adım adım inceleyelim:
\[ \begin{aligned} \|u\| = 0 &\iff \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} = 0\\ &\iff u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 0\\ &\iff u_1 = 0,\ u_2 = 0,\ u_3 = 0\\ &\iff u = 0. \end{aligned} \]
İkinci adımda, bir sayının karekökünün ancak sayı \(0\) ise \(0\) olduğunu kullandık. Üçüncü adımda, negatif olmayan üç sayının (\(u_i^2 \geq 0\)) toplamının ancak üçü de \(0\) ise \(0\) olduğunu kullandık.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.4 (Uzunluğu verilen vektörleri bulmak) \(x \in \mathbb{R}\) ve \(u = \big(-3x,\ \sqrt{2}\,x,\ \sqrt{5x^2 + 4}\big)\) olmak üzere \(\|u\| = 2\sqrt{17}\) koşulunu sağlayan vektörleri bulun.
Çözüm
Uzunluk pozitif olduğundan, eşitliğin iki yanının karesini almak denk bir koşul verir:
\[ \|u\| = 2\sqrt{17} \iff \|u\|^2 = 68. \]
Uzunluk formülünü yazalım:
\[ \begin{aligned} \|u\|^2 &= (-3x)^2 + \big(\sqrt{2}\,x\big)^2 + \big(\sqrt{5x^2+4}\big)^2\\ &= 9x^2 + 2x^2 + 5x^2 + 4\\ &= 16x^2 + 4. \end{aligned} \]
Buna göre \(16x^2 + 4 = 68\), yani \(16x^2 = 64\) ve \(x^2 = 4\) olur. Buradan \(x = -2\) ya da \(x = 2\) bulunur. (\(5x^2 + 4 > 0\) olduğundan üçüncü koordinat her \(x\) için tanımlıdır.)
\(x = -2\) ve \(x = 2\) değerlerini koordinatlarda yerine koyalım (\(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)):
\[ \begin{aligned} x = -2:&\quad u' = \big(6,\ -2\sqrt{2},\ 2\sqrt{6}\big),\\[1mm] x = 2:&\quad u'' = \big(-6,\ 2\sqrt{2},\ 2\sqrt{6}\big). \end{aligned} \]
İstenen vektörler bu \(u'\) ve \(u''\) vektörleridir. Kontrol: iki vektör için de koordinatların kareleri toplamı \(36 + 8 + 24 = 68\)’dir.
\(\blacksquare\)
7.5 Vektör Cebri
Vektörleri koordinatlarıyla yazabildiğimize göre, onlarla sayılar gibi hesap yapabiliriz. Bu kesimde eşitlik, toplama ve bir sayıyla çarpma işlemlerini tanımlayıp temel özelliklerini göreceğiz.
İki Vektörün Eşitliği
Eşitlik, vektörlerle yapılan her hesabın temelidir; koordinatlar üzerinden çok basit bir biçim alır.
Tanım 7.11 (İki vektörün eşitliği) \(u = (u_1,u_2,u_3)\) ve \(v = (v_1,v_2,v_3) \in \mathbb{R}^3\) olsun.
\[ u = v \iff (u_1,u_2,u_3) = (v_1,v_2,v_3) \iff u_i = v_i,\ i = 1,2,3. \]
Yani iki vektörün eşit olması, temsilcilerinin aynı denklik sınıfında bulunması demektir. Geometrik olarak bu, iki vektörün yönlerinin aynı ve uzunluklarının eşit olmasıdır.
Örnek 7.5 (Bir yönlü doğru parçasının verilen vektörü temsil etmesi) \(A(x,\ x+1,\ x-1)\) ve \(B(2x,\ y,\ z)\) noktaları veriliyor. \(\overrightarrow{AB}\)’nin \(u = (1,-4,3)\) vektörünün bir temsilcisi olması için \(x\), \(y\), \(z\) ne olmalıdır?
Çözüm
Önce \(\overrightarrow{AB}\)’nin koordinatlarını “bitiş eksi başlangıç” ile bulalım:
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \big(2x - x,\ y - (x+1),\ z - (x-1)\big)\\ &= (x,\ y - x - 1,\ z - x + 1). \end{aligned} \]
\(\overrightarrow{AB} = u\) olması koordinatların tek tek eşit olması demektir:
\[ x = 1, \qquad y - x - 1 = -4, \qquad z - x + 1 = 3. \]
Birinci denklem \(x = 1\) verir. Bunu ikincide yerine koyarsak \(y - 2 = -4\), yani \(y = -2\). Üçüncüde yerine koyarsak \(z = 3\) bulunur. Sonuç: \(x = 1\), \(y = -2\), \(z = 3\); bu durumda \(A(1,2,0)\) ve \(B(2,-2,3)\) olur.
\(\blacksquare\)
İki Vektörün Toplamı
İki yer değiştirmeyi art arda yapmak tek bir yer değiştirmeye denktir. Vektörlerin toplamı bu fikrin koordinatlardaki karşılığıdır.
Tanım 7.12 (Vektörlerin toplamı) \(u = (u_1,u_2,u_3)\) ve \(v = (v_1,v_2,v_3) \in \mathbb{R}^3\) olsun.
\[ \begin{aligned} + : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 &\longrightarrow \mathbb{R}^3\\ (u, v) &\longmapsto u + v = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2,\ u_3 + v_3) \end{aligned} \]
biçiminde tanımlanan işleme vektörlerin toplama işlemi denir.
Yani vektörler karşılıklı koordinatları toplanarak toplanır. Geometrik olarak \(u + v\)’yi bulmak için \(v\)’nin temsilcisini \(u\)’nun bittiği yerden başlatırız; \(u\)’nun başlangıcından \(v\)’nin ucuna giden ok \(u + v\)’dir.
Bu geometrik kural, noktalarla yazıldığında çok kullanışlı bir eşitliğe dönüşür.
Önerme 7.5 (Üçgen kuralı) Uzayda herhangi \(A\), \(B\), \(C\) noktaları için
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
İspat
\(A(a_1,a_2,a_3)\), \(B(b_1,b_2,b_3)\), \(C(c_1,c_2,c_3)\) olsun. Toplamayı koordinat koordinat yaparsak, her \(i = 1,2,3\) için
\[ (b_i - a_i) + (c_i - b_i) = c_i - a_i \]
olur, çünkü \(b_i\) terimleri birbirini götürür. Sağ taraf \(\overrightarrow{AC}\)’nin \(i\). koordinatıdır. Böylece \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
\(\blacksquare\)
Önerme 7.6 (Paralelkenar kuralı) \(ABCD\) bir paralelkenar, \(u = \overrightarrow{AB}\) ve \(v = \overrightarrow{AD}\) olsun. O zaman
\[ u + v = \overrightarrow{AC} \]
olur; yani iki vektörün toplamı, bu vektörlerin ortak başlangıç noktasından çizilen temsilcileri üzerine kurulan paralelkenarın köşegenidir.
İspat
Paralelkenarda karşılıklı kenarlar paralel ve eşit uzunluktadır; ayrıca \(\overrightarrow{AD}\) ile \(\overrightarrow{BC}\) aynı tarafı gösterir. Demek ki bu iki yönlü doğru parçası aynı vektörü temsil eder: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = v\). Üçgen kuralından (Önerme 7.5)
\[ u + v = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
\(\blacksquare\)
Örnek 7.6 (Toplam eşitliğinden bilinmeyenleri bulmak) \(u = (-x,\ 2x+1,\ x^3 + y - 1)\), \(v = (-3,\ 1,\ 5)\) ve \(w = \big(2x,\ \sqrt{3}\,y,\ z\big)\) vektörleri veriliyor. \(u + v = w\) ise \(x\), \(y\), \(z\) ne olmalıdır?
Çözüm
Önce toplamı koordinat koordinat hesaplayalım:
\[ u + v = \big(-x - 3,\ 2x + 2,\ x^3 + y + 4\big). \]
\(u + v = w\) eşitliği üç denklem verir:
\[ -x - 3 = 2x, \qquad 2x + 2 = \sqrt{3}\,y, \qquad x^3 + y + 4 = z. \]
Birinci denklemden \(3x = -3\), yani \(x = -1\). İkincide yerine koyarsak \(2(-1) + 2 = 0 = \sqrt{3}\,y\), yani \(y = 0\). Üçüncüde yerine koyarsak \(z = (-1)^3 + 0 + 4 = 3\). Sonuç: \(x = -1\), \(y = 0\), \(z = 3\).
\(\blacksquare\)
Bir Vektörün Skalerle Çarpımı
Bir oku iki katına uzatmak ya da ters çevirmek, vektörü bir sayıyla çarpmaktır. Vektörlerle birlikte kullanılan reel sayılara skaler denir.
Tanım 7.13 (Skalerle çarpma) \(u = (u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) olsun.
\[ \begin{aligned} \cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 &\longrightarrow \mathbb{R}^3\\ (\lambda, u) &\longmapsto \lambda u = (\lambda u_1,\ \lambda u_2,\ \lambda u_3) \end{aligned} \]
biçiminde tanımlanan işleme bir vektörün skalerle çarpımı denir.
Yani vektörü bir skalerle çarpmak, her koordinatı o skalerle çarpmaktır. \(\lambda \cdot u\) yerine kısaca \(\lambda u\) yazarız.
Önerme 7.7 (Skalerle çarpımın uzunluğu) Her \(\lambda \in \mathbb{R}\) ve \(u \in \mathbb{R}^3\) için
\[ \|\lambda u\| = |\lambda|\,\|u\|. \]
İspat
Uzunluk formülünü \(\lambda u = (\lambda u_1, \lambda u_2, \lambda u_3)\) vektörüne uygulayalım:
\[ \begin{aligned} \|\lambda u\| &= \sqrt{(\lambda u_1)^2 + (\lambda u_2)^2 + (\lambda u_3)^2}\\ &= \sqrt{\lambda^2\,(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)}\\ &= \sqrt{\lambda^2}\,\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\\ &= |\lambda|\,\|u\|. \end{aligned} \]
İkinci adımda \(\lambda^2\) ortak çarpan olarak dışarı alındı; üçüncü adımda negatif olmayan iki sayının çarpımının karekökü, kareköklerin çarpımına ayrıldı; son adımda \(\sqrt{\lambda^2} = |\lambda|\) kullanıldı.
\(\blacksquare\)
Önerme 7.8 (Skalerle çarpımın yönü) \(u \neq 0\) ve \(\lambda \neq 0\) olsun. \(\lambda u\) ile \(u\) aynı doğrultudadır ve
- \(\lambda > 0\) ise \(\lambda u\) ile \(u\) aynı yönlüdür,
- \(\lambda < 0\) ise \(\lambda u\) ile \(u\) zıt yönlüdür.
İspat
\(u\)’nun temsilcisi \(\overrightarrow{AB}\) olsun; koordinatlarda \(b_i = a_i + u_i\). \(\lambda u\)’nun \(A\)’dan başlayan temsilcisinin bitiş noktası \(B'\), koordinatları \(a_i + \lambda u_i\) olan noktadır. Uzaklık formülüyle üç uzaklığı hesaplayalım. \(B'\) ile \(A\)’nın koordinat farkları \(\lambda u_i\), \(B'\) ile \(B\)’ninkiler \((\lambda - 1)\,u_i\) olduğundan Önerme 7.7 ile
\[ |AB'| = |\lambda|\,|AB|, \qquad |BB'| = |\lambda - 1|\,|AB| \]
bulunur. Bir de şu geometrik gerçeği kabul ediyoruz: üç nokta için \(|PQ| + |QR| = |PR|\) ise \(Q\), \(PR\) doğru parçasının üzerindedir. \(\lambda\)’nın değerine göre üç durum vardır.
\(0 < \lambda \leq 1\) ise
\[ |AB'| + |B'B| = \lambda|AB| + (1 - \lambda)|AB| = |AB|. \]
Demek ki \(B'\), \(AB\) doğru parçasının üzerindedir (\(\lambda = 1\) ise \(B' = B\)).
\(\lambda > 1\) ise
\[ |AB| + |BB'| = |AB| + (\lambda - 1)|AB| = \lambda|AB| = |AB'|. \]
Demek ki \(B\), \(AB'\) doğru parçasının üzerindedir.
\(\lambda < 0\) ise
\[ |B'A| + |AB| = -\lambda|AB| + |AB| = (1 - \lambda)|AB| = |B'B|. \]
Demek ki \(A\), \(B'B\) doğru parçasının üzerindedir.
Her durumda \(A\), \(B\), \(B'\) aynı doğru üzerindedir; yani \(\lambda u\) ile \(u\) aynı doğrultudadır. İlk iki durumda (\(\lambda > 0\)) \(B\) ile \(B'\), \(A\)’nın aynı tarafındadır: iki ok da \(A\)’dan çıkıp \(B\)’den geçen ışın üzerindedir ve aynı tarafı gösterir. Üçüncü durumda (\(\lambda < 0\)) \(A\), \(B'\) ile \(B\)’nin arasındadır: iki ok \(A\)’dan zıt taraflara gider, yani zıt yönlüdür.
\(\blacksquare\)
Buna göre bir vektörü sıfırdan farklı bir skalerle çarpmak onun doğrultusunu değiştirmez; yalnız uzunluğunu \(|\lambda|\) katına getirir ve \(\lambda < 0\) ise yönünü ters çevirir.
Ters Vektör, Fark ve Paralel Vektörler
Skalerle çarpma sayesinde bir vektörün tersini ve iki vektörün farkını da tanımlayabiliriz.
Tanım 7.14 (Ters vektör ve iki vektörün farkı) \(u = (u_1,u_2,u_3)\) ve \(v \in \mathbb{R}^3\) olsun.
\[ -u = (-1)\,u = (-u_1,\ -u_2,\ -u_3) \]
vektörüne \(u\)’nun ters vektörü, \(u + (-v)\) vektörüne de \(u\) ile \(v\)’nin farkı denir ve \(u - v\) ile gösterilir.
Yani \(-u\), \(u\) ile aynı uzunlukta fakat zıt yönlüdür (Önerme 7.7 ve Önerme 7.8 ile \(\lambda = -1\)). \(u\) ile \(v\) aynı noktadan başlatılırsa \(u - v\), \(v\)’nin ucundan \(u\)’nun ucuna giden oktur, çünkü \(v + (u - v) = u\)’dur: iki yanın \(i\). koordinatları \(v_i + (u_i - v_i) = u_i\) biçiminde eşittir. Üçgen kuralına (Önerme 7.5) göre \(v\)’nin ucundan başlatılan \(u - v\) okunun ucu, \(u\)’nun ucudur.
Önerme 7.9 (Skalerle çarpmanın özel değerleri) Her \(u \in \mathbb{R}^3\) için
\[ 1\,u = u, \qquad 0\,u = 0, \qquad (-1)\,u = -u. \]
İspat
Skalerle çarpmanın tanımını koordinatlara uygulayalım:
\[ \begin{aligned} 1\,u &= (1\cdot u_1,\ 1\cdot u_2,\ 1\cdot u_3) = (u_1,u_2,u_3) = u,\\[1mm] 0\,u &= (0\cdot u_1,\ 0\cdot u_2,\ 0\cdot u_3) = (0,0,0) = 0. \end{aligned} \]
Üçüncü eşitlik \(-u\)’nun tanımıdır (Tanım 7.14).
\(\blacksquare\)
Örnek 7.7 (Bir lineer ifadeyi hesaplamak) \(u = (1,-2,3)\) ve \(v = (-3,4,-1)\) vektörleri veriliyor. \(-3u + 4v\) vektörünü bulun.
Çözüm
Önce her vektörü kendi skaleriyle çarpıp sonra koordinat koordinat toplayalım:
\[ \begin{aligned} -3u + 4v &= -3\,(1,-2,3) + 4\,(-3,4,-1)\\ &= (-3,\ 6,\ -9) + (-12,\ 16,\ -4)\\ &= (-15,\ 22,\ -13). \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Toplam ile fark, aynı paralelkenarın iki köşegenini verir.
Önerme 7.10 (Paralelkenarın köşegen vektörleri) \(u\) ve \(v\) vektörlerinin ortak bir \(A\) noktasından çizilen temsilcileri üzerine \(ABCD\) paralelkenarı kurulsun: \(u = \overrightarrow{AB}\), \(v = \overrightarrow{AD}\). O zaman
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AC} &= u + v, &\quad \overrightarrow{CA} &= -(u + v),\\ \overrightarrow{DB} &= u - v, &\quad \overrightarrow{BD} &= -(u - v). \end{aligned} \]
Yani \(\pm(u + v)\) ve \(\pm(u - v)\) vektörleri, \(u\) ile \(v\) üzerine kurulan paralelkenarın köşegen vektörleridir.
İspat
Paralelkenar kuralından (Önerme 7.6) \(\overrightarrow{AC} = u + v\)’dir. Bir yönlü doğru parçasının ters çevrilmesi koordinatların işaretini değiştirir: \(\overrightarrow{CA}\)’nın koordinatları \(a_i - c_i = -(c_i - a_i)\) olduğundan \(\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -(u + v)\)’dir.
\(A(a_1,a_2,a_3)\), \(B(b_1,b_2,b_3)\), \(D(d_1,d_2,d_3)\) olsun; \(u_i = b_i - a_i\) ve \(v_i = d_i - a_i\)’dir. \(\overrightarrow{DB}\)’nin \(i\). koordinatı
\[ b_i - d_i = (b_i - a_i) - (d_i - a_i) = u_i - v_i \]
olduğundan \(\overrightarrow{DB} = u - v\) bulunur. Yine ters çevirmeyle \(\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB} = -(u - v)\) elde edilir; koordinatlarda bu, \(v - u\) vektörüdür.
\(\blacksquare\)
Skalerle çarpma, paralellik kavramına da cebirsel bir karşılık verir.
Tanım 7.15 (Paralel vektörler) \(u \neq 0\) ve \(v \neq 0\) olsun. \(v = \lambda u\) olacak biçimde bir \(\lambda \in \mathbb{R}\) varsa \(u\) ile \(v\)’ye paralel vektörler denir ve \(u \parallel v\) yazılır:
\[ u \parallel v \iff \exists \lambda \in \mathbb{R}:\ v_i = \lambda u_i,\quad i = 1,2,3. \]
Yani iki vektörün paralel olması için gerek ve yeter koşul, karşılıklı koordinatlarının orantılı olmasıdır. Geometrik olarak \(u\) ile \(v = \lambda u\) aynı doğru üzerinde ya da paralel doğrular üzerinde çizilen yönlü doğru parçalarıyla temsil edilebilir (Önerme 7.8); tersine, paralel doğrular üzerindeki iki okun uzunlukları oranı \(|\lambda|\) ve yön karşılaştırması \(\lambda\)’nın işaretini verir (Önerme 7.11). \(u, v \neq 0\) olduğundan buradaki \(\lambda\) sıfırdan farklıdır. Bu yüzden paralellik simetriktir: \(u \parallel v \iff v \parallel u\), çünkü \(v = \lambda u\) ve \(\lambda \neq 0\) ise \(u = \tfrac{1}{\lambda}\,v\)’dir.
Skalerle çarpımın yönü üzerine önerme (Önerme 7.8), \(\lambda u\)’nun \(u\) ile aynı doğrultulu olduğunu söyler. Bunun tersi de doğrudur: \(u\) ile aynı doğrultulu her vektör, \(u\)’nun bir skaler katıdır.
Önerme 7.11 (Aynı doğrultulu vektör bir skaler kattır) \(u \neq 0\) olsun ve \(x\) vektörü \(u\) ile aynı doğrultulu olsun.
\[ \alpha = \begin{cases} \dfrac{\|x\|}{\|u\|}, & x \text{ ile } u \text{ aynı yönlüyse},\\[3mm] -\dfrac{\|x\|}{\|u\|}, & x \text{ ile } u \text{ zıt yönlüyse} \end{cases} \]
alınırsa (\(x = 0\) için \(\alpha = 0\)) \(x = \alpha u\) olur.
İspat
\(x = 0\) ise \(\alpha = 0\) ve \(0\,u = 0 = x\)’tir (Önerme 7.9). \(x \neq 0\) olsun; o zaman \(\alpha \neq 0\)’dır.
Uzunluk. Önerme 7.7 ile
\[ \|\alpha u\| = |\alpha|\,\|u\| = \frac{\|x\|}{\|u\|}\,\|u\| = \|x\|. \]
Yön. \(x\) ile \(u\) aynı yönlüyse \(\alpha > 0\)’dır ve Önerme 7.8 gereği \(\alpha u\) da \(u\) ile aynı yönlüdür; demek ki \(\alpha u\) ile \(x\) aynı yönlüdür. \(x\) ile \(u\) zıt yönlüyse \(\alpha < 0\)’dır ve \(\alpha u\) da \(u\) ile zıt yönlüdür; aynı doğrultuda \(u\)’nun gösterdiği tarafın tersini gösteren iki ok aynı tarafı gösterir, yani \(\alpha u\) ile \(x\) yine aynı yönlüdür.
Yönü ve uzunluğu aynı olan iki ok \(\sim\) bağıntısındadır (Tanım 7.3), yani aynı vektörü temsil eder. Böylece \(x = \alpha u\).
\(\blacksquare\)
Örnek 7.8 (Paralel iki vektör) \(u = (-1,0,2)\) ve \(v = \big(-\tfrac{1}{3},\ 0,\ \tfrac{2}{3}\big)\) vektörlerinin paralel olduğunu gösterin.
Çözüm
Karşılıklı koordinatları oranlayalım. \(u\)’nun koordinatlarını \(\tfrac{1}{3}\) ile çarparsak
\[ \tfrac{1}{3}\,u = \big(\tfrac{1}{3}\cdot(-1),\ \tfrac{1}{3}\cdot 0,\ \tfrac{1}{3}\cdot 2\big) = \big(-\tfrac{1}{3},\ 0,\ \tfrac{2}{3}\big) = v \]
bulunur. Demek ki \(v = \tfrac{1}{3}\,u\)’dur; \(\lambda = \tfrac{1}{3}\) ile koşul sağlanır ve \(u \parallel v\)’dir. \(\lambda > 0\) olduğundan iki vektör aynı yönlüdür ve \(v\)’nin uzunluğu \(u\)’nunkinin üçte biridir.
\(\blacksquare\)
Toplama ve Skalerle Çarpmanın Özellikleri
Vektör işlemleri, koordinatlar üzerinden reel sayıların işlemlerine indirgendiği için onların bilinen özelliklerini miras alır.
Teorem 7.1 (Toplama ve skalerle çarpmanın özellikleri) \(u = (u_1,u_2,u_3)\), \(v = (v_1,v_2,v_3)\), \(w = (w_1,w_2,w_3) \in \mathbb{R}^3\), \(0 = (0,0,0)\) sıfır vektörü ve \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\) olsun. Aşağıdaki özellikler geçerlidir:
- (i) \(u + v = v + u\) (değişme özelliği).
- (ii) \((u + v) + w = u + (v + w)\) (birleşme özelliği).
- (iii) \(u + 0 = 0 + u = u\)’dur ve \(0\) bu kuralı sağlayan tek vektördür.
- (iv) \(u + (-u) = (-u) + u = 0\)’dır ve her \(u\) için \(-u\) bu özelliği taşıyan tek vektördür.
- (v) \(\lambda_1(\lambda_2 u) = (\lambda_1 \lambda_2)\,u\).
- (vi) \((\lambda_1 + \lambda_2)\,u = \lambda_1 u + \lambda_2 u\).
- (vii) \(\lambda_1(u + v) = \lambda_1 u + \lambda_1 v\).
- (viii) \(1\,u = u\).
İspat
Her özellikte iki vektörün eşitliğini göstermek, karşılıklı koordinatların eşitliğini göstermek demektir (Tanım 7.11). Aşağıda \(i = 1,2,3\) için \(i\). koordinatlara bakıyoruz ve reel sayıların özelliklerini kullanıyoruz.
(i) \(u + v\)’nin \(i\). koordinatı \(u_i + v_i\), \(v + u\)’nunki \(v_i + u_i\)’dir. Reel sayılarda toplama değişmeli olduğundan \(u_i + v_i = v_i + u_i\).
(ii) Sol tarafın \(i\). koordinatı \((u_i + v_i) + w_i\), sağ tarafınki \(u_i + (v_i + w_i)\)’dir. Reel sayılarda toplama birleşmeli olduğundan bu ikisi eşittir.
(iii) \(u + 0\)’ın \(i\). koordinatı \(u_i + 0 = u_i\)’dir; (i) gereği \(0 + u = u + 0\)’dır. Teklik için bir \(z = (z_1,z_2,z_3)\) vektörü bir \(u\) için \(u + z = u\) koşulunu sağlasın. Koordinatlarda \(u_i + z_i = u_i\) olur; iki yandan \(u_i\) çıkarılırsa \(z_i = 0\), yani \(z = 0\) bulunur.
(iv) \(u + (-u)\)’nun \(i\). koordinatı \(u_i + (-u_i) = 0\)’dır; (i) gereği \((-u) + u\) da \(0\)’dır. Teklik için \(u + y = 0\) olsun. Koordinatlarda \(u_i + y_i = 0\), yani \(y_i = -u_i\) olur; demek ki \(y = -u\).
(v) Sol tarafın \(i\). koordinatı \(\lambda_1(\lambda_2 u_i)\), sağ tarafınki \((\lambda_1\lambda_2)\,u_i\)’dir. Reel sayılarda çarpma birleşmeli olduğundan eşittirler.
(vi) Sol tarafın \(i\). koordinatı \((\lambda_1 + \lambda_2)\,u_i\)’dir. Reel sayılarda çarpmanın toplama üzerine dağılmasıyla bu \(\lambda_1 u_i + \lambda_2 u_i\)’ye, yani sağ tarafın \(i\). koordinatına eşittir.
(vii) Sol tarafın \(i\). koordinatı \(\lambda_1(u_i + v_i)\)’dir. Yine dağılma özelliğiyle \(\lambda_1 u_i + \lambda_1 v_i\) olur; bu da sağ tarafın \(i\). koordinatıdır.
(viii) Bu eşitlik Önerme 7.9 içinde gösterildi: \(1 \cdot u_i = u_i\).
\(\blacksquare\)
Örnek 7.9 (Skalerle çarpımın tersi) Bir \(u\) vektörü ve bir \(\alpha\) skaleri için
\[ -(\alpha u) = (-\alpha)\,u = \alpha\,(-u) \]
olduğunu gösterin.
Çözüm
Vektör işlemlerinin (iv) özelliğine (Teorem 7.1) göre \(\alpha u\)’ya eklendiğinde \(0\) veren tek vektör \(-(\alpha u)\)’dur. O hâlde \((-\alpha)u\) ve \(\alpha(-u)\)’nun da \(\alpha u\)’ya eklendiğinde \(0\) verdiğini göstermek yeter.
Özellik (vi) ile \(0\,u = 0\) eşitliğini (Önerme 7.9) kullanırsak
\[ \alpha u + (-\alpha)\,u = \big(\alpha + (-\alpha)\big)\,u = 0\,u = 0. \]
Özellik (vii), (iv) ve \(\alpha\,0 = (\alpha\cdot 0, \alpha\cdot 0, \alpha\cdot 0) = 0\) eşitliğini kullanırsak
\[ \alpha u + \alpha(-u) = \alpha\big(u + (-u)\big) = \alpha\,0 = 0. \]
Böylece \((-\alpha)u\) ve \(\alpha(-u)\) vektörlerinin ikisi de \(\alpha u\)’nun toplamaya göre tersidir. Ters tek olduğundan ikisi de \(-(\alpha u)\)’ya eşittir.
\(\blacksquare\)
Birim Vektör
Çoğu zaman bir vektörün yalnız yönüyle ilgileniriz. Yönü temsil etmenin en temiz yolu, o yönde uzunluğu \(1\) olan vektörü kullanmaktır.
Tanım 7.16 (Birim vektör) Uzunluğu \(1\) birim olan bir vektöre birim vektör denir.
Yani \(e\) birim vektörse \(\|e\| = 1\)’dir. Sıfırdan farklı her vektör, kendi uzunluğuna bölünerek aynı yönde bir birim vektöre dönüştürülebilir.
Önerme 7.12 (Bir vektörü birimleştirmek) \(u \neq 0\) ise
\[ \frac{1}{\|u\|}\,u = \frac{u}{\|u\|} \]
vektörü, \(u\) ile aynı yönlü bir birim vektördür.
İspat
\(u \neq 0\) olduğundan Önerme 7.4 gereği \(\|u\| > 0\)’dır; bu yüzden \(\lambda = \dfrac{1}{\|u\|}\) tanımlı ve pozitiftir. Önerme 7.7 ile
\[ \Big\| \frac{1}{\|u\|}\,u \Big\| = \frac{1}{\|u\|}\,\|u\| = 1 \]
olur. \(\lambda > 0\) olduğundan, Önerme 7.8 gereği bu vektör \(u\) ile aynı yönlüdür.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.10 (Bir vektörü birim hâle getirmek) \(u = \big(2,\ 3,\ 2\sqrt{3}\big)\) vektörünü birim hâle getirin.
Çözüm
Önce uzunluğu hesaplayalım:
\[ \|u\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + \big(2\sqrt{3}\big)^2} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5. \]
Buna göre (Önerme 7.12) \(u\) yönündeki birim vektör
\[ \frac{u}{\|u\|} = \frac{1}{5}\,\big(2,\ 3,\ 2\sqrt{3}\big) = \Big(\frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{2\sqrt{3}}{5}\Big) \]
olur. Kontrol: \(\tfrac{4}{25} + \tfrac{9}{25} + \tfrac{12}{25} = 1\).
\(\blacksquare\)
Koordinat eksenlerinin pozitif yönlerindeki birim vektörler özel bir öneme sahiptir.
Tanım 7.17 (Eksenlerin birim vektörleri) \(x\), \(y\) ve \(z\) koordinat eksenleri üzerinde pozitif yönde alınan birim vektörler sırasıyla
\[ e_1 = (1,0,0), \qquad e_2 = (0,1,0), \qquad e_3 = (0,0,1) \]
ile gösterilir.
Yani \(e_1\), \(e_2\) ve \(e_3\) başlangıç noktasından çıkıp eksenler boyunca birer birim ilerleyen oklardır. Her vektör bu üç vektör cinsinden yazılabilir.
Önerme 7.13 (Bir vektörün eksen birim vektörleri cinsinden yazılışı) Her \(u = (u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3\) vektörü
\[ u = u_1 e_1 + u_2 e_2 + u_3 e_3 \]
biçiminde yazılabilir ve bu yazılış tektir: \(u = a e_1 + b e_2 + c e_3\) ise \(a = u_1\), \(b = u_2\), \(c = u_3\)’tür.
İspat
Skalerle çarpma ve toplama tanımlarını sağdan sola uygulayalım:
\[ \begin{aligned} u_1 e_1 + u_2 e_2 + u_3 e_3 &= u_1(1,0,0) + u_2(0,1,0) + u_3(0,0,1)\\ &= (u_1,0,0) + (0,u_2,0) + (0,0,u_3)\\ &= (u_1,u_2,u_3) = u. \end{aligned} \]
Teklik için \(u = a e_1 + b e_2 + c e_3\) olsun. Aynı hesapla sağ taraf \((a,b,c)\)’dir. İki vektörün eşitliğinden (Tanım 7.11) \(a = u_1\), \(b = u_2\), \(c = u_3\) çıkar.
\(\blacksquare\)
Yani \(\mathbb{R}^3\)’teki her vektör, \(e_1\), \(e_2\) ve \(e_3\)’ün birer skalerle (tam olarak kendi koordinatlarıyla) çarpımlarının toplamı olarak tek türlü belirlidir.
7.6 Lineer Bağımlılık ve Bağımsızlık
Bir önceki önermede her vektörü \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) cinsinden yazdık. Peki başka vektör takımları da bu işi görebilir mi, ve bir takımda “fazladan” vektör olup olmadığını nasıl anlarız? Bu soruların dili lineer bağımlılıktır.
Tanım 7.18 (Lineer toplam) \(u_1, u_2, \dots, u_k \in \mathbb{R}^3\) vektörleri ve \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k \in \mathbb{R}\) skalerleri verilsin.
\[ \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \dots + \lambda_k u_k \]
vektörüne \(u_1, \dots, u_k\) vektörlerinin bir lineer toplamı (lineer birleşimi) denir.
Yani lineer toplam, vektörleri birer skalerle çarpıp toplamaktan elde edilen her vektördür. Örneğin Önerme 7.13, her vektörün \(e_1, e_2, e_3\)’ün bir lineer toplamı olduğunu söyler.
Tanım 7.19 (Lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık) \(u_1, u_2, \dots, u_k \in \mathbb{R}^3\) vektörleri verilsin.
\[ \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \dots + \lambda_k u_k = 0 \]
olacak biçimde hepsi birden sıfır olmayan \(\lambda_1, \dots, \lambda_k \in \mathbb{R}\) varsa bu vektörlere lineer bağımlı denir. Aksi hâlde, yani
\[ \lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_k u_k = 0 \iff \lambda_1 = \dots = \lambda_k = 0 \]
ise bu vektörlere lineer bağımsız denir. Birbirinden farklı vektörlerden oluşan sonlu bir \(S = \{u_1, \dots, u_k\}\) kümesi için de, elemanları lineer bağımlıysa (bağımsızsa) \(S\)’ye lineer bağımlı (bağımsız) denir.
Yani vektörler lineer bağımlıysa, aralarından en az biri ötekiler cinsinden yazılabilir: katsayısı sıfır olmayan bir \(\lambda_j\) için eşitliği \(\lambda_j\)’ye bölüp o vektörü yalnız bırakırız. Lineer bağımsızlık ise “sıfır vektörünü elde etmenin tek yolu bütün katsayıları sıfır almaktır” demektir; takımda gereksiz vektör yoktur.
- \(\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_k u_k = 0\) eşitliğini koordinatlarla yazın.
- Karşılıklı koordinatları eşitleyerek \(\lambda_1, \dots, \lambda_k\) bilinmeyenli homojen denklem sistemini kurun.
- Sistemin yalnız \(\lambda_1 = \dots = \lambda_k = 0\) çözümü varsa vektörler lineer bağımsızdır; sıfırdan farklı bir çözüm bulunursa lineer bağımlıdır.
Örnek 7.11 (Eksen birim vektörlerinin bağımsızlığı) \(e_1 = (1,0,0)\), \(e_2 = (0,1,0)\) ve \(e_3 = (0,0,1)\) vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu gösterin.
Çözüm
Reçeteyi izleyelim:
\(\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \lambda_3 e_3 = 0\) eşitliğini koordinatlarla yazalım:
\[ \begin{aligned} &\lambda_1(1,0,0) + \lambda_2(0,1,0) + \lambda_3(0,0,1) = (0,0,0)\\[1mm] &\iff (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (0,0,0)\\[1mm] &\iff \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0. \end{aligned} \]
Sıfır vektörünü veren tek katsayı seçimi hepsinin sıfır olmasıdır. Buna göre \(e_1\), \(e_2\) ve \(e_3\) lineer bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.12 (Lineer bağımlı üç vektör) \(u = (4,0,-2)\), \(v = \big(1,0,-\tfrac{1}{2}\big)\) ve \(w = (2,0,-1)\) vektörlerinin lineer bağımlı olup olmadığını araştırın.
Çözüm
Adım 1. \(\lambda_1 u + \lambda_2 v + \lambda_3 w = 0\) eşitliğini koordinatlarla yazalım:
\[ \lambda_1(4,0,-2) + \lambda_2\big(1,0,-\tfrac{1}{2}\big) + \lambda_3(2,0,-1) = (0,0,0). \]
Adım 2. Karşılıklı koordinatları eşitleyelim:
\[ \begin{aligned} 4\lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 &= 0,\\ 0\lambda_1 + 0\lambda_2 + 0\lambda_3 &= 0,\\ -2\lambda_1 - \tfrac{1}{2}\lambda_2 - \lambda_3 &= 0. \end{aligned} \]
Adım 3. İkinci denklem her zaman sağlanır. Üçüncü denklem, birincinin \(-\tfrac{1}{2}\) ile çarpılmışıdır; yani sistem aslında tek bir denkleme iner:
\[ 4\lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 = 0. \]
Üç bilinmeyenli tek denklemin sıfırdan farklı çözümleri vardır. Örneğin \(r \neq 0\) olmak üzere \(\lambda_1 = r\), \(\lambda_2 = 2r\) seçersek \(4r + 2r + 2\lambda_3 = 0\), yani \(\lambda_3 = -3r\) bulunur. Demek ki verilen vektörler lineer bağımlıdır ve her \(r \neq 0\) için
\[ ru + 2rv - 3rw = 0 \iff u + 2v - 3w = 0 \]
olur. Kontrol edelim:
\[ u + 2v - 3w = (4 + 2 - 6,\ 0,\ -2 - 1 + 3) = (0,0,0). \]
Bu vektörlerin bağımlılığı geometrik olarak da açıktır: \(u = 2w\) ve \(v = \tfrac{1}{2}w\) olduğundan üçü de aynı doğrultudadır.
\(\blacksquare\)
Önerme 7.14 (Sıfır vektörü içeren takımlar bağımlıdır) \(0\) vektörü her vektörle lineer bağımlıdır. Daha genel olarak, içinde \(0\) bulunan her vektör takımı lineer bağımlıdır.
İspat
\(u_1 = 0\) olsun ve \(u_2, \dots, u_k\) keyfi vektörler olsun. \(\lambda_1 = 1\) ve \(\lambda_2 = \dots = \lambda_k = 0\) seçelim. Önerme 7.9 gereği
\[ 1 \cdot 0 + 0\,u_2 + \dots + 0\,u_k = 0 + 0 + \dots + 0 = 0 \]
olur ve katsayılardan biri (\(\lambda_1 = 1\)) sıfırdan farklıdır. Demek ki takım lineer bağımlıdır. \(k = 2\) alınırsa \(0\)’ın her \(u_2\) vektörüyle lineer bağımlı olduğu elde edilir.
\(\blacksquare\)
İki ve Üç Vektörün Geometrik Yorumu
Lineer bağımlılık cebirsel bir tanımdır, ama uzayda çok somut bir anlamı vardır: iki vektör için “paralel olmak”, üç vektör için “aynı düzleme yatmak”.
Sonuç 7.1 (İki vektörün bağımlılığı ve paralellik) \(u, v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) vektörlerinin lineer bağımlı olması için gerek ve yeter koşul \(u \parallel v\) olmasıdır.
İspat
Bağımlıysa paraleldir. \(u\) ile \(v\) lineer bağımlı olsun. O zaman \((\lambda_1, \lambda_2) \neq (0,0)\) olmak üzere
\[ \lambda_1 u + \lambda_2 v = 0 \]
vardır. Burada \(\lambda_1 \neq 0\)’dır: \(\lambda_1 = 0\) olsaydı \(\lambda_2 \neq 0\) ve \(\lambda_2 v = 0\) olur, iki yan \(\lambda_2\)’ye bölünerek \(v = 0\) bulunurdu; oysa \(v \neq 0\). Aynı nedenle \(\lambda_2 \neq 0\) da olmalıdır, yoksa \(\lambda_1 u = 0\)’dan \(u = 0\) çıkardı. Eşitliği \(\lambda_1\)’e bölüp düzenlersek
\[ u = \lambda v, \qquad \lambda = -\frac{\lambda_2}{\lambda_1} \neq 0 \]
olur. Böylece \(v \parallel u\), paralelliğin simetrisinden de \(u \parallel v\)’dir (Tanım 7.15).
Paralelse bağımlıdır. \(u \parallel v\) olsun. Paralellik simetrik olduğundan \(v \parallel u\)’dur; o zaman \(u = \lambda v\) olacak biçimde bir \(\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) vardır. Buradan
\[ 1\cdot u + (-\lambda)\,v = 0 \]
elde edilir. \(u\)’nun katsayısı \(1 \neq 0\) olduğundan \(u\) ile \(v\) lineer bağımlıdır.
\(\blacksquare\)
Üç vektör için benzer yorumu vermeden önce “aynı düzleme yatmak” kavramını adlandıralım.
Tanım 7.20 (Düzlemdeş vektörler) Ortak bir başlangıç noktasından çizilen temsilcileri aynı düzlemde kalan vektörlere düzlemdeş vektörler denir.
Yani düzlemdeş vektörlerin temsilcileri ortak bir noktadan çizilmek zorunda değildir: keyfi yerlerde çizilen temsilciler aynı düzlemde ya da birbirine paralel düzlemlerde bulunur.
Sonuç 7.2 (Üç vektörün bağımlılığı ve düzlemdeşlik) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) vektörlerinin lineer bağımlı olması için gerek ve yeter koşul \(u\), \(v\), \(w\)’nin düzlemdeş olmasıdır; yani temsilcilerinin aynı düzlemde ya da paralel düzlemlerde bulunmasıdır.
İspat
Temsilcileri ortak bir \(O\) noktasından çizelim; düzlemdeşlik, bu okların bir düzlemde kalmasıdır.
Bağımlıysa düzlemdeştir. \(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımlı olsun. O zaman \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \neq (0,0,0)\) olmak üzere \(\lambda_1 u + \lambda_2 v + \lambda_3 w = 0\) vardır. Vektörlerin adlarını gerekirse değiştirerek \(\lambda_1 \neq 0\) olduğunu varsayabiliriz. Eşitliği \(\lambda_1\)’e bölüp düzenlersek
\[ u = a v + b w, \qquad a = -\frac{\lambda_2}{\lambda_1},\quad b = -\frac{\lambda_3}{\lambda_1} \]
olur. \(av\) ve \(bw\)’nin \(O\)’dan başlayan temsilcileri, \(O\)’dan geçen ve \(v\) ile \(w\)’yu içeren bir \(\mathfrak{D}\) düzleminde kalır (\(v\) ile \(w\) paralelse bu temsilciler bir doğru üzerindedir ve o doğruyu içeren herhangi bir düzlem işimizi görür). Terimlerden biri sıfırsa ya da \(av \parallel bw\) ise toplam bu iki okun ortak doğrusu üzerinde, dolayısıyla yine \(\mathfrak{D}\)’dedir: örneğin \(av = \mu\,bw\) ise \(u = (\mu + 1)\,bw\) olur (Önerme 7.8). Aksi hâlde paralelkenar kuralına göre (Önerme 7.6) \(u = av + bw\), bu iki ok üzerine kurulan paralelkenarın köşegenidir ve yine \(\mathfrak{D}\)’dedir. Demek ki \(u\), \(v\), \(w\) düzlemdeştir.
Düzlemdeşse bağımlıdır. \(u\), \(v\), \(w\)’nin \(O\)’dan çizilen temsilcileri bir \(\mathfrak{D}\) düzleminde kalsın. İki durum vardır.
Durum 1: vektörlerden ikisi paralel. Örneğin \(u \parallel v\) olsun. Paralellik simetrik olduğundan (Tanım 7.15) \(u = \lambda v\) olacak biçimde bir \(\lambda \neq 0\) vardır. \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = -\lambda\), \(\lambda_3 = 0\) seçilirse
\[ \lambda_1 u + \lambda_2 v + \lambda_3 w = u - \lambda v + 0\,w = 0 \]
olur ve \(\lambda_1 \neq 0\) olduğundan \(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımlıdır. Başka iki vektörün paralel olduğu durum aynı biçimde ele alınır.
Durum 2: hiçbir ikisi paralel değil. \(w\)’nin ucu \(W\) olsun, yani \(w = \overrightarrow{OW}\). \(W\)’den geçip \(v\)’ye paralel olan doğruyu çizelim. Bu doğru ile \(O\)’dan geçen \(u\) doğrusu aynı \(\mathfrak{D}\) düzlemindedir ve \(u \nparallel v\) olduğundan paralel değildir; o hâlde tek bir \(Q\) noktasında kesişirler. \(\overrightarrow{OQ}\), \(u\) doğrusu üzerinde olduğundan \(u\) ile aynı doğrultuludur ve Önerme 7.11 gereği bir \(\alpha\) için \(\overrightarrow{OQ} = \alpha u\)’dur. \(\overrightarrow{QW}\) de \(v\)’ye paralel doğru üzerinde olduğundan aynı önerme gereği bir \(\beta\) için \(\overrightarrow{QW} = \beta v\)’dir. Üçgen kuralından
\[ w = \overrightarrow{OW} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QW} = \alpha u + \beta v \]
bulunur. Buradan \(\alpha u + \beta v + (-1)\,w = 0\) elde edilir. \(w\)’nun katsayısı \(-1 \neq 0\) olduğundan \(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımlıdır.
\(\blacksquare\)
7.7 Baz ve Boyut
Her vektörü \(e_1, e_2, e_3\) cinsinden tek türlü yazabildiğimizi gördük. Bu özelliği taşıyan vektör takımlarına baz denir; her bazın tam üç vektörden oluşması, uzayın üç boyutlu olmasının kesin anlamıdır.
Tanım 7.21 (Baz) Boş olmayan sonlu bir \(S \subset \mathbb{R}^3\) kümesi aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa \(S\)’ye \(\mathbb{R}^3\)’te bir baz (taban) denir:
- \(\mathbb{R}^3\)’teki her vektör, \(S\)’deki vektörlerin bir lineer toplamı olarak yazılabilir;
- \(S\) lineer bağımsızdır.
Yani baz, uzaydaki bütün vektörleri üretmeye yeten ama hiç gereksiz eleman içermeyen bir vektör takımıdır.
Teorem 7.2 (Bazlar tam olarak üç vektörlüdür) \(\mathbb{R}^3\)’teki lineer bağımsız her üç vektör bir baz oluşturur. Tersine, \(\mathbb{R}^3\)’teki her baz lineer bağımsız üç vektörden oluşur.
İspat
Lineer bağımsız üç vektör bir bazdır. \(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımsız olsun. Bağımsızlık koşulu zaten sağlandığından, her \(x\) vektörünün \(u, v, w\)’nin bir lineer toplamı olduğunu göstermek yeter.
Önce üç gözlem yapalım. Vektörlerin hiçbiri \(0\) değildir (Önerme 7.14). Hiçbir ikisi paralel değildir: örneğin \(u = \lambda v\) olsaydı \(u - \lambda v + 0\,w = 0\) sıfırdan farklı bir katsayıyla sağlanırdı. Üçü düzlemdeş değildir (Sonuç 7.2).
Şimdi \(u\), \(v\), \(w\), \(x\)’in temsilcilerini ortak bir \(O\) noktasından çizelim ve \(x = \overrightarrow{OX}\) diyelim. \(u\) ile \(v\) paralel olmadığından, \(O\)’dan geçen ve \(u\) ile \(v\)’yi içeren tek bir \(\mathfrak{D}\) düzlemi vardır. \(w\) bu düzleme paralel değildir (yoksa \(u, v, w\) düzlemdeş olurdu); bu yüzden \(X\)’ten geçip \(w\)’ya paralel olan doğru \(\mathfrak{D}\)’yi tek bir \(P\) noktasında keser. \(\overrightarrow{PX}\) bu doğru üzerinde olduğundan \(w\) ile aynı doğrultuludur ve Önerme 7.11 gereği bir \(\gamma\) için \(\overrightarrow{PX} = \gamma w\)’dur (\(P = X\) ise \(\gamma = 0\)).
\(\overrightarrow{OP}\) ise \(\mathfrak{D}\) düzlemindedir. \(P\)’den geçip \(v\)’ye paralel olan doğru, \(u\) doğrusunu tek bir \(Q\) noktasında keser (ikisi de \(\mathfrak{D}\)’de ve paralel değiller). Üç vektörün düzlemdeşliği üzerine verilen sonucun (Sonuç 7.2) ispatındaki gibi, Önerme 7.11 gereği \(\overrightarrow{OQ} = \alpha u\) ve \(\overrightarrow{QP} = \beta v\) olacak biçimde \(\alpha\), \(\beta\) vardır. Üçgen kuralını iki kez uygularsak
\[ x = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QP} + \overrightarrow{PX} = \alpha u + \beta v + \gamma w \]
bulunur. Böylece \(\{u, v, w\}\) bir bazdır.
Her baz lineer bağımsız üç vektörden oluşur. \(S\) bir baz olsun.
\(S\) en az üç vektör içerir. \(S\)’de bir ya da iki vektör olduğunu varsayalım. Bu vektörlerin bütün lineer toplamları, \(O\)’dan çizildiğinde, \(O\)’dan geçen ve \(S\)’nin vektörlerini içeren bir \(\mathfrak{D}\) düzleminde kalır (paralelkenar kuralı). \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\)’ün üçü birden \(\mathfrak{D}\)’de olamaz; olsalardı düzlemdeş olurlar ve Sonuç 7.2 gereği lineer bağımlı olurlardı, oysa bağımsız oldukları gösterilmişti (Örnek 7.11). \(\mathfrak{D}\)’de olmayan \(e_j\), \(S\)’nin vektörlerinin bir lineer toplamı olarak yazılamaz; bu da bazın birinci koşuluna aykırıdır.
\(S\) en çok üç vektör içerir. \(S\)’de birbirinden farklı dört vektör \(s_1, s_2, s_3, s_4\) bulunduğunu varsayalım. \(s_1, s_2, s_3\) lineer bağımsızdır: \(\lambda_1 s_1 + \lambda_2 s_2 + \lambda_3 s_3 = 0\) ise buna \(0\,s_4\) ekleyerek \(S\)’nin elemanları arasında bir bağıntı elde ederiz ve \(S\) bağımsız olduğundan \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\) olur. Öyleyse ilk kısım gereği \(\{s_1, s_2, s_3\}\) bir bazdır ve \(s_4 = a s_1 + b s_2 + c s_3\) yazılabilir. Buradan
\[ a s_1 + b s_2 + c s_3 + (-1)\,s_4 = 0 \]
çıkar; \(s_4\)’ün katsayısı \(-1 \neq 0\) olduğundan \(S\) lineer bağımlıdır. Bu, bazın ikinci koşuluna aykırıdır.
Demek ki \(S\) tam üç vektörden oluşur ve bu üç vektör, bazın tanımı gereği lineer bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Tanım 7.22 (Boyut) Bir bazdaki vektörlerin sayısına boyut denir.
Yani \(\mathbb{R}^3\)’ün boyutu \(3\)’tür. Bu tanımın anlamlı olması, farklı bazların farklı sayıda vektör içerememesine bağlıdır; Teorem 7.2 tam olarak bunu güvence altına alır: \(\mathbb{R}^3\)’ün her bazında üç vektör vardır.
Sonuç 7.3 (Dört ya da daha çok vektör bağımlıdır) \(\mathbb{R}^3\)’teki dört ya da daha çok sayıda vektör lineer bağımlıdır.
İspat
\(u_1, u_2, \dots, u_k\) vektörleri verilsin ve \(k \geq 4\) olsun. İki durum vardır.
\(u_1, u_2, u_3\) lineer bağımlıysa, hepsi birden sıfır olmayan \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) ile \(\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0\) vardır. Kalan vektörlerin katsayılarını \(0\) alırsak bütün takım için sıfırdan farklı katsayılı bir bağıntı elde ederiz.
\(u_1, u_2, u_3\) lineer bağımsızsa, Teorem 7.2 gereği bir baz oluştururlar. O hâlde \(u_4 = a u_1 + b u_2 + c u_3\) yazılabilir ve
\[ a u_1 + b u_2 + c u_3 + (-1)\,u_4 + 0\,u_5 + \dots + 0\,u_k = 0 \]
olur. \(u_4\)’ün katsayısı \(-1 \neq 0\) olduğundan takım lineer bağımlıdır.
\(\blacksquare\)
Eksen birim vektörleri, en çok kullanılan bazı oluşturur.
Önerme 7.15 (Eksen birim vektörleri bir bazdır) \(\{e_1, e_2, e_3\}\) kümesi \(\mathbb{R}^3\)’ün bir bazıdır.
İspat
\(e_1\), \(e_2\), \(e_3\)’ün lineer bağımsız olduğunu gördük (Örnek 7.11). Önerme 7.13 de her vektörün bu üç vektörün bir lineer toplamı olduğunu söyler. Bazın iki koşulu da sağlanır. (Aynı sonuç, lineer bağımsız üç vektör olmalarından Teorem 7.2 ile de çıkar.)
\(\blacksquare\)
Bu bazın vektörleri ayrıca birim vektördür, \(\|e_1\| = \|e_2\| = \|e_3\| = 1\). Üstelik her biri bir koordinat ekseni üzerinde durur ve koordinat eksenleri birbirine dik olduğundan bu üç vektörü ikişer ikişer dik sayarız: \(e_1 \perp e_2\), \(e_1 \perp e_3\), \(e_2 \perp e_3\). Vektörleri birim uzunlukta olan ve birbirine dik doğrular üzerinde duran bir baza ortonormal baz denir. Vektörlerin dikliğini koordinatlarla ifade etmeyi İç Çarpım bölümünde öğreneceğiz.
Tanım 7.23 (Standart baz) Vektörleri birim uzunlukta olan ve koordinat eksenleri birbirine dik olduğundan ikişer ikişer dik olan, yani ortonormal bir baz olan \(\{e_1, e_2, e_3\}\) kümesine \(\mathbb{R}^3\)’ün standart bazı denir.
Yani bir vektörün “koordinatları” dediğimiz sayılar, onun standart baz cinsinden yazılışındaki katsayılardır:
\[ u = (u_1, u_2, u_3) = u_1 e_1 + u_2 e_2 + u_3 e_3. \]
7.8 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalar, üçgen kuralını, lineer toplamları ve lineer bağımsızlık testini çalıştırır.
Alıştırma 7.1 (Yönlü doğru parçalarıyla birleşme özdeşliği) Uzayda herhangi \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) noktaları için
\[ \big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\big) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \big(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\big) \]
özdeşliğini doğrulayın.
Çözüm
İki tarafı ayrı ayrı üçgen kuralıyla (Önerme 7.5) sadeleştirelim.
Sol taraf. Parantezin içi \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)’dir. O hâlde
\[ \big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\big) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}. \]
Sağ taraf. Parantezin içi \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD}\)’dir. O hâlde
\[ \overrightarrow{AB} + \big(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\big) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}. \]
İki taraf da \(\overrightarrow{AD}\)’ye eşit olduğundan özdeşlik doğrudur. Bu, vektör işlemlerinin birleşme özelliğinin (Teorem 7.1) \(u = \overrightarrow{AB}\), \(v = \overrightarrow{BC}\), \(w = \overrightarrow{CD}\) için geometrik görünümüdür: hangi iki oku önce birleştirirsek birleştirelim, \(A\)’dan \(D\)’ye varırız.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.2 (Ağırlık merkezine giden vektörlerin toplamı) Bir \(ABC\) üçgeninin ağırlık merkezi \(G\) olsun.
\[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 0 \]
olduğunu gösterin.
Çözüm
\(BC\) kenarının orta noktası \(M\) olsun. Ağırlık merkezi, kenarortayları köşeden itibaren \(2:1\) oranında böler (Önerme 2.2; orada düzlemde gösterildi, üçgen bir düzlemde yattığından uzayda da geçerlidir); yani \(G\), \(AM\) kenarortayı üzerindedir ve \(|AG| = 2\,|GM|\)’dir.
Adım 1: \(\overrightarrow{GA}\)’yı \(\overrightarrow{GM}\) cinsinden yazalım. \(\overrightarrow{GA}\) ile \(\overrightarrow{GM}\) aynı doğru üzerindedir ve \(G\) noktası \(A\) ile \(M\)’nin arasında olduğundan zıt yönlüdür. Uzunluklar oranı \(\|\overrightarrow{GA}\| / \|\overrightarrow{GM}\| = 2\) olduğundan Önerme 7.11 gereği
\[ \overrightarrow{GA} = -2\,\overrightarrow{GM}. \]
Adım 2: \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\)’yi hesaplayalım. Üçgen kuralından \(\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB}\) ve \(\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MC}\)’dir. \(M\), \(BC\)’nin orta noktası olduğundan \(\overrightarrow{MB}\) ile \(\overrightarrow{MC}\) eşit uzunlukta ve zıt yönlüdür: \(\overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{MB}\). Buna göre
\[ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\,\overrightarrow{GM} + \big(\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MB}\big) = 2\,\overrightarrow{GM}. \]
Adım 3: Toplayalım.
\[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -2\,\overrightarrow{GM} + 2\,\overrightarrow{GM} = 0. \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.3 (Bir vektörü verilen vektörlerin lineer toplamı olarak yazmak) \(\mathbb{R}^3\)’te \((1,0,0)\) vektörünü \((0,1,1)\), \((1,0,1)\) ve \((1,1,0)\) vektörlerinin bir lineer toplamı olarak yazın.
Çözüm
\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}\) olmak üzere
\[ \lambda_1(0,1,1) + \lambda_2(1,0,1) + \lambda_3(1,1,0) = (1,0,0) \]
olacak biçimde katsayılar arıyoruz. Sol tarafı açalım:
\[ \begin{aligned} &(0, \lambda_1, \lambda_1) + (\lambda_2, 0, \lambda_2) + (\lambda_3, \lambda_3, 0)\\ &\quad = (\lambda_2 + \lambda_3,\ \lambda_1 + \lambda_3,\ \lambda_1 + \lambda_2). \end{aligned} \]
Karşılıklı koordinatları eşitleyelim:
\[ \begin{aligned} \lambda_2 + \lambda_3 &= 1, && (1)\\ \lambda_1 + \lambda_3 &= 0, && (2)\\ \lambda_1 + \lambda_2 &= 0. && (3) \end{aligned} \]
Üç denklemi taraf tarafa toplarsak \(2(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) = 1\), yani
\[ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = \tfrac{1}{2} \qquad (4) \]
bulunur. Şimdi (4)’ten sırayla (1), (2), (3)’ü çıkaralım:
- − (1): \(\lambda_1 = \tfrac{1}{2} - 1 = -\tfrac{1}{2}\),
- − (2): \(\lambda_2 = \tfrac{1}{2} - 0 = \tfrac{1}{2}\),
- − (3): \(\lambda_3 = \tfrac{1}{2} - 0 = \tfrac{1}{2}\).
Böylece
\[ (1,0,0) = -\tfrac{1}{2}(0,1,1) + \tfrac{1}{2}(1,0,1) + \tfrac{1}{2}(1,1,0) \]
yazılabilir. Kontrol için sağ tarafı koordinat koordinat toplayalım:
\[ \big(0 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2},\ -\tfrac{1}{2} + 0 + \tfrac{1}{2},\ -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + 0\big) = (1,0,0). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.4 (İki vektörün lineer bağımsızlığı) \(\mathbb{R}^3\)’te \((-1,1,0)\) ve \((0,1,2)\) vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu gösterin.
Çözüm
\(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\) olmak üzere sıfır vektörünü veren lineer toplamı yazalım:
\[ \lambda_1(-1,1,0) + \lambda_2(0,1,2) = (0,0,0). \]
Sol tarafı açıp koordinat koordinat toplarsak
\[ \begin{aligned} &(-\lambda_1,\ \lambda_1,\ 0) + (0,\ \lambda_2,\ 2\lambda_2)\\ &\quad = (-\lambda_1,\ \lambda_1 + \lambda_2,\ 2\lambda_2) = (0,0,0) \end{aligned} \]
bulunur.
Birinci koordinattan \(\lambda_1 = 0\), üçüncü koordinattan \(\lambda_2 = 0\) bulunur; ikinci koordinat da bu değerlerle sağlanır. Sıfır vektörünü veren tek seçim \(\lambda_1 = \lambda_2 = 0\) olduğundan verilen vektörler lineer bağımsızdır.
Bu sonucu Sonuç 7.1 ile de görebiliriz: \((0,1,2) = \lambda(-1,1,0)\) olsaydı birinci koordinattan \(\lambda = 0\), ikinci koordinattan \(\lambda = 1\) çıkardı; bu çelişki, vektörlerin paralel olmadığını gösterir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.5 (Üç vektörün lineer bağımsızlığı) \(\mathbb{R}^3\)’te \((0,1,1)\), \((0,2,1)\) ve \((1,5,3)\) vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu gösterin.
Çözüm
\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}\) olmak üzere
\[ \lambda_1(0,1,1) + \lambda_2(0,2,1) + \lambda_3(1,5,3) = (0,0,0) \]
olsun. Sol taraf koordinat koordinat toplanırsa
\[ \big(\lambda_3,\ \lambda_1 + 2\lambda_2 + 5\lambda_3,\ \lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3\big) = (0,0,0) \]
bulunur. Buradan
\[ \begin{aligned} \lambda_3 &= 0,\\ \lambda_1 + 2\lambda_2 + 5\lambda_3 &= 0,\\ \lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3 &= 0 \end{aligned} \]
sistemi elde edilir. Birinci denklem \(\lambda_3 = 0\) verir. Bunu yerine koyarsak \(\lambda_1 + 2\lambda_2 = 0\) ve \(\lambda_1 + \lambda_2 = 0\) kalır. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkarırsak \(\lambda_2 = 0\), sonra \(\lambda_1 = 0\) bulunur. Tek çözüm \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\) olduğundan verilen vektörler lineer bağımsızdır; Teorem 7.2 gereği bir baz da oluştururlar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.6 (Negatif eksen birim vektörleriyle yazılış) \(\mathbb{R}^3\)’teki her vektörün \((-1,0,0)\), \((0,-1,0)\) ve \((0,0,-1)\) vektörlerinin bir lineer toplamı olarak yazılabileceğini gösterin.
Çözüm
\(u = (u_1,u_2,u_3)\) keyfi bir vektör olsun. \(u\)’nun verilen vektörlerin bir lineer toplamı olarak yazılması,
\[ \begin{aligned} (u_1,u_2,u_3) = {}&\lambda_1(-1,0,0) + \lambda_2(0,-1,0)\\ &+ \lambda_3(0,0,-1) \end{aligned} \]
olacak biçimde \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) reel sayılarının var olması demektir. Sağ taraf \((-\lambda_1, -\lambda_2, -\lambda_3)\)’tür; karşılıklı koordinatları eşitlersek
\[ u_1 = -\lambda_1, \qquad u_2 = -\lambda_2, \qquad u_3 = -\lambda_3, \]
yani \(\lambda_1 = -u_1\), \(\lambda_2 = -u_2\), \(\lambda_3 = -u_3\) bulunur. Bu sayılar her \(u\) için vardır; dolayısıyla
\[ u = -u_1(-1,0,0) - u_2(0,-1,0) - u_3(0,0,-1) \]
yazılabilir. Aslında verilen vektörler \(-e_1\), \(-e_2\), \(-e_3\)’tür ve bu eşitlik \(u = u_1 e_1 + u_2 e_2 + u_3 e_3\) yazılışının (Önerme 7.13) işaretleri yeniden düzenlenmiş hâlidir.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde vektörlerle toplama ve skalerle çarpma yapmayı, lineer bağımsızlığı ve bazı öğrendik. Ancak henüz iki vektör arasındaki açıyı ya da dikliği ölçen bir aracımız yok. Bir sonraki bölüm İç Çarpım, iki vektörden bir sayı üreten bu işlemi tanıtarak uzunluk, açı ve diklik kavramlarını aynı çatı altında toplayacak.