10 Uzayda Doğru Denklemleri
Düzlemde bir doğruyu belirlemek için bir noktası ile eğimi yetiyordu (Düzlemde Doğru Denklemleri). Uzayda ise eğim tek başına bir anlam taşımaz: bir doğrunun uzaydaki doğrultusunu tek bir sayıyla anlatamayız. Bu işi bir vektöre yaptıracağız. Doğrunun bir noktasını ve doğruya paralel bir vektörü bilirsek, doğrunun her noktasına o noktadan başlayıp bu vektörün katları kadar ilerleyerek ulaşabiliriz.
Bu bölümde önceki bölümlerde kurduğumuz araçları kullanacağız: konum vektörü, paralel vektörler, iç çarpımla diklik ve vektörel çarpım. Önce bir doğrunun üç farklı biçimde yazılan denklemlerini kuracağız: vektörel, parametrik ve kartezyen denklemler. Sonra iki noktası verilen doğruyu, iki doğrunun paralelliğini ve dikliğini inceleyeceğiz. Bölümün sonunda doğrultman vektörünün sıfır olan bileşenlerinin doğrunun koordinat eksenlerine göre durumu hakkında ne söylediğine bakacağız.
10.1 Doğrultman vektörü
Bir doğrunun “hangi yöne uzandığını” bir vektörle anlatacağız. Bunun için doğru üzerinde çizilebilen yönlü doğru parçalarıyla aynı doğrultudaki vektörleri kullanırız.
Tanım 10.1 (Doğrultman vektörü) \(d\) uzayda bir doğru ve \(v = (a, b, c)\) sıfırdan farklı bir vektör olsun. \(d\) üzerindeki farklı herhangi iki \(A\), \(B\) noktası için \(v\) ile \(\overrightarrow{AB}\) aynı doğrultulu ise (Tanım 7.2) \(v\) vektörüne \(d\) doğrusuna paralel bir vektör denir. Böyle bir \(v\) vektörüne \(d\) doğrusunun doğrultman vektörü (doğrultu vektörü) ya da kısaca doğrultmanı denir.
Yani doğrultman vektörü, doğrunun üzerinde ya da ona paralel bir doğru üzerinde çizilebilen bir oktur. Bu koşul bir çift için sağlanıyorsa her çift için sağlanır, çünkü \(d\) üzerindeki bütün yönlü doğru parçaları aynı doğru üzerindedir. Tanımda \(v \neq 0\) olması, yani \[ (a, b, c) \neq (0, 0, 0) \] olması şarttır: sıfır vektörünün bir doğrultusu yoktur, dolayısıyla bir doğrunun nereye uzandığını söyleyemez. Bir doğrunun tek bir doğrultmanı yoktur; aşağıda (Önerme 10.1) göreceğimiz gibi bir doğrultmanın sıfırdan farklı her katı da doğrultmandır.
10.2 Bir noktası ve doğrultmanı verilen doğru
Şimdi \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) noktasından geçen ve doğrultmanı \(v = (a, b, c)\) olan \(d\) doğrusunu ele alalım. \(P_0\)’ın konum vektörüne (Tanım 7.9) \(u_0\) diyelim. Aşağıdaki teorem, uzaydaki bir \(P\) noktasının \(d\) üzerinde olup olmadığını konum vektörleriyle söyler.
Teorem 10.1 (Doğrunun noktaları) \(d\), \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) noktasından geçen ve doğrultmanı \(v = (a, b, c)\) olan doğru, \(u_0\) da \(P_0\)’ın konum vektörü olsun. Konum vektörü \(u\) olan bir \(P = (x, y, z)\) noktası için \[ P \in d \iff \text{bir } \lambda \in \mathbb{R} \text{ için } u = u_0 + \lambda v \] dir.
İspat
\(O\) başlangıç noktası olmak üzere \(u = \overrightarrow{OP}\) ve \(u_0 = \overrightarrow{OP_0}\) dır. Üçgen kuralından (Önerme 7.5) \[ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \overrightarrow{P_0P}, \qquad \text{yani} \qquad u = u_0 + \overrightarrow{P_0P} \] yazılabilir. Demek ki “\(u = u_0 + \lambda v\)” eşitliği, “\(\overrightarrow{P_0P} = \lambda v\)” eşitliğiyle aynı şeyi söyler. İki yönü ayrı ayrı gösterelim.
(\(\Rightarrow\)) \(P \in d\) olsun. \(P = P_0\) ise \(\overrightarrow{P_0P} = 0 = 0 \cdot v\) olduğundan \(\lambda = 0\) seçilir. \(P \neq P_0\) ise \(\overrightarrow{P_0P}\) yönlü doğru parçasının iki ucu da \(d\) üzerindedir. \(v\), \(d\)’nin doğrultmanı olduğundan tanım gereği \(\overrightarrow{P_0P}\) ile aynı doğrultuludur. \(v \neq 0\) olduğundan Önerme 7.11 gereği \(\overrightarrow{P_0P} = \lambda v\) olacak biçimde bir \(\lambda \in \mathbb{R}\) vardır.
(\(\Leftarrow\)) Bir \(\lambda \in \mathbb{R}\) için \(\overrightarrow{P_0P} = \lambda v\) olsun. \(\lambda = 0\) ise \(\overrightarrow{P_0P} = 0\), yani \(P = P_0 \in d\) dir. \(\lambda \neq 0\) ise \(\overrightarrow{P_0P}\), \(v\) ile aynı doğrultuludur (Önerme 7.8). \(v\) de \(d\) üzerindeki yönlü doğru parçalarıyla aynı doğrultulu olduğundan, \(P_0\) ile \(P\)’den geçen doğru \(d\)’ye paraleldir ya da onunla çakışıktır. Bu doğru \(d\) ile \(P_0\) noktasını paylaşır. Bir noktadan verilen bir doğruya paralel ancak bir doğru çizilebildiğinden bu doğru \(d\)’nin kendisidir. Dolayısıyla \(P \in d\) dir.
\(\blacksquare\)
Teorem, bir doğrunun bütün noktalarını tek bir eşitlikle toplar. Bu eşitliğe bir ad verelim.
Tanım 10.2 (Doğrunun vektörel denklemi) \(P_0\)’dan geçen ve doğrultmanı \(v\) olan \(d\) doğrusu için \[ u = u_0 + \lambda v, \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] denklemine \(d\) doğrusunun vektörel denklemi denir. Burada \(u_0\), \(P_0\)’ın; \(u\) ise \(d\)’nin rastgele bir \(P\) noktasının konum vektörüdür. \(\lambda\) sayısına parametre denir.
Yani \(\lambda\) bütün gerçel sayıları taradıkça \(u = u_0 + \lambda v\) vektörünün ucu doğrunun bütün noktalarını tarar. \(\lambda = 0\) için \(P_0\)’ı, \(\lambda = 1\) için \(P_0\)’dan \(v\) kadar ilerlenerek varılan noktayı buluruz. \(\lambda > 0\) değerleri \(P_0\)’ın \(v\)’nin gösterdiği tarafındaki noktaları, \(\lambda < 0\) değerleri ise öbür tarafındaki noktaları verir.
Parametrik denklemler
Vektörel denklemi koordinatlarla yazalım: \(u = (x, y, z)\), \(u_0 = (x_0, y_0, z_0)\) ve \(v = (a, b, c)\) olduğundan \[ (x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + \lambda (a, b, c) = (x_0 + \lambda a,\ y_0 + \lambda b,\ z_0 + \lambda c) \] olur. İki vektör ancak karşılıklı bileşenleri eşitse eşit olduğundan (Tanım 7.11) bu tek vektör eşitliği üç sayı eşitliğine ayrılır: \[ \begin{cases} x = x_0 + \lambda a \\ y = y_0 + \lambda b \\ z = z_0 + \lambda c \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}. \tag{1} \]
Tanım 10.3 (Parametrik denklemler)
- ile verilen üç denkleme \(d\) doğrusunun parametrik denklemleri denir.
Yani parametrik denklemler, doğrunun noktalarını tek bir \(\lambda\) sayısıyla “numaralandırır”: her \(\lambda\) değerine doğrunun tam bir noktası karşılık gelir. Aynı denklemleri matris gösterimiyle \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \] biçiminde de yazabiliriz.
Kartezyen denklemler
\(a\), \(b\), \(c\) sayılarının üçü de sıfırdan farklı olsun. Bu durumda (1)’deki her denklemden \(\lambda\)’yı çekebiliriz: \[ \lambda = \frac{x - x_0}{a}, \qquad \lambda = \frac{y - y_0}{b}, \qquad \lambda = \frac{z - z_0}{c}. \] Üçü de aynı \(\lambda\)’ya eşit olduğundan \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \;(= \lambda) \tag{2} \] bulunur. Tersine, (2)’yi sağlayan bir \((x, y, z)\) için ortak değere \(\lambda\) dersek (1) sağlanır. Demek ki (2), \(d\)’nin noktalarını parametre kullanmadan betimler.
Tanım 10.4 (Kartezyen denklemler) \(a, b, c \neq 0\) iken (2) ile verilen denklemlere \(d\) doğrusunun kartezyen denklemleri denir.
Yani kartezyen denklemler, \(\lambda\)’yı yok ederek \(x\), \(y\), \(z\) arasında kalan iki bağıntıyı yazar. Bu biçimden doğrunun bir noktası ve bir doğrultmanı doğrudan okunur: paydalar doğrultmanın bileşenleridir, paylardaki sayıların işaret değiştirmiş hâlleri de \(P_0\)’ın koordinatlarıdır. Örneğin \(\dfrac{y + 3}{2}\) kesrinde \(y_0 = -3\), \(\dfrac{x}{2}\) kesrinde ise \(x_0 = 0\) dır.
Doğrultmanın bir bileşeni sıfırsa ilgili kesri yazamayız. Bu durumda (1)’deki karşılık gelen denklem, o koordinatın doğru boyunca sabit kaldığını söyler ve kartezyen denklemlerin yerine geçer. Örneğin \(a = 0\), \(b, c \neq 0\) ise doğrunun denklemleri \[ x = x_0, \qquad \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] olur; \(a = b = 0\) ise denklemler \(x = x_0\), \(y = y_0\) dır.
Düzlemde de aynı fikir çalışır. Düzlemde \((x_0, y_0)\) noktasından geçen ve doğrultmanı \((a, b)\) olan doğru için, \(a \neq 0\) ise, parametrik denklemlerden \(\lambda = \dfrac{x - x_0}{a}\) çekilip \(y = y_0 + \lambda b\) içine yazılarak \[ y - y_0 = \frac{b}{a}\,(x - x_0) \] bulunur. Bu, eğimi \(m = b/a\) olan doğrunun nokta-eğim denklemidir (Tanım 3.1). Yani düzlemdeki eğim, doğrultman vektörünün iki bileşeninin oranından başka bir şey değildir. Uzayda üç bileşen olduğundan tek bir oran yetmez; bu yüzden kartezyen denklemler iki eşitlikten oluşur.
- Doğrunun bir \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) noktasını belirleyin.
- Doğrunun bir \(v = (a, b, c) \neq 0\) doğrultmanını belirleyin.
- Bunları \(u = u_0 + \lambda v\) vektörel denkleminde, (1) parametrik denklemlerinde ve (2) kartezyen denklemlerinde yerine yazın.
Örnek 10.1 (Bir noktası ve paralel olduğu vektör verilen doğru) \(P_0 = (4, -3, 1)\) noktasından geçen ve \(v = (7, 2, -3)\) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel, parametrik ve kartezyen denklemlerini bulunuz.
Çözüm
Doğruya \(d\), üzerindeki rastgele bir noktaya \(P = (x, y, z)\) diyelim. \(v\), \(d\)’ye paralel ve sıfırdan farklı olduğundan \(d\)’nin bir doğrultmanıdır. Reçetenin ilk iki adımı hazırdır: \(u_0 = (4, -3, 1)\) ve \(v = (7, 2, -3)\).
Vektörel denklem. \(u = u_0 + \lambda v\) eşitliğinde yerine yazarsak \[ (x, y, z) = (4, -3, 1) + \lambda (7, 2, -3), \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] bulunur.
Parametrik denklemler. Sağ taraf \((4 + 7\lambda,\ -3 + 2\lambda,\ 1 - 3\lambda)\) olduğundan bileşenleri eşitleyerek \[ \begin{cases} x = 4 + 7\lambda \\ y = -3 + 2\lambda \\ z = 1 - 3\lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] elde edilir.
Kartezyen denklemler. Doğrultmanın üç bileşeni de sıfırdan farklıdır. Her denklemden \(\lambda\) çekilirse \[ \frac{x - 4}{7} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{-3} \;(= \lambda) \] bulunur. İkinci kesirde \(y - (-3) = y + 3\) yazdığımıza dikkat edin.
\(\blacksquare\)
Doğrunun denklemi elimizdeyken bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını anlamak kolaydır: noktanın koordinatlarını parametrik denklemlere yazarız ve üç denklemin de aynı \(\lambda\) değerini verip vermediğine bakarız.
Örnek 10.2 (Bir nokta doğru üzerinde mi?) Bir önceki örnekteki (Örnek 10.1) \(d\) doğrusu \(x = 4 + 7\lambda\), \(y = -3 + 2\lambda\), \(z = 1 - 3\lambda\) parametrik denklemleriyle verilir. \(R = (-3, -5, 5)\) noktası \(d\) üzerinde midir?
Çözüm
Teorem 10.1 gereğince \(R \in d\) olması, bir \(\lambda\) için üç denklemin birlikte sağlanması demektir. Denklemleri tek tek çözelim: \[ \begin{aligned} -3 &= 4 + 7\lambda &&\Longrightarrow\quad \lambda = -1, \\ -5 &= -3 + 2\lambda &&\Longrightarrow\quad \lambda = -1, \\ 5 &= 1 - 3\lambda &&\Longrightarrow\quad \lambda = -\tfrac{4}{3}. \end{aligned} \] İlk iki denklem \(\lambda = -1\) verirken üçüncüsü \(\lambda = -\frac{4}{3}\) verir. Üç denklemi birlikte sağlayan bir \(\lambda\) olmadığından \(R \notin d\) dir.
Bu sonucu şöyle de görebiliriz: ilk iki koordinatı tutan \(\lambda = -1\) değeri doğrunun \[ S = (4 - 7,\ -3 - 2,\ 1 + 3) = (-3, -5, 4) \] noktasını verir. \(R\), bu noktanın \(1\) birim üstündedir.
\(\blacksquare\)
Bir doğrunun denklemlerini yazarken iki seçim yaptık: bir nokta ve bir doğrultman. Aşağıdaki önerme, bu seçimlerin doğrunun kendisini değiştirmediğini söyler; bu yüzden aynı doğrunun denklemleri birçok farklı biçimde yazılabilir.
Önerme 10.1 (Nokta ve doğrultman seçimi) \(d\), \(P_0\)’dan geçen ve doğrultmanı \(v\) olan bir doğru olsun.
i) Her \(\mu \neq 0\) için \(\mu v\) de \(d\)’nin bir doğrultmanıdır. Tersine, \(d\)’nin her doğrultmanı \(\mu \neq 0\) olmak üzere \(\mu v\) biçimindedir. Özellikle sıfırdan farklı bir \(w\) vektörü için \[ w \text{ vektörü } d\text{'ye paraleldir} \iff w \parallel v \] dir.
ii) \(P_0\) yerine \(d\)’nin herhangi bir \(P_1\) noktası alınabilir: \(P_1\)’den geçen ve doğrultmanı \(v\) olan doğru yine \(d\)’dir.
İspat
i) \(\mu \neq 0\) ise \(\mu v \neq 0\) dır ve \(\mu v\) ile \(v\) aynı doğrultuludur (Önerme 7.8). \(v\), \(d\) üzerindeki bir \(\overrightarrow{AB}\) ile aynı doğrultulu olduğundan \(\mu v\) de öyledir; yani \(\mu v\), \(d\)’nin bir doğrultmanıdır.
Tersine \(w\), \(d\)’nin bir doğrultmanı olsun. \(w\) ile \(v\)’nin her biri, \(d\) üzerindeki yönlü doğru parçalarıyla aynı doğrultuludur; dolayısıyla \(w\) ile \(v\) de aynı doğrultuludur. \(v \neq 0\) olduğundan Önerme 7.11 gereği \(w = \mu v\) olacak biçimde bir \(\mu\) vardır; \(w \neq 0\) olduğundan \(\mu \neq 0\) dır. Böylece \(w = \mu v\) ve \(\mu \neq 0\), yani \(w \parallel v\) dir (Tanım 7.15). Son denklik, “\(d\)’ye paralel” ile “\(d\)’nin doğrultmanı” aynı şey olduğundan bu iki gözlemin birlikte söylediği şeydir.
ii) \(P_1 \in d\) olsun ve konum vektörüne \(u_1\) diyelim. Teorem 10.1 gereğince bir \(\lambda_1\) için \(u_1 = u_0 + \lambda_1 v\) dir. Buna göre her \(\lambda \in \mathbb{R}\) için \[ u_1 + \lambda v = u_0 + (\lambda_1 + \lambda)\, v \] olur. \(\lambda\) bütün gerçel sayıları taradığında \(\lambda_1 + \lambda\) da bütün gerçel sayıları tarar. Demek ki \(u_1 + \lambda v\) biçimindeki vektörlerin uçları ile \(u_0 + \lambda v\) biçimindeki vektörlerin uçları aynı noktalardır; iki doğru aynıdır.
\(\blacksquare\)
Yani bir doğrunun denklemini kurarken doğrultmanı sadeleştirmekte, örneğin ortak bir çarpanı atmakta ya da işaretini değiştirmekte serbestiz. Aşağıdaki örnekte bunu kullanacağız.
Örnek 10.3 (Bir vektöre paralel olma koşulu) \(c\)’nin hangi değerleri için \[ d:\ \frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{-6} = \frac{z - 5}{-8} \] doğrusu \(w = (6, c, -12)\) vektörüne paralel olur?
Çözüm
Kartezyen denklemlerin paydaları \(d\)’nin bir doğrultmanını verir: \(v = (4, -6, -8)\). Bu vektörün bileşenlerinin ortak çarpanı \(-2\) dir: \[ v = -2\,(-2, 3, 4). \] Önerme 10.1 i) gereğince \(\bar{v} = (-2, 3, 4)\) vektörü de \(d\)’nin bir doğrultmanıdır. Aynı önerme gereğince \[ d \parallel w \iff \bar{v} \parallel w \iff \text{bir } \mu \neq 0 \text{ için } w = \mu \bar{v} \] dir. \(w = \mu \bar{v}\) eşitliğini bileşen bileşen yazalım: \[ 6 = -2\mu, \qquad c = 3\mu, \qquad -12 = 4\mu. \] Birinci denklemden \(\mu = -3\) bulunur; üçüncü denklem de \(\mu = -3\) verir, yani iki denklem çelişmez. İkinci denklemden \[ c = 3 \cdot (-3) = -9 \] elde edilir. Bu hesabı bileşenlerin oranlarıyla da yazabiliriz: \[ \frac{6}{-2} = \frac{c}{3} = \frac{-12}{4} \;(= -3). \] Sonuç olarak \(d\), yalnız \(c = -9\) için \(w\) vektörüne paraleldir.
\(\blacksquare\)
Parametrik denklemlerin başka bir kullanımı, bir doğrunun koordinat düzlemlerini hangi noktalarda kestiğini bulmaktır. \(XY\)-düzleminin noktaları için \(z = 0\), \(XZ\)-düzleminin noktaları için \(y = 0\), \(YZ\)-düzleminin noktaları için \(x = 0\) dır (Tanım 6.1).
Örnek 10.4 (Bir doğrunun koordinat düzlemlerini kestiği noktalar) \(P_0 = (2, 1, 4)\) noktasından geçen ve doğrultmanı \(v = (1, 1, -2)\) olan \(d\) doğrusunun üç koordinat düzlemini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm
\(d\)’nin parametrik denklemleri \[ x = 2 + \lambda, \qquad y = 1 + \lambda, \qquad z = 4 - 2\lambda \] dır. Her koordinat düzlemi için ilgili koordinatı sıfıra eşitleyip \(\lambda\)’yı buluruz, sonra bu \(\lambda\)’yı öteki iki denkleme yazarız.
\(XY\)-düzlemi (\(z = 0\)). \(4 - 2\lambda = 0\) ise \(\lambda = 2\) dir. Buradan \(x = 2 + 2 = 4\), \(y = 1 + 2 = 3\) bulunur. Kesim noktası \(A = (4, 3, 0)\) dır.
\(XZ\)-düzlemi (\(y = 0\)). \(1 + \lambda = 0\) ise \(\lambda = -1\) dir. Buradan \(x = 2 - 1 = 1\), \(z = 4 + 2 = 6\) bulunur. Kesim noktası \(B = (1, 0, 6)\) dır.
\(YZ\)-düzlemi (\(x = 0\)). \(2 + \lambda = 0\) ise \(\lambda = -2\) dir. Buradan \(y = 1 - 2 = -1\), \(z = 4 + 4 = 8\) bulunur. Kesim noktası \(C = (0, -1, 8)\) dir.
Her koordinat için \(\lambda\)’yı bulurken doğrultmanın ilgili bileşenine böldük; bu bileşenlerin üçü de sıfırdan farklı olduğundan \(d\) her koordinat düzlemini tam bir noktada keser. Parametre değerleri \(\lambda = -2, -1, 0, 2\) sırasıyla \(C\), \(B\), \(P_0\), \(A\) noktalarına karşılık gelir; doğru boyunca bu sırayla dizilirler.
\(\blacksquare\)
10.3 İki noktası verilen doğru
İki farklı noktadan tam bir doğru geçer. Bu doğrunun denklemini yazmak için yeni bir şey gerekmez: iki noktayı birleştiren vektör bir doğrultman verir.
Önerme 10.2 (İki noktası verilen doğrunun denklemleri) \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) ile \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\) farklı iki nokta, \(u_0\) ile \(u_1\) konum vektörleri ve \(d\) bu iki noktadan geçen doğru olsun. Bu durumda \[ v = \overrightarrow{P_0P_1} = (x_1 - x_0,\ y_1 - y_0,\ z_1 - z_0) \] vektörü \(d\)’nin bir doğrultmanıdır ve \(d\)’nin
- vektörel denklemi \(u = u_0 + \lambda\, \overrightarrow{P_0P_1}\), \(\lambda \in \mathbb{R}\),
- parametrik denklemleri \[ \begin{cases} x = x_0 + \lambda (x_1 - x_0) \\ y = y_0 + \lambda (y_1 - y_0) \\ z = z_0 + \lambda (z_1 - z_0) \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}, \]
- kartezyen denklemleri, \(x_1 \neq x_0\), \(y_1 \neq y_0\), \(z_1 \neq z_0\) iken, \[ \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} = \frac{y - y_0}{y_1 - y_0} = \frac{z - z_0}{z_1 - z_0} \;(= \lambda) \]
dir.
İspat
\(P_0 \neq P_1\) olduğundan \(\overrightarrow{P_0P_1} \neq 0\) dır. \(\overrightarrow{P_0P_1}\) yönlü doğru parçasının iki ucu da \(d\) üzerindedir; dolayısıyla bu vektör kendisiyle aynı doğrultulu olarak doğrultman tanımındaki (Tanım 10.1) koşulu sağlar ve \(d\)’nin bir doğrultmanıdır. Koordinatları, uç noktanın koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılarak bulunur: \[ \overrightarrow{P_0P_1} = (x_1 - x_0,\ y_1 - y_0,\ z_1 - z_0). \] Şimdi \(d\), \(P_0\)’dan geçen ve doğrultmanı \(v = \overrightarrow{P_0P_1}\) olan doğrudur. \(P = (x, y, z)\), \(d\) üzerinde rastgele bir nokta olsun. \(\overrightarrow{P_0P}\) ile \(\overrightarrow{P_0P_1}\) aynı doğrultuludur ve Teorem 10.1 gereğince \[ u = u_0 + \overrightarrow{P_0P} = u_0 + \lambda\, \overrightarrow{P_0P_1} \] yazılabilir. Bu, vektörel denklemdir. \(a = x_1 - x_0\), \(b = y_1 - y_0\), \(c = z_1 - z_0\) alınarak (1) ve (2)’den parametrik ve kartezyen denklemler elde edilir.
\(\blacksquare\)
Yani iki noktadan geçen doğruda \(\lambda = 0\) değeri \(P_0\)’ı, \(\lambda = 1\) değeri \(P_1\)’i verir. Düzlemde iki noktası verilen doğrunun denkleminin (Önerme 3.1) uzaydaki karşılığı budur: orada tek bir oran eşitliği vardı, burada ikisi var.
Örnek 10.5 (İki noktadan geçen doğru) \(P_0 = (2, -3, 4)\) ile \(P_1 = (5, 2, -1)\) noktalarından geçen doğrunun kartezyen ve parametrik denklemlerini bulunuz.
Çözüm
Doğruya \(d\) diyelim. Doğrultman olarak \[ v = \overrightarrow{P_0P_1} = \big(5 - 2,\ 2 - (-3),\ -1 - 4\big) = (3, 5, -5) \] alınabilir (Önerme 10.2). Üç bileşen de sıfırdan farklı olduğundan kartezyen denklemler \[ \frac{x - 2}{5 - 2} = \frac{y - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{z - 4}{-1 - 4} \] yani \[ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z - 4}{-5} \;(= \lambda) \] olur. Her kesri \(\lambda\)’ya eşitleyip \(x\), \(y\), \(z\)’yi çözersek parametrik denklemler \[ \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -3 + 5\lambda \\ z = 4 - 5\lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] bulunur. Kontrol: \(\lambda = 1\) için \[ (2 + 3,\ -3 + 5,\ 4 - 5) = (5, 2, -1) = P_1 \] elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 10.6 (Doğrultmanının bir bileşeni sıfır olan doğru) \(P_0 = (1, 2, 3)\) ile \(P_1 = (-2, 3, 3)\) noktalarından geçen doğrunun kartezyen ve parametrik denklemlerini bulunuz.
Çözüm
Doğruya \(d\) diyelim. Doğrultman olarak \[ v = \overrightarrow{P_0P_1} = (-2 - 1,\ 3 - 2,\ 3 - 3) = (-3, 1, 0) \] alınabilir. Parametrik denklemler (1)’den doğrudan yazılır: \[ \begin{cases} x = 1 - 3\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}. \] Doğrultmanın üçüncü bileşeni \(0\) olduğundan \(\dfrac{z - 3}{0}\) kesri yazılamaz. Üçüncü parametrik denklem, doğrunun bütün noktalarında \(z = 3\) olduğunu söyler. İlk iki denklemden \(\lambda\) çekilerek kartezyen denklemler \[ \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{1}, \qquad z = 3 \] biçiminde yazılır. Kontrol: \(\lambda = 1\) için \[ (1 - 3,\ 2 + 1,\ 3) = (-2, 3, 3) = P_1 \] bulunur.
Yani \(d\), kotu \(3\) olan noktalardan oluşan \(z = 3\) düzleminin içinde yatar; bu düzlem \(XY\)-düzlemine paraleldir. Doğrultmanı sıfır bileşenli doğruları bölümün sonunda (Önerme 10.4) ayrıca inceleyeceğiz.
\(\blacksquare\)
10.4 İki doğrunun paralelliği
İki doğrunun birbirine göre durumunu, doğrultmanlarını karşılaştırarak incelemeye başlayabiliriz. İlk karşılaştırma, doğrultmanların paralel olup olmadığıdır.
Tanım 10.5 (Paralel doğrular) \(d_1\) ve \(d_2\), doğrultmanları sırasıyla \(v_1\) ve \(v_2\) olan iki doğru olsun. \(v_1 \parallel v_2\) ise \(d_1\) ile \(d_2\)’ye paralel doğrular denir ve \(d_1 \parallel d_2\) yazılır: \[ d_1 \parallel d_2 \iff v_1 \parallel v_2. \]
Yani iki doğrunun paralel olması için doğrultmanlarının karşılıklı bileşenleri orantılı olmalıdır (Tanım 7.15). Tanım, doğrultmanların hangisinin seçildiğine bağlı değildir: Önerme 10.1 gereğince \(d_1\)’in her doğrultmanı \(v_1\)’in, \(d_2\)’nin her doğrultmanı \(v_2\)’nin sıfırdan farklı bir katıdır ve katlar paralelliği bozmaz. Paralel iki doğrunun doğrultmanları aynı yönlü ya da zıt yönlü olabilir; önemli olan doğrultularının aynı olmasıdır.
Paralel iki doğru ortak bir nokta paylaşıyorsa çakışır: ortak nokta \(P_0\) ise ikisi de \(P_0\)’dan geçen ve doğrultmanı \(v_1\) olan doğrudur (Önerme 10.1). Demek ki paralel iki doğru ya hiç kesişmez ya da aynı doğrudur. İki doğrunun birbirine göre bütün durumlarını bir sonraki bölümde ele alacağız.
Örnek 10.7 (Paralellik koşulundan bilinmeyen bulmak) \[ d_1:\ \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z + 1}{c_1} \qquad \text{ve} \qquad d_2:\ \frac{x + 3}{c_2} = \frac{y - 1}{12} = \frac{z - 3}{4} \] doğrularının paralel olması için \(c_1\) ve \(c_2\) ne olmalıdır?
Çözüm
Paydalar doğrultmanları verir: \[ v_1 = (2, -3, c_1), \qquad v_2 = (c_2, 12, 4). \] Tanım 10.5 gereğince \(d_1 \parallel d_2\) olması \(v_1 \parallel v_2\) olması, yani bir \(\mu\) için \(v_2 = \mu v_1\) olmasıdır: \[ c_2 = 2\mu, \qquad 12 = -3\mu, \qquad 4 = \mu c_1. \] İkinci denklemde bilinmeyen yalnız \(\mu\)’dür: \(\mu = -4\). Bunu birinci denkleme yazarsak \(c_2 = 2 \cdot (-4) = -8\), üçüncüye yazarsak \(4 = -4c_1\), yani \(c_1 = -1\) bulunur. Aynı hesap oranlarla \[ \frac{2}{c_2} = \frac{-3}{12} = \frac{c_1}{4} \;\left(= -\tfrac{1}{4}\right) \] biçiminde de yazılabilir. Buna göre \(c_1 = -1\) ve \(c_2 = -8\) olmalıdır. Bu değerler sıfırdan farklı olduğundan kartezyen denklemlerdeki paydalar da anlamlıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 10.8 (Bir doğruya paralel ve bir noktadan geçen doğru) \(P_0 = (1, 3, 4)\) ve \(P_1 = (-2, 2, 3)\) noktalarından geçen doğruya paralel olan ve \(P = (-2, 4, 3)\) noktasından geçen doğrunun kartezyen ve parametrik denklemlerini bulunuz.
Çözüm
\(P_0\) ile \(P_1\)’den geçen doğruya \(d_1\), aranan doğruya \(d\) diyelim. Önerme 10.2 gereğince \(d_1\)’in kartezyen denklemleri \[ \frac{x - 1}{-2 - 1} = \frac{y - 3}{2 - 3} = \frac{z - 4}{3 - 4}, \quad \text{yani} \quad \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{-1} \] dir; \(d_1\)’in doğrultmanı \(v = (-3, -1, -1)\) dir. \(d \parallel d_1\) olacağından \(v\), \(d\)’nin de bir doğrultmanı olarak alınabilir. \(d\), \(P = (-2, 4, 3)\) noktasından geçtiğinden kartezyen denklemleri \[ \frac{x - (-2)}{-3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 3}{-1}, \quad \text{yani} \quad \frac{x + 2}{-3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 3}{-1} \;(= \lambda) \] olur. Her kesri \(\lambda\)’ya eşitlersek parametrik denklemler \[ \begin{cases} x = -2 - 3\lambda \\ y = 4 - \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] bulunur.
\(P\) noktası \(d_1\) üzerinde değildir: \(d_1\)’in kartezyen denklemlerine yazıldığında ilk kesir \(\frac{-2 - 1}{-3} = 1\), ikinci kesir \(\frac{4 - 3}{-1} = -1\) verir ve bunlar eşit değildir. Demek ki \(d\) ile \(d_1\) çakışmayan iki paralel doğrudur.
\(\blacksquare\)
10.5 İki doğrunun dikliği
Doğrultmanları karşılaştırmanın ikinci yolu, aralarındaki açıya bakmaktır. En önemli özel durum, doğrultmanların dik olmasıdır.
Tanım 10.6 (Dik doğrular) \(d_1\) ve \(d_2\), doğrultmanları sırasıyla \(v_1\) ve \(v_2\) olan iki doğru olsun. \(v_1 \perp v_2\) ise \(d_1\) ile \(d_2\)’ye dik doğrular denir ve \(d_1 \perp d_2\) yazılır: \[ d_1 \perp d_2 \iff v_1 \perp v_2. \]
Yani iki doğrunun dik olup olmadığını anlamak için doğrultmanlarının iç çarpımına bakmak yeter: \(\langle v_1, v_2\rangle = 0\) ise doğrular diktir (Önerme 8.2). Doğrultmanların katları da iç çarpımın sıfır olmasını bozmadığından tanım, doğrultmanların seçimine bağlı değildir.
Tanımda doğruların kesişmesi istenmez. Yukarıdaki şekilde \(d_1 \perp d_2\) dir ve bu iki doğru kesişir; \(d_1 \perp d_3\) de doğrudur, ama \(d_1\) ile \(d_3\) hiç kesişmez. Biz her iki durumda da doğrulara dik diyeceğiz. Kesişmeden dik olan iki doğruya bazı kitaplarda dik durumlu doğrular denir.
Örnek 10.9 (Kesişmeyen dik doğrular) \[ d_1:\ \frac{x - 4}{7} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{-3} \qquad \text{ve} \qquad d_2:\ \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{1} \] doğrularının dik olduğunu, fakat kesişmediğini gösteriniz.
Çözüm
Diklik. Doğrultmanlar \(v_1 = (7, 2, -3)\) ve \(v_2 = (1, -2, 1)\) dir. İç çarpımları \[ \langle v_1, v_2\rangle = 7 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-3) \cdot 1 = 7 - 4 - 3 = 0 \] olduğundan \(v_1 \perp v_2\), yani \(d_1 \perp d_2\) dir.
Kesişmeme. Parametrik denklemler \[ d_1:\ \begin{cases} x = 4 + 7s \\ y = -3 + 2s \\ z = 1 - 3s \end{cases} \qquad d_2:\ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 - 2t \\ z = t \end{cases} \] dir; iki doğru için farklı parametre harfleri kullandık, çünkü ortak bir noktada iki parametrenin değerleri farklı olabilir. Ortak bir nokta olsaydı bir \(s\) ve bir \(t\) için üç koordinat da eşit olurdu. \(x\) koordinatlarının eşitliğinden \[ 4 + 7s = 1 + t \quad\Longrightarrow\quad t = 3 + 7s \] bulunur. Bunu \(y\) koordinatlarının eşitliğine yazalım: \[ -3 + 2s = -2 - 2(3 + 7s) = -8 - 14s \quad\Longrightarrow\quad 16s = -5 \quad\Longrightarrow\quad s = -\tfrac{5}{16}. \] Buradan \(t = 3 - \frac{35}{16} = \frac{13}{16}\) olur. Bu değerler için \(z\) koordinatları \[ 1 - 3s = 1 + \tfrac{15}{16} = \tfrac{31}{16}, \qquad t = \tfrac{13}{16} \] dır ve eşit değildir. \(x\) ile \(y\) koordinatlarını eşitleyen tek \((s, t)\) ikilisi \(z\) koordinatlarını eşitlemediğinden doğruların ortak noktası yoktur. Demek ki \(d_1\) ile \(d_2\) kesişmeyen iki dik doğrudur, yani dik durumlu doğrulardır.
Bulduğumuz parametre değerleri, \(d_1\) üzerindeki \(S_1 = \big(\frac{29}{16}, -\frac{29}{8}, \frac{31}{16}\big)\) ile \(d_2\) üzerindeki \(S_2 = \big(\frac{29}{16}, -\frac{29}{8}, \frac{13}{16}\big)\) noktalarını verir. Bu iki nokta aynı dikey doğru üzerindedir: yukarıdan bakıldığında doğrular kesişiyormuş gibi görünür, ama \(d_1\), \(d_2\)’nin \(\frac{18}{16} = \frac{9}{8}\) birim üstünden geçer.
\(\blacksquare\)
Uzayda sık karşılaşılan bir soru, verilen iki doğrunun ikisine birden dik olan doğruyu bulmaktır. Bunun için doğrultmanlara aynı anda dik bir vektör gerekir; vektörel çarpım tam olarak bunu üretir.
Önerme 10.3 (İki doğruya birden dik doğrultman) \(v_1\) ve \(v_2\) sıfırdan farklı ve paralel olmayan iki vektör, \(v\) de sıfırdan farklı bir vektör olsun. Bu durumda \[ v \perp v_1 \text{ ve } v \perp v_2 \iff v \parallel v_1 \times v_2 \] dir. Özellikle doğrultmanları \(v_1\) ve \(v_2\) olan paralel olmayan iki doğrunun ikisine de dik olan her doğrunun doğrultmanı olarak \(v_1 \times v_2\) alınabilir.
İspat
Önce \(v_1 \times v_2 \neq 0\) olduğunu görelim. \(v_1\) ile \(v_2\) sıfırdan farklı ve paralel olmadığından lineer bağımsızdır (Sonuç 7.1); bu yüzden Önerme 9.3 gereğince \(v_1 \times v_2 \neq 0\) dır.
(\(\Leftarrow\)) \(v \parallel v_1 \times v_2\) ise bir \(\mu\) için \(v = \mu\,(v_1 \times v_2)\) dir. Teorem 9.1 vi) gereğince \(v_1 \times v_2\) hem \(v_1\)’e hem \(v_2\)’ye diktir; iç çarpımın doğrusallığından \[ \langle v, v_1\rangle = \mu\, \langle v_1 \times v_2, v_1\rangle = 0, \qquad \langle v, v_2\rangle = \mu\, \langle v_1 \times v_2, v_2\rangle = 0 \] bulunur. Demek ki \(v \perp v_1\) ve \(v \perp v_2\) dir.
(\(\Rightarrow\)) \(v \perp v_1\) ve \(v \perp v_2\) olsun; yani \(\langle v, v_1\rangle = \langle v, v_2\rangle = 0\) dır. Üçlü özdeşliğin (Teorem 9.2) i) şıkkını \(u\) yerine \(v\), \(v\) yerine \(v_1\), \(w\) yerine \(v_2\) yazarak uygulayalım: \[ v \times (v_1 \times v_2) = \langle v, v_2\rangle\, v_1 - \langle v, v_1\rangle\, v_2 = 0 \cdot v_1 - 0 \cdot v_2 = 0. \] \(v\) ile \(v_1 \times v_2\) sıfırdan farklı olduğundan, vektörel çarpımlarının sıfır olması bu iki vektörün paralel olması demektir (Önerme 9.3). Yani \(v \parallel v_1 \times v_2\) dir.
Son cümle, dik doğruların tanımından (Tanım 10.6) ve doğrultman seçimi önermesinden (Önerme 10.1) çıkar: bir \(d\) doğrusu iki doğruya da dikse doğrultmanı \(v_1\)’e ve \(v_2\)’ye diktir, dolayısıyla \(v_1 \times v_2\)’ye paraleldir ve \(v_1 \times v_2\) de \(d\)’nin bir doğrultmanıdır.
\(\blacksquare\)
Yani \(d_1 \nparallel d_2\) ise iki doğruya birden dik olan bütün doğrular aynı doğrultudadır. Buna göre bir \(P_0\) noktasından geçen ve \(d_1\) ile \(d_2\)’ye dik olan doğru tektir. \(d_1 \parallel d_2\) olduğunda ise \(v_1 \times v_2 = 0\) dır ve bu yol işe yaramaz: bu durumda \(v_1\)’e dik her vektör \(v_2\)’ye de diktir ve iki doğruya birden dik sonsuz çoklukta doğrultu vardır.
Örnek 10.10 (İki doğruya dik olan doğru) Doğrultmanları \(v_1 = (3, 2, -4)\) ve \(v_2 = (2, -3, 2)\) olan doğrulara dik olan ve \(P_0 = (3, -1, 4)\) noktasından geçen doğrunun vektörel, kartezyen ve parametrik denklemlerini bulunuz.
Çözüm
Aranan doğruya \(d\), doğrultmanına \(v\) diyelim. \(v_1\) ile \(v_2\) paralel değildir, çünkü ilk bileşenlerin oranı \(\frac{3}{2}\), ikinci bileşenlerin oranı ise \(-\frac{2}{3}\) olur. \(d\) iki doğruya da dik olacağından \(v \perp v_1\) ve \(v \perp v_2\) dir. Önerme 10.3 gereğince \(v = v_1 \times v_2\) alınabilir: \[ \begin{aligned} v_1 \times v_2 &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \big(2 \cdot 2 - (-4)(-3)\big) e_1 + \big((-4) \cdot 2 - 3 \cdot 2\big) e_2 \\ &\quad + \big(3 \cdot (-3) - 2 \cdot 2\big) e_3 \\[1mm] &= (4 - 12)\, e_1 + (-8 - 6)\, e_2 + (-9 - 4)\, e_3 \\[1mm] &= -8e_1 - 14e_2 - 13e_3 = (-8, -14, -13). \end{aligned} \] Kontrol edelim: \[ \begin{aligned} \langle v, v_1\rangle &= -24 - 28 + 52 = 0, \\ \langle v, v_2\rangle &= -16 + 42 - 26 = 0. \end{aligned} \] \(u_0 = (3, -1, 4)\) ve \(v = (-8, -14, -13)\) olduğundan, \(d\) üzerindeki bir \(P = (x, y, z)\) noktasının konum vektörü \(u = (x, y, z)\) olmak üzere, vektörel denklem \[ (x, y, z) = (3, -1, 4) + \lambda\, (-8, -14, -13), \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] dir. Bileşenleri eşitleyerek parametrik denklemler \[ \begin{cases} x = 3 - 8\lambda \\ y = -1 - 14\lambda \\ z = 4 - 13\lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] ve her denklemden \(\lambda\) çekilerek kartezyen denklemler \[ \frac{x - 3}{-8} = \frac{y + 1}{-14} = \frac{z - 4}{-13} \] bulunur.
\(\blacksquare\)
10.6 Koordinat eksenlerine göre özel doğrular
Doğrultmanın bileşenlerinden biri ya da ikisi sıfırsa doğrunun koordinat eksenlerine göre durumu doğrudan okunabilir. Koordinat eksenlerinin doğrultmanları eksenlerin birim vektörleridir (Tanım 7.17): \(X\)-ekseni \(O\)’dan geçer ve doğrultmanı \(e_1 = (1, 0, 0)\) dır; \(Y\)- ve \(Z\)-ekseninin doğrultmanları da sırasıyla \(e_2 = (0, 1, 0)\) ve \(e_3 = (0, 0, 1)\) dir. Bir doğrultmanın bu vektörlerle iç çarpımı, sırasıyla, ilk, ikinci ve üçüncü bileşenidir: \[ \langle v, e_1\rangle = a, \qquad \langle v, e_2\rangle = b, \qquad \langle v, e_3\rangle = c. \] \(v = (a, b, c) \neq 0\) olduğundan üç bileşen birden sıfır olamaz. Üç bileşen de sıfırdan farklıysa doğru hiçbir eksene dik ya da paralel değildir. Geriye bir ya da iki bileşenin sıfır olduğu durumlar kalır.
Önerme 10.4 (Doğrultmanın bir bileşeni sıfırsa) \(d\), \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) noktasından geçen ve doğrultmanı \(v = (a, b, c)\) olan doğru olsun.
i) \(a = 0\), \(b \neq 0\), \(c \neq 0\) ise \(d\), \(X\)-eksenine diktir ve \(YZ\)-düzlemine paraleldir; \(d\)’nin bütün noktalarında \(x = x_0\) dır.
ii) \(a \neq 0\), \(b = 0\), \(c \neq 0\) ise \(d\), \(Y\)-eksenine diktir ve \(XZ\)-düzlemine paraleldir; \(d\)’nin bütün noktalarında \(y = y_0\) dır.
iii) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(c = 0\) ise \(d\), \(Z\)-eksenine diktir ve \(XY\)-düzlemine paraleldir; \(d\)’nin bütün noktalarında \(z = z_0\) dır.
İspat
i) \(a = 0\) olduğundan \(\langle v, e_1\rangle = a = 0\) dır, yani \(v \perp e_1\) dir (Önerme 8.2). \(e_1\), \(X\)-ekseninin doğrultmanı olduğundan Tanım 10.6 gereğince \(d\), \(X\)-eksenine diktir.
Parametrik denklemlerin ilki \(x = x_0 + \lambda \cdot 0 = x_0\) olur; yani \(d\)’nin her noktasının apsisi \(x_0\) dır. Buna göre \(d\), apsisi \(x_0\) olan noktalardan oluşan \(x = x_0\) düzleminin içinde yatar. \(x = 0\) düzlemi \(YZ\)-düzlemidir (Örnek 6.3) ve \(x = x_0\) düzlemi, \(YZ\)-düzleminin \(X\)-ekseni boyunca \(x_0\) kadar kaydırılmış hâlidir; bu yüzden \(YZ\)-düzlemine paraleldir. Bu anlamda \(d\)’ye \(YZ\)-düzlemine paralel deriz. (\(x_0 = 0\) ise \(d\), \(YZ\)-düzleminin kendi içindedir.) Doğrunun denklemleri \[ x = x_0, \qquad \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] biçimindedir.
ii) \(b = 0\) olduğundan \(\langle v, e_2\rangle = 0\), yani \(v \perp e_2\) dir; \(e_2\), \(Y\)-ekseninin doğrultmanı olduğundan \(d\), \(Y\)-eksenine diktir. İkinci parametrik denklem \(y = y_0\) olur; \(d\), \(XZ\)-düzlemine paralel olan \(y = y_0\) düzleminin içinde yatar. Denklemler \(y = y_0\), \(\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{z - z_0}{c}\) dir.
iii) \(c = 0\) olduğundan \(\langle v, e_3\rangle = 0\), yani \(v \perp e_3\) tür; \(e_3\), \(Z\)-ekseninin doğrultmanı olduğundan \(d\), \(Z\)-eksenine diktir. Üçüncü parametrik denklem \(z = z_0\) olur; \(d\), \(XY\)-düzlemine paralel olan \(z = z_0\) düzleminin içinde yatar. Denklemler \(z = z_0\), \(\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b}\) dir.
\(\blacksquare\)
Doğrultmanının bir bileşeni sıfır olan doğru örneğindeki (Örnek 10.6) doğru, iii) durumuna bir örnektir: doğrultmanı \((-3, 1, 0)\) dır ve doğru \(z = 3\) düzleminde yatar.
Örnek 10.11 (X-eksenine dik bir doğru) \(P_0 = (3, 1, 2)\) noktasından geçen ve doğrultmanı \(v = (0, 2, -1)\) olan \(d\) doğrusunun denklemlerini yazınız ve doğrunun koordinat eksenlerine göre durumunu belirtiniz.
Çözüm
Parametrik denklemler \[ \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] dir. Doğrultmanın ilk bileşeni sıfır, öteki iki bileşeni sıfırdan farklıdır. Birinci denklem \(x\)’in sabit kaldığını söyler; öteki ikisinden \(\lambda\) çekilerek denklemler \[ x = 3, \qquad \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{-1} \] biçiminde yazılır. Önerme 10.4 i) gereğince \(d\), \(X\)-eksenine diktir: gerçekten \[ \langle v, e_1\rangle = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = 0 \] dır. \(d\), \(YZ\)-düzlemine paralel olan \(x = 3\) düzleminin içinde yatar. \(d\) ne \(Y\)-eksenine ne de \(Z\)-eksenine diktir, çünkü \(\langle v, e_2\rangle = 2 \neq 0\) ve \(\langle v, e_3\rangle = -1 \neq 0\) dır.
\(\blacksquare\)
İki bileşen sıfırsa doğrultman bir eksen birim vektörünün katıdır ve doğru o eksene paralel olur.
Önerme 10.5 (Doğrultmanın iki bileşeni sıfırsa) \(d\), \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) noktasından geçen ve doğrultmanı \(v = (a, b, c)\) olan doğru olsun.
i) \(a = b = 0\), \(c \neq 0\) ise \(d\), \(Z\)-eksenine paraleldir; \(d\)’nin bütün noktalarında \(x = x_0\) ve \(y = y_0\) dır.
ii) \(a = c = 0\), \(b \neq 0\) ise \(d\), \(Y\)-eksenine paraleldir; \(d\)’nin bütün noktalarında \(x = x_0\) ve \(z = z_0\) dır.
iii) \(b = c = 0\), \(a \neq 0\) ise \(d\), \(X\)-eksenine paraleldir; \(d\)’nin bütün noktalarında \(y = y_0\) ve \(z = z_0\) dır.
İspat
i) \(v = (0, 0, c) = c\, e_3\) ve \(c \neq 0\) olduğundan \(v \parallel e_3\) tür (Tanım 7.15). \(e_3\), \(Z\)-ekseninin doğrultmanı olduğundan Tanım 10.5 gereğince \(d\), \(Z\)-eksenine paraleldir. Aynı sonuca diklik yoluyla da varılır: \(\langle v, e_1\rangle = 0\) ve \(\langle v, e_2\rangle = 0\) olduğundan \(d\) hem \(X\)-eksenine hem \(Y\)-eksenine diktir. \(e_1\) ile \(e_2\) paralel olmadığından Önerme 10.3 gereğince \(v \parallel e_1 \times e_2\) dir; standart baz vektörleri için \(e_1 \times e_2 = e_3\) olduğundan (Örnek 9.1) yine \(v \parallel e_3\) buluruz.
Parametrik denklemler \(x = x_0\), \(y = y_0\), \(z = z_0 + \lambda c\) olur. \(c \neq 0\) olduğundan \(\lambda\) bütün gerçel sayıları taradıkça \(z\) de bütün gerçel sayıları tarar. Demek ki \(d\), apsisi \(x_0\) ve ordinatı \(y_0\) olan bütün noktalardan oluşur; bu, \(XY\)-düzlemindeki \((x_0, y_0, 0)\) noktasından dikey olarak geçen doğrudur (bkz. Örnek 6.5).
ii) \(v = (0, b, 0) = b\, e_2\) ve \(b \neq 0\) olduğundan \(v \parallel e_2\), dolayısıyla \(d\), \(Y\)-eksenine paraleldir. Ayrıca \(\langle v, e_1\rangle = \langle v, e_3\rangle = 0\) olduğundan \(d\), \(X\)- ve \(Z\)-eksenlerine diktir. Parametrik denklemler \(x = x_0\), \(y = y_0 + \lambda b\), \(z = z_0\) olur.
iii) \(v = (a, 0, 0) = a\, e_1\) ve \(a \neq 0\) olduğundan \(v \parallel e_1\), dolayısıyla \(d\), \(X\)-eksenine paraleldir. Ayrıca \(\langle v, e_2\rangle = \langle v, e_3\rangle = 0\) olduğundan \(d\), \(Y\)- ve \(Z\)-eksenlerine diktir. Parametrik denklemler \(x = x_0 + \lambda a\), \(y = y_0\), \(z = z_0\) olur.
\(\blacksquare\)
Yani bir eksene paralel olan doğru, öteki iki eksene diktir ve üzerinde iki koordinat sabit kalır. Bir bileşeni sıfır olan doğrultmanla bir koordinat, iki bileşeni sıfır olan doğrultmanla iki koordinat sabittir.
10.7 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalarda bu bölümde gördüğümüz denklem biçimlerini, paralellik ve diklik koşullarını kullanacağız.
Alıştırma 10.1 (Bir noktası ve doğrultmanı verilen doğrunun denklemleri) \(P_0 = (2, 3, -1)\) noktasından geçen ve \(v = (1, -3, 5)\) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel, parametrik ve kartezyen denklemlerini bulunuz.
Çözüm
Doğruya \(d\), üzerindeki rastgele bir noktaya \(P = (x, y, z)\) diyelim. \(v \neq 0\) ve \(v\), \(d\)’ye paralel olduğundan \(d\)’nin bir doğrultmanıdır. \(u = (x, y, z)\) ve \(u_0 = (2, 3, -1)\) olmak üzere vektörel denklem \(u = u_0 + \lambda v\), yani \[ (x, y, z) = (2, 3, -1) + \lambda\, (1, -3, 5), \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] dir. Sağ taraf \((2 + \lambda,\ 3 - 3\lambda,\ -1 + 5\lambda)\) olduğundan parametrik denklemler \[ \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 3 - 3\lambda \\ z = -1 + 5\lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] olur. Doğrultmanın üç bileşeni de sıfırdan farklı olduğundan her denklemden \(\lambda\) çekilerek kartezyen denklemler \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-3} = \frac{z + 1}{5} \;(= \lambda) \] bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.2 (Bir vektöre paralel doğru için iki bilinmeyen) \(m\)’nin ve \(n\)’nin hangi değerleri için \[ d:\ \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 2}{-2} \] doğrusu \(w = (9, m, 2n)\) vektörüne paralel olur?
Çözüm
Paydalardan \(d\)’nin doğrultmanı \(v = (3, 1, -2)\) okunur. Önerme 10.1 i) gereğince \[ d \parallel w \iff v \parallel w \iff \text{bir } \mu \neq 0 \text{ için } w = \mu v \] dir. \(w = \mu v\) eşitliğini bileşen bileşen yazalım: \[ 9 = 3\mu, \qquad m = \mu, \qquad 2n = -2\mu. \] Birinci denklemden \(\mu = 3\) bulunur. Buradan \(m = 3\) ve \(2n = -6\), yani \(n = -3\) elde edilir. Aynı sonuç oranlarla \[ \frac{3}{9} = \frac{1}{m} = \frac{-2}{2n} \] eşitliklerinden de okunur: \(\frac{1}{m} = \frac{1}{3}\) ise \(m = 3\), \(\frac{-2}{2n} = \frac{1}{3}\) ise \(2n = -6\) dır. Buna göre \(m = 3\) ve \(n = -3\) tür; gerçekten bu değerlerle \(w = (9, 3, -6) = 3v\) olur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.3 (İki doğruya dik ve bir noktadan geçen doğru) \(P_0 = (2, -1, 3)\) noktasından geçen ve \[ d_1:\ \frac{x - 1}{3} = \frac{y - \frac{155}{3}}{2} = \frac{z + 2}{-1} \qquad \text{ile} \qquad d_2:\ \frac{x}{2} = \frac{y - \frac{36}{19}}{1} = \frac{z - 3}{4} \] doğrularına dik olan doğrunun vektörel, parametrik ve kartezyen denklemlerini bulunuz.
Çözüm
Aranan doğruya \(d\) diyelim. Diklik yalnız doğrultmanlara bağlı olduğundan \(d_1\) ve \(d_2\)’nin hangi noktalardan geçtiği bu soruda önemli değildir; paylardaki \(\frac{155}{3}\) ve \(\frac{36}{19}\) sayıları hesaba girmez. Paydalardan doğrultmanlar okunur: \[ v_1 = (3, 2, -1), \qquad v_2 = (2, 1, 4). \] İlk bileşenlerin oranı \(\frac{3}{2}\), ikinci bileşenlerin oranı \(\frac{2}{1} = 2\) olduğundan \(v_1 \nparallel v_2\) dir. Önerme 10.3 gereğince \(d\)’nin doğrultmanı olarak \(v = v_1 \times v_2\) alınabilir: \[ \begin{aligned} v_1 \times v_2 &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \big(2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1\big) e_1 + \big((-1) \cdot 2 - 3 \cdot 4\big) e_2 \\ &\quad + (3 \cdot 1 - 2 \cdot 2)\, e_3 \\[1mm] &= (8 + 1)\, e_1 + (-2 - 12)\, e_2 + (3 - 4)\, e_3 \\[1mm] &= (9, -14, -1). \end{aligned} \] Kontrol: \(\langle v, v_1\rangle = 27 - 28 + 1 = 0\) ve \(\langle v, v_2\rangle = 18 - 14 - 4 = 0\) dır.
\(u_0 = (2, -1, 3)\) olduğundan vektörel denklem \[ (x, y, z) = (2, -1, 3) + \lambda\, (9, -14, -1), \qquad \lambda \in \mathbb{R}, \] parametrik denklemler \[ \begin{cases} x = 2 + 9\lambda \\ y = -1 - 14\lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} \] ve kartezyen denklemler \[ \frac{x - 2}{9} = \frac{y + 1}{-14} = \frac{z - 3}{-1} \] dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.4 (İki noktadan geçen doğrunun kartezyen denklemleri) \(P_0 = (1, 2, -4)\) ile \(P_1 = (3, 4, -1)\) noktalarından geçen doğrunun kartezyen denklemlerini bulunuz.
Çözüm
Önerme 10.2 gereğince doğrultman olarak \[ v = \overrightarrow{P_0P_1} = \big(3 - 1,\ 4 - 2,\ -1 - (-4)\big) = (2, 2, 3) \] alınabilir. Üç bileşen de sıfırdan farklı olduğundan kartezyen denklemler \[ \frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{4 - 2} = \frac{z - (-4)}{-1 - (-4)} \] yani \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 4}{3} \] olur. Kontrol: \(P_1\) için üç kesir \(\frac{2}{2} = \frac{2}{2} = \frac{3}{3} = 1\) verir, yani \(P_1\) doğrunun \(\lambda = 1\) noktasıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.5 (Üç noktanın aynı doğru üzerinde olması) \(A = (1, 2, -4)\), \(B = (3, 4, -1)\) ve \(C = (7, 8, 5)\) noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(A\) ile \(B\)’den geçen doğruya \(d\) diyelim. Bu noktalar, bir önceki alıştırmadaki (Alıştırma 10.4) \(P_0\) ile \(P_1\) noktalarıdır; orada bu doğrunun doğrultmanını \(\overrightarrow{AB} = (2, 2, 3)\), parametrik denklemlerini de \[ x = 1 + 2\lambda, \qquad y = 2 + 2\lambda, \qquad z = -4 + 3\lambda \] olarak bulduk. \(C = (7, 8, 5)\) noktasının koordinatlarını yerine yazalım: \[ \begin{aligned} 7 &= 1 + 2\lambda &&\Longrightarrow\quad \lambda = 3, \\ 8 &= 2 + 2\lambda &&\Longrightarrow\quad \lambda = 3, \\ 5 &= -4 + 3\lambda &&\Longrightarrow\quad \lambda = 3. \end{aligned} \] Üç denklem de aynı \(\lambda = 3\) değerini verdiğinden Teorem 10.1 gereğince \(C \in d\) dir. Demek ki \(A\), \(B\), \(C\) aynı doğru üzerindedir.
Aynı sonucu vektörlerle de görebiliriz: \(\overrightarrow{AC} = (6, 6, 9) = 3\,(2, 2, 3) = 3\,\overrightarrow{AB}\) olduğundan \(\overrightarrow{AC} \parallel \overrightarrow{AB}\) dir; iki vektör de \(A\)’dan başladığından \(C\), \(A\) ile \(B\)’den geçen doğru üzerindedir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.6 (Koordinat düzlemleriyle kesim noktaları) \(P_0 = (2, 3, -1)\) noktasından geçen ve doğrultmanı \(v = (1, -3, 5)\) olan doğrunun üç koordinat düzlemini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm
Bu doğrunun parametrik denklemlerini ilk alıştırmada (Alıştırma 10.1) \[ x = 2 + \lambda, \qquad y = 3 - 3\lambda, \qquad z = -1 + 5\lambda \] olarak bulduk. Her koordinat düzleminde ilgili koordinat sıfırdır.
\(XY\)-düzlemi (\(z = 0\)). \(-1 + 5\lambda = 0\) ise \(\lambda = \frac{1}{5}\) dir. Buradan \[ x = 2 + \tfrac{1}{5} = \tfrac{11}{5}, \qquad y = 3 - \tfrac{3}{5} = \tfrac{12}{5} \] bulunur. Kesim noktası \(\big(\frac{11}{5}, \frac{12}{5}, 0\big)\) dır.
\(XZ\)-düzlemi (\(y = 0\)). \(3 - 3\lambda = 0\) ise \(\lambda = 1\) dir. Buradan \(x = 3\), \(z = 4\) bulunur. Kesim noktası \((3, 0, 4)\) tür.
\(YZ\)-düzlemi (\(x = 0\)). \(2 + \lambda = 0\) ise \(\lambda = -2\) dir. Buradan \(y = 3 + 6 = 9\), \(z = -1 - 10 = -11\) bulunur. Kesim noktası \((0, 9, -11)\) dir.
Doğrultmanın üç bileşeni de sıfırdan farklı olduğundan doğru her koordinat düzlemini tam bir noktada keser.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 10.7 (Diklik koşulundan bilinmeyen bulmak) \[ d_1:\ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{k} = \frac{z}{3} \qquad \text{ve} \qquad d_2:\ \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 5}{-2} \] doğrularının dik olması için \(k\) ne olmalıdır?
Çözüm
Paydalardan doğrultmanlar okunur: \(v_1 = (2, k, 3)\) ve \(v_2 = (4, -1, -2)\). Tanım 10.6 gereğince \(d_1 \perp d_2\) olması \(v_1 \perp v_2\), yani \(\langle v_1, v_2\rangle = 0\) olmasıdır (Önerme 8.2): \[ \langle v_1, v_2\rangle = 2 \cdot 4 + k \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) = 8 - k - 6 = 2 - k. \] \(2 - k = 0\) ise \(k = 2\) dir. Bu değer sıfırdan farklı olduğundan \(d_1\)’in kartezyen denklemlerindeki payda da anlamlıdır. Buna göre doğrular yalnız \(k = 2\) için diktir.
\(\blacksquare\)
Artık uzayda bir doğruyu bir noktası ve bir doğrultmanıyla, ya da iki noktasıyla yazabiliyor; iki doğrunun paralel ya da dik olup olmadığını doğrultmanlarından okuyabiliyoruz. Bir sonraki bölümde iki doğru arasındaki açıyı, bir noktanın bir doğruya uzaklığını ve iki doğrunun birbirine göre durumlarını inceleyeceğiz: Uzayda İki Doğru.